พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตร

โดย . . . ครูปราณี เสียงสนั่น
โรงเรียนฤทธิณรงค์รอน

ทบทวนสูตรพื้นที่รูปเรขาคณิตต่างๆ

สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = 1 × ฐาน × สูง
2

3
_ × (ด้าน)2
สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 4

สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ = s( s  a )(s  b )(s  c )
a เมื่อ s = a + b + c
b 2
c

สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน

สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว

สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
2

สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูง

สูตร พื้นทีสี่เหลี่ยมใด ๆ = 1 × ความยาวเส้นทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเส้นกิ่ง
่ 2

ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
รัศมีวงกลม = 2
รัศมี (r)

รัศมี (r)
สูตร ความยาวเส้นรอบวงของวงกลม = 2r

สูตร พื้นที่วงกลม = r2
รัศมี (r)

ค่าของ  1. ใช้ค่าเศษส่วนประมาณ 227
2. ใช้ทศนิยม ประมาณ 3.1416

ทบทวนสูตรที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่และปริมาตร
พ.ท.ของ = 1 x ฐาน x สูง
2
พ.ท. ของ ผ = กว้าง x ยาว
พ.ท. ของ จ = ด้าน x ด้าน
พ.ท. ข = ฐาน x สูง
พ.ท. ค = 1 x (ผลบวกของด้านคู่ขนาน)x สูง
2
พ.ท.ของ = r2
ปริมาตร = พ.ท.ฐาน x สูง

1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ
ในชีวิตประจาวันนักเรียนจะพบรูปทรงเรขาคณิตมากมาย เช่น

1. ปริซึม ( PRISM )
ปริซึม ( PRISM ) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็น
รูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองนั้นอยู่บนระนาบ
ที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปริซึมฐานสามเหลี่ยม ปริซึมฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปริซึมฐานสี่เหลี่ยมลูกบาศก์

ปริซึมฐานห้าเหลี่ยม ปริซึมฐานหกเหลี่ยม

สารวจปริซึม
พิจารณารูปของปริซึมห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ต่อไปนี้
A
E
1. ปริซึมมีทั้งหมดกี่หน้า ( 7 หน้า )
B D 2. รูปเหลี่ยมที่เป็นฐานของปริซึม มีกี่รูป ชื่ออะไร
C
( 2 รูป คือ รูป ABCDE และรูป GHIJF )
G
F 3. รูปเหลี่ยมที่เป็นด้านข้างของปริซึม มีกี่รูป ( 5 รูป )
H
I
J
4. รูปเหลี่ยมที่เป็นด้านข้างของปริซึมเท่ากันทุกหน้าหรือไม่
( เท่ากัน )
5. ส่วนสูงของปริซึมมีความยาวเท่ากันหรือไม่ ( เท่ากัน )

6. ส่วนสูงของปริซึม คือส่วนของเส้นตรงใด
(ส่วนของเส้นตรง AG , BH , CI , DJ , EF )

การคลี่รูปปริซึมห้าเหลียมด้านเท่ามุมเท่า ต่อไปนี้
่

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 5 รูป
เป็นรูปห้าเหลี่ยม 2 รูป

ทาแบบฝึกหัดหน้า 5 – 7 ในหนังสือเรียน
2. รูปคลี่ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปคลี่ของปริซึมชนิดใด
1) 3)

2) 4)

4. รูปในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปของปริซึม จงระบุฐานทั้งสองของปริซึม
( วิธีวาดรูปของปริซึม ให้ใช้หลักเส้นขนาน )
1)

ทรงกระบอก ( cylinder ) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติทมีฐานทั้ง
ี่
สองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน
และเมือตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะ
่
ได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกรูป
เรขาคณิตสามมิตินั้นว่า “ ทรงกระบอก “

ส่วนต่างๆ ของทรงกระบอก

หน้าตัด หรือฐาน
แกน

ส่วนสูง
h
หน้าตัด หรือฐาน
รัศมีฐาน
r ทรงกระบอกตรง

คลี่ส่วนของหน้าตัดออก
รัศมีฐาน r
r
ความยาวรอบฐาน 2r

ความสูง h

r คลี่ส่วนข้างออกมา
คลี่หน้าตัดออก
สารวจทรงกระบอก หน้า 9- 10

ปริมาตรของทรงกระบอก คือ ความจุของทรงกระบอก หาได้จาก
หน้าตัด หรือฐาน รัศมีฐาน r
แกน
ส่วนสูง h สูตร พื้นที่วงกลม = r2

สูตร ปริมาตรของทรงกระบอก = r2 h

ข้อ 5. หน้า 31 รัศมีฐาน r = 10.5 ซม.

