Gcd
- 2. 問題概要
● 1, 2, 3, …, N と自然数が並んでいる。
連続する W 個 ( i, i+1, …, i+W-1 ) に注目する
● W 個から好きなだけ選んで GCD (最大公約数) を
計算する
● GCD の値としてありうる数は何種類あるか?
すべての i について求めよ
- 3. 解法
● とりあえず i を固定したときを考える。
S := { i, i+1, …, i+W-1 } とおく
● S から部分集合 T を選んだとする。
GCD(T) としてどんな数が作れるだろうか?
- 4. 解法
● もちろん i, i+1, …, i+W-1 は作れる。( |T| = 1 の
ケース )
● それ以外については、実は次がいえる :
d が作れる ⇔ S が d の倍数を二つ以上含む
● このことから、i, i+1, …, i+W-1 の約数を全部列挙
して、二回以上現れる数を数えれば答えがわかる
- 5. 解法
d が作れる ⇔ { i, i+1, …, i+W-1 } が d の倍数を二つ以上含む
● 証明
(⇒) 明らか
(<=)
{ i, i+1, …, i+W-1 } に含まれる連続する d の倍数を
kd, (k+1)d とすると、
GCD(kd, (k+1)d) = d・GCD(k, k+1) = d
となるからOK
- 6. 解法
● 次に i を動かす
● 約数の個数を
cnt[d] := ( d を約数にもつ数がいくつあるか )
という配列で管理する
● i++ すると、考慮すべき数から i が消えて i+W が
増える
➔ なので、cnt の更新があるのは i の約数と i+W の約数
だけ
➔ 毎回約数を計算しなおしても、全体で O(n^1.5) となり
間に合う
- 7. ちなみに
● O(n log n) でも解けます
● 興味がある人は考えてみてください
- 8. 提出状況
● AC Rate
– 26.53 % (13/49)
● First Acceptance
– Onsite: magyorin (26 min)
– All: magyorin (26 min)
