P04

Physics Online I http://www.pec9.com บทที่ 4 การเคลื่อนที่แบบตางๆ
ฟ สิ ก ส บทที่ 4 การเคลื่ อ นที่ แ บบต า งๆ
ตอนที่ 1 การเคลือนทีแบบโปรเจกไตล
่ ่
การเคลอนทแบบโปรเจกไตล คอ การเคลอนทในแนวโคงรปพาราโบลา เกิดจากการเคลื่อนที่
่ื ่ี ื ่ื ่ี  ู
ในแนว 2 แนว คอ แนวราบและแนวดิ่ง พรอมกน
ื  ั
1. ขวางวัตถุไปตามแนวราบจากที่สูงแหงหนึ่ง ดวยความเรวตน
 ็ 
3 เมตร/วินาที เมอเวลาผานไป 1 วินาที จงหาการขจด
่ื  ั
วธทา
ิี ํ ( 5.8 เมตร)

2. จากขอที่ผานมา จงหาความเร็วปลาย (10.4 m/s)
วธทา
ิี ํ

3. จากขอที่ผานมา จงหามมทแนวการเคลอนทกระทาตอแนวราบ
ุ ่ี ่ื ่ี ํ  (73.3o)
วธทา
ิี ํ

112

4(มช 41) ผลักวัตถุออกจากขอบดาดฟาตึกสูง 20 เมตร ดวยความเรวตน 15 เมตร/วินาที ตาม
 ็ 
แนวระดับ วัตถุจะตกถึงพื้นที่ระยะหางกี่เมตรจากฐานตึก
1. 10 2. 20 3. 30 4. 40 (ขอ 3.)

วธทา
ิี ํ

5. เครองบนทงระเบด บินในแนวระดับดวยความเร็ว 200 เมตรตอวนาที และสูงจากพื้นดิน
่ื ิ ้ิ ิ  ิ
2000 เมตร เมื่อทิ้งระเบิดที่ปกลงมา จงหา
ก. ระเบิดตกไกลจากตําแหนงที่ทิ้งตามแนวระดับเทาไร (4000 เมตร )
ข. ระเบิดกระทบพืนดินดวยอัตราเร็วเทาไร
้ (200 2 m/s)
วธทา
ิี ํ

113

6. คูน้ํากวาง 10 เมตร มีลักษณะดังรูป นักขี่
จกรยานยนตคนหนงตองการจะขขามคนา
ั  ่ึ  ่ี  ู ํ้
A
จงหา 5m

ก. ความเรวทนอยทสดของจกรยานยนต
็ ่ี  ่ี ุ ั B

ที่จะขามคูน้ําไดพอดี (10 m/s) 10 m
ข. ความเรวทถงฝงตรงขามพอดี (10 2 m/s)
็ ่ี ึ  
วธทา
ิี ํ

7. ถาถือปนที่ยิงดวยแรงอัดของสปริง 4.0 m
เล็งไปยังเปา โดยใหสปรงเล็งไปยง
 ิ ั
5.0 m/s
เปา โดยใหลํากลองปนขนานกับพื้น

และ สูงจากพื้น 6.0 เมตร สวนปาก 6.0 m

ลํากลอง ปน หางจากเปา 4.0 เมตร h

เมื่อทําการยิงลูก ปน ซึ่งเปนลูกเหล็ก
กลมเคลื่อนที่ออกจากปากลํากลองปนดวยความเร็ว 5.0 เมตรตอวนาที ในขณะเดียวกันเปา
 ิ
ตกแบบเสรีสูพื้น จงหาวาลูกกลมเหล็กจะตกลงมาไดระยะในแนวดิ่งเทาใดขณะกระทบเปา
114

วธทา
ิี ํ (3.2 ม.)

8. จากขอที่ผานมา จงหาวาขณะลูกกลมเหล็กกระทบเปานั้น เปาอยูสูงจากพื้นเทาใด ( 2.8 m )
วธทา
ิี ํ

9. นักเรียนคนหนึ่งยืนบนดาดฟาตึกหาชั้นสูง 75 เมตร แลวขวางกอนหินลงไปทํามุมเอียง 30o
กบแนวระดบดวยความเรว 20 เมตร/วินาที วัตถุจะตกถึงพื้นหางจากดาดฟาตึกตามแนว
ั ั  ็
ราบกีเ่ มตร
ก. 30 3 ข. 20 3 ค. 10 3 ง. 3 (ขอ ก)

วธทา
ิี ํ

115

10. กําแพงหางจากปากกระบอกปน 10 2 เมตร โดยที่ปากกระบอกปนเอียงทํามุม 45o เมือ ่
กระสุนถูกยิงออกจากปากกระบอกปนขึ้นไปดวยอัตราเร็ว 20 เมตร/วินาที กระสุนปนจะ
กระทบกําแพงสูงจากพื้นกี่เมตร
1. 6.0 2. 6.2 3. 9.1 4. 10.6 (ขอ 3)

วธทา
ิี ํ

11(En 32) นกขจกรยานยนตผาดโผน ตองการจะขี่ขามคลอง
ั ่ี ั 
ซึ่งกวาง 5 เมตร ไปยังฝงตรงขาม ถาเขาขบรถดวยอตรา
 ั  ั
เรว 10 m/s กอนพนฝงแรก เขาจะขามได โดยไมชน
็    
ฝงตรงขาม h มีคาไดมากที่สุดกี่เมตร
 (2.5 เมตร)
วธทา
ิี ํ

116

12. ชายคนหนึ่งยืนบนยอดตึกขวางลูกบอลออก
ไปดวยความเร็ว 15 เมตร/วินาที ทํามุม 45o
กับแนวราบไปยังตึกที่สูงกวาอยูหางออกไป
45 เมตร อยากทราบวาขอใดถูกตอง
1. ลูกบอลกระทบตึกที่จุด A
2. ลูกบอลกระทบตึกสูงกวาจุด A 45 เมตร
3. ลูกบอลกระทบตึกต่ํากวาจุด A 45 เมตร
4. ลูกบอลตกถึงพื้นดินโดยไมกระทบตึก (ขอ 3)

วธทา
ิี ํ

13(มช 37) ชายคนหนึ่งยืนอยูบนตึกสูง 15 เมตร จากพื้นดินขวางลูกบอลขึ้นไปทํามุม 30o
กบแนวระดบดวยความเรว 20 เมตรตอวนาที ถามวาลูกบอลจะตกพื้นดินหางจุดขวางใน
ั ั  ็  ิ
แนวระดบกเ่ี มตร
ั (51.96 m)
วธทา
ิี ํ

117

ขอนาสนใจเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล
1. ถาเราปลอยวัตถุใหตกจากที่สูงในแนวดิ่ง พรอม
กับขวางวตถุอกกอนออกไปในแนวราบ จากจุด
 ั ี
เดียวกันวัตถุทั้งสองจะตกถึงพื้นพรอมกันเสมอ
14. ลูกบอลชนิดเดียวกัน 2 ลูก A และ B ลูกบอล A ถูกขวางออกไปในแนวราบและลูกบอล
B ถูกปลอยใหตกลงในแนวดิ่งพรอมกันจากระดับสูงเดียวกัน จงพิจารณาขอความตอไปนี้
แลวเลือกขอที่ถูกที่สุด
ก. ลูกบอล A ตกถึงพื้นกอน B
ข. ลูกบอลทั้งสองตกถึงพื้นพรอมกัน
ค. ลูกบอล A จะมีอัตราเร็วสูงกวาขณะที่ตกถึงพื้น
ง. ลูกบอล B จะมีอัตราเร็วสูงกวาขณะที่ตกถึงพื้น
1. ขอ ก. ถูก 2. ขอ ก. และ ค. ถูก
3. ขอ ข. และ ค. ถูก 4. ขอ ข. และ ง. ถูก (ขอ 3)

วธทา
ิี ํ

2. เกี่ยวกับการโยนวัตถุจากพื้นสูอากาศแลวปลอยใหตกลงมาถึงระดับเดิม
เวลาทีวตถุลอยในอากาศ (t) = ( 2U sinθ )
่ั g
่ี ั ุ ้ึ  ู ุ
2 sin2
ระยะทางทวตถขนไปไดสงสด (sy) = ( U 2g θ )
ระยะทางตามแนวราบเมือวัตถุตกลงมาระดับเดิม (sx) = ( U2 sin 2θ) = U2 2 sinθ cosθ
่ g g
15. ขีปนาวุธถูกยิงจากพื้นดวยความเร็ว 60 m/s ในทิศทํามุม 30o กับแนวระดับขีปนาวุธนั้น
ลอยอยูในอากาศนานเทาใด จึงตกถึงพื้นและขณะที่อยูจุดสูงสุดนั้นอยูหางจากพื้นเทาไร
วธทา
ิี ํ (6 วินาที , 45 เมตร)

118

16(มช 43) โยนลูกบอลขึ้นไปจากพื้นดิน ดวยความเรวตน 25 เมตร/วินาที ในทิศทํามุม 37o
 ็ 
กับพื้นดิน ลูกบอลนี้จะตกลงมาพื้นดินหางจากตําแหนงที่โยนขึ้นไปกี่เมตร
1. 60 2. 70 3. 80 4. 90 (ขอ 1)

วธทา
ิี ํ

17. ตวตถใหวงขนจากพนดนเปนมม 30o วตถไปตกในระดบเดยวกนหางจดเรมตน 20 3
ี ั ุ  ่ิ ้ึ ้ื ิ  ุ ั ุ ั ี ั  ุ ่ิ 
เมตร จงหาความเรวตนของวตถุ
็  ั
ก. 10 m/s ข. 14 m/s ค. 10 3 m/s ง. 20 m/s (ขอ ง)

วธทา
ิี ํ

3. เกี่ยวกับการโยนวัตถุจากพื้นสูอากาศแลวปลอยใหตกลงมาถึง
ระดับเดิม หากมุมที่เอียงกระทํากับแนวราบเปนมุม 45o วัตถุ
จะไปไดไกลที่สุด (ในแนวราบ)
4. เมื่อขวางวัตถุขึ้นจากพื้นเอียงทํามุมกับแนวราบ
θ กับ 90o – θ ดวยความเร็วตนเทากัน วัตถุ
จะไปไดไกลเทากันเสมอ
18(มช 35) ยิงโปรเจกไทลจากผิวโลก สชนบรรยากาศเหนอผวโลก
ู ้ั ื ิ
หากตองการใหไดระยะพิสัยมากที่สุดตองใหมุม θ เปน

ก. 45o ข. นอยกวา 45o ค. มากกวา 45o ง. ไมมีขอถูก (ขอ ก)
ตอบ
19(มช 29) นักกรีฑาขวางคอนมีความสามารถเหวี่ยงคอนไดในอัตราเร็วสูงสุด 5 เมตร/วินาที เขา
จะสามารถขวางคอนไปไดไกลสุดหางจากจุดที่เขายืนอยูกี่เมตร ถาไมคิดแรงเสียดทานอากาศ
และความสูงของนักกรีฑา
1. 2.75 2. 2.50 3. 1.50 4. 1.25 ( ขอ 2)
วธทา
ิี ํ
119

