Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang: 1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah 2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s

1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB IX
RUAS GARIS BERARAH
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015

2. RUAS GARIS BERARAH
9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana
Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian
tentang ruas garis berarah sebagai berikut:
Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu
ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan
titik akhir.
Apabila A dan B dua titik, lambang 𝐴𝐵̅̅̅̅ kita gunakan sebagai ruas garis
berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan AB
melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui
B.
Dua ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB
= CD, 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ tidak perlu sama; 𝐴𝐵̅̅̅̅ adalah sebuah himpunan sedangkan
AB adalah bilangan real. Jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ kongruen ditulis 𝐴𝐵̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅̅̅.
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅. Dalam
membandingkan dua ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ tidaklah sukup, jika AB =
CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas
garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ ekivalen dengan ruas garis berarah 𝐶𝐷̅̅̅̅ yang ditulis sebagai
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
Definisi: 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅.
Gambar 9.1
Teorema 9.1:
A
B
C
D
P

3. Andaikan 𝐴𝐵̅̅̅̅dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4
ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
Bukti:
Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah dua ruas garis berarah yang tidak
segaris maka ABCD jajargenjang ⟺ 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
(⟹) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajar genjang dengan 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅
adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
Dipunyai ABCD sebuah jajar genjang.
Diagonal-diagonal 𝐴𝐷̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶̅̅̅̅ berpotongan di tengah-tengah, misalkan
titik P.
Dengan demikian Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅ maupun
𝐵𝐶̅̅̅̅.
Berdasarkan definisi keekivalenan diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
(⟸) Akan ditunjukkan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka ABCD jajargenjang dengan 𝐴𝐵̅̅̅̅
dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
Dipunyai 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
Misalkan titik P adalah titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅.
Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.
Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.
Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah
segiempat ABCD.
𝐴𝐷̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶̅̅̅̅ adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi
sama panjang di P (definisi jajar genjang).
Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang.
Jadi terbukti jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris
maka ABCD jajargenjang ⟺ 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅.
Akibat Teorema 9.1:
Jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka AB = CD dan 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ dan 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ sejajar atau segaris.
Bukti:

4. Akan dibuktikan 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ ⟹ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 dan 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ dan 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ sejajar atau segaris.
Dipunyai 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅
Kasus 𝑝 ∈ 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ :
Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅, maka menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan
P adalah titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅ sehingga BP = PC.
Pilih titik P pada perpanjangan 𝐴𝐵̅̅̅̅.
Karena Sp(A) = D, maka AP = PD.
Diperoleh AP = PD ⟺ AB + BP = PC + CD.
Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD ⟺ AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D.
Diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅ ⊂ 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ ⊂ 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ sehingga 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ ⊂ 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ .
Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ segaris dengan 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ segaris dengan 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ .
Kasus 𝑝 ∉ 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ :
Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅, maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ tidak segaris.
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar genjang.
Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.
Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ // 𝐶𝐷̅̅̅̅, 𝐴𝐵̅̅̅̅ ⊂ 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ ⊂ 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ maka 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ //𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ .
Teorema 9.2:
Diketahui ruas-ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅, 𝐶𝐷̅̅̅̅, dan 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka
1. 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat reflexi);
2. jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat simetrik);
3. jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ (sifat transitif).
Bukti:
1. Akan dibuktikan 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat reflexi)
Misalkan P adalah titik tengah 𝐴𝐵̅̅̅̅, maka Sp(A) = B
Menurut definisi keekivalenan diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅.
2. Akan dibuktikan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅ (sifat simetrik)

5. Menurut teorema 9.1 jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka segiempat ABCD jajargenjang,
diagonal-diagonal 𝐵𝐶̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷̅̅̅̅ membagi sama panjang di P,
maka P dalah titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅
akibatnya Sp(C) = B
menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah 𝐴𝐷̅̅̅̅
maka 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅.
3. Akan dibuktikan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ (sifat
transitif):
Diperoleh 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka Sp(A) = D dengan P titik tengah 𝐵𝐶̅̅̅̅
Diperoleh 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah 𝐷𝐸̅̅̅̅
Menurut teorema 9.1 jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka segiempat ABCD jajargenjang
sehingga 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅ akibatnya 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅.
Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka AB = CD,
jika 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka CD = EF
Akibatnya AB = EF.
Karena AB = EF dan 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅ maka ABFE jajargenjang.
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka 𝐴𝐵̅̅̅̅//𝐸𝐹̅̅̅̅.
Teorema 9.3:
Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah 𝐴𝐵̅̅̅̅ maka ada titik
tunggal Q sehingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅.
Gambar 9.2
Bukti:
Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑃𝑄̅̅̅̅
Andaikan ada titik Q
misal R adalah titik tengah 𝐵𝑃̅̅̅̅ dengan Sp(A) = Q maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑃𝑄̅̅̅̅
A Q
B
R
P

