ざっくりと全体を俯瞰することを目的とした微分幾何学入門資料です．

1. 曲線から多様体まで駆け抜ける微分幾何学入門
Masanari Kimura
May 31, 2020
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2. 目次
平面曲線の微分幾何学
空間曲線の微分幾何学
曲面の微分幾何学
多様体の微分幾何学
References
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3. 平面曲線の微分幾何学

4. 平面曲線の微分幾何学
• 曲線のパラメータ表示
• 接ベクトル
• 弧長パラメータ
• 平面曲線の曲率
• Moving Frame
• 平面曲線に対する Frenet–Serret Formula
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5. 曲線のパラメータ表示
例えば，半径 1 の円 x2
+ y2
= 1 は以下のよ
うにパラメータ表示できる．
x = cos t, y = sin t
R2
上で F(x, y) = 0 で表される曲線を，
x = x(t), y = y(t)
とパラメータ表示すると，曲線は
C(t) = (x(t), y(t))
と書くことができる．
1
C(t) = (cos t, sin t)
O
x
y
−1
1
t
x
y
O C(t) = (t − sin t, 1 − cos t)
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6. 接ベクトル
点 C(t0) で曲線に接するベクトル（接ベクトル）は，C(t0) の一階微分で表される．パラメ
ータ t を時間と捉えると，
• 曲線 C(t) は時間に伴って動く点の軌跡
• 接ベクトル C (t0) は時刻 t = t0 における速度ベクトル
C (t0) = (x (t0), y (t0))
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7. 弧長パラメータ
曲線 C(t) の長さを計算すると，
s(t) =
t
0
|C (t)|dt
と書ける．この両辺を t で微分すると，
s (t) = |C (t)|
となるので，全ての t に関して C (t) 0 ならば s (t) > 0 なので，s は t の単調増加関数と
みなせる．実際，曲線 C(t) を時間 t に伴う動点の軌跡とみなすと，s(t) は動点が時刻 0 か
ら時刻 t までに描いた孤の長さ．
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8. 曲率円と曲率半径
曲線が曲がり具合の特徴付けに，曲率円の
曲率半径 r(s0) が使えそう：
∆θ を曲率円の中心から測った C(s0) と
C(s0 + ∆s) の角度とすると，
r(s0) = lim
∆θ→0
∆s
∆θ
ただし円弧の関係 s = rθ から，曲率半径が
大きいほど曲がり具合が小さくなる．曲が
り具合を特徴付けたいので，より曲がって
いる曲線ほど大きな量を持つ指標が欲しい．
そこで，曲線の曲率を，曲率半径の逆数で
定義する：
κ(s0) = ±
1
r(s0)
C(t)
r
∆θ
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9. 平面曲線の曲率
平面曲線の曲率
平面曲線 C(s) の s = s0 における曲率半径を r(s0) とすると，
κ(s0) = ±
1
r(s0)
で与えられる量を曲率という．
曲率は，曲線の曲がり具合を特徴付ける量である．
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10. Moving Frame
平面上の xy 座標といった絶対的な座標系ではなく，曲線に沿って動くような座標系を考
えることで便利な場面が多々ある．
平面曲線の Moving Frame
曲線 C(s) = (x(s), y(s)) の接ベクトル C (s) とそれに直行するベクトルをとると，これ
らは R2
の基底になる．そこで，
• e1(s)：e1(s) = C (s)
• e2(s)：e1(s) を π
2 だけ回転したベクトル
これらのベクトルの組 (e1(s), e2(s)) を基底とする座標系を考えることができる．
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11. Moving Frame
e2(s)
e1(s)
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12. Moving Frame と曲率
平面曲線 C(s) の曲率は以下で与えられる：
κ(s) = e1(s) · e2(s)
Proof.
e1(s) =
d2
ds2
C(s) =
d2
ds2
x(s),
d2
ds2
y(s)
e2(s) = −
d
ds
y(s),
d
ds
x(s)
κ(s) = e1(s) · e2(s) =
d
ds
x(s)
d2
ds2
y(s) −
d2
ds2
x(s)
d
ds
y(s)
|C (s)| = d
ds x(s)2 + d
ds y(s)2 = 1 であるから，tan θ(s) = y
x とおくと，
κ(s) =
d
ds x(s) d2
ds2 y(s) − d2
ds2 x(s) d
ds y(s)
d
ds x(s)2 + d
ds y(s)2
= arctan
y
x
= θ (s) =
dθ
ds
= ±
1
r(s)
□
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13. 回転と平行移動に関する曲率の不変性
回転と平行移動に関する曲率の不変性
2 つの平面曲線 C1(s)，C2(s) があって，それぞれの曲率を κ1(s)，κ2(s) とすると
き，次の 2 つの条件は同値である：
1. κ1(s) = κ2(s)
2. 回転と平行移動を行う変化 T が存在して，T(C1(s)) = C2(s)
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14. 平面曲線に対する Frenet–Serret Formula
平面曲線に対する Frenet-Serret Formula
平面曲線 C(s) の Moving Frame e1(s)，e2(s) に対して，



