"MEKANIKA LAGRANGIAN"

1. MEKANIKA LAGRANGIAN
Pada bab ini yaitu tentang mekanika lagrangian , hukum dasar yang dipakai
adalah hukum newton untuk menganalisis gerak pada sebuah benda. Dengan hukum
ini dapat menurunkan persamaan benda. Digunakan hukum ini jika, gaya yang
bekerja pada sebuah benda diketahui . namun pada kenyataannya pada banyak kasus,
terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak dan
persyaratan awal tersebut. Contohnya, benda bergerak pada pada permukaan
berbentuk bola. Pada persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya bekerja,
tetapi juga pada koordinatnya, baik kartesian maupun koordinat yang lain, hal ini
tidak relevan lagidigunakan, sekalipun persamaan gayanya diketahui.
PERSAMAAN LAGRANGE
Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda dinyatakan dalam
korninat rampatan, dapat digunakan persamaan hukum Newton II
iii xmF  (21)
dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q.
Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan
menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita
akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi
kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan
 

k
1i
2
i
2
i
2
1i2
1
zyxmT ( (22)
atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut

2. 

N3
1i
2
ii2
1
xmT  (23)
Hal tersebut , menyatakan hubungan antara kordinat x dan q yang juga mengandung
waktu t secara eksplisit, dapat dimisalkan
),,...,,( tqqqxx n21ii  (24)
selanjutnya
 





t
x
q
q
x
x i
k
k
i
i
 (25)
Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2,
…..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, .
….n; dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem.
Oleh karena itu dapat dilihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan,
turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t
tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk, sehingga xi/t = 0. Telah
jelas bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan
rampatan kq .
Dari persamaan
k
i
k
i
q
x
q
x







(26)

3. Pada ruas kanan dan kiri dapat dikalikan dengan dengan ix , dan dideferensialkan
terhadap t, dan akan diperoleh :
















k
i
i
k
i
i
q
x
x
dt
d
q
x
x
dt
d




k
i
i
k
i
i
q
x
x
q
x
x







 (27)
atau























2
x
qq
x
x
2
x
qdt
d 2
i
kk
i
i
2
i
k




(28)
Selanjutnya dikalikan dengan mi dan digunakan hubungan iii Fxm  , sehingga
dapat diperoleh























2
xm
qq
x
F
2
xm
qdt
d 2
ii
kk
i
i
2
ii
k


(29)
Dilakukan penjumlahan terhadap i , maka akan diperoleh
 












i kk
i
i
k q
T
q
x
F
q
T
dt
d

(30)
Dari definisi gaya rampatan diperoleh

4. k
k
k q
T
Q
q
T
dt
d






(31)
Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam
koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak.
Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat
ditulis sebagai berikut:
kkk q
V
q
T
q
T
dt
d









(32)
Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan
mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni
L = T - V (33)
Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh
karena V = V(qk) dan 0qV k  / , kita peroleh
kk q
T
q
L
 




dan
kkk q
V
q
T
q
L








(34)
Persamaan Lagrange dapat ditulis
kk q
L
q
L
dt
d






(35)

5. CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN LAGRANGE
Berikut ini akan dibahas fungsi dari persamaan Lagrange untuk
menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari
persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:
1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.
2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya
terhadap waktu.
3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi
koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan
Qk.
4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan
persamaan di atas.
Berikut adalah contoh penggunaan dari persamaan Lagrange :
Osilator Harmonik
Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja
sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu
sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran
koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah
L = T - V = 2
2
12
2
1
kxxm  (38)
dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:
xm
x
L





dan kx
x
L



(39)

6. Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya
sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c x , sehingga persamaan gerak
dapat ditulis :
  )( kxxcxm
dt
d
  (40)
mx cx kx 0  
Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya
peredam yang sudah kita kenal.