1. ＃ 2SAT
原案、問題文：宮村
解答：宮村、橋本
解説：宮村

2. 問題概要
● 2SAT が与えられる。
● 各変数の出現回数は 1 or 2 回。
● True になる割り当てが何通りあるか求める。
● 各変数の出現回数について制限が無い場合、
#P­complete であることが知られている。
( 効率的な解法はおそらく存在しない )

3. 観察
● とりあえずグラフで表現してみよう。
● 例： (x1∨~x2)∧(~x3∨x2)∧(~x3∨~x4)
x1 ~x3 ~x3
~x2 x2 ~x4

4. 観察
● ここで、「変数の出現回数は 1 or 2 回」
に注目してみよう。
● この条件から、各ノードの最大次数は 2 以下。
● グラフは 線 or 環 が集まったものになる。
● 連結成分毎に考えて最後に掛け合わせれば良い。
次数 3

5. 特別な場合
● ひとつのブロックに同じ変数が入っていた場合 :
● (x ∨ x) や (~x∨~x) のような場合は 1 を返す
● (x ∨ ~x) のような場合は 2 を返す

6. 線の場合
● dp[i][j] := {i 番目のブロックで、 i+1 番目のブロック
と隣接するノードの値は j であり、 1~i 番のブロッ
クは全て true であるような割り当ての数 }
● 下の図では、赤い辺は 0, 1 が反転するようなペア
で、黄の辺は 0, 1 が等しいようなペア
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 ~x6

7. 線の場合
● dp[1][1] = 2, dp[1][0] = 1
● 最終的な答は
dp[N][0] + dp[N][1]
となる。
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 ~x6

8. 線の場合
● ブロック i と i­1 が赤い辺でつながっているとき：
● dp[i][0] = dp[i­1][0]
● dp[i][1] = dp[i­1][1] + dp[i­1][0]
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 ~x6

9. 線の場合
● ブロック i と i­1 が黄の辺でつながっているとき：
● dp[i][0] = dp[i­1][1]
● dp[i][1] = dp[i­1][1] + dp[i­1][0]
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 ~x6

10. 環の場合
● 環になっている場合は、どこかで切断して無理やり
線の場合に落とす。
● 切ったときに、 1 番のブロックに入っているペアの
片割れが 0 になるか 1 になるか両方試す。
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 x1

11. 環の場合
● 切断した箇所が赤い辺の場合は以下の 2 つの和：
● 左端を 1 にした場合 : dp[1][1] = 1, dp[1][0] = 1 と
して dp[N][0] を求める。
● 左端を 0 にした場合： dp[1][1] = 1, dp[1][0] = 0 と
して dp[N][1] を求める。
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 ~x1

12. 環の場合
● 切断した箇所が黄の辺の場合は以下の 2 つの和：
● 左端を 1 にした場合： dp[1][0] = 1, dp[1][1] = 1 と
して dp[N][1] を求める。
● 左端を 0 にした場合： dp[1][0] = 0, dp[1][1] = 1 と
して dp[N][0] を求める。
1 2 3 4 5
x1 ~x3 ~x3 x5 ~x5
x2 ~x2 x4 x4 x1

13. 計算量
● グラフのビルド、 DP の計算ともに O(N) 。

14. 解答例
● 宮村 (C++)
127 行 2577 byte
● 橋本 (Java)
161 行 4841 byte