第２回日曜数学会にて辻 (@tsujimotter) が発表した資料です。 日曜数学会のイベントページはこちら↓ https://www.facebook.com/events/1148211338538620/1169996936360060/ tsujimotterのウェブサイト http://tsujimotter.info スライド内で紹介したウェブページ http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/

1. 二次形式と素数で遊ぼう
日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter
http://tsujimotter.info/

2. 数が好きになる
お話
2

3. 問題
• 素数 個のサイコロがあります。
• このサイコロを２つの正方形に並べて分けてみましょう。
• どんな のとき，２つの正方形に分けることができるかな？
p = 13
p = 13
p = 13
3

4. p = 13
()
+2 3
4

5. +2 3
7
11
1 4+
分けられる 分けられない
２つの正方形に
5

6. 4 4
6

7. 4 4
4k+1 型 4k+3 型
7

8. フェルマーの二平方定理
簡単
むずい
(偶数)2 = 4k’
(奇数)2 = 4k’’ + 1
より右辺はどうやっても
4k+3 にならない
p = 4k + 1 () p = x2
+ y2
((=)
(=))
（証明）
8

9. 平方剰余の相互法則
むずい
(=))
9

10. 10
p⇤
= (-1)
p-1
2 p
p, q is prime
✓
p⇤
q
◆
=
✓
q
p
◆

11. 11http://www.slideshare.net/junpeitsuji/maths4pg
時計の中の整数論
-­‐
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12. ガウス
すばらしい
算術の真理
12
アリトメティカ

13. ７つの証明
13

14. ほかにも
成り立つ
こんな定理
14

15. p = 8k + 1, 8k + 3 () p = x2
+ 2y2
p = 3k + 1 () p = x2
+ 3y2
p = 4k + 1 () p = x2
+ y2
15
正方形２つ正方形
正方形３つ正方形

16. p = 40k + 1, 40k + 9,
40k + 11, 40k + 19
() p = x2
+ 10y2
p = 7k + 1,
7k + 2, 7k + 4
() p = x2
+ 7y2
p = 24k + 1, 24k + 7 () p = x2
+ 6y2
p = 20k + 1, 20k + 9 () p = x2
+ 5y2
16

17. 多くの に対して※
が表現する素数の条件は
素数を で割った余りによって表せる
※ に対応するヒルベルト類体が のアーベル拡大であるとき（ 類体論より）
x2
+ ny2
n
4n
Q(
p
-n)/Q
二次形式
17
Q(
p
-n)/Q

18. 「56 で割った余り」では区別できない
p = 56k + 1, 56k + 9, 56k + 15,
56k + 23, 56k + 25 or 56k + 39
()
8
<
:
p = x2
+ 14y2
or
p = 2x2
+ 14y2
9
=
;
アタリ
ハズレ
例外：
18

19. p = x2 + ny2 の問題は
数論の発展の歴史をたどる魅力的なトピック
フェルマー・ガウスの整数論
クンマー・デデキントのイデアル論
ヒルベルトの理論
類体論
19

20. もっと
理解したい
20

21. 21

22. これ
22
p = 20k + 1, 20k + 9 () p = x2
+ 5y2

23. 可視化
しよう 23

24. 24

25. 32 + 5 x 22
25

26. Demo app is here !!
Primes of the form x2 + ny2.
http://tsujimotter.info/works/primes-­‐of-­‐the-­‐form/
26

27. 参考文献
David A. Cox,
“Primes of the Form x2+ny2:
Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication”,
WILEY (2013).
青色が 2nd Edition (最新)
27