Mathimatika yetikoy prosanatolismou

1. Β΄ Τεύχος
Μαθηματικά κατεύθυνσης
Γ΄ Λυκείου
Τετράδιο Επανάληψης
www.askisopolis.gr
Στέλιος Μιχαήλογλου
Ευάγγελος Τόλης

2. Απρίλιος 2016
Έκδοση α΄

3. Το βιβλίο αυτό θέλει να απαντήσει στην ερώτηση που συχνά θέτουν οι μαθητές: Τι
να κάνω επανάληψη; Από πού να ξεκινήσω και ποιες ασκήσεις να κάνω;
Προσπαθεί να βάλει σε μια σειρά τη γνώση των μαθητών που αποκτήθηκε όλη τη
σχολική χρονιά και έτσι οι μαθητές να έχουν σαφή εικόνα για την ύλη των
Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.
Ο μαθητής καλείται να μάθει τη θεωρία , να διαβάσει τη μεθοδολογία των βασικών
ασκήσεων, να μελετήσει ή και να λύσει μόνος του μια άσκηση από κάθε περίπτωση
και στη συνέχεια να εφαρμόσει την ύλη που μελέτησε σε μια όμοια άλυτη άσκηση για
λόγους εξάσκησης και εμπέδωσης.
Καλή μελέτη και εξάσκηση λοιπόν.
ΥΣ: Η εικόνα στο εξώφυλλο είναι πίνακας του Picasso.
Στέλιος Μιχαήλογλου
Ευάγγελος Τόλης

5. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
5
1. Εξίσωση εφαπτομένης
Εξίσωση ευθείας
Γνωρίζουμε ότι μία ευθεία ε, που διέρχεται από
σημείο  0 0A x ,y και έχει συντελεστή διεύθυνσης
  ,έχει εξίσωση  0 0: y y x x    
Αν τώρα η ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση
μίας συνάρτησης f στο σημείο Α, ισχύει:  0 0y f x
και  0f x    .
Οπότε, η ε έχει εξίσωση:     0 0 0y f x f x x x  
Παρατηρήσεις
Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε για τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη
της fC στο 0x με τον άξονα x x , ισχύει:
  00 90 f x 0
    
  o
090 180 f x 0
    
  0
00 f x 0    (εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x x ).
Μεθοδολογία ασκήσεων – Λυμένες ασκήσεις
1η Κατηγορία: Εξίσωση εφαπτομένης σε γνωστό σημείο   0 0M x ,f x
 Βρίσκουμε το  0f x , αν δεν δίνεται.
 Βρίσκουμε το  f x και στη συνέχεια το  0f x .
 Αντικαθιστούμε στον τύπο     0 0 0y f x f x x x   .
Σε περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου και ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης
στο σημείο αλλαγής τύπου, βρίσκουμε το  0f x , αν υπάρχει, με πλευρικές παραγώγους.
Εύρεση παραμέτρων
Όταν δίνεται μία συνάρτηση f και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε η fC να έχει
στο σημείο   0 0M x ,f x εφαπτομένη την y x    , τότε ισχύει ότι:
 0f x   και  0 0f x x    .
1.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο
0
x 1.
α)      3 21 5
f x x x 7x 1
3 2
β)  
   
 
  
3 2
2
x 3x 5, x 1
g x
x 7x 9, x 1
.
Λύση
www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
5
1. Εξίσωση εφαπτομένης
Εξίσωση ευθείας
Γνωρίζουμε ότι μία ευθεία ε, που διέρχεται από
σημείο  0 0A x ,y και έχει συντελεστή διεύθυνσης
  ,έχει εξίσωση  0 0: y y x x    
Αν τώρα η ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση
μίας συνάρτησης f στο σημείο Α, ισχύει:  0 0y f x
και  0f x    .
Οπότε, η ε έχει εξίσωση:     0 0 0y f x f x x x  
Παρατηρήσεις
Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε για τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη
της fC στο 0x με τον άξονα x x , ισχύει:
  00 90 f x 0
    
  o
090 180 f x 0
    
  0
00 f x 0    (εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x x ).
Μεθοδολογία ασκήσεων – Λυμένες ασκήσεις
1η Κατηγορία: Εξίσωση εφαπτομένης σε γνωστό σημείο   0 0M x ,f x
 Βρίσκουμε το  0f x , αν δεν δίνεται.
 Βρίσκουμε το  f x και στη συνέχεια το  0f x .
 Αντικαθιστούμε στον τύπο     0 0 0y f x f x x x   .
Σε περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου και ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης
στο σημείο αλλαγής τύπου, βρίσκουμε το  0f x , αν υπάρχει, με πλευρικές παραγώγους.
Εύρεση παραμέτρων
Όταν δίνεται μία συνάρτηση f και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε η fC να έχει
στο σημείο   0 0M x ,f x εφαπτομένη την y x    , τότε ισχύει ότι:
 0f x   και  0 0f x x    .
1.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο
0
x 1.
α)      3 21 5
f x x x 7x 1
3 2
β)  
   
 
  
3 2
2
x 3x 5, x 1
g x
x 7x 9, x 1
.
Λύση
www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
5
1. Εξίσωση εφαπτομένης
Εξίσωση ευθείας
Γνωρίζουμε ότι μία ευθεία ε, που διέρχεται από
σημείο  0 0A x ,y και έχει συντελεστή διεύθυνσης
  ,έχει εξίσωση  0 0: y y x x    
Αν τώρα η ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση
μίας συνάρτησης f στο σημείο Α, ισχύει:  0 0y f x
και  0f x    .
Οπότε, η ε έχει εξίσωση:     0 0 0y f x f x x x  
Παρατηρήσεις
Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε για τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη
της fC στο 0x με τον άξονα x x , ισχύει:
  00 90 f x 0
    
  o
090 180 f x 0
    
  0
00 f x 0    (εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x x ).
Μεθοδολογία ασκήσεων – Λυμένες ασκήσεις
1η Κατηγορία: Εξίσωση εφαπτομένης σε γνωστό σημείο   0 0M x ,f x
 Βρίσκουμε το  0f x , αν δεν δίνεται.
 Βρίσκουμε το  f x και στη συνέχεια το  0f x .
 Αντικαθιστούμε στον τύπο     0 0 0y f x f x x x   .
Σε περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου και ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης
στο σημείο αλλαγής τύπου, βρίσκουμε το  0f x , αν υπάρχει, με πλευρικές παραγώγους.
Εύρεση παραμέτρων
Όταν δίνεται μία συνάρτηση f και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε η fC να έχει
στο σημείο   0 0M x ,f x εφαπτομένη την y x    , τότε ισχύει ότι:
 0f x   και  0 0f x x    .
1.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο
0
x 1.
α)      3 21 5
f x x x 7x 1
3 2
β)  
   
 
  
3 2
2
x 3x 5, x 1
g x
x 7x 9, x 1
.
Λύση

6. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
6
α) Είναι  
1 5 23
f 1 7 1
3 2 6
     ,   2
f x x 5x 7    και  f 1 3  .
Η εξίσωση εφαπτομένης είναι:       
23
y f 1 f 1 x 1 y 3 x 1
6
        18x 6y 5 0   .
β) Είναι
    3 2
x 1 x 1
g x g 1 x 3x 4
lim lim
x 1 x 1 
 
  
 
 
 
x 1
x 1
lim

  2
x 4x 4
x 1
 

9 και
      2
x 1 x 1 x 1
g x g 1 x 1 x 8x 7x 8
lim lim lim 9
x 1 x 1 x 1  
  
   
  
  
. Οπότε  g 1 9  . Άρα, η εξίσωση
εφαπτομένης είναι:       y g 1 g 1 x 1 y 1 9 x 1        y 9x 10  .
2.Δίνεται η συνάρτηση    2 1
f x x
x
, x 0 . Να βρείτε την εφαπτομένη της, στο σημείο
  M 1,f 1 .
Λύση
3.Δίνεται η συνάρτηση  
   
 
  
2
συνx 2x 2, x 0
f x
x 2x 3, x 0
. Να βρείτε την εφαπτομένη της f
C στο
σημείο με τετμημένη 0
x 0 .
Λύση

7. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
7
4.Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις  f,g : , για τις οποίες ισχύει
     2
f x g 6x x για κάθε  x . Αν η ευθεία   ε : y 2x 4 είναι εφαπτομένη της g
C
στο σημείο   A 5,g 5 , να βρείτε την εφαπτομένη της f
C στο σημείο   B 1,f 1 .
Λύση
Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ε, ισχύει:  g 5 2 5 4 6      .
Επειδή η ε εφάπτεται της gC στο Α, ισχύει ότι:  g 5 2
     . Είναι      f 1 g 6 1 g 5 6     .
        2 2 2
f x g 6x x 6x x 6 2x g 6x x        και για x 1 είναι    f 1 4g 5 8    .
Η εφαπτομένη της fC στο Β, έχει εξίσωση:       y f 1 f 1 x 1 y 6 8 x 1 y 8x 2           
5.Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g : , όπου f παραγωγίσιμη και     x 2
g x f 2 x . Αν η
ευθεία  y x 1 εφάπτεται στη f
C στο 0
x 3, να βρείτε την εφαπτομένη της g
C στο
σημείο   1,g 1 .
Λύση
6.Δίνεται η συνάρτηση     
x
f x x e , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f
C στο
σημείο   A 0,f 0 , σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο, με εμβαδόν
1
2
τ.μ.
Λύση
Είναι    
o
f 0 0 e 1   και    x
ln x e xln x e
f (x) e e 
  . Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με
   
   
 x ln x e x ln x e
f x e e x ln x e             
x x
x e ln x e
x e
 
   
 
.
Η εφαπτομένη της fC στο Α είναι η ευθεία:
    : y f 0 f 0 x 0 y 1 x y x 1         
Για y 0 είναι: 0 x 1 x 1     και η ε τέμνει τον x x στο
σημείο  1,0  . Για x 0 είναι: y 0 1 1   και η
ε τέμνει τον y y στο σημείο  0,1 .
Η ε σχηματίζει με τους άξονες το τρίγωνο ΟΒΓ, το οποίο έχει εμβαδόν:
1 1 1
E (OB)(O ) 1 1 .
2 2 2
       .
7.Έστω η συνάρτηση   
2
x
f x x , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f
C στο 0
x 1
www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
7
4.Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις  f,g : , για τις οποίες ισχύει
     2
f x g 6x x για κάθε  x . Αν η ευθεία   ε : y 2x 4 είναι εφαπτομένη της g
C
στο σημείο   A 5,g 5 , να βρείτε την εφαπτομένη της f
C στο σημείο   B 1,f 1 .
Λύση
Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ε, ισχύει:  g 5 2 5 4 6      .
Επειδή η ε εφάπτεται της gC στο Α, ισχύει ότι:  g 5 2
     . Είναι      f 1 g 6 1 g 5 6     .
        2 2 2
f x g 6x x 6x x 6 2x g 6x x        και για x 1 είναι    f 1 4g 5 8    .
Η εφαπτομένη της fC στο Β, έχει εξίσωση:       y f 1 f 1 x 1 y 6 8 x 1 y 8x 2           
5.Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g : , όπου f παραγωγίσιμη και     x 2
g x f 2 x . Αν η
ευθεία  y x 1 εφάπτεται στη f
C στο 0
x 3, να βρείτε την εφαπτομένη της g
C στο
σημείο   1,g 1 .
Λύση
6.Δίνεται η συνάρτηση     
x
f x x e , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f
C στο
σημείο   A 0,f 0 , σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο, με εμβαδόν
1
2
τ.μ.
Λύση
Είναι    
o
f 0 0 e 1   και    x
ln x e xln x e
f (x) e e 
  . Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με
   
   
 x ln x e x ln x e
f x e e x ln x e             
x x
x e ln x e
x e
 
   
 
.
Η εφαπτομένη της fC στο Α είναι η ευθεία:
    : y f 0 f 0 x 0 y 1 x y x 1         
Για y 0 είναι: 0 x 1 x 1     και η ε τέμνει τον x x στο
σημείο  1,0  . Για x 0 είναι: y 0 1 1   και η
ε τέμνει τον y y στο σημείο  0,1 .
Η ε σχηματίζει με τους άξονες το τρίγωνο ΟΒΓ, το οποίο έχει εμβαδόν:
1 1 1
E (OB)(O ) 1 1 .
2 2 2
       .
7.Έστω η συνάρτηση   
2
x
f x x , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f
C στο 0
x 1
www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
7
4.Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις  f,g : , για τις οποίες ισχύει
     2
f x g 6x x για κάθε  x . Αν η ευθεία   ε : y 2x 4 είναι εφαπτομένη της g
C
στο σημείο   A 5,g 5 , να βρείτε την εφαπτομένη της f
C στο σημείο   B 1,f 1 .
Λύση
Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ε, ισχύει:  g 5 2 5 4 6      .
Επειδή η ε εφάπτεται της gC στο Α, ισχύει ότι:  g 5 2
     . Είναι      f 1 g 6 1 g 5 6     .
        2 2 2
f x g 6x x 6x x 6 2x g 6x x        και για x 1 είναι    f 1 4g 5 8    .
Η εφαπτομένη της fC στο Β, έχει εξίσωση:       y f 1 f 1 x 1 y 6 8 x 1 y 8x 2           
5.Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g : , όπου f παραγωγίσιμη και     x 2
g x f 2 x . Αν η
ευθεία  y x 1 εφάπτεται στη f
C στο 0
x 3, να βρείτε την εφαπτομένη της g
C στο
σημείο   1,g 1 .
Λύση
6.Δίνεται η συνάρτηση     
x
f x x e , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f
C στο
σημείο   A 0,f 0 , σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο, με εμβαδόν
1
2
τ.μ.
Λύση
Είναι    
o
f 0 0 e 1   και    x
ln x e xln x e
f (x) e e 
  . Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με
   
   
 x ln x e x ln x e
f x e e x ln x e             
x x
x e ln x e
x e
 
   
 
.
Η εφαπτομένη της fC στο Α είναι η ευθεία:
    : y f 0 f 0 x 0 y 1 x y x 1         
Για y 0 είναι: 0 x 1 x 1     και η ε τέμνει τον x x στο
σημείο  1,0  . Για x 0 είναι: y 0 1 1   και η
ε τέμνει τον y y στο σημείο  0,1 .
Η ε σχηματίζει με τους άξονες το τρίγωνο ΟΒΓ, το οποίο έχει εμβαδόν:
1 1 1
E (OB)(O ) 1 1 .
2 2 2
       .
7.Έστω η συνάρτηση   
2
x
f x x , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f
C στο 0
x 1

8. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
8
σχηματίζει τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 
1
E
4
.
Λύση
8.Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο  συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ότι:
        f x 2 2f 2 x συν 3x , για κάθε  x . Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με
τον άξονα x x η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο 0
x 2.
Λύση
Για να βρούμε την γωνία ω που σχηματίζει η εφαπτομένη της fC στο 0x 2 με τον άξονα x x , αρκεί
να υπολογίσουμε το  f 2 . Είναι
        f x 2 x 2 2f 2 x 2 x 3x 3x
              f x 2 2f 2 x 3 3x      
και,        f x 2 2f 2 x 2 x 3 3x 3x
              f x 2 2f 2 x 3 3x       .
Στην τελευταία σχέση θέτουμε x 0 και έχουμε
       f 2 2f 2 3 0 3f 2 3 f 2 1             .Άρα, 1 45
       
 180 45 135  
        , δηλαδή 135
  , γιατί 0 180
   .
9.Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : , για την οποία ισχύει:
       x
f 2 x f 2 x e συνx , για κάθε  x .Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα στο σημείο με
τετμημένη 2.
Λύση
x x

9. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
9
10.Δίνεται συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι:
 



x 0
f x συνx
lim 3
x
.Να βρείτε
την εφαπτομένη της f
C στο 0
x 0 .
Λύση
Αρκεί να προσδιορίσουμε το  f 0 και το  f 0 . Έστω  
 f x x
g x
x
 
 , x 0 με
 x 0
limg x 3

 .Τότε        f x x xg x f x xg x x       , οπότε
   x 0 x 0
limf x lim xg x x 0 3 0 1
 
           .Επειδή η f είναι συνεχής, ισχύει ότι
   x 0
f 0 limf x 1

  . Είναι  
   
 
 f x x f x 1 1 x f x 1 1 x
g x g x
x x x x
        
     
 
 
f x 1 1 x
g x
x x
  
  και
 
 x 0 x 0
f x 1 1 x
lim lim g x 3 0 3
x x 
   
     
 
.
Είναι
     
x 0 x 0
f x f 0 f x 1
lim lim 3
x 0 x 
 
 

, άρα  f 0 3  .
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:     y f 0 f 0 x 0 y 1 3x y 3x 1         .
11.Δίνεται συνεχής συνάρτηση  f : , για την οποία ισχύει:
 