e1(s) = κ(s)e2(s)
e2(s) = −κ(s)e1(s)
すなわち，
d
ds


e1(s)
e2(s)

 =


0 κ(s)
−κ(s) 0




e1(s)
e2(s)


が成り立つ．
この公式は，Moving Frame の変化量が，曲率を成分に持つ交代行列を係数とする線形微
分方程式で記述されることを意味する．
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15. 空間曲線の微分幾何学

16. 空間曲線の微分幾何学
• 曲率と捻率
• 空間曲線に対する Frenet-Serret Formula
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17. 空間曲線の Moving Frame
空間曲線では，e1(s) に直行するベクトルが無数にあるため，Moving Frame を一意に決め
るために e2(s) に C (s) を正規化したものを採用する．また，R3
の基底を考える必要があ
るため，さらに e1(s) と e2(s) の外積をとったものを e3(s) として定める．まとめると，
空間曲線の Moving Frame
空間曲線 C(s) の Moving Frame は，以下のベクトルの組として定義される：
• e1(s)：e1(s) = C (s)
• e2(s)：e2(s) = C (s)
C (s)
• e3(s)：e3(s) = e1(s) × e2(s)
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18. 曲率と捻率
空間曲線の曲率
平面曲線の場合と同様に，空間曲線 C(s) の曲率は以下で定義される：
κ(s) = e1(s) · e2(s) = e1(s)
空間曲線の捻率
空間曲線の場合は，曲率に加えて以下の捻率と呼ばれる幾何学的量が必要と
なる：
τ(s) = e2(s) · e3(s) = det(e1(s), e2(s), e2(s))
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19. 曲率と捻率の幾何学的意味
曲率 0 の意味
空間曲線 C(s) の曲率 κ(s) に関して以下の同値な条件が成り立つ．
• 曲率 κ(s) = 0
• 曲線 C(s) は直線上にある．
捻率 0 の意味
空間曲線 C(s) の捻率 τ(s) に関して以下の同値な条件が成り立つ．
• 捻率 τ(s) = 0
• 曲線 C(s) は平面上にある．
曲率は，直線からの離れ度合いを表す量，捻率は，平面からの離れ度合いを表す量．
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20. 捻れた曲線の例
Figure 1: 曲線 C(t) = (a cos s, a sin t, bt)．この曲線は Ordinary Helix と呼ばれ，時間経過に伴
って捻れていく（平面から離れていく）ことがわかる．
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21. 空間曲線に対する Frenet-Serret Formula
Frenet-Serret Formula
空間曲線 C(s) の Moving Framee1(s)，e2(s)，e3(s) に対して，
d
ds


e1(s)
e2(s)
e3(s)


=


0 κ(s) 0
−κ(s) 0 τ(s)
0 −τ(s) 0




e1(s)
e2(s)
e3(s)