20. ในการยิงลูกหินกอนหนึ่งจากพื้นทํามุม 60o กับแนวระดับพบวาลูกหินตกหางจากจุดยิงปน
ระยะหาง 5 3 เมตร โดยใชเวลา 3 วินาที ถายิงลูกหินนี้ทํามุม 30o กบแนวระดบดวย
 ั ั 
ความเร็วตนคงเดิม จะทําใหลูกหินตกหางจากจุดยิงปนระยะหางเทาไร
1. 5 3 m 2. 10 m 3. 10 3 4. ไมมีขอใดถูก (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ

5. เกี่ยวกับการโยนวัตถุจากพื้นสูอากาศแลวปลอยให
ตกลงมาที่ระดับความสูงเดียวกัน อตราเรวและ
ั ็
มุมที่กระทํากับแนวราบจะเทากัน
6. เวลาที่ใชในการเคลื่อนที่แนวราบ แนวดิง และ
่
เวลารวมจะเทากันเสมอ นนคอ tx = ty = tรวม
่ั ื

21. ขวางกอนหนขนไปในอากาศทามม θ กบแนว
  ิ ้ึ ํ ุ ั
ราบให t1 เปนเวลาทคดการเคลอนทในแนวดง
 ่ี ิ ่ื ่ี ่ิ
จากพื้นจนตกกลับมาที่เดิม t2 เปนเวลาที่คิดการ
เคลอนทในแนวราบจากจดทขวางถงจดทตก
่ื ่ี ุ ่ี  ึ ุ ่ี
t3 เปนเวลาที่กอนหินใชในการลอยอยูในอากาศ
ทั้งหมดขอใดถูก
t3
1. t1 = t2 = t3 2. t1 = 2
t3 t2 t3
3. t1 = t2 = 2 4. t1 = 2 = 2 (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ

22(En 36) เมือขวางหินกอนหนึ่งดวยความเร็วตน 20 เมตร/วินาที พบวาหินกอนนี้ตกถึงพื้นราบ
่
ดวยความเร็วที่ทํามุม 60 องศากับแนวดิ่งหินกอนนี้จะขึ้นไปไดสูงสุดเทาใด
1. 5 m 2. 10 m 3. 15 m 4. 20 m (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ

120

Sy
7. 1 θ
Sx = 4 tanθ
เมือ Sy = ระยะสูงในแนวดิ่ง
่
Sx = ระยะไกลในแนวราบ
23(มช 40) ถาโปรเจกไทลมีการกระจัดสูงสุดในแนวดิ่ง 10 เมตร และการกระจัดที่ไปไดไกลสุด
ในแนวระดับเทากับ 30 เมตร โปรเจกไทลนี้จะตองถูกยิงออกไปในแนวที่ทํามุมกี่องศากับราบ
วธทา
ิี ํ ( 53 o)

24. ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล เมอจดเรมตนและจดสดทายอยในแนวระดบเดยวกน ถา
่ื ุ ่ิ  ุ ุ  ู ั ี ั
ตองการใหระยะตกไกล (Sx) มีคาเปน 4 เทาของระยะสูงสุด (H) มุมยิงควรมีคากี่องศา
1. 30o 2. 45o 3. 53o 4. 60o (ขอ 2)
วธทา
ิี ํ

25(มช 33) วัตถุเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล โดยมีทางเดิน
เปนรูปพาราโบลา และมความสมพนธระหวางระยะ
ี ั ั  
ทางที่เคลื่อนที่ในแนวดิ่งกับแนวระดับดังแสดงในรูป
จงหามุม θ ที่ความเร็วของวัตถุทํากับแนวระดับ
(ไมคิดความตานทานของอากาศ) (ขอ ข)
ก. θ = tan–1(2) ข. θ = tan–1(1) ค. θ = tan–1( 1 ) 2 ง. θ = tan–1( 1 )
4
วธทา
ิี ํ

!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

121


ตอนที่ 2 การเคลอนทแบบวงกลม
่ื ่ี
คาบ (T) คือ เวลาทใชในการเคลอนทครบ 1 รอบ (วินาที)
่ี  ่ื ่ี
ความถี่ (f) คือ จานวนรอบทเ่ี คลอนทไดในหนงหนวยเวลา
ํ ่ื ่ี  ่ึ 
(รอบ / วินาที , Hz)
หาคาจาก f = จํานวนรอบ หรือ f = T
เวลา
1

อัตราเร็วเชิงเสน (v) คือ อัตราเร็วของการเคลือนทีตามเสนรอบวง (เมตร/วินาที)
่ ่
หาคาจาก v = 2π Rf หรือ v = 2πR
π T
การเคลื่อนที่แบบวงกลม จะมแรงเกยวของอยางนอย 2
ี ่ี   
แรง เสมอ คือ แรงเหวยงออก และแรงสูศูนยกลาง
่ี
Fc = mv2 และ ac = v2
R R
เมือ ac = ความเรงศูนยกลาง (m/s2)
่ v = อัตราเร็วเชิงเสนของวัตถุ (m/s)
R = รศมการเคลอนท่ี (m)
ั ี ่ื Fc = แรงเขาสูศูนยกลาง ( N )
m = มวลวัตถุที่เคลื่อนที่เปนวงกลมนั้น (kg)
26. จากการเคลื่อนที่แบบวงกลมของวัตถุหนึ่งพบวาชวงเวลา 2 วินาที เคลอนทได 10 รอบ
่ื ่ี
จงหาคาความถี่ และ คาบของการเคลอนท่ี
่ื (5 Hz , 0.2 วินาที)
วธทา
ิี ํ

27. จากขอที่ผานมา ถารัศมีการเคลื่อนที่มีคา 0.2 เมตร อตราเรวเชงเสนของวตถนจะเปนเทาไร
ั ็ ิ  ั ุ ้ี  
วธทา
ิี ํ (6.3 เมตร/วินาที)

122

28. จงหาความเรงเขาสูศูนยกลางของวัตถุที่เคลื่อนที่เปนรูปวงกลมรัศมี 8 เมตร ดวยอัตราเร็ว
20 เมตรตอวนาที และหากมวลที่เคลื่อนที่มีขนาดเทากับ 5 กิโลกรัม จงหาแรงเขาสูศูนย
 ิ
กลาง ( 50 m/s2 , 250 N )
วธทา
ิี ํ

29. การเคลอนทของวตถเุ ปนวงกลมดวยอตราเรวสมาเสมอ ถาอตราเรวของการเคลอนทเ่ี พม
่ื ่ี ั   ั ็ ํ่  ั ็ ่ื ่ิ
ขึ้น เปน 2 เทา โดยทรศมยงคงเทาเดม จะตองใชแรงเขาสูศูนยกลาง
  ่ี ั ี ั  ิ
1. เทากบครงหนงของคาเทาเดม
 ั ่ึ ่ึ   ิ 2. เทาเดิม
3. เพมขนเปน 2 เทา
่ิ ้ึ   4. เพมขนเปน 4 เทา
่ิ ้ึ   (ขอ 4)

วธทา
ิี ํ

30(En 43/1) ในการทดลองการเคลื่อนที่แนววงกลมในระนาบระดับ ขณะที่กําลังแกวงใหจุกยาง
หมนอยนน เชือกที่ผูกกับจุกยางขาดออกจากกัน นักเรียนคิดวาขณะที่เชือกขาดภาพการ
ุ ู ้ั
เคลื่อนที่ที่สังเกตจากดานบนจะเปนตามรูปใด ถา a เปนตําแหนงของจุกยางขณะที่เชือกขาด
1. 2. 3. 4.

ตอบ (ขอ 1)

123

ขนตอนการคานวณเกยวกบวงกลม มีดังนี้
้ั ํ ่ี ั
1) วาดรปเขยนแรงกระทาทเ่ี กยวของทกแรง
ู ี ํ ่ี  ุ
2) กําหนดให แรงเขาวงกลม = แรงออกวงกลม แลวแกสมการจะไดคําตอบ
โจทยตัวอยางเกี่ยวกับ แรงดนพน (N)
ั ้ื
31. รถคนหนงมมวล 1000 กิโลกรัม เคลอนทขนรางโคงตี
ั ่ึ ี ่ื ่ี ้ึ 
ลังกาอันมีรัศมี 10 เมตร ดวยความเรวคงท่ี 30 เมตรตอ
 ็
วินาที ตอนที่รถคันนี้กําลังตีลังกาอยูที่จุดสูงสุดของราง
โคง แรงปฏิกิริยาที่รางกระทําตอรถมีคากี่นิวตัน (80000)

วธทา
ิี ํ

32. รถไฟเหาะตีลังกามวล 2000 กิโลกรัม เคลือนทีบนราบโคงรัศมี 10 เมตร ขณะผานจุด
่ ่
สูงสุดดวยอัตรา 20 เมตรตอวนาที จะมีแรงปฏิกิริยาที่รางกระทําตอรถไฟเทาใด (ขอ 2)
 ิ
1. 40000 นิวตัน 2. 60000 นิวตัน 3. 80000 นิวตัน 4. 100000 นิวตัน
วธทา
ิี ํ

124

33. รถคนหนงมมวล 1000 กิโลกรัม เคลอนทขนรางโคงตลงกาอนมรศมี 10 เมตร ดวย
ั ่ึ ี ่ื ่ี ้ึ  ีั ั ีั
ความเรวคงท่ี 30 เมตรตอวนาที จงหาแรงปฏกรยาทรางกระทาตอรถตอนท่ี
็  ิ ิ ิ ิ ่ี ํ 
ก) รถอยูที่จุดลางสุดของราง (100000 N)
ข) รถอยทจดตรงกบแนวศนยกลางรางในแนวระดบ
ู ่ี ุ ั ู  ั (90000 N)
วธทา
ิี ํ

34. เครองบนไอพนบนเปนวงกลมในแนวดงรศมี 100 เมตร และอตราเรวคงท่ี 100 เมตร/วินาที
่ื ิ  ิ  ่ิ ั ั ็
นักบินมีมวล 50 กิโลกรัม อยากทราบวา แรงปฏิกิริยาที่เบาะนั่งกระทําตอนักบินเปนเทาไร
ขณะเครื่องบินอยูที่จุดสูงสุด
1. 4000 นิวตัน 2. 4500 นิวตัน 3. 5000 นิวตัน 4. 5500 นิวตัน (ขอ 2)
วธทา
ิี ํ

35(En 43/2) รถยนตมวล 1200 กโลกรม กําลังวิ่งดวยอัตราความเร็ว v เมตรตอวินาที ขาม
 ิ ั
สะพานที่จุดสูงสุดของสะพานซึ่งมีรัศมีความโคงในระนาบดิ่ง 12 เมตร จงหาอัตราเร็ว v ท่ี
พอดีทําใหรถยนตเริ่มหลุดจากความโคงของสะพาน
1. 11 m/s 2. 12 m/s 3. 13 m/s 4. 14 m/s (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ

125

36(มช 34) วัตถุกลมเล็กอันหนึ่งมีมวล m วางอยูจุดบนสุดของครึ่งทรงกลมตันซึ่งมีมวล m รศมี R
ั
จงหาอัตราเร็วในแนวระดับที่นอยที่สุดที่จะทําใหวัตถุหลุดออกผิวทรงกลมโดยไมมีการเลื่อน
ไถลลงมาตามผิว และให N เปนแรงที่ทรงกลมกระทําตอวัตถุในแนวตั้งฉากกับผิวทรงกลม
1 −1 1 1
ก. (Rg) 2 ข. (Rg) 2 N
ค. [(g − m )R] 2 N −
ง. [(g − m )R] 2 (ขอ ก)
วธทา
ิี ํ

โจทยตัวอยางเกี่ยวกับ แรงดงเชอก
ึ ื
37. จากรูป มวล 5 กิโลกรัม ถูกมัดดวยเชือกยาว 1 เมตร
แลวแกวงเปนวงกลมตามแนวราบ ดวยอัตราเร็วคงที่ 2
เมตรตอวนาที จงหาคาของแรงดงในเสนเชอก ( 20 N)
 ิ  ึ  ื
วธทา
ิี ํ

38. จากรูปมวล m อยบนโตะลนผกตดกบกอนนาหนก W
ู  ่ื ู ิ ั  ํ้ ั
ดวยเชอกเบาสอดผานรกลางโตะ จงหาอัตราเร็วของ m
 ื  ู 
ขณะเคลื่อนที่ในแนววงกลมรัศมี r
1. 1/ mrW 2. mrW
3. m 4. rW (ขอ 4)

rW m
วธทา
ิี ํ

126

39. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกดวยเชือกแลวแกวงเปนวงกลมในแนวระดับรัศมี 0.3 เมตร โดย
เสนเชอกเอยงทามม 53 องศากับแนวราบ ถาความเร็วในการแกวงคงที่เทากับ 1.5 เมตร/
 ื ี ํ ุ
วินาที จงหาแรงดงในเสนเชอก (กําหนด cos 53o=3/5 , sin 53o= 4/5 )
ึ  ื ( 25 N)
วธทา
ิี ํ

40. วัตถุกอนหนึง ผูกดวยเชือกแลวแกวงเปนวงกลมในแนวระดับรัศมี 0.3 เมตร โดยเสน
 ่
เชอกเอยงทามม 53 องศากับแนวราบ ถาแรงดึงในเสนเชือกมีคาเทากับ 50 นิวตัน
ื ี ํ ุ
จงหามวลของวตถกอนน้ี (กําหนด cos 53o = 3/5 , sin 53o = 4/5 )
ั ุ (4 kg)
วิธทา
ี ํ

41. จากโจทยขอที่ผานมา จงหาอัตราเร็วของการเคลือนทีเ่ ปนวงกลม
่ (1.5 m/s)
วธทา
ิี ํ

127

42. ผูกเชือกเบาติดกับลูกบอลมวล 3 กิโลกรัม แกวงเชือกใหเปนวงกลมในแนวดิ่งรัศมี 1 เมตร
ดวยความเร็วเชิงเสน 5 เมตร/วินาที จงหาแรงดึงของเชือกขณะที่ลูกบอลอยูที่ตําแหนงสูงสุด
วธทา
ิี ํ ( 45 N)

43(มช 41) ผูกเชือกเบาติดกับลูกบอลมวล 1 กิโลกรัม แกวงเชือกใหเปนวงกลมในแนวดิ่งรัศมี
0.2 เมตร ดวยความเร็วเชิงเสน 4 เมตร/วินาที จงหาแรงดึงของเชือกขณะที่ลูกบอลอยูที่
ตําแหนงสูงสุด (70 นิวตัน)
วธทา
ิี ํ

44. ผูกเชือกเบาติดกับลูกบอลมวล 3 กิโลกรัม แกวงเชือกใหเปนวงกลมในแนวดิ่งรัศมี 1
เมตร ดวยความเร็วเชิงเสน 5 เมตร/วินาที จงหาแรงดงของเชอกขณะท่ี
ึ ื
ก) ลูกบอลอยูที่จุดต่ําสุด (105 N)
ข) ลูกบอลอยูที่จุดตรงกับแนวศูนยกลางวงกลมในแนวระดับ (75 N)
วธทา
ิี ํ

128

45. วัตถุมวล 1.0 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 5 เมตร ถาถอวตถอนนใหเ ชอกตง และอยู
 ื ั ุ ั ้ี ื ึ
ในแนวระดับกอนแลวจึงปลอยใหวัตถุตกลงมาอยากทราบวา
ก. เมอวตถแกวงถงจดตาสดจะมอตราเรวเทาใด (10 m/s)
่ื ั ุ  ึ ุ ํ่ ุ ีั ็ 
ข. ทจดตาสดเชอกมแรงตงเทาใด
่ี ุ ํ่ ุ ื ี ึ  (30 N)
วธทา
ิี ํ

46. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกไวดวยเชือกเสนหนึ่งแลวแกวงใหหมุนเปนวงกลมในแนวดิ่งมี
รศมี 10 เมตร วตถตองมความเรวนอยทสดเทาไร จึงจะยังคงเคลื่อนที่เปนวงกลมได
ั ั ุ  ี ็  ่ี ุ 
1. 20 เมตร / วินาที 2. 15 เมตร / วินาที
3. 10 เมตร/ วินาที 4. 5 เมตร / วินาที (ขอ 3)

วธทา
ิี ํ

47(En 36) นําวัตถุมวล m ผูกติดเชือกแลวแกวงเปนวงกลมในระนาบดิ่ง มีรัศมี R อัตราเร็วที่
นอยที่สุดในวงกลมที่วัตถุจะเคลื่อนที่มีวิถีเปนวงกลมสมบูรณไดจะมีคาเทาใด
1. 3Rg 2. 2Rg 3. Rg2 4. Rg ( ขอ 4. )
วธทา
ิี ํ

129

48. หากตองการใหมวล m ซึ่งมัดดวยเชือกรัศมี r สามารถแกวงตัวเปนวงกลมในแนวดิ่งได
 
พอดี ความเร็วที่จุดต่ําสุดของวงกลมการเคลื่อนที่อยางนอยที่สุดตองมีคาเปนเทาใด
ก. gr 2. 2gr 3. 4gr 4. 5gr (ขอ ง.)
วธทา
ิี ํ

49(En 34) วัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 1.0 เมตร แกวงเปนวงกลมในแนวดิ่ง
เมอเชอกทามม 60o กบแนวดงจากตาแหนงตาสดของวถทางโคจรของวตถุ จงหาความตง
่ื ื ํ ุ ั ่ิ ํ  ํ่ ุ ิี ั ึ
ในเสนเชอก ถาขณะนันอัตราเร็วในการเคลือนทีทตาแหนงเปน 3.0 เมตร/วินาที (ขอ 3)
 ื ้ ่ ่ ่ี ํ 
1. 2.0 นิวตัน 2. 6.5 นิวตัน 3. 7.0 นิวตัน 4. 8.8 นิวตัน
วธทา
ิี ํ

โจทยตัวอยางเกี่ยวกับ แรงเสยดทาน
ี
50. ถนนราบโคงมรศมความโคง 50 เมตร ถาสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหวางยางกับ
 ีั ี 
ถนนของรถคันหนึง มีคาเทากับ 0.2 รถคันนี้จะเลี้ยวโคงไดดวยความเร็วสูงสุดเทาไรจึงจะ
่
ไมไถลออกนอกโคง
  ( 10 m/s )
วธทา
ิี ํ

130

51. ถนนราบโคงมรศมความโคง 100 เมตร ถาสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหวางยางกับ
 ีั ี 
ถนนของรถคันหนึง มีคาเทากับ 0.4 รถคันนี้จะเลี้ยวโคงไดดวยความเร็วสูงสุดเทาไรจึงจะ
่
ไมไถลออกนอกโคง
  (20 m/s)
วธทา
ิี ํ

52(มช 30) แผนเสยงแผนหนงวางอยในแนวระดบ เมอเอาเหรยญอนหนงมาวางไวหางจาก
 ี  ่ึ ู ั ่ื ี ั ่ึ  
จุดศูนยกลางของแผนเสียงเปนระยะ 10 เซนตเิ มตร ปรากฏวาเหรยญอนนจะหมนตดไปกบ
 ี ั ้ี ุ ิ ั
แผนเสียงไดโดยไมไถลหลุดจากโตะ ถาอัตราการหมุนของแผนนอยกวา 1 รอบตอวนาที
 ิ
จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหวางเหรียญกับแผนเสียง
1. 0.2 2. 0.3 3. 0.4 4. 0.6 (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ

53(En 32) เหรยญวางอยทระยะ 20 cm จากศูนยกลางแผนเสียง ถาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน
ี ู ่ี
สถิตยระหวางเหรียญและแผนเสียงเปน 0.125 จงหาจํานวนรอบที่มากที่สุดใน 1 วินาที
ที่แผนเสียงหมุนแลวเหรียญยังคงอยูนิ่งเทียบกับแผนเสียง (0.4 Hz)
วธทา
ิี ํ

131


กรณี การเลยวโคงของรถบนถนน
้ี 
1) จะมีแรงเสียดทานระหวางยางรถกับพื้นถนน เปนแรง
ผลักเขาสูศูนยกลาง
2) กรณรถมอเตอรไซคจะมการเอยงตวจากแนวดง เพอ
ี   ี ี ั ่ ิ ่ื
ใหแนวแรงลัพธของแรงเสียดทานกับแรงดันพื้นผลัก
ผานจดศนยกลางมวลของมอเตอรไซด
 ุ ู  
tanθ = v2
θ gr
เมือ v คือ อตราเรวของการเคลอนท่ี (m/s)
่ ั ็ ่ื
r คือ รัศมีความโคงของถนน (m)
θ คือ มมทมอเตอรไซดเ อยงกระทากบแนวดง
ุ ่ี  ี ํ ั ่ิ
หรือ θ คือ มมทพนถนนเอยงกระทากบแนวพนราบ
ุ ่ี ้ื ี ํ ั ้ื
54. กําหนดใหรถจักรยานยนตเลี้ยวโคงบนถนนรัศมีความโคง 0.1 km ดวยอัตราเร็ว 36 km/hr
ไดอยางปลอดภัย แมฝนตกทางลื่น คนขับตองเอียงตัวทํามุมกับแนวดิ่งเทาใด (6o)
วธทา
ิี ํ

55(มช 41) ผูขับขี่รถจักรยานยนตเลี้ยวโคงบนถนนราบที่มีรัศมีความโคง 40 เมตร คนขับตอง
เอียงรถทํามุม 37o กบแนวดง ขณะนันผูขบขีขบรถในอัตราเร็วกีเ่ มตร/วินาที
ั ่ิ ้ ั ่ั (ขอ 1)

