Mata kuliah Matematika Dasar I membahas sistem bilangan riil, ketidaksamaan, nilai mutlak, fungsi trigonometri, limit, turunan, dan penerapannya. Topik-topik tersebut mencakup konsep-konsep dasar matematika seperti bilangan, fungsi, dan kalkulus.
Dokumen tersebut membahas materi-materi dasar matematika yang meliputi sistem bilangan real, ketidaksamaan, nilai mutlak, fungsi trigonometri, limit, turunan, dan penerapannya. Materi-materi tersebut merupakan dasar penting dalam kalkulus.
Materi Kalkulus 1 mencakup struktur bilangan, ketidaksamaan, relasi dan fungsi, fungsi komposit/invers, limit, dan turunan fungsi beserta aplikasinya. Dokumen selanjutnya membahas sistem bilangan real, interval bilangan real, dan sifat-sifat dasar bilangan real seperti urutan, kealjabaran, dan sifat tertutupnya dalam operasi penjumlahan dan perkalian.
Dokumen ini memberikan penjelasan mengenai sistem bilangan termasuk bilangan asli, cacah, bulat, rasional, real, dan kompleks. Bilangan-bilangan tersebut memiliki karakteristik dan contoh yang berbeda-beda.
Bab 1 membahas sistem bilangan real, termasuk definisi bilangan bulat, rasional, dan real beserta sifat-sifatnya seperti komutatif, asosiatif, dan distributif. Bab ini juga menjelaskan interval dalam bilangan real seperti selang tertutup, terbuka, dan setengah terbuka.
Bab 2 membahas supremum dan infimum sebagai batas atas dan bawah suatu himpunan serta contoh perhitungannya.
Bab 3 memfokuskan pada pertid
Dokumen ini membahas tentang Kalkulus 1. Terdiri dari beberapa bab yang membahas bilangan riil, persamaan linier, nilai mutlak, fungsi, limit, turunan 1, dan turunan 2.
Dokumen tersebut membahas materi-materi dasar matematika yang meliputi sistem bilangan real, ketidaksamaan, nilai mutlak, fungsi trigonometri, limit, turunan, dan penerapannya. Materi-materi tersebut merupakan dasar penting dalam kalkulus.
Materi Kalkulus 1 mencakup struktur bilangan, ketidaksamaan, relasi dan fungsi, fungsi komposit/invers, limit, dan turunan fungsi beserta aplikasinya. Dokumen selanjutnya membahas sistem bilangan real, interval bilangan real, dan sifat-sifat dasar bilangan real seperti urutan, kealjabaran, dan sifat tertutupnya dalam operasi penjumlahan dan perkalian.
Dokumen ini memberikan penjelasan mengenai sistem bilangan termasuk bilangan asli, cacah, bulat, rasional, real, dan kompleks. Bilangan-bilangan tersebut memiliki karakteristik dan contoh yang berbeda-beda.
Bab 1 membahas sistem bilangan real, termasuk definisi bilangan bulat, rasional, dan real beserta sifat-sifatnya seperti komutatif, asosiatif, dan distributif. Bab ini juga menjelaskan interval dalam bilangan real seperti selang tertutup, terbuka, dan setengah terbuka.
Bab 2 membahas supremum dan infimum sebagai batas atas dan bawah suatu himpunan serta contoh perhitungannya.
Bab 3 memfokuskan pada pertid
Dokumen ini membahas tentang Kalkulus 1. Terdiri dari beberapa bab yang membahas bilangan riil, persamaan linier, nilai mutlak, fungsi, limit, turunan 1, dan turunan 2.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang kalimat terbuka yang dihubungkan oleh notasi pertidaksamaan, himpunan bagian dari himpunan bilangan riil, pertidaksamaan yang memuat pangkat variable tertinggi, bentuk umum pertidaksamaan kuadrat, cara menjadikan pertidaksamaan bentuk baku, dan pertidaksamaan dengan variabel pada pembilang dan penyebut.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real, macam-macam himpunan bilangan, operasi pada bilangan real seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, konversi bilangan antara pecahan, persen dan desimal, perbandingan berbagai jenis seperti senilai dan berbalik nilai, skala peta, dan aplikasi perhitungan untuk menghitung untung dan rugi dalam persentase.
Dokumen tersebut membahas tentang berbagai jenis himpunan bilangan dan sifat-sifat operasi bilangan bulat seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Di antaranya adalah himpunan bilangan bulat, rasional, irasional, riil, imajiner, dan kompleks.
Kelompok 4 membahas tentang bentuk pangkat, akar, dan operasi aljabar pada bentuk akar. Materi ini mencakup pengertian pangkat bulat positif dan negatif, sifat-sifat bilangan berpangkat, bentuk akar, dan contoh soal sederhanakan bentuk akar dan pangkat.