 

x 2
f x x 1
lim 3
x 2
.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x 2.
β) Να βρείτε την εφαπτομένη της f
C στο 0
x 2.
Λύση
12.Δίνεται η συνάρτηση     2
f x x αx β και η ευθεία ε:  y λx 1 . Να βρείτε τα
α,β,λ  για τα οποία η ε εφάπτεται της Cf στο σημείο  A 2,3 .
Λύση

10. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
10
Το Α είναι κοινό σημείο των ε, fC οπότε:  f 2 3 4 2 3 2 1             (1) και
3 2 1 2      . Επειδή η ε εφάπτεται της fC στο σημείο  2,3 ισχύει:  f 2 2     .
Όμως    2
f x x x 2x          οπότε 4 2 2       και λόγω της (1)είναι: 3 
13.Δίνεται η συνάρτηση     2
f x αx 3x β και η ευθεία  ε : y βx γ ,  α,β,γ .Να βρείτε
τα α,β,γ, ώστε η ε να εφάπτεται της f
C στο σημείο  A 1,2 .
Λύση
14.Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο 0
x 0 , για την οποία ισχύει:
 



5
7x 0
1
f x ημx x ημ
xlim 1
x
.Να αποδείξετε ότι:
α) Η f
C διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Ο άξονας x x εφάπτεται της f
C στην αρχή των αξόνων.
Λύση
15.Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο  με   f x 0 για κάθε  x .
Θεωρούμε τη συνάρτηση  
 
 


f x
g x
f x
,  x . Αν η γραφική παράσταση της g τέμνει τον
άξονα x΄x στο σημείο  0
x ,0 τότε η εφαπτομένη της g στο σημείο  0
x ,0 είναι κάθετη

11. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
11
στην ευθεία   x y k 0 , για κάθε  k .
Λύση
2η Κατηγορία: Εξίσωση εφαπτομένης σε άγνωστο σημείο
Υποθέτουμε ότι   0 0M x ,f x είναι το σημείο επαφής που πληροί την συγκεκριμένη ιδιότητα.
Ανάλογα με την ιδιότητα, έχουμε τις παρακάτω συνθήκες:
- Αν η εφαπτομένη ε είναι παράλληλη σε ευθεία : y x     ,τότε:  0f x  
- Αν η εφαπτομένη ε είναι κάθετη σε ευθεία : y x     , τότε:  0f x 1    
- Αν η εφαπτομένη έχει κλίση λ, τότε  0f x   .
- Αν η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα x΄x, τότε ισχύει:  0f x   .
Εφαπτομένη από σημείο εκτός fC .
Όταν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση εφαπτομένης που άγεται από σημείο  A ,  που δεν
ανήκει στη γραφική παράσταση της f, τότε:
Υποθέτουμε ότι το σημείο επαφής είναι το   0 0M x ,f x . Γράφουμε τον τύπο της εξίσωσης
εφαπτομένης:     0 0 0: y f x f x x x    (1), και αντικαθιστούμε τα    0 0f x , f x .Επειδή η
εφαπτομένη ε διέρχεται από το σημείο  ,   , οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την
εξίσωση (1), δηλαδή:     0 0 0f x f x x     .
Από την τελευταία σχέση υπολογίζουμε τα 0x , που μπορεί να είναι και περισσότερα από ένα.
16.Δίνεται η συνάρτηση    2
f x x 4 ,  x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων
της f
C , σε κάθε περίπτωση:
α) Είναι παράλληλες στην ευθεία:  1
δ : y 4x 5 .
β) Είναι κάθετες στην ευθεία:   2
δ : x 2y 1 0 .
γ) Είναι παράλληλες με τον άξονα x x .
δ) Σχηματίζουν με τον άξονα x x , γωνία o
135 .
Λύση
Έστω   0 0M x ,f x το σημείο επαφής για κάθε περίπτωση. Είναι  f x 2x  .

12. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
12
α)Επειδή η εφαπτομένη της fC είναι παράλληλη στην ευθεία 1 ,ισχύει ότι:
  10 0 0f x 4 2x 4 x 2
        . Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
      y f 2 f 2 x 2 y 0 4 x 2 y 4x 8          .
β) Επειδή η εφαπτομένη της fC είναι κάθετη στην ευθεία 2 ,ισχύει ότι:
  20f x 1 2
     0
1
x
2
 01 x 1    
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:     y f 1 f 1 x 1 y 2x 5         .
γ) Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, ισχύει ότι:  0 0 0f x 0 2x 0 x 0     
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι    y f 0 f 0 x y 4    
δ)Είναι   o
0 0 0
1
f x 135 2x 1 x
2
        
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
1 1 1 17
y f f x y x
2 2 2 4
                
    
.
17.Δίνεται η συνάρτηση     3
f x x 2x 4 . Να βρείτε τις εφαπτομένες της f
C που
σχηματίζουν με τον άξονα x x , γωνία o
45 .
Λύση
18.Δίνεται η συνάρτηση    f x 3lnx x , x 0 . Να βρείτε την εφαπτομένη της f
C , που
είναι κάθετη στην ευθεία   ε : x 2y 6 0 .
Λύση

13. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
13
19.Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
     f x ln αx 1 αx , α 0 στο οποίο η εφαπτόμενη να είναι κάθετη στην ευθεία
  x α y 5 0 .
Λύση
20.Δίνεται η συνάρτηση    3x
f x e x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f
C ,
που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Λύση
Έστω   0 0M x ,f x το σημείο επαφής. Τότε, η εξίσωση εφαπτομένης είναι:
    0 0 0y f x f x x x   (1). Είναι   3x
f x 3e 1   , οπότε   03x
0f x 3e 1   και   03x
0 0f x e x  .
Άρα, η (1) γίνεται:     0 03x 3x
0 0y e x 3e 1 x x     (2).
Επειδή η ευθεία διέρχεται από το σημείο Ο(0,0), τότε η (2) γίνεται:
    0 03x 3x
0 00 e x 3e 1 0 x      0 03x 3x
0 0 0e x 3x e x     
 0 0 03x 3x 3x
0 03x e e 0 e 3x 1 0      0 0
1
3x 1 0 x
3
    .Τότε
1 1
f e
3 3
 
  
 
,
1
f 3e 1
3
    
 
και η
εξίσωση της εφαπτομένης είναι:    
1 1
y e 3e 1 x y 3e 1 x
3 3
   
          
   
.
21.Δίνεται η συνάρτηση   


2
x 3
f x
x 1
, x 1 . Να βρείτε τις εφαπτομένες της f
C , που
άγονται από το σημείο
 
 
 
3
A 0,
2
.
Λύση

14. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
14
3η Κατηγορία: Κοινή εφαπτομένη
Κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο
Αν οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f,g έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους
σημείο  0 0M x ,y , τότε:    0 0f x g x και    0 0f x g x 
   
Κοινή εφαπτομένη σε διαφορετικά σημεία
Όταν δίνονται δύο συναρτήσεις f,g και ζητείται να βρεθεί αν υπάρχει, ευθεία που εφάπτεται
και στις δύο γραφικές παραστάσεις. Τότε:
 Εξετάζουμε αρχικά, αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο.
 Υποθέτουμε ότι   A ,f  και   ,g   είναι τα σημεία επαφής της κοινής
εφαπτομένης με τις f gC ,C .
  
    
     
     
: y f( ) f x y f x f f
: y g g x y g x g g


                 
 
                 
.
 Για να είναι η ίδια ευθεία, πρέπει:
   
       
f g
f f g g
    

         
Λύνοντας το προηγούμενο σύστημα, βρίσκουμε τα α και β.
Ευθεία που εφάπτεται στην fC
Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μία γνωστή ευθεία : y x     εφάπτεται στην fC , τότε:
 Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων  , f x και βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία.
 Έστω  1 1M x ,y ένα κοινό σημείο.
Αν  1f x 
     , τότε το Μ είναι σημείο επαφής.
Αν  1f x 
     , τότε το Μ είναι σημείο τομής.
Αν η ευθεία δ δεν είναι γνωστή, τότε αρχικά βρίσκουμε την εξίσωσή της και ακολουθούμε τα
παραπάνω βήματα.
22.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
  


x 1
g x
x 2
στο σημείο με τετμημένη 0
x 3, εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης     2
f x x x 17 .
Λύση
Αρχικά θα βρούμε την εφαπτομένη ε της gC στο σημείο 0x 3 . Είναι
 
 
   
2 2
x 2 x 1 3
g x
x 2 x 2
   
  
 
, οπότε  
3
g 3 3
1

    και  g 3 4 , άρα:
      : y g 3 g 3 x 3 y 4 3 x 3         y 3x 13    .
Θέλουμε να δείξουμε ότι η ευθεία : y 3x 13    εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της
  2
f x x x 17   . Από το σύστημα των δύο εξισώσεων έχουμε:

15. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
15
  2 2
f x x x 17 x x 17 3x 13
y 3x 13 y 3x 13
        
  
      
2
x 2x 4x 4 0
y 19y 3x 13
     
 
   
.
Οπότε, το κοινό σημείο των fC και ε είναι, το  M 2,19 . Είναι  f x 2x 1   και
   f 2 2 2 1 3 
         . Άρα, η ευθεία y 3x 13   εφάπτεται και στην fC .
23.Δίνεται η συνάρτηση   

x
f x
x 1
. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο  0
x 2
εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης     2
g x x 5x 8 .
Λύση
24.Δίνονται οι συναρτήσεις    f x α x 1 και   


βx α
g x
x 1
. Να βρείτε τα  α,β , για τα
οποία οι f g
C ,C έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο, με τετμημένη 0
x 4 .
Λύση
Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες, με  f x
2 x

  , x 0 και  
 
2
g x
x 1
  
 

, x 1 .
Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο, με τετμημένη 0x 4 ,πρέπει:
   
   
4
2 1
f 4 g 4 3
f 4 g 4
4 9
  
    
  
       

1
5 4 3 6
13 4 0 13
24

       
 
     

25.Δίνονται οι συναρτήσεις   


αx β
f x
x 1
και      3 2
g x x αx 2x β . Να βρείτε τα
 α,β , ώστε οι f g
C ,C να δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο, με
τετμημένη 0
x 1.
Λύση

16. www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης
16
26.Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:
    2
f x x 5x 10 και     2
g x x x 6 .
Λύση
Έστω   A ,f  και   ,g   τα σημεία, όπου η κοινή εφαπτομένη, εφάπτεται στις f gC ,C
αντίστοιχα. Τότε:
    
    
: y f f x
: y g g x


       

      
     
     
y f x f f
y g x g g
        

      
. Πρέπει:
   
       
f g
f f g g
    

            2 2
2 5 2 1
5 10 2 5 6 2 1
    

              
  2 2
22
44
     
  
        
2 2
2 0
     
 
      
.
Οπότε, τα σημεία επαφής είναι  2,4 και  B 0,6 και η κοινή εφαπτομένη είναι η ευθεία
AB: y x 6   .
27.Έστω    2
f x x x και     2
g x x 2x 3 . Να εξετάσετε αν οι f g
C , C δέχονται κοινή
εφαπτόμενη.
Λύση

17. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
17
2. Ρυθμός μεταβολής
Ορισμός
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση  y f x , όπου f συνάρτηση
παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x στο σημείο 0x την
παράγωγο  0f x .
 Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος s που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο t, τη χρονική
στιγμή 0t είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού. Δηλαδή    0 0s t t  
 Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ενός κινητού, ως προς το χρόνο t, τη χρονική στιγμή 0t
είναι η επιτάχυνση του κινητού. Δηλαδή    0 0t t  
 Αν Κ το κόστος , Ε η είσπραξη και Ρ το κέρδος από τη κατασκευή και πώληση x ποσότητας ενός
προϊόντος, τότε το οριακό κόστος στο 0x είναι το  0x ,
η οριακή είσπραξη στο 0x είναι το  0x και το οριακό κέρδος στο 0x είναι το  0x .
Μεθοδολογία ασκήσεων – Λυμένες ασκήσεις
4η Κατηγορία: Ρυθμός μεταβολής συγκεκριμένης συνάρτησης
O ρυθμός μεταβολής μίας συνάρτησης  y f t , ως προς t, όταν 0t t , είναι η παράγωγος της
f στο 0t , δηλαδή το  0f t .
Προβλήματα Οικονομίας
Στα προβλήματα οικονομίας, η βασική σχέση που ισχύει είναι:
Κέρδος = Έσοδα – Κόστος
Αν  K x η συνάρτηση κόστους, τότε το μέσο κόστος παραγωγής x μονάδων προϊόντος, είναι:
 
   K x K 0
K x
x


Πρόβλημα κίνησης σε καμπύλη
Αν δίνεται σώμα που κινείται σε καμπύλη C, τότε:
- Καταγράφουμε όλα τα δεδομένα της εκφώνησης, εκφράζοντας τα x,y συναρτήσει του
χρόνου t     x t ,y t . Αν κάποια από τις συντεταγμένες του σημείου ελαττώνεται με ρυθμό α,
τότε  x t ή  y t   .
- Υπολογίζουμε τις τιμές των x, y τη χρονική στιγμή 0t που μας ενδιαφέρει.
- Παραγωγίζουμε την εξίσωση της καμπύλης ως προς t και αντικαθιστούμε 0t t .
- Κάνουμε αντικατάσταση στην τελευταία σχέση και συνήθως προκύπτει το ζητούμενο.
28. Έστω  f t mgr η ποσότητα ενός φαρμάκου που έχει απορροφηθεί από έναν ασθενή, t
ώρες μετά τη λήψη του. Αν  

 
t
4
f t 1 4 , να βρείτε:
α) Την ποσότητα του φαρμάκου που έχει απορροφηθεί από το σώμα του ασθενούς, δύο
ώρες μετά τη λήψη του.
β) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του φαρμάκου από τον
ασθενή είναι ίσος με το
1
64
του ρυθμού απορρόφησης τη στιγμή λήψης του.

18. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
18
Λύση
α)Είναι  
2 1
4 2
1 1 1
f 2 1 4 1 4 1 1 mgr
2 24
 
         .
β)Ο ρυθμός απορρόφησης του φαρμάκου τη χρονική στιγμή t, είναι:
 
t t t
4 4 4
t 1
f t 1 4 4 ln 4 4 ln 4
4 4
  
              
  
.
Ο ρυθμός απορρόφησης του φαρμάκου τη χρονική στιγμή t 0 , είναι:  
1
f 0 ln4
4
  . Αναζητάμε τη
χρονική στιγμή 0t , κατά την οποία ισχύει:
   0
1 1
f t f 0
64 4
  
0t
4
1 1
4 ln 4
64 4

   ln 4 
0 0t t
3 04 4
0
t1
4 4 4 3 t 12
64 4
 

       ώρες.
29. Ένας πληθυσμός μικροβίων μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (ώρες) σύμφωνα με
τον τύπο:    

500
P t 1000
t 1
. Να βρείτε:
α) Τον αρχικό πληθυσμό των μικροβίων.
β) Τον αριθμό των μικροβίων μετά από 9 ώρες.
γ) Το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων μετά από 9 ώρες.
Λύση
30. Μία βιομηχανία, κατασκευάζει x χιλιάδες τεμάχια ενός προϊόντος το μήνα. Αν το κόστος
παραγωγής είναι     2
K x 30x 500x 100 χιλιάδες ευρώ και η τιμή πώλησης του κάθε
τεμαχίου του προϊόντος είναι   2
2x 105x 3200 ευρώ, να βρείτε:
α) Πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι αρνητικός.
β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι μηδέν, όταν ο ρυθμός
μεταβολής του κόστους ισούται με το μέσο κόστος.
Λύση
α) Η είσπραξη της βιομηχανίας από την πώληση των x χιλιάδων τεμαχίων, είναι:
 2
x 2x 105x 3200  χιλιάδες ευρώ. Αν  f x το κέρδος της βιομηχανίας, τότε:
     2
f x x 2x 105x 3200 K x       3 2 2
f x 2x 105x 3200x 30x 500x 100      
  3 2
f x 2x 135x 2700x 100    .
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, είναι:    2 2
f x 6x 270x 2700 6 x 45x 450       .Είναι:

19. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
19
        2
f x 0 6 x 45x 450 0 6 x 15 x 30 0 x 15,30            Οπότε, ο ρυθμός
μεταβολής του κέρδους, είναι αρνητικός, όταν η βιομηχανία παράγει περισσότερα από 15.000
τεμάχια και λιγότερα από 30.000 τεμάχια.
β) Το μέσο κόστος της βιομηχανίας είναι:  
   K x K 0
K x
x

 .
Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι:  
     K x x K x K 0
K x
x
  
  . Είναι:
       K x 0 xK x K x K 0 0            xK x K x K 0   
 
   
 