1. 17.32 2. 40.51 3. 30.67 4. 23.29
วธทา
ิี ํ

56. รถยนตคนหนงแลนดวยความเรว 60 กิโลเมตร/ชวโมง เมอรถคนนเ้ี ลยวโคงบนถนนมรศมี
 ั ่ึ   ็ ่ั ่ื ั ้ี  ีั
ความโคง 150 เมตร พืนถนนควรเอียงทํามุมกับแนวระดับเทาใด รถจึงจะเลียงโคงอยางปลอดภัย
้ ้
วธทา
ิี ํ (10.5o)

132

57. ทางโคงของถนน ทานจะสังเกตเห็นวาระดับของถนนบริเวณนอกสวนโคงจะมีระดับสูงกวา
บรเิ วณในสวนโคง ทานจงใหเ หตผลวาเปนเพราะอะไร
   ุ  
ก. เพอตานแรงหนศนยกลาง
่ื  ีู  ข. เพื่อใหทัศนวิสัยดีขึ้น
ค. เพอใหรปรางถนนเปนไปตามความตองการ ง. ขอ ก. และ ข. ถูก
่ื  ู    (ขอ ก)

วธทา
ิี ํ

โจทยตัวอยางเกี่ยวกับ แรงดึงดูดระหวางมวล
58. ดาวเทยมดวงหนงโคจรรอบโลกเปนวงกลมรศมี 8 x 106 เมตร และที่ความสูงระดับนี้
ี ่ึ  ั
แรงดงดดของโลกเทากบ 8 นิวตัน / กิโลกรัม จงคานวณหาความเรวในการโคจรของดาว
ึ ู  ั ํ ็
เทียมดวงนี้ ( 8x103 m/s )
วธทา
ิี ํ

59. ดาวเทียมมวล 6 kg หมนรอบโลกเปนวงกลม รศมี 7000 km และที่ความสูงระดับนี้แรง
ุ  ั
ดึงดูดของโลกมีคาเทากับ 7 N/kg จงคํานวณหาความเร็วและคาบการหมุนของดาวเทียมนี้
1) 7000 เมตร/วินาที , 5548 วินาที 2. 7000 เมตร/วินาที , 6283 วินาที
3) 8000 เมตร/วินาที , 5548 วินาที 4. 8000 เมตร/วินาที , 6283 วินาที
วธทา
ิี ํ (ขอ 2)

133

60. ดาวเทียมเคลื่อนที่เปนวงกลมรอบโลก โดยมีรศมีวงโคจร 12.8x106 เมตร อัตราเร็วของ
ั
ดาวเทียม มีคากีเ่ มตรตอวินาที (กําหนด มวลโลก = 6 x 1024 kg)
 (5.7x103 m/s)
วธทา
ิี ํ

61(En 33) ดาวเทียมเคลื่อนที่เปนวงกลมรอบโลก โดยมีระยะหางจากผิวโลกเทากับรัศมีของ
โลก อัตราเร็วของดาวเทียมมีคากีเ่ มตรตอวินาที
 (ขอ 3)

( มวลโลก = 6 x1024 kg , รัศมีโลก = 6.4 x 106 m)
1. 1.6x104 m/s 2. 4.0x103 m/s 3. 5.7x103 m/s 4. 11.3x103 m/s
วธทา
ิี ํ

!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

ตอนที่ 3 อตราเรวเชงมม
ั ็ ิ ุ
ω=θt เมือ ω คือ อัตราเร็วเชิงมุม (เรเดียน / วินาที)
่
θ คือ มุมที่กวาดไป (เรเดียน)
ω = 2Tπ t คือ เวลาที่ใชกวาดมุมนั้น (วินาที)
ω = 2π f T คือ คาบของการเคลอนท่ี (วินาที)
่ื
V = ωR f คือ ความถี่ของการเคลื่อนที่ (Hz)
ac = ω2 R V คือ อัตราเร็วเชิงเสน (m/s)
ac คือ อตราเรงเขาสศนยกลาง (m/s2)
ั   ู ู 
134

62. วตถกอนหนงเคลอนทเ่ี ปนวงกลมรอบจดจดหนงดวยความถ่ี 7 รอบ/วินาที จงหาอัตราเร็ว
ั ุ ่ึ ่ื  ุ ุ ่ึ 
เชงมมของการเคลอนทน้ี
ิ ุ ่ื ่ี ( 44 rad/s )
วธทา
ิี ํ

63. การหมุนรอบตัวของโลกรอบละ 24 ชวโมง กําหนด รศมโลกเทากบ 6.37 x 106 เมตร
่ั ั ี  ั
จงหา อัตราเร็วเชิงมุมทีผวโลก
่ิ ( 7.27x10–5 rad/s)
วธทา
ิี ํ

64. จากขอที่ผานมา จงหาอัตราเร็วของวัตถุทผวโลก
่ี ิ (463 m/s)
วธทา
ิี ํ

65. จากขอที่ผานมา จงหาอัตราเรงสูศูนยกลางที่เสนศูนยสูตร (0.034 m/s2 )
วธทา
ิี ํ

66(En 42/2) วัตถุมวล m วางบนจานกลมที่กําลังหมุน ดวยอัตราเร็วเชิงมุม 2π เรเดียน/วินาที
ถาวัตถุวางอยูหางจากศูนยกลางของจานเปนระยะ r และขณะที่หมุนวัตถุไมมีการไถล
แรงเสียดทานที่กระทําตอวัตถุเทากับเทาไร (ขอ 1)

1. 4π2 mr 2. 4π2 r2 m 3. 2π2 mr 4. 2π mr
วธทา
ิี ํ

135

67. ถาในการทดลองเกี่ยวกับการเคลื่อนที่เปนวงกลม
ขณะที่วัตถุมวล M เคลอนทดวยรศมความโคง 0.8
่ื ่ี  ั ี 
เมตรนน น้ําหนักของวัตถุทําใหวัตถุอยูต่ํากวาปลาย
้ั
เชือกที่แกนหมุน 0.2 เมตร ดงรปอตราเรวเชงมมของ
ั ู ั ็ ิ ุ
การเคลอนทจะตองเปนเทาไรในหนวยเรเดยน/วินาที
่ื ่ี     ี (ขอ 1)

1. 7 2. 8 3. 9 4. 10 5. 11
วธทา
ิี ํ

68(En 31) วัตถุผูกติดปลายเชือกแลวแกวงเปนวงกลมสม่ําเสมอ
ตามแนวราบแบบฐานกรวย ถารัศมีของการแกวงเปนวงกลม
30 เซนตเิ มตร และมวลของวัตถุ 0.5 กิโลกรัม เชอกยาว 50ื
เซนตเิ มตร อัตราเร็วเชิงมุมของการแกวงเปนกีเ่ รเดียนตอวินาที
1. 5 2. 7.5 3. 10 4. 25 (ขอ 1)

วธทา
ิี ํ

69. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกดวยเชือกยาว 0.5 เมตร แลวแกวงเปน
วงกลมในระนาบระดับดวยรัศมี 0.3 เมตร จงหาอัตราเร็ว (1.5 m/s)
วธทา
ิี ํ

70. จากขอที่ผานมา จงหาแรงดงในเสนเชอก
ึ  ื (25 N)
วธทา
ิี ํ

136

ตอนที่ 4 การเคลือนทีแบบซิมเปลฮารโมนิค
่ ่
การเคลื่อนที่ซิมเปลฮารโมนิคแบบสั่น
a = ω2 A
v = ωA
ω = k
m
T = 2π
ω
f = 1= ω
T 2π
เมือ v
่ = ความเร็วสูงสุด (ที่จุดสมดุลเทานั้น)
a = ความเรงสูงสุด (ที่ระยะทางไกลที่สุด)
ω = ความเร็วเชิงมุม (เรเดียน / วินาที) A = อมปลิจด (ระยะทางไกลที่สุด)
ั ู
k = คานิจสปริง (N/m) m = มวล (kg)
T = คาบการสั่น (s) f = ความถี่การสั่น (Hz)
71(มช 34) สปรงเบาตวหนงมคานจ 25 นิวตัน/เมตร ผูกติดกับ
ิ ั ่ึ ี  ิ
มวล 1 กิโลกรัม ซึ่งวางอยูบนพื้นเกลี้ยง ดังรูป เมือดึงสปริง
่
ออกไป 20 เซนตเิ มตร แลวปลอยมือ มวลกอนนจะมอตรา
 ้ี ี ั
เรวเทาใดเมอผานตาแหนงสมดล
็  ่ื  ํ  ุ
ก. 0.2 m/s ข. 1.0 m/s ค. 2.0 m/s ง. 3.0 m/s (ขอ ข)

วธทา
ิี ํ

72(มช 34) สปรงเบาตวหนงมคานจ 100 นิวตัน/เมตร ผูกติดกับมวล 1 กิโลกรัม ซึ่งวางอยูบน
ิ ั ่ึ ี  ิ
พื้นราบเกลี้ยง เมอดงสปรงออกไป 30 เซนตเิ มตร แลวปลอยมือ มวลกอนนจะมอตราเรง
่ื ึ ิ  ้ี ี ั 
สูงสุดเทาใด
ก. 10 m/s2 ข. 20 m/s2 ค. 30 m/s2 ง. 40 m/s2 (ขอ ค)

วธทา
ิี ํ

137

73(En 36) แขวนมวล 100 กรัม ที่ปลายหนึ่งของสปริงที่มีมวลนอยมากดึงมวลจากตําแหนง
สมดุล 10 เซนตเิ มตร แลวปลอย อตราเรวเชงเสนขณะเคลอนทผานสมดลมคาเทาใด ถา
ั ็ ิ  ่ื ่ี  ุ ี 
คาบของการสั่นมีคา 2 วินาที (ขอ 1)

1. 0.31 m/s 2. 0.99 m/s 3. 3.14 m/s 4. 9.9 m/s
วธทา
ิี ํ

74. วตถหนงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มีอัมพลิจูด 10 เซนตเิ มตร มีความถี่ 2 รอบ
ั ุ ่ึ ่ื ่ี  ิ  
ตอวินาที วัตถุจะมีความเรงสูงสุดเทาใด (15.68 m/s2)
วธทา
ิี ํ

75. สปริงวางบนพื้นราบมีคานิจสปริง (2π)2 N/m ปลายขางหนึ่งผูกตรึงปลายอีกขางหนึ่ง
มีมวล 4 kg ตดไว เมือออกแรงดึงมวลแลวปลอยมวลจะเคลือนทีแบบ SHM ดวยคาบ
ิ ่ ่ ่
กี่วินาที (2)
วธทา
ิี ํ

76. สปริงวางบนพื้นราบมีคานิจสปริง π2 N/m ปลายขางหนึ่งผูกตรึงปลายอีกขางหนึ่งมีมวล
1 kg ตดไว เมือออกแรงดึงมวลแลวปลอยมวลจะเคลือนทีแบบ SHM ดวยคาบกี่วินาที
ิ ่ ่ ่
วธทา
ิี ํ (2 วินาที)