すなわち，



e1(s) = κ(s)e2(s)
e2(s) = −κ(s)e1(s) + τ(s)e3(s)
e3(s) = −τ(s)e2(s)
が成り立つ．
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22. Frenet-Serret Formula と曲率 · 捻率
Frenet-Serret Formula から，回転と平行移動の自由度を除いて，
空間曲線は曲率と捻率に 1 対 1 に対応することがわかる．
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23. Bouquet’s Formula
Frenet-Serret Formula から，以下の公式が得られる．
Bouquet’s Formula
空間曲線 C(s) に対して，以下の等式が成り立つ．
C(s) = C(s0) + (s − s0)e1(s0)
+
1
2!
(s − s0)2
κ(s0)e2(s0)
+
1
3!
(s − s0)3
− κ(s0)2
e1(s0) + κ (s0)e2(s0) + κ(s0)τ(s0)e3(s0)
+ O((s − s0)4
)
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24. Bouquet’s Formula の証明
Proof.
曲線 C(s) を s0 のまわりで Taylor 展開すると，
C(s) = C(s0) + (s − s0)
d
ds
C(s0) +
(s − s0)2
2!
d2
ds2
C(s0) +
(s − s0)3
3!
d3
ds3
C(s0) + O((s − s0)4
) (1)
ここで，Moving Frame の定義および Frenet-Serret Formula から，
d
ds
C(s0) = e1(s0) (2)
d2
ds2
C( s0) = e1(s0) = κ(s0)e2(s0) (3)
d3
ds3
C( s0) =
d
ds
κ(s0)e2(s0) = κ (s0)e2(s0) + κ(s0)e2(s0)
= κ (s0)e2(s0) + κ(s0) − κ(s0)e1(s0) + τ(s0)e3(s0) (4)
が得られる．これらを (1) に代入すると，Bouquet’s Formula が導出される．
□
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25. 曲面の微分幾何学

26. 曲面の微分幾何学
• 大域的理論と局所的理論
• 曲面の接ベクトルと法ベクトル
• Gauss 写像
• 曲面の基本量
• 平面曲率と Gauss 曲率
• ガウスの驚異の定理
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27. 大域的理論と局所的理論
10
20
10
20
5
曲面には様々なものが考えられる．もちろ
んその中には複雑な位相を持つものもある．
そのような複雑な位相の曲面を対象とする
分野を大域的理論という．
一方で，複雑な位相の曲面であっても，局
所的に単純な位相を持つ曲面の張り合わせ
から成り立っているとみなすこともできる．
このように単純な位相の曲面を扱う分野
を局所的理論という．
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28. 曲面
局所的理論で扱う曲面は，領域 D ⊂ R2 を動く 2 つのパラメータ u と v で
S (u, v) = (x(u, v), y(u, v).z(u, v)) ((u, v) ∈ D ⊂ R2
)
と表示できる．
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29. 曲面の例（Elliptic Paraboloid）
S (u, v) = (au, bv, u2
+ v2
) (u, v ∈ R)
x
y
z
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30. 接ベクトル
曲線の時と同様に，曲面に接するベクトルを考えたい．
曲面の接ベクトル
u と v でパラメータ表示された曲面 S (u, v) について，点 S (u0, v0) で接するベクトルは
∂S
∂u
(u0, v0) =
∂x
∂u
(u0, v0),
∂y
∂u
(u0, v0),
∂z
∂u
(u0, v0)
∂S
∂v
(u0, v0) =
∂x
∂v
(u0, v0),
∂y
∂v
(u0, v0),
∂z
∂v
(u0, v0)
と書くことができ，これを曲面 S (u, v) の接ベクトルという．
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31. 曲面上の接ベクトルの例
S (u, v)
∂S
∂u (u0, v0)
∂S
∂v (u0, v0)
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32. 特異点
曲面を扱う際には，2 つの接ベクトルが互いに線型独立であることが仮定される．
しかしながら，曲面でなくなるような点ではこの仮定が成り立たず，このような
点を特異点という．
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33. 接平面と法ベクトル
2 つの接ベクトルが独立のとき，この二つのベクトルで生成される平面 T(u0,v0) を
考えることができる．
T(u0,v0) = a
∂S
∂u
(u0, v0) + b
∂S
∂v
(u0, v0)|a, b ∈ R
この接平面に直行するベクトルを法ベクトルという．特に
n(u0, v0) =
∂S
∂u (u0, v0) × ∂S
∂v (u0, v0)
∂S
∂u (u0, v0) × ∂S
∂v (u0, v0)
のようにノルムで正規化されたものを単位法ベクトルという．
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34. 曲面上の接平面と法ベクトルの例
S (u, v)
∂S
∂u (u, v)
∂S
∂v (u, v)
n(u0, v0)
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35. Gauss 写像
法ベクトルの始点を原点に移動させるような写像を Gauss 写像という．Gauss 写
像の終点は二次元単位球面を張るので，それを見ることで曲面がどの程度曲がっ
ているのかがわかる．
S (u, v)
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36. 曲面の基本量
曲面 S (u, v) について，以下の 3 つの基本量が定義される：
• 第 1 基本量
• 第 2 基本量
• 第 3 基本量
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37. 曲面の第 1 基本量
曲面の第 1 基本量
曲面 S (u, v) に対して，
E(u, v) =
∂S
∂u
(u, v) ·
∂S
∂u
(u, v) =
∂S
∂u
(u, v)
2
(5)
F(u, v) =
∂S
∂u
(u, v) ·
∂S
∂v
(u, v) (6)
G(u, v) =
∂S
∂v
(u, v) ·
∂S
∂v
(u, v) =
∂S
∂v
(u, v)
2
(7)
を，曲面 S (u, v) の第 1 基本量 (first fundamental quantity) と呼ぶ．さらに，
I = Edu2
+ 2Fdudv + Gdv2
(8)
とおいて，これを曲面 S (u, v) の第 1 基本形式（first fundamental form）と呼ぶ．
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38. 第 1 基本量による表現
第 1 基本量から構成された行列 G =


