Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar probabilitas, meliputi pengertian probabilitas, pendekatan perhitungan probabilitas, kejadian/peristiwa dan notasi himpunan, serta beberapa aturan dasar probabilitas.

1. STATISTIKA
Ibnu Muttaqin, S.E., M.E.

2. Pertemuan 5
Konsep-Konsep
Dasar Probabilitas
01
Pengertian Probabilitas
02
Pendekatan Perhitungan
Probabilitas
03
Kejadian/Peristiwa dan
Notasi Himpunan
04
Beberapa Aturan Dasar
Probabilitas

3. PENGANTAR PROBABILITAS
Sebagai manusia tidak
bisa mengetahui pasti
tentang terjadinya
suatru peristiwa,
terutama kejadian di
masa datang.
Pertanyaan berikut
contohnya :
Jika melempar mata uang
logam, sisi manakan yang
akan keluar?
Jika mengambil kartu bridge,
apakah kita akan memperoleh
As?
Apakah di masa mendatang
hasil penjualan naik?
Apakah akan ada kenaikan
harga mankanan tahun
depan?
Apakah produksi padi akan
naik?
Apakah harga saham, harga
dolar, dan valuta asing lainnya
akan naik?
Untuk menjawab
pertanyaan-
pertanyaan di atas,
kita akan membahas
apa yang disebut
dengan probabilitas.
3

4. PENGERTIAN PROBABILITAS
 Probabilitas : Peluang : Kesempatan
“Probability” is a measure of a likelihood of the occurance of a
random event.
(Mendenhall dan Reinmuth, 1982)
Probabilitas adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur
tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.
 Probabilitas biasanya ditulis dalam desimal (contoh : 0,50) atau
bilangan pecahan (Contoh :½ ).
 Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1
 Semakin mendekati nilai 0, semakin kecil kemungkinan terjadi,
semakin mendekati nilai 1 semakin besar peluang kejadian terjadi.
4

5. PENDEKATAN PERHITUNGAN
PROBABILITAS
5

6. PENDEKATAN KLASIK
 Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu
eksperimen mempunyai peluang yang sama.
a) 𝑃 𝐴 =
𝑥
𝑛
P(A) ≥ 0, sebab x ≥ 0, n > 0
𝑥 = jumlah barang/kejadian
n = total barang/kejadian
b) 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 ,
A = bukan A atau komplemen A
6

7. PENDEKATAN KLASIK
 Contoh Soal 13.1
Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada
25 yang rusak. Jika barang dibungkus rapi, kemudian seorang
pembeli mengambil satu barang secara acak, berapakah
probabilitasnya bahwa yang diambil adalah barang rusak?
Penyelesaian :
Diketahui n : 100, x : 25
𝑃 𝐴 =
𝑥
𝑛
=
25
100
= 0,25 𝑎𝑡𝑎𝑢 25%
Jadi, besarnya probabilitas memperoleh barang rusak adalah 25%.
7

8. KONSEP FREKUENSI RELATIF
 Perhitungan didasarkan atas limit dari frekuensi relatif. Besarnya nilai yang
diambil dari suatu variabel juga merupakan kejadian. Rumusnya sebagai
berikut :
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑙𝑎𝑙𝑢
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠𝑖
 Probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian
tersebut, secara teoritis berlaku untuk n yang besar sekali. 𝑃 𝑋𝑖 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑖
𝑛
. Di dalam praktik sering disebutkan bahwa P(B) = 0,5 (angka setengah
merupakan limit). Jadi, probabilitas suatu kejadian pada dasarnya
merupakan limit dari frekuensi relatif. 8

9. KONSEP FREKUENSI RELATIF
 Contoh Soal 13.2
Suatu penelitian terhadap 65 karyawan, salah satu
karakteristik yang ditanyakan ialah gaji/upah bulanan
Berapakah probabilitas bertemu dengan karyawan dengan
upah 650.000 dan 1.050.000 rupiah?
Penyelesaian :
𝑃 𝑋 = 65 =
𝑓
𝑛
=
10
65
= 0,15 / 15% 𝑃 𝑋 = 105 =
𝑓
𝑛
=
5
65
= 0,077 / 7%
X (Upah Bulanan Rp10.000) 55 65 75 85 95 105 115
f (Jumlah Karyawan) 8 10 16 14 10 5 2
9