138

77(En 35) รถทดลองมวล 500 กรัม ติดอยูกับปลายสปริง
ดังรูป เมือดึงดวยแรง 5 นิวตัน ในทิศขนานกับพื้น จะ
่
ทาใหสปรงยดออก 10 เซนตเิ มตร เมื่อปลอยรถจะเคลื่อนที่
ํ  ิ ื
กลับไปมาบนพื้นเกลี้ยงแบบซิมเปลฮารโมนิกดวยคาบเทาไร
1. 0.63 s 2. 0.67 s 3. 1.60 s 4. 2.00 s (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ

78(มช 42) ลวดสปริงอันหนึ่งวางบนพื้นเกลี้ยง ปลายดานหนึ่งยืดแนนกับผนังปลายที่เหลือมี
มวล 1.0 กิโลกรัมติดไว ถาทําใหเกิดการสั่นแบบซิมเปลฮารมอนิกวัดคาบการสั่นได
(2π / 5) วินาที แรงในหนวยของนวตนทกระทาตอมวลน้ี เมออยหางจากตาแหนงสมดล 0.2
 ิ ั ่ี ํ  ่ื ู  ํ  ุ
เมตร เปนเทาใด (5 นิวตัน)
วธทา
ิี ํ

79(มช 43) แขวนมวล 2 กิโลกรัม กับสปริง แลวปลอยใหสั่นขึ้นลง วัดคาบของการสั่นได
1 วินาที ถาเอามวล 2 กิโลกรัม ออกสปรงจะสนกวาตอนทแขวนมวลนอยกเ่ี มตร
ิ ้ั  ่ี ้ี ู
1. 0.08 2. 0.12 3. 0.25 4. 0.40 (ขอ 3)

วธทา
ิี ํ

139

80. แขวนมวล 4.9 กิโลกรัม กับสปริงแลวปลอยใหเคลื่อนที่ขึ้นลงวัดคาบของการสั่นได 0.5
วินาที ถาเอามวล 4.9 กิโลกรัม ออกสปริงจะสั้นกวาตอนที่แขวนมวลอยูเทาใด (0.06 m)
วธทา
ิี ํ

81(มช 44) แขวนมวล m กับสปริงซึ่งมีคาคงตัวสปริง k แลวทําใหสั่นขึ้นลงในแนวดิ่ง วัด
คาบการสั่นได To ถานํามวล 4m มาแขวนแทนที่มวล m แลวคาบการสั่นจะเปนเทาใด
1. To
4 2. T2o 3. To 4. 2To (ขอ 4)
วธทา
ิี ํ

82(En 43/2) หากผูกมวล m ตดกบสปรงในแนวดง ดึงมวลลงเล็กนอยแลวปลอยใหสั่นพบวา
ิ ั ิ ่ิ
สปริงมีคาบของการสั่น 2 วินาที ถาเพิ่มมวลเขาไปอีก 2 กิโลกรัม สปริงจะมีคาบการสั่น
3 วินาที จงหาขนาดของมวล m ในหนวยกิโลกรัม (1.6 kg)
วธทา
ิี ํ

!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

140


การเคลอนทซมเปลฮารโมนคแบบแกวง
่ื ่ี ิ   ิ 
a = ω2 A
v = ωA
amax amax ω = L g
vmax
T = 2π ω
A A 1= ω
f = T 2π
เมือ v = ความเร็วสูงสุด (ที่จุดสมดุลเทานั้น)
่
a = ความเรงสูงสุด (ที่ระยะทางไกลที่สุด)
ω = ความเร็วเชิงมุม (เรเดียน/วินาที)
A = อมปลิจด (ระยะทางไกลที่สุด)
ั ู
L = ความยาวสายแกวง (m)
T = คาบการแกวง (s)
f = ความถี่การแกวง (Hz)
83. ลูกตุมแขวนดวยเชือกยาว 0.4 เมตร แกวงไปมาดวยอัมปลิจูด 0.1 เมตร จงหาความเรว ็
ขณะเคลื่อนผานจุดสมดุล ( 0.5 m/s)
วธทา
ิี ํ

84(มช 32) ความเร็วสูงสุดของวัตถุที่กําลังแกวงแบบซิมเปลฮารโมนิคดวยคาบของการแกวง
0.2 วินาที และอัมปลิจูด 2 เซนตเิ มตร จะมีคาเทากับ
ก. 5π เซนตเิ มตร/วินาที ข. 10π เซนตเิ มตร/วินาที
ค. 20π เซนตเิ มตร/วินาที ง. ไมสามารถหาคาไดจากขอมูลที่ใหมา (ขอ ค)
วธทา
ิี ํ

141

85. ตองการใหลูกตุมนาฬิกาแกวงในระนาบบนพื้นโลกใหครบรอบภายในเวลา 2 วินาที จะ
ตองออกแบบใหสายลูกตุมนาฬิกายาวเทาใด ให π2 = 10 (1 เมตร)
วธทา
ิี ํ

86. ลูกตุมแขวนดวยเชือกยาว 1 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 2 วินาที ถาลูกตุมแขวนดวยเชือก
ยาว 9 เมตร จะแกวงดวยคาบเทาใด (6 วินาที)
วธทา
ิี ํ

87. ลูกตุมมวล 0.1 กิโลกรัม แขวนดวยเชือกยาว 4 เมตร ทําใหแกวงกลับไปกับมา โดยมี คาบ
4 วินาที ถาเปลี่ยนมาใชลูกตุมมวล 0.2 กิโลกรัม แขวนดวยเชือกยาว 1 เมตร ในเวลา 10
วินาที ลูกตุมจะแกวงไดกี่รอบ (5 รอบ)
วธทา
ิี ํ

88. ถานาฬิกาแบบลูกตุมเดินไดตรง ณ บริเวณพื้นที่ราบใกลระดับน้ําทะเล ถานํานาฬิกานี้ไป
ใช ณ บริเวณยอดเขาสูงกวาระดับน้ําทะเลมาก ๆ คาบของการแกวงจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง
วธทา
ิี ํ (เพิม)
่

142

การหาความเรว และความเรง ณ จุดใดๆ
็ 
Vs = ω A 2 − x 2
as = ω2 x
Vt = ωA sin (ω t)
at = ω2 A cos (ω t) X

เมือ Vs ,
่ as = ความเร็ว และ ความเรง ณ จุดหางจากสมดุล A
Vt ,at = ความเร็ว และ ความเรง ณ เวลา t จากสมดุล
A = อมปลิจด
ั ู
และ x = A sin ( ω t )
เมือ x = การขจัด ณ. เวลา t ใดๆ
่
89. อนภาคหนงเคลอนทแบบ SHM ดวยชวงกวาง
ุ ่ึ ่ื ่ี
1.5 เมตร ความถี่ 50 Hz จงหาความเรว และ ็
ความเรง เมือการขจัดเปน 1 เมตร
่
วธทา
ิี ํ (351 m/s , 98696 m/s2)

X= 1 m

A=1.5 m

90. ซมเปลฮารโมนค มีชวงกวาง 8 เซนตเิ มตร และคาบ 4 วินาที จงหาความเรงหลังจากที่
ิ   ิ
อนุภาคผานจุดสมดุลไปได 0.5 วินาที (0.14 m/s2)
วธทา
ิี ํ

!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

143

แ บ บ ฝ ก หั ดฟ สิ ก ส บทที่ 4 การเคลื่ อ นที่ แ บบต า งๆ
การเคลือนทีแบบโปรเจกไทล
่ ่
1. ขวางลูกบอลจากที่สูงออกไปในแนวราบดวย
อัตราเร็ว 3 เมตร/วินาที เมอเวลาผานไป
่ื 
2 วินาที จะมีการขจัดเทาไร
1. 6 เมตร 2. 20 เมตร
3. 17.35 เมตร 4. 436 เมตร (ขอ 4)
2. จากโจทยขอที่ผานมา เมอเวลาผานไป 0.4 วินาที อตราเรวทปรากฏจะเปนกเ่ี มตร/วินาที
่ื  ั ็ ่ี 
1. 5 2. 4 3. 3 4. 2 (ขอ 1)
3. จากโจทยขอที่ผานมาอยากทราบวา เมอเวลาผานไป 0.4 วินาที ทิศทางการเคลื่อนที่จะทํา
่ื 
มมเทาไรกบแนวเดม (แนวระดับ)
ุ  ั ิ
1. tan –1 ( 3 )
5 2. tan –1 ( 5 )
3 3. tan –1 ( 4 )
3 4. tan –1 ( 4 )3 (ขอ 3)
4. ชายคนหนึ่ง ยืนบนหนาผาสูง 80 เมตร ขวางลูกบอลออกไปในแนวราบ ดวยความเรวตน  ็ 
330 เมตร/วินาที ถามวาลูกบอลไปตกไกลจากหนาผาเทาไร
1. 300 เมตร 2. 330 เมตร 3. 1320 เมตร 4. 2330 เมตร (ขอ 3)
5. ลูกระเบิดถูกปลอยออกมาจากเครื่องบิน ซงบนอยในแนวระดบดวยอตราเรว 300 เมตรตอ
่ึ ิ ู ั  ั ็
วินาที และอยูสูงจากพื้นดิน 2000 เมตร จงหาวาลูกระเบิดจะตกถึงพื้นดิน ณ ตําแหนงที่
หางจากจดทงระเบดตามแนวระดบกเ่ี มตร
 ุ ้ิ ิ ั
1. 300 2. 400 3. 600 4. 6000 (ขอ 4)
6. ชายคนหนึ่งยืนอยูบนดาดฟาตึกสูง 50 เมตร แลวปากอนหินลงไปในแนวทํามุมกม 37o
กบแนวระดบดวยความเรว 25 เมตรตอวนาที ( sin37o = 0.6 , cos37o = 0.8 )
ั ั  ็  ิ
ก. นานเทาไรกอนหนตกถงพนดน
  ิ ึ ้ื ิ (2 s)
ข. กอนหินตกหางจากตัวตึกเทาไร (40 m)
7. กําแพงหางจากปากกระบอกปน 8 เมตร โดยที่ปากกระบอกปนเอียงทํามุม 45o เมื่อกระสุน
ถูกยิงออกจากปากกระบอกปนดวยอัตราเร็ว 20 เมตร/วินาที กระสุนปนจะกระทบกําแพง
สูงจากพื้นกี่เมตร
1. 6.0 2. 6.2 3. 6.4 4. 6.6 (ขอ 3. )
144