6. Menurut teorema 9.2 (2) maka 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅
Akan dibuktikan Q tunggal,
Andaikan ada titik T sehingga 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑃𝑇̅̅̅̅
Karena R titik tengah 𝐵𝑃̅̅̅̅ maka SR(A) = T
Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga 𝑅𝑄̅̅̅̅ = 𝐴𝑅̅̅̅̅
Akibat 1:
Jika
Jika 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2), dan 𝑃3(𝑥3, 𝑦3) titik-titik yang diketahui maka
titik 𝑃(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦3 + 𝑦2 − 𝑦1) adalah titik tunggal sehingga 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ =
𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅.
Andaikan P bukan titik tungga maka 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ ≠ 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ artinya 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ − 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ ≠ 0
diperoleh 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ − 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅=(𝑃 − 𝑃3) − (𝑃2 − 𝑃1)
= [(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦3 + 𝑦2 − 𝑦1) − (𝑥3, 𝑦3)] − [(𝑥2, 𝑦2) − (𝑥1, 𝑦1)]
= [(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑥3, 𝑦3 + 𝑦2 − 𝑦1 − 𝑦3)] − [(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)]
= (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) − (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)
= (0,0)
= 0.
Akibat 2:
Jika 𝑃𝑛 = (𝑥 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4, maka 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅= 𝑃3 𝑃4
̅̅̅̅̅̅̅
⟺ 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥4 − 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3
(⟹) Akan dibuktikan jika Jika 𝑃𝑛 = (𝑥 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4 maka
𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅= 𝑃3 𝑃4
̅̅̅̅̅̅̅ ⟹ 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥4 − 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3
Karena 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅= 𝑃3 𝑃4
̅̅̅̅̅̅̅ maka 𝑃1 𝑃2=𝑃3 𝑃4 sehingga 𝑃2 − 𝑃1 = 𝑃4 − 𝑃3
⟺ [(𝑥2, 𝑦2) − (𝑥1, 𝑦1)] = [(𝑥4, 𝑦4) − (𝑥3, 𝑦3)]
⟺ (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) = (𝑥4 − 𝑥3, 𝑦4 − 𝑦3)
menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d)
jika dan hanya jika 𝑎 = 𝑏 dan 𝑐 = 𝑑
diperoleh 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥4 − 𝑥3 dan 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3
(⟸) Akan ditunjukkan jika 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥4 − 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3 maka
Jika 𝑃𝑛 = (𝑥 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4 maka 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅= 𝑃3 𝑃4
̅̅̅̅̅̅̅

7. Dipunyai 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥4 − 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3 maka dapat dibuat
titik yang sama misalkan R dan S, dengan 𝑅 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)
dan 𝑆 = (𝑥4 − 𝑥3, 𝑦4 − 𝑦3)
misalkan R = S ⟺ (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) = (𝑥4 − 𝑥3, 𝑦4 − 𝑦3)
⟺ [(𝑥2, 𝑦2) − (𝑥1, 𝑦1)] = [(𝑥4, 𝑦4) − (𝑥3, 𝑦3)]
⟺ 𝑃2 − 𝑃1 = 𝑃4 − 𝑃3
⟺ 𝑃1 𝑃2=𝑃3 𝑃4 ⟺ 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅= 𝑃3 𝑃4
̅̅̅̅̅̅̅
Jadi jika 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥4 − 𝑥3, 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑦4 − 𝑦3 maka Jika 𝑃𝑛 =
(𝑥 𝑛, 𝑦𝑛), 𝑛 = 1,2,3,4 maka 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅= 𝑃3 𝑃4
̅̅̅̅̅̅̅
Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar
Definisi:
Andaikan 𝐴𝐵̅̅̅̅ sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka
k𝐴𝐵̅̅̅̅ adalah ruas garis berarah 𝐴𝑃̅̅̅̅ sehingga 𝑃 ∈ 𝐴𝐵̅̅̅̅ dan AP = k (AB) jika
k>0.
Apabila k<0 maka k𝐴𝐵̅̅̅̅ adalah ruas garis berarah 𝐴𝑃̅̅̅̅ dengan P anggota
sinar yang berlawanan arah dengan 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ sedangkan AP = |𝑘|𝐴𝐵.
Dikatakan bahwa 𝐴𝑃̅̅̅̅ adalah kelipatan 𝐴𝐵̅̅̅̅.

8. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak segaris.
Ditanya:
a. Lukis titik D sehingga 𝐶𝐸̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅
b. Lukis titik F sehingga 𝐷𝐸̅̅̅̅ = 𝐵𝐴̅̅̅̅
c. 𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅)
Jawab:
a. Misalkan titik D adalah titik tengah 𝐸𝐴̅̅̅̅ sehingga 𝑆 𝐷(𝐶) = 𝐵
b. Misalkan titik F merupakan titik tengah 𝐸𝐵̅̅̅̅ sehingga 𝑆 𝐹(𝐷) = 𝐴
c. 𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅)
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tidak segaris.
Lukislah:
a. Titik D sehingga 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 3𝐴𝐵̅̅̅̅
b. Titik F sehingga 𝐴𝐸̅̅̅̅ = −
4
3
𝐴𝐵̅̅̅̅
c. Titik F sehingga 𝐶𝐹̅̅̅̅ = √2 𝐴𝐵̅̅̅̅
E
B
C
C
A
D
B’
E
A
D B
F
B
A

9. Jawab:
a. Titik D sehingga 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 3𝐴𝐵̅̅̅̅
b. Titik F sehingga 𝐴𝐸̅̅̅̅ = −
4
3
𝐴𝐵̅̅̅̅
c. Titik F sehingga 𝐶𝐹̅̅̅̅ = √2 𝐴𝐵̅̅̅̅
3. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar?
a. 𝐴𝐵̅̅̅̅ = −𝐵𝐴̅̅̅̅
b. 𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅) = 𝐵𝐴̅̅̅̅
c. 𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅) = 𝑆 𝐵(𝐴𝐵̅̅̅̅)
d. Jika 𝐴′
= 𝑆 𝐵(𝐴) maka 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = 2𝐴𝐵̅̅̅̅
e. Jika 𝐵′
= 𝑆𝐴 𝑆 𝐵(𝐵) dan 𝐴′
= 𝑆𝐴 𝑆 𝐵(𝐴), maka 𝐴′ 𝐵′̅̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅
Jawab:
a. 𝐴𝐵̅̅̅̅ = −𝐵𝐴̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅
𝐵𝐴̅̅̅̅
−𝐵𝐴̅̅̅̅
(Benar)
√2
C
A B
F
A BE B’
A B
BA
A B
DBA

10. b. 𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅) = 𝐵𝐴̅̅̅̅
𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅)
𝐵𝐴̅̅̅̅
(Benar)
c. 𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅) = 𝑆 𝐵(𝐴𝐵̅̅̅̅)
𝑆𝐴(𝐴𝐵̅̅̅̅)
𝑆 𝐵(𝐴𝐵̅̅̅̅)
(Benar)
d. Jika 𝐴′
= 𝑆 𝐵(𝐴) maka 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = 2𝐴𝐵̅̅̅̅
(Benar)
e. Jika 𝐵′
= 𝑆𝐴 𝑆 𝐵(𝐵) dan 𝐴′
= 𝑆𝐴 𝑆 𝐵(𝐴), maka 𝐴′ 𝐵′̅̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅
(Benar)
4. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan:
a. R sehingga 𝐴𝑅̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅
b. S sehingga 𝐶𝑆̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅
c. T sehingga 𝑇𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅
Jawab:
a. R sehingga 𝐴𝑅̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅
Berdasarkan teorema akibat jika 𝐴𝑅̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅ maka AR = BC sehingga
(
𝑥 𝑅
𝑦 𝑅
) − (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
) = (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
) − (
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) ⟺ (
𝑥 𝑅
𝑦 𝑅
) = (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
) − (
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) + (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
)
⟺ (
𝑥 𝑅
𝑦 𝑅
) = (
−2
4
) − (
5
3
) + (
0
0
) = (
−7
1
)
A BB’
BA
A BB’
A B A’
BA A’
B’ A BA’

