ポアンカレ計量

1. 単位円板 {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1} 上で
𝜃1 =
2𝑑𝑥
1−𝑥2−𝑦2, 𝜃2 =
2𝑑𝑦
1−𝑥2−𝑦2とおくことにより,第1基本形式 I = 𝜃1 𝜃1 + 𝜃2 𝜃2考える (これ
をポアンカレ計量という).
(1)接続形式を 𝜔𝑗
𝑖
とするとき,第1構造方程式 d𝜃 𝑖
= Σj=1
2
𝜃 𝑗
^𝜔𝑗
𝑖
を用意て𝜔2
1
を求めよ。
証明
[小林昭七]曲線と曲面の微分幾何p106p112
[井ノ口順一]曲線とソリトンp74
(2) 第2構造方程式 dω21 = Kθ1 ∧ θ2 を用いてガウス曲率 K を求めよ.
証明
[小林昭七]ユークリッド幾何から現代幾何へp103