K x K 0
K x K x
x

   .
31. Το κόστος κατασκευής x τεμαχίων ενός προϊόντος, είναι  2
7x 27x 8 χιλιάδες ευρώ,
ενώ τα έσοδα από την πώληση των x τεμαχίων είναι,   3 2
x 2x 3x 4 χιλιάδες ευρώ.
Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό τεμαχίων που πρέπει να κατασκευαστούν, ώστε ο
ρυθμός μεταβολής του κέρδους να είναι θετικός.
Λύση
32. Ένα σώμα βρίσκεται σε κυκλική τροχιά, με εξίσωση  2 2
x y 25 . Όταν το σώμα
διέρχεται από το σημείο  A 3,4 , η τετμημένη του x ελαττώνεται με ρυθμό 4 μονάδες
μήκους ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, τη
χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από το σημείο Α.
Λύση
Είναι:    2 2
x t y t 25  (1) και  x t 4   μον. μήκους/sec.Έστω 0t η χρονική στιγμή που το σώμα
βρίσκεται στη θέση Α. Τότε  0x t 3 και  0y t 4 .
Παραγωγίζοντας τη σχέση (1) κατά μέλη, έχουμε:       2 2
x t y t 25   
       2x t x t 2y t y t 0           x t x t y t y t 0   και για 0t t είναι:
       0 0 0 0x t x t y t y t 0   (2). Η σχέση (2) γίνεται:      0 03 4 4y t 0 y t 3      .
33. Σημείο Μ κινείται επί της παραβολής   2
y 25 x ,   x 0,5 . Τη χρονική στιγμή που η
απόστασή του από την αρχή των αξόνων είναι ίση με 97 μονάδες μήκους, ο ρυθμός
μεταβολής της τετμημένης του είναι 2μον.μ / sec . Να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ.
β) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ MOx .

20. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
20
Λύση
34. Υλικό σημείο κινείται επί της καμπύλης y xln x , x 0 . Να βρείτε τη θέση του, τη
χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του, είναι διπλάσιος
από το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του, αν γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της
τετμημένης του σημείου είναι θετικός.
Λύση
35. Υλικό σημείο Μ, κινείται επί της έλλειψης,  2 2
9x 16y 144 , x 0 . Αν η τετμημένη του
Μ αυξάνεται με ρυθμό 4 μονάδες μήκους ανά δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό
μεταβολής της τεταγμένης του, στο σημείο κατά το οποίο τέμνεται η έλλειψη με την ευθεία
y x .
Λύση

21. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
21
5η Κατηγορία: Προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης
Αν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε χρονική στιγμή t
είναι  S x t , τότε:
 Η στιγμιαία ταχύτητά του, τη χρονική στιγμή 0t , είναι    0 0t x t  .
 Η στιγμιαία του επιτάχυνση  t , τη χρονική στιγμή 0t , είναι    0 0t t   .
 Το σώμα δεν κινείται όταν  t 0  .
 Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν  t 0  και κατά την αρνητική φορά, όταν
 t 0  .
 Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό, είναι:
           ό 2 2 1 1S x t x t x t x t x t x 0      , όπου 1 2t ,t οι ρίζες της εξίσωσης (t) 0  .
 Η μέση ταχύτητα  του σώματος σε όλη τη διάρκεια κίνησής του, είναι:
ό
S
t
  , όπου
S το συνολικό διάστημα.
 Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν  t 0  και ελαττώνεται όταν  t 0  .
36. Ένα σώμα, κινείται πάνω σε ευθεία και η θέση του κάθε χρονική στιγμή t(sec) δίνεται
από τον τύπο:      3 2
x t t 6t 9t 2 ,    t 0,5 .
α) Να βρείτε την αρχική θέση του σώματος πάνω στην ευθεία.
β) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή t.
γ) Να βρείτε την επιτάχυνσή του τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο.
δ) Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σώμα κινείται κατά τη θετική και
κατά την αρνητική φορά.
ε) Να βρείτε το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα.
στ) Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του σώματος.
Λύση
α)Το σώμα βρίσκεται στην αρχική του θέση, τη χρονική στιγμή t 0 .
Είναι  x 0 2 . Επομένως βρίσκεται στη θέση Α.
β)Η ταχύτητά του είναι     2
t x t 3t 12t 9     και η επιτάχυνσή του
είναι    t t 6t 12     .
γ)Το σώμα είναι ακίνητο όταν:   2
t 0 3t 12t 9 0 t 1        ή t 3 .
Τότε  1 6 12 6     και  3 18 12 6    .
δ)Από το διπλανό πίνακα, προκύπτει ότι, όταν:    t 0,1 3,5 
είναι (t) 0  και το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, ενώ
όταν  t 1,3 είναι (t) 0  και το σώμα κινείται κατά την αρνητική φορά.
ε)Το σώμα ξεκινά από τη θέση Α και όταν σταματήσει για πρώτη φορά να
κινείται, δηλαδή για t 1 , βρίσκεται στη θέση  x 1 6 .
t 0 1 3 5
 t + - +
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
21
5η Κατηγορία: Προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης
Αν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε χρονική στιγμή t
είναι  S x t , τότε:
 Η στιγμιαία ταχύτητά του, τη χρονική στιγμή 0t , είναι    0 0t x t  .
 Η στιγμιαία του επιτάχυνση  t , τη χρονική στιγμή 0t , είναι    0 0t t   .
 Το σώμα δεν κινείται όταν  t 0  .
 Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν  t 0  και κατά την αρνητική φορά, όταν
 t 0  .
 Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό, είναι:
           ό 2 2 1 1S x t x t x t x t x t x 0      , όπου 1 2t ,t οι ρίζες της εξίσωσης (t) 0  .
 Η μέση ταχύτητα  του σώματος σε όλη τη διάρκεια κίνησής του, είναι:
ό
S
t
  , όπου
S το συνολικό διάστημα.
 Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν  t 0  και ελαττώνεται όταν  t 0  .
36. Ένα σώμα, κινείται πάνω σε ευθεία και η θέση του κάθε χρονική στιγμή t(sec) δίνεται
από τον τύπο:      3 2
x t t 6t 9t 2 ,    t 0,5 .
α) Να βρείτε την αρχική θέση του σώματος πάνω στην ευθεία.
β) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή t.
γ) Να βρείτε την επιτάχυνσή του τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο.
δ) Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σώμα κινείται κατά τη θετική και
κατά την αρνητική φορά.
ε) Να βρείτε το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα.
στ) Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του σώματος.
Λύση
α)Το σώμα βρίσκεται στην αρχική του θέση, τη χρονική στιγμή t 0 .
Είναι  x 0 2 . Επομένως βρίσκεται στη θέση Α.
β)Η ταχύτητά του είναι     2
t x t 3t 12t 9     και η επιτάχυνσή του
είναι    t t 6t 12     .
γ)Το σώμα είναι ακίνητο όταν:   2
t 0 3t 12t 9 0 t 1        ή t 3 .
Τότε  1 6 12 6     και  3 18 12 6    .
δ)Από το διπλανό πίνακα, προκύπτει ότι, όταν:    t 0,1 3,5 
είναι (t) 0  και το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, ενώ
όταν  t 1,3 είναι (t) 0  και το σώμα κινείται κατά την αρνητική φορά.
ε)Το σώμα ξεκινά από τη θέση Α και όταν σταματήσει για πρώτη φορά να
κινείται, δηλαδή για t 1 , βρίσκεται στη θέση  x 1 6 .
t 0 1 3 5
 t + - +
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
21
5η Κατηγορία: Προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης
Αν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε χρονική στιγμή t
είναι  S x t , τότε:
 Η στιγμιαία ταχύτητά του, τη χρονική στιγμή 0t , είναι    0 0t x t  .
 Η στιγμιαία του επιτάχυνση  t , τη χρονική στιγμή 0t , είναι    0 0t t   .
 Το σώμα δεν κινείται όταν  t 0  .
 Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν  t 0  και κατά την αρνητική φορά, όταν
 t 0  .
 Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό, είναι:
           ό 2 2 1 1S x t x t x t x t x t x 0      , όπου 1 2t ,t οι ρίζες της εξίσωσης (t) 0  .
 Η μέση ταχύτητα  του σώματος σε όλη τη διάρκεια κίνησής του, είναι:
ό
S
t
  , όπου
S το συνολικό διάστημα.
 Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν  t 0  και ελαττώνεται όταν  t 0  .
36. Ένα σώμα, κινείται πάνω σε ευθεία και η θέση του κάθε χρονική στιγμή t(sec) δίνεται
από τον τύπο:      3 2
x t t 6t 9t 2 ,    t 0,5 .
α) Να βρείτε την αρχική θέση του σώματος πάνω στην ευθεία.
β) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή t.
γ) Να βρείτε την επιτάχυνσή του τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο.
δ) Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σώμα κινείται κατά τη θετική και
κατά την αρνητική φορά.
ε) Να βρείτε το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα.
στ) Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του σώματος.
Λύση
α)Το σώμα βρίσκεται στην αρχική του θέση, τη χρονική στιγμή t 0 .
Είναι  x 0 2 . Επομένως βρίσκεται στη θέση Α.
β)Η ταχύτητά του είναι     2
t x t 3t 12t 9     και η επιτάχυνσή του
είναι    t t 6t 12     .
γ)Το σώμα είναι ακίνητο όταν:   2
t 0 3t 12t 9 0 t 1        ή t 3 .
Τότε  1 6 12 6     και  3 18 12 6    .
δ)Από το διπλανό πίνακα, προκύπτει ότι, όταν:    t 0,1 3,5 
είναι (t) 0  και το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, ενώ
όταν  t 1,3 είναι (t) 0  και το σώμα κινείται κατά την αρνητική φορά.
ε)Το σώμα ξεκινά από τη θέση Α και όταν σταματήσει για πρώτη φορά να
κινείται, δηλαδή για t 1 , βρίσκεται στη θέση  x 1 6 .
t 0 1 3 5
 t + - +

22. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
22
Το διάστημα ΑΒ είναι    x 1 x 0 6 2 4    .
Αμέσως μετά, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση  1 6  
και σταματάει ξανά να κινείται όταν t 3 και τότε
βρίσκεται στη θέση  x 3 2 .
Το διάστημα που διανύει είναι:    x 3 x 1 4  .
Έπειτα, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση  3 6  και τη χρονική στιγμή
t 5 βρίσκεται στη θέση  x 5 22 .Το διάστημα που διανύει είναι:
   x 5 x 3 22 2 20    . Οπότε, το συνολικό διάστημα που διανύει, είναι: S 4 4 20 28   
μονάδες μήκους.
στ)Είναι
ό
S 28
5,6
t 5
    μονάδες μήκους/sec.
37. Η θέση ενός κινητού που κινείται επί του άξονα x x , δίνεται από τον τύπο
   3 21
x(t) t 3t 5t 1
3
, όπου t ο χρόνος σε sec, με    t 0,6 . Να βρείτε:
α) Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού.
β) Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό.
γ) Τη μέση ταχύτητα του κινητού.
δ) Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το κινητό κινείται κατά τη θετική και κατά την
αρνητική φορά.
Λύση
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
22
Το διάστημα ΑΒ είναι    x 1 x 0 6 2 4    .
Αμέσως μετά, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση  1 6  
και σταματάει ξανά να κινείται όταν t 3 και τότε
βρίσκεται στη θέση  x 3 2 .
Το διάστημα που διανύει είναι:    x 3 x 1 4  .
Έπειτα, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση  3 6  και τη χρονική στιγμή
t 5 βρίσκεται στη θέση  x 5 22 .Το διάστημα που διανύει είναι:
   x 5 x 3 22 2 20    . Οπότε, το συνολικό διάστημα που διανύει, είναι: S 4 4 20 28   
μονάδες μήκους.
στ)Είναι
ό
S 28
5,6
t 5
    μονάδες μήκους/sec.
37. Η θέση ενός κινητού που κινείται επί του άξονα x x , δίνεται από τον τύπο
   3 21
x(t) t 3t 5t 1
3
, όπου t ο χρόνος σε sec, με    t 0,6 . Να βρείτε:
α) Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού.
β) Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό.
γ) Τη μέση ταχύτητα του κινητού.
δ) Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το κινητό κινείται κατά τη θετική και κατά την
αρνητική φορά.
Λύση
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
22
Το διάστημα ΑΒ είναι    x 1 x 0 6 2 4    .
Αμέσως μετά, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση  1 6  
και σταματάει ξανά να κινείται όταν t 3 και τότε
βρίσκεται στη θέση  x 3 2 .
Το διάστημα που διανύει είναι:    x 3 x 1 4  .
Έπειτα, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση  3 6  και τη χρονική στιγμή
t 5 βρίσκεται στη θέση  x 5 22 .Το διάστημα που διανύει είναι:
   x 5 x 3 22 2 20    . Οπότε, το συνολικό διάστημα που διανύει, είναι: S 4 4 20 28   
μονάδες μήκους.
στ)Είναι
ό
S 28
5,6
t 5
    μονάδες μήκους/sec.
37. Η θέση ενός κινητού που κινείται επί του άξονα x x , δίνεται από τον τύπο
   3 21
x(t) t 3t 5t 1
3
, όπου t ο χρόνος σε sec, με    t 0,6 . Να βρείτε:
α) Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού.
β) Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό.
γ) Τη μέση ταχύτητα του κινητού.
δ) Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το κινητό κινείται κατά τη θετική και κατά την
αρνητική φορά.
Λύση

23. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
23
6η Κατηγορία: Ρυθμός μεταβολής σε γεωμετρικά σχήματα
Ρυθμός μεταβολής σε τρίγωνα
Αρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συναρτήσει του t. Στη συνέχεια
χρησιμοποιούμε το διάγραμμα:
Για επίπεδα σχήματα ή στερεά χρησιμοποιούμε τους τύπους περιμέτρου, εμβαδού ή όγκου.
Στη διαδικασία επίλυσης ακολουθούμε τα εξής βήματα:
1ο: Κάνουμε σχήμα, όπου είναι απαραίτητο και συμβολίζουμε με μεταβλητές τα διάφορα
μεγέθη.
2ο: Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις
κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή το t.
3ο: Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή 0t που μας ενδιαφέρει.
4ο: Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο.
38. Ένας άνθρωπος ύψους 1,80m, απομακρύνεται
από έναν φανοστάτη, ύψους 7,2m, με ταχύτητα
0,9m/sec. Να βρείτε την ταχύτητα με την οποία
αυξάνεται ο ίσκιος του ανθρώπου.
Λύση
Ο άνθρωπος έχει διανύσει την απόσταση OA x ή OA x(t) .Επειδή η ταχύτητά του είναι 0,9m/sec,
ισχύει:  x t 0,9  .Η σκιά του ανθρώπου είναι το τμήμα AB S ή  AB S t . Αναζητούμε το  S t .
Τα τρίγωνα ΟΒΦ και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε από τους λόγους ομοιότητας, ισχύει:
 
   
S tAB 1,8 1
OB x t +S t 7,2 4

    

     4S t x t S t  
       
1
3S t x t S t x t
3
   και    
1 1
S t x t 0,9 0,3m / sec
3 3
     .
39. Ένας παρατηρητής απέχει 300m από ένα ευθύγραμμο τμήμα ενός αυτοκινητοδρόμου.
Ένα αυτοκίνητο εισέρχεται στην αρχή του τμήματος αυτού με ταχύτητα 80km/h. Να
Ένα τρίγωνο στο σχήμα
Πως βρίσκω τη γεωμετρική σχέση που συνδέει τα
μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος;
Δύο τρίγωνα στο σχήμα
ορθογώνιο τρίγωνο
Πυθαγόρειο
θεώρημα
 Τριγωνομετρικοί
αριθμοί οξείας
γωνίας
Η σχέση συνήθως είναι:
2 2 2
2      
(νόμος συνημιτόνων)
ή
1
2
  
Συνήθως
εφαρμόζουμε
συνθήκη ομοιότητας
τριγώνων
τυχαίο τρίγωνο
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
23
6η Κατηγορία: Ρυθμός μεταβολής σε γεωμετρικά σχήματα
Ρυθμός μεταβολής σε τρίγωνα
Αρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συναρτήσει του t. Στη συνέχεια
χρησιμοποιούμε το διάγραμμα:
Για επίπεδα σχήματα ή στερεά χρησιμοποιούμε τους τύπους περιμέτρου, εμβαδού ή όγκου.
Στη διαδικασία επίλυσης ακολουθούμε τα εξής βήματα:
1ο: Κάνουμε σχήμα, όπου είναι απαραίτητο και συμβολίζουμε με μεταβλητές τα διάφορα
μεγέθη.
2ο: Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις
κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή το t.
3ο: Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή 0t που μας ενδιαφέρει.
4ο: Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο.
38. Ένας άνθρωπος ύψους 1,80m, απομακρύνεται
από έναν φανοστάτη, ύψους 7,2m, με ταχύτητα
0,9m/sec. Να βρείτε την ταχύτητα με την οποία
αυξάνεται ο ίσκιος του ανθρώπου.
Λύση
Ο άνθρωπος έχει διανύσει την απόσταση OA x ή OA x(t) .Επειδή η ταχύτητά του είναι 0,9m/sec,
ισχύει:  x t 0,9  .Η σκιά του ανθρώπου είναι το τμήμα AB S ή  AB S t . Αναζητούμε το  S t .
Τα τρίγωνα ΟΒΦ και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε από τους λόγους ομοιότητας, ισχύει:
 