E F
F G

 を用いると，曲面についてのいくつか
の量を表現できる．例えば，曲面の面積は，
D
∂S
∂u
(u, v) ×
∂S
∂v
(u, v) dudv
=
D
∂S
∂u
(u, v)
2 ∂S
∂v
(u, v)
2
−
∂S
∂u
(u, v) ·
∂S
∂v
(u, v)
2
dudv
=
D
EG − F2dudv
=
D
det


E F
F G

dudv
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39. 曲面の第 2 基本量
曲面の第 2 基本量
曲面 S (u, v) に対して，
L(u, v) =
∂2
S
∂u2
(u, v) · n(u, v) (9)
M(u, v) =
∂2
S
∂u∂v
(u, v) · n(u, v) (10)
N(u, v) =
∂2
S
∂v2
(u, v) · n(u, v) (11)
を，曲面 S (u, v) の第 2 基本量 (second fundamental qunatity) と呼ぶ．さらに，
II = Ldu2
+ 2Mdudv + Ndv2
(12)
とおいて，これを曲面 S (u, v) の第 2 基本形式（second fundamental form）と呼ぶ．
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40. 曲面の第 3 基本量
曲面の第 3 基本量
曲面 S (u, v) に対して，
P(u, v) =
∂n
∂u
(u, v) ·
∂n
∂u
(u, v) =
∂n
∂u
(u, v)
2
(13)
Q(u, v) =
∂n
∂u
(u, v) ·
∂n
∂v
(u, v) (14)
R(u, v) =
∂n
∂v
(u, v) ·
∂n
∂v
(u, v) =
∂n
∂v
(u, v)
2
(15)
を，曲面 S (u, v) の第 3 基本量（third fundamental quantity）と呼ぶ．さらに，
III = Pdu2
+ 2Qdudvy + Rdv2
(16)
とおいて，これを曲面 S (u, v) の第 3 基本形式（third fundamental form）と呼ぶ，
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41. 法曲率
法曲率
曲面 S 上の点 a に対して，a における単位法ベクトル n が定まる．曲面 S の a におけ
る任意の単位接ベクトル X をとる．このとき，X と n で定まる平面 P と曲面 S との
交わりとして，平面曲線 C が得られる．曲線 C = C(s) の弧長パラメータ s を s = s0 に
おいて
C(s0) = a
e1(s0) = X
e2(s0) = n
となるようにとる．このとき，曲線 C(s) の平面曲線としての曲率 κ(s0) を a における
X 方向の S の法曲率という．
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42. 曲線の平面曲線としての曲率
39 / 67

