persitent homology

1. Introduction toIntroduction to
Persistent HomologyPersistent Homology
andand
Topological Data AnalysisTopological Data Analysis
第 8 回数学カフェ(2015/10/27)
@simizut22

2. ⾃自⼰己紹介⾃自⼰己紹介

3. C++er(3C++er(3年⽣生年⽣生))

4. 仕事では主に荷物積んでます：仕事では主に荷物積んでます：
Contailer Loading ProblemContailer Loading Problem
3d Bin Packing Problem3d Bin Packing Problem

5. 社内勉強会社内勉強会
GPGPUGPGPU
並列並⾏行プログラミング並列並⾏行プログラミング
EMC++EMC++輪読会輪読会

6. ところで．．．ところで．．．

7. 並⾏行プログラムには並⾏行プログラムには

8. HomotopyHomotopy が潜んでるんですが潜んでるんです

9. Marco Grandis
Directed Algebraic Topology ~Models of Non-Reversible Worlds~

10. Directed Algebraic Topology and Concurrency(近⽇日発売)

11. ⼀一緒に勉強してくれる⽅方⼀一緒に勉強してくれる⽅方
募集中！！募集中！！
⾮非可換幾何も潜んでいますよ(ボソッ

12. 本⽇日の内容本⽇日の内容

13. 単体複体と単体複体と HomologyHomology 群群
Persistent Homology/ModulePersistent Homology/Module
Discrete MorseDiscrete Morse 理論理論

14. 申し訳ないけど申し訳ないけど

15. 1. Manifold LearningManifold Learning
2. 画像処理画像処理
3. 確率場と確率場と Persitent HomologyPersitent Homology
4. Euler IntegralEuler Integral

16. とかの話はしません！！とかの話はしません！！

17. 出し渋ってます出し渋ってます

18. 本⾳音は本⾳音は......

19. Euler IntegralEuler Integral なら話したいなら話したい
Persistenｔ/離散 morse との関係含めて，後⽇日 LT ででも...

20. 1.1. 単体複体と単体複体と homologyhomology 群群

21. V : finite set, K ⊂ P(V )
が抽象単体複体が抽象単体複体
1) ∀v ∈ V , v ∈ K{ }
2) σ ∈ K, σ ⊃ τ ≠ ϕ ⇒ τ ∈ K
⇔

22. 例：例：EuclidEuclid 空間内の空間内の n-n-単体単体
⼀一般の位置にある⼀一般の位置にある nn 点が張る多⾯面体点が張る多⾯面体
22 単体単体 33 単体単体

23. (V , K) : simplicial complex
C (K) = R⟨k simplices⟩ : free modulei
RR 係数の係数の chainchain 複体を次で与える複体を次で与える
C (K) := C (K)∗ ⨁ i
∂⟨v , ..., v ⟩ = (−1) ⟨v , ..., , ..., v ⟩0 n ∑ j
0 vj^ n

24. ∂ ∘ ∂ = 0Lem.Lem.
従って，従って，
B (K) := Im∂ ⊂ ker∂ =: Z (K)j j+1 j j
H (K) = Z (K)/B (K)k k k
def.def.
をを k-k-次次 homologyhomology 群と⾔言う群と⾔言う

25. Rem.Rem.
単体複体の単体複体の homologyhomology論論 はは chain mapchain map
に対しての関⼿手性を持つに対しての関⼿手性を持つ
i : C ↪ D : inclusion∗ ∗
特に，特に，
に対して次の準同型を導くに対して次の準同型を導く
i : H (C) → H (D)∗ ∗ ∗

26. 例：離散集合の例：離散集合の homologyhomology
V = v , K = v (i = 1, ..., k){ i}i=1
k
{{ i} }
∂ = 0 (∀i)i は明らかなのでは明らかなので
H (K) = R0
k
H (K) = 0 (i ≠ 0)i

27. 単体複体の例単体複体の例

28. ČČechech複体複体
point cloud X = x ⊂ R{ i}i
N
半径半径 r>0r>0 に対し，に対し，ČČechech 複体複体
(X) = i , ...i ∣∩ B (x ) ≠ ϕCˇ
k
r
{{ 0 k} j=0
k
r ij
}
で与える．ここでで与える．ここで
B (x) = y ∈R ∣∣y − x∣ ≤ r : closed ballr { N
}

29. Vietoris-RipsVietoris-Rips 複体複体
Čech 複体の k-単体は k 個全ての interseection ≠φだったけど...
V (X) = i , ...i ∣B (x ) ∩ B (x ) ≠ ϕk
r
{{ 0 k} r ij r il
}
i.e.i.e. 任意にペアを取って交わればおｋ任意にペアを取って交わればおｋ

30. 明らかに明らかに......
(X) ⊂ V (X)Cˇr r
は成り⽴立つが，実は次も成⽴立は成り⽴立つが，実は次も成⽴立
Prop.[Vin de Silva & R.Ghrist]Prop.[Vin de Silva & R.Ghrist]
V (X) ⊂ (X) ⊂ V (X)r/√2
Cˇr r
De Silva, Vin, and Robert Ghrist. "Coverage in sensor networks via persistent homology."
Algebraic & Geometric Topology 7.1 (2007): 339-358.

