20170327_レムニスケートにまつわる色々な計算

三⾓関数
レムニスケート関数
レムニスケートにまつわる⾊々な計算
松森⾄宏
2017.3.27
松森⾄宏レムニスケートにまつわる⾊々な計算

三⾓関数
三⾓関数
Definition.
“円周率” π を
π
2
:=
∫ 1
0
dx
√
1 − x2
で定める．また，
x = sin u
def.
⇐⇒ u =
∫ x
0
dx
√
1 − x2
(
−1 ≤ x ≤ 1
−π/2 ≤ u ≤ π/2
)
,
x = cos u
def.
⇐⇒ u =
∫ 1
x
dx
√
1 − x2
(
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ u ≤ π/2
)
とする．
定義より sin 0 = 0 sin
π
2
= 1
cos 0 = 1 cos
π
2
= 0.

三⾓関数
⟨ x = sin u の図 ⟩
x
y
O 1x = sin u
u
単位円の上半分の⽅程式 y =
√
1 − x2 を
考えると，
dy
dx
= −
x
√
1 − x2
であり，x 座標が 0 から x までの弧⻑を
u とすると
u =
∫ x
0
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
=
∫ x
0
dx
√
1 − x2
.
Question.
x = cos uを同様に図⽰せよ．

三⾓関数
Proposition.
sin(−u) = − sin u.
Proof.
x = sin u のとき u =
∫ x
0
dx√
1−x2
であったが，y = −x と変換すると
u =
∫ −x
0
−dy
√
1 − y2
. ∴ −u =
∫ −x
0
dx
√
1 − x2
.
よって定義より，sin(−u) = − sin u.

三⾓関数
Proposition.
cos u =
√
1 − sin2
u.
Proof.
x = sin u のとき u =
∫ x
0
dx√
1−x2
であったが，y =
√
1 − x2 と変換する
と，x =
√
1 − y2 となり，また
dy
dx
= −
x
√
1 − x2
= −
√
1 − y2
√
1 − x2
.
∴ u =
∫ x
0
dx
√
1 − x2
=
∫ √
1−x2
1
−dy
√
1 − y2
=
∫ 1
√
1−x2
dx
√
1 − x2
.
よって，cos u =
√
1 − x2 =
√
1 − sin2
u.
Corollary.
sin2
u + cos2
u = 1.

三⾓関数
Proposition.
sin′
u = cos u.
Proof.
x = sin u のとき，
u =
∫ x
0
dx
√
1 − x2
,
du
dx
=
1
√
1 − x2
.
よって，
(sin u)′
=
dx
du
=
√
1 − x2 =
√
1 − sin2
u = cos u.
Question.
cos′
u = − sin u を⽰せ．

三⾓関数
Theorem.
sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v.
Proof.
⼗分⼩さい正の実数 z を固定し，
z = x
√
1 − y2 +
√
1 − x2y
により x の関数 y を定める．両辺を微分すると，
0 =
√
1 − y2 −
xy
√
1 − y2
dy
dx
−
xy
√
1 − x2
+
√
1 − x2
dy
dx
=
√
1 − x2
√
1 − y2 − xy
√
1 − x2
+
√
1 − x2
√
1 − y2 − xy
√
1 − y2
dy
dx
.

三⾓関数
Proof (Cont.)
両辺を
√
1 − x2
√
1 − y2 − xy で割って
1
√
1 − x2
+
1
√
1 − y2
dy
dx
= 0
を得る．ここで両辺を 0 から x まで x で積分する．このとき y は z
から y まで動くことに注意すると，
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ x
0
1
√
1 − y2
dy
dx
dx = 0
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ y
z
dy
√
1 − y2
= 0
∫ x
0
dx
√
1 − x2
+
∫ y
0
dy
√
1 − y2
=
∫ z
0
dz
√
1 − z2
.