43. 主曲率
主曲率
法曲率において，平面 P の方向を回転させると，法曲率が変化することがわ
かる．そこで，この回転における法曲率の最大値と最小値を主曲率という．
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44. 平面曲率と Gauss 曲率
曲面 S の点 a に対して，κ1，κ2 を a における曲面 S の主曲率とする．このとき，
• 平面曲率：H = 1
2 (κ1 + κ2)
• Gauss 曲率：K = κ1κ2
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45. 平面曲率と Gauss 曲率の基本量による表現
任意の単位接ベクトルを X とすると，X = C (s0) より，
X =
∂S
∂u
du
ds
+
∂S
∂v
dv
ds
=
du
ds
,
dv
ds


∂S
∂u
∂S
∂v

 = σ


∂S
∂u
∂S
∂v


と書けるので，接ベクトル X を動かすことは σ を動かすことと同値である．よって主曲率は制約条
件 σGt
σ = 1 のもとでの第 2 基本形式 σHt
σ の最大値と最小値であると言える．
未定乗数を λ とおくと，ラグランジュの未定乗数法から，
F(α, β) = σHt
σ − λ(σGt
σ − 1) = (Lα2
+ 2Mαβ + Nβ2
) − λ{(Eα2
+ 2Fαβ + Gβ2
) − 1}
2(Lα + Mβ) − 2λ(Eα + Fβ) = 0, 2(Mα + Nβ) − 2λ(Fα + Gβ) = 0


λE − L λF − M
λF − M λG − N




α
β

 = A


α
β

 = 0
H = κ1 + κ2 =
1
2
EN − 2FM + GL
EG − F2
(17)
K = κ1κ2 =
LN − M2
EG − F2
(∵ det(A) = 0) (18)
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46. Weingarten 写像
第 1 基本量の行列 G =


E F
F G

 と第 2 基本量の行列 H =


L M
M N

 を用いると，平
面曲率と Gauss 曲率は，
H =
1
2
tr(HG−1
) (19)
K = det(HG−1
) (20)
と書ける．この行列 HG−1 を Weingarten 写像と呼ぶ．
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47. ガウスの驚異の定理
ガウスの驚異の定理（theorem egregium）
曲面のガウス曲率 K は，第 1 基本量 E，F，G のみで記述できる．
第 1 基本量と第 2 基本量で定義された Gauss 曲率が，実は第 1 基本量だけで記述
できるということを主張している．
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48. 多様体の微分幾何学