11. Jadi R = (-7,1).
b. S sehingga 𝐶𝑆̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅
Berdasarkan teorema akibat jika 𝐶𝑆̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅ maka CS = AB sehingga
(
𝑥 𝑆
𝑦𝑆
) − (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
) = (
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) − (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
) ⟺ (
𝑥 𝑆
𝑦𝑆
) = (
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) − (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
) + (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
)
⟺ (
𝑥 𝑆
𝑦𝑆
) = (
5
3
) − (
0
0
) + (
−2
4
) = (
3
7
)
Jadi R = (3,7).
c. T sehingga 𝑇𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅
Berdasarkan teorema akibat jika 𝑇𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ maka TB = AC sehingga
(
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) − (
𝑥 𝑇
𝑦 𝑇
) = (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
) − (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
) ⟺ (
𝑥 𝑇
𝑦 𝑇
) = (
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) − (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
) + (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
)
⟺ (
𝑥 𝑇
𝑦 𝑇
) = (
5
3
) − (
−2
4
) + (
0
0
) = (
7
−1
)
Jadi R = (7,-1).
5. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan:
a. D sehingga CD = AB
b. E sehingga AE = BC
c. F sehingga AF =
1
2
𝐴𝐶
Jawab:
a. D sehingga CD = AB
√(𝑥 𝐷 − 𝑥 𝐶)2 + (𝑦 𝐷 − 𝑦 𝐶)2 = √(𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴)2
⟺ √(𝑥 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 − 5)2 = √(3 − 2)2 + (−4 − 1)2
⟺ √(𝑥 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 − 5)2 = √(1)2 + (−5)2
⟺ √(𝑥 𝐷 + 1)2 + (𝑦 𝐷 − 5)2 = √26
⟺ (𝑥 𝐷 + 1)2
+ (𝑦 𝐷 − 5)2
= 26
⟺ 𝑥 𝐷
2
+ 2𝑥 𝐷 + 1 + 𝑦 𝐷
2
− 10𝑦 𝐷 + 25 = 26
⟺ 𝑥 𝐷
2
+𝑦 𝐷
2
+ 2𝑥 𝐷 − 10𝑦 𝐷 + 26 = 26
⟺ 𝑥 𝐷
2
+𝑦 𝐷
2
+ 2𝑥 𝐷 − 10𝑦 𝐷 = 0
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 𝑥 𝐷
2
+𝑦 𝐷
2
+ 2𝑥 𝐷 − 10𝑦 𝐷 = 0
b. E sehingga AE = BC
√(𝑥 𝐸 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐸 − 𝑦 𝐴)2 = √(𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵)2

12. ⟺ √(𝑥 𝐸 − 2)2 + (𝑦 𝐸 − 1)2 = √(−1 − 3)2 + (5 + 4)2
⟺ √(𝑥 𝐸 − 2)2 + (𝑦 𝐸 − 1)2 = √(−4)2 + (9)2
⟺ √(𝑥 𝐸 − 2)2 + (𝑦 𝐸 − 1)2 = √16 + 81
⟺ √(𝑥 𝐸 − 2)2 + (𝑦 𝐸 − 1)2 = √97
⟺ (𝑥 𝐸 − 2)2
+ (𝑦 𝐸 − 1)2
= 97
⟺ 𝑥 𝐸
2
− 4𝑥 𝐸 + 4 + 𝑦 𝐸
2
− 2𝑦 𝐷 + 1 = 97
⟺ 𝑥 𝐸
2
+𝑦 𝐸
2
− 4𝑥 𝐸 − 2𝑦 𝐷 + 5 = 97
⟺ 𝑥 𝐸
2
+𝑦 𝐸
2
− 4𝑥 𝐸 − 2𝑦 𝐷 − 92 = 0
Jai E adalah semua titik pada lingaran 𝑥 𝐸
2
+𝑦 𝐸
2
− 4𝑥 𝐸 − 2𝑦 𝐷 − 92 = 0
c. F sehingga AF =
1
2
𝐴𝐶
√(𝑥 𝐹 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐹 − 𝑦 𝐴)2 =
1
2
√(𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐴)2
⟺ √(𝑥 𝐹 − 2)2 + (𝑦 𝐹 − 1)2 =
1
2
√(−1 − 2)2 + (5 − 1)2
⟺ √(𝑥 𝐹 − 2)2 + (𝑦 𝐹 − 1)2 =
1
2
√(−3)2 + (4)2
⟺ √(𝑥 𝐹 − 2)2 + (𝑦 𝐹 − 1)2 =
1
2
√9 + 16
⟺ √(𝑥 𝐹 − 2)2 + (𝑦 𝐹 − 1)2 =
1
2
√25
⟺ (𝑥 𝐹 − 2)2
+ (𝑦 𝐹 − 1)2
=
1
4
. 25
⟺ 𝑥 𝐹
2
− 4𝑥 𝐹 + 4 + 𝑦 𝐹
2
− 2𝑦 𝐹 + 1 =
1
4
. 25
⟺ 𝑥 𝐹
2
+𝑦 𝐹
2
− 4𝑥 𝐹 − 2𝑦 𝐹 + 5 =
1
4
. 25
⟺ 4𝑥 𝐹
2
+4𝑦 𝐹
2
− 16𝑥 𝐹 − 8𝑦 𝐹 + 20 = 25
⟺ 4𝑥 𝐹
2
+4𝑦 𝐹
2
− 16𝑥 𝐹 − 8𝑦 𝐹 − 5 = 0
Jadi F adalah semua titik pada lingkaran 4𝑥 𝐹
2
+4𝑦 𝐹
2
− 16𝑥 𝐹 − 8𝑦 𝐹 −
5 = 0
6. Jika A = (1,3), B = (2,7), dan C = (-1,4) adalah titik-titik parallelogram
ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.
Jawab:
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka AB=CD dengan K
adalah titik tengah BC dan AD.

