A presentation in an ancient time. (2001-02)

1. 自己相似集合上の
グリーン関数の最大値
京都大学大学院 情報学研究科
複雑系科学専攻 応用解析学講座
修士課程 下野寿之

2. 自己相似集合上の解析
ディリクレ形式・ラプラシアン
･拡散過程
確率論的アプローチ
– 楠岡・ Goldstein
解析的アプローチ (p.c.f. 自己相似集
合)
- 木上

3. • • •
• •
• •
• • •
• • • • •
• • • •
• • • • •
V0 V1 V2
K = U i ≥0 Vi
シルピンスキガスケット
•
p の隣接点
• •
Vm, p • • • 赤丸 • p
:
• • • • 青丸 • : V の元
m, p
• • • • •
差分作用素 Vm Vm
Lm : ¡ →¡ を
( Lm u )( p ) := ∑ ( u (q) − u ( p) )
q ∈Vm, p 隣接点との差分の和
▼ Lmは離散的なラプラシアンである

4. 電気抵抗回路の構成
2
3 3
5  
5
C0 C1 C2
Vm
回路 Cm の Vm の各端子に電圧分布 u ∈ ¡ を
与えると､端子p ∈ Vmから湧出する電流 i p は
m m
5 5
ip =  
 3
∑ ( u (q) − u ( p) ) =  
 3
( Lmu ) ( p)
q∈Vm, p

5. m
5
Em ( u , v ) := −  
3
∑ u ( p ) g( Lmv ) ( p )
p∈Vm
を u , v ∈ Vm
に対して定義｡
{
▼ Em ( u , u ) = min Em +1 ( v, v ) ; v |Vm = u }
の単調性が成り立つ。
▼ Em ( u , u ) は電圧分布 u を与えた
回路 Cm の消費電力に等しい。
(
E ( u , u ) := lim Em u |Vm , u |Vm
m→∞
)
F := { u ∈ C ( K ) ; E ( u, u ) < ∞ }
▼ ( E, F ) は二次形式。

6. ラプラシアン
ラプラシアン∆ は
3 m −→ ∆ u
5 Lmu −→ ( m → ∞)
2
で定義される｡
∆の定義域をD とする。
s
ガウス･グリーンの公式
u |V = v |V = 0V であるような
0 0 0
u ∈ F , v ∈ D iに対して
- ∫ u ∆v d µ = E ( u , v )
K

7. グリーン関数 g ( x, y )
∃
g : K × K 上の連続関数 s . t .
 ∆u = f

u = 0 ( ポアソン方程式 )
 | V0
 V0
⇔ u ( x ) = − ∫ g ( x, y ) f ( y ) d µ y
K
g をグリーン関数と呼ぶ｡
▼ g ( x, x ) ≥ g ( x, y ) = g ( y , x ) ≥ 0

8. グリーン関数の形状
{ g ( x, x) } x∈K

9. シルピンスキガスケッ
トに座標を与える
•
p1 = π (1) = π (111...)
•
K11
K12 K13
• π (231)
•
•
K 212 = π (213)
K3
K 222
• •
p = π (222..) p 3 = π (333..)
2

10. 主要定理
• • • • • •
{ ξ i } i=1..6:= π {12321,13231,21312,
• • • • • •
23132,31213,32123}
• •
12321は12 321 321.....を表す。
cma x := 178839 / 902500 = 0.1981595567..
 = cma x ( x, y ) ∈ {ξ i , ξ i}i =1..6

g ( x, y ) 
 < cmax ( x, y ) ∈ K × K {ξ i , ξ i}i =1..6

が成り立つ。

11. 最大値を与える点
1
• • • •
π (12321) π (13231)
• •
• •
π (21312)
• •
2
• •
π (31213)
•
π (23132)
•
• •
•
π (32123)
• 3

12. g ( x, x) の意味
g ( x, x) は境界V0の点同士を短絡させたものと
x の間の( E, F ) から決まる抵抗になっている。
i.e.
u∈F
{
g ( x, x) = max E ( u, u )
−1
}
; u |V = 0V , u ( x) = 1
0 0
max g ( x, x) を与える x は抵抗距離でV0 から
最も遠い点。
R

13. Near Diagonal Formula
w w2 gggwm
1
G jk  • • 
:= g  π ( w1 g g m j ), π ( w1 g g m k ) 
gw gw
 
w
GG wi
m
∅ wi wt 3 i
G =0V ×V , G = Ai G Ai +   B
0 0 5
が成り立つ。
5 0 0 2 2 1 2 1 2
1  1  1 
A1 =  2 2 1 , A2 =  0 5 0, A3 =  1 2 2
5 5 5
2 1 2 1 2 2 0 0 5
0 0 0 3 0 1 0 0 0
3  3  3 
B1 =  0 3 1  , B2 =  0 0 0  , B3 =  0 3 1
50  50  50 
0 1 3 1 0 3 0 1 3

14. 補題
−|w|
 3 9
  (G w − c) < − ⇒ max g ( x, x ) < c
5 20 x∈K w
• •
{w ; K w ⊆ K 22 ∪ K 21 π (21312)}の
( 含有関係により v
Kw ⊆ K ) 極大な各元
wに対して
−|w|−10
max  
 3
v:|v|=10  5 
(
G wv − cma x ≤ −
jk
9
20
)
が成り立てば主要定理が成り立つ。
主要定理の証明
| w | ≤ 5) 全ての場合を計算(#)。
∃
{ H n } n=1..6 :
−10
max  
 3
v:|v|=10  5 
( v
H ∀n − cma x ) 9
≤ − を計算(#)。
20
−|w|
 3
| w | ≥ 6)   (G w − cma x ) ≤ H ∃n − cma x
5
を証明。
はMapleによる有理数の誤差なしの厳密な計算。
(#)

15. 補題
−|w|
 3 9
  (G w − c) < − ⇒ max g ( x, x ) < c
5 20 x∈K w
• •
{w ; K w ⊆ K 22 ∪ K 21 π (21312)}の
( 含有関係により v
Kw ⊆ K ) 極大な各元
w に対して
−|w|−10
max  
 3
v:|v|=10  5 
(
G wv − cma x ≤ −
jk
9
20
)
が成り立てば主要定理が成り立つ。
主要定理の証明
| w | ≤ 5) 全ての場合を計算(#)。
∃ 9
{ H n } n=1..6 : max v
H ∀n ≤ − を計算(#)。
v:|v|=10 20
−|w|
 3
| w | ≥ 6)   (G w − cma x ) ≤ H ∃n
5
を証明。
はMapleによる有理数の誤差なしの厳密な計算。
(#)