49. 多様体の微分幾何学
• 多様体
• 接続
• 捻率テンソル
• 曲率テンソル
• リーマン計量
• Levi-Civita 接続
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50. 局所座標
局所座標
位相空間 M の開集合 U と，U から Rn の開集合 O への同相写像
φ : U → O
の組 (U, φ) を M 上の n 次元局所座標という．
U 上のある点 P に対して，φ(P) は Rn の点なので，
φ(P) = (x1, . . . , xn)
と表すことができて，この座標によって点の位置を一意に決定できる．
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51. 座標変換
座標変換
位相空間 M 上の 2 つの n 次元局所座標 (U1, φ1)，(U2, φ2) に対して，U1 ∩ U2 ∅ のとき，以下
の写像を座標変換と呼ぶ．
φ2 ◦ φ−1
1 : φ1(U1 ∩ U2) → φ2(U1 ∩ U2)
φi
φ−1
i φ−1
j
φj
M
Ui
Uj
φi(Ui)
Rn
φj ◦ φ−1
i
φj(Uj)
Rn
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52. Cr
級多様体
Cr 級多様体
次の条件を満たす (M, {(Ui, φi)}) を n 次元 Cr 級多様体という：
1. 位相空間 M はハウスドルフ空間である．
2. M = i Ui
3. 全ての座標変換 φi ◦ φ−1
j : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) は Cr 級である．
特に，
• C0 級多様体を位相多様体
• C∞ 級多様体を微分可能多様体
と呼ぶ．
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53. Cr
級関数
Cr 級関数
多様体 (M, {(Uiφi)}) 上の関数 f : M → Rn が Cr 級関数であるとは，全ての局
所座標 (Ui, φi) に対して， f ◦ φ−1
i が Cr 級であることをいう．
M 上の全ての Cr 級関数からなる集合を Cr(M) と表す．
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54. 接ベクトル
接ベクトル
多様体 M 上の点 p に対し，Xp が p における接ベクトルであるとは，関数 f に
実数値 Xp(f) を対応させる写像
Xp : C∞
(M) → R
f → Xp(f)
であって，次の 2 つの条件を満たすもののことをいう：
1.（線形性）Xp(af + bg) = aXp(f) + bXp(g)
2. (Leibniz 即) Xp(fg) = Xp( f)g(P) + f(P)Xp(g)
ここで，f, g ∈ Cr(M)，a, b ∈ R である．
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55. 接空間
接空間
多様体 M の点 p における接ベクトルの集合を TpM と書く．この Tp(M) に
(aXp + bYp)( f) aXp f + bYp f (Xp, Yp ∈ TpM, a, b ∈ R)
と和とスカラー倍を定めると，TpM は線形空間になり，これを接空間と呼ぶ．
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56. 接空間の基底
多様体 M 上の点 p と，点 p のまわりの局所座標 (U, φ) によって座標 (x1, . . . , xn)
が与えられている時，局所座標を通して見た p における xi 方向の偏微分を
∂
∂xi p
f
∂( f ◦ φ−1)
∂xi
(φ(p))
と定義すると， ∂
∂xi p
は微分作用になり，
∂
∂x1 p
, . . . ,
∂
∂xn p
は接空間 TpM の基底となる．
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57. ベクトル場
ベクトル場
多様体 M 上のベクトル場とは，M の各点 p に対して，TpM の要素である接
ベクトル Xp のうち，任意の f ∈ C∞(M) に対して X f : M → R が C∞ 級である
ものをいう．
基底を用いると，ベクトル場は局所的に
Xp =
n
i=1
ai(p)
∂
∂xi p
と書くことができる．
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58. ブラケット
M 上のベクトル場全体からなる集合を χ(M) と書くと，X, Y ∈ χ(M) に対して，ブ
ラケットと呼ばれる積 [X, Y] が
[X, Y]f X(Y f) − Y(X f) (∀f ∈ C∞
(M))
によって定義される．この積により，χ(M) はリー代数になる．
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59. ブラケットの性質と Jacobi 恒等式
ブラケットの性質と Jacobi 恒等式
ブラケットは以下の性質を満足する：
1.（線形性）[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]
2.（交代性）[X, Y] = −[Y, X]
3.（Jacobi 恒等式）[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0
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60. Jacobi 恒等式の証明
Proof.
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = [X, Y]Z − Z[X, Y] + [Y, Z]X − X[Y, Z] + [Z, X]Y − Y[Z, X]
= (XY − YX)Z − Z(XY − YX) + (YZ − ZY)X − X(YZ − ZY)
+(ZX − XZ)Y − Y(ZX − XZ)
= XYZ − YXZ − ZXY + ZYX + YZX − ZYX − XYZ + XZY
+ZXY − XZY − YZX + YXZ
= 0
□
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61. Cr
級写像と微分写像
Cr
級写像
多様体 M から多様体 N への写像 f が以下を満足するとき，Cr
級写像であるという：
