Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου

1. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
&
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2. Μοιράζουμε στους μαθητές ένα φύλλο το
οποίο περιέχει ορισμένες γραφικές
παραστάσεις συναρτήσεων και τις
εφαπτόμενες τους σε κάποιο σημείο, όπως
δείχνουν τα παρακάτω σχήματα.

3. A B A B
A B
A B

4. Αρχικά οι μαθητές μπορεί να κάνουν την εξής περίπου
διατύπωση:
« Μπορούμε να βρούμε ένα σημείο πάνω
στην καμπύλη, στο οποίο η εφαπτομένη να
είναι παράλληλη στον άξονα x΄x».

5. « Είναι δυνατόν να ισχύει η εικασία αυτή για οποιαδήποτε καμπύλη;».
Τους παρουσιάζουμε τo παρακάτω σχήμα.
Το θεώρημα- εικασία λοιπόν επαναδιατυπώνεται ως εξής:
« Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχει
τουλάχιστον ένα σημείο στη γραφική της παράσταση στο οποίο η
εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x».

6. Δίνουμε παράδειγμα το δεύτερο σχήμα
Το θεώρημα – εικασία μπορεί να βελτιωθεί και να αναδιατυπωθεί ως εξής:
«Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο
ορισμού της, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της γραφικής
της παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη
στον άξονα x΄x».

7. Το ότι η συνθήκη της παραγωγισιμότητας είναι αναγκαία, θα φανεί λογική ,
αλλά στο επόμενο σχήμα είναι αδύνατο να βρουν εφαπτομένη παράλληλη
στον x΄x.
Διαπιστώνεται ότι η συνθήκη f(α)=f(β) είναι ουσιαστική για να μπορεί να
εφαρμοστεί το θεώρημα στο διάστημα [α,β].

8. Διατυπώνεται το τελικό πια
Θεώρημα του Rolle
ως εξής:

9. « Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β)
με f(α)=f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο ξ στο διάστημα (α,β),
τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0».
Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle:
Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο ξ στο διάστημα (α,β), ώστε η εφαπτομένη
της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη
στον άξονα x΄x».
f(α)=f(β)
α β

10. Οι υποθέσεις που αναφέρονται στη διατύπωση
του Θεωρήματος του Rolle αποτελούν τις ικανές
συνθήκες, όχι όμως και τις αναγκαίες για να
υπάρχει ξ∈(α, β), με f΄(ξ)=0. Αυτό σημαίνει ότι,
αν μία ή περισσότερες από τις υποθέσεις του
θεωρήματος του Rolle δεν ικανοποιούνται, τότε
ενδέχεται να υπάρχει ή και να μην υπάρχει ξ, με
f΄(ξ)=0.

11. Για το λόγο αυτό δίνουμε στους μαθητές τα
παρακάτω σχήματα σε αντιστοιχία με αυτά που
τους οδήγησαν να βρουν τις τελικές
προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, στα
οποία ικανοποιείται το συμπέρασμα του
θεωρήματος, ενώ δεν ικανοποιείται κάποια από
τις υποθέσεις του .

12.  Δεν ικανοποιείται η συνέχεια στο κλειστό
διάστημα [α, β].

13.  Η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο
ανοικτό διάστημα (α, β)

14.  Δεν ισχύει η προϋπόθεση f(α)=f(β)

15.  Τέλος η συνάρτηση δεν ικανοποιεί καμία από
τις τρεις προϋποθέσεις του θεωρήματος του
Rolle.

16. Κάποιες αλγεβρικές συνέπειες του θεωρήματος του Rolle.
1. Μεταξύ δύο ριζών μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης βρίσκεται μία, τουλάχιστον, ρίζα
της παραγώγου. Μπορούμε να έχουμε εποπτική εικόνα με το παρακάτω σχήμα.
Με μετατόπιση του διαγράμματος της f ώστε τα α, β να είναι ρίζες της, οπότε f(α)=f(β)=0,
τότε από το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένας αριθμός ξ ανάμεσα στα α και β τέτοιος ώστε
f΄(ξ)=0.
2. Αν η εξίσωση f΄(x)=0 έχει κ ακριβώς διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τότε η εξίσωση
f(x)=0 έχει το πολύ κ+1.
3. Ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f΄ , η f έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα.
α β

17. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
Προκειμένου να συνδέσουμε το επόμενο θεώρημα
της Μέσης τιμής με το θεώρημα του Rolle,
μοιράζουμε στους μαθητές από ένα φύλλο στο
οποίο παρουσιάζουμε τα προηγούμενα σχήματα,
αφού πρώτα τα περιστρέψουμε κατά μια οξεία
γωνία.

