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Interferenza dueonde
- 1. Prof. Silvano Natalizi- 15 dicembre 2013 PROCEDURA DI SOLUZIONE DI PROBLEMI SULL’INTERFERENZA DI DUE ONDE
- 2. PROBLEMA TIPICO INTERFERENZADUE ONDE Un osservatore sta in piedi davanti a due altoparlanti che producono un suono della medesima frequenza e lunghezza d’onda, ma sono sfasati di π. (Ciò significa che l’interferenza è costruttiva quando d=(2n+1)ϒ/2 e distruttiva quando d=nϒ). Inizialmente la distanza dell’osservatore dagli altoparlanti è la medesima. Non appena egli si muove di lato, l’intensità del suono cambia gradualmente. Quando la distanza x nel disegno diventa 0.92m, c’è una interferenza costruttiva. Usando i dati mostrati nel disegno, determina la frequenza del suono proveniente dagli altoparlanti.
- 3. PROCEDIMENTO DI SOLUZIONE,RICERCA DELLE RELAZIONI TRA L’INCOGNITA E I DATI NOTI. La incognita del problema è la frequenza emessa dagli altoparlanti (una sola frequenza) Dobbiamo cercare di impostare una equazione con I dati noti del problema: La teoria ci dice che e quindi f=v/ϒ, ma la lunghezza d’onda ϒ è incognita, invece conosciamo la velocità del suono nell’aria v=343m/s V=ϒf
- 4. RICERCA DI ULTERIORIRELAZIONI TRA LE INCOGNITE E I DATI NOTI DEL PROBLEMA Siccome nel punto dove è posto l’osservatore, esso rileva interferenza costruttiva (Quando la distanza x nel disegno diventa 0.92m, c’è una interferenza costruttiva. ) Dalla teoria sappiamo che, in questo caso, d=(2n+1)ϒ/2 che la lunghezza d’onda ϒ possiamo calcolarla una volta che siano noti d e n Osserviamo
- 5. COME FACCIAMO ADETERMINARE D d è la differenza di cammino percorso dalle due onde. d=l1-l2 l1=sqrt(sqr(4)+sqr(1.50+0.92))= 4.68m l2=sqrt(sqr(4)+sqr(1.50-0.92))= 4.04m pertanto d=l1-l2=4.68-4.04=0.64m In generale applichiamo il teorema di Pitagora.
- 6. COME FACCIAMO ADETERMINARE N ? Per determinare il numero naturale n, bisogna fare un ragionamento che spesso si presenta sempre al medesimo modo: Osservando il disegno, con la sua geometria, vediamo che, se l’osservatore si sposta sempre più a destra, d aumenta, infatti l1 aumenta l2 diminuisce e quindi la differenza d=l1-l2 aumenta. Ma il testo dice: “Inizialmente la distanza dell’osservatore dagli altoparlanti è la medesima. Non appena egli si muove di lato, l’intensità del suono cambia gradualmente. Quando la distanza x nel disegno diventa 0.92m, c’è una interferenza costruttiva. “ Pertanto ne deduciamo che quella posizione è la prima alla quale si osserva l’interferenza costruttiva e quindi è anche quella per cui la differenza di cammino d è minima! Perchè dopo spostandomi a destra d aumenta. In virtù della legge d=(2n+1)ϒ/2 ne consegue che per avere d minimo, n deve essere il più piccolo valore possibile, ossia n=0
- 7. IL CICLO ÈCHIUSO Riepilogando f dipende da ϒ, ϒ dipende da d e n d dipende dalla geometria del sistema n dipende dalla regole dell’interferenza e da d In sequenza calcoliamo d, Determiniamo n Calcoliamo ϒ Infine risolviamo il problema calcolando la frequenza f
- 8. SISTEMA DI EQUAZIONIMATEMATICHE v=fϒ d=(2n+1)ϒ/2 Le incognite sono 4 : f, ϒ, d, n Con due sole equazioni non è risolvibile, occorrono altre due equazioni nelle medesime incognite. Una ulteriore equazione ci è fornita dal teorema di Pitagora che ci permette di calcolare d Un’ulteriore relazione ci è fornita da considerazioni di minimo di d che ci permette di determinare n.
