3. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
3
• Ορισµός:
α ,αν α 0
α
α ,αν α 0
≥
=
− <
• Οι ιδιότητες των απολύτων τιµών είναι οι εξής:
1. ≥ 0α
2. ≥α α και ≥ −α α (δηλ. ≥ −max{ , })α α α
3. =
2
2
α α
4. Αν θ ≥ 0 τότε = ⇔ =x θ x θ ή x = -θ.
5. Αν θ < 0 τότε η εξίσωση =x θ είναι αδύνατη.
6. = ⇔ =x α x α ή x = -α
7. Αν θ > 0 τότε ≤ ⇔ − ≤ ≤x θ θ x θ
8. Αν θ < 0 τότε η ανίσωση ≤x θ είναι αδύνατη .
9. Αν θ > 0 τότε ≥ ⇔ ≥x θ x θ ή ≤ −x θ
10. Αν θ < 0 τότε η ανίσωση ≥x θ ισχύει: x∀ ∈ ℝ
11. =αβ α β
12. =
αα
β β
• Τριγωνική Ανισότητα για τα απόλυτα: − ≤ + ≤ +α β α β α β
Αν αβ > 0 δηλαδή αν οι α, β είναι οµόσηµοι ισχύει:
− < + = +α β α β α β
Αν αβ < 0 δηλαδή αν οι α, β είναι ετερόσηµοι ισχύει:
− = + < +α β α β α β
Αν ,α β ∈ℝ ισχύει: 0 0 0α β α και β+ = ⇔ = =
Και… 2 2
0 0 0+ = ⇔ = =α β α και β
Γενικότερα …ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΠΟΣΟΤΗΤΩΝ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ Ή ΙΣΟ
ΤΟΥ ΜΗ∆ΕΝ (ΜΗ ΘΕΤΙΚΟ) ΠΡΕΠΕΙ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΗ∆ΕΝ
∆υο Βασικές Ανισοϊσότητες:
Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει: 2 2
2α β α β+ ≥ ⋅ ⋅
Αν α > 0 τότε ισχύει:
1
2α
α
+ ≥
4. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
4
1. =ν ν ν
α β αβ 2. =
ν
ν
ν
α α
ββ
3. =
µ µνν
α α 4. =
νρ νµρ µ
α α
5. =2
α α 6. ( ) =
2
α α 7. =( )ν ν
α α 8. 2 2ν ν
α α=
∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΟ ΕΚΘΕΤΗ
Αν ≥ 0,α µ∈ Z και ∈ *
ν N τότε ορίζουµε: =
µ
ν µν
α α
2
αx +βx+γ=0 µε α 0≠
∆ιακρίνουσα ∆ = β2- 4αγ
• Αν ∆ >0 τότε η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες: 1,2x
2
β
α
− ± ∆
=
• Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα: 1,2x
2
β
α
−
=
• Αν ∆ < 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη
Αν µε S συµβολίσουµε το άθροισµα x1 + x2 και µε P το γινόµενο x1 x2, τότε
έχουµε τους τύπους: 1 2 1 2,x x S x x P
β γ
α α
+ = = − = = που είναι γνωστοί ως τύποι
Vieta.
Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, µετασχηµατίζεται ως εξής: 2
0x Sx P− + =
Η τελευταία µορφή της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 µας δίνει τη δυνατότητα να
την κατασκευάσουµε, όταν γνωρίζουµε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών
Πλήθος Λύσεων Εξίσωσης Συνθήκη
2 Ρίζες Άνισες 0∆ >
Ρίζες Πραγµατικές 0∆ ≥
1 Ρίζα ∆ιπλή 0∆ =
Καµία Ρίζα 0∆ <
Το Πολύ Μια Ρίζα 0∆ ≤
5. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
5
2
f(x)=αx +βx+γ µε α 0≠
Παραγοντοποίηση Τριωνύµου
• Αν ∆ > 0 τότε ( )( )2
1 2αx +βx+γ=α x-x x-x
• Αν ∆ = 0 τότε ( )
22
1αx +βx+γ=α x-x
• Αν ∆ < 0 τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.