18. Α
Β
Α
Β
Α
Β
Α
Β

19. Oι μαθητές εύκολα οδηγούνται στη διατύπωση του θεωρήματος της Μέσης Τιμής,
πρώτα σε γεωμετρική γλώσσα:
« Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και
παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
της γραφικής της παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη είναι
παράλληλη στη χορδή που συνδέει τα άκρα της».
Και σε τυπική φορμαλιστική γλώσσα:
« εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και
παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο
ξ ∈(α, β) τέτοιο ώστε:
α-β
)α(f-)β(f
=)ξ('f

20. Για να κάνουμε πιο φανερή από εποπτική άποψη την αλήθεια του
παραπάνω τύπου μπορούμε να φανταστούμε τη συνάρτηση f(x)
σαν την απόσταση που διανύει ένα κινητό σημείο κατά το χρόνο x.
Το πηλίκο παριστάνει τη μέση ταχύτητα του κινητού
στο χρονικό διάστημα [α, β] και η παράγωγος f΄(ξ)
τη στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή x.
Η σχέση μας λέει ότι θα πρέπει να υπάρχει κάποια
στιγμή κατά την οποία η στιγμιαία ταχύτητα γίνεται
ίση με τη μέση ταχύτητα του κινητού.
Παράδειγμα: Αν η μέση ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι 60 km/h
κατά τη διάρκεια κάποιου χρονικού διαστήματος, θα υπάρχει μια
τουλάχιστον χρονική στιγμή μέσα σ’ αυτό το διάστημα που η
στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου θα είναι 60 km/h.

21.  Δεν είναι δύσκολο εδώ να δούμε πως το συμπέρασμα του θεωρήματος
Μέσης Τιμής μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αν εφαρμόσουμε το Θεώρημα
Rolle στο διάστημα [α, β] για τη συνάρτηση :
x
α-β
)αf(-)β(f
-)x(f=)x(g
 Αυτή η μέθοδος απόδειξης του Θ.Μ.Τ., παρ’ όλο που είναι εκτός διδακτέας
ύλης, οδηγεί στην αντιμετώπιση πολλών θεμάτων και για τον λόγο αυτό
προτείνεται ως άσκηση μεθοδολογίας.

22. Για παραπέρα ενίσχυση της εποπτείας και
σύνδεσης των δύο θεωρημάτων με έννοιες του
πραγματικού κόσμου, παρουσιάζουμε το
πρόβλημα του ορειβάτη:

23. 1. Έχουμε ένα βουνό του οποίου οι πρόποδες Α και Β έχουν το ίδιο υψόμετρο ως προς
την οριζόντια στάθμη της θάλασσας. Ένας ορειβάτης ξεκινά από τους πρόποδες στο
σημείο Α και προσπαθεί να το ανέβει και στη συνέχεια να το κατέβει, επιλέγοντας μια
λεία διαδρομή, ώσπου να φτάσει στους πρόποδες από την άλλη όμως πλευρά του
στο σημείο Β.
 Το ερώτημα είναι εάν θα υπάρξει τουλάχιστον κάποιο σημείο της διαδρομής, στο
οποίο ο ορειβάτης θα βαδίζει ίσια, δηλαδή παράλληλα προς την οριζόντια στάθμη της
θάλασσας.
 Η απάντηση είναι ότι αναγκαστικά αυτό θα πρέπει να συμβεί, αφού σε αντίθετη
περίπτωση ο ορειβάτης θα ανέβαινε διαρκώς, πράγμα που είναι αδύνατο.
Α Β
Στάθμη της θάλασσας