- 9. CALCOLO NUMERICO d=0.64m n=0 ϒ=2d/(2n+1)=2*0.64/(0+1)=1.28m f=v/ϒ=343/1.28=268Hz
- 10. SOLUZIONE LETTERALE v=fϒ d=(2n+1)ϒ/2 ϒ=v/f d=(2n+1) v/2f f=(2n+1)v/2d, n=0, d=0.64m, v=343m/s Sostituendo questi valori noti nell’equazione esplicita di f si ha: f=343/1.28=268Hz.
- 11. TESTIAMO IL PROCEDIMENTOSU DI UN’ALTRO PROBLEMA Il disegno mostra due altoparlanti A e B, e un punto C dove è posizionato un ascoltatore. Entrambi A e B vibrano in fase e con la stessa frequenza di 68.6Hz e lunghezza d’onda. v=343m/s. Quale è la distanza minima tra A e B affinchè l’ascoltatore in C senta un’interferenza distruttiva ?
- 12. PROCEDIMENTO DI SOLUZIONE L’incognitadel problema è la distanza minima tra A e B. Chiamiamola AB=x Da chi dipende x ? Ossia quale relazione possiamo impostare tra x e I dati noti del problema ?
- 13. CHE COSA SAPPIAMO Sappiamoche in C deve esserci una interferenza distruttiva, quindi d=(2n+1)ϒ/2 Conosciamo la frequenza f Conosciamo la velocità di propagazione delle due onde uscenti da A e B: v=343m/s Sappiamo che v=fϒ Pertanto conosciamo anche ϒ la lunghezza d’onda.
- 14. CHE COSA NONSAPPIAMO Non conosciamo ancora n Non abbiamo ancora esaminato le relazioni geometriche che ci possono consentire di collegare d all’incognita x.
- 15. RELAZIONI GEOMETRICHE x=x1+x2 del triangolorettangolo AHC conosco l’ipotenusa AC e gli angoli ad essa adiacente. Pertanto posso calcolare x1 e l’altezza y. Non conosco d2 e x2
- 16. UN ULTERIORE INFORMAZIONEDETERMINANTE Non abbiamo ancora sfruttato il fatto che x deve essere minimo. Osserviamo che in un triangolo qualsiasi, avente fisso un lato ed un angolo ad esso adiacente, se diminuiamo la lunghezza del secondo lato adiacente al medesimo angolo, allora anche la lunghezza del terzo lato diminuisce Applicando questa regola al nostro triangolo ABC, ne consegue che se rendiamo minimo x, risulta minimo anche d2 e quindi anche la differenza del cammino d=d2-d1 Ancora una volta un problema di minimo d !
- 17. CADE N ECADE D Abbiamo dedotto precedentemente che d deve essere minimo ! d=(2n+1)ϒ/2 Quindi n deve essere il minimo ossia n=o Ma conosciamo ϒ, Quindi d=ϒ/2
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- 19. IL CICLO ÈCHIUSO d dipende da x x minimo implica d minimo n dipende da d d minimo implica n minimo => n=0 (prima incognita determinata) ϒ dipende da f e v , ϒ=v/f d=ϒ/2 (seconda incognita calcolata) d2=d+d1 X=x1+x2 X2 lo ricavo con il teorema di Pitagora !
- 20. CALCOLO NUMERICO n=0 ϒ=v/f=343/68.6=5m d=ϒ/2=2.5m X1=AC*cos60=1*0.5=0.5m Y=AC*sin60=1*0.866=0.866m D2=d+d1=2.5 +1=3.5m X2=sqrt(sqr(d2)-sqr(Y))=sqrt(sqr(3.5)sqr(0.866))=sqrt(12.25-0.750)=sqrt(11.5)=3.39m X=x1+x2=0.5+3.39=3.89m