Κάθε τριώνυµο γράφεται στη µορφή :
2
2
2
2 4
x x x
β
α β γ α
α α
∆
+ + = + −
Κορυφή Παραβολής ( , )
2 4
K
β
α α
∆
− − ΣΗΜΕΙΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ
ΘΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ
2
β
α
− (Έκφραση …. Στο
2
β
α
− )
ΤΙΜΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ
4α
∆
− (Έκφραση …Το
4α
∆
− )
• Αν α > 0 τότε η κορυφή είναι σηµείο ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ
• Αν a < 0 τότε η κορυφή είναι σηµείο ΜΕΓΙΣΤΟΥ
• Η ευθεία
2
x
β
α
= − είναι άξονας συµµετρίας της παραβολής
• Αν ∆ > 0 ,τότε η παραβολή τέµνει τον άξονα x’x σε δύο σηµεία
• Αν ∆ = 0 ,τότε η παραβολή ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ στον άξονα x’x
• Αν ∆ < 0 , τότε η παραβολή ∆ΕΝ τέµνει τον άξονα x’x
• Η παραβολή τέµνει τον άξονα y’y στο σηµείο (0, )γΓ
6. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
6
Αν ∆ > 0 και x1 < x2 είναι οι ρίζες του τριωνύµου τότε:
Αν ∆ = 0 και x1,2 είναι η διπλή ρίζα του τριωνύµου τότε:
Αν ∆ < 0 τότε:
2
0
αx +βx+γ > 0 ...
0
ώ άx όκαι ρι νυµο ετικ
α
ντα
∆ <
∀ ∈ ⇔ Τ Θ Π
>
ℝ
2
0
αx +βx+γ 0 ...
0
x όάώκαι ρι νυµο µη αρνητικ
α
ντα
∆ ≤
≥ ∀ ∈ ⇔ Τ
>
Πℝ
2
0
αx +βx+γ < 0 ...
0
x ώ ά όκαι ρι νυµο αρνητικντα
α
∆ <
∀ ∈ ⇔ Τ Π
<
ℝ
2
0
αx +βx+γ 0 ...
0
x ώ ά όκαι ρι νυµο µη ετικ
α
ντα
∆ ≤
≤ ∀ ∈ ⇔ Τ ΘΠ
<
ℝ
7. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
7
Για να προσδιορίσουµε το πρόσηµο του γινοµένου =( ) ( ) ( )....Φ( ),P x A x B x x όπου
Α( ), Β( ), ..., Φ( )x x x είναι πολυώνυµα 1ου ή 2ου βαθµού, βρίσκουµε το πρόσηµο
του κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια µε τη βοήθεια ενός
συγκεντρωτικού πίνακα προσδιορίζουµε το πρόσηµο του γινοµένου.
Έχουν τη µορφή: ( )ν *
x α ν , α= ∈ ∈ℕ ℝ . Οι λύσεις τη εξίσωσης είναι:
ν περιττός έχει ακριβώς µια λύση: ν ν
x α x α= ⇔ =α > 0
ν άρτιος έχει ακριβώς δύο λύσεις: ν ν
x α x α= ⇔ = ±
ν περιττός έχει ακριβώς µια λύση: ν ν
x α x α= ⇔ = − −α < 0
ν άρτιος δεν έχει λύσεις (αδύνατη)
2 2
ηµ x συν x 1+ =
συνx
σφx , ηµx 0
ηµx
= ≠ 2
2
1
1 εφ x
συν x
+ = 2
2
1
1 σφ x
ηµ x
+ =
ηµx
εφx , συνx 0
συνx
= ≠ εφx σφx 1⋅ =
x ηµx συνx εφx σφx
0° (0 rad) 0 1 0 δεν ορίζεται
30° (π/6 rad) 1
2
3
2
3
3
3
45° (π/4 rad) 2
2
2
2
1 1
60° (π/3 rad) 3
2
1
2
3 3
3
90° (π/2 rad) 1 0 δεν ορίζεται 0
( )ηµ x ηµx− = − ( )συν x συνx− = ( )εφ x εφx− = − ( )σφ x σφx− = −
( )ηµ π x ηµx− = ( )συν π x συνx− = − ( )εφ π x εφx− = − ( )σφ π x σφx− = −
8. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
8
( )ηµ π x ηµx+ = − ( )συν π x συνx+ = − ( )εφ π x εφx+ = ( )σφ π x σφx+ =
π
ηµ x συνx
2
− =
π
συν x ηµx
2
− =
π
εφ x σφx
2
− =
π
σφ x εφx
2
− =
π
ηµ x συνx
2
+ =
π
συν x ηµx
2
+ = −
π
εφ x σφx
2
+ = −
π
σφ x εφx
2
+ = −
( )ηµx ηµθ x 2κπ θ ή x 2κπ π θ , κ= ⇔ = + = + − ∈ℤ
συνx συνθ x 2κπ θ ή x 2κπ θ, κ= ⇔ = + = − ∈ℤ
εφx εφθ x κπ θ, κ= ⇔ = + ∈ℤ
σφx σφθ x κπ θ, κ= ⇔ = + ∈ℤ
ηµx 0 x 0 x 0 x κπ, κεϕ εϕ εϕ= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ
συνx 0 σφx 0 σφx x κπ , κ
2 2
π π
σϕ= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ
10. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
10
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ∆ΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ∆ΟΣ
( )ν 1α α ν 1 ω= + −
( ) ( )( )11 ν
ν
2α ν 1 ω να α ν
S
2 2
, , . . . 2α β γ δ ο α π β α γ
+ −+
= =
⇔ = +
ν 1
ν 1α α λ −
= ⋅
Αν
ν
ν 1
λ 1
λ 1 S α
λ 1
−
≠ ⇒ = ⋅
−
Αν
ν 1λ 1 S ν α= ⇒ = ⋅
2
. . . . , .α β γ δ ο γ π β αγ⇔ =
( )
1
ν ν 1
S 1 2 3 ... ν
2
+
= + + + + =
( )( )2 2 2 2
2
ν ν 1 2ν 1
S 1 2 3 ... ν
6
+ +
= + + + + =
( )
( )
2
23 3 3 3
3 1
ν ν 1
S 1 2 3 ... ν S
2
+
= + + + + = =
Έστω α ένας θετικός αριθµός. Αν σε κάθε x∈ ℝ αντιστοιχίσουµε τη δύναµη α x,
τότε ορίζεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το ℝ και f (x) = α x.
Aν α = 1, τότε είναι f (x) = 1 για κάθε x∈ ℝ .
11. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
11
Για 0 < α ≠ 1, τότε η συνάρτηση f (x) = α x, x∈ ℝ ονοµάζεται εκθετική
συνάρτηση µε βάση α .
Οι βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης f (x) = α x, x∈R µε 0 <α ≠ 1
είναι οι εξής :
• Έχει πεδίο ορισµού το R .
• Έχει πεδίο τιµών το f (A) = (0,+ ∞ ).
∆ηλαδή για κάθε x∈R ισχύει α x >0.
• Η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y΄y στο σηµείο Α(0,1) και έχει
ασύµπτωτη τον άξονα x΄x .
• Η Εκθετική Συνάρτηση είναι ‘1-1’.
∆ηλαδή Ισχύει η ισοδυναµία 1
x
a = 2
x
a ⇔ x1 = x2
• Αν α >1, τότε είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
∆ηλαδή για κάθε x1,x2∈R ισχύει : αν x1 < x2 ⇔ 1
x
a < 2
x
a
• Αν 0<α<1, τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .
∆ηλαδή για κάθε x1,x2∈R ισχύει : αν x1 < x2 ⇔ 1
x
a > 2
x
a
12. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
12
Αν 0 < α ≠ 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων y = α x και y = α –x έχουν άξονα συµµετρίας τον άξονα y΄y.
