2. 三⾓関数
レムニスケート関数
三⾓関数
Definition.
“円周率” π を
π
2
:=
∫ 1
0
dx
√
1 − x2
で定める．また，
x = sin u
def.
⇐⇒ u =
∫ x
0
dx
√
1 − x2
(
−1 ≤ x ≤ 1
−π/2 ≤ u ≤ π/2
)
,
x = cos u
def.
⇐⇒ u =
∫ 1
x
dx
√
1 − x2
(
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ u ≤ π/2
)
とする．
定義より sin 0 = 0 sin
π
2
= 1
cos 0 = 1 cos
π
2
= 0.
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3. 三⾓関数
レムニスケート関数
⟨ x = sin u の図 ⟩
x
y
O 1x = sin u
u
単位円の上半分の⽅程式 y =
√
1 − x2 を
考えると，
dy
dx
= −
x
√
1 − x2
であり，x 座標が 0 から x までの弧⻑を
u とすると
u =
∫ x
0
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
=
∫ x
0
dx
√
1 − x2
.
Question.
x = cos uを同様に図⽰せよ．
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4. 三⾓関数
レムニスケート関数
Proposition.
sin(−u) = − sin u.
Proof.
x = sin u のとき u =
∫ x
0
dx√
1−x2
であったが，y = −x と変換すると
u =
∫ −x
0
−dy
√
1 − y2
. ∴ −u =
∫ −x
0
dx
√
1 − x2
.
よって定義より，sin(−u) = − sin u.
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5. 三⾓関数
レムニスケート関数
Proposition.
cos u =
√
1 − sin2
u.
Proof.
x = sin u のとき u =
∫ x
0
dx√
1−x2
であったが，y =
√
1 − x2 と変換する
と，x =
√
1 − y2 となり，また
dy
dx
= −
x
√
1 − x2
= −
√
1 − y2
√
1 − x2
.
∴ u =
∫ x
0
dx
√
1 − x2
=
∫ √
1−x2
1
−dy
√
1 − y2
=
∫ 1
√
1−x2
dx
√
1 − x2
.
よって，cos u =
√
1 − x2 =
√
1 − sin2
u.
Corollary.
sin2
u + cos2
u = 1.
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6. 三⾓関数
レムニスケート関数
Proposition.
sin′
u = cos u.
Proof.
x = sin u のとき，
u =
∫ x
0
dx
√
1 − x2
,
du
dx
=
1
√
1 − x2
.
よって，
(sin u)′
=
dx
du
=
√
1 − x2 =
√
1 − sin2
u = cos u.
Question.
cos′
u = − sin u を⽰せ．
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7. 三⾓関数
レムニスケート関数
Theorem.
sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v.
Proof.
⼗分⼩さい正の実数 z を固定し，
z = x
√
1 − y2 +
√
1 − x2y
により x の関数 y を定める．両辺を微分すると，
0 =
√
1 − y2 −
xy
√
1 − y2
dy
dx
−
xy
√
1 − x2
+
√
1 − x2
dy
dx
=
√
1 − x2
√
1 − y2 − xy
√
1 − x2
+
√
1 − x2
√
1 − y2 − xy
√
1 − y2
dy
dx
.
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8. 三⾓関数
レムニスケート関数
Proof (Cont.)
両辺を
√
1 − x2
√
1 − y2 − xy で割って
1
√
1 − x2
+
1
√
1 − y2
dy
dx
= 0
を得る．ここで両辺を 0 から x まで x で積分する．このとき y は z
から y まで動くことに注意すると，
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ x
0
1
√
1 − y2
dy
dx
dx = 0
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ y
z
dy
√
1 − y2
= 0
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ y
0
dy
√
1 − y2
=
∫ z
0
dz
√
1 − z2
.
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9. 三⾓関数
レムニスケート関数
Proof (Cont.)
ここで左辺第 1 項を u, 第 2 項を v とすると，
sin(u + v) = z =x
√
1 − y2 +
√
1 − x2 y
= sin u cos v + cos u sin v.
Question.
cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v を⽰せ．
Question.
sin 2u = 2 sin u cos u を⽰せ．
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10. 三⾓関数
レムニスケート関数
Question.（⾯⽩いやつ）
x = eu def.
⇐⇒ u =
∫ x
1
dx
x
と定める．このとき z = xy として
∫ x
1
dx
x
+
∫ y
1
dy
y
=
∫ z
1
dz
z
を導き
eu+v
= eu
ev
を⽰せ．
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17. 三⾓関数
レムニスケート関数
レムニスケート関数
Definition.