10. PROBABILITAS SUBJEKTIF
 Probabilitas Subjektif Didasarkan Atas Penilaian Seseorang
Dalam Menyatkaan Tingkat Kepercayaan.
 Jika Tidak Ada Pengalaman/Pengamatan Masa Lalu
Sebagai Dasar Untuk Perhitungan Probabilitas, Maka
Pernyataan Probabilitas Tersebut Bersifat Subjektif.
 Hal Ini Biasanya Terjadi Dalam Bentuk Opini Atau
Pendapat Yang Dinyatakan Dalam Suatu Nilai Probabilitas.
 Contohnya : Peluang kamu menjadi mahasiswa cumlaude
itu 90% loh, karena kamu rajin dan pintar. 10

11. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 Apabila suatu eksperimen dilakukan dengan melemparkan mata
uang logam Rp500 sebanyak dua kali, maka hasil eksperimen itu
salah satu dari empat kemungkinan hasil berikut : BB, BB, BB, BB
Lemparan pertama gambar garuda (B), kedua juga (B)
Lemparan pertama garuda (B), kedua melati (B)
Lemparan pertama melati (B), kedua garuda (B)
Lemparan pertama dan kedua melati (B)
 Hasil yang berbeda-beda dari suatu eksperimen disebut titik
sampel. Contoh di atas ada 4 titik sampel, sedangkan himpunan
dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sampel (S). 11

12. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 Jika dua dadu kita lempar, akan diperoleh ruang sampel (S) ada 36 sbb :
I = dadu pertama
II = dadu kedua
33 = dadu pertama angka 3, kedua angka 3
 Ruang sampel suatu eksperimen mempunyai dua syarat berikut :
1) Dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan. Misal
melempar uang satu kali hasilnya B atau B, tidak bisa BB. Jika
melempar dua kali hasilnya seperti contoh sebelumnya.
2) Harus terbagi habis (exhaustive). Artinya, ruang sampel (S) harus
memuat seluruh kemungkinan hasil, tidak ada yang terlewat.
I II 1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
12

13. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 Distribusi Probabilitas
Jika kita cari probabilitas untuk setiap nilai variabel, maka nilai seluruh
probabilitas tersebut sama-sama dengan nilai variabel masing-masing.
Contoh untuk data melempar dadu dua kali, jik X adalah jumlah mata dadu.
X = 2, terjadi 1 kali (11) X = 8, terjadi 5 kali (62, 53, 44, 35, 26)
X = 3, terjadi 2 kali (21, 12) X = 9, terjadi 4 kali (63, 54, 45, 36)
X = 4, terjadi 3 kali (31, 22, 13) X = 10, terjadi 3 kali (64, 55, 46)
X = 5, terjadi 4 kali (41, 32, 23, 14) X = 11, terjadi 2 kali (65, 56)
X = 6, terjadi 5 kali (51, 42, 33, 24, 15) X = 12, terjadi 1 kali (66)
X = 7, terjadi 6 kali (61, 52, 43, 34, 25, 16)
13

14. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 Distribusi Probabilitas
Tabel dan Grafik frekuensi dari Eksperimen Dua Kali Pelemparan Dadu
X f fr[=P(X)]
2 1 1/36 = 0,028
3 2 2/36 = 0,056
4 3 3/36 = 0,083
5 4 4/36 = 0,111
6 5 5/36 = 0,139
7 6 6/36 = 0,167
8 5 5/36 = 0,139
9 4 4/36 = 0,111
10 3 3/36 = 0,083
11 2 2/36 = 0,056
12 1 1/36 = 0,028
0
0.04
0.08
0.12
0.16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fr[=P(X)]
14

15. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 NOTASI HIMPUNAN
Apabila S merupakan himpunan, maka objek yang terkandung di dalamnya
dinamakan anggota atau elemen. Misalnya suatu mata loga dilempar satu kali S =
{B, B}, maka B dan B adalah anggota atau elemen dari S.
Anggota S dapat berupa variabel Diskrit (tidak mengambil seluruh nilai dalam
interval) dan kontinu (mengambil seluruh nilai dalam suatu interval).
Diskrit : S = {x : x = 0, 1, 2, 3}
∙−∙−∙−∙
0 1 2 3 (nilainya berupa kumpulan beberapa titik)
Kontinu : S = {x : 0 ≤ 0 ≤ 1}
∙ ∙
0 1 (nilainya berupa garis, seluruh titik) 15

16. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 NOTASI HIMPUNAN
Simbol (:) yang memisahkan variabel dengan nilai dalam himpunan dibaca
sedemikian rupa sehingga (s.r.s). Jadi S = {x : 0 ≤ 0 ≤ 1} merupakan himpunan
yang diwakili oleh variabel x, sedemikian rupa sehingga x dapat mengambil nilai
mulai dari 0 sampai dengan 1.
Sering terjadi bahwa X = {x : x ∈ A dan x ∈ B}. Artinya, sebagai anggota X, x
juga anggota (A) dan anggota (B). Misalnya X adalah himpunan mahasiswa FEB-
UP yang pernah ikut Denwa. Jika A adalah mahasiswa FEB-UP, B adalah
mahasiswa UP yang ikut Denwa, maka X = {x : x ∈ A dan x ∈ B}.
Himpunan dari seluruh kejadian yang ada disebut himpunan semesta
(universal set). Himpunan bagian yang paling kecil dari suatu himpunan adalah
himpunan kosong (null set) dengan simbol ∅. Himpunan kosong tidak mempunyai
anggota atau elemen. Misalnya orang tak dapat hidup dan mati sekaligus.
∅ = {x : x = hidup dan x = mati} 16

17. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN
Misalkan bahwa S adalah ruang sampel (himpunan dari hasil esksperimen), A
adalah himpunan bagian dari S, dan A adalah komplemen dari A atau semua
anggota S yang bukan anggota A. Hubungan tersebut seperti Diagram Venn ini:
17

18. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN
Misalnya dari suatu penelitian terhadap 100 barang, ternyata 10 barang rusak,
maka :
S = seluruh barang (100)
A = barang rusak (10)
A = barang yang tidak rusak (100 – 10 = 90)
P(A) = 1 – P(A) (lihat rumus di sline no 6)
Atau,
S = ruang sampel (seluruh karyawan perusahaan)
A = karyawan yang upahnya ≥ Rp3.000.000,- per bulan
A = karyawan yang upahnya < Rp3.000.000,- per bulan
18

19. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 INTERAKSI DUA KEJADIAN
Interaksi dua kejadian sering ditulis A ∩ B (dibaca A interaksi B) atau AB, terdiri
dari elemen-elemen anggota S yang selain mempunyai sifat atau ciri-ciri A juga B,
artinya selain anggota A juga anggota B. Digambarkan dalam Diagram Venn ini :
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}
19

20. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 UNION DUA KEJADIAN
Union dua kejadian A dan B ditulis A∪B (dibaca “A union B”) atau A+B merupakan
himpunan bagian S, yang terdiri dari elemen-elemen anggota S yang menjadi
anggota A saja, B saja, atau menjadi anggota A dan B sekaligus)
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐴𝐵}
20

21. KEJADIAN/PERISTIWA DAN
NOTASI HIMPUNAN
 Beberapa Aturan/Hukum dalam Himpunan
1. Hukum Penutup (law of Closure)
Untuk setiap pasang himpunan A dan B, terdapat himpunan yang unik, yaitu himpunan A∪B dan A∩B
2. Hukum Komutatif (Commutative Law)
A∪B = B∪A dan A∩B = B∩A
3. Hukum Asosiatif (Associative Law)
(A∪B) ∪C = A∪ (B∪C)
(A∩B) ∩C = A∩ (B∩C)
4. Hukum Distributive (Distributive Law)
A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
5. Hukum Identitas (Identity Law)
Ada himpunan ∅ dan S yang unik, sedemikian rupa sehingga untuk setiap himpunan A selalu berlaku persamaan
A∩S = A dan A∩∅ = A∙∅ = himpunan kosong.
6. Hukum Komplementasi (Complementation Law)
Bersesuaian dengan setiap himpunan A ada himpunan A, yang unik sedemikian rupa sehingga A∩A = ∅ dan
A∪A = S. 21

22. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PENJUMLAHAN : Kejadian Saling Meniadakan
Kejadian saling meniadakan (Mutually exclusive event) adalah
kejadian di mana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian ke
dua tak akan terjadi. Misalkan, jika mata dadu 2 yang keluar, mata
dadu 3 tak kan keluar.
𝑃 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
Untuk tiga kejadian A, B, C saling meniadakan ditulis :
𝑃 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐶)
22

23. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 Contoh 13.3
Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastik dengan campuran beberapa jenis sayuran
menunjukan bahwa sebagian besar kantong plastik berisi sayuran tersebut memuat berat yang
benar dan ada yang lebih berat ada yang lebih ringan, pengecekan 4.000 paket sebagai berikut :
Hitung berapa probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat
dari berat standar?
Penyelesaian :
P (A atau C) = 𝑃(𝐴∪𝐶) =𝑃(𝐴)+𝑃(𝐶)
= 0,025 + 0075
= 0,10 atau 10% 23
Berat Kejadian Jumlah Paket Probabilitas
Lebih Ringan A 100 0,025
Standar B 3600 0,900
Lebih Berat C 300 0,075
Jumlah 4000 1,000

24. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PENJUMLAHAN : Kejadian Tidak Saling Meniadakan
Jika dua kejadian saling berinteraksi (beririsan), probabilitasnya
disebut sebagai probabilitas bersama (joint probability).
Aturan umumnya pada dua kejadian A dan B ditulis :
𝑃 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵)
Atau
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
24

25. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PENJUMLAHAN : Kejadian Tidak Saling Meniadakan
Contoh 13.4 : Departemen Pariwisata survey dengan sampel 200
wisatawan yang mengunjungi Jakarta. Hasilnya 120 orang telah
mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah (TMII) dan 100 orang telah
mengunjungi Taman Impian Jaya Ancol (Ancol). Berapa probabilitas bahwa
seorang wisatawan tersurvey telah mengunjungi TMII atau Ancol jika 60
orang mengunjungi kedua tempat tersebut?
Penyelesaian :
P (TMII atau TIJA) = P (TMII) + P(Ancol) – P(TMII dan Ancol)
=
120
200
+
100
200
−
60
200
=0,80 (80%) 25

26. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PERKALIAN : Kejadian Tak Bebas (Bersyarat)
Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah
terjadi atau akan terjadi disebut probabilitas bersyarat (conditional
probability), atau biasa ditulis P(A/B). Rumusnya :
a) P 𝐴/𝐵 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
b) P 𝐵/𝐴 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
Dengan demikian P(A∩B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)
26

27. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PERKALIAN : Kejadian Tak Bebas (Bersyarat)
Contoh 13.5 : sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak dua kali, dan X adalah jumlah
mata dadu dari hasil lemparan tersebut. Apabila lemparan yang pertama keluar mata 2,
dan lemparan kedua keluar mata 4, maka X = 2 + 4 = 6. Juga apabila pada lemparan
pertama yang keluar mata 3 dan yang kedua 5, X = 8, dan seterusnya. Jika A = { x : x < 5}
dan B = {x : x suatu bilangan ganjil}, hitunglah P(A/B) dan P(B/A)!
27
I II 1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 (14) 15 (16)
2 21 22 (23) 24 (25) 26
3 31 (32) 33 (34) 35 (36)
4 (41) 42 (43) 44 (45) 46
5 51 (52) 53 (54) 55 (56)
6 (61) 62 (63) 64 (65) 66

28. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PERKALIAN : Kejadian Tak Bebas (Bersyarat)
Contoh 13.5 : Penyelesaian
S = 36 titik = 36 hasil eksperimen (N = 36)
A = X kurang dari 5 ada 6, a = 6
B = X bilangan ganjil ada 18, b = 18
(𝐴∩𝐵) = 2 (12 dan 21), semuanya memberikan nilai X kurang dari lima dan ganjil) (c = 2)
P(𝐴/𝐵) =
𝑃(𝐴∪𝐵)
𝑃(𝐵)
P(B/A) =
𝑃(𝐴∪𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑐/𝑁
𝑏/𝑁
=
𝑐/𝑁
𝑎/𝑁
=
𝑐
𝑏
=
2
18
= 0,11 (11%) =
𝑐
𝑎
=
2
6
= 0,33 (33%)
28

29. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PERKALIAN : Kejadian Bebas (Independent Event)
 Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian bebas apabila teradinya kejadian tersebut
tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B, A tidak mempengaruhi B dan
sebaliknya.
 Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝑃(𝐴)
(A dan B merupakan kejadian bebas)
 Kenyataanya kejadian bebas jarang terjadi karena, pada dasarnya, antara kejadian satu
dengan lainnya saling mempengaruhi baik secara langsung maupun tidak. Contohnya :
kejadian pasang surut Kali Ciliwung di Jakarta dengan harga motor Honda, banyaknya
hujan di Sumatra dengan naiknya produksi padi di Jawa.
29

30. BEBERAPA ATURAN DASAR
PROBABILITAS
 ATURAN PERKALIAN : Kejadian Bebas (Independent Event)
Contoh 13.6 :
Satu mata uang Rp500 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan
pertama yang mendapat gambar garuda (B), dan A2 adalah lemparan kedua yang
mendapatkan gambar garuda (B), berapakah P(A1∩A2) ?
Penyelesaian :
Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan
P(A1) = P(B) =
1
2
P(A2) = P(B) =
1
2
Maka P(A1∩A2) = P(A1)P(A2) = P(B)P(B) =
1
2
×
1
2
=
1
4
30