เค้กหนา 5 ซม.

ตัดเค้กออกให้มีมุมที่จุดศูนย์กลาง 60 องศา
ตัดเค้กออกให้มีมุมที่จุดศูนย์กลาง 60 องศา คิดเป็น 60 = 1 เท่าของเค้กทั้งก้อน
360 6
1 r2 h ) = 1 (22 x 10.52 x 5 )
ปริมาตรของเค้กที่ตัดออก = 6 6 7

ปริมาตรของเค้กที่ตัดออก = 288.75 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข้อ 8. หน้า 32

รัศมีฐาน r รัศมีฐาน 2r
ส่วนสูง 2h ส่วนสูง h

ปริมาตรของทรงกระบอกใบสูง = (r)2 (2h) = 2r2h

ปริมาตรของทรงกระบอกใบเตี้ย = (2r)2 h = 4r2h

ปริมาตรของทรงกระบอกใบเตี้ย = 2 เท่าของปริมาตรทรงกระบอกใบสูง
น้้าพริกเผาขวดสูงราคาขวดละ 16 บาท ถ้าซื้อสองขวดราคา 16 x 2 = 32 บาท
น้้าพริกเผาขวดเตี้ยราคาขวดละ 30 บาท ดังนั้นน้้าพริกเผาขวดเตี้ยราคาถูกกว่า

ข้อ 10. หน้า 32
ใส่ข้าวที่ผสมแล้วลงในกระบอก = 2 ใน 3 ของความยาวของกระบอก
กระบอกข้าวหลามมีเส้นผ่านศูนย์กลาง = 5 ซม.ดังนั้นรัศมี = 2.5 ซม.
กระบอกข้าวหลามมีความยาวภายในที่ใช้บรรจุ = 30 ซม.

ปริมาตรของข้าวหลาม 1 กระบอก  r 2 h  3.14 2.5  2.5 30

= 588.75 ลบ.ซม.
ดังนั้น ข้าวหลาม 100 กระบอก มีปริมาตร = 100 x 588.75 = 58,875 ลบ.ซม.
58875 ลิตร = 58.875 ลิตร.

1000

ข้าวหลาม 100 กระบอก มีข้าวเหนียวขาว 1 ส่วน และ ข้าวเหนียวด้า 4 ส่วน
58.875 ลิตร = 11.775 ลิตร.
ดังนั้นมี ข้าวเหนียวขาว 
5
และมี ข้าวเหนียวด้า = 4 x 11.775 ลิตร. = 47.1 ลิตร.

พื้นที่และปริมาตร
พีระมิด( PYRAMID )
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอด
แหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็น
รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่า
พีระมิด ( PYRAMID )

พีระมิด

แท่งพีระมิด
ฐาน

แผ่นคลี่


ฐาน แท่งพีระมิด

ส่วนประกอบพีระมิด
ยอด
สัน
สูงเอียง
สูงเอียง
ส่วนสูง

ด้านฐาน ฐาน
ความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

มุมมองจากบน 5 รูป

มุมมอง
จากล่าง

การเรียกชื่อพีระมิด
เรียก ตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

พีระมิด พีระมิด พีระมิด พีระมิด
สี่เหลี่ยมผืนผ้า หกเหลี่ยม สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม

พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานสามเหลี่ยม มี 3 ด้าน
พ.ท.ผิวข้าง
พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม มี 4 ด้าน
พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานห้าเหลี่ยม มี 5 ด้าน

พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานหกเหลี่ยม มี 6 ด้าน

เรียกว่า “ สูงตรง “
เรียกว่า “ สัน “
เรียกว่า “ สูงเอียง “

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1 x ความยาวรอบรูปของฐาน x สูงเอียง
2

