Intersezione parabola e retta

1. Intersezione Parabola e Retta
Prof. Santi Caltabiano

2. Premessa
Intersezione tra Parabola e Retta
Il nostro scopo è trovare le intersezioni, cioè i punti in comune, tra una data
parabola ed una retta.
1) Parabola e retta hanno due punti in comune;
2) Parabola e retta hanno un solo punto in comune;
3) Parabola e retta non hanno punti in comune;
Come vedremo si possono verificare tre casi:

3. Introduzione delle equazioni in gioco
cbxaxy  2
dove a,b e c sono i coefficienti della parabola.
Intersezione tra Parabola e Retta
Consideriamo una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate:
Consideriamo una retta in forma esplicita:
qmxy 
dove m è il coefficiente angolare e q è il coefficiente quota.
Sulla retta facciamo le seguenti due osservazioni:
1) Se la retta viene data in forma implicita possiamo sempre trasformarla in
forma esplicita;
2) Se la retta è in forma esplicita allora non è possibile che questa sia
parallela all’esse delle ordinate, poiché il coefficiente della y è 1 (quindi la y
non può scomparire);

4. Come trovare le intersezioni





qmxy
cbxaxy 2
Intersezione tra Parabola e Retta
Per trovare le intersezioni (algebricamente) basta mettere a sistema
l’equazione della parabola con l’equazione della retta (eventualmente
portandola in forma esplicita, nel caso non lo sia già):
Sostituendo la prima (la parabola) nella seconda (la retta) otteniamo:
qmxcbxax 2
Che è un’equazione di secondo grado, con i coefficienti: a, (b-m) e (c-q)
)(4)( 2
qcamb 
Calcoliamo il delta:
02
 qmxcbxax 0)()(2
 qcxmbax
Andiamo quindi a studiare singolarmente i seguenti 3 casi:
• Caso: Δ>0
• Caso: Δ=0
• Caso: Δ<0;

5. Caso Δ>0
Intersezione tra Parabola e Retta
In questo caso, come sappiamo, l’equazione di secondo grado ammette due
soluzioni reali e distinte.
Parabola e retta avranno pertanto due punti di intersezione.

6. Caso Δ=0
Intersezione tra Parabola e Retta
In questo caso, come sappiamo, l’equazione di secondo grado ammette due
soluzioni reali e coincidenti.
La retta sarà pertanto tangente alla parabola in un punto:

7. Caso Δ<0
Intersezione tra Parabola e Retta
In questo caso, come sappiamo, l’equazione di secondo grado non ammette
soluzioni reali.
La retta pertanto non intersecherà la parabola:

8. Esempio 01: Due punti di intersezione
Intersezione tra Parabola e Retta
Trovare i punti di intersezione della parabola:
222
 xxy
Con la retta:
Mettiamo a sistema le rispettive equazioni:





12
222
xy
xxy
Risolviamo:
Continua
12  xy
Svolgimento:
12222
 xxx
0342
 xx
Raccogliendo a sinistra troviamo:

9. Intersezione tra Parabola e Retta
Calcoliamo il delta:
041216314)4( 2

pertanto parabola e retta avranno due punti di intersezione. Calcoliamoli:
3e1
2
24
12
44
2
21 






 xx
a
b
x
che sono le ascisse dei punti di intersezione.
Per trovare le ordinate basta sostituire le suddette ascisse, indifferentemente,
nell’equazione delle parabola o della retta. Ovviamente conviene la retta
poiché in questo caso il calcolo risulta semplificato:
111212 11  xy
513212 22  xy
Quindi i punti di intersezione sono:
)5;3(e)1;1( BA

10. Esempio 02: Punto di tangenza
Intersezione tra Parabola e Retta
Trovare i punti di intersezione della parabola:
553 2
 xxy
Con la retta:
Mettiamo a sistema le rispettive equazioni:





2
553 2
xy
xxy
Risolviamo:
Continua
2 xy
Svolgimento:
2553 2
 xxx
0363 2
 xx
Raccogliendo a sinistra troviamo:

11. Intersezione tra Parabola e Retta
Calcoliamo il delta:
03636334)6( 2

pertanto la retta sarà tangente alla parabola. Calcoliamo il punto:
11
6
6
32
06
2
0 




 x
a
b
x
che è l’ascissa del punto di tangenza tra retta e parabola.
Per trovare l’ordinata basta sostituire la suddetta ascissa, indifferentemente,
nell’equazione delle parabola o della retta. Ovviamente conviene la retta
poiché in questo caso il calcolo risulta semplificato:
321200  xy
Quindi il punto di tangenza è:
)3;1(A

12. Esempio 03: Nessuna intersezione
Intersezione tra Parabola e Retta
Trovare i punti di intersezione della parabola:
33 2
 xxy
Con la retta:
Mettiamo a sistema le rispettive equazioni:





43
33 2
xy
xxy
Risolviamo:
Continua
43  xy
Svolgimento:
4333 2
 xxx
0123 2
 xx
Raccogliendo a sinistra troviamo:

13. Intersezione tra Parabola e Retta
Calcoliamo il delta:
08124134)2( 2

pertanto la retta e la parabola non hanno punti in comune.

14. Caso della retta parallela all’asse delle ordinate
Intersezione tra Parabola e Retta
Come già osservato la retta in forma esplicita y=mx+q non può essere una
retta parallela all’asse delle ordinate.
Consideriamo quindi il caso in cui la retta è parallela all’asse delle ordinate,
che pertanto, come sappiamo, avrà un’equazione del tipo:
px 
Dove p è un numero reale.
Come al solito per trovare l’intersezione tra questa retta e la parabola
dobbiamo mettere a sistema:





px
cbxaxy 2
Per risolvere il sistema basta sostituire nella prima (la parabola) il valore della
x della seconda equazione (la retta):





px
cbpapy 2
Continua

15. Intersezione tra Parabola e Retta
Pertanto, in questo caso, il punto di intersezione tra retta e parabola è uno
solo ed avrà coordinate:
),( 2
cbpappA 

16. Esempio 04: Intersezione con retta parallela all’asse y
Intersezione tra Parabola e Retta
Trovare i punti di intersezione della parabola:
332
 xxy
Con la retta (parallela all’asse delle ordinate):
Mettiamo a sistema le rispettive equazioni:





2
332
x
xxy
Sostituendo la seconda nella prima:
2x
Svolgimento:
13643)2(3)2( 2
y
)1;2(A
Quindi il punto di intersezione sarà:

17. Intersezione tra retta e parabola con asse parallelo all’asse x
Intersezione tra Parabola e Retta
Abbiamo visto l’intersezione tra una parabola con asse parallelo all’asse y ed
una retta. Vedremo adesso come l’intersezione tra una parabola con asse
parallelo all’asse . ed una retta sia formalmente identico al caso già trattato.
cbyayx  2
L’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse è:
E consideriamo la retta:
qmxy 
Se m è diverso da 0, possiamo esplicitare rispetto alla x:
m
q
x
m
x 
1
Mettiamo a sistema:






m
q
y
m
x
cbyayx
1
2
Basta quindi sostituire la prima nella seconda e si ricade nel caso precedente,
cioè si ottiene un’equazione di secondo grado nell’incognita y.