• Ορισµός: x
αlog θ x α θ, 0 0 1θ και α και α= ⇔ = > > ≠
• Για τους λογάριθµους ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
1) x x x
αlog α x, log10 x, lne x= = = 2) αlog θ logθ lnθ
α θ, 10 θ, θe= = =
3) αlog 1 0, log1 0, ln1=0= = 4) αlog α 1, log10 1, lne=1= =
5) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ θ log θ log θ⋅ = + 6) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ :θ log θ log θ= −
7) κ
α αlog θ κ log θ= ⋅ 8) κ
α α
1
log x log x
κ
=
9) Τύπος αλλαγής βάσης: α
β
α
log θ
log θ
log β
=
Αν 0 < α ≠ 1 ,τότε για κάθε x >0 ορίζεται ο πραγµατικός αριθµός logαx.
Εποµένως αν σε κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό x αντιστοιχίσουµε τον
πραγµατικό αριθµό y = logαx ορίζεται µια νέα συνάρτηση f που έχει πεδίο
ορισµού το διάστηµα (0,+∞ ), πεδίο τιµών το R και για κάθε x > 0
13. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
13
είναι f (x) = logαx. Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση
το α .
Ιδιότητες
• = ⇔ =1 2 1 2
log loga a
x x x x
• Αν α >1, είναι γνησίως αύξουσα, που σηµαίνει ότι
< ⇔1 2
x x <1 2
log loga a
x x Ειδικά :
< ⇔1 2
x x <1 2
log logx x
< ⇔1 2
x x <1 2
ln lnx x
>log 0x ⇔ x >1 και <log 0x ⇔ 0 <x <1
lnx >0 ⇔ x >1 και <ln 0x ⇔ 0 <x <1
• Aν 0<α<1, είναι γνησίως φθίνουσα, που σηµαίνει ότι
< ⇔1 2
x x >1 2
log loga a
x x
Επειδή logαx = y ⇔ x = α y, οι γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της
λογαριθµικής συνάρτησης είναι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο της πρώτης
και τρίτης γωνίας των ορθογωνίων αξόνων.
14. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
14
αlog θ 0 1θ< < 1θ >
0 1α< < αlog θ>0 αlog θ<0
1α > αlog θ<0 αlog θ>0
Γραφική παράσταση της f λέγεται το σύνολο των σηµείων Μ(x,y) για τα οποία
ισχύει y=f(x) δηλ. = Μ = ∈f f
C { (x,y) / y f(x) και x D }
Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει µε τη f
C το πολύ ένα κοινό σηµείο.
Όταν δίνεται η f
C τότε:
▪ Η τιµή της f στο ∈0 f
x D είναι η τεταγµένη του σηµείου τοµής της ευθείας
= 0
x x και της f
C .
▪ Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο Α των τετµηµένων των σηµείων
της f
C
▪ Το σύνολο τιµών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγµένων των σηµείων
της f
C .
1. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων:
15. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
15
16. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
16
17. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
17
2. Αν ( ) ( )= −g x f x τότε δηµιουργούµε τη συµµετρική της f
C ως προς τον xx’.
3. Αν ( ) ( )=g x f x τότε αποτελείται από τα τµήµατα της f
C που βρίσκονται πάνω
από τον xx’ και από τα συµµετρικά ως προς τον άξονα xx’ των τµηµάτων της
f
C που δεν βρίσκονται πάνω απ’ αυτόν.
18. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
18
4. Κατακόρυφη – Οριζόντια Μετατόπιση JOYSTICK
Αν ( ) ( )= +g x f x κ τότε µετατοπίζουµε τη f
C
• κατά κ µονάδες προς τα πάνω αν >κ 0 ,
• κατά κ µονάδες προς τα κάτω αν <κ 0 .
Αν ( ) ( )= +g x f x κ τότε µετατοπίζουµε τη f
C
• κατά κ µονάδες δεξιά αν <κ 0 ,
• κατά κ µονάδες αριστερά αν >κ 0.
Εύρεση σηµείων τοµής της f
C µε x’x.
Λύνω την εξίσωση ( ) =f x 0 , αν 1 2
ρ ,ρ οι ρίζες της τότε τα σηµεία ( )( )1 2
ρ ,0 ρ ,0 είναι
οι τοµές µε τον x’x. (Τα σηµεία µπορεί να είναι από 0 έως άπειρα).