M の全ての局所座標 (U, φ) と N の全ての局所座標 (V, ψ) に対して ψ ◦ f ◦ φ−1
が Cr
級である．
微分写像
多様体 M から多様体 N への写像 f に対して，M の各点 p において線形写像
(d f)p : Xp ∈ TpM → Tf(p)N ∈ (d f)p(Xp)
を f の p における微分写像という．
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62. 接続
接続
多様体 M に対して，写像
: (X, Y) ∈ χ(M) × χ(M) → XY ∈ χ(M)
が以下の条件を満足するとき， を M 上の接続あるいは共変微分という：
•（C∞
(M)− 線形性） f X+gYZ = f XZ + g YZ ( f, g ∈ C∞
(M))
•（R− 線形性） X(aY + bZ) = a XY + b XZ (a, b ∈ R)
• (Leibniz 即) X( fY) = (X f)Y + f XY
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63. 接続係数
接続係数
∂
∂x1
, . . . ,
∂
∂xn
に対して， ∂
∂xi
∂
∂xj
は接ベクトルであるから，以下のように線形和として表せる．
∂
∂xi
∂
∂xj
=
m
k=1
Γk
ij
∂
∂xk
ここで Γk
ij は各点ごとに定まる関数であり，これを接続係数と呼ぶ．
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64. 捻率テンソル
捻率テンソル
多様体 M 上の接続 に対して，写像
T(X, Y) = XY − Y X − [X, Y]
を捻率テンソル（torsion tensor）という．捻率テンソルは以下の性質を満足する：
•（交代性）T(X, Y) = −T(Y, X)
•（C∞
(M)− 線形性）T( f X1 + gX2, Y) = fT(X1, Y) + gT(X2, Y)
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65. torsion free
捻率が 0 であることを torsion free であるという．T ∂
∂xi
, ∂
∂xj
は接ベクトルであるので以下のように
線形和として書ける．
T
∂
∂xi
,
∂
∂xj
=
m
k=1
Tk
ij
∂
∂xk
ここで，捻率の定義通り計算すると，
m
k=1
Tk
i j
∂
∂xk
= T
∂
∂xi
,
∂
∂xj
= ∂
∂xi
∂
∂xj
− ∂
∂x j
∂
∂xi
−
∂
∂xi
,
∂
∂xj
= ∂
∂xi
∂
∂xj
− ∂
∂x j
∂
∂xi
∵
∂
∂xi
,
∂
∂xj
= 0
=
m
k=1
(Γk
ij − Γk
ji)
∂
∂xk
以上より Tk
ij = Γk
ij − Γk
ji であり，torsion free であるとは，Γk
ij = Γk
ji であることと同値である．これは接
続係数の可換性に他ならない．
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66. 曲率テンソル
曲率テンソル
多様体 M 上の接続 に対して，写像
R(X, Y)Z = X YZ − [X,Y]Z
を曲率テンソル（curvature tensor）という．曲率テンソルは以下の性質を満足する：
•（交代性）
•（C∞
(M)− 線形性）
• が torsion free のとき R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
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67. リーマン計量
リーマン計量
多様体 M に対して，以下の条件を満足する {gp}p∈M を M 上のリーマン計量（Rieman-
nian metric）と呼ぶ：
• M の任意の点 p について，gp が TpM 上の内積である．
• ∂
∂x1
, . . . , ∂
∂xn
に対して gp
∂
∂xi p
, ∂
∂xj p
が C∞
級である．
リーマン計量は，M 上の正定値で対称な (0, 2) 型テンソルであるとも言える．多様体 M
とその上のリーマン計量 g の組 (M, g) をリーマン多様体（Riemannian manifold）という．
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68. Levi-Civita 接続
Levi-Civita 接続
リーマン多様体 (M, g) の上に，
X(g(Y, Z)) = g( XY, Z) + g(Y, XZ)
を満たす接続が一意に存在し，この接続 をLevi-Civita 接続という．
Levi-Civita 接続の接続係数 Γk
i j は以下で与えられる．
Γk
ij =
1
2
m
a=1
gka ∂gai
∂xj
+
∂gaj
∂xi
−
∂gij
∂xa
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69. Ricci 曲率と scalar 曲率
正規座標 xi を用いると，リーマン計量の成分は，
gij = δij +
1
3
m
p,q=1
Ripjqxpxq + O( x 3
)
と表すことができる．この等式は，計量テンソルのテイラー天海の二次の項の係数が曲率
テンソルであることを意味する．
曲率テンソル Rℓ
ijk の添字 i と ℓ について和をとったもの
Rjk =
m
i=1
Ri
ijk
を Ricci 曲率，さらに添字 j と k についてトレースをとったもの
R =
m
j,k=1
gjk
Rjk
を scalar 曲率という．
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70. References

71. References i
宮岡礼子.
曲線と曲面の現代幾何学-入門から発展へ.
岩波書店, 2019.
野水克己.
現代微分幾何入門.
裳華房, 1981.
鈴木正彦市原一裕, 茂手木公彦.
幾何学序論: 論理・集合・写像・位相をきわめる.
日本評論社, 2018.
小林昭七.
曲線と曲面の微分幾何.
裳華房, 1977.
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72. References ii
松本幸夫.
多様体の基礎.
東京大学出版会, 1988.
中内伸光.
幾何学は微分しないと-微分幾何学入門.
現代数学社, 2011.
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