Dokumen tersebut membahas tentang stabilitas Lyapunov dan fungsi Lyapunov dalam ilmu kontrol sistem, khususnya untuk sistem non-linier. Persamaan Lyapunov dan fungsi Lyapunov digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu sistem, baik linier maupun non-linier. Fungsi Lyapunov mewakili energi dalam sistem. Kriteria kestabilan Lyapunov digunakan untuk menentukan apakah suatu sistem stabil atau tidak.

1. STABILITAS LYAPUNOV
R. Suryoto Edy Raharjo, S.T. , M.Eng.
Teknik Elektro, Fakultas Teknik
Universitas Tidar
Laurensius Freddy T S/ 1410501043

2. Persamaan Lyapunov amat legendaris dalam ilmu kontrol, khususnya ketika membahas
sistem non-linier. Persamaan berikut ini disebut Persamaan Lyapunov yang diusulkan oleh
Alexander Lyapunov (1892).
Matriks A, P, Q adalah matriks persegi dengan elemen bilangan riel, P dan Q adalah
matriks simetri. A adalah matriks sistem dalam persamaan state.
Persamaan Lyapunov

3. Persamaan Lyapunov umumnya disandingkan dengan fungsi Lyapunov. Fungsi
Lyapunov mewakili energi yang terlibat dalam sistem. Dalam ilmu kontrol, keduanya sering
digunakan untuk menganalisis kestabilan suatu sistem baik linier maupun non-linier.
Untuk memperjelas konsep, saya sertakan contoh dari buku (Vukic, 2003).
Rangkaian ini adalah osilator LC tanpa sumber. Variabel state yang dipilih adalah arus
induktor i(t) dan tegangan kapasitor v(t), sehingga didapatkan persamaan state

4. dimana x = [x1 x2]T = [i(t) v(t)]T. Energi listrik dari rangkaian ini dinyatakan dengan persamaan
berikut
E(t) = 0.5Li(t)2 + 0.5Cv(t)2
Persamaan energi ini dapat kita nyatakan dalam bentuk perkalian matriks berikut
E = xTPx
dimana P adalah matriks definit positif dan simetris
Persamaan E ini disebut juga fungsi Lyapunov karena dia mewakili energi yang terlibat dalam
sistem. Fungsi Lyapunov umumnya diberi simbol V, sehingga fungsi Lyapunov untuk osilator LC ini
adalah
V(x) = xTPx

5. Kestabilan Lyapunov
 Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai Lyapunov jika untuk setiap S(ε), ada
S(δ), sehingga trayektori dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan
membesarnya waktu t menuju tak terhingga
 Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga bergantung pada t0 , maka keadaan
kesetimbangan tersebut disebut stabil uniform.

6. Keadaan kesetimbangan xe dari sistem yang dinyatakan oleh f(xe ,t) =0 untuk sembarang t disebut
stabil asimptotik jika keadaan tersebut stabil Lyapunov dan setiap kondisi dengan titik awal didalam
S(δ) tanpa meninggalkan S(ε), konvergen ke xe dengan membesarnya t menuju tak berhingga.
Kestabilan Asimtotik
Kestabilan Asimtotik Global
Jika keadaan asimptotik berlaku untuk semua keadaan titik awal trayektori, maka keadaan
kesetimbangan tersebut stabil asimptotik global.
Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil asimptotik global jika keadaan setimbang
tersebut stabil, dan jika setiap jawab konvergen ke xe dengan membesarnya waktu t menunju tak
hingga.
Syarat yang perlu untuk kestabilan asimptotik global adalah bahwa hanya ada satu keadaan
kesetimbangan dalam seluruh keadaan

7. Kriteria Kestabilan Lyapunov
 ttutxfx ),(),(
 
 
waktu
massapenggerakgaya
simpangan
kecepatan




t
tu
tx
x
Persamaan keadaan untuk sistem nonlinier secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
dimana untuk sistem mekanik :
•Penyelesaian secara analitis terhadap persamaan diatas jarang sekali dapat dilakukan
•Jika diusahakan penyelesaian secara numerik , maka :
akan timbul pertanyaan mengenai sifat kestabilannya , yaitu :
oapakah sepenuhnya dapat dijawab keadaan bilamana dikehendaki
o penyele-saian yang mempertimbangkan tak terhingga himpunan kondisi awal
dengan menggunakan dengan keadaan tak terhingga himpunan kondisi awal tersebut terhadap :
opermasalahan engineering dan memusatkan perhatian kepada pengetahuan tentang sistemnya , maka :
para analis mungkin hanya akan membatasi pada masalah yang berkaitan dengan kondisi awal
yang tertentu saja
berbagai metode penyelesaian telah dikemukakan untuk mendapat-kan informasi tentang
kestabilan dan domain dari pada sistem yang memenuhi persamaan

8. 1. http://www.mnurq.ga/search/label/Teknik%20Elektro
Link Artikel
2.https://teknikpengaturan.wordpress.com/2009/10/07/mengapa-lyapunov-mengatakan-there-exists-dalam-teori-
stabilitasnya/
3.http://share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod_resource/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Ly
apunov.pdf

9. TERIMAHKASIH