13. Karena K titik tengah BC maka 𝐾 = (
𝑥 𝐵+𝑥 𝐶
2
,
𝑦 𝐵+𝑦 𝐶
2
) = (
2−1
2
,
7+4
2
) = (
1
2
,
11
2
)
Karena K titik tengah AD maka 𝐾 = (
𝑥 𝐴+𝑥 𝐷
2
,
𝑦 𝐴+𝑦 𝐷
2
)
⟺ (
1
2
,
11
2
) = (
1 + 𝑥 𝐷
2
,
3 + 𝑦 𝐷
2
)
⟺
1 + 𝑥 𝐷
2
=
1
2
⟺ 1 + 𝑥 𝐷 = 1 ⟺ 𝑥 𝐷 = 0
⟺
3 + 𝑦 𝐷
2
=
11
2
⟺ 3 + 𝑦 𝐷 = 11 ⟺ 𝑦 𝐷 = 8
Jadi koordinat D adalah (0,8).
7. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang
ABCD, tentukan h dan k.
Jawab:
Karena ABCD jajargenjang maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅
Dari 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka
(
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) − (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
) = (
𝑥 𝐷
𝑦 𝐷
) − (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
)
⟺ (
ℎ
3
) − (
−2
4
) = (
3
0
) − (
5
𝑘
) ⟺ (
ℎ + 2
−1
) = (
−2
−𝑘
)
Sehingga diperoleh ℎ + 2 = −2 ⟺ ℎ = −4 dan – 𝑘 = −1 ⟺ 𝑘 = 1.
8. Jika A(-h,-k), B(5,-2√3), C(k,8√3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅, tentukan h dan k.
Jawab:
Karena 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD
sehingga
(
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
) − (
𝑥 𝐴
𝑦 𝐴
) = (
𝑥 𝐷
𝑦 𝐷
) − (
𝑥 𝐶
𝑦 𝐶
) ⟺ (
5 + ℎ
−2√3 + 𝑘
) = (
−9 − 𝑘
ℎ − 8√3
)
⟺ 5 + ℎ = −9 − 𝑘 ⟺ ℎ + 𝑘 = −14 ... (1)
⟺ −2√3 + 𝑘 = ℎ − 8√3 ⟺ ℎ − 𝑘 = 6√3 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3√3 dan h = - 7 - 3√3.
9. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi?
a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.
b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.
c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.

