Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα στα μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού

33,430 views

Published on

Επιμέλεια: Παναγιώτης Βιώνης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

Published in: Education
  • Login to see the comments

Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα στα μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού

  1. 1. Ισχυρισμοί και Αντιπαραδείγματα Για το Α΄ Θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων Παναγιώτης Βιώνης 2017-2018
  2. 2. Βιώνης Παναγιώτης 1 ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως και ορίζονται οι fog και gof τότε υποχρεωτικά ισχύει g f f g ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 2) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Έστω f, g, h τρεις συναρτήσεις. Αν ορίζεται η ho(gof), τότε υποχρεωτικά ισχύει    h g f g f h ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 3) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Αν f είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο Α και ΄΄1-1΄΄ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Α». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 4) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Αν f είναι μια συνάρτηση γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, τότε είναι και ΄΄1-1΄΄.» α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3)
  3. 3. Βιώνης Παναγιώτης 2 ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 5) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο Α δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 6) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω η συνάρτηση 2 1 1 f(x) , x    . Το όριο της f στο 0x 0 δεν υπάρχει.» α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 7) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα  ,  που: • είναι συνεχής στο  ,  και • ισχύει    f f β 0  τότε δεν υπάρχει  0x ,   τέτοιο ώστε 0f(x ) 0 ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 8) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο 0x τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό».
  4. 4. Βιώνης Παναγιώτης 3 ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 9) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα    0 0,x x ,     με: • συνεχής στο Δ και •  f x 0  για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 10) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει  f ' x 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 11) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Ένα τοπικό μέγιστο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1)
  5. 5. Βιώνης Παναγιώτης 4 ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 12) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι πάντοτε το μέγιστο αυτής». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 13) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο ℝ, αν για κάποιο 0x  ισχύει  0f ' x 0 τότε το 0x είναι υποχρεωτικά θέση τοπικού ακρότατου της f ». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 14) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: « Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Για κάθε συνάρτηση f κυρτή στο Δ ισχύει  f '' x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 15) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού και άνω που έχει ασύμπτωτη».
  6. 6. Βιώνης Παναγιώτης 5 ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 16) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν  f x dx 0    τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f(x) 0 για κάθε  x ,   » α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 17) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν    f x g x 0 για κάθε x A τότε  f x 0 για κάθε x A ή  g x 0 για κάθε x A ». Σημείωση: Στις φετινές οδηγίες διδασκαλίας 2017 – 18 προτείνονται δύο τέτοιες συναρτήσεις. α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3) 18) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Δεν υπάρχουν συναρτήσεις που ολικά ακρότατα σε άπειρες θέσεις». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα 1) β) Αν η πρόταση είναι αληθής (Α) να την αποδείξετε, ενώ αν είναι ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (μονάδες 3)

×