31. Persistent Homology/ModulePersistent Homology/Module

32. K : ech or Rips complex∗
r
Cˇ
以下，簡単のため以下，簡単のため
とするとする

33. 半径の列半径の列
0 ≤ r ≤ r ≤ ... ≤ r ≤ ...0 1 n に対し，に対し，
K ⊂ K∗
ri−1
∗
ri
包含写像を包含写像を
i : K → K : chain mapp,k rk rp+k
で表すで表す

34. def.(Persistent Homology)def.(Persistent Homology)
H (X ) = = Im(i )∗
p rk
i (Z (X ))∩B (X )p,k
∗
rk ∗
rp+k
i (Z (X ))p,k
∗
rk
∗
p,k
をを k-frame p-persistent homologyk-frame p-persistent homology 群という群という

35. 注意: この本の定義とちょっと違うと感じてる⼈人もいるかも...

36. 先の本では，係数環先の本では，係数環 RR を体としてを体として
R[x] : polynomial ring
がが PIDPID であることを⽤用いて単因⼦子論であることを⽤用いて単因⼦子論
↓↓
R[x]R[x] 係数⾏行列の係数⾏行列の smith normal formsmith normal form
を⽤用いて具体的基底を定めて定義を⽤用いて具体的基底を定めて定義

37. algorithmicalgorithmic に記述されているし，に記述されているし，
そのまま実装できるんじゃないそのまま実装できるんじゃない((適当適当

38. Persistent HomologyPersistent Homology はは
Persisten ModulePersisten Module の構造を持つの構造を持つ

39. What Persistent Module??What Persistent Module??

40. 以下，以下， indexindex を考える順序集合はを考える順序集合は
(I, ≤) : (R, ≤) or (Z, ≤) or (N, ≤)
とするとする
先ほどは 半径の離散列だったので N を使⽤用してた

41. def. (persistent module)def. (persistent module)
(V , ρ ) : Persitent Modulet t,s
V : vector spaces{ t}t∈I
ρ : V → V (s ≤ t ∈ I)t,s s t
に対しに対し
⇔ ρ = ρ ∘ ρ (r ≤ s ≤ t)t,r t,s s,r

42. 先に与えた先に与えた Persistent HomologyPersistent Homology がが
Persistent ModulePersistent Module になることは，になることは，
HomologyHomology の関⼿手性の関⼿手性
i : C → D , j : D → E∗ ∗ ∗ ∗
(j ∘ i) = j ∘ i : H (C) → H (E)∗ ∗ ∗ ∗ ∗
より従うより従う

43. 例例:(Interval Module):(Interval Module)
J ⊂ R : interval に対し，に対し，
k (s) = k (s ∈ J)J
k (s) = 0 (otherwise)J
ρ = id (s ≤ t & s, t ∈ J)t,s
で定まるものをで定まるものを interval moduleinterval module と⾔言うと⾔言う

44. Persistent ModulePersistent Module の⼀一般論からの⼀一般論から
Thm. (decomposition theorem)Thm. (decomposition theorem)
(V , ρ ) : Persistent moduleV
wh/ V is finite dim.t
このとき，このとき，
V ≅ k⨁ J
と，と， interval moduleinterval module の和で表すことができるの和で表すことができる

45. Remark:Remark:上の定理より，上の定理より，
Persistent ModulePersistent Module をを "bar""bar" で図⽰示で図⽰示
これが世にいうこれが世にいう bar-codebar-code

46. ⼀一⽅方，⼀一⽅方，J: intervalJ: interval に対しに対し
b(J):b(J): 左端点左端点 = birth= birth
d(J):d(J): 右端点右端点 = death= death
(b(J), d(J)) ∈R2
persistent modulepersistent module を図⽰示を図⽰示
↓
世にいう世にいう Persistent DiagramPersistent Diagram
を⽤用いてを⽤用いて

47. 先の表現定理は，当初は先の表現定理は，当初は
Z or N
離散離散 indexindex でのみ⽰示されていたがでのみ⽰示されていたが
R index に対しても
で⽰示された
Crawley-Boevey, William. "Decomposition of pointwise finite-dimensional persistence modules."
Journal of Algebra and Its Applications 14.05 (2015): 1550066.