三⾓関数
Proof (Cont.)
ここで左辺第 1 項を u, 第 2 項を v とすると，
sin(u + v) = z =x
√
1 − y2 +
√
1 − x2 y
= sin u cos v + cos u sin v.
Question.
cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v を⽰せ．
Question.
sin 2u = 2 sin u cos u を⽰せ．

三⾓関数
Question.（⾯⽩いやつ）
x = eu def.
⇐⇒ u =
∫ x
1
dx
x
と定める．このとき z = xy として
∫ x
1
dx
x
+
∫ y
1
dy
y
=
∫ z
1
dz
z
を導き
eu+v
= eu
ev
を⽰せ．

三⾓関数
Proposition.
sin
π
4
=
1
√
2
.
Proof.
u = π/4, x = sin(π/4) とおくと，先の問（所謂 2 倍⾓の公式）より
1 = sin
π
2
=2x
√
1 − x2
1 =4x2
(1 − x2
)
4x4
− 4x2
+ 1 =0
(2x2
− 1)2
=0
x2
=
1
2
x = ±
1
√
2
.
sin(π/4) > 0 より sin(π/4) = 1/
√
2.

三⾓関数
Question.
sin
π
6
を求めよ．
幾何的に（周期的に）sin, cos を R 全体に拡張する．すると
sin u = 0 ⇔ u = 2m ·
π
2
(m ∈ Z)
cos u = 0 ⇔ u = (2m − 1)
π
2
(m ∈ Z)
となる．

三⾓関数
Theorem.
ζ(2) =
∞∑
m=1
1
m2
=
π2
6
.
Proof.
sin u が 0 になる u を考えて無理⽮理因数分解して
sin u ≒ u
∞∏
m=−∞
m̸=0
(
1 −
1
2m
2u
π
)
のようにしたいが，上の式では問題があるので正負で m をペアにし
て回避する：
sin u = u
∞∏
m=1
(
1 −
u2
m2π2
)
.

三⾓関数
Proof (Cont.)
ここで展開したときの u3
の項の係数を計算する：
sin u =u
∞∏
m=1
(
1 −
u2
m2π2
)
=u
(
1 −
1
π2
( ∞∑
m=1
1
m2
)
u2
+ · · ·
)
=u −
1
π2
( ∞∑
m=1
1
m2
)
u3
+ · · · .
⼀⽅ sin(−u) = − sin u より
sin u = u + a3u3
+ · · ·
と書けるが，

三⾓関数
Proof (Cont.)
sin′′
u = − sin u
と合わせると，
6a3u + · · · = −u − a3u3
+ · · ·
が得られて，係数⽐較により
6a3 = −1, ∴ a3 = −
1
6
.
従って
−
1
π2
( ∞∑
m=1
1
m2
)
= −
1
6
,
∴ ζ(2) =
∞∑
m=1
1
m2
=
π2
6
.

三⾓関数
Question.
ζ(4) =
∞∑
m=1
1
m4
=
π4
90
を⽰せ．

三⾓関数
Definition.
“レムニスケート周率” ϖ を
ϖ
2
:=
∫ 1
0
dx
√
1 − x4
で定める．また，
x = sl u
def.
⇐⇒ u =
∫ x
0
dx
√
1 − x4
(
−1 ≤ x ≤ 1
−ϖ/2 ≤ u ≤ ϖ/2
)
,
x = cl u
def.
⇐⇒ u =
∫ 1
x
dx
√
1 − x4
(
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ u ≤ ϖ/2
)
とする．

三⾓関数
“単位レムニスケート”：
2 点 (± 1√
2
, 0) からの距離の積が 1/2 となる点の軌跡
Question.
単位レムニスケートの極座標表⽰が r2
= cos 2θ となることを⽰せ．
⟨ x = sl u の図 ⟩
x
y
1−1
u
x
問の極座標表⽰において
dθ
dr
= −
r
√
1 − r4
であり，r が 0 から x まで動く部
分の弧⻑を u とすると
u =
∫ x
0
√
1 +
(
r
dθ
dr
)2
dr =
∫ x
0
dr
√
1 − r4
.