สารวจพีระมิด หน้า 12 - 14

แบบฝึกหัด 1.2 ก
1. จงหาปริมาตรของปริซึมต่อไปนี้ (ความยาวที่กาหนดให้มีหน่วยเป็นเซนติเมตร)

1)
ปริมาตร = พ.ท.ฐาน x สูง
6
ปริมาตร = (3
1x
2 4)x 6

4
3 1 ปริมาตร = 3.5 x 4 x 6 ลูกบาศก์เซนติเมตร
2
ปริมาตร = 84 ลูกบาศก์เซนติเมตร

Ans.

2)
ปริมาตรส่วนล่าง = พ.ท.ฐาน x สูง
8
12
ปริมาตรส่วนล่าง = 12 x 16 x 4 ลบ.ซม.
4
ปริมาตรส่วนล่าง = 768 ลบ.ซม.
16
4
ปริมาตรรูปทรงส่วนบน = 1 (12 x 16 x 8) ลบ.ซม.
12 2
ปริมาตรของรูปทรงส่วนบน = 768 ลบ.ซม.

ดังนัน ปริมาตรของรูปทรงทั้งหมด
้ = 768 + 768 ลบ.ซม.
= 1,536 ลบ.ซม.

Ans.

6)
ปริมาตรส่วนที่แรเงา = พ.ท.ฐาน x สูง

ปริมาตรส่วนที่แรเงา = 3 1 x 6 1x 15
3
15
2 2
3
ปริมาตรส่วนที่แรเงา = 3.5 x 6.5 x 15
4 1
3
2 6 1
2 ปริมาตรส่วนที่แรเงา = 341.25
4
6 1
2
ปริมาตรส่วนที่ไม่แรเงา = 2 x (3 x 4 x 6.5)

ปริมาตรส่วนที่ไม่แรเงา = 156

ปริมาตรทั้งหมด = 341.5 + 156 = 497.5 ลูกบาศก์เซนติเมตร
Ans.

ข้อ 10 หน้า 26
12 ซม.
ปริมาตรของเสาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งต้น = พ.ท.ฐาน x สูง

5 ซม. = (1.5 x 100 ) x 20 x 20

12 ซม.
ปริมาตรของเสาทรงสีเ่ หลี่ยมมุมฉากทั้งต้น = 60,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
8 ซม
20 ซม.
ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านขวา = 5 x 20 x 12
20 – 12 – 5 = 3 ซม.
ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านขวา = 1,200 ลูกบาศก์เซนติเมตร
1.5 เมตร
ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านซ้าย = 3 x 20 x 8

20 ซม. ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านซ้าย = 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร

เมื่อตัดเสาแล้วเสาต้นนี้มีปริมาตร = 60,000 – 1,200 - 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร

เมื่อตัดเสาแล้วเสาต้นนี้มีปริมาตร = 58,320 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลียมจัตุรัส ซึ่งมี
่
ฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร และสูง 24 เซนติเมตร
ABCD เป็นฐานของพีระมิด
มีความยาวด้านละ 14 เซนติเมตร
VX เป็นส่วนสูงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม
24
จัตุรัส ซึ่งมีความยาว 24 เซนติเมตร
VY เป็นส่วนสูงเอียงของพีระมิด
D C
X
7 Y
A 14 B XY ตั้งฉากกับ VX ที่จุด X

4/ 144 ) จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีด้านประกอบมุม
ฉากยาว 32 เซนติเมตรและ 10 เซนติเมตร และมีความสูง 12 เซนติเมตร
A

ในสามเหลี่ยม ABC มุม C เป็นมุมฉาก
ดังนั้น AB2 = AC2 + BC2
12
AB2 = 122 + 162
AB2 = 144 + 256
C B AB2 = 400
16 10
5
AB = 20

D
32

การหา ความสูงเอียง กรณีมีความยาวสัน
A
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นิ้ว
สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
5 ให้ AC เป็นสัน ยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 6 2 = 3 นิ้ว
ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
B 3C
6 AB2 + 32 = 52
AB2 = 25 - 9
AB2 = 16
AB2 = 4 x 4
AB = 4 ตอบ สูงเอียง 4 นิ้ว