48. Persistent HomologyPersistent Homology のの
MorseMorse 理論的⾒見⽅方理論的⾒見⽅方

49. X = x ⊂R : pt cloud{ i} N
""⾼高さ⾼高さ""関数関数 ff を次で与えるを次で与える
f(p) = min ∣∣p − x ∣∣i { i }
X ↪ X ↪ ... : augumented pt cloudr0 r1
はは ff を⽤用いて次のように書けるを⽤用いて次のように書ける

50. f (−∞, r ] ↪ f (−∞, r ] ↪ ..−1
0
−1
1

51. MorseMorse 関数っぽいぞ！！関数っぽいぞ！！

52. 別に距離じゃなくても！？別に距離じゃなくても！？

53. 例：例：(Eccentricity Functional)(Eccentricity Functional)

54. X-shapeX-shape 上の上の Eccentricity functionalEccentricity functional
E (x) := d(x, y) dyp
{∫y∈X
p
}
1/p
このときこのとき tt を適切にとるとを適切にとると
H (E ) ≅ k0 ≥t
p 4
が分かる．が分かる．((計算すればわかる）計算すればわかる）
Lum, P. Y., et al. "Extracting insights from the shape of complex data using topology."
Scientific reports 3 (2013).

55. Morse Theory for filtrationsMorse Theory for filtrations
andand
efficient computing of Persistentefficient computing of Persistent
HomologyHomology

56. Persistent HomologyPersistent Homology の最悪計算量はの最悪計算量は
nn をを filtrationfiltration の⾧長さとしたときの⾧長さとしたとき
O(n )ω
ここで，ここで， ωω はは n × nn × n ⾏行列の⾏行列積の計算量の指数⾏行列の⾏行列積の計算量の指数
rem:rem:
StrassenStrassen のの algorithmalgorithm ではでは ωω ~ 2.8~ 2.8

57. 鎖複体を⼩小さくして計算量少なく鎖複体を⼩小さくして計算量少なく

58. 記号の導⼊入記号の導⼊入
(C , ∂) : chain complex∗
κ : C × C → R∗ ∗
∂σ = κ(σ, τ)τ∑
を，次が成り⽴立つものとして定めるを，次が成り⽴立つものとして定める

59. def.(partial matching)def.(partial matching)
C : chain complex∗
がが CC の分割の分割
(A, ω : Q → K)
⇔ (A, K, Q)
がが partial matchingpartial matching
κ(ω(q), q) ∈ R×

60. def(acyclic)
22 項関係項関係
q′ ⊲ q ⇔ q′ ≺ ω(q)
のの transitive closuretransitive closure がが partial orderingpartial ordering
partial matching( A, ω : Q → K) : acyclic
(i.e. 反射的・推移的・反対称的な 2 項関係)

61. (A, ω : Q → K) : acyclic に対してに対して
ρ = (q , ω(q ), ..., q , ω(q ))1 1 M M
がが gradient pathgradient path
このときこのとき
⇔ q ⊲ q (⇔ q ≺ ω(q ) )j+1 j j+1 j
q := q ∈ Qρ 1
k := ω(q ) ∈ Kρ M

62. def(index of ρ)
ν(ρ) := −κ(ω(q ),q )∏j=1
M
j j
κ(ω(q ),q )∏ j=1
M−1
j j+1
A, A′ : simplices に対して，に対して，
q ≺ A, A′ ≺ kρ ρ
が成り⽴立つとき，が成り⽴立つとき，
ρρをを AA からから A'A' へのへのconnectionconnectionというという

63. def : (morse complex)
(A : ω : Q → K) : acyclic
A := A ∩ Cq q
(a, a′) = κ(a, a′) + κ(a, q )ν(ρ)κ(k , a′)κ~ ∑ ρ ρ
と置くと置く
( A , )∏q∈Z q κ~
をを morse complexmorse complex というという

64. Thm :
H (C) ≅ H (A)∗ ∗

65. PersistentPersistent にこれを拡張するにこれを拡張する

66. Filetered Morse ComplexFiletered Morse Complex

67. F = C ∣k = 1, ..., n : filtration{ k
}
def : (filtered acyclic matching)
(A , ω : Q → K ) : acylic matchingk k k k
が，さらにが，さらに
ω ≡ ω ∣k k+1
Qk
を満たすとき，を満たすとき，
filtered acyclic matchingfiltered acyclic matching というという

68. M := A ∣k = 1, ..., n{ k
}
Prop
はは
(A , ) : morse complexn
κ~n
のの filtrationfiltration

69. Thm :
H (C ) = H (A )∗
p k
∗
p k
i.e. Persistent homologyi.e. Persistent homology に拡張できるに拡張できる

70. algorithm:algorithm:
省略省略