24. 2. Στη δεύτερη περίπτωση, ο ορειβάτης διασχίζει το
βουνό ξεκινώντας από τους πρόποδες στο σημείο Α
και καταλήγει στους πρόποδες από την άλλη μεριά
στο σημείο Β το οποίο βρίσκεται σε διαφορετικό
υψόμετρο από το σημείο Α.
Α
Β
Στάθμη της θάλασσας

25. 3. Ας υποθέσουμε ότι μια συνάρτηση V(t) μετράει τον όγκο του αέρα
που βρίσκεται στους πνεύμονες ενός ανθρώπου, ως προς το
χρόνο t, κατά τη διάρκεια μιας αναπνοής. Υποθέτουμε ότι:
Α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από μια ομαλή καμπύλη
(γραφική παράσταση παραγωγίσιμης συνάρτησης)
Β) η V(t) παίρνει την ίδια τιμή (περίπου 4 lt) στο τέλος κάθε
εισπνοής.
 Ερώτηση: υπάρχει χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια μιας
αναπνοής, όπου μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του
αέρα που βρίσκεται στους πνεύμονες του ανθρώπου;

26. 4. Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σημείο Α να φτάσει
στο Β. Η πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καμπύλη y=f(x) και το
Jeep μπορεί να αναρριχηθεί σε κλίσεις ως 25%. Ο οδηγός
θα πετύχει το σκοπό του;
Β
150 m
A 0,5 Km

27. Μια άλλη πρόταση για τη σειρά
διδασκαλίας του θεωρήματος Rolle
και του θεωρήματος Fermat.

28. Θεώρημα Fermat
 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ξ ένα
εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ξ
και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε f΄(ξ)=0.
 Για το θεώρημα του Rolle:
Απόδειξη:
Από τη συνέχεια της f στο [α, β] συμπεραίνουμε ότι η f
έχει μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή στο [α, β]. Ας
υποθέσουμε πρώτα ότι η μέγιστη τιμή παίρνεται σ’ ένα
σημείο ξ στο (α, β). Τότε f΄(ξ)=0 από το θεώρημα Fermat
και τελειώσαμε.
Ας υποθέσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της f παίρνεται σε κάποιο
σημείο ξ στο (α, β). Τότε, ομοίως, f΄(ξ)=0 από το θεώρημα
Fermat.
Τέλος ας υποθέσουμε ότι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή
παίρνονται και οι δύο στα άκρα. Αφού f (α)= f (β), η μέγιστη
και η ελάχιστη τιμή της f είναι ίσες, άρα η f είναι σταθερή
συνάρτηση και για μια σταθερή συνάρτηση μπορούμε να
διαλέξουμε οποιοδήποτε ξ στο (α, β).
α β
α β
α β

29. Παρατηρείστε ότι χρειαστήκαμε ουσιαστικά την
υπόθεση πως η f είναι παραγωγίσιμη παντού στο
(α, β) για να εφαρμόσουμε το θεώρημα Fermat.
Χωρίς αυτή την υπόθεση το θεώρημα δεν ισχύει.
Ίσως αναρωτιέστε γιατί να έχει ένα ειδικό όνομα ένα
θεώρημα με τόσο εύκολη απόδειξη σαν το θεώρημα
του Rolle. Ο λόγος είναι ότι, αν και το θεώρημα του
Rolle είναι μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος
Μέσης Τιμής, δίνει όμως μια απλή απόδειξη του.

30. Στην παραπάνω πρόταση διδασκαλίας του Θεωρήματος Rolle και
του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, στο επίπεδο των Μαθηματικών
Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, προσπαθήσαμε να παρουσιάσουμε το
θέμα, στοχεύοντας κυρίως στην κατανόηση των εμπλεκομένων
εννοιών και των διασυνδέσεων τους.
Τα συγκεκριμένα θεωρήματα και οι συνέπειές τους είναι ιδιαίτερα
σημαντικά για το Διαφορικό Λογισμό και δεν εξαντλούνται στη
διάρκεια μιας παρουσίασης.
Άλλωστε η διδασκαλία είναι μία ατελείωτη συζήτηση.