Εύρεση σηµείου τοµής της f
C µε y’y.
α. Αν ∈ f
0 D τότε θέτω =x 0 και βρίσκω το ( )f 0 . Το σηµείο τοµής είναι ( )( )0,f 0 .
β. Αν ∉ f
0 D η f
C δεν τέµνει τον y’y.
(Τα σηµεία τοµής είναι το πολύ ένα, αν υπάρχει είναι µοναδικό).
Κοινά σηµεία των f g
C ,C
Λύνω την εξίσωση =f(x) g(x) , αν 1 2
ρ ,ρ οι ρίζες της τότε τα σηµεία ( )( )1 1 2 2
ρ ,f(ρ ) ρ ,f(ρ )
είναι τα σηµεία τοµής των καµπυλών.
Σχετική θέση των f g
C ,C
19. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
19
Για να βρω το διάστηµα στο οποίο η f
C βρίσκεται πάνω από τον x’x (αντίστοιχα
κάτω από τον x’x) λύνω την ανίσωση ( ) >f x 0 (αντίστροφα ( ) <f x 0 ).
Για να βρω το διάστηµα στο οποίο η f
C βρίσκεται πάνω από την g
C (αντίστοιχα
κάτω από την g
C ) λύνω την ανίσωση ( ) >f x g(x) (αντίστοιχα ( ) <f x g(x) ).
Για να βρω τη σχετική θέση δύο καµπυλών βρίσκω το πρόσηµο της διαφοράς
( ) ( )∆ = −f x g x .
α. Σχηµατίζω το ∆ (∆εν είναι διακρίνουσα).
β. Μηδενίζω το ∆ και τις τιµές που βρίσκω τις βάζω σε πίνακα προσήµου.
γ. Αν ∆ > 0 τότε f
C πάνω από g
C .
Αν ∆ < 0 τότε f
C κάτω από g
C .
Αν ∆ = 0 τότε f
C , g
C τέµνονται.
( )= = + ≠ =2 2
α
y
α x,y α x y αν x 0 τότε λ
x
( ) ( ) ( )Α = − − ΑΒ = = − + −
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
x ,y B(x ,y ) AB (x x ,y y ) και AB x x y y
( ) = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
1 1 2 2 1 2 1 2
α x ,y β (x ,y ) α β α β συν α,β x x y y
⇔ = ⇔ ⋅ − ⋅ =1 2 1 2
α / / β det(α, β) 0 x y y x 0
⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ + ⋅ =1 2 1 2
α β α β 0 x x y y 0
• Εξίσωση γραµµής C ονοµάζεται µια εξίσωση της µορφής f(x, y) = 0 (µε
δύο µεταβλητές x, y) όταν για κάθε σηµείο ( )0 0
M x ,y ισχύει η ισοδυναµία
( ) ( )∈ ⇔ =0 0 0 0
M x ,y C f x ,y 0 .
• Γωνία ω που σχηµατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα x’x:
Ισχύει πάντα ≤ ω < π0
Επίσης ′ω = ⇔ ε0 / /x x
λ = εφω = συντελεστής διεύθυνσης της ε (εφόσον ε / / ′y y )
• Αν ( ) ( )1 1 2 2
A x ,y ,B x ,y είναι δύο σηµεία της ε µε ≠1 2
x x , τότε
−
λ =
−
2 1
2 1
y y
x x
• Αν οι ευθείες ε ε1 2
, έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ λ1 2
, αντίστοιχα, τότε
ε ε ⇔ λ = λ ε ⊥ ε ⇔ λ λ = −1 2 1 2 1 2 1 2
/ / και 1
20. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
20
• Αν µια ευθεία ε διέρχεται από το σηµείο ( )0 0
A x ,y και
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε έχει εξίσωση ( )− = λ −0 0
y y x x
είναι κατακόρυφη ( ′ε / /y y ), τότε έχει εξίσωση = 0
x x .