三⾓関数
Question.
x = cl uを同様に図⽰せよ．
定義より
sl 0 = 0 sl
ϖ
2
= 1
cl 0 = 1 cl
ϖ
2
= 0.
Question.
sl(−u) = − sl u を⽰せ．

三⾓関数
Question.
x = sl u のとき，
u =
∫ x
0
dx
√
1 − x4
において y =
√
1−x2
1+x2 とおくと dx√
1−x4
= − dy√
1−y4
となり
cl u =
√
1 − sl2
u
1 + sl2
u
,
したがって
sl2
u + sl2
u cl2
u + cl2
u = 1
を⽰せ．

三⾓関数
Question.
sl′
u =
√
1 − sl4
uを⽰せ．
Question.
⼗分⼩さい正の実数 z を固定し
z =
x
√
1 − y4 +
√
1 − x4y
1 + x2y2
とおいて
∫ x
0
dx
√
1 − x4
+
∫ y
0
dy
√
1 − y4
=
∫ z
0
dz
√
1 − z4
を導き
sl(u + v) =
sl u cl v + cl u sl v
1 − sl u sl v cl u cl v
を⽰せ．

三⾓関数
Question.
cl(u + v) =
cl u cl v − sl u sl v
1 + sl u sl v cl u cl v
を⽰せ．
Question.
sl 2u =
2 sl u cl u(1 + sl2
u)
1 + sl4
u
を⽰せ．

三⾓関数
Proposition.
sl
ϖ
4
=
√
√
2 − 1.
Proof.
u = ϖ/4, x = sl(ϖ/4) とおくと，先の問より
1 = sl
ϖ
2
=
2x
√
1−x2
1+x2 (1 + x2
)
1 + x4
(1 + x4
)2
=4x2
(1 − x2
)(1 + x2
)
x8
+ 4x6
+ 2x4
− 4x2
+ 1 =0
(x4
+ 2x2
− 1)2
=0
x2
=
√
2 − 1.
sl(ϖ/4) > 0 より sl(ϖ/4) =
√√
2 − 1.

三⾓関数
Question.
sl
ϖ
6
を求めよ．
幾何的に（周期的に）sl, cl を R 全体に拡張する．すると
sl u = 0 ⇔ u = 2m ·
ϖ
2
(m ∈ Z)
cl u = 0 ⇔ u = (2m − 1)
ϖ
2
(m ∈ Z)
となる．

三⾓関数
sl,cl の定義域を複素数全体まで拡張する．まずは純虚数に対する値
を定める：
Definition.
sl(iu) := i sl u, cl(iu) :=
1
cl u
.
x = sl u のとき，
u =
∫ x
0
dx
√
1 − x4
であったが，y = ix という変数変換をすることができるとすれば
u =
∫ ix
0
1
√
1 − y4
dy
i
となるべきだから，
iu =
∫ ix
0
dx
√
1 − x4
, ∴ sl(iu) = i sl u.

三⾓関数
cl(iu) については，sl(iu) = i sl u と定めるのであれば
cl(iu) =
√
1 − sl2
(iu)
1 + sl2
(iu)
=
√
1 + sl2
u
1 − sl2
u
=
1
cl u
となるべきである．
次に⼀般に複素数に対しては，複素数 u は 2 つの実数 s, t によって
u = s + it と表せたのだから，加法定理が成り⽴つように次で定義
する：
Definition.
sl(s + it) :=
sl s + i cl s sl t cl t
cl t − i sl s cl s sl t
,
cl(s + it) :=
cl s − i sl s sl t cl t
cl t + i sl s cl s sl t
.

