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順列




原案、問題文:宮村
 解答:宮村
 解説:宮村
問題概要

   以下の条件を満たす長さ N の数列 X の個数を数
    える。
   1. 任意の i に対して X[j]=i なる j が存在する。
   2. X[s] = t
   3. X[a[i]] < X[b[i]] (1≦i≦C)
     ( ただし i ≠ j ならば a[i] ≠ a[j])

   2 ≦ N ≦ 2000
   0≦C≦N
問題読み替え

   条件 1 は単に順列であることを言っているだけ。
   簡単のため以下のように問題を読み替える。
   2'. X[s] = N-t+1
   3'. X[a[i]] > X[b[i]] (1≦i≦C)
    ( ただし i ≠ j ならば a[i] ≠ a[j] )
   もとの条件を満たす数列を X[i] := N – X[i] + 1 で
    置き換えた数列の数を数えているに過ぎない
グラフとして解釈する

   各番号を頂点とし、番号 b[i] から a[i] へ辺を張った
    頂点数 N のグラフを考える。
   このとき、この有向グラフで頂点 s が N-t+1 番目に
    くるトポロジカル順序の個数を求めれば良い。


   もちろん、 DAG でなければトポロジカル順序が定
    義できないので、閉路があれば即座に 0 を返す。
   有向閉路の判定は O(N+C) なり O(N*C) なりで簡
    単にできる。
グラフとして解釈する

   入次数 1 以下という制限があるので、有向閉路を
    持たない場合は根付き木が複数個集まったような
    グラフになる。




                 s
グラフとして解釈する

   連結成分毎に分けて考えてもいいが、ダミーノード
    を根としてつけると簡単になる。
   この場合、頂点 s が N-t+2 番目にくるようなトポロ
    ジカル順序の個数を求めれば良い。
               root




                      s
ここまでのまとめ

   結局、有向閉路を持たない場合は以下のような問
    題に帰着できる。


   ノード数 N の根付き木が与えられる。このとき、ノー
    ド v が k 番目にくるようなトポロジカル順序の個数
    を求めよ。
    (N は元の問題とは異なることに注意 )
解法

   動的計画法で解く。
   根から v までのパス上で計算する。
   以下の解説では番号を 0-indexed にする。
根からのパス

            このパス上で DP する   root
root




       v


                            v
状態の関係式



   S[u]={u を根とする部分木のサイズ } とする。
   S[u] = 1 + Σ S[c]
     ただし、 c は u の全ての子
状態の関係式



   T[u] = {u を根とする部分木のトポロジカル順序の
    総数 } とする。
   T[u] = (Π T[c]) * (S[u]-1)! / (Π S[c]!)
      ただし、 c は u の全ての子
   階乗を使わずに二項係数を使って計算しても良い。
状態をどのようにとるか

   根から v へのパス上のノードを浅い順に V[0]=root,
    V[1], …, V[depth]=v, V[d+1]=dummy とする。
   S[dummy] = 0, T[dummy] = 1 としておくと楽。
   G[i] = {V[i] を根とする部分木 }, G[d+1]= 空とする。
   DP[i][j] = {G-G[i+1] で、 V[i] が j 番目に来るような
    トポロジカル順序の総数 } とすると、最終的に
    DP[depth][k] が答となる。
状態の関係式
                                                  オーバーフローに注意
   DP[i][j] = (Σ_{0≦k<j} DP[i-1][k])
    * combination(N-S[V[i+1]]-1-j, S[V[i]]-S[V[i+1]] - 1)
      * (Π T[c]) * (S[i]-S[i+1]-1)! / (Π S[c]!)
   ただし、 c は V[i] の V[i+1] 以外の子
      0          j-1     j    j+1                              N-S[V[i+1]]-1
                       V[i]



    V[i-1] はこのどこかにある
                              全部で N-S[V[i+1]] 個   この中から
                                                  S[V[i]]-S[V[i+1]]-1 個選ぶ
計算量



   状態数が depth * N でおよそ N^2 通りある。
   ひとつの関係式を真面目に計算したら O(N) 程度
    かかって全体で O(N^3) となり TLE しそう。
計算量

   (Π T[c]) * (S[i]-S[i+1]-1)! / (Π S[c]!) の部分は j に
    依存しないので最初に計算しておけばよい。
   Σ_{0≦k<j} DP[i-1][k] は DP[i-1][j] を j の小さい方
    から加算していけば同じ計算を繰り返さずに済む。
     ( 和が出てくる DP を高速化する典型手法 )
   または、累積和を計算しておいて O(1) で表引きで
    きるようにしておく、と考えてもよい。
   こうすると、計算量は全体で O(N^2) となる。
解答例

