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二次形式と素数で遊ぼう - 第2回 #日曜数学会

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第2回日曜数学会にて辻 (@tsujimotter) が発表した資料です。

日曜数学会のイベントページはこちら↓
https://www.facebook.com/events/1148211338538620/1169996936360060/

tsujimotterのウェブサイト
http://tsujimotter.info

スライド内で紹介したウェブページ
http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/

Published in: Education
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二次形式と素数で遊ぼう - 第2回 #日曜数学会

  1. 1. 二次形式と素数で遊ぼう 日曜数学者  辻 順平 @tsujimotter http://tsujimotter.info/
  2. 2. 数が好きになる   お話 2
  3. 3. 問題 •  素数   個のサイコロがあります。 •  このサイコロを2つの正方形に並べて分けてみましょう。 •  どんな のとき,2つの正方形に分けることができるかな? p = 13 p = 13 p = 13 3
  4. 4. p = 13 () +2 3 4
  5. 5. +2 3 7 11 1 4+ 分けられる 分けられない 2つの正方形に 5
  6. 6. 4 4 6
  7. 7. 4 4 4k+1 型 4k+3 型 7
  8. 8. フェルマーの二平方定理 簡単 むずい  (偶数)2 = 4k’  (奇数)2 = 4k’’ + 1 より右辺はどうやっても   4k+3 にならない p = 4k + 1 () p = x2 + y2 ((=) (=)) (証明) 8
  9. 9. 平方剰余の相互法則 むずい (=)) 9
  10. 10. 10 p⇤ = (-1) p-1 2 p p, q is prime ✓ p⇤ q ◆ = ✓ q p ◆
  11. 11. 11http://www.slideshare.net/junpeitsuji/maths4pg  時計の中の整数論  -­‐  SlideShare
  12. 12. ガウス すばらしい   算術の真理 12 アリトメティカ
  13. 13. 7つの証明 13
  14. 14. ほかにも   成り立つ   こんな定理 14
  15. 15. p = 8k + 1, 8k + 3 () p = x2 + 2y2 p = 3k + 1 () p = x2 + 3y2 p = 4k + 1 () p = x2 + y2 15 正方形2つ正方形 正方形3つ正方形
  16. 16. p = 40k + 1, 40k + 9, 40k + 11, 40k + 19 () p = x2 + 10y2 p = 7k + 1, 7k + 2, 7k + 4 () p = x2 + 7y2 p = 24k + 1, 24k + 7 () p = x2 + 6y2 p = 20k + 1, 20k + 9 () p = x2 + 5y2 16
  17. 17. 多くの に対して※ が表現する素数の条件は 素数を で割った余りによって表せる ※ に対応するヒルベルト類体が  のアーベル拡大であるとき( 類体論より) x2 + ny2 n 4n Q( p -n)/Q 二次形式 17 Q( p -n)/Q
  18. 18. 「56 で割った余り」では区別できない p = 56k + 1, 56k + 9, 56k + 15, 56k + 23, 56k + 25 or 56k + 39 () 8 < : p = x2 + 14y2 or p = 2x2 + 14y2 9 = ; アタリ ハズレ 例外: 18
  19. 19. p = x2 + ny2 の問題は   数論の発展の歴史をたどる魅力的なトピック フェルマー・ガウスの整数論 クンマー・デデキントのイデアル論 ヒルベルトの理論 類体論 19
  20. 20. もっと 理解したい 20
  21. 21. 21
  22. 22. これ 22 p = 20k + 1, 20k + 9 () p = x2 + 5y2
  23. 23. 可視化   しよう 23
  24. 24. 24
  25. 25. 32 + 5 x 22 25
  26. 26. Demo app is here !! Primes of the form x2 + ny2. http://tsujimotter.info/works/primes-­‐of-­‐the-­‐form/     26
  27. 27. 参考文献 David A. Cox, “Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication”, WILEY (2013). 青色が 2nd Edition (最新) 27

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