การหาความสูงเอียง กรณีมีส่วนสูง
A
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว
12 ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
C 5 B BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว

AB2 = 122 + 52
AB2 = 144 + 25
AB2 = 169
AB2 = 13 x 13
AB = 13
ตอบ สูงเอียง 13 นิ้ว

การหาความสูง กรณีมสูงเอียง
ี
A พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว
สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง
ให้ AB เป็นความสูงเอียง AC เป็นส่วนสูง
C B BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว
AC2 + 52 = 132
AC2 = 169 – 25
AC2 = 144
AC = 12 ตอบ ส่วนสูง 12 นิ้ว

การหาปริมาตรพีระมิด
ให้นักเรียนทดลอง จากกล่อง ทรงปริซึม
จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

เมื่อ พีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม
เมื่อท้าการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นที่ฐาน x สูง
3

ตัวอย่างที่ 1) จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านฐานยาว
ด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นทีฐาน x สูง
่
3
สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x (ด้าน x ด้าน) x สูง
3
สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x ( 22 x 22) x 15
3
ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านฐานยาว
ด้านละ 14 เซนติเมตร ส่วนสูง 24 เซนติเมตร
A
สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นทีฐาน x สูง
3 ่
24 1
ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 3 x ( ด้าน x ด้าน ) x สูง
C 14
14 = 1 x ( 14 x 14 ) x 24
3 ลูกบาศก์เซนติเมตร

= 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร

(ข้อ 4 หน้า 40 )
แก้วอันหนึ่งมีลักษณะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันประกบกันและบรรจุอยู่ใน
กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ยาวด้านละ 10 เซนติเมตร โดยจุดยอดทั้งหกของแก้วสัมผัส
กล่องที่จุดกึ่งกลางของแต่ละหน้า ดังรูป ปริมาตรของแก้วนี้เป็นเท่าใด
ภาพตัดขวาง จากทฤษฎีบทของพีธากอรัส จะได้ a  5  5
2 2 2

5
5 a 2  25  25  50
a
a
a  50  5 2
a a

a5 2
5 1
ปริมาตรของแก้วทรงพีระมิด 2 ชิ้น   2  (a  a)  5
3
1
  2  50  5  166.66 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3

ข้อ 5 หน้า 40)
ขนมเทียนมีฐานยาวด้านละ 4 ซม. สูง 3 ซม. จ้านวน 100 ห่อ
ปริมาตรของขนม100 ห่อ =100 ( 1 พื้นที่ฐาน x สูง)
x
3
1
3 ปริมาตรของขนมนี้ = 100 x 3 x 4 x 4 x 3

4 = 1600 ลูกบาศก์เซนติเมตร

4
ใช้แป้ง 2/3 ของเนื้อขนม = 2/3 x (1,600) ลูกบาศก์เซนติเมตร

= 1066.66 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1.06 ลิตร

กรวย ( CONE)
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บน
ระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใดๆบนขอบของ
ฐานเป็นส่วนของเส้นตรงเรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า กรวย

ฐานรูปวงกลม

การวาดกรวย

เริ่มวาดฐาน ลากส่วนสูง
ในแนววงรี ในแนวดิ่ง
หรือ
ที่ตั้งฉากกับฐาน

เริ่มวาดฐาน ลากส่วนสูง
ในแนววงรี ในแนวดิ่ง
หรือ
ที่ตั้งฉากกับฐาน

ยอด
ส่วนสูงเอียง 
ส่วนสูง h h

ฐานรูปวงกลม r
กรวยตรง รัศมีฐาน r กรวยเอียง

ความสัมพันธ์ r , h , 
ยอด ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ส่วนสูงเอียง 
ส่วนสูง h

