80 ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γ΄. Οι πηγές είναι στην τελευταία σελίδα. Για απορίες , διορθώσεις , μη διστάσετε. Καλή Μελέτη.

1. Σχ. Έτη 17 – 18, 18 - 19
Γ΄ Λυκείου
Μαθηματικά
Ομάδων Προσανατολισμού
F> Επιλεγμένες και Επώνυμες
Ασκήσεις
Επιμέλεια H Κοσόγλου Ιορδάνη Msc μαθηματικού

2. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x1]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εξεταστούν ως τις τη μονοτονία οι κάτωθι συναρτήσεις H
α ) x@;@x+A : x³ ? β ) @xA +? γ )
3
x4 -
δ ) A+@ x1
e -
ε )
2x
x3
+
στ ) x + lnx
ζ )
1e
1e
x
x
+
-
2. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
f A(x) + f(x) + x
2
1
= > (?) για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι «?;?»<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f ;?(x)<
γ ) Να λυθεί η εξίσωση f ;?(xA ; x) = f ;?(A ; Ax)<
3. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =
ae
e
x
x
+
και g (x) = ln(x+β) : όπου
α: β oÎ < Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y΄y στο
2
1
- και η γραφική
παράσταση της g τέμνει τον x΄x στο @<
α ) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β<
β ) Να ορίσετε την συνάρτηση f go <
γ ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f go με τη
γραφική παράσταση της h(x) =
4
x-
<
4. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει
@f(; x) + f(x) = αe;x + ex t x : για κάθε x oÎ και α oÎ < Αν η γραφική
παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα y΄y στο ? <
α ) Να βρεθεί ο αριθμός α<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία<
δ ) Να λυθεί η ανίσωση H 03222122
>-++- --
xxee xx
5. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το R για την
οποία ισχύει f(ex+@) + f(x+A) = x : για κάθε x oÎ <

3. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x2]
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
β ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f(x) με τον x΄x<
γ ) Να λυθεί η ανίσωση H f(D ; f ;?(x@;B)) > ><
6. Δίνεται η συνάρτηση g (x) = ex + x t ?<
α ) Να μελετηθεί η g (x) ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g (x) με τον x΄x<
γ ) Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
( fg o )(x) = x ; ? : να αποδείξετε ότι η f(x) είναι προς ?;?<
δ ) Να βρείτε το f(?)<
7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f H (>: +∞)à R καθώς και η
συνάρτηση g (x) = f(x) t lnx<
α ) Να αποδείξετε ότι η g (x) είναι γνησίως φθίνουσα<
β ) Να λύσετε την ανίσωση H f(ex) ; f(e@) < x t @<
8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xA + α x + @ : α oÎ < Η γραφική παράσταση της
f o f τέμνει τον y΄y στο ?B<
α ) Να βρεθεί ο α<
β ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
γ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f(x) και f ;?(x)<
δ ) Να λύσετε την ανίσωση f( f( x ;@) ; C ) < f ;?(?B)<
9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ex;? : α oÎ <
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
β ) Αν ισχύει f ;?(B) = ? : τότε να βρεθεί ο α <
γ ) Δίνεται η συνάρτηση g(x) = @ ex;A + x t @ : να αποδείξετε ότι η g (x) είναι
?;?<
δ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων g (x) και g;? (x)<
10. Δίνεται η συνάρτηση f(x) H RàR για την οποία ισχύει
f A(x) + @ f(x) = ?@ex : x oÎ (?)<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x oÎ <
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της f(x) με τον y΄y<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H f( x ;A)=
2
22 1
e
lne ln
+ <

4. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x3]
11. Δίνεται η f(x) H RàR για την οποία ισχύει H f(f(x);@) = x (?)
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να αποδείξετε ότι f ;?(x) = f(x;@) : x oÎ <
γ ) Να λυθεί η εξίσωση H f(@ex ;?) = f ;?(A)<
12. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + e;x : g (x) = Aσυνx;?<
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) έχει ελάχιστο το @<
β ) Να βρεθούν τα ακρότατα της g (x)<
γ ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f(x) : g (x) <
13. Δίνεται η συνάρτηση f H (>: +∞)à R : για την οποία ισχύουν
f(?) + f(e) = @e+A και f(x) ; f(y) = ln
y
x
+@(x;y) : x : yÎ (>: +∞)<
α ) Να βρεθούν τα f(?) και f(e)<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x)είναι αντιστρέψιμη<
δ ) Να λύσετε την ανίσωση H B(x@ ; ?) <
83
10
2
2
+
+
x
x
ln <
14. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
f A(x) + Af(x) + x = > (?) : x oÎ <
α ) Να βρεθεί το f(>)
β ) Να αποδείξετε ότι η f(x)αντιστρέφεται και να βρεθεί η f ;?(x)<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα<
δ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x)είναι
κάτω από τον x΄x
ε ) Να λυθεί η ανίσωση H f( f( x +?) t ?A ) < @<
15. Δίνεται η συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει H
f(f(x)) + x = @>>B : χ RÎ (?)
Να δείξετε ότι H
α ) η f(x) είναι ?;?:
β ) f ;?(x) = ; f(x) + @>>B:
γ ) η f(x) δεν είναι γνησίως μονότονη:
δ ) f(>) + f(@>>B) = @>>B<

5. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x4]
16. Δίνεται η συνάρτηση f H Rà R για την οποία ισχύει H
f(α+β) = f(α) + f(β) : για κάθε α,β RÎ
α ) Να δείξετε ότι f(>) = >
β ) Να δείξετε ότι f(;x) = ; f(x)
γ ) Αν η f(x) = > έχει μοναδική ρίζα : να δείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται<
δ ) Να δειχθεί ότι H f;?(x+ψ) = f;?(x) + f;?(ψ) : x : ψ oÎ <
17. Έστω η f(x) η οποία για κάθε χ RÎ : ικανοποιεί τη σχέση H
fA(x) + Cf(x) + x = > (?)
α ) Αποδείξτε ότι η f(x) αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της<
β ) Βρείτε τα κοινά σημεία των Cf : Cf
;?<
18. Έστω f(x) για την οποία ισχύει H f(f(x)) = x A : για κάθε χ RÎ < (?)
α ) Αποδείξτε ότι η f(x) αντιστρέφεται<
β ) Να δειχθεί ότι H f(xA) = (f(x))A ΥΠΟΔΕΙΞΗ β ) βάλε όπου χ το f(x) στην (?)
γ ) Λύστε την εξίσωση H f(x) = x<
δ ) Αποδείξτε ότι H [f(;?)]A+ [f(?)]A = f(>)<
ε ) Αν f(F) = DB : υπολογίστε το f(@)<
19. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x
x
x
-
3
2
: g (x) =
x
x3
<
α ) Εξετάστε αν είναι ίσες οι f(x) : g (x)<
β ) Σχεδιάστε τη συνάρτηση h(x) =
î
í
ì
>
£-
0
0
x),x(f
x,x
και την ευθεία
y = ;x+@ στο ίδιο καρτεσιανό σύστημα και κατόπιν να λυθούν :
ι ) η εξίσωση h(x) + x t @ = >
ιι ) η ανίσωση h(x) + x t @ ≤ >
γ ) Η γραφική παράσταση της h(x) και η ευθεία y = ? σχηματίζουν
τρίγωνο: να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου
είναι Ε < ? τ< μ
Δημοσιεύτηκε στο fb την @B<>D<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό

6. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
xR]
20. Δίνεται f(?;ex) = x : x ≥ ><
α ) Να υπολογιστεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της f(x)<
β ) Να αποδειχθεί ότι H f(?;π@) > f(@;π@) και ότι η f(x) έχει ελάχιστη τιμή
το ><
γ ) Δίνεται η ω(x) =
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Ax),x(g
Bx,
x
x3
: όπου g (x) = f(x) +f(;x) και Α,Β τα
ευρύτερα δυνατά σύνολα στο R<
ι ) Να βρεθούν τα Α και Β<
ιι ) Να δειχθεί ότι ω(;x) = ;ω(x) για κάθε x στο R<
ιιι ) Να δειχθεί ότι η καμπύλη της t(x) = x@+αx : α < > : τέμνει την
γραφική παράσταση της ω(x) σε ένα μόνο σημείο<
Δημοσιεύτηκε στο fb την A><>D<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
21. Δίνεται ότι f(@x+?) = @x;A : x oÎ <
α ) Να δειχθεί ότι f(x) = x;B : x oÎ <
β ) Αν Αf = [;?:@] : να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω
συναρτήσεων H g(x)=f(@x;?) : h(x) = f(ln(x+?)) :φ(x)=f(e;x)
γ ) Αν f(t(x)) = lnx t ? : x > > : να βρεθεί η συνάρτηση )x(t
δ ) ι ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της w(x) = lnf(x); ))x(f(f-
ιι ) Να δειχθεί ότι w(x) ≤ lnB : για κάθε x wAÎ <
Δημοσιεύτηκε στο fb την >?<>E<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
22. Δίνεται η f(x) =
x1x
1
++
: x ³ ><
α ) Nα δείξετε ότι: f(x) = x1x -+
β ) να αποδείξετε ότι f(x) > > για κάθε x ³ >
γ ) να αποδείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
της<
δ ) Nα δειχθεί ότι για κάθε x ³ > ισχύει H f(x) £ ?
ε ) Να δειχθεί ότι η μέγιστη τιμή τις f(x) είναι το ?<
στ ) Nα λύσετε την εξίσωση H
( x1x -+ )( 1)8xx7xx 33
=-++-+ [ Ευκλείδης τεύχος CF ]

7. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x6]
23. Δίνεται η f(x) = x+ 1x2
+ < Να αποδείξετε ότι H
α ) f(x) > > για κάθε x RÎ
β ) η f(x) αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της<[ Ευκλείδης τεύχος CF ]
24. Δίνεται η f(ex) = lnx t ? : x > ?<
α ) Να βρεθεί η f(x)<
β ) Να δειχθεί ότι f( x ) < f(x+?) για κάθε x >?
γ ) Να δειχθεί ότι f;?(x) =
1+x
e
e : x oÎ <
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
ι ) 2
1 1)x(
)x(f
lim
x -+
>-
ιι ) 2
1
1 1)x(
)x(f
lim
x +
-
->-
ε ) Αν g(x) = f(ex) και το Ο(>:>) και Α(e:g(e)) και Γ(x: g(x)) με x > e : να
δειχθεί ότι η γωνία ΟΑΓ είναι μεγαλύτερη των G>><
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?E<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
25. Έστω f H (>:+∞) και για κάθε x > > ισχύει H x)x(fe )x(f
=× (?)
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γν.αύξουσα<
β ) Να υπολογιστεί το f(Α)<
γ ) Να λυθεί η f;?(ex) < lnB
δ ) Να βρεθεί το Π.Ο της g(x) = f(e+@συνx+?) και να λυθεί η g(x) = ?<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?F<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
26. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
x·f(x)≤ x@+Ax : x oÎ :
και το όριο )x(flim
x 0>-
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός<
α ) Να αποδειχθεί ότι )x(flim
x 0>-
= A<
β ) Να βρεθεί το όριο
21
4132
0 -+
-+--
>- )x(f
)x(f)x(f)x(f
lim
x
<
27. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
20
24
3
0
=
-+
+
>- x
x)x(f
lim
x
hm
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια H

8. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x7]
α ) )x(flim
x 0>-
β )
x
)x(f
lim
x 0>-
γ )
x
)x(f
lim
x hm0>-
δ ) 3
0
2
x
)x(f)x(f
lim
x
-
>-
28. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
1
5
24 2
2
=
-
--
>- x
)xx)(x(f
lim
x
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια H
α ) )x(flim
x 2>-
β ) )x(f)x(f)x(fxlim
x
2784 2
2
-+-
>-
]<
29. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
242
-+£- xx)x(f : για κάθε x oÎ <
Να βρεθούν τα όρια H
α ) )x(flim
x 0>-
β )
x
)x(f
lim
x 0>-
γ )
x
))x(f(
lim
x
hm
0>-
<
30. Έστω f(x) =
1
1
2
232
++
++-
xx
xx)(
l
ll
: λ oÎ <
α ) Να βρεθεί το )x(flim
x -¥>-
για κάθε λ oÎ <
β ) Αν λ = > : να υπολογιστούν H
ι ) )x(flim
x 1->-
ιι ) xx
xx
x e
)e)(x(f
lim
23
2
0 +-
+
>-
ιιι ) xx
xx
x e
)e)(x(f
lim
2
2
+
-
+¥>-
γ ) Αν λ = ? : να δειχθεί ότι H

9. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x8]
ι ) 02018
=×
+¥>-
)x)
x
)x(f
((lim
x
hm
ιι ) f(x) > ? για κάθε x στο (;@:>)
ιιι ) 3
43
43
2018
1
=
+
-
+
+
-¥>-
xx
xx
x
))(x(f
lim
δ ) Το όριο της περιμέτρου ορθ< Παραλληλογράμμου με μήκη ? μον και
f(x) μονάδες όταν xà+∞ είναι B μον< Τι μπορούμε να ισχυριστούμε για
το ορθογώνιο όταν xà+∞<
Δημοσιεύτηκε στο fb την @><>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
31. Έστω f(x) μη σταθερή συνάρτηση απ το R στο R και για κάθε x : y oÎ
ισχύει H f(x+y) = Af(x)f(y)<
α ) Να δειχθεί ότι f(>) =
3
1
<
β ) Να δειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x oÎ <
γ ) Επίσης : f(;x) =
)x(f9
1
<
δ ) Αν 0=
+¥>-
)x(flim
x
: τότε δείξτε ότι +¥=
-¥>-
)x(flim
x
<
Δημοσιεύτηκε στο fb τον Αύγουστο του ?F απ τον συνάδερφο Γ< Βεντούρη
32. Έστω f(x) = e;x t x και f(R) = R <
α ) Να δειχθεί ότι υπάρχει η f;?(x) και να συγκριθούν οι αριθμοί f;?(@>?F) :
f;?(@>?G)<
β ) Να λυθούν οι εξισώσεις
ι ) =- 2
x
e x@ + ? ιι ) f;?(x) = >
γ ) Να λυθούν οι ανισώσεις H
ι )
2
2
2 212
e
e
xxe xx -
++³--
ιι ) tlnx + 5
1 1
51
e
)(fe xln
+-³+ --
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια H

10. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x9]
ι ) ))x(f
x
(lim
x
-
+¥>-
hm2
1
ιι ) ]x)x(fxlim
x
2
+
+¥>-
ιιι ) )e)x(f(ln )x(f
x
lim +
-¥>-
Δημοσιεύτηκε στο fb την @C<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
33. Έστω f H RàR με f(@x) = xx
xx
-
-
+
-
44
44
: x oÎ <
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) =
14
14
+
-
x
x
<
β ) Να βρεθούν τα όρια )x(flim
x +¥>-
και )x(flim
x -¥>-
<
γ ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της<
δ ) Να βρεθεί το f(Α)<
ε ) Να υπολογιστεί η f ;?(x)<
στ ) Να βρεθούν τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της f ;?(x)<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?A<?><?F απ τον συνάδερφο Θ< Ξένο
34. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
f (
p
p
hmp 4232 -
=+- x
)x(f)e x
: για κάθε x oÎ
α ) Να αποδειχθεί ότι H f(?) + f(;?) = ;?
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα [>:π] : τέτοιο
ώστε να ισχύει H
f(συνξ) = ;συν
2
x
35. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H Rà(;∞ : ?) με f(>) = f(?) =
2
1
και η συνεχής συνάρτηση g (x) H Rà (
2
1
: +∞) : με g (@) =A και g (A) = ?<
Να αποδείξετε ότι H
α ) υπάρχει x? στο διάστημα (>:?) ώστε να ισχύει H f(x?) = @x?<
β ) υπάρχει x@ στο διάστημα (@:A) ώστε να ισχύει H g (x@) = x@
γ ) υπάρχει ξ oÎ : ώστε H f(ξ)g(ξ) = ξ<

11. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x10]
36. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) = xlnxx ---1
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρεθεί το f(Α)<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα x΄x
ακριβώς σε ένα σημείο<
37. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) = xlnex x
-+-- -
1
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρεθεί το f(Α)<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα x΄x
ακριβώς σε ένα σημείο<
38. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
f @(x) ; D f(x) = x@ : για κάθε x oÎ και
επιπλέον η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον y΄y στο σημείο με
τεταγμένη B<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) ≠ > : για κάθε x oÎ <
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
)x(f
x
lim
x
hm
+¥>-
: )x)x(f(lim
x
+
-¥>-
<
39. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει f(@) = A
και f(x)·f(f(x)) = @B : για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί η τιμή f(A)<
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ oÎ τέτοιο ώστε f(ξ) = D<
γ ) Να βρεθεί η τιμή f(D)<
40. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
7
0
=
+
>- x
x)x(f
lim
x
hm
α ) Να βρεθεί το όριο )x(flim
x 0>-
<
β ) Ομοίως το όριο
x
)x(f
lim
x 30hm>-
<

12. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x11]
41. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
ημ@x ≤ f(x) ≤ x@ : για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι συνεχής στο ><
β ) Να βρεθεί το όριο
x
)(f)x(f
lim
x
0
0
-
>-
<
42. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
8
110
=
-+
-
>- x
x)x(f
lim
x
Να βρεθούν τα παρακάτω όρια H
α ) )x(flim
x 0>-
β ) )
x
)x(f(lim
x
1
0
hm
>-
γ )
x
)x(f
lim
x 50hm>-
43. Δίνεται η συνάρτηση f H με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R :
επίσης για την f(x) ισχύει H
f A(x) +Af(x) ; @x = C : για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να οριστεί η αντίστροφη της<
γ ) Να βρεθεί το όριο
x
x)x(f
lim
x hm
hm 552 1
0
++-
>-
44. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
x·f(x)+ημAx = Bx ; Cx@ημ )
x
(
1
: για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
β ) Να υπολογιστούν τα όρια H )x(flim
x -¥>-
και )x(flim
x +¥>-
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = > έχει μια τουλάχιστον αρνητική
και μια τουλάχιστον θετική ρίζα<

13. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x12]
45. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
x·f(x)+@xB = Ax t ημx : για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί η τιμή f(>)<
β ) Να βρεθεί το όριο )x(flim
x +¥>-
<
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = > έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα<
46. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
5
1
2
1
=
-
+
>- x
)x(f
lim
x
και η Cf τέμνει τον y΄y στο σημείο Μ(>:A)<
α ) Να βρεθεί η τιμή f(?)<
β ) Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f(x) : g (x) = x@;? : έχουν
ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη xο ),( 10Î
γ ) Να υπολογιστεί το όριο
12
2
1 -
++
>- x
xx)x(f
lim
x
<
47. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : έτσι ώστε να ισχύει H
f A(x) +@ f(x) = x + ? : για κάθε x oÎ
α ) Να δειχθεί ότι η f είναι ?;?<
β ) Να αποδειχθεί ότι το σύνολο τιμών της f είναι το o και στη συνέχεια να
βρεθεί η αντίστροφη της<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα<
δ ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο ;?<
ε ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο xο oÎ <
48. Έστω f H RàR : για την οποία ισχύουν H
· συνεχής στο R:
· (x;x@)·f(x)=ημx t x : x < >
· f@(x) + f(x) = ex·(ex t ?) : x >>
· +¥=
+¥>-
)x(flim
x
α ) Να βρεθεί η τιμή f(>)<
β ) Να βρεθεί η f(x)<

14. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x13]
γ ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x)<
δ ) Να βρεθεί το )x(flim
x -¥>-
<
ε ) Να δείξετε ότι η εξίσωση H 0
1
=+
xx
)x(f
sun
: έχει τουλάχιστον μια ρίζα
στο (;π : ;
2
p
)< Δημοσιεύτηκε στο fb την >A<?><?F απ τον συνάδερφο Θ< Παπανδρέου
49. Έστω η συνάρτηση H f(x) =
î
í
ì
>-
£-
11
11
2
x,)x(
x,x
α ) Είναι συνεχής στο ? I
β ) Είναι παραγωγίσιμη στο ? I
γ ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x)
στο (@:?)<
50. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) =
x
4
:
α ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο τυχαίο Μ(xο : f(xο))
β ) Να δειχθεί ότι το τρίγωνο το οποίο σχηματίζει η προηγούμενη
εφαπτομένη με τους άξονες έχει σταθερό εμβαδόν<
γ ) Αν Α και Β τα σημεία που η εφαπτομένη στο Μ τέμνει τους άξονες : να
δειχθεί ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ<
51. Δίνεται η f(x) = @· 311 ++- )xln(
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της<
β ) Να αποδειχθεί ότι είναι ?;?<
γ ) Να οριστεί η αντίστροφη<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H f;?(?+x) = @<
52. Δίνεται η f(x) =
12
2
+x
x
α ) Εξετάστε τη μονοτονία της<
β ) Εξετάστε κυρτότητα και σημεία καμπής<
γ ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f(x) <
δ ) Να γίνει η γραφική της παράσταση<

15. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x14]
53. Δίνεται η f(x) = συν(lnx) : xÎ [?: eπ]<
α ) Να γίνει η μελέτη της < (μονοτονία-ακρότατα-σύνολο τιμών)
β ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της f(x) στο σημείο που η
γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον xx΄<
γ ) Εξετάστε την f(x) ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ <
δ ) Υπολογίστε το Ι = ò
p
e
dx)x(f
1
<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?A<>F<?F απ τη συνάδερφο Ν.Ψαθά
54. Έστω f(x) παραγωγίσιμη στο διάστημα [>:@>?C] με f(>)=> και
f(@>?C)=@>?C<
Να αποδειχθεί ότι H
α ) υπάρχει ένα τουλάχιστον x> Î (>:@>?C) τέτοιο ώστε να ισχύει H
f(x>) + x> = @>?C
β ) υπάρχουν τουλάχιστον ξ? : ξ@ Î (>:@>?C) τέτοια ώστε H f ΄(ξ?)·f ΄(ξ@) = ?<
55. Δίνεται η συνάρτηση f(x) με τύπο H f(x) = B∙ 2-x
e + A<
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της< Μονάδες E
β ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της< Μονάδες ?>
γ ) Να ορίσετε την f;?(x)< Μονάδες F
56. Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει H
xe)x(fe x)x(f
+=+ : x oÎ <
α ) Να δείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να λυθεί H f(lnx)= f(?;x@)
γ ) Να δείξετε ότι f(x) = x για κάθε x oÎ <
δ ) Να λυθεί H
2
x
e ; ex + x@ t x > > <
57. Δίνεται η f(x) = (x;?)·lnx ; ? : x > ><
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο [?:+∞) και γνησίως
φθίνουσα στο (>:?]<
β ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση H xx;? = e@>?A : x > > : έχει ακριβώς δυο
θετικές ρίζες<
γ ) Αν x? : x@ με x? < x@ είναι οι ρίζες του β) να αποδειχθεί ότι υπάρχει
xο Î( x? : x@) : τέτοιο ώστε να ισχύει H
f ΄(xο) + f(xο) = @>?@
δ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την συνάρτηση
g(x) = f(x) + ? :με x > > : τον x ΄x και την ευθεία x = e<

16. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x1R]
58. Δίνεται η συνεχής f H (>:+∞) à R : και ισχύει H
f@(x) + @lnx = ln@x + ? : x > >
α ) Να βρεθούν όλοι οι τύποι της παραπάνω συνάρτησης<
β ) Αν g(x) = ; 1-xln : x > > : να μελετηθεί ως προς την
παραγωγισιμότητα t μονοτονία t ακρότατα ; κυρτότητα<
γ ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της g έχει μοναδικό κοινό
σημείο με την ευθεία (ε) y = x;@ και να βρεθεί το κοινό σημείο<
δ ) Να γίνει η γραφική παράσταση της Cg : (ε) στο ίδιο σύστημα αξόνων<
ε ) Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται απ την Cg : την (ε) και την
ευθεία x = A<
Δημοσιεύτηκε στο fb την @C<>G<?F απ τη συνάδερφο Ν< Ψαθά
59. Δίνεται η f(x) =
î
í
ì
=
>
00
0
x,
x,xlnx
:
α ) να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο ><
β ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της<
γ ) Να βρεθεί το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης H
x = x
a
e για όλες τις τιμές του πραγματικού α<
δ ) Να αποδειχθεί ότι H f ΄(x+?) > f(x+?) ; f(x): για κάθε x >><
60. Έστω η f H RàR : δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν H
· f(>) = A και f΄(>) = ?
· f(x)· f ΄΄(x) t (f ΄(x))@ = @ex : για κάθε x ÎR<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x ÎR<
β ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι κυρτή στο R<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η g(x) = ln(f(x)) είναι κυρτή στο R<
δ ) Να αποδειχθεί ότι f(x) ≥ A 3
x
e για κάθε x ÎR<
ε ) Αν α : β : γ ÎR με α+ β+ γ = > : να δειχθεί ότι H f(α)·f(β)·f(γ)≥@E<

17. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x16]
61. Δίνεται η f(x) =
x
xln
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της και να δειχθεί
ότι H
x
e
xln
2
£ για κάθε x > ><
β ) Να συγκριθούν οι αριθμοί
11
10 :
10
11
γ ) Να βρεθούν οι α : β ÎR αν ισχύει ότι H
e
a
a
ea
b
b
b
4
=×
62. Δίνεται η f(x) = e@x ; B ex + A : x oÎ <
α ) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία t ακρότατα<
β ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
f(x) = )
x
x(lim
x
p
hm×
+¥>-
γ ) Να εξεταστεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής η f(x) <
δ ) Να γίνει η γραφική παράσταση της<
ε ) Να λυθούν οι ανισώσεις H
ι ) e@x +@ x + A < B ex
ιι ) @(f(Ax@+?); f(@x@+C)) > f@(@x@+C); f(Ax@+?)
Δημοσιεύτηκε στο fb την @A<>G<?F απ τη συνάδερφο Ν< Ψαθά
63. Δίνεται η f(x) =
î
í
ì
=
>
00
02
x,
x,)x(lnx
:
α ) να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο ><
β ) Να υπολογιστεί η f ΄(x)<
γ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f(x) τον x ΄x και
τις ευθείες x =? και x = e<
64. Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
2
2
+-
x
x
xln
<
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα<
β ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης H
@lnx = xA + x(@α;B) :
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού α<

18. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x17]
γ ) Να βρεθούν τα κ : λ : μ ώστε να ισχύει H
f(κ)+ f(λ) = A + μ@
65. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
20052
0
=
-
>- x
x)x(f
limx
α ) Να δειχθεί ότι f(>)=> και f ΄(>)=?
β ) Να βρεθεί ο λ oÎ ώστε 3
2 22
22
0
=
+
-
>- )x(fx
)x(fx
limx
l
γ ) Αν επιπλέον f ΄(x) > f(x) για κάθε x oÎ και η f(x) είναι
παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο o: να δειχθεί ότι H
ι ) x·f(x) > > : για κάθε x
*
oÎ
ιι ) c ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>>C
66. Έστω η f H RàR : παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν H
· f(x) ≠ > για κάθε x >><
· 2111
=+-
)(fe )(f
·
)x(fx
)x(f
)x(f 2
+
=¢ για κάθε x > ><
α ) Να βρεθεί το f(?)<
β ) Να δειχθεί ότι f(x) = x <
γ ) Να βρεθεί το όριο για τις διάφορες τιμές του λ ÎR<
))x(f)xx(f(lim
x
22
54 ×-++
+¥>-
l
δ ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της f(x) που διέρχονται από το (A:@)<
67. α ) Να λυθεί η εξίσωση 0122
=-- xex
: x oÎ
β ) Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f H RàR που ικανοποιούν
τη σχέση H f @(x) = 22
1
2
)xe( x
-- : x oÎ <
γ ) Αν f(x) = 122
-- xex
: x oÎ : να δειχθεί ότι η f(x) είναι κυρτή<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H
f( 3+xhm ); f( xhm )= f(x+A); f(x) : x ),x +¥Î 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?D t Θέμα Γ

19. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x18]
68. Έστω f H [>: +∞)à R μια συνάρτηση με f(?) = @e;? : η οποία είναι
συνεχής και ισχύει για κάθε x Î [>: +∞)
x@f ΄(x) ; f(x) + x
e
1
-
= > (?)
α ) Να δειχθεί ότι ο τύπος της f(x) είναι H
f(x) =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
>+
-
00
01
1 1
x,
x,e)
x
( x
β ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική
παράσταση της f(x) τον x΄x και τις ευθείες x = ? και x = λ : όπου > < λ < ?<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία : να βρεθούν οι ασύμπτωτες
της και να δειχθεί ότι f(x) < ? : για κάθε x ≥ > <
69. Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [>:A] : για την
οποία γνωρίζουμε ότι H
· Η γραφική παράσταση της f ΄(x) δίνεται στο παρακάτω σχήμαH
· f(>)=@ : f(?) = >
· Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής
παράστασης της f ΄(x) και των ευθειών x = > : x = A ισούται με F
τ.μ
· Η f(x) δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Ε.Τ στο [>:A]<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(A) = @ : f(@) = ;@ και να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια
xln
)x(f
lim
x 1>-
:
20 ->- )x(f
x
lim
x
< Δικαιολογήστε< Μονάδες F

20. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x19]
β ) Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η f(x) είναι γνησίως αύξουσα :
γνησίως φθίνουσα : κυρτή : κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και
σημείων καμπής της f(x)< Μονάδες F
γ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό xοÎ(@:A) για το οποίο δεν υπάρχει το
όριο
)x(f
lim
oxx
1
>-
< Μονάδες C
δ ) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f(x)< Μονάδες B
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?E t Θέμα Γ
70. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>+-
=
<£-+-
023
02
0
2
23
x,xx
x,
x,a
x
x phm
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) στο διάστημα [>:@] ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ
Αν η f(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της : τότε H
β ) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού α<
γ ) Να μελετηθεί η f(x)ως προς τη μονοτονία<
δ ) Να αποδειχθεί ότι H ò
-
-<<
2
2
1
2
3
p
p
p dx)x(f
ε ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( )x×-
2
p
= f( )e x-
×-
2
p
έχει μοναδική
λύση στο (>:?)<
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?E t Θέμα Δ
71. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύουν H
· είναι παραγωγίσιμη στο R:
· είναι κυρτή στο R:
· f(α)= f(β) = > : με α < β<
Δείξτε ότι H
α ) υπάρχει μοναδικό xo ÎR τέτοιο ώστε : f ΄(xo) = ><

21. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x20]
β ) η f(x) έχει ελάχιστη τιμή στο xo:
γ ) f(x) < > : για κάθε xÎ(α,β)
δ ) f(@>?E)+ f(@>@?)>@f(@>?G) ε ) +¥=
+¥>-
)x(flimx
72. Δίνεται η συνάρτηση g(x) H (>: +∞)à R : δυο φορές παραγωγίσιμη με
g΄΄(x) < > για κάθε x > > < Αν f(x) = g(x+@)+ g(@;x) και g(@) = > :
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x)<
β ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι άρτια<
γ ) Να εξεταστεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα<
δ ) Να εξεταστεί η f(x) ως προς τη κυρτότητα και τα Σ.Κ
ε ) Αν -¥=
>-
)x(glim
x 0
: να βρεθούν οι Κ.Α της f(x)<
στ ) Αν 2<a : να δειχθεί ότι H ò ò
-
+
-
=
a
a
a
a
dx)x(gdx)x(f
2
2
2
Δημοσιεύτηκε στο fb την >@<>C<?F απ τον συνάδερφο Γ< Βεντούρη
73. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2+x : g(x) =
3
4+x
<
α ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία τους και η σχετική τους θέση<
β ) Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο ;@ και στη συνέχεια να
μελετηθεί ως προς τη μονοτονία t ακρότατα t κοίλα και σύνολο τιμών<
γ ) Να γίνει η γρ< παράσταση της f<
δ ) Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται απ τις Cf : Cg<
ε ) Να εξετάσετε αν ορίζεται η f;? και να βρεθεί μαζί με το πεδίο ορισμού
της<
στ ) Να χαράξετε τις γρ< παραστάσεις των Cf : Cf
;? <
74. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(x@+?) : g(x) HRàR με g(>) = > και
g΄(x) =
1
1
2
+x
για κάθε xÎR<
α ) Μονοτονία-Ακρότατα-Κοίλα-Σ.Κ της f(x)<
β ) Έχει ασύμπτωτες η f(x): να γίνει χάραξη της<
γ ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε α : βÎ R : ισχύει H b
b
-£
+
+
a
a
ln
1
1
2
2
<

22. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x21]
δ ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα H Ι = ò
1
0
dx)x(xf
ε ) Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται απ τους
άξονες : την f(x) και την ευθεία x = ? είναι ίσο με Ε = @g(?) +ln@;@<
στ ) Να δειχθεί ότι η h(x) = g(x) + g(
x
1
) είναι σταθερή στο (>:+∞)<
ζ ) Να δειχθεί ότι : g(εφx) = x : για κάθε x Î(;
22
pp
, )< Υπόδειξη θέσε g(εφx)=φ(x)
75. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
x
x
hm
: x ÎΔ = (>:π)<
α ) Να δειχθεί ότι η φ(x) = x t @ημxσυνx + xσυν@x : είναι θετική στο Δ<
Υπόδειξη H Είναι δευτεροβάθμια ως προς συν@x : βρείτε τη Δ<
β ) Να δείξετε ότι : f ΄΄(x) =
x
)x(
3
hm
j
και η f(x) είναι κυρτή< Να βρεθούν οι
ασύμπτωτες της<
γ ) Εξετάστε τη μονοτονία t ακρότατα της f(x)< Να βρεθεί το σύνολο
τιμών της και να γίνει η γραφική της παράσταση<
δ ) Να δειχθεί ότι H )
xx
(
x -
+
+
=
- 1
1
1
1
2
1
1
1
2
ε ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα H J = ò
3
2
3
1
p
p hm
dx
x
στ ) Να δείξετε ότι H
ò
3
2
3
p
p
dx)x(f =
2
p
ò
3
2
3
p
p
dx
x
)x(f
=π·ln 3
Δημοσιεύτηκε στο fb την >B<>D<?F απ τον συνάδερφο Mπ< Στεργίου
76. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f H (>:+∞)àR για την οποία ισχύει H
(x@; x)·f ΄(x) + x·f(x) = ? : για κάθε x >>
α ) Να αποδειχθεί ότι H f(x) =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
¹<
-
11
10
1
x,
x,
x
xln

23. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x22]
β ) Να αποδείξετε ότι H ò ò=
a
a
dt
t
)t(f
dt)t(f
1
1
1
: για κάθε α > ><
γ ) Αν η g είναι αρχική της f(x) με g(?) = > : να αποδείξετε ότι η g είναι
κοίλη <
δ ) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την γρ< παράσταση
της g τον xx΄ και την ευθεία x = A: να αποδειχθεί ότι Ε < @<
Υπόδειξη H Χρησιμοποιήστε την κυρτότητα της g και την εφαπτομένη της στο (?:>)<
ε ) Αν Η αρχική της h(t) = tf(t) : t > > και α > > : να αποδείξετε ότι H
α·(g(α); g (
a
1
)) ≥ Η(α);Η(
a
1
)< Υπόδειξη HΠεριπτώσεις για το α<
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?C t Θέμα Δ
77. Δίνεται η παραγωγίσιμη f H RàR με f(>) = ? και την ιδιότητα H
f ΄(x)·(x@+?)+ x·f(x) = ? +@x·(x+ 12
+x ) : x ÎR
α ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g H RàR με
g(x) = 12
+x ·f(x) ; x 12
+x ; x@ t ? είναι σταθερή και ότι
f(x) = x + 12
+x : xÎR<
β ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα : το σύνολο
τιμών της και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης H 12
+x = @>?F t x<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τα κοίλα : να βρεθούν οι ασύμπτωτες και να
γίνει η χάραξη της<
δ ) Αν F είναι αρχική της f(x) να λυθεί η εξίσωση H F(@x)+F(Ax) =F(Bx)+ F(Cx)
ε ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη της είναι η
f ;?(x) =
x
x
2
12
-
<
στ ) Να λυθεί η εξίσωση H
xxxxx
e)ee)(ee( -----
=-+++ 22422
111 Υπόδειξη H Διαίρεσε όλους με e@;x<
Προτείνεται απ τον συνάδερφο Mπ< Στεργίου για τις Πανελλήνιες @>?F; Δ Θέμα
78. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xA+ x + ? : x Î R<

24. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x23]
α ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
f;?<
β ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f;?<
γ ) Να λυθεί η ανίσωση H f;?(x) ≥ x : x Î R<
δ ) Να υπολογιστεί το πρόσημο της f;?<
ε ) Να υπολογίσετε τους αριθμούς f;?(;?) : f;?(?)<
στ ) Να υπολογιστεί το όριο H )y(flim
y
1
11
-
>-
ζ ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της x = f;?(y) ως προς y για y=?<
η ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των f : f;?
και των ευθειών x = ;? : x = ?<
Γενική Άσκηση των συναδέρφων Μ.Χατζόπουλου-Β.Κακαβά-Θ.Ποδηματά-Α.Πάτση
Η λύση της είναι ΕΔΩ H httpH==lisari<blogspot<com=@>?F=>D=blog;post<html
79. Δίνεται η f(x) = x ; ,
x2
4
x
*
oÎ <
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία t ακρότατα
β ) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα t Σ.Κ
γ ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γρ< παράστασης της f(x)<
δ ) Να σχεδιαστεί η γρ< παράσταση της f(x)<
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?F t Θέμα Β
80. Δίνεται η f(x) =
2
2 xe ax
--
: x Î R με α > ?<
α ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε α > ? η γρ< παράσταση της f(x) έχει
ακριβώς ένα σημείο καμπής<
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μοναδικά x? : x@ Î R με x? < x@ τέτοια
ώστε η f(x) να παρουσιάζει Τ.Μ στο x? και Τ.Ε στο x@ <
γ ) Να αποδειχθεί ότι f ΄(?) < > για κάθε α > ?<
δ ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση H f(x) = f(?) είναι αδύνατη στο
διάστημα (α: x@ )<
ε ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο (@: f(@))<
στ ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα H ò --
3
2
222 dx)x(x <
ζ ) Να αποδειχθεί ότι H ò ->-
3
2 15
32
2dxx)x(f
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?F t Θέμα Δ

25. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x24]
ΠΗΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1. Πανελλαδικές Εξετάσεις t Επαναληπτικές Πανελλήνιες t Τέκνων του
Εξωτερικού<
2. Ενδοσχολικές Εξετάσεις Γε.Λ Εξαπλατάνου : σχολικά έτη ?B;?C : ?C;?D<
3. Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα στα Πρότυπα του Σχολικού
Βιβλίου: Ν.Ζανταρίδης-Π.Παντούλας-Β.Μαυροφρύδης-Κ.Τηλέγραφος:
Εκδόσεις Ζανταρίδης Τηλέφραφος: Μάρτιος @>?E<
4. Επανάληψη στα Μαθηματικά : Γιάννης Καραγιάννης Σχολικός Σύμβουλος
Μαθηματικών: Μάρτιος @>?E<
5. @ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Πανελληνίων @>?E : Γιάννης Καραγιάννης
Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών: Μάϊος @>?E<
6. www<studyBexams<gr= Προσπελάστηκε >D<>B<?
7. Επιλεγμένα Θέματα ΕΜΕ t Περιοδικά ΕΜΕ (Ευκλείδης Β΄)
8. Επιλεγμένες Ασκήσεις Προετοιμασίας: Άσκηση Εβδομάδας: Γε< Λ Γιαννιτσών :
σχολικό έτος ?C;?D : httpH==eisatopon<blogspot<gr=<
9. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ? : Β< Παπαδάκης :
Εκδόσεις Σαββάλας : @>>G<
10.Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ : τεύχος Β΄ :
Αθανάσιος Χ< Μπάρλας : Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική : @>?A<
11.Αναλύοντας την Ανάλυση : Γιώργος Τσαπακίδης : Εκδόσεις Μαυρίδη: @>?E<
12.Οδηγός Επανάληψης: Μαθηματικά Γ΄ : Μπ.Στεργίου-Χρ.Νάκης: Μαθηματική
Λέσχη: Ιανουάριος @>?F<
13.Προτεινόμενες ασκήσεις συναδέρφων: Ομάδες Μαθηματικών fb: σχολικά έτη
?E;?F: ?F;?G<

26. Σχ. Έτη 17 – 18, 18 - 19
Γ΄ Λυκείου
Μαθηματικά
Ομάδων Προσανατολισμού
7/ Επιλεγμένες και Επώνυμες
Ασκήσεις με Ενδεικτικές Λύσεις
Επιμέλεια 9 Κοσόγλου Ιορδάνη Lrb μαθηματικού

27. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x1]
7/ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
1. Να εξεταστούν ως τις τη μονοτονία οι κάτωθι συναρτήσεις 9
α | w1;1w+2 : w³ 0 β | 1w2 +0 γ |
3
x4 -
δ | 2+1 x1
e -
ε |
2x
x3
+
στ | w + kmw
ζ |
1e
1e
x
x
+
-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 ; w1 : e{w0| ;e{w1|< w0
1 •w1
1 ;1w0 + 1w1 <{w0; w1|{w0+w1 • 1|
e{w0| ;e{w1| ; / : άρα γνησίως αύξουσα στο Z0:+∞|-
β | e{w0| ;e{w1| < 1w0
2 ;0 • 1w1
2 +0 < 1{w0;w1|{w0
1 + w0 w1 + w1
1| ; / :
γιατί το άλλο τριώνυμο ως προς w0 : Δ < ;2w1
1 ; / άρα ομόσημο του 0-
γ | Α < {;¥ : 3 και w0; w1 Þ ;w0 = ;w1 Þ 3; w0 = 3 ;w1 Þ e{w0| =e{w1|
δ | w0; w1 Þ 0; w0 = 0; w1 Þ d0;w0 = d0;w1 Þ e{w0| =e{w1|
ε | w ¹ ;1 άρα Α < {;¥:;1| È{;1:+ ¥| < Α0 ÈΑ1 :
§ έστω w0 ; w1Î Α0: τότε λ <
)2x)(2x(
6
21 ++
= / : γνησίως αύξουσα στο Α0
§ έστω w0 : w1 Î Α1 : τότε λ = / άρα γνησίως αύξουσα στο Α1-
§ Όμως γενικά στο Α δεν είναι τίποτα γιατί e{;4| < +4 και e{+4| < 1-4
άρα ;4;4 και e{;4| = e{+4| -
στ | γνησίως αύξουσα : γιατί :
ζ | Βρίσκω το πρόσημο της παράστασης λ <
12
12
xx
)xEf)xEf
-
-
ή μόνο το
πρόσημο της διαφοράς )xEf)xEf 12 - ή γράφω την συνάρτηση
1e
1e
x
x
+
-
ως εξής
1e
1e
x
x
+
-
<
1
21
+
-+
x
x
e
e
<0 ;
1
2
+x
e
και δουλεύω κατασκευστικά : τελικώς
προκύπτει λ = / ή )xEf)xEf 12 - = / : δηλαδή η συνάρτηση μου είναι
γνησίως αύξουσα στο Q-

28. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x2]
2. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει
e 2{w| + e{w| + x
2
1
< / {0| για κάθε w oÎ -
α | Να αποδειχθεί ότι η e{w| είναι ª0;0º-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e ;0{w|-
γ | Να λυθεί η εξίσωση e ;0{w2 ; w| < e ;0{2 ; 2w|-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0| < e{w1| Þe2{w0| < e2{w1| {1|
Επίσης e{w0| < e{w1| {2| : προσθέτω {1|+{2| και προκύπτει μέσω της {0|
w0 < w1 άρα η e{w| είναι 0;0 και αντιστρέφεται-
β | Θεωρώ τη συνάρτηση f{w| < •1w2 ; 1w : w Î Q και f{Q| < Q-
Η f{w| είναι γνησίως φθίνουσα στο Q γιατί :
έστω w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Û w0
2 ; w1
2 Û ; 1w0
2 = ;1w1
2 {3|
w0 ; w1 Û ;1w0 = ;1w1 {4| -
Προσθέτω {3|: {4| και προκύπτει f{w0 |= f{w1| : άρα 0;0-
e 2{w| + e{w| + x
2
1
< / Û w < f{e{w|| Û f;0 {w| < e{w| : w Î Q-
Οι συναρτήσεις e : f ;0 έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και f;0 {w| < e{w| για κάθε
w Î Q άρα θα έχουν και το ίδιο σύνολο τιμών : άρα e{Q| < Q-
f;0 {w| < e{w| Û {f;0 |;0{w| < e ;0{w| Û f{w| < e ;0{w| Û
e ;0{w|< •1w2 ; 1w : wÎQ-
γ | e ;0{w2 ; w| < e ;0{2 ; 2w| Û w2; w < 2;2w Û w2 +1w • 2 < /Û
{w;0|{ w1+w+2| < / Û w < 0-
3. Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| <
ae
e
x
x
+
και f {w| < km{w+β| : όπου
α: β oÎ - Η γραφική παράσταση της e τέμνει τον x΄x στο
2
1
- και η γραφική
παράσταση της f τέμνει τον w΄w στο 1-
α | Να βρεθούν οι αριθμοί α και β-

29. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x3]
β | Να ορίσετε την συνάρτηση e go -
γ | Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της e go με τη
γραφική παράσταση της g{w| <
4
x-
-
ΛΥΣΗ
α | e{/|<
2
1
- Û 21
2
1
1
1
=--Û-=
+
a
a
Û α < ;2
f {1| < / Û km{1+β| < km0 Û 1+β < 0 Û β < ;0
β | Η e go έχει πεδίο ορισμού το :
Α < z w Î{0:+ ∞| και km{w;0|≠km2| < z w =0 και w≠3| < {0:3|È{3:+ ∞|-
e go {w|< e{f{w|| <
4
1
31
1
31
1
-
-
=
--
-
=
--
-
x
x
x
x
e
e
)xlnE
)xlnE
-
γ | Λύνω την εξίσωση e go {w| < g{w| στο σύνολο Α-
Έχω : 04444
44
1 22
=-Û+-=-Û
-
=
-
-
xxxx
x
x
x
Û w < ° 1 : δεκτή η
λύση w < 1 που ανήκει στο Α-
Συνεπώς τα κοινό σημείο των δυο συναρτήσεων είναι το {1:
2
1
- |-

30. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x4]
4. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει
1e{;w| + e{w| < αd;w + dw • w : για κάθε w oÎ και α oÎ - Αν η γραφική
παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄x στο 0 -
α | Να βρεθεί ο αριθμός α-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
γ | Να μελετηθεί η e{w| ως προς τη μονοτονία-
δ | Να λυθεί η ανίσωση 9 03222122
>-++- --
xxee xx
ΛΥΣΗ
α | G e{w| τέμνει τον άξονα x΄x στο 0 άρα e{/| < 0-
Θέτω στη συναρτησιακή σχέση όπου w < / και έχω 9 1e{/| + e{/| < α + 0 Û
2e{/| < α+0 Û α < 1-
β | 1e{;w| + e{w| < 1d;w + dw • w {0| για κάθε w oÎ :
θέτω όπου w το ; w στην {0| και είναι 9 1e{w| + e{;w| < 1dw + d;w + w {1|
Πολλαπλασιάζω την {1| επί ;1 : ;3e{w| ;1e{;w| < ;3dw ;1d;w ;1w {2|
Προσθέτω τις {0| και {2| και έχω 9 ;2e{w| < ;2dw • 2w Û e{w| < dw + w : w oÎ
γ | Έστω w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Þ 21
21
xexe xx
+<+ Þe{w0| ; e{w1| : άρα η
e{w| είναι γν- αύξουσα στο Q-
δ | 03222122
>-++- --
xxee xx
Û xexe xx
212 21222
-+>-+ --
Û e{w1;1| = e{0;1w| Û w1;1 = 0;1w Û w1+1w;2 = / Û {w+2|{w;0|=/Û
wÎ{;∞:;2|È{0:+∞|-
5. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση e{w| με πεδίο ορισμού το Q για
την οποία ισχύει e{dw+1| + e{w+2| < w : για κάθε w oÎ -
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-
β | Να βρεθούν τα σημεία τομής της e{w| με τον w΄w-
γ | Να λυθεί η ανίσωση 9 e{5 ; e ;0{w1;3|| = /-
ΛΥΣΗ
α | Η e{w| είναι γν- φθίνουσα στο Q άρα 0;0 : συνεπώς αντιστρέφεται στο Q-
β | Όπου w < / : είναι e{d/+1| + e{/+2| < / Û 1e{2| < / Û e{2|</ και η e{w|
είναι γνησίως φθίνουσα άρα τέμνει τον ww΄ μοναδικά στο {2:/|-

31. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
xR]
γ | Αρχικά θα αποδείξουμε την εξής πρόταση 9 ª Αν e{w| είναι γνησίως φθίνουσα
στο Α: τότε η e;0{w| είναι γνησίως φθίνουσα στο e{Α|º-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω μια γνησίως φθίνουσα e{w| στο Α- Και ψ0 : ψ1Îe{Α| • διάστημα: με ψ0 ; ψ1 -
Υποθέτω ότι η e;0{w| δεν είναι γνησίως φθίνουσα : τότε 9
ψ0 ; ψ1 Þ e;0(ψ0| ≤ e;0(ψ1| Þ e{e;0(ψ0|| ³ e{e;0(ψ1|| διότι η e{w| γνησίως
φθίνουσα : άρα προκύπτει ψ0 ³ ψ1 Άτοπο -
Άρα η e;0{w| είναι και αυτή γνησίως φθίνουσα στο e{Α|-
Τα παραπάνω ισχύουν ΠΑΝΤΑ υπό την προϋπόθεση ότι το e{@| είναι διάστημα-
Τώρα έχω :
e{5 ; e ;0{w1;3|| = / Û e{5 ; e ;0{w1;3|| = e{2| Û 5 ; e ;0{w1;3| ; 2
Û 2 ; e ;0{w1;3| Û e;0{/| ; e ;0{w1;3| Û / = w1 • 3 Û w Î{;1:1|-
6. Δίνεται η συνάρτηση f{w| < dw + w • 0-
α | Να μελετηθεί η f{w| ως προς τη μονοτονία-
β | Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f {w| με τον w΄w-
γ | Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει 9 { fg o |{w| < w ; 0
να αποδείξετε ότι η e{w| είναι προς 0;0-
δ | Να βρείτε το e{0|-
ΛΥΣΗ
α | Όμοια λύση με Άσκηση 3 ερώτημα {γ|- Προκύπτει ότι η f{w| είναι γν-
αύξουσα στο Q-
β | f{/| < / και η f{w| είναι γν- αύξουσα στο Q : άρα διέρχεται απ την αρχή των
αξόνων-
γ | Αρχικά η f{w| έχει πεδίο ορισμού το Q και η e{w| έχει πεδίο ορισμού Q άρα η
f{e{w|| έχει πεδίο ορισμού το Q-
Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0 | < e{w1 | και η f{w| είναι γνησίως αύξουσα άρα 0;0-
Συνεπώς e{w0 | < e{w1 | Þ f{e{w0|| < f{e{w1|| Þ w0 ;0 < w1 ;0 Þ w0 < w1
δ | { fg o |{w| < w ; 0 Û { fg o |{0| < / και f{/| < / συνεπώς :

32. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x6]
{ fg o |{0| < f{/| Û e{0| < /-
7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση e 9 {/: +∞|à Q καθώς και η
συνάρτηση f {w| < e{w| • kmw-
α | Να αποδείξετε ότι η f {w| είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της-
β | Να λύσετε την ανίσωση 9 e{dw| ; e{d1| ; w • 1-
ΛΥΣΗ
α | Η f{w| είναι διαφορά δυο συναρτήσεων των e{w| και g{w| < kmw-
Αe < {/: +∞| και @g < {/: +∞| : άρα @f < {/: +∞|-
Για οποιαδήποτε w0 : w1 Î{/: +∞| με w0 ; w1 Þ ;kmw0 = ; kmw1 {0|
Για οποιαδήποτε w0 : w1 Î{/: +∞| με w0 ; w1 Þ e{w0 | = e{w1 | {1|
Προσθέτω {0| και {1| και προκύπτει f{w0| = f{w1| : άρα η f{w| γν- φθίνουσα στο
{/: +∞|-
β | G ανίσωση έχει πεδίο ορισμού το {/: +∞|- Είναι 9
e{dw| ; e{d1| ; w • 1 Û e{dw| • w ; e{d1| • 1 Û
e{dw| • kmdw ; e{d1| • kmd1 Û f{dw| ; f{d1| Û dw = d1 Û w = 1: Δεκτή-
8. Δίνεται η συνάρτηση e{w| < w2 + α w + 1 : α oÎ - Η γραφική παράσταση της
e o e τέμνει τον x΄x στο 03-
α | Να βρεθεί ο α-
β | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-
γ | Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων e{w| και e ;0{w|-
δ | Να λύσετε την ανίσωση e{e{ x ;1| ; 4| ; e ;0{03|-
ΛΥΣΗ
α | Η e{w| έχει πεδίο ορισμό το Q : άρα και η e oe έχει το Q-
Η γραφική παράσταση της e o e τέμνει τον x΄x στο 03 άρα { e o e|{/| <03 Û
e{e{/||<03 και e{/| < 1 : άρα Û e{1| < 03 Û 7+1 α + 1 < 03 Û
1 α < 3 Û α < 1-

33. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x7]
β | e{w| < w2 + 1 w + 1 : είναι γνησίως αύξουσα : δοκιμάστε με τον ορισμό : και
άρα 0;0 και αντιστρέφεται-
γ | Αρχικά θα αποδείξουμε την εξής πρόταση 9 ª Αν e{w| είναι γνησίως αύξουσα
στο Α: τότε η e;0{w| είναι γνησίως αύξουσα στο e{Α|º-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω μια γνησίως αύξουσα e{w| στο Α- Και ψ0 : ψ1Îe{Α| • διάστημα: με ψ0 ; ψ1 -
Υποθέτω ότι η e;0{w| δεν είναι γνησίως αύξουσα : τότε 9
ψ0 ; ψ1 Þ e;0(ψ0| ≥ e;0(ψ1| Þ e{e;0(ψ0|| ³ e{e;0(ψ1|| διότι η e{w| γνησίως
φθίνουσα : άρα προκύπτει ψ0 ³ ψ1 Άτοπο -
Άρα η e;0{w| είναι και αυτή γνησίως αύξουσα στο e{Α|-
Τα παραπάνω ισχύουν ΠΑΝΤΑ υπό την προϋπόθεση ότι το e{@| είναι διάστημα-
Κατόπιν θα αποδείξουμε την εξής πρόταση 9
«Αν η e{w| είναι γνησίως αύξουσα : τότε e{w| < e;0{w| Û w < e{w|º-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
{ Þ | Έστω ότι e{w| = w Þ e;0{e{w|| =e;0(χ| Þ w =e{w| Άτοπο : ομοίως αν θεωρήσω ότι e{w| ; w θα
καταλήξω σε άτοπο : άρα e{w| < w-
{ Ü | Αν e{w| < w Þ w < e;0{w| < e{w| -
Συνεπώς για να βρώ τα κοινά σημεία των e : e;0 λύνω ως προς w την :
e{w| < w Û w2 + 1 w + 1 < w Û w2 + w + 1 < / Û {w+0|{w1;w+1| < / Û
w < ;0 : αρά κοινό σημείο το {;0: ;0|-
δ | Η ανίσωση έχει πεδίο ορισμού το Q-
e{e{ x ;1| ; 4| ; e ;0{03| Û e{e{ x ;1| ; 4| ; 1 Û e{e{ x ;1| ; 4| ; e{/|
Û e{ x ;1| ; 4 ; / Û e{ x ;1| ; 4 Û e{ x ;1| ; e{0| Û x ;1 ; 0 Û
x ; 2 Û ;2 ; w ; 2-
9. Δίνεται η συνάρτηση e{w| < α + dw;0 : α oÎ -
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-

34. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x8]
β | Αν ισχύει e ;0{3| < 0 : τότε να βρεθεί ο α -
γ | Δίνεται η συνάρτηση f{w| < 1dw;2 + w • 1 : να αποδείξετε ότι η f {w| είναι
0;0-
δ | Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f {w| και f;0 {w|-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;7- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες ΜΗ
διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
10. Δίνεται η συνάρτηση e{w| 9 QàQ για την οποία ισχύει
e 2{w| + 1 e{w| < 01dw : w oÎ {0|-
α | Να αποδειχθεί ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -
β | Να βρείτε τα σημεία τομής της e{w| με τον x΄x-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι 0;0-
δ | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{ x ;2|<
2
22 1
e
lne ln
+ -
ΛΥΣΗ
α | e 2{w| + 1 e{w| < 01dw Û {e 1{w| + 1|e{w| < 01dw Απ τη σχέση αυτή
προκύπτει ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -
β | Για w < / στην παραπάνω σχέση και έχω 9 e 2{/| + 1e{/| < 01 Û
{e 1{/| + 1 e{/|+5|{ e{/|;1|< / Û e{/| < 1 : άρα τέμνει τον xx΄ στο {/:1|-
γ | Έστω w0 : w1 oÎ με e{w0| < e{w1| Þ e2{w0| < e2{w1| {0|
Επίσης 1e{w0| < 1e{w1| {1| : από πρόσθεση των {0| και {1| κατά μέλη έχω 9
e 2{w0| + 1e{w0| < e 2{w1| + 1e{w1| Þ „„-- w0 < w1 άρα η e{w| είναι 0;0-
δ | Πεδίο ορισμού της εξίσωσης είναι το Q- Είναι 9
e{ x ;2|<
2
22 1
e
lne ln
+ Û e{ x ;2|< 24 - Û e{ x ;2|<1 Û e{ x ;2|< e{/|
Û x ;2</ Û w < °2-
11. Δίνεται η e{w| 9 QàQ για την οποία ισχύει 9 e{e{w|;1| < w {0|
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι 0;0-
β | Να αποδείξετε ότι e ;0{w| < e{w;1| : w oÎ -

35. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x9]
γ | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{1dw ;0| < e ;0{2|-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;0/- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
12. Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| < dw + d;w : f {w| < 2συνw;0-
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| έχει ελάχιστο το 1-
β | Να βρεθούν τα ακρότατα της f {w|-
γ | Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των e{w| : f {w| -
ΛΥΣΗ
α | Είναι Α < Q : για w </ είναι e{/| < 1- Συνεπώς η e{w| παίρνει την τιμή 1-
Αρκεί να δείξω ότι 9 e{w| ≥ 1 για κάθε w στο Α-
Είναι e{w|≥1 Û dw + d;w ≥1 Û d1w + 0 ≥ 1dw Û {dw • 0|1 ≥ / : που ισχύει-
β | Η f{w| έχει πεδίο ορισμού το Q και περίοδο 1π: είναι μια μετατόπιση της
3συνw μια θέση προς τα κάτω- Επίσης έχω :
;0 ≤ συνw ≤0 Û ;2≤3συνx≤2 Û ;3 ≤ 2συνw • 0 ≤ 1 : ακρότατες τιμές το ;3
για w <{1λ;0|π και 1 για w <1κπ : κ: λ wÎ -
γ | Από {α| και {β| προκύπτει ότι οι δυο συναρτήσεις τέμνονται μόνο στο {/:1|-

36. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x10]
13. Δίνεται η συνάρτηση e 9 {/: +∞|à Q : για την οποία ισχύουν
e{0| + e{d| < 1d+2 και e{w| ; e{x| < km
y
x
+1{w;x| : w : xÎ {/: +∞|-
α | Να βρεθούν τα e{0| και e{d|-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w|είναι αντιστρέψιμη-
δ | Να λύσετε την ανίσωση 9 3{w1 ; 0| ;
83
10
2
2
+
+
x
x
ln -
ΛΥΣΗ
α | e{0| + e{d| < 1d+2 {0| και θέτω στην άλλη σχέση όπου w<0 και x<d-
Είναι: e{0| ; e{d| < ;0+1{0;d| Û e{0| ; e{d| < 0;1d {1|
Προσθέτω τις {0| και {1| και προκύπτει 1e{0| <3 Û e{0| < 1 και e{d| < 1d+0-
β | e{w| ; e{x| < km
y
x
+1{w;x| {2| : w : xÎ {/: +∞|- Στην {2| θέτω όπου x<0 και
προκύπτει 9 e{w| ; e{0| < km x +1{w;0| Þ e{w| < kmw + 1w : w =/-
γ | Είναι γν.αύξουσα στο {/:+∞| - Δες Άσκηση 0 στ|- Άρα 0;0-
δ | Sn πεδίο ορισμού της ανίσωσης είναι το Q-
3{w1 ; 0| ;
83
10
2
2
+
+
x
x
ln Û km{w1 + 0/| + 1{w1 +0/| = km{2w1+7| + 1{2w1+7|Û
e{w1+0/| = e{2w1+7| Û w1+0/ = 2w1+7 Û w1 • 0 ; / Û ;0; w ;0-

37. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x11]
14. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
e 2{w| + 2e{w| + w < / {0| : w oÎ -
α | Να βρεθεί το e{/|
β | Να αποδείξετε ότι η e{w|αντιστρέφεται και να βρεθεί η e ;0{w|-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι γνησίως φθίνουσα-
δ | Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της e{w|είναι
κάτω από τον w΄w
ε | Να λυθεί η ανίσωση 9 e{ e{ x +0| • 02 | ; 1-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;02- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
15. Δίνεται η συνάρτηση e{w| για την οποία ισχύει 9
e{e{w|| + w < 1//3 : w oÎ {0|
Να δείξετε ότι 9
α | η e{w| είναι 0;0:
β | e{Q| < Q και κατόπιν ότι 9 e ;0{w| < ; e{w| + 1//3:
γ | η e{w| δεν είναι γνησίως μονότονη:
δ | e{/| + e{1//3| < 1//3-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0| < e{w1| Þ {eoe|{w0| < {eoe|{w1| Þ
1//3 ; w0 < 1//3 ; w1 Þ w0 < w1 : άρα 0;0-
β | Έστω τυχαίο xn ÎQ : αν θεωρήσουμε το wο < e{1//3 ; xn| έχουμε
Þ e{wο| < e{e{1//3 ; xn|| < 1//3 • 1//3 + xn < xn : άρα e{Q| < Q-
{e oe|{w| < 1//3 ; w : θέτω όπου w < e ;0{w| :
{e oe|{ e ;0{w|| < 1//3 ; e ;0{w| Û e{w| < 1//3 ; e ;0{w| Û
e ;0{w| < ; e{w| + 1//3-
γ | Έστω ότι η e{w| είναι γν- μονότονη και συγκεκριμένα γν- αύξουσα : τότε για
κάθε
w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Þ e{w0| ; e{w1| Þ {eoe|{w0| ; {eoe|{w1| Þ
1//3 ; w0 ; 1//3 ; w1 Þ w0 = w1 : ΑΤΟΠΟ : ομοίως για e{w| γν- φθίνουσα-

38. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x12]
δ | Θέτω στην {0| w < / : τότε e{e{/||< 1//3 Û e;0 {1//3| < e{/| {1|
Θέτω w < 1//3 στην σχέση β| και έχω 9 e ;0{1//3| < ; e{1//3| + 1//3 : η οποία
μέσω της {1| γίνεται e{/| < ; e{1//3| + 1//3 Û η ζητούμενη σχέση-
16. Δίνεται η συνάρτηση e 9 Qà Q για την οποία ισχύει 9
e{α+β| < e{α| + e{β| : για κάθε α: β oÎ
α | Να δείξετε ότι e{/| < /
β | Να δείξετε ότι e{;w| < ; e{w|
γ | Αν η e{w| < / έχει μοναδική ρίζα : να δείξετε ότι η e{w| αντιστρέφεται-
δ | Να δειχθεί ότι 9 e;0{w+ x| < e;0{w| + e;0{x| : w : x oÎ -
ΛΥΣΗ
α | α < β < / στη σχέση και e{/| < 1 e{/| Û e{/| < /-
β | α < w και β < ; w στη σχέση και e{/| < e{w| + e{;w| Û ;e{w| < e{;w|-
γ | Αν η e{w| < / έχει μοναδική ρίζα και από {α| είναι w < /-
Έστω w0: w1 oÎ με e{w0| < e{w1| Þ e{w0| ; e{w1| < / Þ e{w0| + e{;w1| < / Þ
e{w0; w1| < / Þ w0 ; w1 < / Þ w0 < w1 άρα η e{w| 0;0-
δ | Έστω ότι w < e{α| και x < e{β| : w : x oÎ .Τότε e ;0{w| < α και e ;0{x| < β-
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω είναι 9 e ;0{w| + e ;0{x| < α + β {0|-
Επίσης e{α+β| < e{α| + e{β| Û e{α+β| < w + x Û α+β < e ;0{w+ x| {1|-
Από {0| : {1| προκύπτει το ζητούμενο-
17. Έστω ότι υπάρχει e{w|: η οποία για κάθε w oÎ : ικανοποιεί τη σχέση 9
e2{w| + 4e{w| + w < / {0|
α | Αποδείξτε ότι η e{w| αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της-
β | Βρείτε τα κοινά σημεία των Be : Be
;0-
ΛΥΣΗ
α | Όμοια με Άσκηση 1 α| και β|- Η e;0{w| < ; w2 ; 4 w : w oÎ -

39. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x13]
β | | Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των e;0{w| : e{w| : τότε λύνουμε το
(Σ| 9
î
í
ì
=
=
-
)x(fy
)x(fy
1
: το οποίο είναι ισοδυναμεί
με το {Σ1| 9
î
í
ì
=
=
-
-
)x(fy
)y(fx
1
1
: μιας και γνωρίζω μόνο την e;0{w|
î
í
ì
=
=
-
-
)x(fy
)y(fx
1
1
Û
î
í
ì
--=
--=
xxy
yyx
5
5
3
3
Û
î
í
ì
-+-=-
--=
)xyExyxy
yyx
5
5
33
3
Û
î
í
ì
-+-=
--=
)xyExy
yyx
40
5
33
3
Û
î
í
ì
+++-=
--=
)xxyy)ExyE
yyx
40
5
22
3
Û
î
í
ì
=
--=
xy
yyx 53
Û
î
í
ì
=
--=
xy
xx 60 3
Û
î
í
ì
=
+=
xy
x)xE 60 2
Û
î
í
ì
=
=
0
0
y
x
-
Άρα μοναδικό σημείο τομής των Be : Be
;0 : το {/:/|-
18. Έστω e{w| για την οποία ισχύει 9 e{e{w|| < w 2 : για κάθε χ oÎ - {0|
α | Αποδείξτε ότι η e{w| αντιστρέφεται-
β | Να δειχθεί ότι 9 e{w2| < {e{w||2 ΥΠΟΔΕΙΞΗ β | βάλε όπου χ το e{w| στην {0|
γ | Λύστε την εξίσωση 9 e{w| < w-
δ | Αποδείξτε ότι 9 Ze{;0|2+ Ze{0|2 < e{/|-
ε | Αν e{7| < 53 : υπολογίστε το e{1|-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;06- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
19. Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| < x
x
x
-
3
2
: f {w| <
x
x3
-
α | Εξετάστε αν είναι ίσες οι e{w| : f {w|-
β | Σχεδιάστε τη συνάρτηση g{w| <
î
í
ì
>
£-
0
0
x)IxEf
xIx
και την ευθεία
x < ;w+1 στο ίδιο καρτεσιανό σύστημα και κατόπιν να λυθούν :

40. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x14]
ι | η εξίσωση g{w| + w • 1 < /
ιι | η ανίσωση g{w| + w • 1 ≤ /
γ | Η γραφική παράσταση της g{w| και η ευθεία x < 0 σχηματίζουν
τρίγωνο: να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου
είναι Ε ; 0 τ- μ
Δημοσιεύτηκε στο ea την 13-/5-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | Αe < {/:+∞| : @f < {/:+∞| : έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού-
Και για κάθε wÎ{/:+∞| είναι 9 e{w| < x
x
x
-
3
2
< x : f {w| <
x
x3
< x -
Άρα και το ίδιο τύπο για κάθε w στο Α συνεπώς είναι ίσες-
β |
ι | Για την εξίσωση g{w| + w • 1 < / Û g{w| < ; w + 1 : μας ζητάει τα κοινά
σημεία των 1 συναρτήσεων g{w| και της ευθείας x < ; w +1-

41. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x1R]
Σύμφωνα με το σχήμα βλέπουμε ότι είναι ένα και μοναδικό !
Αλγεβρικά λοιπόν :
Για / ; w ; 1 είναι x < 1 • w Û w < 3 ; 3w + w1 Û / < 3 ; 4w + w1 Û
w < 0 ή w < 3 {Απορρίπτεται απ τον περιορισμό / ; w ; 1|-
Άρα μοναδικό σημείο τομής το {0 : 0|-
ιι | Για την ανίσωση g{w| + w • 1 ≤ / Û g{w| ≤ ; w + 1 μας ζητάει τις τιμές του
w για τις οποίες η g{w| είναι ΚΑΤΩ απ την ευθεία x < ; w +1-
Σύμφωνα με το σχήμα είναι ; ∞ ; w ≤ 0 : γιατί:
γ |
Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου Ε : είναι αυστηρά μικρότερο απ το
εμβαδόν του τριγώνου {ΟΒΓ| < 0 τ.μ : άρα Ε ; 0-
20. Δίνεται e{0;dw| < w : w ≥ /-
α | Να υπολογιστεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της e{w|-
β | Να αποδειχθεί ότι 9 e{0;π1| = e{1;π1| και ότι η e{w| έχει ελάχιστη τιμή
το /-
γ | Δίνεται η ω{w| <
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Ax)IxEg
BxI
x
x3
: όπου f {w| < e{w| +e{;w| και Α,Β τα
ευρύτερα δυνατά σύνολα στο Q-
ι | Να βρεθούν τα Α και Β-
ιι | Να δειχθεί ότι ω{;w| < ;ω{w| για κάθε w στο Q-

42. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x16]
ιιι | Να δειχθεί ότι η καμπύλη της s{w| < w1+αw : α ; / : τέμνει την
γραφική παράσταση της ω{w| σε ένα μόνο σημείο-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 2/-/5-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | e{0;dw| < w : w ≥ / Û e{f{w|| < w: w ≥ / : όπου f{w| < 0 • dw : @f < Z/:+∞|-
t < f{w| < 0 • dw Û 0 • t < dw Û km{0;t| < w : w≥/ και t ≤ /-
Άρα e{f{w|| < w Û e{t| < km{0;t| Û e{w| < km{0;w| : @e<{;∞:/-
β | Η e{w| είναι γν- φθίνουσα συνάρτηση στο Αe- Άρα
e{0;π1| = e{1;π1| Û 0;π1 ; 1;π1 Û 0 ; 1 που ισχύει-
Η e{w| είναι γν- φθίνουσα συνάρτηση στο Αe : άρα e{Α| < Ze{/| : ))xEflim
x -¥>-
<
Z/: +∞|- Η ελάχιστη τιμή της είναι το / για w < /-
γ | ι| Η e{;w| έχει πεδίο ορισμού το Γ0 < z w oÎ και ; w≤/| < Z/:+∞|
Η e{w| έχει πεδίο ορισμού το {;∞:/-
Η f{w| < e{w|+ e{;w| έχει πεδίο ορισμού την τομή των παραπάνω : άρα το
μονοσύνολο z/|-
Συνεπώς Α < z/|- Το Β < Q*- Και :
ω{w| <
ï
î
ï
í
ì
==
+¥È-¥Î
00
00
3
xI)xEg
)IE)IExI
x
x

43. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x17]
ιι| Απλό : προσπαθήστε το : αν δεν τα καταφέρετε : μη διστάσετε-
ιιι | ω{w|< s{w| Û axx
x
x
+= 2
3
Û Για w = / είναι α w < / Αδύνατη-
Για w ; / είναι 9 ; w1 < w1 +α w Û / < w{w+α| Û w < ;α Αδύνατο-
Για w < / είναι / < w1 +α w Û / < w{w+α| Û w < ;α ή w < /-
Η καμπύλη της s{w| < w1+αw : α ; / : τέμνει την γραφική παράσταση της ω{w| σε
ένα μόνο σημείο το {/ : /|-
21. Δίνεται ότι e{1w+0| < 1w;2 : w oÎ -
α | Να δειχθεί ότι e{w| < w;3 : w oÎ -
β | Αν Αe < Z;0:1 : να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω
συναρτήσεων 9 f{w|<e{1w;0| : g{w| < e{km{w+0|| :φ{w|<e{d;w|
γ | Αν e{s{w|| < kmw • 0 : w = / : να βρεθεί η συνάρτηση )xEt
δ | ι | Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της v{w| < kme{w|; ))xEfEf-
ιι | Να δειχθεί ότι v{w| ≤ km3 : για κάθε w wAÎ -
Δημοσιεύτηκε στο ea την /0-/6-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | θέτω t < 1w+0 Û w <
2
1-u
: τότε e{1w+0| < 1w;2 Û e{t| < 1
2
1-u
;2

44. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x18]
Û e{t| < t;3 ή e{w| < w • 3 : w oÎ .
β | Αf < z w oÎ . ;0≤1w;0≤1 | < Z/:
2
1
Αg < z w = ;0 . ;0 ≤ km{w+0| ≤ 1 | < z w = ;0 . kmd;0 ≤ km{w+0|≤ kmd1 | <
z w = ;0 . d;0 • 0 ≤ w ≤ d1 ; 0 | < Zd;0 • 0 : d1 • 0 -
@φ < z w oÎ . ;0≤ d;w ≤ 1 | < z w oÎ . / ; d;w ≤ 1 | <
< z w oÎ . -w ≤ km1| < Zkm1:+∞|-
γ | e{s{w|| < kmw • 0 : w = /
e{s{w|| < s{w| • 3 : και απ αυτές τις δυο σχέσεις προκύπτει ότι 9
s{w| < kmw+2 : w = /
Άρα )xEt < 3+xln : με πεδίο ορισμού το παρακάτω διάστημα-
Β < z w = / και kmw+2 ≥ / | < z w = / και kmw ≥ ;2 | < z w = / και w ≥ d;2 | <
< Zd;2 : +∞ |-
δ ι | Είναι e{e{w|| < w • 3 • 3 < w • 7 Û ; e{e{w|| < 7 • w : w oÎ
Αv < z e{w| = / και 7 • w ≥ / | < z w;3 = / και w ≤ 7| < {3:7-
ιι | v{w| < km{w;3| ; x-8 : w wAÎ -
G συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα : γιατί :
w0 : w1 wAÎ με w0 ; w1 Þ km{w0 ;3| ; km{w1 ;3| {0|
w0 : w1 wAÎ με w0 ; w1 Þ ; 21 88 xx --<- {1|
Προσθέτοντας {0| +{1| προκύπτει v{w0| ; v{w1| : για κάθε w0 : w1 wAÎ -
Η μέγιστη τιμή της είναι η v{7| < km3 :άρα ισχύει το ζητούμενο-
22. Δίνεται η e{w| <
x1x
1
++
: w ³ /-
α | Mα δείξετε ότι: e{w| < x1x -+

45. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x19]
β | να αποδείξετε ότι e{w| = / για κάθε w ³ /
γ | να αποδείξετε ότι η e{w| αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
της-
δ | Mα δειχθεί ότι για κάθε w ³ / ισχύει 9 e{w| £ 0
ε | Να δειχθεί ότι η μέγιστη τιμή τις e{w| είναι το 0-
στ | Mα λύσετε την εξίσωση 9
{ x1x -+ |{ 1)8xx7xx 33
=-++-+ Z Ευκλείδης τεύχος 47
ΛΥΣΗ
α | Απλό: κάντε συζυγή παράσταση-
β | Α < Z/:+ ¥| και e{w| < x1x -+ = xx - < / άρα e{w| = /
γ | e{w0|< e{w1| Û 1x1x 21 +-+ < 21 xx - Û συζυγή παράσταση και
μετά χιαστί πολλαπλασιασμός και καταλήγω στο
{w0 ;w1| Ze{w0| +e{w1| < / Û η δεύτερη ποσότητα είναι =/ και προκύπτει sn
ζητούμενο-
x < e{w| Û x = / και x < x1x -+ Û x + =x 1x + Û υψώνω στο
τετράγωνο και 1 x x < 0;x1 Û x < {0;x1| . 1x και πρέπει να ισχύει
/;x£ 0 και τελικώς βρίσκω την αντίστροφη-
δ | e{/| < 0 και έστω ότι e{w| £ 0 Û x1x -+ £ 0 Û
1x1x +£+ και υψώνω στο τετράγωνο και καταλήγω στο 1 0x ³ που
ισχύει για κάθε w ³ /-

46. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x20]
ε | Για κάθε w ³ / : ισχύει e{w| £ e{/| : άρα„„
στ | Διαιρώ με τη δεύτερη παρένθεση και τα δυο μέλη και μετά κάνω συζυγή
παράσταση μόνο στο δεύτερο μέλος και προκύπτει 9 e{w| < e{w2+w;7| Û w < 1-
23. Δίνεται η e{w| < w+ 1x2
+ - Να αποδείξετε ότι 9
α | e{w| = / για κάθε χ oÎ
β | η e{w| αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της-
Z Ευκλείδης τεύχος 47
ΛΥΣΗ
α | e{w| < w+ 1x2
+ = w + x ³ / : γιατί ;w £ x £ w : για κάθε w
β | e{w0| < e{w1| Û και μετά από συζυγή παράσταση και προκύπτει 9
w0 ; -=+ 2
2
1 x1x 1x2
2 + {0| και επειδή ισχύει και η e{w0| <e{w1| {0| : τότε
προσθέτοντας κατά μέλη θα προκύψει w0 < w1-
x <e{w| Û x < w+ 1x2
+ : x = / γιατί το e{w| = / -
Και κάνω πάλι συζυγή και βγαίνει 9 x <
1xx
1
2
+-
-
Û 0.x < 1x2
+ ;w
0.x • x < 1x2
+ ;w;x Û 0.x •x < ;1wÛ x ;0.x < 1wÛ w <
y
y
2
12
-
w = /-
24. Δίνεται η e{dw| < kmw • 0 : w = 0-
α | Να βρεθεί η e{w|-

47. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x21]
β | Να δειχθεί ότι e{ x | ; e{w+0| για κάθε w =0
γ | Να δειχθεί ότι e;0{w| <
1+x
e
e : w oÎ -
δ | Να υπολογιστούν τα όρια 9
ι | 2
1 1)xE
)xEf
lim
x -+
>-
ιι | 2
1
1 1)xE
)xEf
lim
x +
-
->-
ε | Αν f{w| < e{dw| και το Ο{/:/| και Α{d:f{d|| και Γ{w: f{w|| με w = d : να
δειχθεί ότι η γωνία ΟΑΓ είναι μεγαλύτερη των 8//-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 06-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | θέτω t < dw Û w < kmt : τότε e{t| < km{kmt|;0 : w = 0
Û e{w| < km{kmw| •0 : w oÎ .
β | x ; w : για κάθε w = 0 : άρα x ; w + 0 Û „„„„
γ | x < e{w| Û „„„„ και λύνω ως προς w-
δ | ι | ;∞ ιι | +∞
ε | δείχνω ότι 9 0=× AGAO
25. Έστω e 9 {/:+∞| και για κάθε w = / ισχύει 9 x)xEfe )xEf
=× {0|
α | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι γν.αύξουσα-
β | Να υπολογιστεί το e{Α|-
γ | Να λυθεί η e;0{dw| ; km3
δ | Να βρεθεί το Π.Ο της f{w| < e{d+1συνw+0| και να λυθεί η f{w| < 0-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 07-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
26. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
w¶e{w|≤ w1+2w : w oÎ :
και το όριο )xEflim
x 0>-
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός-
α | Να αποδειχθεί ότι )xEflim
x 0>-
< 2-
β | Να βρεθεί το όριο
21
4132
0 -+
-+--
>- )xEf
)xEf)xEf)xEf
lim
x
-

48. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x22]
ΛΥΣΗ
α |
Ø Για κάθε w = / ισχύει e{w|≤ w+2 {0| Þ )xEflim
x +
>- 0
≤ 2 {1|
Ø Για κάθε w ; / ισχύει e{w|≥ w+2 {2| Þ )xEflim
x -
>- 0
≥ 2 {3|
Από {1| : {3| επειδή το όριο )xEflim
x 0>-
υπάρχει : τα πλευρικά θα υπάρχουν και
θα είναι ίσα με αυτό άρα )xEflim
x 0>-
< 2-
β | 14
0
-=-
>-
))xEfElim
x
; / Þ κοντά στο / ισχύει )xEf)xEf -=- 44
Το ζητούμενο όριο γίνεται 9
21
4132
0 -+
-+--
>- )xEf
)xEf)xEf)xEf
lim
x
<
))xEfE
))xEf)E)xEf)E)xEfE
lim
)xEf
)xEf)xEf
xx
lim
3
2113
0
0
21
34
0
2
0 -
++--
==
-+
+-
>->-
< 7-
27. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
20
24
3
0
=
-+
+
>- x
x)xEf
lim
x
hm
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια 9
α | )xEflim
x 0>-
β |
x
)xEf
lim
x 0>-
γ |
x
)xEf
lim
x hm0>-
δ | 3
0
2
x
)xEf)xEf
lim
x
-
>-
ΛΥΣΗ
α | Θεωρώ τη συνάρτηση : f{w| <
24
3
-+
+
x
x)xEf hm
: με πεδίο ορισμού το
Α<{;3:/| )IE +¥È 0 -

49. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x23]
Είναι: f{w| <
24
3
-+
+
x
x)xEf hm
Û e{w| < x)xEg)xE 324 hm--+ :
Άρα )xEflim
x 0>-
< / από ιδιότητες ορίων-
β | Για w ≠ / : είναι
x
x
)xEg
x
x
x
)xEf 324 hm
-×
-+
=
Υπάρχουν όλα τα επιμέρους όρια : άρα από ιδιότητες ορίων προκύπτει 9
x
)xEf
lim
x 0>-
<4 • 2 < 1
γ |
x
)xEf
lim
x hm0>-
< 2
1
2
0
==
>-
x
x
x
)xEf
lim
x hm
-
δ | 3
0
2
x
)xEf)xEf
lim
x
-
>-
< =
-
=
-
>->-
2
0
3
0
2
2
2
2
x
x
)xEf
x
)xEf
x
x
x
)xEf)xEf
limlim
xx
<{1;3|{+∞| < ;∞-
28. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
1
5
24 2
2
=
-
--
>- x
)xx)ExEf
lim
x
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια 9
α | )xEflim
x 2>-
β | )xEf)xEf)xEfxlim
x
2784 2
2
-+-
>-
-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;14- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
29. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
242
-+£- xx)xEf : για κάθε w oÎ -
Να βρεθούν τα όρια 9

50. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x24]
α | )xEflim
x 0>-
β |
x
)xEf
lim
x 0>-
γ |
x
))xEfE
lim
x
hm
0>-
-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;15- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
30. Έστω e{w| <
1
1
2
232
++
++-
xx
xx)E
l
ll
: λ oÎ -
α | Να βρεθεί το )xEflim
x -¥>-
για κάθε λ oÎ -
β | Αν λ < / : να υπολογιστούν 9
ι | )xEflim
x 1->-
ιι | xx
xx
x e
)e)ExEf
lim
23
2
0 +-
+
>-
ιιι | xx
xx
x e
)e)ExEf
lim
2
2
+
-
+¥>-
γ | Αν λ < 0 : να δειχθεί ότι 9
ι | 02018
=×
+¥>-
)x)
x
)xEf
EElim
x
hm
ιι | e{w| = 0 για κάθε w στο {;1:/|
ιιι | 3
43
43
2018
1
=
+
-
+
+
-¥>-
xx
xx
x
))ExEf
lim
δ | Το όριο της περιμέτρου ορθ- Παραλληλογράμμου με μήκη 0 μον και
e{w| μονάδες όταν wà+∞ είναι 3 μον- Τι μπορούμε να ισχυριστούμε για
το ορθογώνιο όταν wà+∞-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 1/-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
31. Έστω e{w| μη σταθερή συνάρτηση απ το Q στο Q και για κάθε w : x oÎ
ισχύει 9 e{w+x| < 2e{w|e{x|-
α | Να δειχθεί ότι e{/| <
3
1
-
β | Να δειχθεί ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -

51. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x2R]
γ | Επίσης : e{;w| <
)xEf9
1
-
δ | Αν 0=
+¥>-
)xEflim
x
: τότε δείξτε ότι +¥=
-¥>-
)xEflim
x
-
Δημοσιεύτηκε στο ea τον Αύγουστο του 07 απ τον συνάδερφο Γ- Βεντούρη
32. Έστω e{w| < d;w • w και e{Q| < Q -
α | Να δειχθεί ότι υπάρχει η e;0{w| και να συγκριθούν οι αριθμοί e;0{1/07| :
e;0{1/08|-
β | Να λυθούν οι εξισώσεις
ι | =- 2
x
e w1 + 0 ιι | e;0{w| < /
γ | Να λυθούν οι ανισώσεις 9
ι |
2
2
2 212
e
e
xxe xx -
++³--
ιι | •kmw + 5
1 1
51
e
)Efe xln
+-³+ --
δ | Να υπολογιστούν τα όρια 9
ι | ))xEf
x
Elim
x
-
+¥>-
hm2
1
ιι | ]x)xEfxlim
x
2
+
+¥>-
ιιι | )e)xEfEln )xEf
x
lim +
-¥>-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 14-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
33. Έστω e 9 QàQ με e{1w| < xx
xx
-
-
+
-
44
44
: w oÎ -
α | Να δειχθεί ότι η e{w| <
14
14
+
-
x
x
-
β | Να βρεθούν τα όρια )xEflim
x +¥>-
και )xEflim
x -¥>-
-
γ | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της-
δ | Να βρεθεί το e{Α|-
ε | Να υπολογιστεί η e ;0{w|-
στ | Να βρεθούν τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της e ;0{w|-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 02-0/-07 απ τον συνάδερφο Θ- Ξένο

52. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x26]
34. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει 9
e {
p
p
hmp 4232 -
=+- x
)xEf)e x
: για κάθε w oÎ
α | Να αποδειχθεί ότι 9 e{0| + e{;0| < ;0
β | Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα Z/:π : τέτοιο
ώστε να ισχύει 9 e{συνξ| < ;συν
2
x
35. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 Qà{;∞ : 0| με e{/| < e{0| <
2
1
και η συνεχής συνάρτηση f {w| 9 Qà {
2
1
: +∞| : με f {1| <2 και f {2| < 0-
Να αποδείξετε ότι 9
α | υπάρχει w0 στο διάστημα {/:0| ώστε να ισχύει 9 e{w0| < 1w0-
β | υπάρχει w1 στο διάστημα {1:2| ώστε να ισχύει 9 f {w1| < w1
γ | υπάρχει ξ oÎ : ώστε 9 e{ξ|f{ξ| < ξ-
ΛΥΣΗ
α | Η συνάρτηση ρ{w| < e{w| ; 1w είναι συνεχής στο Z/:0 και ρ{/|<
2
1
=/ρ{0| <
2
1
;1 < ;
2
3
;/ : άρα από Θ- Μπολζάνο υπάρχει ένα τουλάχιστον w0 στο {/:0| για
το οποίο ισχύει ρ{w0| < / ή e{w0| < 1w0-
β | Ομοίως εφαρμόζω Θ- Μπολζάνο για την συνάρτηση f {w| • w στο Z1:2-
Είναι συνεχής στο Z1:2 και f {1| • 1 < 0 =/ και f {2| • 2 < ;1 ; /: άρα υπάρχει
τουλάχιστον ένα w1 στο {1:2| τέτοιο ώστε f {w1| < w1-
γ | Ομοίως εφαρμόζω Θ- Μπολζάνο για την συνάρτηση κ{w| < e{w|f {w| • w στο
Zw0: w1 με w0 : w1 = /-
Είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και
κ{w0| < 1w0 f {w0| • w0 < w0{1f {w0| • 0| = / γιατί :
κ{w1| < e{w1| w1 • w1 < w1{e{w1| • 0| ; / γιατί :
Συνεπώς υπάρχει ξ o)xIxE ÌÎ 21 : ώστε 9 κ(ξ|< / ή e{ξ|f{ξ| < ξ-

53. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x27]
36. Δίνεται η συνάρτηση 9 e{w| < xlnxx ---1
α | Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία-
β | Να βρεθεί το e{Α|-
γ | Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄w
ακριβώς σε ένα σημείο-
ΛΥΣΗ
Πρέπει και αρκεί 9 0; w≥/ ΚΑΙ w≥/ ΚΑΙ w = / Û wÎ{/:0
Η e{w| συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων :
δηλαδή στο Δ < {/:0-
α | e ΄{w| < 0
1
2
1
12
1
<--
-
-
xxx
: για κάθε wÎ{/:0|
Þ e{w| γνησίως φθίνουσα στο {/:0-
β | Δ < {/:0 και e{w| γνησίως φθίνουσα στο Δ : άρα
e{Δ| < Z e{0| : ))xEflim
x +
>- 0
- e{0| < ;0
+¥=---= ++
>->-
)xlnxxE)xEf limlim
xx
1
00
Άρα e{Δ| < Z ;0 : +∞|
γ | Το /Îe{Δ| και η e{w| γνησίως φθίνουσα στο Δ: άρα η
γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα w΄w
ακριβώς σε ένα σημείο-
37. Δίνεται η συνάρτηση 9 e{w| < xlnex x
-+-- -
1
α | Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία-
β | Να βρεθεί το e{Α|-
γ | Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄w
ακριβώς σε ένα σημείο-
38. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει
e 1{w| ; 5e{w| < w1 : για κάθε w oÎ και
επιπλέον η γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον x΄x στο σημείο με
τεταγμένη 5-
α | Να αποδειχθεί ότι e{w| ≠ / : για κάθε w oÎ -

54. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x28]
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
γ | Να υπολογιστούν τα όρια 9
)xEf
x
lim
x
hm
+¥>-
: )x)xEfElim
x
+
-¥>-
-
ΛΥΣΗ
α | Έστω ότι υπάρχει wο ÎQ : τέτοιο ώστε e{wο | < /-
Αντικαθιστώ όπου w το wο στη συναρτησιακή σχέση και έχω 9
e 1{wο| ; 5e{wο| < 2
ox Û / < wο : άρα e{/| < / : όμως απ τα δεδομένα της
άσκησης ισχύει e{/|<5: Άτοπο απ το ορισμό της συνάρτησης- Άρα
e{w| ≠ / : για κάθε wÎ Q-
β | e 1{w| ; 5e{w| < w1 Û e 1{w| ; 5e{w| +8 < w1 +8 Û
{e{w| ;2|1 < w1 +8 : θέτω e{w| • 2 < f{w| : άρα f1 {w| < w1 + 8 {0|
Η f{w| είναι συνεχής στο Q και για κάθε w Î Q είναι f{w| ≠/ από {0|
Επίσης f{/| < e{/| • 2 < 5 • 2 < 2 =/
Άρα f{w| = / για κάθε w Î Q : και από {0| προκύπτει ότι 9
f{w| < 939 22
++=Þ+ x)xEfx : w Î Q-
γ |
)xEf
x
lim
x
hm
+¥>-
<
x
x
x
x
x
)xEf
x
x
limlim
xx 93 2
++
=
+¥>-+¥>-
hmhm
{1|
Το όριο 1
9
1
3
93 22
=
++
=
++
+¥>-+¥>- x
)
xx
Ex
x
x
limlim
xx
Επίσης 0=
+¥>- x
x
lim
x
hm
απ το Κριτήριο Παρεμβολής: άρα από {1| προκύπτει 9
)xEf
x
lim
x
hm
+¥>-
< /- )x)xEfElim
x
+
-¥>-
<
)
xx
E)xxE limlim
xx
3
9
9
39
2
2
+
-+
=¥-+¥=+++
-¥>--¥>-
<2
39. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει e{1| < 2
και e{w|¶e{e{w|| < 13 : για κάθε w oÎ -