   
S tAB 1,8 1
OB x t +S t 7,2 4

    

     4S t x t S t  
       
1
3S t x t S t x t
3
   και    
1 1
S t x t 0,9 0,3m / sec
3 3
     .
39. Ένας παρατηρητής απέχει 300m από ένα ευθύγραμμο τμήμα ενός αυτοκινητοδρόμου.
Ένα αυτοκίνητο εισέρχεται στην αρχή του τμήματος αυτού με ταχύτητα 80km/h. Να
Ένα τρίγωνο στο σχήμα
Πως βρίσκω τη γεωμετρική σχέση που συνδέει τα
μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος;
Δύο τρίγωνα στο σχήμα
ορθογώνιο τρίγωνο
Πυθαγόρειο
θεώρημα
 Τριγωνομετρικοί
αριθμοί οξείας
γωνίας
Η σχέση συνήθως είναι:
2 2 2
2      
(νόμος συνημιτόνων)
ή
1
2
  
Συνήθως
εφαρμόζουμε
συνθήκη ομοιότητας
τριγώνων
τυχαίο τρίγωνο
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
23
6η Κατηγορία: Ρυθμός μεταβολής σε γεωμετρικά σχήματα
Ρυθμός μεταβολής σε τρίγωνα
Αρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συναρτήσει του t. Στη συνέχεια
χρησιμοποιούμε το διάγραμμα:
Για επίπεδα σχήματα ή στερεά χρησιμοποιούμε τους τύπους περιμέτρου, εμβαδού ή όγκου.
Στη διαδικασία επίλυσης ακολουθούμε τα εξής βήματα:
1ο: Κάνουμε σχήμα, όπου είναι απαραίτητο και συμβολίζουμε με μεταβλητές τα διάφορα
μεγέθη.
2ο: Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις
κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή το t.
3ο: Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή 0t που μας ενδιαφέρει.
4ο: Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο.
38. Ένας άνθρωπος ύψους 1,80m, απομακρύνεται
από έναν φανοστάτη, ύψους 7,2m, με ταχύτητα
0,9m/sec. Να βρείτε την ταχύτητα με την οποία
αυξάνεται ο ίσκιος του ανθρώπου.
Λύση
Ο άνθρωπος έχει διανύσει την απόσταση OA x ή OA x(t) .Επειδή η ταχύτητά του είναι 0,9m/sec,
ισχύει:  x t 0,9  .Η σκιά του ανθρώπου είναι το τμήμα AB S ή  AB S t . Αναζητούμε το  S t .
Τα τρίγωνα ΟΒΦ και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε από τους λόγους ομοιότητας, ισχύει:
 
   
S tAB 1,8 1
OB x t +S t 7,2 4

    

     4S t x t S t  
       
1
3S t x t S t x t
3
   και    
1 1
S t x t 0,9 0,3m / sec
3 3
     .
39. Ένας παρατηρητής απέχει 300m από ένα ευθύγραμμο τμήμα ενός αυτοκινητοδρόμου.
Ένα αυτοκίνητο εισέρχεται στην αρχή του τμήματος αυτού με ταχύτητα 80km/h. Να
Ένα τρίγωνο στο σχήμα
Πως βρίσκω τη γεωμετρική σχέση που συνδέει τα
μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος;
Δύο τρίγωνα στο σχήμα
ορθογώνιο τρίγωνο
Πυθαγόρειο
θεώρημα
 Τριγωνομετρικοί
αριθμοί οξείας
γωνίας
Η σχέση συνήθως είναι:
2 2 2
2      
(νόμος συνημιτόνων)
ή
1
2
  
Συνήθως
εφαρμόζουμε
συνθήκη ομοιότητας
τριγώνων
τυχαίο τρίγωνο

24. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
24
βρείτε την ταχύτητα με την οποία πλησιάζει το αυτοκίνητο τον παρατηρητή όταν η
μεταξύ τους απόσταση είναι 500m.
Λύση
40. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με γωνία   o
A 30 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν η
πλευρά
αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm / s και η πλευρά γ αυξάνεται με ρυθμό 0,9cm / s , να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής του Εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι
ισοσκελές, με κορυφή Α.
β) Το ρυθμό μεταβολής της πλευράς α του τριγώνου, τη χρονική στιγμή που είναι
ισοσκελές, με κορυφή Α.
Λύση
α) Τη χρονική στιγμή t 0 , είναι: (0) 4cm  , (0) 2cm  .
Τη χρονική στιγμή t, η πλευρά β έχει αυξήσει το μήκος της κατά 0,5 cm και η
πλευρά γ, κατά 0,9 cm . Άρα, (t) 4 0,5t   και (t) 2 0,9t   .
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές τη χρονική στιγμή κατά την οποία:
(t) (t) 4 0,5t 2 0,9t t 5sec         .
Το Εμβαδόν Ε(t) του τριγώνου είναι:
o1 1 1
E(t) (t) (t) (t) (t) 30 (t) (t)
2 2 4
           .
Είναι (5) 4 0,5 5 6,5 (5),       (5) 0,5  και (5) 0,9  .
 
1
(t) (t) (t) (t) (t)
4
         και
    21 1
E (5) (5) (5) (5) (5) 0,5 6,5 6,5 0,9 2,275cm / s
4 4
             .
β) Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:
2 2 2
(t) (t) (t) 2 (t) (t)          2 2
(t) (t) (t) (t) (t) 3        .
Η συνάρτηση  t είναι παραγωγίσιμη στο  0, με:
 
2 2
2 (t) (t) 2 (t) (t) 3 (t) (t) (t) (t)
(t)
2 (t) (t) (t) (t) 3
             
 
     
και για t 5 είναι:
 
2 2
2 6,5 0,5 2 6,5 0,9 3 0,5 6,5 6,5 0,9
(t) 1,35cm/s
2 6,5 6,5 6,5 6,5 3

        
 
   
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
24
βρείτε την ταχύτητα με την οποία πλησιάζει το αυτοκίνητο τον παρατηρητή όταν η
μεταξύ τους απόσταση είναι 500m.
Λύση
40. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με γωνία   o
A 30 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν η
πλευρά
αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm / s και η πλευρά γ αυξάνεται με ρυθμό 0,9cm / s , να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής του Εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι
ισοσκελές, με κορυφή Α.
β) Το ρυθμό μεταβολής της πλευράς α του τριγώνου, τη χρονική στιγμή που είναι
ισοσκελές, με κορυφή Α.
Λύση
α) Τη χρονική στιγμή t 0 , είναι: (0) 4cm  , (0) 2cm  .
Τη χρονική στιγμή t, η πλευρά β έχει αυξήσει το μήκος της κατά 0,5 cm και η
πλευρά γ, κατά 0,9 cm . Άρα, (t) 4 0,5t   και (t) 2 0,9t   .
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές τη χρονική στιγμή κατά την οποία:
(t) (t) 4 0,5t 2 0,9t t 5sec         .
Το Εμβαδόν Ε(t) του τριγώνου είναι:
o1 1 1
E(t) (t) (t) (t) (t) 30 (t) (t)
2 2 4
           .
Είναι (5) 4 0,5 5 6,5 (5),       (5) 0,5  και (5) 0,9  .
 
1
(t) (t) (t) (t) (t)
4
         και
    21 1
E (5) (5) (5) (5) (5) 0,5 6,5 6,5 0,9 2,275cm / s
4 4
             .
β) Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:
2 2 2
(t) (t) (t) 2 (t) (t)          2 2
(t) (t) (t) (t) (t) 3        .
Η συνάρτηση  t είναι παραγωγίσιμη στο  0, με:
 
2 2
2 (t) (t) 2 (t) (t) 3 (t) (t) (t) (t)
(t)
2 (t) (t) (t) (t) 3
             
 
     
και για t 5 είναι:
 
2 2
2 6,5 0,5 2 6,5 0,9 3 0,5 6,5 6,5 0,9
(t) 1,35cm/s
2 6,5 6,5 6,5 6,5 3

        
 
   
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
24
βρείτε την ταχύτητα με την οποία πλησιάζει το αυτοκίνητο τον παρατηρητή όταν η
μεταξύ τους απόσταση είναι 500m.
Λύση
40. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με γωνία   o
A 30 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν η
πλευρά
αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm / s και η πλευρά γ αυξάνεται με ρυθμό 0,9cm / s , να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής του Εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι
ισοσκελές, με κορυφή Α.
β) Το ρυθμό μεταβολής της πλευράς α του τριγώνου, τη χρονική στιγμή που είναι
ισοσκελές, με κορυφή Α.
Λύση
α) Τη χρονική στιγμή t 0 , είναι: (0) 4cm  , (0) 2cm  .
Τη χρονική στιγμή t, η πλευρά β έχει αυξήσει το μήκος της κατά 0,5 cm και η
πλευρά γ, κατά 0,9 cm . Άρα, (t) 4 0,5t   και (t) 2 0,9t   .
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές τη χρονική στιγμή κατά την οποία:
(t) (t) 4 0,5t 2 0,9t t 5sec         .
Το Εμβαδόν Ε(t) του τριγώνου είναι:
o1 1 1
E(t) (t) (t) (t) (t) 30 (t) (t)
2 2 4
           .
Είναι (5) 4 0,5 5 6,5 (5),       (5) 0,5  και (5) 0,9  .
 