ฐานรูปวงกลม h
r
รัศมีฐาน r

กรวยตรง 2 = h2 + r2
สารวจทรงกรวย หน้า 15 - 17

พื้นที่ผิวกรวย ส่วนของฐาน

พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม
r = r2

2r 
ส่วนของข้างกรวย
พื้นที่ผิวข้างของกรวย
= r  
พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ผิวข้างของกรวย + พื้นที่ฐานรูปวงกลม
สูตร พื้นที่ผิวของกรวย = r  + r2

 h
r
2
 = h2 + r
2

สูตร พื้นที่ผิวข้างของกรวย = r 

สูตร พื้นที่ฐานกรวย = r2


ตัวอย่างที่ 1 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว
12 เซนติเมตร ความสูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้
แนวคิด ต้องหา รัศมี และสูงเอียง
วิธีท้า กรวยมีรัศมียาว = เส้นผ่านศูนย์กลางหารด้วย 2
กรวยมีรัศมี = เส้นผ่า2นศูนย์กลาง
h =8  = 12 2
r =6 = 6
ให้ ความสูงเอียง เป็น 
2
ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส  = h2 + r
2
 = 82 + 2 2
6
2
 = 100

 = 10
 = 10
h =8

r =6

=  r ( + r )
แทนค่าสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = 22 × 6 × ( 10 + 6 )
7
= 132 × ( 16 )
7
= 2112
7
พื้นที่ผิวของกรวย = 301.71 ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2 ต้องการท้ากรวยจากกระดาษให้มีรัศมีปากกรวยยาว 21 เซนติเมตร
ความสูงเอียง 35 เซนติเมตร กรวยนี้ไม่มีฐาน จงหาพื้นที่กระดาษที่จะใช้ท้ากรวย
วิธีท้า สูตร พื้นที่ผิวข้างของกรวย =  r 
5
แทนค่า ได้ พื้นที่ผิวข้างของกรวย = 22 × 21 × 35
7
1
= 22 × 21 × 5
= 2310

ใช้กระดาษมีพื้นที่ 2310 ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวทั้งหมด

รูป พื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวทั้งหมด

l rl r 2 พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
h6  63.248  28.285
22 22
  3  45   32
r 3 7 7
 91.533
 63.248 22
l r h
2 2 2  9
7
l 2  32  62
 28.285
l 2  9  36
l 2  45
l  45

ปริมาตรของกรวย
ทรงกระบอกมีรัศมีฐานยาว r หน่วย และสูง h หน่วย
ทรงกระบอกมีปริมาตร = r2h

สร้าง กรวยแต่ละอันมีรัศมียาว r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก
และสูง h หน่วยเท่ากับรัศมีส่วนสูงทรงกระบอก
ตวงทราย 3 กรวยใส่ได้เต็มทรงกระบอกพอดี
ปริมาตรกรวย = 1 r2h
3

สูตรปริมาตรกรวย = 1 r2h
3

r r แทนรัศมีฐานกรวย

h h แทนความสูงของกรวย

ตัวอย่างที่ 3 กรวยใส่ขนมมีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว
3 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จงหาความจุของกรวยนี้
วิธีท้า ใช้รัศมีกรวย = ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
2
= 3
2
สูตร ปริมาตรกรวย = 1  r2 h
3
แทนค่า ได้ ปริมาตรกรวย = 1 × 22 × [ 3 ]2 × 10
3 7 2
= 1 × 22 × 3 × 3 × 10
3 7 2 2
= 11 × 3 × 5
7
ปริมาตรกรวย = 35.57 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 4 กรวยใบตองจ้านวน 150 ชิ้น ใส่ขนมกล้วยได้ 1,100 ลูกบาศก์
เซนติเมตร และกรวยสูง 7 เซนติเมตร จงหาว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน
กรวยจะยาวเท่าใด
วิธีท้า กรวย 150 ชิ้นจุได้ 1,100 ลูกบาศก์เซนติเมตร
กรวย 1 ชิ้นจุได้ 1100 150 = 22 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3
ให้ r แทนรัศมีของกรวย
สูตร ปริมาตรกรวย = 1  r2 h
3 1
แทนค่า 22 = 1 × 22 × r2 × 7
3 3 7
1
22 × 3 = r2
3 22

r2 = 1
ได้ r = 1
ได้ รัศมีกรวยยาว = 1
เส้นผ่านศูนย์กลางยาว = 1× 2

= 2 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 5 กรวยอันหนึ่งสูงเอียง 17 เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน
ยาว 16 เซนติเมตร จงหาปริมาตรกรวย
วิธีท้า
 = 17 สูตร ปริมาตรกรวย = 1  r2 h
3
สูง =h

r =8 ใช้รัศมีกรวย = ความยาวเส้2 ผ่านศูนย์กลาง
น
= 16
2
= 8
จะต้องหาส่วนสูง ให้สูง = h
2
จากรูป ตามทฤษฎีปีทาโกรัส  = h2 + r
17 = h
2 2 + 282