8. ยิงกระสุนปน มวล 50 กรัม ดวยความเรวตน 100 เมตร/วินาที ทํามุม 60o กบแนวระดบ
 ็  ั ั
หลังจากนั้น 5 วินาที กระสุนตกกระทบเปาบนหนาผาเปานั้นอยูสูงจากพื้นระดับที่ยิงเทาไร
1. 228.5 เมตร 2. 308 เมตร 3. 375 เมตร 4. 433 เมตร ( ขอ 2.)
9. ตํารวจดับเพลิงตองการฉีดน้ําดับเพลิงซึ่งไหมอาคารที่มีความสูง 10 เมตร ถาความเรวตน
 ็ 
ของน้าทีออกจากเครืองฉีดน้าเทากับ 20 เมตรตอวนาที และทํามุม 60o กบแนวระดบ เขา
ํ ่ ่ ํ  ิ ั ั
จะตองยืนหางจากตัวอาคารเปนระยะทางเทาใด
1. 10 (3 − 3 ) เมตร 2. 10 ( 3 − 1) เมตร
3. 10 ( 15 − 3) เมตร 4. 10 ( 5 − 3 ) (ขอ 2)
10. ตามรูป ลูกบอลถูกขวางจากกําแพงดวยความเร็วตน
80 เมตร/วินาที กําแพงสูง 35 เมตร อยากทราบวา
นานเทาไรลูกบอลจึงจะตกถึงพื้น
1. 8.0 วินาที 2. 0.8 วินาที
3. 8.8 วินาที 4. 9.6 วินาที (ขอ 3)
11. จากขอที่ผานมา ลูกบอลจะตกหางจากจุด P ออกไปในแนวราบกีเ่ มตร
1. 704.0 2. 609.7 3. 528.0 4. 665.1 (ขอ 2)
12. ขวางวัตถุจากหนาผาสูง 40 ม. ทํามุมเงย 53o กับแนวระดับดวยความเร็ว 12.5 ม./วินาที
ก. นานเทาไรวัตถุตกถึงพื้น (4 s )
ข. วัตถุตกหางจากตีนผาเทาไร (30 m )
ค. วัตถุขึ้นไปไดสูงสุดจากพื้นเทาไร (45 m)
13. ยิงปนทํามุม 53o กบแนวระดบ ถาลกปนมอตราเรว 300 เมตรตอวนาที อยากทราบวา
ั ั  ู  ีั ็  ิ
ลูกปนตกไกลจากจุดยิงเทาไร (8640 เมตร)
14. นักทุมน้ําหนักทีมชาติไทยทุมลูกเหล็กออกไปดวยความเร็ว 20 เมตรตอวนาที จะทุมได
 ิ
ไกลที่สุดเทาไร (40 เมตร)
15(En 22) ชายคนหนงปากอนหนขนไปในอากาศตามแนวโคงกอนหนเคลอนทแบบโปรเจกไตล
่ึ  ิ ้ึ   ิ ่ื ่ี
ไปตกหางจากตําแหนงที่ยืนเปนระยะทาง 10 เมตร เขาตองปากอนหินออกไปดวยอัตราเร็ว
อยางนอยที่สุดกี่ m/s
ก. 10 2 ข. 10 / 2 ค. 2 2 ง. 10 ( ขอ ง )
145

16. ยิงวัตถุขึ้นจากพื้นดินทํามุม θ กบแนวระดบ อตราเรวตน u ถาตองการยิงวัตถุอีกกอน
ั ั ั ็ 
หนึ่งจากพื้นดินเพื่อใหไปตกไกลเทากอนแรก วัตถุกอนหลังนี้ตองมีมุมยิงเทากับแนวระดับ
และอัตราเร็วตนเทาใด
1. θ/2 และ 2u 2. 2θ และ u
3. 90o – θ และ u 4. 2θ และ u /2 (ขอ 3)

17 วิศวกรคนหนึ่งตองการตีลูกกอลฟใหขามตน
u
ไมซึ่งสูง 30 เมตร และอยูหางออกไป 40
เมตร ใหลงหลุมพอดี โดยหลุมอยูหางออกไป θ
80 เมตร ถามวาตองตีลูกกอลฟไป ณ ทิศทํา 40 m หลุม
80 m
มุมเทาใดกับแนวระดับ
1. tan–1 23 2. 45o 3
3. tan–1 4 4. 60o (ขอ 1)

18. ถาตองการยิงปนใหไดระยะทางในแนวราบเปน 3 เทา ของระยะทางในแนวดิ่ง ตองยิงปน

ทํามุมเทาไรกับแนวระดับ (53o)

การเคลอนทแบบวงกลม
่ื ่ี
19. ยิงลูกเหล็กเล็ก ๆ ใหวงไปตามขอบโลหะโคงดงรป
 ่ิ  ั ู
เมื่อลูกเหล็กหลุดออกจากขอบโลหะ ลูกเหล็กจะวิ่ง
ไปตามเสนทาง
ก. หมายเลข 1 ข. หมายเลข 2
ค. หมายเลข 3 ง. หมายเลข 4 (ขอ ค)

20. มวลผูกเชือกแลวแกวงใหเคลื่อนที่เปนวงกลมตามแนวระดับบนพื้นลื่น เมอเชอกขาดมวล
่ื ื
จะเคลื่อนที่อยางไร
ก. วงกลม ข. สวนโคงของวงกลม
ค. พาราโบลา ง. เสนตรง
 (ขอ ง)

146

21. วัตถุชนหนึงเคลือนทีเ่ ปนรูปวงกลมดวยอัตราเร็ว 20 รอบในเวลา 4 วินาที จงหา
้ิ ่ ่
ก. ความถี่ (5 Hz)
ข. คาบ ( 2 วินาที )
ค. ถารศมของการเคลอนทเ่ี ปน 2 เมตร จงหาอัตราเร็ว
 ั ี ่ื  ( 62.83 m/s )
22. จากการเคลื่อนที่แบบวงกลมของวัตถุหนึ่งพบวาชวงเวลา 2 วินาที เคลอนทได 10 รอบ
่ื ่ี
ถารัศมี การเคลื่อนที่มีคา 0.2 เมตร อตราเรวเชงเสนของวตถนจะเปนเทาไร
ั ็ ิ  ั ุ ้ี  
1. 1.26 เมตร/วินาที 2. 12.6 เมตร/วินาที
3. 6.3 เมตร/วินาที 4. 1 เมตร/วินาที ( ขอ 3. )
23. วตถเุ คลอนทเ่ี ปนวงกลมในระนาบระดบดวยอตราเรวคงท่ี ผลคือ
ั ่ื  ั  ั ็
1. ความเรงเปนศนย
  ู
2. ความเรงอยูในแนวเสนสัมผัสกับวงกลม
3. ความเรงอยูในแนวพุงออกจากจุดศูนยกลาง
4. ความเรงอยูในแนวพุงเขาหาจุดศูนยกลาง (ขอ 4)
24. จงหาความเรงสูศูนยกลางของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมรัศมี 4 เมตร ดวยอัตราเร็ว 20
เมตรตอวนาที
 ิ (100 m/s2)
25. รถไฟเหาะตีลังกามวล 2000 กิโลกรัม เคลือนทีบนราบโคงรัศมี 10 เมตร ขณะผานจุด
่ ่
สูงสุดดวยอัตรา 20 เมตรตอวนาที จะมีแรงปฏิกิริยาที่รางกระทําตอรถไฟกี่นิวตัน
 ิ
1. 40000 2. 60000 3. 80000 นิวตัน 4. 100000 (ขอ 2)
26. รถคนหนงมมวล 1000 กิโลกรัม เคลอนทขนรางโคงตลงกาอนมรศมี 10 เมตร ดวย
ั ่ึ ี ่ื ่ี ้ึ  ีั ั ีั
ความเรวคงท่ี 30 เมตรตอวนาที จงหาแรงปฏกรยาทรางกระทาตอรถตอนท่ี
็  ิ ิ ิ ิ ่ี ํ 
ก) รถอยูที่จุดลางสุดของราง (100000 N)
ข) รถอยทจดตรงกบแนวศนยกลางรางในแนวระดบ
ู ่ี ุ ั ู  ั (90000 N)
27(มช 41) ลูกบอลมวล 0.1 กิโลกรัม แขวนดวยเชือกเบา
ทํามุม 30o กับแนวดิ่งแกวงใหเปนวงกลมรัศมี 0.4 เมตร
ดวยความเร็วเชิงเสน 6 เมตร/วินาที แรงดงของเสนเชอก
ึ  ื
มีคากี่นิวตัน
1. 9 2. 36 3. 18 4. 24 (ขอ ข)
147

28. ผูกวัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ดวยเชือกเบายาว 2 เมตร แลวแกวงเปนวงกลมตามระนาบดิ่ง
ขณะถึงจุดต่าสุดมีอตราเร็ว 10 เมตรตอวนาที จงหาแรงตงเชอก ณ จดตาสด
ํ ั  ิ ึ ื ุ ํ่ ุ (30 N)

29. วัตถุมวล m ผกเชอกแลวแกวงดวยอตราเรวคงทใหระนาบอยในแนวดง ผลตางของความ
ู ื    ั ็ ่ี  ู ่ิ
ตึงเชือก ณ จุดต่าสุดและจุดสูงสุดเปนเทาไร
ํ
ก. mg ข. 2 mg ค. 3 mg ง. 4 mg (ขอ ข)

30(En 34) วัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 1.0 เมตร แกวงเปนวงกลมในแนวดิ่ง
เมอเชอกทามม 60o กบแนวดงจากตาแหนงตาสดของวถทางโคจรของวตถุ จงหาความตง
่ื ื ํ ุ ั ่ิ ํ  ํ่ ุ ิี ั ึ
ในเสนเชอก ถาขณะนันอัตราเร็วในการเคลือนทีทตาแหนงเปน 3.0 เมตร/วินาที
 ื ้ ่ ่ ่ี ํ
1. 2.0 นิวตัน 2. 6.5 นิวตัน 3. 7.0 นิวตัน 4. 8.8 นิวตัน ( ขอ 3.)