• Αν για µια ευθεία ε έχουµε ε / / ′y y , τότε η ε έχει εξίσωση της µορφής
= λ + βy x (λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε και β η τεταγµένη του
κοινού σηµείου της µε τον άξονα y’y).
• Αν ′ε / /y y (ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ), τότε η ε έχει εξίσωση της µορφής = 0
x x
( 0
x είναι η κοινή τετµηµένη όλων των σηµείων της ε).
• Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας: + + Γ = µε Α ≠Ax By 0 0 ή ≠B 0
• Η ευθεία µε εξίσωση + + Γ =Ax By 0 είναι:
παράλληλη στο διάνυσµα ( ) ( )δ = Β −Α δ = −Β Α, ή ,
κάθετη στο διάνυσµα ( ) ( )η = Α Β η = −Α −Β, ή ,
• Απόσταση σηµείου ( )0 0
M x ,y από ευθεία ε: + + Γ =Ax By 0 :
( )
Α + + Γ
ε =
Α + Β
0 0
2 2
x By
d M,
• Εµβαδόν τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ:
( ) ( )ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ
1
det ,
2
ΚΥΚΛΟΣ
Εξίσωση κύκλου ακτίνας ρ:
( ) ( )− + − = ρ
2 2 2
0 0
x x y y (κέντρο Κ( )0 0
x ,y )
+ = ρ2 2 2
x y (κέντρο Ο(0,0))
Μοναδιαίος κύκλος + =2 2
C : x y 1 (κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1)
• Εξίσωση εφαπτοµένης κύκλου + = ρ2 2 2
C : x y (κέντρου Ο(0,0)) στο σηµείο
του ( )1 1
A x ,y : + = ρ2
1 1
xx yy
• Η εξίσωση + + + + Γ =2 2
x y Ax By 0 παριστάνει κύκλο, αν και µόνο αν
+ − Γ >2 2
A B 4 0
Στην περίπτωση αυτή το κέντρο είναι
− −
A B
K ,
2 2
και ακτίνα
Α + Β − Γ
ρ =
2 2
4
2
.
ΠΑΡΑΒΟΛΗ
Ορισµός παραβολής C, µε εστία Ε και διευθετούσα δ: ( ) ( )∈ ⇔ = δM C ME d M,
• Εξίσωση παραβολής C:
21. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
21
µε διευθετούσα δ: = −
p
x
2
και εστία
=
2p
E ,0 : y 2px
2
µε διευθετούσα δ: = −
p
y
2
και εστία
=
2p
E 0, : x 2py
2
• Εξίσωση εφαπτοµένης παραβολής C στο σηµείο της ( )1 1
A x ,y :
Αν =2
C : y 2px , τότε ε: ( )= +1 1
yy p x x
Αν =2
C : x 2py , τότε ε: ( )= +1 1
xx p y y
• Ανακλαστική ιδιότητα φ = φ1 2
ΕΛΛΕΙΨΗ
Ορισµός έλλειψης C µε εστίες Ε’, Ε: ( ) ( ) ( )′ ′∈ ⇔ + = α > Ε ΕM C ME ME 2
• Α’Α µεγάλος άξονας
• Β’Β µικρός άξονας
• Α, Α’, Β, Β’ κορυφές της έλλειψης
• Μήκος µεγάλου άξονα: (Α’Α) = 2α
• Μήκος µικρού άξονα: (Β’Β) = 2β
• Εστιακή απόσταση: (Ε’Ε) = 2γ
• Ισχύει α = β + γ2 2 2
• Εκκεντρότητα
γ
ε =
α
, < ε <0 1
• Εξίσωση έλλειψης µε εστίες Ε’(-γ,0), Ε(γ,0): + =
α β
22
2 2
yx
1
• Εξίσωση έλλειψης µε εστίες Ε’(0,-γ), Ε(0,γ): + =
β α
22
2 2
yx
1
• Εξίσωση εφαπτοµένης έλλειψης + =
α β
22
2 2
yx
C : 1 στο σηµείο της ( )1 1
M x ,y :
+ =
α β
1 1
2 2
xx yy
1
ΥΠΕΡΒΟΛΗ
Υπερβολή C µε εστίες Ε’ και Ε: ( ) ( ) ( )′ ′∈ ⇔ − = α α < Ε Ε = γM C ME ME 2 , 2 2
• Εξίσωση υπερβολής µε εστίες Ε’(-γ,0) και Ε(γ,0): − = β = γ − α
α β
22
2 2 2
2 2
yx
1,
Κορυφές: Α(α, 0), Α’(-α, 0)
Ασύµπτωτες:
β β
ε = ε = −
α α1 2
: y x, : y x
22. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
22
Εκκεντρότητα:
γ
ε = >
α
1
Ορθογώνιο βάσης:
Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ µε Κ(α, β), Λ(α, -β), Μ(-α, -β), Ν(-α, β)
Εξίσωση εφαπτοµένης στο ( ) − =
α β
1 1
1 1 2 2
xx yy
P x ,y : 1
• Εξίσωση υπερβολής µε εστίες Ε’(0,-γ) και Ε(0,γ): − = β = γ − α
α β
2 2
2 2 2
2 2
y x
1,
Κορυφές: Α(0,α), Α’(0,-α)
Ασύµπτωτες:
α α
ε = ε = −
β β1 2
: y x, : y x
Εκκεντρότητα:
γ
ε = >
α
1
Ορθογώνιο βάσης: Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ µε Κ(β, α), Λ(-β, α),
Μ(-β, -α), Ν(β, -α)
Εξίσωση εφαπτοµένης στο ( ) − =
α β
1 1
1 1 2 2
yy xx
P x ,y : 1
Κριτήρια ισότητας τριγώνων
1ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές
ίσες µία προς µία και την περιεχόµενη γωνία
τους ίση (Π-Γ-Π), τότε είναι ίσα.
2ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν µία πλευρά
ίση και τις προσκείµενες στην πλευρά αυτή γωνίες
ίσες µία προς µία (Γ-Π-Γ) , τότε είναι ίσα.
3ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές
Τους ίσες µία προς µία (Π-Π-Π), τότε είναι ίσα.
Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες.
Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.
Κριτήρια οµοιότητας τριγώνων
1ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν
δύο γωνίες ίσες µία προς µία, τότε
23. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
23
τα τρίγωνα είναι όµοια.
ΑΒ ΒΓ ΓΑ
= =
Α Β Β Γ Γ Α' ' ' ' ' '
2ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες µία προς µία και τις
περιεχόµενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όµοια.
3ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες µία προς µία,
τότε είναι όµοια.
Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο δύο οµόλογων
υψών τους.
Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο δύο οµόλογων
διχοτόµων τους.
Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο δύο οµόλογων
διαµέσων τους
Θεώρηµα Θαλή
Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες
τέµνουν δύο άλλες ευθείες τότε τα τµήµατα
που ορίζονται στη µία είναι ανάλογα προς τα
αντίστοιχα τµήµατα που ορίζονται στην άλλη.
∆ηλαδή αν ε1 // ε2 // ε3 , τότε
ΑΒ ΒΓ ΓΑ
= =
Α Β Β Γ Γ Α' ' ' ' ' '
Μέση Ανάλογος
Στην αναλογία 2α β
= ⇔ β = α⋅γ
β γ
οι µέσοι όροι είναι ίσοι. Αυτή η αναλογία
λέγεται συνεχής και ο β λέγεται µέση ανάλογος των α και γ.
Συζυγή Αρµονικά
Τα σηµεία Γ και ∆ είναι συζυγή αρµονικά των Α και Β,
αν τα τέσσερα σηµεία είναι συνευθειακά και
ΓΑ ∆Α
=
ΓΒ ∆Β
.
Τα τέσσερα σηµεία (Α, Β) και (Γ, ∆) λέµε ότι αποτελούν αρµονική τετράδα.
Θεώρηµα ∆ιχοτόµου
Σε τρίγωνο ΑΒΓ, αν Α∆ είναι η διχοτόµος
της γωνίας Α, τότε ισχύει:
∆Β ΑΒ
=
∆Γ ΑΓ
Μετρικές Σχέσεις Σε Ορθογώνιο
