1. 第２回「コンピュータビジョン最先端
ガイド」勉強会
5.1-5.2章
presented by takmin

2. 5. グラフカットによる大域最小化
• この章の目的
– データ項＋平滑化項で表される以下のエネル
ギーを最小切断アルゴリズムを使って，最小化す
る
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E

3. この章の流れ
• ２値の場合
– 5.1 ２値の大域最小化
– 5.2 実装例
• 大域最小解を持つための辺の重みの決め方
– 5.3 劣モジュラ条件
– 5.4 劣モジュラでないとき：QPBO
• 多値の場合
– 5.5 多値の大域最小化
– 5.6 実装例
– 5.7 一般の凸な平滑化項

4. 5.1 2値の大域最小化
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
このエネルギーの大域最小化を行う
問題をグラフで表し，最小切断問題として解く

5. グラフの構築
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
頂点を設定： V1  wv | v  V 
wv

6. グラフの構築
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
頂点s,tを追加： V  V1  s, t
t
S

7. グラフの構築
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
辺を追加：  1  ( s, wv ), ( wv , t ) | v  V 
t
S

8. グラフの構築
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
辺を追加：  2  ( wu , wv ) | (u, v)  E
t
完成！
S

9. グラフの切断
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
このグラフの任意の切断(S,T)について：
0 v  Sのとき
(w )
Xv   t
1 v  Tのとき
(w )
0 1 0 0 1 1
wv wu
S

10. グラフの切断
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
各辺の切断コストを定義：
c( wv , t )  g v (0)
t
c( wu , wv )  huv (0,1)  hvu (1,0)
wv wu
c( s, wv )  g v (1)
S

11. グラフの切断
E( X )   gv ( X v )  h uv (Xu, Xv)
vV ( u ,v )E
切断されたsからtへ向かう辺の切断コストの和とEは等しい
t
0 1 0 0 1 1
S

12. ノイズ除去の例

E ( X )    Yv  X v   Xu  Xv (2)
vV ( u ,v )E 2
エネルギーを計算する
  
E (X )  (0    0  0  0  0)   0  1  1  0 
2 2 
  
Yv
Xv

13. ノイズ除去の例

E ( X )    Yv  X v   Xu  Xv (2)
vV ( u ,v )E 2
グラフカットで切断コストを計算する
c( s, wv )   Yv  1
t
c( wv , t )   Yv  0
c( wu , wv )   0 λ
λ 0 0 λ
κ κ κ κ κ
Yv
κ κ κ κ κ
λ 0 λ λ 0
0
S

14. ノイズ除去の例

E ( X )    Yv  X v   Xu  Xv (2)
vV ( u ,v )E 2
E(X )  0    0  0    0  0    
t
0 λ
λ 0 0 λ
κ κ κ κ κ
Yv
κ κ κ κ κ
λ 0 λ λ 0
0
S

15. ２次元の場合

16. ２次元の場合

17. ３次元の場合

18. 5.2 実装例
• GCライブラリ入手先
– Vladimir Kolmogorovさんのページ
– http://www.cs.ucl.ac.uk/staff/V.Kolmogorov/
– Max Flowライブラリをダウンロード

19. ライブラリ入手先
Vladimir Kolmogorovさんのページ
http://www.cs.ucl.ac.uk/staff/V.Kolmogorov/

20. ソース
void NR2(unsigned char* X, unsigned char* Y, int m, int n)
{
typedef Graph<int,int,int> GraphType;
int lambda=100;
int kappa = 25;
GraphType* g = new GraphType(n*m, 4*n*m); // 頂点と辺の概数
g->add_node(n*m); // 画素の数だけ頂点を作る
int dx[4] = {1,-1,0,1};
int dy[4] = {0, 1, 1, 1};
for(int j=0; j<m; j++){
for(int i=0; i<n; i++){
int g0 = *(Y + n*j + i) * lambda; //g(0)
int g1 = (1-*(Y + n*j + i)) * lambda; // g(1)
g->add_tweights(j*n+i,g1,g0); // (i,j)の頂点はnj+i番目
for(int d=0; d<4; d++){
int x = i + dx[d];
int y = j + dy[d];
if(0<=x && 0<=y && x<n && y<m){
g->add_edge(j*n+i,y*n+x,kappa,kappa); // 両方向
}
}
}
}
g->maxflow();
for(int j=0; j<m; j++){
for(int i=0; i<n; i++){
if(g->what_segment(j*n+i)==GraphType::SOURCE)
*(X + n*j + i)=0;
else
*(X + n*j + i)=1;
}
}
delete g;
}

21. 手順
1. GraphTypeインスタンス生成
– GraphType* g = new GraphType(n*m, n*m*4);
頂点の 辺の概数
概数
2. 画素の数だけ頂点を作る
– g->add_node(n*m);
3. データ項(=C(s, wv),C(wv,t))を設定
– g->add_tweights(j*n+i, g1, g0)
wu c(s, wv) c(wv, t)

22. 手順
4. 頂点間の辺を作成（双方向）
– g->add_edge (j*n+i, y*n+x, kappa, kappa);
wu wv c(wu, wv) c(wv, wu)
5. 最小切断（最大流）を求める
– g->maxflow();
6. 各頂点でs,tのどちらが切断されたかを結果
に格納
– g->what_segment(j*n+i)

23. 結果

24. 最後に
• 図は，石川先生の講演資料から拝借しました。
– http://w01.tp1.jp/~a031464501/indexJ.html