31. วัตถุมวล 1 กิโลกรัมผูกติดกับเชือกยาว 1 เมตร แกวงเปนวงกลมในระนาบดิ่ง เมอเชอก
่ื ื
ทํามุม 60o กบแนวดงจากตาแหนงตาสดของแนวการเคลอนท่ี จงหาความตึงในเสนเชือก
ั ่ิ ํ  ํ่ ุ ่ื
ถาขณะนันอัตราเร็วในการเคลือนทีทตาแหนงนันเปน 5 เมตรตอวนาที
้ ่ ่ ่ี ํ ้  ิ (30 N)

32. ปลอยวัตถุหนัก 10 นิวตัน จากตําแหนง A ใหแกวง
มายังตําแหนง B ดังรูป อยากทราบวาแรงตึงในเสน
30o 30o
เชอกเมอวตถอยทตาแหนง B มขนาดกนวตน
ื ่ื ั ุ ู ่ี ํ  ี ่ี ิ ั เชือก
1. 5.0 2. 8.7
3. 11.6 4. 20.0 (ขอ 2)
A B

33(En 44/1) แขวนมวล m ดวยเชือกยาว L แลวทําใหแกวงขณะที่เชือกทํามุม θ กับแนวดิ่งซึ่ง
วตถหยดพอดี จงหาความตึงเชือกขณะนั้น
ั ุ ุ
1. mg(1+ cosθ) 2. mg(1– cosθ)
3. mg cosθ 4. mg sinθ (ขอ 3)

34. รถคนหนงเลยวโคงบนถนนราบดวยรศมความโคง 100 เมตร สัมประสิทธิ์ของความเสียด
ั ่ึ ้ี   ั ี 
ทานระหวางลอกับถนนเปน 0.4 รถคนนจะเลยวดวยอตราเรวไดสงสดเทาไร
ั ้ี ้ี  ั ็  ู ุ  (20 m/s)

148

35. รถคนหนงเลยวโคงบนถนนราบดวยรศมความโคง 25 เมตร ถาสัมประสิทธิ์ความเสียด
ั ่ึ ้ี   ั ี 
ทานสถิตยระหวางยางรถกับถนนเปน 0.4 รถคนนนจะเลยวโคงดวยอตราเรวอยางมากท่ี
ั ้ั ้ี   ั ็ 
สุดเทาใดจึงจะไมไถล
1. 4 m/s 2. 5 m/s 3. 8 m/s 4. 10 m/s (ขอ 4)

36. รถคันหนึ่งกําลังเลี้ยวโคงดวยอัตราเร็วสูงสุด 25 เมตรตอวนาที โดยมรศมความโคง 125
 ิ ีั ี 
เมตร จงหาสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหวางถนนกับลอ ( 0.5)

37(En 27) รถยนตมีมวล 1,200 กิโลกรัม ถาวิ่งเลี้ยวโคงบนถนนซึ่งมีรัศมีความโคง 100 เมตร
ดวยอัตราเร็ว 72 กิโลเมตร/ชวโมง จะตองการแรงสูศูนยกลางขนาดเทียบเทาน้ําหนักของ
่ั
มวลกี่กิโลกรัม
ก. 200 ข. 240 ค. 480 ง. 1200 (ขอ ค)

38. รถยนตมวล 1200 kg เลี้ยวโคงบนถนนราบที่มีรัศมีความโคง 120 m และมีคาสัม-

ประสิทธิ์ความเสียดทานระหวางยางลอกับผิดถนนเทากับ 0.8 ขณะทีรถเลียวโคงดวยอัตรา
่ ้
เรว 20 m/s จงหาแรงเสียดทานในแนวตั้งฉากกับการเคลื่อนที่
็
1. 9600 N 2. 6400 N 3. 4000 N 4. 3200 N (ขอ 3)
39(มช 30) แผนเสยงแผนหนงวางอยในแนวระดบ เมอเอาเหรยญอนหนงมาวางไวหางจาก
 ี  ่ึ ู ั ่ื ี ั ่ึ  
จุดศูนยกลางของแผนเสียงเปนระยะ 11 เซนตเิ มตร ปรากฏวาเหรยญอนนจะหมนตดไปกบ
 ี ั ้ี ุ ิ ั
5
แผนเสียงไดโดยไมไถลหลุดจากโตะ ถาอัตราการหมุนของแผนนอยกวา 6 รอบตอวนาที
 ิ
จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหวางเหรียญกับแผนเสียง
1. 0.2 2. 0.3 3. 0.4 4. 0.6 ( ขอ 2.)
40(มช 32) อนภาคมวล 5.0 มิลลิกรัม เกาะติดอยูกับแผนเสียงซึ่งหมุน 0.75 รอบตอวนาที
ุ  ิ
ถาอนุภาคนี้อยูหางจากจุดศูนยกลางแผนเสียงนี้เปนระยะทาง 15 เซนตเิ มตร สัมประสิทธิ์
ความเสียดทานระหวางอนุภาคกับแผนเสียงจะเทากับ
ก. 0.17 ข. 0.34 ค. 0.51 ง. 0.68 (ขอ ข)
41(En 32) เหรยญวางอยทระยะ 20 cm จากศูนยกลางแผนเสียง ถาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน
ี ู ่ี
สถิตยระหวางเหรียญและแผนเสียงเปน 0.125 จงหาจํานวนรอบที่มากที่สุดใน 1 วินาที
ที่แผนเสียงแลวเหรียญยังคงอยูนิ่งเทียบกับแผนเสียง ( 0.4 )
149

42. วัตถุกอนหนึงวางอยูบนโตะ ซงหมนไดรอบแกนแนวดง หางจากแกนหมุน 0.5 เมตร
 ่  ่ึ ุ  ่ิ
ถาสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหวางผิววัตถุกับโตะมีคา 0.3 อยากทราบวาโตะหมุน
ไดเ รวทสดกรอบ/วินาที วตถจงยงไมกระเดนจากโตะ
็ ่ี ุ ่ี ั ุึ ั  ็  (0.39)
43. รถจกรยานยนตคนหนงกาลงเลยวดวยอตราเรว 10 3 เมตรตอวนาที โดยมรศมความโคง
ั  ั ่ึ ํ ั ้ี  ั ็  ิ ีั ี 
10 3 m คนขี่จะตองเอียงรถทํามุมกับแนวระดับเทาไร (60o)
44(En 34) รถจกรยานยนตวงดวยความเรว 108 กิโลเมตรตอชัวโมง วิ่งตามทางโคงซึ่งมีรัศมี
ั  ่ิ  ็ ่
ความโคง 100 เมตร ผวถนนอยในแนวระดบ รถจักรยานยนตจะเอียงทํามุมกับแนวดิ่งเทาใด
 ิ ู ั
จึงจะไมลม
1. θ = tan−1 0.90 2. θ = tan−1 0.75
3. θ = tan−1 0.50 4. θ = tan−1 0.45 (ขอ 1)
45. ยานอวกาศลําหนึงกําลังโคจรรอบดวงจันทรมรศมี 1.2 x 106 เมตร จงหาคาบของการ
่ ีั
โคจรของยานอวกาศลาน้ี ถาความเรง เนองจากแรงโนมถวงทบรเิ วณนนมคา 1 เทาของ
ํ ่ื   ่ี ้ั ี  8 
ความเรงทผวโลก
 ่ี ิ ( 6.16x103 s)
46(En 35) ถายานอวกาศลําหนึ่งสามารถปรับใหวิ่งวนเปนวงกลม รอบดวงจันทรทระยะรัศมี
่ี
1.8 x106 เมตร จงหาคาบของการโคจรครบรอบของยานอวกาศลํานี้ เมือความเรงเนืองจาก
่ ่
แรงโนมถวงทบรเิ วณนนของดวงจนทรมคาเปน 1 เทาของความเรงทีผวโลก
  ่ี ้ั ั  ี  6 ่ิ
1. 44 นาที 2. 57 นาที 3. 81 นาที 4. 109 นาที ( ขอ 4.)
47(En 43/2) ดาวเทยมดวงหนงโคจรรอบโลกทความสง 600 กิโลเมตร จากผิวโลกและมี
ี ่ึ ่ี ู
อตราเรงเนองจากความโนมถวงเปน 8.2 เมตรตอ(วินาที)2 จงหาอัตราเร็วของดาวเทียม
ั  ่ื   
(รัศมีของโลกคือ 6400 กิโลเมตร)
1. 5.6 m/s 2. 6.6 km/s 3. 7.6 km/s 4. 8.6 km/s ( ขอ 3. )

48. ดาวเทียมดวงหนึ่งโคจรสูงจากผิวโลก 1600 กิโลเมตร ถารัศมีของโลกมีคา 6400 กิโลเมตร
และมวลของโลกมีคา 6 x 1024 กิโลกรัม จงหาคาบของการเคลื่อนที่ของดาวเทียม
( G = 6.67x10–11 Nm2/kg2 ) (7.11x103 s)

150

49(มช 36) จงหาแรงดงดดระหวางโลกกบดวงอาทตยในหนวยนวตน
ึ ู  ั ิ   ิ ั ถาโลกมีมวล
5.98 x 10 24 kg อยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ 1.5 x 108 km และหมุนรอบดวงอาทิตย
1 รอบใชเ วลา 365 วัน
1. 6.5x1020 2. 3.6x1022 3. 7.2x1022 4. 7.2x1024 ( ขอ 2.)

อตราเรวเชงมม
ั ็ ิ ุ
50. การหมุนรอบตัวของโลกรอบละ 24 ชวโมง กําหนด รศมโลกเทากบ 6.37 x 106 เมตร
่ั ั ี  ั
จงหา ก. อัตราเร็วเชิงมุมทีผวโลก
่ิ (7.27x10–5 rad/s )
ข. อัตราเร็วของวัตถุทผวโลก
่ี ิ (463 m/s)
ค. ความเรงสูศูนยกลางที่เสนศูนยสูตร (0.034 m/s2)

51. จากรูปวัตถุมวล 0.2 กิโลกรัม ผูกปลายเชือกยาว 2 เมตร
แลวแกวงเปนวงกลมสม่ําเสมอในระนาบระดับ ถาเชือกทํา 37o
มุม 37o กับแนวดิ่งตลอดเวลา อยากทราบวาวัตถุจะเคลื่อน 2m

ทดวยอตราเรวเชงมมเทาใด
่ี  ั ็ ิ ุ  (2.5 rad/s)

52. วัตถุมวล m ผูกดวยเชือกเบายาว ! หมุนเปนวงกลม จนทา ํ
ใหเสนเชือกทํามุม θ กบแนวดง ดังรูป อัตราเร็วเชิงมุม
ั ่ิ
θ
ของวตถคอ
ั ุื !
1. gcosè 2. g
! !cosθ
3. gsinθ 4. g ( ขอ 2.) m
! !sinθ
53. จากรูป นกเรยนคนหนงทาการทดลอง เรืองแรง
ั ี ่ึ ํ ่
สูศูนยกลาง ปรากฏวามีขณะหนึ่งวัตถุอยูหางออกมา
จากแกนกลาง 0.6 เมตร และอยูต่ําลงมาจากแนวระดับ
0.2 เมตร ถามวาขณะนนวตถหมนดวยอตราเรวเทาใด
 ้ั ั ุ ุ  ั ็ 
(4.2 m/s )
151

54. จากรปนกเรยนคนหนงทาการทดลองเรองแรงสศนย
ู ั ี ่ึ ํ ่ื ู ู
กลาง ปรากฎวาขณะวัตถุอยูหางออกมาจากแกนหมุน θ
0.1 m
0.8 เมตร และอยูต่ําลงมาจากแนวระดับ 0.1 เมตร 0.8 m
อยากทราบวาขณะนนวตถมอตราเรวเทาใด (8 m/s)
 ้ั ั ุ ี ั ็ 

การเคลือนทีแบบซิมเปลฮารโมนิก
่ ่
55(En 32) วัตถุชิ้นหนึ่งติดอยูกับปลายขางหนึ่งของสปริงซึ่งยาว 2 เมตร และมีปลายขางหนึ่ง
ตรงอยกบท่ี ถาวัตถุชิ้นนี้วางอยูบนพื้นราบเกลี้ยง และกําลังเคลื่อนที่แบบซิมเปลฮารโมนิค
ึ ู ั
โดยมีความเร็วมากที่สุด 2 เมตร/วินาที และมีการขจัดจากจุดสมดุลมากที่สุด 0.5 เมตร
อัตราเร็วเชิงมุมของการเคลือนทีนเ้ี ปนกีเ่ รเดียนตอวินาที
่ ่
1. 0.12 2. 0.25 3. 1.00 4. 4.00 (ขอ 4)
56. รถทดลองติดปลายลวดสปริงเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายดวยแอมพลิจูด 15 เซนตเิ มตร
และความถี่ 4 รอบตอวนาที จงคํานวณหาความเร็วสูงสุด และความเรงสงสุดของรถทดลอง
 ิ  ู
( 3.77 m/s , 94 m/s2)
57(En 36) แขวนมวล 100 กรัม ที่ปลายหนึ่งของสปริงที่มีมวลนอยมากดึงมวลจากตําแหนง
สมดุล 10 เซนตเิ มตร แลวปลอยอัตราเร็วเชิงเสน ขณะเคลื่อนที่ผานสมดุลมีคาเทาใด
ถาคาบของการสั่นมีคา 2 วินาที
1. 0.31 m/s 2. 0.99 m/s 3. 3.14 m/s 4. 9.9 m/s ( ขอ 1.)
58. วตถหนงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย มีอัมพลิจูด 10 เซนตเิ มตร มีความถี่ 2 รอบตอ
ั ุ ่ึ ่ื ่ี  ิ  
วินาที วัตถุจะมีความเรงสูงสุดเทาใด (15.68 m/s2)
59. แขวนมวล m กับสปริงแลวปลอยใหสั่นขึ้นลงวัดคาบ
ได 2π วินาที ถาเอามวล m ออกสปริงจะสั้นกวาตอน
ทแขวนมวล m กเ่ี มตร (กําหนดให g = 10 m/s2)
่ี
ก. 0.4 ข. 0.3
ค. 0.2 ง. 10 ( ขอ ง.)