14. d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3.
Jawab:
a. Relasi ekivalensi
b. Relasi ekivalensi
c. Relasi ekivalensi
d. Bukan relasi ekivalensi
e. Bukan relasi ekivalensi
10. Buktikan jika 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ maka 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ dengan jalan
memisalkan 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2), 𝐶 = (0,0) 𝑑𝑎𝑛 𝐸 = (𝑒1, 𝑒2).
Bukti:
Dari 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ diperoleh AB = CD maka (
𝑏1
𝑏2
) − (
𝑎1
𝑎2
) = (
𝑑1
𝑑2
) − (
𝑐1
𝑐2
)
⟺ (
𝑑1
𝑑2
) = (
𝑏1 − 𝑎1 + 0
𝑏2 − 𝑎2 + 0
) = (
𝑏1 − 𝑎1
𝑏2 − 𝑎2
)
Dari 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐸𝐹̅̅̅̅ diperoleh CD = EF maka (
𝑑1
𝑑2
) − (
𝑐1
𝑐2
) = (
𝑓1
𝑓2
) − (
𝑒1
𝑒2
)
⟺ (
𝑏1 − 𝑎1
𝑏2 − 𝑎2
) − (
0
0
) = (
𝑓1
𝑓2
) − (
𝑒1
𝑒2
)
⟺ (
𝑓1
𝑓2
) = (
𝑏1 − 𝑎1 + 𝑒1
𝑏2 − 𝑎2 + 𝑒2
)
Sehingga 𝐸𝐹̅̅̅̅ = (
𝑏1 − 𝑎1 + 𝑒1
𝑏2 − 𝑎2 + 𝑒2
) − (
𝑒1
𝑒2
) = (
𝑏1 − 𝑎1
𝑏2 − 𝑎2
).
11. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan:
a. D sehingga AD = 3 AB
b. E sehingga AE =
1
2
𝐵𝐶
c. F sehingga AF = -2 AB
Jawab:
a. D sehingga AD = 3 AB
√(𝑥 𝐷 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐷 − 𝑦 𝐴)2 = 3√(𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴)2
⟺ √(𝑥 𝐷 + 0)2 + (𝑦 𝐷 − 0)2 = 3√(1 − 0)2 + (−3 − 0)2
⟺ √𝑥 𝐷
2 + 𝑦 𝐷
2 = 3√(1)2 + (−3)2
⟺ √𝑥 𝐷
2 + 𝑦 𝐷
2 = 3√10
⟺ 𝑥 𝐷
2
+ 𝑦 𝐷
2
= 90

15. Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 𝑥 𝐷
2
+ 𝑦 𝐷
2
= 90
b. E sehingga AE =
1
2
𝐵𝐶
√(𝑥 𝐸 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐸 − 𝑦 𝐴)2 =
1
2
√(𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵)2
⟺ √(𝑥 𝐸 − 0)2 + (𝑦 𝐸 − 0)2 =
1
2
√(5 − 1)2 + (7 − (−3))2
⟺ √𝑥 𝐸
2 + 𝑦 𝐸
2 =
1
2
√(4)2 + (10)2
⟺ √𝑥 𝐸
2 + 𝑦 𝐸
2 =
1
2
√16 + 100
⟺ √𝑥 𝐸
2 + 𝑦 𝐸
2 =
1
2
√116
⟺ 𝑥 𝐸
2
+ 𝑦 𝐸
2
=
1
4
. 116
⟺ 𝑥 𝐸
2
+ 𝑦 𝐸
2
= 29
Jadi E adalah semua titik pada lingkaran 𝑥 𝐸
2
+ 𝑦 𝐸
2
= 29
c. F sehingga AF = -2 AB
√(𝑥 𝐹 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐹 − 𝑦 𝐴)2 = -2√(𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴)2 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴)2
⟺ √(𝑥 𝐹 − 0)2 + (𝑦 𝐷 − 0)2 =-2√(1 − 0)2 + (−3 − 0)2
⟺ √𝑥 𝐹
2 + 𝑦 𝐹
2 = −2√(1)2 + (−3)2
⟺ √𝑥 𝐹
2 + 𝑦 𝐹
2 = 4√10
⟺ 𝑥 𝐹
2
+ 𝑦 𝐹
2
= 40
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran 𝑥 𝐹
2
+ 𝑦 𝐹
2
= 40
12. Jika 𝑃0 = (0,0), 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1), 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) dan 𝑃3 = (𝑥3, 𝑦3) sedangkan
k>0, tentukan:
a. P sehingga 𝑃0 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃0 𝑃1
̅̅̅̅̅̅
b. P sehingga 𝑃1 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅
c. Jika 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ maka 𝑃 = [𝑥3 + 𝑘(𝑥2 − 𝑥1), 𝑦3 + 𝑘(𝑦2 − 𝑦1)]
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
Jawab:
a. P sehingga 𝑃0 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃0 𝑃1
̅̅̅̅̅̅