“レムニスケート周率” ϖ を
ϖ
2
:=
∫ 1
0
dx
√
1 − x4
で定める．また，
x = sl u
def.
⇐⇒ u =
∫ x
0
dx
√
1 − x4
(
−1 ≤ x ≤ 1
−ϖ/2 ≤ u ≤ ϖ/2
)
,
x = cl u
def.
⇐⇒ u =
∫ 1
x
dx
√
1 − x4
(
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ u ≤ ϖ/2
)
とする．
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18. 三⾓関数
レムニスケート関数
“単位レムニスケート”：
2 点 (± 1√
2
, 0) からの距離の積が 1/2 となる点の軌跡
Question.
単位レムニスケートの極座標表⽰が r2
= cos 2θ となることを⽰せ．
⟨ x = sl u の図 ⟩
x
y
1−1
u
x
問の極座標表⽰において
dθ
dr
= −
r
√
1 − r4
であり，r が 0 から x まで動く部
分の弧⻑を u とすると
u =
∫ x
0
√
1 +
(
r
dθ
dr
)2
dr =
∫ x
0
dr
√
1 − r4
.
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20. 三⾓関数
レムニスケート関数
Question.
x = sl u のとき，
u =
∫ x
0
dx
√
1 − x4
において y =
√
1−x2
1+x2 とおくと dx√
1−x4
= − dy√
1−y4
となり
cl u =
√
1 − sl2
u
1 + sl2
u
,
したがって
sl2
u + sl2
u cl2
u + cl2
u = 1
を⽰せ．
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21. 三⾓関数
レムニスケート関数
Question.
sl′
u =
√
1 − sl4
uを⽰せ．
Question.
⼗分⼩さい正の実数 z を固定し
z =
x
√
1 − y4 +
√
1 − x4y
1 + x2y2
とおいて
∫ x
0
dx
√
1 − x4
+
∫ y
0
dy
√
1 − y4
=
∫ z
0
dz
√
1 − z4
を導き
sl(u + v) =
sl u cl v + cl u sl v
1 − sl u sl v cl u cl v
を⽰せ．
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22. 三⾓関数
レムニスケート関数
Question.
cl(u + v) =
cl u cl v − sl u sl v
1 + sl u sl v cl u cl v
を⽰せ．
Question.
sl 2u =
2 sl u cl u(1 + sl2
u)
1 + sl4
u
を⽰せ．
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26. 三⾓関数
レムニスケート関数
cl(iu) については，sl(iu) = i sl u と定めるのであれば
cl(iu) =
√
1 − sl2
(iu)
1 + sl2
(iu)
=
√
1 + sl2
u
1 − sl2
u
=
1
cl u
となるべきである．
次に⼀般に複素数に対しては，複素数 u は 2 つの実数 s, t によって
u = s + it と表せたのだから，加法定理が成り⽴つように次で定義
する：
Definition.
sl(s + it) :=
sl s + i cl s sl t cl t
cl t − i sl s cl s sl t
,
cl(s + it) :=
cl s − i sl s sl t cl t
cl t + i sl s cl s sl t
.
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27. 三⾓関数
レムニスケート関数
上の定義が形式的に加法定理を満たしているか確かめる．
sl(s + it) =
sl s cl(it) + cl s sl(it)
1 − sl s cl s sl(it) cl(it)
=
sl s 1
cl t + i cl s sl t
1 − sl s cl s i sl t 1
cl t
=
sl s + i cl s sl t cl t
cl t − i sl s cl s sl t
.
Question.
cl(s + it) :=
cl s − i sl s sl t cl t
cl t + i sl s cl s sl t
が形式的に加法定理を満たしていることを確認せよ．
ここで，加法定理が成り⽴つように拡張をしたが，実は
sl2
u + sl2
u cl2
+ cl2
u = 1 などの関係も保存されている．
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28. 三⾓関数
レムニスケート関数
Proposition.
sl u = 0 ⇔ u = (2m + 2ni)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
Proof.
sl u = 0 とすると，分⼦の実部を⾒れば sl s = 0, よって
s = 2m(ϖ/2) (m ∈ Z). このとき sl u = i(−1)m
sl t であり sl u = 0 で
あるから sl t = 0, つまり t = 2n(ϖ/2) (n ∈ Z). よって
sl u = 0 ⇔ u = (2m + 2ni)(ϖ/2) (m, n ∈ Z).
Question.
sl u = ∞ ⇔ u = (2m − 1 + (2n − 1)i)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
cl u = 0 ⇔ u = (2m − 1 + 2ni)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
cl u = ∞ ⇔ u = (2m + (2n − 1)i)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
を確認せよ．
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