172 = h2 + 82
172 - 82 = h2
289 - 64 = h2
225 = h2
15 = h
สูตร ปริมาตรกรวย = 1 r2 h
3 5
ปริมาตรกรวย = 3 1 × 3.14 × 82 × 15
1
= 3.14 × 64 × 5
ปริมาตรกรวย = 1,004.8 ลูกบาศก์เซนติเมตร

Sphere)

ทรงกลม (sphere) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติ
ที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้ง
อยู่ห่างจากจุดคงที่เป็นระยะเท่ากัน
เรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของทรงกลม
และระยะทางคงที่เรียกว่า รัศมี (radius) ของ
ทรงกลม

1) นาระนาบมาตัดทรงกลม แล้วหน้าตัดเป็นรูปอะไร

ตอบ เป็นรูปวงกลม
2) รูปหน้าตัดทีได้มีขนาดเท่ากันหรือไม่
่
ตอบ ไม่เท่ากัน

3) วงกลมใหญ่ของทรงกลมนี้ มีกี่วง

ตอบ มีหลายวงนับไม่ถ้วน

สูตร พื้นที่ผิวทรงกลม = 4r2

(r)

รัศมี = r

รัศมี = r ทรงกระบอกสูง
= 2r

จากการใช้ทรงกลมแทนที่น้าในทรงกระบอก
ถ้าน้าเต็มทรงกระบอกเป็น 3 ส่วน
น้าจะล้นออกมา 2 ส่วน
ดังนั้นปริมาตรของทรงกลม = 2 ใน 3 ของทรงกระบอก

ปริมาตรทรงกระบอก = r  (2r )
2

 2r 3

2
ปริมาตรทรงกลม   (2r 3 )
3

4 3
ปริมาตรทรงกลม  r
3

4 3
 r
3
4
  3.14  9  9  9
3

4 3
 r
3

รัศมี = r = 2

1
 2(  (12  4) 15)
2
12
 240

4 15

12

a

8
a
a 2  82  152
4
a 2  64  225  289

a  17

8
 2Rh  2  3.14  6  23  866.64

23
 2rh  2  3.14  4  23  577.76

 R 2  r 2  (3.14  6  6)  (3.14  4  4)

12  113.04  50.24  62.8

1
สูตรพื้นทีผิวของรูปเรขาคณิต
่
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = 1 × ฐาน × สูง
2
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 4
3
_ × (ด้าน)2

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ = s( s  a )(s  b )(s  c )
a
b เมื่อ s = a + b + c
c 2
สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน
สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
2

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูง
1
พื้นทีสี่เหลี่ยมใด ๆ = 2 × ความยาวเส้นทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเส้นกิ่ง
่

รัศมีวงกลม = ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
2
สูตร พื้นที่วงกลม = r2
รัศมี ( r )

สูตรปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต
ปริมาตรของปริซึม = พ.ท.ฐาน x สูง
ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นทีฐาน x สูง
่
3

รัศมีหน้าตัด r

ส่วนสูง h ค่าของ  ใช้ค่าเศษส่วนประมาณ 22 หรือ 3.1416
7
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2r ( r + h )
 ปริมาตรของทรงกระบอก = r2 h
พื้นที่ผิวของกรวย = r  + r2
r
ปริมาตรของกรวย = 1 r2h
3

พื้นที่ผวทรงกลม
ิ = 4r2

ปริมาตรทรงกลม  4 r 3
3
(r)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตร

More Related Content

What's hot

Similar to พื้นที่ผิวและปริมาตร

More from Ritthinarongron School

พื้นที่ผิวและปริมาตร