Parabola

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a cura di Federica Caffù

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Parabola

  1. 1.  Definizione di parabola Disegno delle parabole Equazioni delle parabole Concavità Grafici Esempio dell’applicazione della definizione di parabola Formule, spiegazioni e esempi Tangenti ed esempi Passaggi risolutivi
  2. 2. La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. La parabola può presentarsi con le seguenti equazioni: Y = ax2 + bx + c Y = ax2 + bx Y = ax2 + c
  3. 3. Esempio dell’applicazione della definizione di parabola Determinare l’equazione di una parabola con fuoco F(3;5) e con direttrice y=1; considerando un punto P(x;y) appartenente alla parabola e H(x;1) derivante dall’incontro perpendicolare tra P e la direttrice. PF = PH = X2-6x+9+y2-10y+25 = y2-2y+1 -8y = -x2+6x-33 Y= x2 - x+
  4. 4. Per disegnare una parabola cosa mi occorre conoscere?? • VERTICE V= • FUOCO F= • DIRETTRICE Y = • ASSE DI SIMMETRIA X = • EQUAZIONE DI UNA PARABOLA CONOSCENDO V E a Y –Yv = a(X-Xv)2
  5. 5. Determina l’equazione di una parabola con V(3:5) e passante per un punto A (1;-6) Y –Yv = a(X-Xv)2 Y-5 = a(X-3)2 * -6-5 = a(1-3)2 11 a=− -11 = 4a 4 11 * Y-5 = − (X2-6X+9) 4 11 33 99 X2 + Y=5− X− 4 2 4 11 33 99 20 X2 + Y= − X− + 4 2 4 4 11 33 79 X2 + Y= − X− 4 2 4
  6. 6. TANGENTE DELLA PARABOLA IN UN SUO PUNTO Y - Yo = m ( X - Xo ) 2aXo + b ESEMPIO DI APPLICAZIONE FORMULA Y = X2 + 2X+1 Xo =2 Yo = 4+4+1=9 m = 2*2*1+2 = 6 Y-9 = 6 ( X-2 ) Y-9 = 6X – 12 Y = 6X - 3
  7. 7. TANGENTI ALLA PARABOLA MANDATE DA UN PUNTO ESTERNO = − 2 + 4 6; 9 → Determino il fascio di rette − 9 = ( − 6) = − 2 + 4 − 2 + 4 − 9 = − 6 − 2 − + 6 − 5 = 0 2 + − 6 + 5 = 0 Δ = 0 → Per determinare m 2 − 4 −6 + 5 =0 2 + 24 − 20 = 0 Δ/4 = 144 +20 = 164 1 = −12 ± 164 2 1: = −12 − 2 41 − 6 −12 − 2 41 +9 = −2 6 + 41 + 72 + 12 41 + 9 = −2 6 + 41 + 81 + 12 41 2: = −12 + 2 41 − 6 −12 + 2 41 +9 = −2 6 − 41 + 72 − 12 41 + 9 = −2 6 − 41 + 81 − 12 41
  8. 8. • PARABOLA PASSANTE PER 3 PUNTI 1. Sostituisco alla X e alla Y dell’equazione generale le coordinate del 1° punto 2. Sostituisco le coordinate del 2° punto 3. Sostituisco le coordinate del 3° punto 4. Risolvo con la sostituzione o con la regola di Cramer il sistema in a; b; c • RAPPRESENTA LA PARABOLA Y = aX 2 + bX + C graficamente 1. Determino le coordinate del vertice 2. Analizzo la concavità della parabole per capire se la parabola taglia l’asse delle X 3. Determino l’intersezione con l’asse Y legando al sistema la parabola con X = 0 4. Determino le eventuali intersezioni con l’asse X o con una opportuna retta parallela all’asse X legando al sistema la parabola con Y = 0 se si interseca con l’asse X oppure Y = k nell’altro caso. 5. Rappresento graficamente
  9. 9. • DETERMINA L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NOTI IL FUOCO E LA DIRETTRICE Y = d 1. Considero un punto P (x ; y) appartenente alla parabola 2. Considero un punto H (x ; d) appartenente alla direttrice 3. Imposto l’equazione PH = PF; dove F rappresenta il fuoco della parabola 4. Risolvendo l’equazione sopra riportata ricavo la parabola richiesta 5. N.B: ripassare i 3 casi di distanza tra due punti • TANGENTI DA RICAVARE AD UNA PARABOLA IN UN SUO PUNTO 1. I dati a disposizione sono: l’equazione della parabola e l’ascissa del punto di tangenza. Utilizzo la formula Y-Yо = m (X - Xo). 2. Determino, per prima cosa, l’ordinata del punto di tangenza sostituendo alla X dell’equazione della parabola il valore assegnato 3. Lego l’equazione della parabola all’equazione ricavata dalla formula sopra indicata. Risolvo la formula scambiando la lettera m con il valore corrispondente trovato dopo l’esecuzione dei calcoli, ponendo Δ=0 avremo un'equazione di secondo grado in incognita quot;mquot; e non più in quot;xquot; . 4. Risolviamo l'equazione e troviamo il valore di quot;mquot; che sarà il coefficiente angolare della tangente richiesta
  10. 10. Federica F. Caffù 2c igea A.s. 2008/2009

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