Dokumen tersebut berisi soal-soal tes untuk hari pertama dan kedua yang mencakup analisis real, aljabar linear, analisis kompleks, dan kombinatorika. Pada hari pertama terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas konvergensi barisan bilangan, fungsi monoton, operasi grup, dan relasi polinom. Pada hari kedua terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas pemetaan linear, nilai eigen matriks, persamaan
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matematika, seperti himpunan bilangan real, komponen bilangan real, diagram Venn himpunan bilangan real, relasi urutan, nilai mutlak, dan ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Dokumen ini membahas tentang bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat, sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Dokumen ini juga menjelaskan operasi dasar bilangan rasional seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta perluasan nilai desimal bilangan rasional.
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
Muhamad rafi'ul fajar 201011402127 pertemuan ke 16 & 17 kalkulusMuhamadRafiulFajar
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil, yang terdiri dari bilangan rasional dan irasional. Bilangan riil dapat ditulis dalam bentuk desimal dan memiliki sifat tertentu terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian.
Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
Dokumen tersebut membahas tentang konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat, meliputi:
1) Pengenalan konsep secara konkret dengan contoh-contoh
2) Sifat-sifat bilangan bulat dalam operasi perkalian dan pembagian
3) Penyelesaian soal-soal persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang kalimat terbuka yang dihubungkan oleh notasi pertidaksamaan, himpunan bagian dari himpunan bilangan riil, pertidaksamaan yang memuat pangkat variable tertinggi, bentuk umum pertidaksamaan kuadrat, cara menjadikan pertidaksamaan bentuk baku, dan pertidaksamaan dengan variabel pada pembilang dan penyebut.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real, macam-macam himpunan bilangan, operasi pada bilangan real seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, konversi bilangan antara pecahan, persen dan desimal, perbandingan berbagai jenis seperti senilai dan berbalik nilai, skala peta, dan aplikasi perhitungan untuk menghitung untung dan rugi dalam persentase.
Dokumen tersebut membahas tentang berbagai jenis himpunan bilangan dan sifat-sifat operasi bilangan bulat seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Di antaranya adalah himpunan bilangan bulat, rasional, irasional, riil, imajiner, dan kompleks.
Kelompok 4 membahas tentang bentuk pangkat, akar, dan operasi aljabar pada bentuk akar. Materi ini mencakup pengertian pangkat bulat positif dan negatif, sifat-sifat bilangan berpangkat, bentuk akar, dan contoh soal sederhanakan bentuk akar dan pangkat.
Dokumen tersebut berisi soal-soal tes untuk hari pertama dan kedua yang mencakup analisis real, aljabar linear, analisis kompleks, dan kombinatorika. Pada hari pertama terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas konvergensi barisan bilangan, fungsi monoton, operasi grup, dan relasi polinom. Pada hari kedua terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas pemetaan linear, nilai eigen matriks, persamaan
Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matematika, seperti himpunan bilangan real, komponen bilangan real, diagram Venn himpunan bilangan real, relasi urutan, nilai mutlak, dan ketidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak.
Dokumen ini membahas tentang bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat, sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Dokumen ini juga menjelaskan operasi dasar bilangan rasional seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta perluasan nilai desimal bilangan rasional.
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
Muhamad rafi'ul fajar 201011402127 pertemuan ke 16 & 17 kalkulusMuhamadRafiulFajar
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil, yang terdiri dari bilangan rasional dan irasional. Bilangan riil dapat ditulis dalam bentuk desimal dan memiliki sifat tertentu terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian.
Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
Dokumen tersebut membahas tentang konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat, meliputi:
1) Pengenalan konsep secara konkret dengan contoh-contoh
2) Sifat-sifat bilangan bulat dalam operasi perkalian dan pembagian
3) Penyelesaian soal-soal persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan dan aritmatika. Aritmatika adalah cabang matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irrasional, dan merupakan kelompok bilangan terbesar.
Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel beserta contoh-contoh soalnya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi persamaan dan pertidaksamaan linear, sifat-sifatnya, cara penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, serta contoh soal beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas beberapa topik matematika seperti rasio trigonometri, fungsi kuadrat, vektor, persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel. Topik-topik tersebut dijelaskan dengan contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang materi sistem bilangan real, fungsi, limit, turunan, dan integral. Terdapat 5 anggota kelompok yang akan bekerja sama untuk mempelajari materi-materi tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi himpunan, operasi-operasi dasar himpunan seperti gabungan, irisan, selisih, komplemen, sistem bilangan real, dan latihan soal terkait himpunan dan sistem bilangan real."
Dokumen tersebut membahas tentang definisi nilai mutlak, grafik fungsi nilai mutlak, persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, serta sifat-sifat dasar pertidaksamaan linear dan kuadrat. Diuraikan pula cara menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Secara garis besar dibahas tentang bentuk umum dan penyelesaian persamaan linear satu variabel, persamaan linear dua variabel, dan persamaan linear tiga variabel. Selanjutnya dibahas pula tentang definisi, cara penyelesaian, dan jenis akar persamaan kuadrat. Terakhir dibahas mengenai pertidaksamaan linear dan kuadrat beserta contoh soalnya.