1
(t) (t) (t) (t) (t)
4
         και
    21 1
E (5) (5) (5) (5) (5) 0,5 6,5 6,5 0,9 2,275cm / s
4 4
             .
β) Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:
2 2 2
(t) (t) (t) 2 (t) (t)          2 2
(t) (t) (t) (t) (t) 3        .
Η συνάρτηση  t είναι παραγωγίσιμη στο  0, με:
 
2 2
2 (t) (t) 2 (t) (t) 3 (t) (t) (t) (t)
(t)
2 (t) (t) (t) (t) 3
             
 
     
και για t 5 είναι:
 
2 2
2 6,5 0,5 2 6,5 0,9 3 0,5 6,5 6,5 0,9
(t) 1,35cm/s
2 6,5 6,5 6,5 6,5 3

        
 
   

25. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
25
41. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με   o
A 150 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν οι πλευρές β,γ
αυξάνονται με ρυθμό 2cm / sec , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του μετά
από 3sec .
Λύση
42. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση 8cm και ύψος που αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm/sec.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας της κορυφής, όταν το ύψος του τριγώνου
είναι 3cm.
Λύση
43. Σκάλα μήκους 5m, είναι τοποθετημένη σε έναν
τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει και
απομακρύνεται από τον τοίχο με ταχύτητα
0,2m / s . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η
κορυφή της σκάλας απέχει 4m από το έδαφος,
να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ.
β) Την ταχύτητα πτώσης της κορυφής Α της σκάλας.
Λύση
Είναι  OB x t ,  x t 0,2m / s  . Επίσης,  OA y t , AB 5m και   OBA t  .
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
25
41. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με   o
A 150 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν οι πλευρές β,γ
αυξάνονται με ρυθμό 2cm / sec , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του μετά
από 3sec .
Λύση
42. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση 8cm και ύψος που αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm/sec.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας της κορυφής, όταν το ύψος του τριγώνου
είναι 3cm.
Λύση
43. Σκάλα μήκους 5m, είναι τοποθετημένη σε έναν
τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει και
απομακρύνεται από τον τοίχο με ταχύτητα
0,2m / s . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η
κορυφή της σκάλας απέχει 4m από το έδαφος,
να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ.
β) Την ταχύτητα πτώσης της κορυφής Α της σκάλας.
Λύση
Είναι  OB x t ,  x t 0,2m / s  . Επίσης,  OA y t , AB 5m και   OBA t  .
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
25
41. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με   o
A 150 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν οι πλευρές β,γ
αυξάνονται με ρυθμό 2cm / sec , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του μετά
από 3sec .
Λύση
42. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση 8cm και ύψος που αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm/sec.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας της κορυφής, όταν το ύψος του τριγώνου
είναι 3cm.
Λύση
43. Σκάλα μήκους 5m, είναι τοποθετημένη σε έναν
τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει και
απομακρύνεται από τον τοίχο με ταχύτητα
0,2m / s . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η
κορυφή της σκάλας απέχει 4m από το έδαφος,
να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ.
β) Την ταχύτητα πτώσης της κορυφής Α της σκάλας.
Λύση
Είναι  OB x t ,  x t 0,2m / s  . Επίσης,  OA y t , AB 5m και   OBA t  .

26. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
26
Είναι    2 2
x t y t 25  (1) και  
 y t
t
5
  ,  
 x t
t
5
  .
Είναι  0y t 4m και      2 2
0 0 0x t y t 25 x t 3m    . Είναι  0
4
t
5
  και  0
3
t
5
  .
  
 
   
 x t x t
t t t
5 5
         
 
και για 0t t , είναι:
   
 0
0 0
x t
t t
5

     0
4 0,2
t
5 5
     0t 0,05rad / s   .
Είναι               2 2
x t y t 25 2x t x t 2y t y t 0        . Για 0t t είναι:
       0 0 0 0x t x t y t y t 0       0 03 0,2 4y t 0 y t 0,15m / s     
44. Δίνεται ορθή γωνία xOy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10m του οποίου τα άκρα
Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και Ox αντίστοιχα. Το σημείο Β κινείται με
σταθερή ταχύτητα 2m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα Οx δίνεται από τη συνάρτηση
  s t υt ,    t 0,5 , όπου t ο χρόνος σε sec.
α) Να βρείτε το εμβαδόν  E t του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου t.
β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού E(t) , τη στιγμή κατά την οποία το μήκος
του ΟΑ είναι 6cm.
Λύση
45. Δύο υλικά σημεία Α και Β κινούνται πάνω στους άξονες x x και y y αντίστοιχα. Αν οι
θέσεις τους κάθε χρονική στιγμή t(sec) δίνονται από τις συναρτήσεις    2
x t t t και
    2
y t 4 t , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της μεταξύ τους απόστασης τη χρονική
στιγμή t 1 sec .
Λύση

27. www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
27
46. Ένα υλικό σημείο Μ κινείται επί της ευθείας  y 2x 4 και η τετμημένη του κάθε
χρονική στιγμή t(sec) , δίνεται από τον τύπο 
2
t
x(t) e , t 1 . Δίνεται επίσης το σημείο
A(8,0) . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα διέρχεται από το σημείο  4 4
e ,2e 4 ,
να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ, όπου Ο η αρχή των
αξόνων.
Λύση
47. Ένα αερόστατο ξεκινά από το σημείο Κ να ανέρχεται
κατακόρυφα με ταχύτητα 20m / min .Ένας άνθρωπος
βρίσκεται σε απόσταση 30m από το σημείο Κ και παρατηρεί
το αερόστατο να απομακρύνεται. Να βρείτε την ταχύτητα
απομάκρυνσης του αερόστατου, από τον άνθρωπο,
δύο λεπτά μετά την έναρξη της κατακόρυφης κίνησής του.
Λύση
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
27
46. Ένα υλικό σημείο Μ κινείται επί της ευθείας  y 2x 4 και η τετμημένη του κάθε
χρονική στιγμή t(sec) , δίνεται από τον τύπο 
2
t
x(t) e , t 1 . Δίνεται επίσης το σημείο
A(8,0) . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα διέρχεται από το σημείο  4 4
e ,2e 4 ,
να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ, όπου Ο η αρχή των
αξόνων.
Λύση
47. Ένα αερόστατο ξεκινά από το σημείο Κ να ανέρχεται
κατακόρυφα με ταχύτητα 20m / min .Ένας άνθρωπος
βρίσκεται σε απόσταση 30m από το σημείο Κ και παρατηρεί
το αερόστατο να απομακρύνεται. Να βρείτε την ταχύτητα
απομάκρυνσης του αερόστατου, από τον άνθρωπο,
δύο λεπτά μετά την έναρξη της κατακόρυφης κίνησής του.
Λύση
www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής
27
46. Ένα υλικό σημείο Μ κινείται επί της ευθείας  y 2x 4 και η τετμημένη του κάθε
χρονική στιγμή t(sec) , δίνεται από τον τύπο 
2
t
x(t) e , t 1 . Δίνεται επίσης το σημείο
A(8,0) . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα διέρχεται από το σημείο  4 4
e ,2e 4 ,
να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ, όπου Ο η αρχή των
αξόνων.
Λύση
47. Ένα αερόστατο ξεκινά από το σημείο Κ να ανέρχεται
κατακόρυφα με ταχύτητα 20m / min .Ένας άνθρωπος
βρίσκεται σε απόσταση 30m από το σημείο Κ και παρατηρεί
το αερόστατο να απομακρύνεται. Να βρείτε την ταχύτητα
απομάκρυνσης του αερόστατου, από τον άνθρωπο,
δύο λεπτά μετά την έναρξη της κατακόρυφης κίνησής του.
Λύση