   宮村
    C++ : 139 行 2517 byte
    Java: 171 行 3327 byte

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  • 2. 問題概要  以下の条件を満たす長さ N の数列 X の個数を数 える。  1. 任意の i に対して X[j]=i なる j が存在する。  2. X[s] = t  3. X[a[i]] < X[b[i]] (1≦i≦C) ( ただし i ≠ j ならば a[i] ≠ a[j])  2 ≦ N ≦ 2000  0≦C≦N
  • 3. 問題読み替え  条件 1 は単に順列であることを言っているだけ。  簡単のため以下のように問題を読み替える。  2'. X[s] = N-t+1  3'. X[a[i]] > X[b[i]] (1≦i≦C) ( ただし i ≠ j ならば a[i] ≠ a[j] )  もとの条件を満たす数列を X[i] := N – X[i] + 1 で 置き換えた数列の数を数えているに過ぎない
  • 4. グラフとして解釈する  各番号を頂点とし、番号 b[i] から a[i] へ辺を張った 頂点数 N のグラフを考える。  このとき、この有向グラフで頂点 s が N-t+1 番目に くるトポロジカル順序の個数を求めれば良い。  もちろん、 DAG でなければトポロジカル順序が定 義できないので、閉路があれば即座に 0 を返す。  有向閉路の判定は O(N+C) なり O(N*C) なりで簡 単にできる。
  • 5. グラフとして解釈する  入次数 1 以下という制限があるので、有向閉路を 持たない場合は根付き木が複数個集まったような グラフになる。 s
  • 6. グラフとして解釈する  連結成分毎に分けて考えてもいいが、ダミーノード を根としてつけると簡単になる。  この場合、頂点 s が N-t+2 番目にくるようなトポロ ジカル順序の個数を求めれば良い。 root s
  • 7. ここまでのまとめ  結局、有向閉路を持たない場合は以下のような問 題に帰着できる。  ノード数 N の根付き木が与えられる。このとき、ノー ド v が k 番目にくるようなトポロジカル順序の個数 を求めよ。 (N は元の問題とは異なることに注意 )
  • 8. 解法  動的計画法で解く。  根から v までのパス上で計算する。  以下の解説では番号を 0-indexed にする。
  • 9. 根からのパス このパス上で DP する root root v v
  • 10. 状態の関係式  S[u]={u を根とする部分木のサイズ } とする。  S[u] = 1 + Σ S[c] ただし、 c は u の全ての子
  • 11. 状態の関係式  T[u] = {u を根とする部分木のトポロジカル順序の 総数 } とする。  T[u] = (Π T[c]) * (S[u]-1)! / (Π S[c]!) ただし、 c は u の全ての子  階乗を使わずに二項係数を使って計算しても良い。
  • 12. 状態をどのようにとるか  根から v へのパス上のノードを浅い順に V[0]=root, V[1], …, V[depth]=v, V[d+1]=dummy とする。  S[dummy] = 0, T[dummy] = 1 としておくと楽。  G[i] = {V[i] を根とする部分木 }, G[d+1]= 空とする。  DP[i][j] = {G-G[i+1] で、 V[i] が j 番目に来るような トポロジカル順序の総数 } とすると、最終的に DP[depth][k] が答となる。
  • 13. 状態の関係式 オーバーフローに注意  DP[i][j] = (Σ_{0≦k<j} DP[i-1][k]) * combination(N-S[V[i+1]]-1-j, S[V[i]]-S[V[i+1]] - 1) * (Π T[c]) * (S[i]-S[i+1]-1)! / (Π S[c]!)  ただし、 c は V[i] の V[i+1] 以外の子 0 j-1 j j+1 N-S[V[i+1]]-1 V[i] V[i-1] はこのどこかにある 全部で N-S[V[i+1]] 個 この中から S[V[i]]-S[V[i+1]]-1 個選ぶ
  • 14. 計算量  状態数が depth * N でおよそ N^2 通りある。  ひとつの関係式を真面目に計算したら O(N) 程度 かかって全体で O(N^3) となり TLE しそう。
  • 15. 計算量  (Π T[c]) * (S[i]-S[i+1]-1)! / (Π S[c]!) の部分は j に 依存しないので最初に計算しておけばよい。  Σ_{0≦k<j} DP[i-1][k] は DP[i-1][j] を j の小さい方 から加算していけば同じ計算を繰り返さずに済む。 ( 和が出てくる DP を高速化する典型手法 )  または、累積和を計算しておいて O(1) で表引きで きるようにしておく、と考えてもよい。  こうすると、計算量は全体で O(N^2) となる。
  • 16. 解答例  宮村 C++ : 139 行 2517 byte Java: 171 行 3327 byte