三⾓関数
上の定義が形式的に加法定理を満たしているか確かめる．
sl(s + it) =
sl s cl(it) + cl s sl(it)
1 − sl s cl s sl(it) cl(it)
=
sl s 1
cl t + i cl s sl t
1 − sl s cl s i sl t 1
cl t
=
sl s + i cl s sl t cl t
cl t − i sl s cl s sl t
.
Question.
cl(s + it) :=
cl s − i sl s sl t cl t
cl t + i sl s cl s sl t
が形式的に加法定理を満たしていることを確認せよ．
ここで，加法定理が成り⽴つように拡張をしたが，実は
sl2
u + sl2
u cl2
+ cl2
u = 1 などの関係も保存されている．

三⾓関数
Proposition.
sl u = 0 ⇔ u = (2m + 2ni)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
Proof.
sl u = 0 とすると，分⼦の実部を⾒れば sl s = 0, よって
s = 2m(ϖ/2) (m ∈ Z). このとき sl u = i(−1)m
sl t であり sl u = 0 で
あるから sl t = 0, つまり t = 2n(ϖ/2) (n ∈ Z). よって
sl u = 0 ⇔ u = (2m + 2ni)(ϖ/2) (m, n ∈ Z).
Question.
sl u = ∞ ⇔ u = (2m − 1 + (2n − 1)i)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
cl u = 0 ⇔ u = (2m − 1 + 2ni)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
cl u = ∞ ⇔ u = (2m + (2n − 1)i)
ϖ
2
(m, n ∈ Z)
を確認せよ．

三⾓関数
Theorem.
∞∑
m,n=−∞
(m,n)̸=(0,0)
1
(m + ni)4
=
ϖ4
15
.
まずは証明が⾒やすくなるように記号を定義する．
∑
:=
∞∑
m=1
n=0
1
(m + ni)4
,
∑
ee
:=
∞∑
m=1
n=0
1
(2m + 2ni)4
,
∑
oo
:=
∞∑
m=1
n=1
1
(2m − 1 + (2n − 1)i)4
,
∑
eo
:=
∞∑
m=1
n=1
1
(2m + (2n − 1)i)4
,
∑
oe
:=
∞∑
m=1
n=0
1
(2m − 1 + 2ni)4
.

三⾓関数
ここで，定義より次の関係式が成り⽴っている：
∑
=
∑
ee
+
∑
oo
+
∑
eo
+
∑
oe
,
∑
ee
=
1
16
∑
,
∞∑
m,n=−∞
(m,n)̸=(0,0)
1
(m + ni)4
= 4
∑
.
この記号のもとで，次の 2 つの補助命題を証明する：
Subproposition (i).
∑
oo
=
∑
ee
−
ϖ4
160
.
Subproposition (ii).
∑
eo
+
∑
oe
= 2
∑
oo
+
ϖ4
32
.

三⾓関数
Proof of subproposition (i).
sl の無限積表⽰から係数⽐較に持ち込む．sl u が 0 および ∞ を取る
ときの点の考察から，
sl u
≒ u
∞∏
m,n=−∞
(m,n)̸=(0,0)
(
1 −
1
(2m + 2ni)
2u
ϖ
) / ∞∏
m,n=−∞
(
1 −
1
(2m − 1 + (2n − 1)i)
2u
ϖ
)
のようになりそうだが，この式もやはり問題があるので i を掛けて移
りあう 4 つの複素数を組にして回避する：
sl u
= u
∞∏
m=1
n=0
(
1 −
1
(2m + 2ni)4
(
2u
ϖ
)4
) / ∞∏
m=1
n=1
(
1 −
1
(2m − 1 + (2n − 1)i)4
(
2u
ϖ
)4
)
.

三⾓関数
Proof of subproposition (i) (Cont.)
展開して，
sl u = u
(
1 −
16
ϖ4
∑
ee
u4
+ · · ·
) / (
1 −
16
ϖ4
∑
oo
u4
+ · · ·
)
. (∗)
⼀⽅ sl(iu) = i sl u より
sl u = a1u + a5u5
+ · · ·
と書けるが，まず sl′
u で u = 0 とすることで a1 = 1 が分かり，
さらに
(sl′
u)2
= 1 − sl4
u
より
(1 + 5a5u4
+ · · · )2
=1 − (u + a5u5
+ . . . )4
1 + 10a5u4
+ · · · =1 − u4
+ · · · .
よって 10a5 = −1 だから，a5 = −1/10.