Ideologi penting bagi suatu negara karena mampu membangkitkan kesadaran kemerdekaan dan memberikan pedoman hidup. Pancasila sebagai ideologi Indonesia memiliki nilai-nilai ketuhanan, kemanusiaan, kerakyatan, dan keadilan yang bersifat universal. Nilai-nilai Pancasila mencakup bidang politik, hukum, sosial budaya, dan ekonomi serta berfungsi sebagai acuan bersama dalam menyelesaikan perbedaan politik.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
PPT RENCANA AKSI 2 modul ajar matematika berdiferensiasi kelas 1Arumdwikinasih
Pembelajaran berdiferensiasi merupakan pembelajaran yang mengakomodasi dari semua perbedaan murid, terbuka untuk semua dan memberikan kebutuhan-kebutuhan yang dibutuhkan oleh setiap individu.kelas 1 ........
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com, Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka, Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka, Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka, Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka, Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka
2. Materi perkuliahan sampai UTS
• Sistem bilangan riil
• Ketidaksamaan
• Nilai mutlak
• Fungsi dan operasi fungsi
• Fungsi Trigonometri
• Pendahuluan limit, Teorema limit, Fungsi Kontinu
• Pendahuluan Turunan, Aturan pencarian turunan, Aturan
Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Turunan Implisit
• Aplikasi turunan ; max-min, kemonotonan &
kecekungan,max-min lokal, limit tak hingga
3. Bilangan Real
• Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan
yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan himpunan bilangan irasional
• Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan q∈
Z, dengan q ≠0}
contoh :
• Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan
bilangan rasional :
* Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}
* Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
p
q
1 4 57
, ,
3 9 1
−
4. – Himpunan bilangan irasional,
iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }
contoh : π, e, log 5,
– Teorema :
“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”
– Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir
atau berulang dengan pola yang sama :
contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….
13/11 =1.1818181818…
– Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal
berulang dan sebaliknya
contoh : x = 0.136136136….
y = 0.271271271…..
Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional
– Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan
sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….
p
q2
5. Garis bilangan
Setiap bilangan real berkorespondensi dengan
satu dan hanya satu titik pada sebuah garis
bilangan, yang disebut garis bilangan real.
0-1 1 2-4 π2
−5
2 3 5
6. • Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan
sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan
real.
• Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :
* Sifat-sifat aljabar
* Sifat-sifat urutan
* Sifat-sifat kelengkapan
Sistem bilangan real
7. *Sifat-sifat aljabar bilangan real
Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2
bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,
dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk
memperoleh bilangan real yang baru.
contoh:
2 + 5⅛ = 7⅛
5-0,4 = 4,6
4 x ¾= 1
3 : 4 = ¾
8. *Sifat-sifat urutan bilangan real
• Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a
nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.
contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 >
0
• Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b,
jika b – a positif
contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0
9. Untuk setiap bilangan real a, b dan c
berlaku sifat urutan berikut:
• a < b ⇒ a + c < b + c
• a < b ⇒ a - c < b – c
• a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
• a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
• a > 0 ⇒
• Jika a dan b bertanda sama maka
1
0>
a
1 1
< ⇒ <a b
b a
10. *Sifat kelengkapan bilangan real
Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara
garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak
bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan
real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah
diantaranya
Contoh :
Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar
atau salah!
a. -2 < -5
b.
6 34
7 39
<
11. Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis
bilangan real yang mengandung paling sedikit 2
bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real
yang terletak diantara keduanya.
Interval bilangan real
Untuk setiap x, a, b, c ∈ R,
1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup
2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup
atau terbuka
3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka
atau tertutup
4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka
12. Interval – interval tak hingga
• (–∞, b] = {x | x ≤ b}
• (–∞, b) = {x | x < b}
• (a, ∞] = {x | x ≥ a}
• (a, ∞) = {x | x > a}
• (–∞, ∞] = {x | x ∈ R}
13. Ketidaksamaan
• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti
mencari interval atau interval-interval dari bilangan
yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.
• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :
1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama
2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif
3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi
tanda ketidaksaman berubah
Contoh:
Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah
kumpulan solusinya pada garis bilangan real!
a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x
b.
c. (x – 1)2
≤ 4
x
x
−
+
>
2
4
2
14. Nilai Mutlak
• Definisi nilai mutlak :
• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan
|x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
• |x| dapat juga didefinisikan sebagai:
• Secara Geometri:
|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.
|x – y| = jarak diantara x dan y
<−
≥
=
0,
0,
xx
xx
x
2
x x=
15. Sifat nilai mutlak
• |-a| = |a|
• |ab| = |a||b|
• |a + b| ≤ |a| + |b|
• |x|2
= x2
• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a
• |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a
• |x| < |y| jika dan hanya jika x2
< y2
• =
aa
b b