152

60(En 42/1) แขวนมวลอันหนึ่งติดกับสปริงแลวปลอยใหสั่นขึ้นลงโดยมีคาบการเคลื่อนที่ 1
วินาที ถาวัตถุอยูนิ่งแลวปลดมวลออกสปริงจะหดสั้นกวาตอนที่แขวนมวลเทาใด
1. π 2
4g 2. 4 π 2
g 3. 4g 4. g 2 (ขอ 4)
π2 4π
61(En 43/1) แขวนมวล 50 กรัม ที่ปลายลางของสปริงซึ่งแขวนในแนวดิ่งโดยที่ปลายบนถูก
ยึดไว ถาดึงมวลลงเล็กนอยเพื่อใหสปริงสั่นขึ้นลง วดเวลาในการสนครบ 10 รอบ ไดเ ปน
ั ่ั 
5 วินาที หากเปลี่ยนมวลที่แขวนเปน 200 กรัม จะวัดคาบการสั่นไดเทาใด
1. 0.5 s 2. 1.0 s 3. 2.0 s 4. 4.0 s ( ขอ 2.)

62(มช 39) ลูกตุมแขวนดวยเชือกยาว 100 เซนตเิ มตร เมอจบลกตมใหเ บนออกมาจากตาแหนง
่ื ั ู ุ ํ 
สมดุลเปนระยะ 5 เซนตเิ มตร แลวปลอยใหแกวงอยางอิสระความเร็ว สูงสุดในการแกวงจะ
มีคาเทากับกี่ cm/s
1. 0.16 2. 1.58 3. 15.8 4. 158 (ขอ 3)

63. ความเร็วสูงสุดของวัตถุที่กําลังแกวงแบบซิมเปลฮารมอนิกดวยคาบของการแกวง 0.2
วินาที และแอมพลิจูด (amplitude) 2 เซนตเิ มตร จะมีคาเทากับ
1. 5π เซนตเิ มตร/วินาที 2. 10π เซนตเิ มตร/วินาที
3. 20π เซนตเิ มตร/วินาที 4. ไมสามารถหาคาไดจากขอมูลที่ใหมา (ขอ 3)
64. ลูกตุมนาฬิกาอันหนึ่งแกวง 100 รอบในเวลา 200 วินาที ความเรงสูงสุดในการเคลื่อนที่
ของลูกตุมเปน π 2 เมตรตอวนาท2 การกระจดสงสดในการแกวงนเ้ี ปนกเ่ี ซนตเิ มตร
20  ิ ี ั ู ุ  
1. 2.5 2. 5.0 3. 10.0 4. 20 (ขอ 2)

65. ลูกตุมแขวนดวยเชือกยาว 2 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 2.5 วินาที ถาลูกตุมแขวนดวย
เชอกยาว 8 เมตร จะแกวงดวยคาบเทาไร
ื (5 s)

!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

153

เฉลยแบบฝ ก หั ดฟ สิ ก ส บทที่ 4 การเคลื่ อ นที่ แ บบต า งๆ (บางข อ )
8. ตอบ ขอ 2.

วธทา คิดแกน y
ิี ํ
uy = 50 3 , a = –10 , t = 5 , Sy = ?
จาก Sy = u t + 1 a t2
2
Sy = 50 3 (5) + 1 (–10) (5)2
2
Sy = 308 เมตร
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

14. ตอบ 40 เมตร
วธทา ขวางไปไดไกลสุด แสดงวา θ = 45o
ิี ํ
จาก Sx = u2 2sing cos?
?
2 o o θ
Sx = 2u (2sin45 cos45 )
10
Sx = 40 เมตร
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

18. ตอบ 53o
วธทา
ิี ํ สมมติ Sy = A
จะไดวา Sx = 3A
Sy 1
จาก Sx = 4 tanθ Sy
A 1 θ
3A = 4 tanθ
4 = tanθ
3
θ = 53 o
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

154

27. ตอบ ขอ 3.

วธทา จาก Fเขา = Fออก
ิี ํ 
T sin30o = mv 2
R
2
T( 1 ) = 0.1(6 )
2 0.4
T = 18
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

29. ตอบขอ ข. mv2
R
วธทา จากรูปจะไดวา
ิี ํ
ที่จุดลางสุด Tลาง = mv 2 + mg  #
R T T mg
ที่จุดบนสุด Tบน+ mg = mv 2 R
Tบน = R mv 2 – mg $
ดังนั้น Tลาง– Tบน = mv 2 + mg) – ( mv 2 – mg)
R R mv2
mg
R
Tลาง– Tบน = 2 mg
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

30. ตอบ ขอ 3.

ิี ํ 
T = mv 2 + mg cos 60o
R
2
T = 0.5(3) + 0.5(10)(0.5)
1
T = 7 นิวตัน
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

155

32. ตอบ ขอ 2
วธทา ขอนตองตความวาทจด B นันความเร็ว (v)
ิ ี ํ  ้ี  ี  ่ี ุ ้
เปนศูนย เพราะแกวงไปถึงปลายสุดตองหยุดนิ่ง 30o T
จากรูปจะไดวา mv 2
30o R
T = mgcos30o + mv 2
R mgcos30o
2
T = 10( 23 ) + m(0)
R mg
T = 10( 23 )
T = 8.7 นิวตัน
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

33. ตอบ ขอ 3.

ิี ํ 
T = mv 2 + mg cosθ
R
θ
T = mg cosθ

!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

37. ตอบ ขอ ค

วธทา จาก FC = mv 2
ิี ํ 5
R เมือ V = 72 km = 72 x 18 = 20 m
่ hr s
2
FC = 1200(20)
100
FC = 4800 นิวตัน
FC = 480 กิโลกรัม
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

156

39. ตอบ ขอ 2.

วธทา มวลหมุนเปนวงกลมติดไปกับแผนเสียงได เพราะแรงเสียดทานระหวางมวลกับแผน
ิี ํ
เสียงทําหนาที่เปนแรงเขาสูศูนยกลาง
จาก Fเขา = Fออก

µmg = mv 2 r และ V = 2 π r f
2
µmg = m(2π rf) r
µg = 4π 2 rr 2 f 2
µg = 4 π2 r f2
10µ = 4 π2 (0.11)( 6 )2 5
µ = 0.3
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

41. ตอบ 0.4 Hz
วธทา มวลหมุนเปนวงกลมติดไปกับแผนเสียงได เพราะ
ิี ํ
แรงเสียดทานระหวางมวลกับแผนเสียงทําหนาที่เปนแรงเขาสูศูนยกลาง

µmg = mv 2 r และ V = 2 π r f
2
µmg = m(2π rf) r
µg = 4π 2 rr 2 f 2
µg = 4 π2 r f2
10(0.125) = 4 ( 22 )2 (0.2) f2
7
f = 0.4
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

157

45. ตอบ 6.16 x103 วินาที
วิธีที จากรูปจะไดวา mv 2
R
mv 2 = mg
R
v2 = Rg mg
v = Rg
v = 1.2x10 6 x ( 1 x 10)
8
v = 1224.74 เมตร/วินาที
ตอไปจาก v = 2πR
T
2( 22 )(1.2x1106 )
T = 2πR = 7 1224.74
v = 6.16 x 103 วินาที
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

47. ตอบ ขอ 3.

วธทา จากรูปจะไดวา รัศมีวงโคจร = 6400 + 600 km = 7000 km = 7000 x 103 m
ิี ํ

mg = mv 2
R
gR = v2
v = gR
v = 8.2 x 7000 x 10 3
v = 7580 m/s
v = 7.58 km/s
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

158

48. ตอบ 7.11x103 วินาที
วธทา จากรูปจะไดวา
ิี ํ mv 2
Gmm e R
mv 2 = Gmm e R2
R R2
Gmm
v2 = R e
Gm e
v =
R
v= 6.67x10 - 11 x 6 x 10 24 = 7072.8 เมตร/วินาที
800 x 10 3
ตอไป จาก = v = 2πR
T
22 3
T= v2πR = 2 x ( 7 ) x 8000 x 10 = 7.11x103 วินาที
7072.8
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

49. ตอบ ขอ 2.

ิี ํ 
FG = mv 2
r และ V = 2π r T
FG = m [2 π r ]2
r T T = 365 วัน
FG = m 4π 2 r 2
r T2 = 365 x 24 ชวโมง x 3600 วินาที
่ั
= (5.98 x 1024 )4(10)(1.5 x 1011) r = 1.5x108 km
(365 x 24 x 3600)2 = 1.5 x 108 x 103 m
FG = 3.6 x 1022
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

52. ตอบขอ 2
วธทา จากรูปจะเห็นวา
ิี ํ θ
h ! !sinè
h = !sinθ θ
ดงนนจาก ω =
ั ้ั g
h
ω = g
!sinθ
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

159

61. ตอบ ขอ 2.

วธทา พิจารณาชวงแรก จาก f = จํานวนรอบ = 10 = 2 Hz
ิี ํ เวลา 5
และจาก T = 1 = 1 = 0.5 วินาที
f 2
จาก T = 2π mk
ตอน 1 0.5 = 2π 50 k ม
กรั →#

ตอน 2 T = 2π 200kกรม ั →$
50 กรัม
เอา #÷$ จะได T0.5 = 2π k
2π 200 kกรัม
0.5 = 50
T 200
1 = T
!!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!""

160

P04

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to P04

More from วิทวัฒน์ สีลาด

P04