16. Karena 𝑃0 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃0 𝑃1
̅̅̅̅̅̅ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P =
kP0P1 sehingga (
𝑥 𝑃 − 𝑥 𝑃0
𝑦 𝑃 − 𝑦 𝑃0
) = 𝑘 (
𝑥 𝑃1
− 𝑥 𝑃0
𝑦 𝑃1
− 𝑦 𝑃0
) ⟺ (
𝑥 𝑝 − 0
𝑦𝑝 − 0
) = 𝑘 (
𝑥1 − 0
𝑦1 − 0
)
⟺ (
𝑥 𝑝
𝑦𝑝
) = (
𝑘𝑥1
𝑘𝑦1
)
b. P sehingga 𝑃1 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅
Karena 𝑃1 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P1P=kP1P2 sehingga
(
𝑥 𝑃 − 𝑥 𝑃1
𝑦𝑝 − 𝑦 𝑃1
) = 𝑘 (
𝑥 𝑃2− 𝑥 𝑃1
𝑦 𝑃2
− 𝑦 𝑃1
) ⟺ (
𝑥 𝑃 − 𝑥1
𝑦 𝑃 − 𝑦1
) = 𝑘 (
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
)
⟺ 𝑥 𝑃 − 𝑥1 = 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 ⟺ 𝑥 𝑃 = 𝑘𝑥2 − (𝑘 − 1)𝑥1
⟺ 𝑦 𝑃 − 𝑦1 = 𝑘𝑦2 − 𝑘𝑦1 ⟺ 𝑦 𝑃 = 𝑘𝑦2 − (𝑘−1)𝑦1
Jadi 𝑃 = (𝑘𝑥2 − (𝑘 − 1)𝑥1, 𝑘𝑦2 − (𝑘−1)𝑦1)
c. Jika 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝑘𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ maka 𝑃 = [𝑥3 + 𝑘(𝑥2 − 𝑥1), 𝑦3 + 𝑘(𝑦2 − 𝑦1)]
Karena 𝑃3 𝑃̅̅̅̅̅ = 𝘌𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P3P=kP1P2 sehingga
(
𝑥 𝑃 − 𝑥 𝑃3
𝑦 𝑃 − 𝑦 𝑃3
) = 𝑘 (
𝑥 𝑃2− 𝑥 𝑃1
𝑦 𝑃2
− 𝑦 𝑃1
) ⟺ (
𝑥 𝑃 − 𝑥3
𝑦 𝑃 − 𝑦3
) = 𝑘 (
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
)
⟺ 𝑥 𝑃 − 𝑥3 = 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 ⟺ 𝑥 𝑃 = 𝑘(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑥3
⟺ 𝑦 𝑃 − 𝑦3 = 𝑘𝑦2 − 𝑘𝑦1 ⟺ 𝑦 𝑃 = 𝑘(𝑦2 − 𝑦1) + 𝑦3
Jadi 𝑃 = (𝑘(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑥3, 𝑘(𝑦2 − 𝑦1) + 𝑦3)
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.
13. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui,
gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat
titik-titik berikut:
a. P sehingga 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 4 𝐴𝐶̅̅̅̅
b. R sehingga 𝐵𝑅̅̅̅̅ =
1
2
𝐵𝐶̅̅̅̅
c. S sehingga 𝐷𝑆̅̅̅̅ = 3𝐵𝐶̅̅̅̅
d. T sehingga 𝐶𝑇̅̅̅̅ = −2𝐷𝐵̅̅̅̅
Jawab:
a. P sehingga 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 4 𝐴𝐶̅̅̅̅