三⾓関数
Proof of subproposition (i) (Cont.)
よって (∗) の分⺟を払うと，
(
u −
1
10
u5
+ · · ·
) (
1 −
16
ϖ4
∑
oo
u4
+ · · ·
)
=u −
16
ϖ4
∑
ee
u5
+ · · ·
u −
(
1
10
+
16
ϖ4
∑
oo
)
u5
+ · · · =u −
16
ϖ4
∑
ee
u5
+ · · · .
5 次の項の係数を⽐較して，
1
10
+
16
ϖ4
∑
oo
=
16
ϖ4
∑
ee
∑
oo
=
∑
ee
−
ϖ4
160
.

三⾓関数
Proof of subproposition (ii).
sl′
の無限積表⽰から係数⽐較に持ち込む．まず sl′
u =
√
1 − sl4
u か
ら sl′
u = 0 ⇔ sl u = ±1, ±i. ここで cl u =
√
(1 − sl2
u)/(1 + sl2
u) で
あったから sl u = ±1 ⇔ cl u = 0, sl u = ±i ⇔ cl u = ∞. また，
sl′
u = ∞ ⇔ sl u = ∞. よってこれまでと同様に考えて
sl′
u
≒
∞∏
m,n=−∞
(
1 −
1
(2m + (2n − 1)i)
2u
ϖ
) (
1 −
1
((2m − 1) + 2ni)
2u
ϖ
) /
( ∞∏
m,n=−∞
(
1 −
1
(2m − 1 + (2n − 1)i)
2u
ϖ
))2
のようになりそうだが，この式もやはり問題があるので i を掛けて移
りあう 4 つの複素数を組にして回避する（sl′
は⼤体 sl2
なので分⺟が
2 乗になっている）：

三⾓関数
Proof of subproposition (ii) (Cont.)
sl′
u
=
∞∏
m=1
n=1
(
1 −
1
(2m + (2n − 1)i)4
(
2u
ϖ
)4
) ∞∏
m=1
n=0
(
1 −
1
((2m − 1) + 2ni)4
(
2u
ϖ
)4
)/



∞∏
m=1
n=1
(
1 −
1
(2m − 1 + (2n − 1)i)4
(
2u
ϖ
)4
)



2
=
(
1 −
16
ϖ4
(
∑
eo
+
∑
oe
)
u4
+ · · ·
) / (
1 −
32
ϖ4
∑
oo
u4
+ · · ·
)
.
⼀⽅
sl′
u =
(
u −
1
10
u5
+ · · ·
)′
= 1 −
1
2
u4
+ · · ·
だから，

三⾓関数
Proof of subproposition (ii) (Cont.)
(
1 −
1
2
u4
+ · · ·
) (
1 −
32
ϖ4
∑
oo
u4
+ · · ·
)
= 1 −
16
ϖ4
(
∑
eo
+
∑
oe
)
u4
+ · · · .
4 次の項の係数を⽐較して，
−
(
1
2
+
32
ϖ4
∑
oo
)
= −
16
ϖ4
(
∑
eo
+
∑
oe
)
∑
eo
+
∑
oe
=2
∑
oo
+
ϖ4
32
.

三⾓関数
Proof of proposition.
∑
=
∑
ee
+
∑
oo
+
∑
eo
+
∑
oe
=
∑
ee
+3
∑
oo
+
ϖ4
32
=
∑
ee
+3
(
∑
ee
−
ϖ4
160
)
+
ϖ4
32
=4
∑
ee
+
ϖ4
80
=
1
4
∑
+
ϖ4
80
.
よって，
∑
= ϖ4
/60. 従って，
∞∑
m,n=−∞
(m,n)̸=(0,0)
1
(m + ni)4
= 4
∑
=
ϖ4
15
.

20170327_レムニスケートにまつわる色々な計算

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