17. Karena 𝐴𝑃̅̅̅̅ = 4 𝐴𝐶̅̅̅̅ maka 𝐴𝑃 = 4𝐴𝐶 sehingga 𝑃 − 𝐴 = 4(𝐶 − 𝐴)
Diperoleh (
𝑥 𝑃 − 𝑥 𝐴
𝑦 𝑃 − 𝑦 𝐴
) = 4 (
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐴
𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐴
) ⟺ (
𝑥 𝑃
𝑦 𝑃
) = 4 (
−2 − 0
5 − 0
) + (
0
0
)
⟺ (
𝑥 𝑃
𝑦 𝑃
) = (
−8
20
)
Jadi koordinat P = (-8,20).
b. R sehingga 𝐵𝑅̅̅̅̅ =
1
2
𝐵𝐶̅̅̅̅
Karena 𝐵𝑅̅̅̅̅ =
1
2
𝐵𝐶̅̅̅̅ maka BR=
1
2
BC sehingga R – B =
1
2
(𝐶 − 𝐵)
Diperoleh (
𝑥 𝑅 − 𝑥 𝐵
𝑦 𝑅 − 𝑦 𝐵
) =
1
2
(
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵
𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵
) ⟺ (
𝑥 𝑅 − 1
𝑦 𝑅 − 3
) =
1
2
(
−2 − 1
5 − 3
)
⟺ 𝑥 𝑅 − 1 =
−3
2
⟺ 𝑥 𝑅 =
−1
2
⟺ 𝑦 𝑅 − 3 = 1 ⟺ 𝑦 𝑅 = 4
Jadi koordinat R = (
−1
2
, 4).
c. S sehingga 𝐷𝑆̅̅̅̅ = 3𝐵𝐶̅̅̅̅
Karena 𝐷𝑆̅̅̅̅ = 3𝐵𝐶̅̅̅̅ maka S – D = 3 (C – B)
Diperoleh (
𝑥 𝑆 − 𝑥 𝐷
𝑦𝑆 − 𝑦 𝐷
) = 3 (
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐵
𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵
) ⟺ (
𝑥 𝑆 − 4
𝑦𝑆 − (−2)
) = 3 (
−2 − 1
5 − 3
)
⟺ 𝑥 𝑆 − 4 = −9 ⟺ 𝑥 𝑆 = −5
⟺ 𝑦𝑆 + 2 = 6 ⟺ 𝑦𝑆 = 4
Jadi koordinat S = (−5,4).
d. T sehingga 𝐶𝑇̅̅̅̅ = −2𝐷𝐵̅̅̅̅
Karena 𝐶𝑇̅̅̅̅ = −2𝐷𝐵̅̅̅̅ maka T – C = -2 ( B – D )
Diperoleh (
𝑥 𝑇 − 𝑥 𝐶
𝑦 𝑇 − 𝑦 𝐶
) = −2 (
𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐷
𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐷
) ⟺ (
𝑥 𝑇 − (−2)
𝑦 𝑇 − 5
) =
−2 (
1 − 4
3 − (−2)
)
⟺ 𝑥 𝑇 + 2 = 6 ⟺ 𝑥 𝑇 = 4
⟺ 𝑦 𝑇 − 5 = −10 ⟺ 𝑦 𝑇 = −5
Jadi koordinat R = (4, −5).
14. Diketahui garis-garis g dan h yang sejajar. Titik 𝑃 ∈ 𝑔 sedangkan titik 𝑄
tidak pada g maupun h.
a. Lukislah P’=MhMg(P) dan Q’=MhMg(Q)

18. b. Buktikan bahwa 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ = 𝑄𝑄′̅̅̅̅̅
Jawab:
a. Gambar P’=MhMg(P) dan Q’=MhMg(Q)
b. Bukti bahwa 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ = 𝑄𝑄′̅̅̅̅̅
15. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada
garis-garis itu.
a. Lukislah Z’=MvMu(Z) dan W’=MvMu(W)
b. Buktikan bahwa 𝑍𝑍′̅̅̅̅̅ = 𝑊𝑊′̅̅̅̅̅̅̅
Jawab:
a. Gambar Z’=MvMu(Z) dan W’=MvMu(W)
b. Bukti bahwa 𝑍𝑍′̅̅̅̅̅ = 𝑊𝑊′̅̅̅̅̅̅̅
16. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2; garis itu tidak
memotong lingkaran-lingkaran. Dengan memperhatikan Mg(L1), tentukan
Mg(Q)
h
g
P
P’
Q’
Q
Z’
u
v
ZW’
W
Mu(Z)
Mu(W)

19. semua titik X pada g sehingga ∠𝑃𝑋𝐴 ≅ ∠𝑄𝑋𝐵 dengan 𝐴 ∈ 𝐿1, 𝐵 ∈ 𝐿2
sedangkan 𝑋𝐴⃡⃗⃗⃗⃗ dan 𝑋𝐵⃡⃗⃗⃗⃗ adalah garis-garis singgung.
Jawab:
17. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2. Garis tidak memotong
L1 maupun L2. Gunakna sebuah transformasi untuk melukis sebuah bujur
sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g, satu titik sudut ada pada L1
dan titik sudut yang keempat ada pada L2.
Jawab: