สรุปเนื้อหาฟิสิกส์ 1 [ครูแดง Physics Plus Astronomy]

ฟิสิกส์ สรุปเนื้อหา (เล่ม 1) .….ครูแดง
อภิรัก อภิวงค์งาม ; ศษ.บ.(วิทยาศาสตร์-ฟิสิกส์) มช. , วท.ม.(ฟิสิกส์ประยุกต์) มช. , กาลังศึกษา Ph.D.(Applied Physics) มช.
1
อภิรัก อภิวงค์งาม (ครูแดง) DinDaeng Apiwong-ngarm 086-1913004 ,
ศษ.บ.(วิทยาศาสตร์-ฟิสิกส์) มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ 088-4443879
วท.ม.(ฟิสิกส์ประยุกต์) มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ครู คศ.2 ชานาญการ
กาลังศึกษาปริญญาเอก สาขา ฟิสิกส์ประยุกต์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ;2557
ฟิสิกส์ สรุปเนื้อหา
(เล่ม 1)
ครูแดง
Facebook Page : ครูแดง Physics Plus Astronomy

2
บทนา
1. หน่วยฐาน ซึ่งนับเป็นหน่วยฐาน / หลัก ของหน่วยทั้งหลาย มีอยู่ 7 หน่วย ดังนี้.....
ปริมาณฐาน ชื่อหน่วย สัญลักษณ์
1. ความยาว
2. มวล
3. เวลา
4. กระแสไฟฟ้ า
5. อุณหภูมิทางเทอร์โมไดนามิกส์ (อุณหพลศาสตร์)
6. ปริมาณของสาร
7. ความเข้มของการส่องสว่าง
เมตร
กิโลกรัม
วินาที
แอมแปร์
เคลวิน
โมล
แคนเดลา
m
kg
s
A
K
mol
cd
2. หน่วยอนุพันธ์ เป็นหน่วยที่สร้างจากหน่วยฐาน ซึ่งมีหน่วยฐานหลายหน่วยเกี่ยวข้องสัมพันธ์กัน
อาจมีชื่อ และสัญลักษณ์ที่กาหนดขึ้นโดยเฉพาะ ตัวอย่างเช่น.....
ปริมาณอนุพันธ์ หน่วยที่สร้างขึ้น ชื่อหน่วยเฉพาะ สัญลักษณ์เฉพาะ
1. อัตราเร็ว (speed)
2. แรง (force)
3. ความดัน (pressure)
4. พลังงาน , งาน
(energy , work)
m/s
kg.m/s2
kg/m.s2
= N/m2
kg.m2
/s2
= N.m
--
นิวตัน
พาสคัล
จูล
--
N
Pa
J
ฟิสิกส์ (Physics) เป็นแขนงหนึ่งของวิทยาศาสตร์กายภาพ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับปรากฏการณ์
ธรรมชาติทั้งหลาย และมุ่งเน้นที่จะหากฎเกณฑ์พื้นฐานต่าง ๆ เพื่อมาอธิบายปรากฏการณ์ทาง
ธรรมชาติเหล่านั้น
( ไม่ได้เน้นการนาความรู้ไปประยุกต์ใช้ )
 ความรู้ที่จัดว่าเป็นพื้นฐานของวิชาฟิสิกส์ ได้แก่ กลศาสตร์ ความร้อน แสง เสียง ไฟฟ้ า
แม่เหล็ก ฟิสิกส์อะตอม และฟิสิกส์นิวเคลียร์
 ฟิสิกส์ ถือเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ทั้งปวงและเป็น หัวใจ ของการพัฒนาเทคโนโลยี
 องค์กรระหว่างชาติเพื่อการมาตรฐาน I S O ได้กาหนดระบบหน่วยมาตรฐาน ที่เรียกว่า ระบบ
หน่วยระหว่างชาติ (International System of Units) ที่เรียกว่า หน่วยเอสไอ เพื่อให้ทุก
ประเทศใช้เป็นมาตรฐาน (หน่วยฐาน + หน่วยอนุพันธ์ + หน่วยเสริม)

3
นอกจากนี้ระบบหน่วย SI ยังได้กาหนด คานาหน้าหน่วย หรือ คาอุปสรรค ไว้ดังนี้....เช่น
คาอุปสรรค สัญลักษณ์ ค่าพหุคูณ
1. พิโก (pico-)
2. นาโน (nano-)
3. ไมโคร (micro-)
4. มิลลิ (milli-)
5. เซนติ (centi-)
6. เดซิ (deci-)
7. กิโล (kilo-)
8. เมกะ (mega-)
9. จิกะ (giga-)
p
n
µ
m
c
d
k
M
G
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
103
106
109
 นอกจากนี้ยังมี อังสตรอม ใช้สัญลักษณ์
o
A ค่าพหุคูณ เท่ากับ 10-10
เมตร
 หลักการเปลี่ยนหน่วย
เช่น.....ความยาว 4.9 นาโนเมตร มีค่าเท่าไรในหน่วย กิโลเมตร
….มาจากนาโน ไปเป็น กิโล 3
9
10
109.4 

= 39
109.4 
 = 12
109.4 
 km
และ
และ เปลี่ยน ตารางเซนติเมตร (cm2
) ไปเป็น ตารางเมตร ( m2
)
เช่น 5 cm2
= 5 x c2
. m2
= 5 x (10- 2
)2
m2
เมื่อ c = 10- 2
= 5 x 10- 4
m2
และ เปลี่ยน ลูกบาศก์เซนติเมตร (cm3
) ไปเป็น ลูกบาศก์เมตร ( m3
)
เช่น 5 cm3
= 5 x c3
. m3
= 5 x (10- 2
)3
m3
เมื่อ c = 10- 2
= 5 x 10- 6
m3
ให้ใช้หลักการที่ว่า “ มาจากไหนเอาไปคูณ จะไปไหนเอาไปหาร ”
 ทาหน่วย km/h ไปเป็น m/s ให้เอา 18
5 ไปคูณ**
 ทา m/s ไปเป็น km/h ให้เอา 18
5 ไปหาร ............(คูณด้วย 5
18 )

4
1. (มช.40) จุดมุ่งหมายหลักของวิชาฟิสิกส์อยู่ที่
ก. ศึกษาหาความรู้เกี่ยวกับ กลศาสตร์ ความร้อน คลื่น แสง เสียง แม่เหล็ก ไฟฟ้ า และ
ปรากฏการณ์ธรรมชาติอื่น ๆ เพื่อให้รู้และเข้าใจธรรมชาติให้มากที่สุด
ข. ศึกษาเกี่ยวกับปรากฏการณ์ต่าง ๆของธรรมชาติ เพื่อเป็นพื้นฐานของการศึกษาในสาขาวิชาอื่น
ๆ เช่น เคมี คณิตศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์
ค. การศึกษาวิชาพื้นฐานเพื่อให้เกิดความเข้าใจในปรากฏการณ์ธรรมชาติ และเป็นพื้นฐานนาไปสู่
การพัฒนาทางด้านเทคโนโลยี
ง. การสังเกต บันทึกผล และการสร้างแบบจาลองทางความคิด เพื่อศึกษาเละอธิบาย
ปรากฏการณ์
ทุกรูปแบบ
2. (มช.42) ข้อใด ไม่ใช่ หน่วยฐานของระบบหน่วยระหว่างชาติ (เอสไอ) ทั้งหมด
ก. วินาที โวลต์ แอมแปร์ ค. นิวตัน คูลอมบ์ จูล
ข. แคนเดลา ลูเมน เฮนรี่ ง. โอห์ม โมล ซีเมนส์
3. แสงเลเซอร์ชนิด ฮีเลียม – นีออนให้แสงสีแดงความยาวคลื่น 632.8 นาโนเมตร หรือเท่ากับ
ก. 6.328 x 10-3
มิลลิเมตร ค. 6.328 x 10- 8
เมตร
ข. 6.328 x 10-5
เซนติเมตร ง. 6.328 x 10- 12
กิโลเมตร

5
 ความละเอียดของเครื่องมือ / การวัด
ความละเอียดของเครื่องมือ / สเกล = 1
0 1 2 ความละเอียดของการวัด / อ่านค่า = 0.1
ความละเอียดของเครื่องมือ / สเกล = 0.1
0 1 2 ความละเอียดของการวัด / อ่านค่า = 0.01
** เวลาอ่านจะมีการประมาณด้วยสายตา เพิ่มอีก 1 ตาแหน่ง (ถึงแม้จะเป็นศูนย์ ก็ตาม)
 เลขนัยสาคัญ (Significant Figure)
คือ ตัวเลขที่มีความหมาย มีความสาคัญในปริมาณที่แสดงออกมา ซึ่งก็คือ ตัวเลขที่ได้จากการ
วัดด้วยเครื่องมือทั้งหมด (ค่าที่อ่านจากสเกลโดยตรง + ค่าที่ต้องประมาณด้วยตาอีก 1 ตาแหน่ง
 หลักในการพิจารณาเลขนัยสาคัญ
1. จานวนเต็ม (ไม่มีทศนิยม) ทุกตัว ไม่สามารถบอกเลขนัยสาคัญได้ (ก็เลยนับทุกตัวซะเลย)
2. เลขศูนย์ ที่อยู่หน้าจานวนทั้งหมด ไม่เป็นเลขนัยสาคัญ เช่น 005 , 0.005
3. เลขศูนย์ ที่อยู่หลังจานวน เป็นเลขนัยสาคัญ เช่น 5.00 , 55.50
4. เลขศูนย์ ที่อยู่กลางจานวน เป็นเลขนัยสาคัญ เช่น 50.05 , 501.005
5. ถ้าเขียนจานวนในรูป A x 10B
, A  A , A  % ให้นับเฉพาะ A เท่านั้น
 หลักในการคานวณเลขนัยสาคัญ
1. (กรณี บวก , ลบ ) ให้ตอบถึง จานวนทศนิยม ของจานวนที่มีทศนิยมน้อยที่สุด เช่น.
12.074 + 7.1 = 19.174 (ตอบ 19.2 ------ ทศนิยม 1 ตาแหน่ง)
12.345 + 1.23 = 13.575 (ตอบ 13.58 ----- ทศนิยม 2 ตาแหน่ง)
2. (กรณี คูณ , หาร กัน) ให้ตอบถึง จานวนเลขนัยสาคัญ ของจานวนที่มีเลขนัยสาคัญน้อยที่สุด
เช่น1.2345 x 22.0 = 27.15900 (ตอบ 27.2 ------เลขนัยสาคัญ 3 ตัว)
47.0  6.0 = 7.83๐
(ตอบ 7.8 ------- เลขนัยสาคัญ 2 ตัว)
...ให้ปัดเลขด้วย
...ให้ปัดเลขด้วย

6
4. (มช.53) นักเรียนคนหนึ่งวัดความยาวของซองจดหมายซองหนึ่ง ด้วยไม้บรรทัดที่มีค่าเต็มสเกลเท่ากับ
30 เซนติเมตร และมีสเกลละเอียดที่สุดเท่ากับ 0.1 เซนติเมตร ข้อใดแสดงการบันทึกค่าที่ถูกต้องใน
หน่วยเซนติเมตร
ก. 12.3 ข. 12.35 ค. 12.352 ง. 12.4
5. (PAT.53) นางสาวแพนเค้กใช้ไม้บรรทัดวัดขนาดของกล่องใบหนึ่ง แสดงดังรูป นางสาวแพนเค้กควร
บันทึกความยาวที่เห็นเป็นเท่าใด ในหน่วย มิลลิเมตร
ก. 2.5 ค. 25
ข. 2.50 ง. 25.0
6. นายแดงวัดเส้นผ่าศูนย์กลางของเหรียญอันหนึ่งได้เท่ากับ 2.542 cm นักเรียนคิดว่านายแดงใช้
เครื่องมือชนิดไหนวัดเหรียญอันนี้
ก. ไม้บันทัด ข. ตลับเมตร ค. เวอร์เนียร์ ง. ไมโครมิเตอร์
7. ผลรวมของ 1.234 + 12.34 + 123.4 มีค่าเท่าใด
ก. 136.0 ข. 137.0 ค. 136.974 ง. 136.97
8. ชายคนหนึ่งขับเรือได้ระยะทาง 88.00 กิโลเมตร ในเวลา 3.50 ชั่วโมง เขาขับเรือด้วยอัตราเร็วเท่าใด
ก. 25.1 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ค. 25.143 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ข. 25.14 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ง. 25.1429 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

7
ตัวเลขที่มีความคลาดเคลื่อน
เพื่อให้การวัดปริมาณต่าง ๆ ให้มีความถูกต้องและแม่นยามากขึ้น ต้องทาการวัดหลาย ๆครั้ง
โดยที่ ค่าเฉลี่ยของข้อมูล ( X ) จะมีค่าใกล้เคียงค่าจริงมากที่สุด
และเขียนอยู่ในรูป XX  เช่น มวล 25.5  0.4 กิโลกรัม
นั่นคือ มวลมีค่าอยู่ในช่วง 25.1 ถึง 25.9 กิโลกรัม
ความคลาดเคลื่อน คิดเป็น % ดังนี้ % คลาดเคลื่อน = 100




 
X
X
โดยที่
** ซึ่งเป็นไปตามหลักทาง สถิติ ผลที่ถูกต้องเกือบ 68 % จะอยู่ในช่วง XX  **
 การคานวณปริมาณที่มีความคลาดเคลื่อน
1. กรณีที่ผลลัพธ์เกิดจากการ (บวก , ลบ)
ให้นาความคลาดเคลื่อนของแต่ละข้อมูลมา บวก กันเลย เช่น……
R = 2A + B R = 2A + B
R = 0.5B - 3D R = 0.5B + 3D
2. กรณีที่ผลลัพธ์มาจากการ (คูณ , หาร)
ให้หาเป็น %คลาดเคลื่อนก่อน (แล้วค่อยทาเป็นความคลาดเคลื่อนทีหลัง) เช่น…..
2
.3 BAR  1002100100 




 





 





 
B
B
A
A
R
R
 BAR %2%% 
(จะไม่คิดค่าคงที่ แต่จะคิดเลขยกกาลัง โดยดึงเลขยกกาลังมาเป็นตัวคูณข้างหน้า)
 หมายเหตุ การคิดความคลาดเคลื่อนแบบนี้อาจไม่ถูกต้องตามหลักทางสถิติ แต่ก็ใช้ได้
 
 1
.
22



 
nn
XXn
DS ii
=  
1
2


n
XXi
n
DS
X
..

เป็นบวก เสมอไม่มีลบ

8
9. สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความยาวแต่ละด้านเป็น 12.5 0.1 , 16.2 0.1 , 22.3 0.1 เซนติเมตร
ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยมนี้จะมีค่าเท่าไร
ก. 51.0 0.3 cm ข. 51.0 0.1 cm ค. 51 0.3 cm ง. 51 0.1 cm
10. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านแต่ละด้านยาว 31.2  % เซนติเมตร พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้มีค่ากี่ตาราง
เซนติเมตร
ก. 341.4  % ข. 641.4  % ค. 34.4  % ง. 64.4  %
 กราฟสมการเส้นตรง cmxy 
โดยที่ m คือ ความชันของกราฟ (slope) ……….ดังตัวอย่าง
c คือ จุดตัดบนแกน y
โดยที่
3
1
15
5
1025
510



slope
1. ถ้า slope มีค่าเป็น บวก แสดงว่า กราฟชันขึ้น
2. ถ้า slope มีค่าเป็น ลบ แสดงว่า กราฟชันลง
11. (PAT.53) นักเรียนคนหนึ่งเขียนกราฟระหว่าง คาบยกกาลังสองกับความยาว ความชันของกราฟ
สอดคล้องกับข้อใด
ก. s2
m ข. cm/ms ค. (m/s)2
m-1
ง. (ms)2
(mm)-1
x
y
xx
yy
slope






12
12

9
A

= 4 หน่วย
B

= 3 หน่วย
C

= 5 หน่วย
D

= 3 หน่วย
A

B

C


R

R

ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity)
เป็นปริมาณที่บอกทั้ง ขนาด(magnitude) และทิศทาง(direction)
เช่น แรง น้าหนัก การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม เป็นต้น
ปริมาณเวกเตอร์จะเขียนแทนด้วย ลูกศร และนิยมเขียนสัญลักษณ์แทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษ เช่น
 ความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์ ทิศที่หัวลูกศรชี้ไปแทนทิศทางของเวกเตอร์
เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์เดิม แต่มีทิศตรงกันข้าม จะเขียนเครื่องหมายลบ (- ) ข้างหน้า
การหาเวกเตอร์ลัพธ์
 โดยการสร้างรูป โดยมีหลักการดังนี้
1. นาหางของเวกเตอร์ที่สองมาต่อกับหัวเวกเตอร์แรก (Trail to Head) ต่อกันไปเรื่อย ๆ จนหมด
2. เวกเตอร์ลัพธ์ คือ เวกเตอร์ที่ลากจากหางของเวกเตอร์แรกไปยังหัวของเวกเตอร์สุดท้าย
ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์.....ให้วัดเอาเองเด้อ!!
เช่น CBAR


เวกเตอร์ลัพธ์ คือ
 หางต่อแล้ว กลับมากินหางตัวเอง เวกเตอร์ลัพธ์ เท่ากับ ศูนย์

10
C

A

B
D

E

F

12. ถ้าเวกเตอร์ทั้ง 4 เวกเตอร์ กระทาต่อกันในระนาบเดียวกันดังแสดงในภาพ ถามว่าเวกเตอร์ที่ 5
จะต้องมีขนาดและทิศทางดังข้อใด จึงจะทาให้เวกเตอร์ลัพธ์ของทั้ง 5 เวกเตอร์เป็นศูนย์
ก. ค.
ข. ง.
13. กาหนดเวกเตอร์ดังรูป ข้อใดถูกต้อง
ก. DFBE


ข. CFEA


ค. EBFD


ง. DCAB


 โดยการคานวณ
- หากเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน พิจารณา R

= A

+ B

 จะเห็นว่า ขนาด และ ทิศทาง ของเวกเตอร์ลัพธ์ ( R

) ก็คือ แนวของเส้นทแยงมุม ที่เกิดจาก
เวกเตอร์องค์ประกอบทั้งสอง ในแนวแกน x-y มาประกอบกันขึ้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมนั่นเอง
หาขนาดของ R
จาก ทบ.ของพิธากอรัส จะได้ว่า
222
BAR 
จะได้
22
BAR 
หาทิศทางของ R
จากวิธี ตรีโกณมิติ จะได้ว่า
A
B
tan

11
R

2R

 x
y
xR

yR

P
Q
60๐
5
10
- หากเวกเตอร์ทั้งสองไม่ตั้งฉากกัน พิจารณา R

= P

+ Q

(P

ทามุม  กับ Q

)
ใช้สูตร
การแยกเวกเตอร์ หรือ แตกเวกเตอร์
** ใช้เทคนิค ( ปิด cos , เปิด sin )
14. เมื่อแรงสองแรงทามุมกันค่าต่าง ๆ ผลรวมของแรงมีค่าต่าสุด 2 นิวตัน และมีค่าสูงสุด 14 นิวตัน
ผลรวมของแรงทั้งสองเมื่อกระทาตั้งฉากกันจะมีค่าเท่าใด
ก. 12 N ข. 10 N ค. 5 2 N ง. 8 N
15. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ ของ 2 เวกเตอร์ ที่กระทากันดังรูป
cos2222
PQQPR 
cosRRx  sinRRy 

12
Homework
1. โซลาร์เซลล์ตัวหนึ่งมีพื้นที่รับแสงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 2.5 มิลลิเมตร ยาว 3.0 มิลลิเมตร
อยากทราบว่าพื้นที่รับแสงนี้มีค่ากี่ตารางเมตร (7.5 x 10- 6
m2
)
2. (มช.43) วัดความยาวของดินสอแท่งหนึ่งได้ 16.35 0.04 เซนติเมตร เครื่องมือที่ใช้วัด มีความ
ละเอียดของสเกลเป็น กี่เซนติเมตร ( 0.1 cm)
3. (มช.45) จากรูป ความยาวของแท่งดินสอมีค่าเท่ากับกี่เซนติเมตร
ก. 9.4 ข. 9.375 ค. 9.36 ง. 9.3
4. จากความสัมพันธ์ 2
2
1
mvEk  เมื่อ 02.000.2 m kg 05.050.2 v m/s จงหาค่า
ผิดพลาด และเปอร์เซ็นต์ผิดพลาดของ Ek (0.19 , 3%)
5. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านแต่ละด้านยาว 25.2  % เซนติเมตร พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้มีค่ากี่
ตารางเซนติเมตร ( 42.6  % )
6. (มช.51) ในการทดลองโมเมนต์ของความเฉื่อย รอบแกนหมุนที่ตั้งฉาก และผ่านศูนย์กลางมวลของจาน
กลม จาก 2
2
1
MRI  ทาการทดลองในเชิงสถิติ โดยการวัดหลายๆครั้ง ได้ 20400 M กรัม
รัศมี 6.00.12 R ซม. ให้หาค่า II  ในหน่วย กิโลกรัม.เมตร2
จากการทดลองนี้
ก.   3
1015.088.2 
 ข.   3
1026.088.2 

ค.   3
101.09.2 
 ง.   3
102.09.2 

7. เวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ ถ้ากระทาต่อกันเป็นมุมฉาก เวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาด 10 หน่วย ถ้ากระทา
ในทิศทางตรงกันข้ามเวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาด 2 หน่วย จงหาขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง
8. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ ของ 2 เวกเตอร์ ที่กระทากันดังรูป (10)

13
s s
t t
2
การเคลื่อนที่ใน 1-2 มิติ
- การเคลื่อนที่ใน 1 มิติ นั้น เป็นการเคลื่อนที่ที่อยู่บนเส้นตรง
- ส่วนการเคลื่อนที่ใน 2 มิติ นั้น เป็นการเคลื่อนที่ที่อยู่บนระนาบเดียวเท่านั้น
ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง
ระยะทาง (distance) ; s คือ เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ วัดตามทางเดินจริงของวัตถุ จาก
ตาแหน่งเริ่มต้นจนถึงตาแหน่งสุดท้าย มีหน่วยเป็น m (ปริมาณสเกลาร์)
การกระจัด หรือ การขจัด (displacement) ; s

คือ ระยะที่วัดตรงจากตาแหน่งเริ่มต้นจนถึง
ตาแหน่งสุดท้ายของวัตถุ สาหรับการเคลื่อนที่หนึ่ง ๆ มีหน่วยเป็น m (ปริมาณเวกเตอร์)
อัตราเร็ว (speed) ; v คือ อัตราส่วนของระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ กับ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่
หรือ ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ในหนึ่งหน่วยเวลา (ปริมาณสเกลาร์)
ความเร็ว (velocity) ; v

อัตราส่วนของการกระจัดที่เคลื่อนที่ได้ กับ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่
หรือ การกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ในหนึ่งหน่วยเวลา (ปริมาณเวกเตอร์)
อัตราเร็ว = ระยะทาง (m) ความเร็ว = การกระจัด (m)
เวลา (s) เวลา (s)
** เขียนสมการทั่วไปเป็น .........* หรือ vts 
อัตราเร็ว และ ความเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร / วินาที (m/s)
 และ ความเร็ว สามารถหาได้จาก ความชัน(slope) ของกราฟระหว่าง s กับ t
v = slope 1
นั่นคือ เส้น 1 มีความเร็วมากกว่า เส้นที่ 2
t
s
v 

14
**ในภาษาทั่วไปคาว่า อัตราเร็ว และ ความเร็ว อาจจะไม่แตกต่างกัน อาจใช้สลับกันไปมาได้
แต่สาหรับ ในวิชาฟิสิกส์ ควรใช้ให้ถูกตามความหมายดังกล่าว
ตัวอย่างเช่น การเดินทางจาก A B C ได้ทาง ดังรูป
ถ้าการเดินทางครั้งนี้ใช้เวลาทั้งหมด 5 วินาที
ระยะทางทั้งหมด คือ 8 + 6 = 14 m
แต่ การกระจัด คือ 10 m ( พิธากอรัส)
ดังนั้น อัตราเร็ว(เฉลี่ย) = 8.2
5
14
 m/s
แต่ ความเร็วลัพธ์ = 0.2
5
10
 m/s
1. เรือแล่นไปทางทิศเหนือเป็นระยะทาง 30 กิโลเมตร ในเวลา 40 นาที หลังจากนั้นก็แล่นไปทางทิศ
ตะวันออกอีก 30 กิโลเมตร ในเวลา 20 นาที อัตราเร็วเฉลี่ยของเรือลานี้คือ
ก. 230 กม./ชม. ค. 60.0 กม./ชม.
ข. 545 กม./ชม. ง. 67.5 กม./ชม.
การกระจัด เท่ากับ …………………………………
ความเร็วเฉลี่ย เท่ากับ ………………………………
2. วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที ได้ทาง 100 เมตร จากนั้นเพิ่มความเร็ว
เป็น 10 เมตร/วินาที ได้ทาง 50 เมตร จงหาความเร็วเฉลี่ยของวัตถุก้อนนี้ ( 6 m/s)

15
3. ระยะทางระหว่างสถานีขนส่งเชียงรายถึงสถานีขนส่งเชียงใหม่ประมาณ 180 กิโลเมตร Mr. David
โดยสารด้วยรถประจาทางออกจากสถานีขนส่งเชียงรายเวลา 9 : 45 นาฬิกา ถ้าคนขับขับด้วย
อัตราเร็วเฉลี่ย 80 กิโลเมตร/ชั่วโมง Mr. David ต้องนัดเพื่อนให้มารับที่สถานีขนส่งเชียงใหม่ประมาณ
กี่โมง
ก. 12 : 00 น. ข. 12 : 10 น. ค. 14 : 00 น. ง. 14 : 25 น.
4. (มช.40) เครื่องบินลาหนึ่งบินจากสนามบินเชียงรายมาที่สนามบินเชียงใหม่ใช้เวลา 40 นาที แล้วบิน
จากสนามบินเชียงใหม่ไปสนามบินแม่ฮ่องสอนใช้เวลา 35 นาที ถ้าสนามบินเชียงรายอยู่ทางทิศ
ตะวันออกเฉียงเหนือของสนามบินเชียงใหม่เป็นระยะทางตรง 150 กิโลเมตร และสนามบิน
แม่ฮ่องสอนอยู่ทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือของสนามบินเชียงใหม่เป็นระยะทางตรง 120 กิโลเมตร จง
หาว่า ถ้าเครื่องบินนี้บินตรงจากสนามบินเชียงรายไปยังสนามบินแม่ฮ่องสอน โดยใช้เวลาบินเท่าเดิม
จะต้องบินด้วยอัตราเร็วกี่ กิโลเมตร/ชั่วโมง
ก. 153.60 ข. 215.35 ค. 216.00 ง. 430.70

16
5. จากกราฟระยะทางกับเวลา ดังรูป จงหาตาแหน่งของกราฟเมื่อความเร็วมีค่าสูงสุด
ก. ตรงจุด B ค. อยู่ระหว่างจุด A กับจุด B
ข. ตรงจุด C ง. อยู่ระหว่างจุด B กับจุด C
การหาระยะทางจากพื้นที่ใต้กราฟระหว่าง v กับ t
เนื่องจาก vts  = พื้นที่ใต้กราฟ (ผลคูณระหว่าง แกน x และแกน y)
และ: ความชัน ของกราฟ v กับ t คือ ความเร็ว
หา ระยะทาง คิดพื้นที่ทั้งหมด (นามาบวกกันหมด)
หา การกระจัด คิดพื้นที่ด้านบน – พื้นที่ด้านล่าง
6. ในการวิ่งมาราธอน 5000 เมตร ถ้านาย ก วิ่งด้วยความเร็วดังแสดงในกราฟข้างล่าง เขาจะถึงเส้นชัย
ในเวลากี่ นาที
ก. 2.5 ค. 3.3
ข. 2.8 ง. 3.8

17
v
t
3
ระยะทาง ความเร่ง
เวลา เวลา
1
4
2
A
D
C
B
ความเร่ง (acceleration) ; a

คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุ หรือ ความเร็วของวัตถุที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา
t
v
tt
vv
a






12
12
มีหน่วยเป็น m/s2
** อาจหาได้จาก slope ของกราฟ v กับ t
ถ้าเราให้วัตถุมี ความเร็วเริ่มต้น ที่เวลา t1 = 0 เป็น u และเมื่อเวลาผ่านไป t วินาที
วัตถุมีความเร็วสุดท้ายหรือความเร็วปลาย เป็น v
จะได้
0


t
uv
a

หรือ …….(1)
และวัตถุจะมี ความเร็วเฉลี่ย เท่ากับ
2
uv
vav

 จาก S = v t
จะได้ t
uv
S .
2





 
 ……..(2)
 ความเร่งของวัตถุ สามารถหาได้จาก ความชัน ของกราฟ ระหว่าง v กับ t
 ความเร่งที่ติดลบ (-a) เรียกว่า ความหน่วง
7. กราฟความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางที่เคลื่อนที่กับเวลา และกราฟระหว่างความเร่งกับเวลา
คาตอบข้อใดที่แสดงความสอดคล้องที่ถูกต้องของการเคลื่อนที่ของวัตถุหนึ่ง
ก. 1 และ C ข. 2 และ B ค. 3 และ A ง. 4 และ D
atuv 

18
สูตรการเคลื่อนที่ใน 1 – 2 มิติ (กรณีที่มีความเร่งคงที่)
จาก …....(1) จะได้ว่า
a
uv
t


จากนั้นแทน t ในสมการ (2) S = t
uv
.
2





 
……(2) คือ 




 





 

a
uvuv
s
2
a
uv
2
22


ดังนั้นก็จะได้สมการ asuv 222
 …….(3)
และแทนสมการ (1) ในสมการที่ (3) คือ   t
uatu
s 


 

2
t
atu





 

2
2
ดังนั้นก็จะได้สมการ 2
2
1
atuts  ……(4)
8. ถ้าเครื่องบินต้องใช้เวลาในการเร่งเครื่อง 20 วินาที จากหยุดนิ่ง และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 400 เมตร
ก่อนที่จะขึ้นจากรันเวย์ได้ จงหาอัตราเร็วของเครื่องบินขณะขึ้นจากรันเวย์ว่าเท่ากับกี่เมตร/วินาที
(40 เมตร/วินาที)
9. รถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็วคงที่ 10 m/s ขณะที่อยู่ห่างจากสิ่งกีดขวางเป็นระยะทาง 35 m
คนขับตัดสินใจห้ามล้อรถ โดยเสียเวลา 1.0 วินาที ก่อนที่ห้ามล้อจะทางาน เมื่อห้ามล้อทางานแล้ว รถ
จะต้องมีความหน่วงเท่าใด จึงจะทาให้รถหยุดพอดีเมื่อถึงสิ่งกีดขวางนั้น
ก. 1.0 m/s2
ข. 1.5 m/s2
ค. 2.0 m/s2
ง. 3.0 m/s2
atuv 

19
เวลา
(s)
10. วัตถุก้อนหนึ่ง ไถลลงมาจากพื้นเอียงจากหยุดนิ่ง ด้วยความเร่งคงที่ และเคลื่อนที่ได้ 9 m ในเวลา 3
วินาที เมื่อมาถึงพื้นล่าง วัตถุมีความเร็วเป็น 24 m/s จงหาว่าสาหรับการเคลื่อนที่ลงพื้นเอียงนี้วัตถุ
ใช้เวลาทั้งหมดกี่วินาที (12 วินาที)
การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง (ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก)
วัตถุที่ตกอย่างอิสระ จากที่สูง จะมีความเร็วเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ดังกราฟ
แสดงว่า วัตถุมีความเร่ง และค่า ความเร่ง สามารถหาได้จาก slope ของกราฟ
ซึ่งมีค่าเท่ากับ 9.8 m/s2
หรือประมาณ 10 m/s2
เรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของโลก (g)
ดังนั้น สูตรต่าง ๆ ที่ใช้ในการคานวณ จะเปลี่ยน a เป็น g ดังนี้
gtuv  gsuv 222

2
2
1
gtuts 
( ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้น ค่า g จะมีค่าเป็น ลบ (-g ) เนื่องจากเป็นความหน่วง)
ตามหากาลิเลโอ
v
t

20
11. (PAT.53) ถ้าเราปล่อยก้อนหิน A ให้ตกแบบเสรี ส่วนก้อนหิน B ถูกโยนขึ้นในแนวดิ่ง ด้วยความเร็วต้น
ค่าหนึ่ง หลังจากที่ก้อนหินทั้งสองเคลื่อนที่ออกจากมือไปแล้ว จงเปรียบเทียบความเร่งของก้อนหินทั้ง
สองนี้(โดยไม่คิดผลของแรงต้านอากาศ)
ก. ก้อนหินทั้งสองมีความเร่งเท่ากัน
ข. ก้อนหิน A มีขนาดความเร่งมากกว่าก้อนหิน B
ค. ก้อนหิน B มีขนาดความเร่งมากกว่าก้อนหิน A
ง. ก้อนหินทั้งสองมีขนาดความเร่งเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม
12. ชายคนหนึ่งโยนเหรียญขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 10 m/s เป็นเวลานานเท่าใดเหรียญจึงจะตก
ลงมาถึงตาแหน่งเริ่มต้น
ก. 1 s ข. 2 s ค. 3 s ง. 4 s
13. (En.42) ลูกบอลตกจากจุด A ซึ่งสูง h จากพื้น เมื่อผ่านจุด B ซึ่งสูง 4
h จากพื้น จะมีอัตราเร็ว
เท่าใด
ก. (gh/2)1/2
m/s ข. (gh)1/2
m/s ค. (3gh/2)1/2
m/s ง. (2gh)1/2
m/s
14. จุกคอร์กกระเด็นหลุดจากปากขวดขึ้นในแนวดิ่ง กระทบหลอดไฟซึ่งอยู่สูงขึ้นไป 4 เมตร จากปากขวดใน
เวลา 0.4 วินาที จงหาอัตราเร็วของจุกคอร์กขณะกระทบหลอดไฟในหน่วยเมตร/วินาที
ก. 7 ข. 8 ค. 12 ง. 16

21
ในกรณี ที่โยนวัตถุขึ้นไป แล้ววัตถุตกลงมาต่ากว่าตาแหน่งเดิม
15. (มช.41) เด็กคนหนึ่งโยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่ง ด้วยอัตราเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ก้อนหินตกถึงพื้น
ซึ่งอยู่ต่ากว่าตาแหน่งมือที่กาลังโยนเป็นระยะทาง 15 เมตร จงหาว่าก้อนหินเคลื่อนที่อยู่ในอากาศเป็น
เวลานาน กี่วินาที (3 วินาที)
16. บอลลูนลูกหนึ่งกาลังลอยขึ้นด้วยความเร็วคงที่ 5 เมตร/วินาที เมื่อลอยไปถึงระยะหนึ่งก็ทิ้งก้อนหินลง
มา พบว่าก้อนหินตกถึงพื้นดินในเวลา 10 วินาที ขณะที่ทิ้งก้อนหินนั้นบอลลูนอยู่สูงจากพื้นดินเท่าไร
ใช้สูตร
S ติดลบ เนื่องจาก มีทิศทางลงสู่พื้น
2
2
1
gtuts 

22
3 6 9 12
30
20
10
เวลา (s)
อัตราเร็ว (m/s)
17. สมมติว่ากราฟนี้แสดงความสัมพันธ์ของอัตราเร็วและเวลาในการเคลื่อนที่ของจรวดเครื่องหนึ่ง ซึ่งตก
กลับมายังโลกหลังจากเชื้อเพลิงหมด ระยะเวลานับจากจรวดขึ้นจากพื้นดินจนตกกลับถึงผิวโลกเป็น
เวลาทั้งหมดกี่วินาที
ก. 9.0 s ค. 14.0 s
ข. 11.2 s ง. 14.2 s
เชื่อเพลิงหมดที่เวลา………………
ขึ้นไปถึงจุดสูงสุดที่เวลา…………….
จรวดขึ้นไปสูงได้กี่เมตร…………………..
หลังจากเชื้อเพลิง ขึ้นไปได้อีกกี่เมตร…………..
18. (มช.44) ชายคนหนึ่งโยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วต้น 12.0 เมตร/วินาที ขณะที่ก้อนหิน
ก้อนแรกขึ้นไปจนถึงจุดสูงสุด ก็โยนก้อนหินก้อนที่สองขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วต้นเท่ากับก้อนแรก
จงหาว่าก้อนหินทั้งสองจะชนกัน ณ ตาแหน่งซึ่งสูงจากตาแหน่งที่โยนกี่เมตร (5.4 เมตร)

23
Homework
1. นาย ก เดินทางจาก A ไป B ใช้เวลา 18 วินาที จากนั้นเดินต่อไปยัง C ดังรูป ใช้เวลาอีก 12
วินาที จงหาขนาดของความเร็วเฉลี่ยของนาย ก ตลอดการเดินทางนี้ ( 0.75 m/s )
2. วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่เป็นดังกราฟ จงหาอัตราเร็วเฉลี่ย และ ความเร็วเฉลี่ย ของการเคลื่อนที่ 100 วินาที
( 60 m/s , 20 m/s)
3. (PAT.53) วัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งตามกราฟ โดยเริ่มต้นเคลื่อนที่จาก ความเร็วต้น 20
เมตร/วินาที ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนได้ในช่วงเวลา 4 วินาที เป็น กี่เมตร
ก. 47 ข. 69 ค. 92 ง. 94
4. รถยนต์แล่นด้วยความเร็ว 72 km/h หากห้ามล้อให้เกิดความหน่วง 2 m/s2
ใช้เวลานานเท่าใดรถ
จึงจะหยุด (10 วินาที)

24
5. รถยนต์คันหนึ่ง วิ่งตามหลังรถมอเตอร์ไซค์ด้วยอัตราเร็วคงตัว 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ต่อมารถยนต์คัน
นี้ได้แซงรถมอเตอร์ไซค์ด้วยอัตราเร่ง 2 เมตร/วินาที 2
โดยใช้เวลาในการแซงทั้งหมด 10 วินาที จงหา
ว่ารถยนต์เคลื่อนที่เป็นระยะทางกี่เมตรในการแซงมอเตอร์ไซค์ครั้งนี้ (200 m)
6. ชายผู้หนึ่งขับรถเข้าหาสัญญาณไฟจราจรที่สี่แยกแห่งหนึ่ง ขณะที่รถยนต์มีความเร็ว 30 เมตร/วินาที
สัญญาณไฟเปลี่ยนจากสีเขียวเป็นสีเหลือง หากชายผู้นี้ใช้เวลา 1.0 วินาที ก่อนจะเหยียบเบรก และ
หากอัตราหน่วงสูงสุดของเบรกเป็น 5.0 เมตร/วินาที 2
จงหาระยะน้อยที่สุดที่รถยนต์อยู่ห่างจาก
สัญญาณไฟ ซึ่งรถจะหยุดได้ทันพอดี (120 m)
7. เทิดศักดิ์ขับรถจากเชียงใหม่ไปลาปาง ซึ่งอยู่ห่างกัน 100 กิโลเมตร ถ้าแบ่งการขับรถดังนี้ตอนแรกออก
รถด้วยอัตราเร่งค่าหนึ่งจนได้ความเร็วสูงสุด 50 เมตร/วินาที จึงขับต่อไป ด้วยความเร็วคงที่ระดับนี้ก่อน
ถึงลาปางลดความเร็วด้วยอัตราเดียวกับเมื่อเริ่มต้น เมื่อรถหยุดสนิทก็ถึงลาปางพอดี ถ้าเวลาที่ใช้
ทั้งหมดเท่ากับ 1 ชั่วโมง อยากทราบว่าในช่วงที่ขับรถด้วยความเร็วคงที่นั้นเป็นระยะเวลากี่วินาที
( 600 วินาที )
8. จุด A กับจุด B อยู่ห่างกัน 75 เมตร ถ้าให้รถยนต์แล่นจากจุด A ไปจุด B จะต้องใช้เวลาเท่าใด
โดยที่เริ่มต้นแล่นจาก A ด้วยความเร่งคงที่ 1 เมตร/วินาที 2
ได้ระยะหนึ่งก็เบรกรถยนต์ด้วย
ความหน่วงคงที่ 2 เมตร/วินาที2
ให้รถยนต์หยุดนิ่งที่จุด B พอดี
ก. 12.5 s ข. 15.0 s ค. 17.5 s ง. 20.0 s
9. รถไฟ 2 ขบวน วิ่งเข้าหากันในรางเดียวกัน ขบวนที่ 1 วิ่งด้วยความเร็ว 10 m/s ขบวนที่ 2 วิ่งด้วย
ความเร็ว 20 m/s เมื่ออยู่ห่างกัน 325 m รถไฟทั้งสองขบวนต่างก็เบรกและหยุดพร้อมกัน โดยอยู่ห่าง
กัน 25 m จงหาเวลาที่รถไฟทั้งสองใช้ในช่วงการเบรกนี้(20 วินาที)
10. โยนก้อนหินขึ้นไปตามแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 19.6 m/s กินเวลานานเท่าใดก้อนหินจึงจะตกถึงพื้น
(ใช้ g = 9.8 m/s2
) ( 4 วินาที )
11. (มช.46) เด็กคนหนึ่งโยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่ง ก้อนหินตกลงมาถึงพื้นซึ่งอยู่ต่ากว่าตาแหน่งที่มือกาลัง
โยนเป็นระยะทาง 100 เซนติเมตร ก้อนหินอยู่ในอากาศเป็นเวลา 2 วินาที จงหาว่าเด็กคนนี้จะต้อง
โยนก้อนหินขึ้นไปด้วยอัตราเร็วกี่เมตร/วินาที (9.5 m/s)

25
12. โยนก้อนหินก้อนหนึ่งจากหน้าผาสูง 16 เมตร ด้วยความเร็วต้น 16 เมตร/วินาที เป็นเวลานานเท่าใด
นับตั้งแต่เริ่มโยน จนหินตกกระทบตีนผา... และหินกระทบตีนผาด้วยความเร็วเท่าใด
(4 วินาที และ 24 m/s)
13. ลิฟต์เริ่มเคลื่อนที่ขึ้นจากก้นบ่อถ่านหินด้วยอัตราเร่งคงที่ เมื่อขึ้นมาได้ 5 วินาที คนในลิฟต์ก็ปล่อยก้อน
ถ่านหินออกจากลิฟต์ไปก้อนหนึ่ง ปรากฏว่าตกถึงก้นบ่อภายในเวลา 4 วินาที จงหาว่าขณะปล่อยก้อน
ถ่านหินจากลิฟต์นั้น เขาอยู่สูงจากก้นบ่อกี่เมตร (30.77 เมตร)
14. ปล่อยก้อนหินก้อนหนึ่งให้ตกดิ่งลงมา พบว่าก้อนหินผ่านยอดมะม่วงจนตกสู่พื้นใช้เวลา 1 วินาที ถ้า
ต้นมะม่วงสูง 25 เมตร จุดที่ปล่อยก้อนหินอยู่สูงจากพื้นดินกี่เมตร (45 m)
15. จุดบั้งไฟขึ้นไปในอากาศด้วยความเร่งคงตัว 8 เมตร/วินาที2
ในแนวดิ่ง ขึ้นไปได้ 10 วินาที เชื้อเพลิง
หมด บั้งไฟจะขึ้นได้สูงจากพื้นกี่เมตร (720 m)
16. ก้อนหิน A มวล 5 กิโลกรัม ถูกขว้างขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 20 m.s-1
ขณะที่ก้อนหิน A อยู่
ตาแหน่งสูงสุดก็โยนก้อนหิน B มวล 7 กิโลกรัม ตามขึ้นไปด้วยความเร็วต้นเท่ากัน ก้อนหิน A และ
B จะชนกันที่ตาแหน่งสูงจากพื้นดินเท่าใด (15 เมตร)
17. หินก้อนหนึ่งตกจากที่สูง 100 เมตร ในขณะเดียวกันชายคนหนึ่งก็โยนก้อนหินจากพื้นขึ้นไปในแนวดิ่ง
ด้วยความเร็วต้น 40 m/s ใช้เวลานานกี่วินาทีนับจากขว้าง ก้อนหินทั้งสองจึงจะเริ่มสวนทางกัน
(2.5 วินาที)
18. ก้อนหิน 2 ก้อน ก้อน A ตกจากหน้าผาก่อนก้อนหิน B เป็นเวลานาน 2 วินาที ถ้าก้อนหิน B ถูก
ขว้างลงมาในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 30 m/s ปรากฏว่าทั้งสองก้อนตกกระทบพื้นพร้อมกัน จงหา
ความสูงของหน้าผา (80 m)
19. น้าหยดลงอย่างสม่าเสมอจากก๊อกน้าซึ่งสูงจากพื้น 20 เมตร ในขณะที่น้าหยดแรกกระทบพื้น น้า
หยดที่ 4 กาลังเริ่มตกลงมา จงหาระยะห่างระหว่างหยดที่ 2 และ หยดที่ 3 (7 m)

26
นิ่ง (ไม่ขยับ)
มีความเร็วคงที่ (ความเร่ง a

= 0 )
แรง F

มีหน่วย (kg.m/s2
)
ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า นิวตัน (N)
แรง มวลและกฎการเคลื่อนที่ (ของนิวตัน)
แรง (Force) ; F

เป็นปริมาณที่มีทั้ง ขนาด (Magnitude) และ ทิศทาง (Direction)
(ปริมาณเวกเตอร์) การรวมแรงหลาย ๆ แรงให้เป็นแรงเดียว (แรงลัพธ์) จึงต้องรวมแบบ
เวกเตอร์ (เวกเตอร์ลัพธ์) เช่นกัน
กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (Newton ’s Law of Motion)
 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน (Newton’s First Law)
‚ วัตถุจะคงสภาพอยู่นิ่ง หรือสภาพเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนวตรง นอกจากจะมี
แรงลัพธ์ ซึ่ง มีค่าไม่เป็นศูนย์มากระทาต่อวัตถุนั้น ‛
ซึ่งสามารถเรียกอีกชื่อว่า “ กฎความเฉื่อย ” (Law of Inertia)
จะได้
 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน (Newton’s Second Law)
‚ เมื่อมีแรงลัพธ์ที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์ มากระทาต่อวัตถุ จะทาให้วัตถุเกิดความเร่งในทิศ
เดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระทา และขนาดของความเร่ง จะแปรผันตรงกับแรงลัพธ์ และ
จะแปรผกผัน กับมวลของวัตถุ ”
เมื่อรวมจะได้ว่า
m
F
a


 หรือ amF

 จากคณิตศาสตร์ akmF


โดยที่ k เป็นค่าคงที่ของการแปรผัน ในระบบ SI มีค่าเท่ากับ 1
(โดยแรง 1 นิวตัน เป็นแรงที่ทาให้วัตถุมวล 1 กิโลกรัม เกิดความเร่ง 1 เมตร/วินาที 2
)
จะได้
 นั่นคือ แรง ทาให้ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนไป (เกิดความเร่ง)
 ซึ่งในบทนี้จาเป็นต้องรู้จักแรง 5 แรง ต่อไปนี้ คือ F , f , mg , N , T
  0F

  amF


27
เรียกรวมว่า แรงคู่กิริยา-ปฏิกิริยา
(Action-Reaction Force)
มวล (Mass) ; m ของวัตถุ เป็นเนื้อสารของวัตถุ และ เป็นสมบัติทางความเฉื่อย ที่ต้านการเปลี่ยน
สภาพการเคลื่อนที่ โดยจะพยายามรักษาสภาพเดิมของมันไว้ ( มวลมาก ความเฉื่อยมาก )
 มวล (m) เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg) *
 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน (Newton’s Third Law)
‚ ทุกแรงกิริยา (Action Force) จะต้องมีแรงปฏิกิริยา (Reaction Force) ที่มีขนาดเท่ากัน
และทิศตรงกันข้ามเสมอ”
จะได้
 เป็นแรงที่เกิดขึ้นพร้อมกัน กระทาบนวัตถุคนละชนิด (these forces act on different bodies)
เพราะฉะนั้นจะ ไม่หักล้างกัน
 เกิดขึ้นเสมอไม่ว่าวัตถุจะสัมผัสกัน หรือไม่สัมผัสกันก็ได้ เช่น แรงดึงดูดระหว่างมวลของวัตถุ
แรงระหว่างประจุ เป็นต้น…
 ถ้าเป็นแรงปฏิกิริยาที่ผิวสัมผัสกระทาต่อวัตถุ (normal force) ;N

จะมีทิศ ตั้งฉาก กับพื้นผิว
สัมผัสเสมอ ดังรูป
แรงคู่กิริยา – ปฏิกิริยา เช่น.......
เราออกแรงผลักกาแพง – กาแพงผลักมือเรา
BAAB FF



28
Nf 
แรงเสียดทาน
แรงเสียดทาน (frictional force) ; เป็นแรงต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ เกิดเมื่อผิวของวัตถุเสียดสี
ไปกับผิววัตถุอีกอันหนึ่ง มีทิศตรงข้ามกับทิศของการเคลื่อนที่ ในแนวขนานกับผิวสัมผัสของวัตถุ
 ซึ่งแรงเสียดทานอาจเกิดขึ้นได้ถึงแม้จะไม่มีการเคลื่อนที่ก็ตาม
จากการศึกษาพบว่า แรงเสียดทาน f มีค่าขึ้นกับ
1. แรงปฏิกิริยาที่พื้นผิวกระทากับวัตถุ (N)
2. ลักษณะ + ชนิด ของผิวสัมผัสของวัตถุคู่หนึ่ง ๆ
นั่นคือ Nf  จะได้
เมื่อ  = constant เรียกว่า สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน (Coefficient of Friction)
(ขึ้นกับลักษณะ + ชนิดของผิวสัมผัส...  ; อ่านว่า มิว )
แรงเสียดทานมี 2 ชนิด คือ
1.แรงเสียดทานสถิต คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้น (ช่วงที่วัตถุยังไม่ขยับ)
จะได้ว่า Nf ss  s คือ ส.ป.ส ความเสียดทานสถิต
2. แรงเสียดทานจลน์ คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้น (ช่วงที่วัตถุเคลื่อนที่)
จะได้ว่า Nf kk  k คือ ส.ป.ส ความเสียดทานจลน์
 ค่า  มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 นั่นคือ 10   ; 0 คือ ไร้แรงเสียดทาน
 สาหรับผิวสัมผัสคู่หนึ่ง ๆ ks   เสมอ
 การลดแรงเสียดทาน เช่น ใช้สารหล่อลื่น การใช้ตลับลูกปืนในงานต่าง ๆ
 การเพิ่มแรงเสียดทาน เช่น พื้นรองเท้า หล่อดอกยางรถ แผ่นเบรก แผ่นครัช

29
มีหน่วยเป็น นิวตัน (N)
เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศพุ่ง
เข้าสู่ศูนย์กลางของโลก
 น้าหนัก (Weight) ; W

ของวัตถุ
วัตถุจะตกลงมาด้วยความเร่งที่คงตัว ( g

) จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน วัตถุที่มีความเร่ง จะต้อง
มีแรงมากระทากับวัตถุในทิศของความเร่งนั้น(ซึ่งก็คือ แรงดึงดูดของโลกกับวัตถุ; GF

นั่นเอง)
 เราเรียกแรงนี้ว่า น้าหนักของวัตถุ…..จากกฎข้อที่ 2 amF

 gmFG


จะได้
1. ปริมาณใดในทางฟิสิกส์ ที่บอกให้เราทราบว่า วัตถุใดมีความเฉื่อยมากน้อยเพียงใด
ก. แรง ข. น้าหนัก ค. ความเร่ง ง. มวล
2. (มช.46) กล่องไม้มวล 4 กิโลกรัม วางอยู่นิ่ง ๆ บนโต๊ะผิวเกลี้ยง ถ้าต้องการให้กล้องไม้นี้เคลื่อนที่ไป
บนโต๊ะ จนกระทั่งมีความเร็ว 10 เมตร/วินาที ภายในเวลา 2 วินาที จงหาว่าแรงลัพธ์ที่กระทาต่อ
กล่องไม้นี้จะมีขนาดกี่นิวตัน (20 นิวตัน)
3. (Pat.53) แรงขนาดหนึ่ง เมื่อกระทาต่อวัตถุซึ่งมีมวล m1 ทาให้วัตถุมีความเร่ง 8 m/s2
เมื่อแรงขนาด
เดียวกันนี้กระทาต่อวัตถุมวล m2 ทาให้ m2 เคลื่อนที่จากหยุดนิ่ง ได้ 48 m ในเวลา 2 วินาที อัตราส่วน
ระหว่าง m2 ต่อ m1 คือ
ก. 1 : 1 ข. 1 : 2 ค. 1 : 3 ง. 1 : 4
gmW



30
4. แท่งไม้ 2 อัน A และ B มีน้าหนัก 2 กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ผูกติดกับด้วยเส้นเชือกเบา ถูกลาก
ด้วยแรง F ไปบนพื้นไม้ที่อยู่ในแนวระดับซึ่งมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตเป็น 0.7 และ
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์เป็น 0.4 จงหาขนาดของแรง F ที่ทาให้แท่งไม้ทั้งสองเคลื่อนที่ไปบน
พื้นด้วยความเร็วคงที่ กาหนดให้ g มีค่า 10 เมตร/วินาที 2
ก. 24 นิวตัน ค. 2.4 นิวตัน
ข. 42 นิวตัน ง. 4.2 นิวตัน
5. (PAT.53) ชาย 2 คน ต้องการขนย้ายวัตถุขนาดใหญ่ จากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง โดยชายคนแรกออกแรงดึง
32 นิวตัน ทามุม 60o
กับแนวระดับ ส่วนชายคนที่สองออกแรงผลัก 20 นิวตัน อีกด้านหนึ่งของวัตถุใน
แนวระดับ โดยพื้นมีแรงเสียดทานกระทาต่อวัตถุขนาด 5 นิวตัน และวัตถุมีความเร่ง 0.5 เมตรต่อวินาที2
มวลของวัตถุก้อนนี้มีค่ากี่กิโลกรัม
6. (มช.52) กล่องมวล m วางนิ่งอยู่บนพื้นเอียงที่ทามุม  กับแนวระนาบ ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน
สถิตระหว่างกล่องกับพื้น มีค่าเท่าใด
ก.  sinmgs  ข.  tans ค.  sinmgs  ง.  tans

31
7. จากรูปวัตถุมวล 2 และ 3 kg แขวนไว้ด้วยเชือกแล้วคล้องผ่านรอกลื่น ถ้ามวลเชือกและรอกมีค่าน้อย
มาก จงหาความเร่งของระบบ และแรงดึงในเส้นเชือกทั้งสอง ( 2 m/s2
, 24 N)
8. จากรูป วัตถุมวล M ถูกผูกติดกับวัตถุมวล 2 กิโลกรัม ด้วยเชือกเส้นล่าง ขณะที่วัตถุทั้งสองถูกดึงขึ้น
จากเชือกเส้นบนด้วยความเร่ง a เมตร/วินาที2
ขนาดแรงตึงของเชือกเส้นล่าง (T) มีค่า 28 นิวตัน ถ้า
ในขณะนั้นขนาดของแรงตึงของเชือกเส้นบน (P) มีค่า 98 นิวตัน M มีค่าเท่าใด (5 kg)
9. (PAT.53) กล่อง ก และ ข มีน้าหนัก 40 นิตัน และ 20 นิวตัน ตามลาดับ กล่อง ค ต้องมีน้าหนักอย่าง
น้อยที่สุดกี่นิวตัน จึงจะไม่ทาให้กล่อง ก ไถล ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างพื้นโต๊ะกับ
กล่อง ก เป็น 0.2
ก. 20 ค. 60
ข. 40 ง. 80

32
mg
N
การเคลื่อนที่ของลิฟต์
(เมื่อลิฟต์มีความเร่ง a m/s2
)
เคลื่อนที่ขึ้น mamgN 
 เคลื่อนที่ลง maNmg 
( เมื่อ N คือ แรงปฏิกิริยาที่พื้นกระทากับเท้า )
หนักปกติ ตัวหนัก ตัวเบา ไร้น้าหนัก
10. หญิงคนหนึ่งหนัก 490 นิวตัน ยืนบนเครื่องชั่งในลิฟต์ที่เคลื่อนที่ลงด้วยอัตราเร่ง 12 เมตร/วินาที 2
ตัว
เลขที่ปรากฏบนเครื่องชั่งจะมีค่ากี่นิวตัน
ก. 1090 ข. 600 ค. 380 ง. 0
11. ชายคนหนึ่งมีมวล 50 กิโลกรัม ยืนอยู่ในลิฟต์ที่กาลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่ง 1.2 m/s2
ดังนั้นแรงที่
พื้นลิฟต์กระทาต่อชายผู้นี้คือ
ก. 60 N ข. 440 N ค. 500 N ง. 560 N

33
m2
R
GF

GF


(วัดจากจุดศูนย์กลาง
มวล)
m1
กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน( Law of Gravitational Force )
อาจจะเรียกอีกอย่างว่า แรงโน้มถ่วง ; GF

และเรียกบริเวณที่
แรงโน้มถ่วงสามารถส่งแรงกระทาไป ถึงว่า สนามโน้มถ่วง
กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน กล่าวว่า
นั่นคือ GF

 2
21
R
mm
จากคณิตศาสตร์จะได้ว่า.....
มวล m1 และมวล m2 ต่างก็ดึงดูด
ซึ่งกันและกันด้วยแรงขนาด GF

ซึ่งเป็น เมื่อ G คือค่าคงที่ของการแปรผัน
แรงคู่กิริยา-ปฏิกิริยา (Action-Reaction) เรียกว่า ค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากล
ซึ่งกันและกัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (มีค่า 6.67259 x 10-11
N.m2
/kg2
12. (มช.32) โลกและดาวเคราะห์ดวงหนึ่ง ถูกดึงดูดเข้าหากัน ด้วยแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน ถ้าดาว
เคราะห์หนักกว่าโลก 100 เท่า ดาวเคราะห์ดวงนี้จะออกแรงดึงดูดโลกเป็นกี่เท่าของแรงที่โลกดึงดูด
ดาวเคราะห์
ก. 980 เท่า ข. 100 เท่า ค. 10 เท่า ง. 1 เท่า
 วัตถุทั้งหลายในเอกภพจะออกแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน โดยขนาดของแรงดึงดูดระหว่างวัตถุ
คู่หนึ่ง ๆ จะแปรผันตรงกับผลคูณระหว่างมวลวัตถุทั้งสอง และจะแปรผกผันกับกาลังสอง
ของระยะทางระหว่างวัตถุทั้งสองนั้น
2
21
R
mm
GFG 


34
2
R
GM
g 
m
ก. 5.3 ค. 16
ข. 10 ง. 20
ค่า g ของโลก และดาวเคราะห์ต่างๆ
เราทราบว่า น้าหนักของวัตถุที่อยู่บนผิวโลก ก็คือ แรงดึงดูดของโลกกับวัตถุนั่นเอง
จาก GFmg

 นั่นคือ 2
R
GMm
mg 
 จะได้ว่า *****( 1 )
 ค่า g บางทีเรียกว่า ความโน้มถ่วง (Gravity).......มีหน่วยเป็น N / kg
 ถ้าคิดให้ละเอียดจริง ๆ ค่า g ในแต่ละท้องที่บนโลกแตกต่างกันเพียงเล็กน้อย ขึ้นอยู่กับ
ตาแหน่ง latitude,สภาพสูงต่าของภูมิประเทศ,การหมุนของโลกก็มีส่วน
 ค่า g มาตรฐาน มีค่า 9.8065 m/s2
 10 m/s2
(ที่ผิวโลก และ ใกล้ ๆผิวโลก)
 ถ้าเป็นค่า g ของดาวเคราะห์ดวงอื่น ๆ หรือ การหามวลของดาวเคราะห์ต่าง ๆ ก็สามารถ
ประยุกต์ใช้ได้ จากสูตรข้างต้น เช่นกัน
 น้าหนักของวัตถุ บนดาวดวงอื่นๆ ก็คือแรงดึงดูดของดาวดวงนั้นกับวัตถุนั่นแหละ
ซึ่งน้าหนักจะมากหรือน้อย ก็ขึ้นอยู่กับค่า g ของดาวนั้น ๆ
13. (PAT.53) โยนลูกบอลขึ้นไปในแนวดิ่งบนดาวเคราะห์ดวงหนึ่ง พบว่าความสัมพันธ์ระหว่างความสูงลูก
บอลในแนวดิ่งจากพื้น กับเวลา เป็นดังรูป ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของดาวดวงนี้มีค่ากี่ m/s2
R
M

35
 2
hR
GM
gh


m
14. (มช.53) วัตถุมวล 50 มีแรงดึงดูดของโลกกระทา 500 นิวตัน ถ้านาวัตถุนี้ไปไว้บนดาวเคราะห์ที่มีรัศมี
เป็นครึ่งหนึ่งของโลก และมีมวลเป็น 10
1 ของมวลโลก วัตถุดังกล่าวจะมีมวล และน้าหนักเท่าใด
ก. มวล 50 kg น้าหนัก 50 N ค. มวล 50 kg น้าหนัก 200 N
ข. มวล 50 kg น้าหนัก 100 N ง. มวล 10 kg น้าหนัก 500 N
ค่า g ที่ระดับความสูงเป็นระยะ h จากผิวโลก
h จาก
 2
hR
GMm
FG



ในทานองเดียวกันกับข้างต้น
 จะได้ว่า ***** ( 2 )
 
 1
2
2








hR
R
g
gh
หรือ
 ค่า g ที่ระดับความสูงต่าง ๆ จากผิวโลกจะลดลงเรื่อย ๆ (น้าหนักลดลงด้วย)
 สภาพที่ค่า g  0 เรียกว่า สภาพไร้น้าหนัก (Weightlessness)
15. (มช.52) เมื่ออุกกาบาตอยู่ห่างจากจากผิวโลกเป็น 3 เท่า ของรัศมีโลก ค่าความเร่งของอุกกาบาต
เนื่องมาจากแรงโน้มถ่วงของโลกเป็นกี่เท่าของค่า g
ก.
3
g
ข.
2
g
ค.
9
g
ง.
16
g
R
M
g
hR
R
gh
2









36
Homework
1. แรง 20 นิวตัน กระทาต่อวัตถุก้อนหนึ่ง ให้เคลื่อนที่จากหยุดนิ่งเป็นระยะทาง 40 เมตร ในเวลา 10
วินาที จงหามวลของวัตถุก้อนนี้ (25 กิโลกรัม)
2. วัตถุก้อนหนึ่งมีมวล 4 กิโลกรัม วางบนพื้นที่มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต 0.3 และสัมประสิทธิ์
ความเสียดทานจลน์ 0.2 ถูกกระทาด้วยแรงในแนวราบ จงหาว่าจะต้องออกแรงกระทากี่นิวตัน วัตถุ
จึงจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 2 m/s2
( 16 N )
3. จากรูป มวลขนาด 10 , 8 และ 6 กิโลกรัม วางบนพื้นที่ไม่มีความฝืด ออกแรงขนาด 120 นิวตัน ลาก
มวลทั้งสามไป จงหาว่าขนาดของแรงดึงในเส้นเชือก T1 และ T2 มีค่ากี่นิวตัน ( 50 , 90 N)
4. วัตถุมวล 5.0 และ 10.0 kg ผูกติดกันด้วยเชือกเบา ดังรูป วัตถุทั้งสองวางอยู่บนพื้นราบที่ไม่มีความ
ฝืด ให้แรง F ซึ่งมีค่าคงที่ กระทาต่อวัตถุทั้งสอง หลังจากดึงได้ 15 วินาที วัตถุทั้งสองก็มีความเร็ว
45.0 m/s แรงดึงมวล 5 กิโลกรัมเป็นกี่นิวตัน (15 นิวตัน)
5. ดึงวัตถุมวล 40 กิโลกรัม ด้วยแรง 500 นิวตัน ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างวัตถุกับพื้น
เท่ากับ
5
2
จงหาความเร่งของวัตถุนี้ (9 เมตร/วินาที2
)
6. (En.42) จากรูป m1 และ m2 ผูกติดกันด้วยเชือกผ่านรอกลื่นที่ยอดพื้นเอียงที่มีความฝืด m1 มีค่า 1.0
กิโลกรัม และ m2 มีค่า 0.4 กิโลกรัม ถ้ามวลทั้งสองกาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จงคานวณค่า
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างพื้นเอียงกับมวล m1 (0.25)

37
7. วัตถุ 3 ก้อนมีมวลขนาดเท่ากันก้อนละ 3 กิโลกรัม ถ้านามาผูกติดกันด้วยเชือกเบาและพาดผ่านรอก
เบาที่หมุนได้คล่อง โดยที่มวลก้อนที่หนึ่ง วางอยู่บนพื้นขรุขระ ดังรูป เมื่อปล่อยให้เคลื่อนที่ วัตถุทั้งสาม
มีความเร่ง 2 เมตร/(วินาที)2
ถ้าเอาวัตถุก้อนที่ 2 ออก จงหาความเร่งของระบบจะมีค่ากี่เมตร/(วินาที)2
8. เชือกแขวนไว้กับเพดาน มีลิงมวล 20 กิโลกรัม โหนเชือกอยู่สูงจากพื้น 10 เมตร ได้รูดตัวลงมากับ
เชือกด้วยความเร่งคงที่ ถึงพื้นใช้เวลา 2 วินาที ความตึงของเชือกเป็นเท่าใด ไม่คิดมวลของเชือก
( 100 N )
9. มวล 2 ก้อนมีมวลก้อนละ 1 กิโลกรัม ผูกติดเชือกน้าหนักเบา และแขวนติดกับเพดานของลิฟต์ ดังรูป
ถ้าลิฟต์เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง 2 เมตรต่อ(วินาที)2
จงหาแรงดึงในเส้นเชือก T1 และ T2 (16 N , 8 N)
10. เชือกเส้นหนึ่งทนแรงดึงได้ 50 นิวตัน ผูกไว้กับมวล 4 กิโลกรัม จะดึงมวลขึ้นในแนวดิ่งด้วยความเร่ง
ได้มากที่สุดกี่ เมตร/วินาที 2
เชือกจึงจะไม่ขาด ( 2.5 )
11. มวล 1 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม ผูกติดกันด้วยเชือกเบา แล้วนาไปคล้องลูกรอกตามรูป จงหาขนาดของ
แรง F ที่ทาให้ความตึงของเชือกเท่ากับ 5 นิวตัน สัมประสิทธิ์ของแรงเสียดจลน์ระหว่างมวล 1
กิโลกรัม กับมวล 2 กิโลกรัม และระหว่างมวล 2 กิโลกรัม กับพื้นเป็น 0.25 (20.0 N)
12. นาย ก. มวล 70 กิโลกรัม ยืนอยู่บนเครื่องชั่งที่วางในลิฟต์ที่กาลังเคลื่อนที่ลง ถ้าตราชั่งอ่านค่าน้าหนัก
นาย ก. เท่ากับ 644 นิวตัน จงหาอัตราเร่งของลิฟต์ (0.8 เมตร/วินาที 2
)
( 4 )

38
13. (PAT.53) ขณะที่ลิฟต์กาลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่ง 2 เมตร/วินาที2
นักเรียนคนหนึ่ง ชั่งน้าหนักตัวเอง
ได้ 700 นิวตัน นักเรียนคนนี้มีมวลกี่กิโลกรัม (58.33 kg)
14. มวล 220 กิโลกรัม วางติดกับกาแพงฝืดดังรูป ถ้าสัมประสิทธ์ความเสียดทานระหว่างวัตถุกับกาแพง
เท่ากับ 0.2 จงหาแรง F ที่จะทาให้วัตถุเริ่มขยับขึ้น (500 นิวตัน)
แรง F ที่จะทาให้วัตถุเริ่มขยับลง (333.3 นิวตัน)
15. (มช 48) กล่อง 3กล่องดังรูปผูกต่อกันด้วยเชือกผ่านรอก เมื่อปล่อยจากจุดหยุดนิ่งพบว่ากล่อง 10M
เคลื่อนที่ลงตามพื้นเอียง โดยเมื่อได้ระยะทาง 4 เมตรจากจุดปล่อย ความเร็วเปลี่ยนเป็น 4 เมตรต่อ
วินาที ถ้าบนพื้นราบไม่มีความเสียดทานและรอกไม่มีความฝื ด แต่พื้นเอียงมีความเสียดทาน
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างกล่อง 10M กับพื้นเอียงมีค่าเท่าไร
16. ดาวดวงหนึ่งมวลเป็น 12 เท่าของโลก แต่มีรัศมีเป็น 2 เท่าของรัศมีโลกจะมีค่าความเร่งที่ผิวเป็นกี่เท่า
ของที่ผิวโลก (3 เท่า)
17. ดาวเคราะห์ดวงหนึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลางเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่าศูนย์กลางโลก และมีมวลเป็น 0.1 เท่า
ของมวลของโลก ชายคนหนึ่งหนัก 600 นิวตัน ที่ผิวโลก จะหนักเท่าใดที่ผิวดาวเคราะห์นี้ ( 240 N )
18. ดาวเคราะห์ดวงหนึ่งมวล 9 เท่าของมวลโลก แต่มีความหนาแน่นเป็น 3
1 เท่าของความหนาแน่นของ
โลก ค่าสนามโน้มถ่วงที่ผิวดาวเคราะห์มีค่าเป็นกี่เท่าของที่ผิวโลก ( 1 เท่า )
19. ที่ความสูงจากผิวโลกเท่ากับระยะรัศมีโลกพอดี วัตถุที่หนัก 180 นิวตันที่ผิวโลก จะหนักกี่นิวตันที่
ระดับนั้น ( 45 นิวตัน )
20.(มช 48) นักเรียนอวกาศมีมวล 90 กิโลกรัมขณะที่อยู่ผิวโลก เมื่อเขาโคจรรอบโลกที่ระยะห่างจากผิวโลก
เป็น 2 เท่าของรัศมีของโลก เขาจะมีน้าหนักกี่นิวตัน (100 นิวตัน)

39
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
คาว่า Projectile มีความหมายว่า วัตถุที่ขว้างหรือยิงออกไป (โดยไม่คิดผลของแรงต้านอากาศ)
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Projectile Motion) เป็นการเคลื่อนที่ในแนวโค้ง 2 มิติ
คือ มีการเคลื่อนที่ทั้งแนวดิ่ง + แนวระดับ(แนวราบ) พร้อมกัน
จากการทดลอง แนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
นั่นคือ 2
xy SS  หรือ 2
xy kSS 
เมื่อ k คือ ค่าคงที่ของการแปรผัน
(k = slope = tan )
 เนื่องจากรูปแบบสมการ
2
xy kSS  เป็นสมการของ พาราโบลา (Parabola)
1. เมื่อทุ่มลูกน้าหนักออกไปด้วยมุม 45 องศา ลูกน้าหนักเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ขณะที่ลูกน้าหนักถึง
จุดสูงสุดนั้น มีแรงใดบ้างกระทาต่อลูกน้าหนัก
ก. ไม่มีแรงกระทา ค. มีเฉพาะแรงแนวราบจากการทุ่ม
ข. มีเฉพาะแรงแนวดิ่งจากแรงโน้มถ่วง ง. มีทั้ง 2 และ 3
 จะเห็นว่า ความเร็วของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ มี 2 แนว คือ...
ความเร็วในแนวระดับ และ ความเร็วในแนวดิ่ง (ทาให้วัตถุเคลื่อนที่ไปตามความเร็วลัพธ์)

40
( มีความเร่ง g)
 การเคลื่อนที่ใน แนวระดับ ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะมี ความเร็วคงที่
(a

= 0) เพราะไม่มีแรงลัพธ์ในแนวระดับมากระทา
 การเคลื่อนที่ใน แนวดิ่ง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะมี ความเร่ง เนื่องจาก
แรงโน้มถ่วงของโลก ; g (จากแรงดึงดูดของโลก)
 เวลาของการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง เท่ากับ เวลาในการเคลื่อนที่ในแนวระดับ (Concept)
 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะแยกคิดเป็น 2 แนว
1. แนวระดับ (x) tuS xx 
2. แนวดิ่ง (y) gtuv yy 
t
vu
S
yy
y 




 

2
สูตรทั่วไป yyy gSuv 222

2
2
1
gttuS yy 
โปรเจกไทล์ แบบที่ 1 (พาราโบล่า ครึ่งรูป)
วัตถุถูกขว้างออกไปตามแนวระดับ ด้วยความเร็ว xv จากที่ระดับความสูง ys
* คิดเสมือน วัตถุตกอย่างอิสระ 0yu (ที่ความสูง ys )
2
2
1
gttuS yy 
2
2
1
gtSy  ……..(1)
tuS xx  ……..(2)
22
yx vvv  …....(3)
x
y
v
v
tan ……..(4)
ความเร็วแยกเป็น 2 แนว (V คงที่ )

41
x
y
x
y
v
v
u
u
tan
โปรเจกไทล์ แบบที่ 2 (พาราโบล่าเต็มรูป)
ขว้างวัตุออกไปจากพื้น ด้วยความเร็วต้น u ทามุม  กับแนวระดับ และตกบนพื้นราบเดียวกัน
พิจารณา โพรเจกไทล์ ในรูปข้างล่าง * คิดเสมือน โยนวัตถุขึ้นตรงๆ ความเร็วต้น yu
และวัตถุตกกลับมาที่เดิม
 โพรเจกไทล์ในรูปข้างบนมีความสมบูรณ์ในตัวเอง นั่นคือ พุ่งไปด้วยความเร็วต้น u
ความเร็วที่กระทบพื้นก็เท่ากับ u เช่นกัน และก็ก็จะตกระทบพื้นด้วยมุม  เช่นกัน
โดยที่... cosuux 
และ sinuuy 
สูตรสาเร็จ (โปรเจกไทล์ แบบที่ 2)
(หาเวลาทั้งหมด) จาก... gtuv yy 
gtu  sin.0
เวลาขาขึ้น
g
u
t
sin.
 (เวลาขึ้น = เวลาตก)
จะได้ เวลาทั้งหมด ด ***** (1)
(หาระยะทางสูงสุด) จาก... yyy gSuv 222

ygSu 2sin0 22
 
จะได้ ***** (2)
g
u
t
sin2

g
u
Sy
2
sin22



42
(หาระยะทางในแนวราบ) จาก… tuS xx 
(ระยะพิสัย) tuSx .cos
แทน t จาก (2) จะได้ 






g
u
uSx


sin2
cos
  cos.sin2.
2
g
u

เนื่องจากตรีโกณมิติ
(  sincos22sin  ) จะได้ ***** (3)
 พิจารณาสมการ  2sin.
2
g
u
Sx  และค่า 12sin0   เสมอ
นั่นคือ xS จะไกลที่สุด  maxxS เมื่อ 12sin  ( 190sin 0
 )  0
45
 ถ้าต้องการให้วัตถุไปไกลสุดในแนวราบ ต้องยิง วัตถุให้ทามุม 45๐
กับแนวราบ
เพราะฉะนั้นสมการจะลดรูปเหลือเพียง ………**
 พิจารณาสมการ
g
u
Sx
2sin2
 อีกครั้ง ในเทอม 2sin
ถ้า 0
21 90 จะได้ว่า 21 2sin2sin   นั่นหมายความว่า xS เท่ากัน
**ถ้าขว้างวัตถุ 2 ครั้งด้วยความเร็วต้นเท่ากัน แต่ทามุม 1 และ 2
จะได้ระยะทางเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ 0
21 90 ** เช่น...
 ในการทาโจทย์โพรเจกไทล์ แทบทุกรูปแบบ จาเป็นต้องหาเวลา t ในแนวดิ่งมาช่วย
(การเคลื่อนที่ในแนวราบ และ แนวดิ่ง ต้องเชื่อมกันด้วย ‚Concept‛ ของเวลาที่เท่ากัน)
 2sin.
2
g
u
Sx 
 
g
u
Sx
2
max 

43
จาก
g
u
Sy
2
sin22


และ  2sin.
2
g
u
Sx 
ดังนั้น 






tan.
4
1
cos
sin
.
4
1
cos.sin2.
.
2
sin
2sin.
2
sin.
2
22
2
22

u
g
g
u
g
u
g
u
S
S
x
y
จะได้ **** (4)
โปรเจกไทล์ แบบที่ 3 * คิดเสมือน กรณี โยนวัตถุขึ้นไป แล้ววัตถุตกมาต่ากว่าเดิม
2
2
1
gttuS yy  ….(1)
tuS xx  …..(2)
22
yx vvv  .....(3)
x
y
v
v
tan .….(4)
เคล็ดลับ โปรเจกไทล์ แบบอื่นๆ ควรเปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเสมอ เช่น...
ฯลฯ...
tan.
4
1

x
y
S
S

44
2. (มช.51) เมื่อยิงปืนลูกซองออกไปจากหน้าผาในแนวขนานกับพื้น โดยมีความเร็วต้นเป็น 20 m/s หน้า
ผามีความสูง 80 เมตร จงหาว่าลูกปืนจะตกกระทบพื้นที่ระยะห่างจากตีนเชิงผากี่เมตร
ก. 20 ค. 60
ข. 40 ง. 80
3. (มช.46) ลูกบอลลูกหนึ่งถูกปาออกไปในแนวนอน ปรากฏว่าไปชนกับกาแพงซึ่งอยู่ห่างออกไป 5 เมตร
ณ ที่ตาแหน่งต่ากว่าแนวปา 1 เมตร ลูกบอลชนกาแพงเป็นมุมเท่าใดเมื่อเทียบกับแนวดิ่ง
ก. 4.0tan 1
ข. 5tan 1
ค. 0.1tan 1
ง. 5.2tan 1
4. (มช.45) กบตัวหนึ่งกระโดด 40 ครั้ง จึงสามารถข้ามสนามฟุตบอลซึ่งกว้าง 32 เมตรได้ เมื่อกระโดด
ทามุม 45 องศากับแนวราบ จงหาว่ากบตัวนี้จะใช้เวลากี่วินาทีในการข้ามสนามฟุตบอลนี้ (16 วินาที)

45
5. เมื่อขว้างก้อนหินด้วยความเร็วต้น 20 เมตร/วินาที พบว่าก้อนหินนี้ตกถึงพื้นราบด้วยความเร็วที่ทามุม
60 องศากับแนวดิ่ง ก้อนหินนี้จะขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด
ก. 5 m ข. 10 m ค. 15 m ง. 20 m
6. ถ้าโพรเจกไทล์หนึ่งมีการกระจัดสูงสุดในแนวดิ่งเท่ากับ 10 เมตร และการกระจัดที่ไปได้ไกลสุดในแนว
ระดับเท่ากับ 30 เมตร โพรเจกไทล์นี้ถูกยิงออกไปในแนวที่ทามุมกี่องศา กับแนวระดับ (53 องศา)
7. (มช.39) ยิงปืนใหญ่ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทามุม 45 องศากับแนวราบ ไปยังรถถังข้าศึกที่
กาลังแล่นตรงเข้ามาด้วยความเร็วคงที่ และขณะนั้นอยู่ห่างออกไปเป็นระยะ 1200 เมตร ถ้ากระสุนปืน
กระทบเป้ าหมายพอดี จงหาว่ารถถังข้าศึกกาลังแล่นด้วยความเร็วเท่าไร ก่อนที่จะถูกทาลาย
(ตอบในหน่วยเมตร/วินาที)

46
8. นักขี่จักรยานผาดโผน ต้องการจะขี่ข้ามคลองซึ่งกว้าง 5 เมตร ไปยังฝั่งตรงข้าม ถ้าเขาขับรถด้วย
อัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที ก่อนพ้นฝั่งแรก เขาจะข้ามได้โดยไม่ชนฝั่งตรงข้าม h จะมีค่ามากที่สุดกี่
เมตร ก. 1.8 ค. 2.5
ค. 2.5 ง. 2.8

47
Homework
1. เหรียญบาทอยู่บนโต๊ะ ซึ่งอยู่สูงจากพื้น 1.25 เมตร ใช้ไม้บรรทัดปัดเหรียญนี้ให้กระเด็นไปในแนว
ระดับ ปรากฏว่าเหรียญตกกระทบพื้นห่างจากขาโต๊ะเป็นระยะ 3.3 เมตร ความเร็วของเหรียญขณะ
พ้นขอบโต๊ะเป็นเท่าใด (6.6 เมตร/วินาที)
2. (มช.49) เครื่องบินขับไล่บินด้วยความเร็ว 360 km/h ที่ระดับ 2,000 m จากพื้น ทิ้งระเบิดไปยังเป้ าที่
อยู่บนพื้นดิน เป้ าควรอยู่ห่างจากจุดที่เครื่องบินทิ้งลูกระเบิดเป็นระยะทางกี่กิโลเมตร (2 km)
3. วัตถุเคลื่อนที่ด้วยวิถีโค้งลง ด้วยมุม 300
กับแนวระดับ จากยอดตึกสูง 160 เมตร ด้วยความเร็วต้น 40
m/s จงหาระยะกระจัดของวัตถุ (211.66 m)
4. (มช.52) ลูกบาสเก็ตบอล ถูกชูทออกไปด้วยความเร็ว 10 m/s ในทิศ 60 องศากับพื้นดิน ที่จุดสูงสุด
ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ลูกบาสมีขนาดความเร็วกี่เมตรต่อวินาที (5 m/s)
5. ขีปนาวุธถูกยิงออกจากพื้นดินด้วยความเร็ว 60 m/s ในทิศ 60 องศากับพื้น ขีปนาวุธนั้นลอยอยู่ใน
อากาศเป็นเวลานานเท่าไร จึงจะตกถึงพื้น...และขณะอยู่ตรงจุดสูงสุดอยู่สูงจากพื้นดินกี่เมตร
( 36 วินาที , 135 เมตร)
6. ขว้างก้อนหินก้อนหนึ่งด้วยความเร็วต้น 20 m/s พบว่าก้อนหินก้อนนี้ตกถึงพื้นราบด้วยความเร็วที่ทา
มุม 30 องศา กับพื้น จงหาระยะทางที่วัตถุไปได้ในแนวราบ ( 320 เมตร)
7. ชายคนหนึ่งกระโดดไกลสองครั้งด้วยความเร็วต้นที่เท่ากัน แต่ทามุมกับแนวระดับ 30 และ 60 องศา
ตามลาดับ อยากทราบว่า ความสูงที่กระโดดได้ในครั้งหลังเป็นกี่เท่าของครั้งแรก (3 เท่า)
8. นายแดงเตะลูกบอลทามุม 37๐
กับพื้นดินด้วยความเร็ว 20 m/s ลูกบอลเคลื่อนที่ไปหานายดาซึ่งอยู่
ห่างออกไป 62.4 m นายดาต้องวิ่งด้วยความเร็วกี่เมตร/วินาที จึงจะสามารถรับลูกบอลได้ทัน (10)

48
37๐
960 m
140 m
d
9. ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลจากยอดพื้นเอียงด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เอียงทามุม 30 0
กับแนว
ระดับ ถ้าพื้นเอียงนั้นเอียงลง 30 0
จากแนวระดับเช่นกัน จะต้องใช้เวลาเท่าใด ลูกบอลจึงจะตก
กระทบพื้นเอียงนับจากเริ่มโยน ( 4 )
10. ขว้างลูกบอลทามุม 45๐
กับแนวระดับ ปรากฏว่าลูกบอลลอยข้ามกาแพงสูง 10 เมตร ซึ่งอยู่
ห่างจากจุด ขว้าง ในแนวระดับเท่ากับ 60 เมตร ได้พอดี อยากทราบว่า ณ จุดสูงสุดของแนวทางการ
เคลื่อนที่นั้นลูกบอลอยู่สูงจากแนวระดับกี่เมตร (18 เมตร)
11. ยิงกระสุนปืนมวล 50 กรัม ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทามุม 60๐
กับแนวระดับ หลังจาก
นั้น 5 วินาที กระสุนตกกระทบเป้ าบนหน้าผา เป้ านั้นอยู่สูงจากพื้นระดับที่ยิงเท่าไร
( 308 m)
12. ขว้างลูกบอล A ออกจากจุด O ด้วยความเร็วต้น 7 เมตร/วินาที ในทิศทามุม 37๐
กับแนวระดับ
พร้อม ๆกับปล่อยลูกบอล B ให้ตกลงมาจากจุดที่สูงจากพื้น 18 เมตร จงหาว่าลูกบอล A จะกระทบ
กับลูกบอล B หลังจากที่ลูกบอล B ตกลงมาได้ระยะทางเท่าใด (9.2 เมตร)
13. ถ้าปาวัตถุทามุม 370
กับแนวราบ ดังรูป ปรากฏว่าวัตถุผ่านขอบของพื้นบนได้พอดี และตกถึงพื้นดิน
ซึ่งอยู่ตากว่าระดับบน 140 เมตร จงหา.....
a) ความเร็วต้นที่ใช้ปาวัตถุ (100 เมตร/วินาที)
b) ระยะ d (160 เมตร)

49
การเคลื่อนที่แบบวงกลม (Circular Motion)
การเคลื่อนที่ที่มีแรงจากภายนอกมากระทาต่อวัตถุ ในทิศที่ตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนที่ของวัตถุ
ตลอดเวลา ทาให้แนวการเคลื่อนที่ และ ทิศของความเร็วมีการเปลี่ยนแปลง (เคลื่อนที่เป็นวงกลม)
แรงภายนอกนั้นก็คือ แรงสู่ศูนย์กลาง นั่นเอง
1. ในการทดลองการเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวระดับ ขณะที่กาลังแกว่งให้จุกยางหมุนอยู่นั้น เชือกที่ผูก
กับจุกยางขาดออกจากกัน นักเรียนคิดว่าขณะที่เชือกขาด ภาพการเคลื่อนที่ที่สังเกตจากด้านบนจะ
เป็นตามรูปใด ถ้า a เป็นตาแหน่งของจุกยางขณะที่เชือกขาด
ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เนื่องจากเป็นการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบ Periodic Motion
คือ กลับไปกลับมาซ้าตาแหน่งเดิม )
1. คาบ (Period) ; T คือ ช่วงเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ
(มีหน่วยเป็น วินาที / รอบ หรือ เขียนสั้นๆ แค่ วินาที ก็ได้ )
2. ความถี่ (Frequency) ; f คือ จานวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ใน 1 หน่วยเวลา
(หน่วยเป็น รอบ/ วินาที หรือ เรียกว่า เฮิรตซ์ Hz ก็ได้ )
 นั่นคือ คาบ และ ความถี่ เป็นส่วนกลับของกันและกัน จะได้ว่า
f
T
1
 ,
T
f
1

ทิศทางของความเร็ว v ที่จุดใดๆ จะเป็น
ทิศในแนวเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น
(ตั้งฉากกับแนวรัศมี)

50
3. การกระจัดเชิงมุม  (Angular displacement)…..ปริมาณเวกเตอร์
คือ มุม  ในหน่วย เรเดียน ซึ่งรองรับส่วนโค้งใด ๆ
R
S

เทียบ
4. ความเร็วเชิงมุม  (Angular velocity) ปริมาณเวกเตอร์
คือ การกระจัดเชิงมุมที่กวาดไปได้ ในหนึ่งหน่วยเวลา ; มีหน่วย Rad / s
ถ้ากวาดไปได้ 1 รอบ   2 ใช้เวลา 1 คาบ  Tt 
ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์ คือ
t




5. ความเร่งเชิงมุม  (Angular acceleration)ปริมาณเวกเตอร์
คือ ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไป ในหนึ่งหน่วยเวลา ; มีหน่วย Rad /s2
t




 ทิศของ 

,, จะอยู่ตรงแกนหมุน มีทิศตามกฎมือขวา
 ความสัมพันธ์ของปริมาณ เชิงเส้น และ เชิงมุม
มุม 360 องศา เท่ากับ 2 เรเดียน (1 รอบ)
ดังนั้น มุม 0
 =
180

Rad
f
T


 2
2

Rs   Rv   Ra  
พิจารณา แผ่นเสียงที่หมุนไป 90 องศา
ตาแหน่งที่ 1 2 3 4 หมุนไปพร้อมกัน
ดังนั้นจึงมี ความเร็วเชิงมุม เท่ากัน
แต่ ตาแหน่งที่ 4 เคลื่อนที่ได้ระยะทาง
มากกว่า ดังนั้น จึงมีความเร็วเชิงเส้น v
มากกว่า

51
v
การเคลื่อนที่แบบวงกลมนั้น จะมีแรงภายนอกมากระทากับวัตถุ ทาให้วัตถุเกิดความเร่ง ซึ่งมีทิศ
ตามทิศของแรง นั่นคือ พุ่งเข้าสู่ศูนย์กลางวงกลม เรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง ac
โดยที่
จาก กฎข้อที่ 2 ของนิวตัน maF 
(เรียกแรงนี้ว่า แรงสู่ศูนย์กลาง FC)
และ
R
mv2
เป็นแรงหนีศูนย์กลาง
แรงสู่ศูนย์กลาง = แรงหนีศูนย์กลาง
 เทคนิค คือ ต้องหาให้เจอว่า แรงอะไรที่ทาหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง 
Rac
2

จาก Rv   จะได้เป็น
RmFc
2

2. (มช. 40) นักบินแสดงการบินผาดโผนโดยบังคับให้เครื่องบินบินเป็นวงกลมรัศมี 1 กิโลเมตร ดังแสดงในรูป
ขณะเครื่องบินอยู่ที่ตาแหน่ง c อัตราเร็วของเครื่องบิน (vc) เท่ากับ 100 เมตร/วินาที ที่ตาแหน่งนี้นักบิน
กาลังมีความเร่งขนาดเท่าไร (ตอบหน่วยของ เมตร/วินาที 2
)
ก. 0 ข. 20 ค. 10 ง. 14
R
mv2
R
v
ac
2
 R







R
v
mFc
2
Fc

52
Vmin ที่จุด สูงสุด
Vmaw ที่จุด ต่าสุด
3. (มช.50) มวล 2.1 kg หมุนเป็นวงกลมรัศมี 70 cm ด้วยอัตราเร็ว 2 รอบต่อวินาที ให้หาอัตราเร็ว
เชิงเส้น ในหน่วยเมตรต่อวินาที และแรงเข้าสู่ศูนย์กลางในหน่วยนิวตันที่เกิดขึ้นกับมวลนี้
(กาหนดให้
7
22
 )
ก. 4.4 และ 58.0 ค. 8.8 และ 232.3
ข. 4.4 และ 232 ง. 8.8 และ 929.3
4. (En 42) วัตถุมวล m วางบนจานกลมที่กาลังหมุน ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 2 เรเดียน/วินาทีถ้าวัตถุวาง
อยู่ห่างจากศูนย์กลางของจานเป็นระยะ r และขณะที่หมุนวัตถุไม่มีการไถล แรงเสียดทานที่กระทาต่อ
วัตถุเท่ากับเท่าไร
ก. mr2
4 ข. 22
4 mr ค. mr2
2 ง. mr2
 การเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวราบ
(ความเร็วคงที่)
R
mv
FC
2

 การเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวดิ่ง
(ความเร็วไม่คงที่) .........
2

R
mv
FC

53
5. วัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ผูกติดกับเชือกยาว 1.0 เมตร แกว่งเป็นวงกลมในแนวดิ่งเมื่อเชือกทามุม 60o
กับ
แนวดิ่งจากตาแหน่งต่าสุดของวิถีทางโคจรของวัตถุ จงหาความตึงในเส้นเชือก ถ้าขณะนั้นอัตราเร็วใน
การเคลื่อนที่ที่ตาแหน่งเป็น 3.0 เมตร/วินาที
1. 2.0 นิวตัน 2. 6.5 นิวตัน 3. 7.0 นิวตัน 4. 8.8 นิวตัน
6. ผูกลูกกอล์ฟมวล 100 กรัม เข้ากับปลายเชือก แล้วแกว่งเชือกให้ลูกกอล์ฟเคลื่อนที่เป็นวงกลมใน
แนวดิ่งรัศมี 40 เซนติเมตร ถ้าตาแหน่งที่ผ่านจุดสูงสุดนั้น เชือกมีแรงดึงเป็นศูนย์ จงหาว่าขณะที่ลูก
กอล์ฟผ่านจุดต่าสุดนั้น เชือกมีแรงดึงเท่ากับกี่นิวตัน
ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6
7. (En 43) รถยนต์มวล 1200 กิโลกรัม กาลังวิ่งด้วยอัตราความเร็ว v เมตรต่อวินาที ข้ามสะพานที่
จุดสูงสุดของสะพานซึ่งมีรัศมีความโค้งในระนาบดิ่ง 12 เมตร จงหาอัตราเร็ว v ที่พอดีทาให้รถยนต์เริ่ม
หลุดจากความโค้งของสะพาน
ก. 11 m/s ข. 12 m/s ค. 13 m/s ง. 14 m/s

54
ประยุกต์
การเข้าโค้งบนทางโค้ง (ราบ)
 จะต้องมีการเอียงตัว เพื่อให้เกิดแรงเสียดทานที่พื้น โดยที่แรงเสียดทาน จะทาหน้าที่เป็น
แรงสู่ศูนย์กลาง


cos
sin
R
R
N
f
 tan


tan
N
N
หรือ
รวมสมการ ………**
 มุมของการเอียงตัวรถ ต้องสัมพันธ์กับ ความเร็วรถ และรัศมีความโค้งของถนน
 ทางรัศมีโค้งแคบ ควรขับขี่ให้ช้าลงตามความเร็วที่กาหนด เพื่อลดแรงสู่ศูนย์กลาง
เนื่องจากแรงเสียดทาน ซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลางนั้น มีค่าจากัด
จากรูป แรง R คือ แรงลัพธ์ของแรง N + f
CFRf  sin
R
mv
FC
2

mgRN  cos
R
mv
f
2

 
R
mv
mg
2

ดังนั้น …..*
Rg
v2

Rg
v2
tan  
 tan

55
การยกขอบของถนนโค้ง
เพื่อให้การเลี้ยวโค้งปลอดภัยยิ่งขึ้น ดังนั้นวิศวกรจึงออกแบบถนนโดย การยกขอบถนน
ให้เอียงเข้าหาความโค้ง เพื่อให้รถแล่นด้วยความปลอดภัย
8. (En.34) รถจักรยานยนต์วิ่งด้วยความเร็ว 108 กิโลเมตรต่อชั่วโมง วิ่งตามทางโค้งซึ่งมีรัศมีความโค้ง
100 เมตร ผิวถนนอยู่ในแนวระดับ รถจักรยานยนต์จะเอียงทามุมกับแนวดิ่งเท่าใดจึงจะไม่ล้ม
ก. 90.0tan 1
 ข. 75.0tan 1
 ค. 50.0tan 1
 ง. 45.0tan 1

9. (En.37) รถยนต์คันหนึ่งวิ่งบนถนนโค้งด้วยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตร/ชั่วโมง รัศมีความโค้งของถนน
500.0 เมตร ความกว้างของถนนวัดตามแนวราบเทียบกับจุดต่าสุดของด้านในได้ 8.0 เมตร จะต้อง
ยกขอบถนนด้านนอกให้สูงกว่าด้านในเท่าใด เมื่อรถวิ่งบนทางโค้งแล้วไม่ไถลออกนอกเส้นทาง
ก. 1.25 m ข. 1.0 m ค. 0.75 m ง. 0.8 m
จากรูป sinN ทาหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง
CFN sin
R
mv
FC
2

mgN cos
R
mv
N
2
sin 
 mgR
mv
N
N 2
cos
sin



ดังนั้น ……..**
Rg
v2
tan 

56
การโคจรของดวงดาวต่าง ๆ (ดาวเทียมด้วย)
ความจริงแล้วการโคจรของดาวต่างๆ จะมีวงโคจรเป็นรูปวงรี (ellipse) อธิบายได้โดยใช้กฎของ
เคปเลอร์ แต่ในระดับนี้เราจะอนุโลมให้เป็นวงกลม รัศมี R
โดยที่แรงดึงดูดระหว่างมวล ของดาวทั้งสอง FG จะทาหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง
 จะเห็นว่า ความเร็ว v ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ เกี่ยวข้องกับมวลของดวงอาทิตย์ M
และรัศมีวงโคจร R (โดยไม่ขึ้นกับมวล ดาวเคราะห์)
 รัศมีวงโคจร R วัดจากจุดศูนย์กลาง
จาก Rv   จะได้
R
GM
R 22

3
2
R
GM

และ
T


2
 จะได้ 32
2
4
R
GM
T


ดังนั้น ……**
1. จะเห็นว่า คาบ T การโคจรยกกาลังสอง จะแปลผันตรงกับ รัศมีวงโคจร R ยกกาลังสาม
ซึ่งเป็นสาระสาคัญของกฎข้อที่สามของ เคปเลอร์
10. (En.37) ถ้าวงโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลม และรัศมีของวงโคจรเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า ของรัศมีเดิม
คาบการโคจรจะเพิ่มเป็นกี่เท่าของคาบเดิม
ก. 2 เท่า ข. 2 เท่า ค. 22 เท่า ง. 4 เท่า
จาก
R
mv
FC
2

R
mv
R
GMm 2
2

จะได้
R
GM
v 
3
2
2 4
R
GM
T 








57
11. (มช.51) ดาวเทียมโคจรเป็นวงกลมรอบโลก ปริมาณใดที่มีผลต่ออัตราเร็วของดาวเทียม
ก. รัศมีโลก ข. มวลของโลก ค. มวลของดาวเทียม ง. ถูกทั้งข้อ 1 และ 2
12. (PAT.53) กาหนดให้ดาวเคราะห์ A มีรัศมี R มวล M และมีดาวเทียมโคจรรอบดาวเคราะห์ที่ระดับ
ความสูง h จากผิวดาวเคราะห์ ดาวเทียมนี้จะโคจรด้วยความเร็วเท่าใด กาหนดให้ G = ค่าคงที่โน้ม
ถ่วงสากล
ก.
hR
GM

ข.
hR
GM

2
ค.
GM
hR 
ง.
GM
hR
2

13. (PAT.53) ดาวเทียมดวงหนึ่งโคจรรอบดาวเคราะห์ที่ความสูง h จากพื้นผิว ถ้าดาวเคราะห์มีรัศมี R และ
มีมวล M คาบการหมุนของดาวเทียมรอบดาวเคราะห์นี้เท่ากับเท่าใด เมื่อ G คือค่าคงที่โน้มถ่วงสากล
ก.
GM
hR 
2 ข.
GM
hR 
2 ค.  
GM
hR
3
2

 ง.  
GM
hR
2


14. จงหาความเร็วเชิงมุม ที่น้อยที่สุดของถังหมุน ขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง D ของเครื่องเล่นคนไต่ถังดังรูป
ที่ทาให้คนเล่นสามารถติดกับผนังด้านในของถังหมุนได้โดยไม่ตก
กาหนด ส.ป.ส.ความเสียดทานสถิตระหว่างคนกับถัง เท่ากับ 
ก.
D
g

ค.
D
g
ข.
D
g

2
ง.
D
g2

58
Homework
1. เหรียญวางอยู่ที่ระยะ 20 cm จากศูนย์กลางแผ่นเสียง ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตย์ระหว่าง
เหรียญและแผ่นเสียงเป็น 0.125 จงหาจานวนรอบที่มากที่สุดใน 1 วินาที ที่แผ่นเสียงแล้วเหรียญยังคง
อยู่นิ่งเทียบกับแผ่นเสียง (0.4)
2. จากรูป นักเรียนคนหนึ่งทาการทดลองเรื่องแรงสู่ศูนย์กลาง ปรากฏว่าขณะที่วัตถุอยู่ห่างออกมาจาก
แกนหมุน 0.8 เมตร และอยู่ต่าลงมาจากแนวระดับ 0.1 เมตร อยากทราบว่าขณะนั้นวัตถุมีอัตราเร็ว
เท่าใด (8 m/s)
3. ผูกเชือกเบาติดกับลูกบอลมวล 1 กิโลกรัม แกว่งเชือกให้เป็นวงกลมในแนวดิ่งรัศมี 0.2 เมตร ด้วย
ความเร็วเชิงเส้น 4 เมตร/วินาที จงหาแรงดึงของเชือกขณะที่ลูกบอลอยู่ที่ตาแหน่งสูงสุด (70 N)
4. นักกายกรรมละครสัตว์โหนเชือกเริ่มต้น ขณะเชือกทามุม 90o
กับแนวดิ่งดังรูป เมื่อเชือกแกว่งทาให้นัก
กายกรรมอยู่ที่ตาแหน่งต่าสุด!นักกายกรรมต้องออกแรงยึดเป็นกี่เท่าของน้าหนักตัวตามปกติ
5. (มช.41) ผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์เลี้ยวโค้งบนถนนราบ ที่มีรัศมีความโค้ง 40 เมตร คนขับรถต้องเอียงรถ
ทามุม 37 0
กับแนวดิ่ง ขณะนั้นผู้ขับขี่ขับรถในอัตราเร็วกี่เมตร/วินาที
ก. 17.32 ข. 40.51 ค. 30.67 ง. 23.29
6. รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยความเร็ว 72 กิโลเมตร/ชั่วโมง เมื่อรถคันนี้เลี้ยวโค้งบนถนนมีรัศมีความโค้ง
150 เมตร พื้นถนนควรเอียงทามุมกับแนวระดับเท่าใด รถจึงจะเลี้ยงโค้งอย่างปลอดภัย
7. ดาวเทียมดวงหนึ่งเคลื่อนที่รอบโลกด้วยวิถีเป็นวงกลมรัศมี r ถ้า R เป็นรัศมีโลก g เป็นความเร่ง
เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกที่ผิวโลก M เป็นมวลของโลก และ G เป็นค่านิจโน้มถ่วงสากล
อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมเป็นเท่าใด
ก. )/( 2
RrGM ข. 3
/ rgR ค. GMr
r
1
ง. rg /

59
ym เป็นการกระจัดสูงสุด (max.)
เรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude)
 เป็น ความถี่เชิงมุม
การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (SHM)
 สมการของ SHM โดยทั่วไปจะเขียนในรูป Sinusoidal Function
   tyy m sin หรือ    tyy m cos ----
โดยที่ f
T


 2
2
 เมื่อ f
T 1 และ T
f 1
T คือ คาบ (Period) , f คือ ความถี่ (Frequency)
 เป็นค่าคงตัวทางเฟส (Phase Constant) หมายถึงค่ามุมเริ่มต้น ณ เวลา t = 0
 ในที่นี้ผู้เขียนจะใช้    tyy m sin และกาหนดให้ 0 , ym = A
จะได้สมการการกระจัดเป็น (แกน y) --- ดังรูปกราฟข้างต้น
(เนื่องจากกราฟของฟังชั่นไซน์ และ โคไซน์ แตกต่างกันแค่เฟส  เท่านั้นเอง)
 การเปรียบเทียบเงาวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมกับการเคลื่อนที่แบบ SHM
พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมรัศมี R ด้วย ความเร็วเชิงมุม คงตัว 
tAy sin
เงาของมัน(ในแกน x) เคลื่อนที่แบบ SHM ซึ่ง
แอมพลิจูด มีค่าเท่ากับรัศมี R
จากรูปจะได้ว่า R
xcos
cosRx 
tRx cos เมื่อ
t

 
จะได้ ……(1)tAx cos

60
สมการการกระจัด
tAx cos …………..แกน x tAy sin ……………แกน y
สมการความเร็ว v และ ความเร่ง a
ณ เวลา t ใดๆ ณ ตาแหน่ง x ใดๆ maximum
tAv  sin 22
xAv   Av 
tAa  cos2
 xa 2
 Aa 2

1. (มช.51) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบซิมเปิลฮาร์มอนิกเป็น  ty 56.12sin5 จงหาความถี่ของ
การเคลื่อนที่ของวัตถุนี้ในหน่วย รอบ/วินาที
ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4
2. (มช.48) วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกด้วยแอมพลิจูด 15 cm และมีความเร่งสูงสุดเป็น 95
m/s2
วัตถุนี้กาลังสั่นด้วยความถี่กี่รอบต่อวินาที
ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5
3. ความเร็วสูงสุดของวัตถุ ที่กาลังแกว่งแบบซิมเปิลฮาร์มอนิก ด้วยคาบการแกว่ง 0.2 วินาที และ อัมปลิ
จูด 2 เซนติเมตร จะมีค่าเท่ากับ
ก. 5 cm/s ค. 15 cm/s
ข. 20 cm/s ง. ไม่สามารถหาได้จากข้อมูลที่ให้มา

61
o การเคลื่อนที่แบบ SHM ของวัตถุที่ติดปลายสปริง
พิจารณาการสั่น ของวัตถุมวล m ที่ติดปลายสปริงใน แนวดิ่ง
เมื่อออกแรง F ดึงมวล m ลง เป็นระยะ x จะพบว่ามี แรงดึงกลับ ซึ่งมีค่าเท่ากับ
kxF  ซึ่งขนาดของแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระยะยืด หรือ ระยะหด x แต่มีทิศ
ทางตรงข้ามกับการกระจัด x (สัมพันธ์ตามกฎของฮุคส์) --- Hooke’s Law
โดยที่ k เป็นค่าคงตัวของสปริง (ค่านิจของสปริง)
ในที่นี้ระยะ x ก็คือ ระยะการกระจัดสูงสุด หรือ แอมพลิจูด A นั่นเอง
จาก kxmaF 
จะได้ x
m
k
a 
และจาก xa 2

จะได้ว่า x
m
k
x 2

แต่เนื่องจาก f
T


 2
2
  **** (mk)
m
k

k
m
T 2
เท่ากัน

62
4. รถทดลองมวล 500 กรัม ติดอยู่กับปลายสปริงดังรูป เมื่อดึงด้วยแรง 5 N ในทิศขนานกับพื้นจะทาให้
สปริงยืดออก 10 เซนติเมตร เมื่อปล่อยรถ จะใช้เวลากี่วินาทีเคลื่อนที่กลับไปสู่สมดุล
5. (En.42) แขวนมวลอันหนึ่งติดกับสปริงแล้วปล่อยให้สั่นขึ้นลงโดยมีคาบการเคลื่อนที่1 วินาที ถ้าวัตถุอยู่
นิ่งแล้วปลดมวลออกสปริงจะหดสั้นกว่าตอนที่แขวนมวลเท่าใด
ก.
g4
2

ข.
g
2
4
ค. 2
4

g
ง. 2
4
g
6. (มช.41) ชายคนหนึ่งมีมวล 64 กิโลกรัม สังเกตว่าเมื่อเขานั่งบนเก้าอี้สปริงซึ่งมีมวล 20 กิโลกรัม
เก้าอี้ยุบตัวลงไป 0.5 เมตร คาดว่าความถี่ตามธรรมชาติเฉพาะของเก้าอี้สปริงมีค่าเป็นกี่รอบ/วินาที
ก. 1.27 ข. 2.58 ค. 3.76 ง. 4.93

63
o การเคลื่อนที่แบบ SHM แบบลูกตุ้มนาฬิกา
พิจารณาลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่งมีมวลแขวนไว้ในแนวดิ่งด้วยเชือกยาว l และแกว่ง ด้วยมุมน้อย ๆ
จะได้ว่า x
l
g
x 2

และในทานองเดียวกัน  **** (lg)
 จะเห็นว่า คาบ T การแกว่งไม่ขึ้นกับมวล m ของลูกตุ้ม ขึ้นกับความยาวเชือก l เท่านั้น
 ณ ตาแหน่งที่มีการกระจัดสูดสุด ความเร็วเป็นศูนย์ แต่ ความเร่งมีค่ามากที่สุด
 ณ ตาแหน่งสมดุล ( x = 0) ความเร็วมากที่สุด Av max แต่ ความเร่งเป็นศูนย์
 เฟสของ a นา v อยู่ 2
 เรเดียน และเฟสของ v นา x อยู่ 2
 เรเดียน
l
g

g
l
T 2
จะเห็นว่าแรง mgsin เป็นแรงที่ดึงลูกตุ้ม
กลับสู่ตาแหน่งสมดุล
นั่นคือ sinmgF 
sinmgma 
จะได้ singa 
แต่เนื่องจาก  เป็นมุมน้อยๆ
l
x
sin
จะได้ x
l
g
a 
และจาก xa 2

เท่ากัน

64
7. (PAT.53) ลูกตุ้มอย่างง่ายมวล mA , mB , mC และ mD ถ้า mA = 2mB , mB = 0.5mC , mC = 3mD โดย
ความยาวของเชือกที่ผูกกับมวลแต่ละก้อนเท่ากัน คาบการแกว่งของมวลแต่ละก้อนเป็น TA , TB , TC
และ TD ตามลาดับ ข้อใดถูกต้อง
ก. TA = TB = TC = TD ค. TA < TB , TB > TC , TC < TD
ข. TA > TB , TB < TC , TC < TD ง. TA < TB , TB < TC , TC < TD
8. ลูกตุ้มแขวนด้วยเชือกยาว 2 เมตร แกว่งไปมาด้วยคาบ 2.5 วินาที ถ้าแขวนลูกตุ้มด้วยเชือกยาว 8
เมตร จะแกว่งด้วยคาบเท่าไร (5 วินาที)
9. (มช.45) ดาวเคราะห์ดวงหนึ่งมีมวลเป็น 16 เท่าของมวลโลก และมีเส้นผ่าศูนย์กลางใหญ่กว่าโลก 2
เท่า ถ้านาลูกตุ้มที่มีคาบการแกว่ง 1 วินาที บนพื้นโลก ไปแกว่งบนดาวเคราะห์ดวงนี้จงหาว่าลูกตุ้ม
จะมีคาบการแกว่งเป็นกี่วินาที ( 0.5 วินาที )

65
Homework
1. ลูกตุ้มนาฬิกาอันหนึ่ง แกว่ง 100 รอบ ในเวลา 200 วินาที ความเร่งสูงสุดในการเคลื่อนที่ของ ลูกตุ้มเป็น
20
2

เมตรต่อวินาที การขจัดสูงสุด ในการแกว่งนี้เป็นกี่ เซนติเมตร (5 cm)
2. แขวนมวล 100 กรัม ที่ปลายหนึ่งของสปริงที่มีมวลน้อยมาก ดึงมวลจากตาแหน่งสมดุล 10 cm แล้ว
ปล่อย อัตราเร็วเชิงเส้นขณะเคลื่อนที่ผ่านสมดุลมีค่าเท่าใด ถ้าคาบของการแกว่งมีค่า 2 วินาที
3. สปริงอันหนึ่งแขวนอยู่ในแนวดิ่งโดยมีมวล 1.0 กิโลกรัม ผูกติดที่ปลายอีกด้านหนึ่ง เมื่อสปริงนี้เกิดการ
สั่น จะปรากฏว่ามวลที่ผูกติดนั้น มีการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกด้วยคาบการเคลื่อนที่
5

วินาที
อยากทราบว่ามวล 1.0 กิโลกรัมนี้ จะยืดสปริงออกได้กี่เมตร (0.1 เมตร)
4. เมื่อผู้ขับมวล 60 กิโลกรัม ขึ้นขี่จักรยานคันหนึ่ง มวล 120 กิโลกรัม สปริงของรถจะยุบลง 2
เซนติเมตร รถเมื่อตกหลุมจะสั่นด้วยความถี่เท่าไร (2.5)
5. (En.43) หากผูกมวล m ติดกับสปริงในแนวดิ่ง ดึงมวลลงเล็กน้อยแล้วปล่อยให้สั่น พบว่า สปริงมีคาบ
การสั่น 2 วินาที ถ้าเพิ่มมวลเข้าไปอีก 2 กิโลกรัม สปริงจะมีคาบการสั่น 3 วินาที จงหาขนาดมวล
m ในหน่วยกิโลกรัม (1.6 kg)
6. (มช.42) ลวดสปริงอันหนึ่งวางบนพื้นเกลี้ยง ปลายด้านหนึ่งยึดแน่นกับผนัง ปลายที่เหลือมีมวล 1.0
กิโลกรัมติดไว้ ถ้าทาให้เกิดการสั่นแบบซิมเปิลฮาร์มอนิก วัดคาบการสั่นได้  5/2 วินาที แรงในหน่วย
ของนิวตันที่กระทาต่อมวลนี้เมื่ออยู่ห่างจากตาแหน่งสมดุล 0.2 เมตร เป็นเท่าใด (5 นิวตัน)
7. ปล่อยลูกตุ้ม ซึ่งมีสายยาว 90 เซนติเมตร จากมุมหนึ่งให้แกว่ง แต่สายลูกตุ้มติดตะปูที่ระยะ 50
เซนติเมตร ใต้จุดที่แขวนในแนวดิ่ง ลูกตุ้มจะแกว่งกลับมาในเวลาเท่าใด
ก. 1.57 s ค. 3.14 s
ข. 1.88 s ง. 6.28 s

66
งาน และ พลังงาน (Work and Energy)
งาน ที่เข้าใจกันทั่วไป หมายถึง การทางาน หรือ อาชีพต่าง ๆ เช่น กวาดบ้าน ทากับข้าว
หรือ สอนหนังสือ เป็นต้น แต่งานในทางฟิสิกส์นั้น มีความหมายที่ชัดเจน และ นิยามได้ดังนี้
งาน ; W งานคือผลของแรงที่กระทาบนวัตถุ และทาให้วัตถุเคลื่อนที่ไปตามแนวแรง
ในกรณีที่มี แรง F ซึ่งเป็นแรงคงตัว มากระทากับวัตถุ แล้วทาให้วัตถุเกิดการกระจัด s ในแนว
เดียวกับแรง ดังรูป สามารถหางานได้จาก
งาน มีหน่วยเป็น N.m หรือ J
 ถึงแม้จะออกแรงมากแค่ไหน แต่ วัตถุไม่เกิดการกระจัด งาน มีค่าเป็นศูนย์
 หากทิศของ แรง และการกระจัด ตั้งฉากกัน งาน มีค่า เป็นศูนย์
 แรงอยู่ในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่ งานเป็นบวก
 แรงอยู่ในทิศสวนกับการเคลื่อนที่ งานเป็นลบ
 หากดึงวัตถุขึ้นด้วยความเร็วคงที่ F = mg
 หากแรงไม่อยู่ในแนวเดียวกับการเคลื่อนที่ ต้องแตกแรง
ดังนั้น
 งาน สามารถ หาได้จาก พื้นที่ใต้กราฟ ระหว่าง แรง (F) กับ การกระจัด (s)
(ในกรณีที่แรง F อาจมีค่าไม่คงที่)
sFW .
cos..sFW 

67
1. ชายคนหนึ่งแบกข้าวสารหนัก 100 kg บนบ่า เดินไปตามพื้นราบเป็นระยะทาง 10 m แล้วจึงขึ้น
บันไดด้วยความเร็วคงที่ไปชั้นบนซึ่งสูงจากพื้นล่าง 3 m จงหางานที่ชายผู้นี้ทา (ใช้ g = 9.8 m/s2
)
ก. 9800 จูล ข. 2940 จูล ค. 12740 จูล ง. 1300 จูล
2. จากรูปเป็นกราฟระหว่างแรงกับระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ งานทั้งหมดที่แรงกระทาในช่วงระยะทางการ
เคลื่อนที่จาก 0 ถึง 6 cm
ก. 0.075 จูล ค. 0.150 จูล
ข. 0.135 จูล ง. 0.270 จูล
กาลัง (Power) ; P
คือ งานที่ทาได้ ในหนึ่งหน่วยเวลา (มีเวลามาเกี่ยวข้อง) ซึ่งก็คือ อัตราการทางานนั่นเอง
กาลัง หมายถึง อัตราการทางาน หรือ งานที่ทาได้ในหนึ่งหน่วยเวลา หาได้จาก
หรือ tPW . มีหน่วยเป็น J/s หรือ วัตต์ W
กรณีออกแรงแล้วทาให้วัตถุ เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
พิจารณา W = F.s แทนค่าในสมการจะได้ vF
t
s
F
t
sF
P ..
.







ดังนั้น จะได้ เมื่อ v คือ อัตราเร็วของวัตถุ
 หากทางานได้เท่ากัน ใครใช้เวลาน้อยกว่า แสดงว่า มีกาลังมากกว่า
 กาลัง เป็นตัวบอกประสิทธิภาพของการทางาน
t
W
P 
vFP .

68
1 กาลังม้า คือ งาน 33,000 ฟุต-ปอนด์ต่อหนึ่งนาที (ft-lb/min)
บางที่อาจใช้หน่วยกาลังเป็น กาลังม้า
กาลังม้า (horsepower, hp) คือ กาลังของม้า 1 ตัวหรืออัตราการทางานของม้า 1 ตัว เช่น
เครื่องยนต์ 10 hp สามารถทางานเท่ากับม้า 10 ตัว
คิดจากม้าเดินได้ 165 ft ในเวลา 1 นาที และยกน้าหนัก 200 lb ปริมาณงานที่ทาภายในเวลา
1 นาที คือ 33,000 ft-lb (165 ft x 200 lb)
เทียบหน่วยดังนี้
3. (มช.40) ชายคนหนึ่งขี่จักรยานด้วยอัตราเร็วคงตัว 10 เมตร/วินาที ไปบนพื้นถนนที่มีสัมประสิทธิ์
ความเสียดทาน 0.1 ถ้าน้าหนักตัวของเขาและจักรยานรวมกันเป็น 600 นิวตัน จงหาว่าเขาจะต้องใช้
กาลังกี่วัตต์
ก. 6 ข. 60 ค. 600 ง. 6000
4. (มช.53) นายสมชายออกแรงดันวัตถุมวล 50 kg ซึ่งอยู่ยิ่งบนพื้นราบตามแนวระดับ ปรากฏว่าขณะ
วัตถุเคลื่อนที่ได้ 20 เมตร วัตถุมีความเร็ว 10 m/s ถ้าแรงเสียดทานระหว่างพื้นและวัตถุเฉลี่ยเท่ากับ
50 นิวตัน จงหาว่าเขาออกกาลังในการดันวัตถุดังกล่าวกี่วัตต์ (875 วัตต์)
1 hp = 746 W หรือ 1.34 hp = 1 kW

69
พลังงาน (กล) Mechanical Energy
ในชีวิตประจาวัน มีพลังงานหลากหลายรูปแบบ พลังงานกลเป็นตัวอย่างที่ง่ายสุดใน
การศึกษาการเปลี่ยนรูปพลังงาน
พลังงานกล สามารถแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบ คือ
1. พลังงานจลน์ (Kinetic Energy) เป็นพลังงานที่ขึ้นกับความเร็วของวัตถุ หาได้จาก
 งานของแรงลัพธ์ที่กระทาต่อวัตถุ คือ พลังงานจลน์ของวัตถุที่เปลี่ยนไป
2. พลังงานศักย์ (Potential Energy) เป็นพลังงานที่ขึ้นกับตาแหน่งของวัตถุ มีหลายรูปแบบ
ตัวอย่างพลังงานศักย์ เช่น …
o พลังงานศักย์โน้มถ่วง ขึ้นกับความสูงของวัตถุ หาได้จาก
เมื่อ h คือ ความสูงจากจุดอ้างอิง (ปรกติคือ พื้นดิน)
o พลังงานศักย์ยืดหยุ่น เป็นพลังงานที่มีในวัสดุยืดหยุ่น เช่น สปริง เมื่อเรายืด หรืออัดมัน
เมื่อ k คือ ค่าคงที่ของสปริง (ค่านิจของสปริง)
พลังงานศักย์ยืดหยุ่นของสปริง ก็คือ งาน ของแรง F ในการยืดสปริงนั่นเอง
แต่แรงที่กระทาต่อสปริงมีค่าไม่คงที่ คือ เพิ่มตามระยะยืด ดังนั้นพิจารณา แรงเฉลี่ย  FF
2
1

2
2
1
mvEk 
mghEp 
2
2
1
ksEp 
smasFW .. 
sav .22
 ; u = 0
2
2
1
mvWEk 
22
2
1
2
1
mumvWEk 
 sFsFW .
2
1
.   ssk ..
2
1

2
.
2
1
skEp 

70
Note ค่านิจของสปริง (k) เป็นค่าที่บอกถึงความยืดหยุ่นของสปริง
k มาก - ยืดหยุ่นน้อย (สปริงแข็ง) และ k น้อย – ยืดหยุ่นมาก (สปริงอ่อน)
กฎของฮุค (Hook’s Law) เมื่อออกแรงดึงหรือกดวัสดุยืดหยุ่น ระยะยืดหรือหด จะเป็นสัดส่วน
โดยตรงกับ แรงนั้น sF  หรือเขียนเป็นสมการดังนี้
เครื่องหมาย ลบ แสดงถึงแรงทิศตรงข้าม พยายามดันกลับ
5. (มช.46) ลิฟต์มวล 4000 กิโลกรัม เคลื่อนที่ขึ้นจากจุดหยุดนิ่งด้วยอัตราเร่งคงตัว 3 เมตร/วินาที 2
พลังงานจลน์ของลิฟต์หลังจากที่เคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น 4 วินาที มีค่ากี่จูล
ก. 2.88 x 102
ข. 2.88 x 103
ค. 2.88 x 104
ง. 2.88 x 105
6. ตาชั่งสปริง ยืดออก 0.20 เมตร ขณะอ่านได้ 50 นิวตัน ถ้านามวลขนาด 3 กิโลกรัม แขวนไว้ที่
ปลายตาชั่ง ขณะนั้นสปริงมีพลังงานศักย์ยืดหยุ่นเท่าใด
ก. 1.8 J ข. 3.2 J ค. 4.6 J ง. 6.4 J
skF .

71
h = ………
H = ………
กฎการอนุรักษ์พลังงาน (Law of Energy Conservation)
กล่าวว่า ‚ พลังงานเป็นปริมาณที่ไม่สูญหายไปไหน แต่อาจเปลี่ยนรูปได้ โดยพลังงาน
รวมทั้งหมดต้องมีค่าคงที่ ‛
ดังสมการ
พิจารณา กรณีที่ โยนวัตถุมวล 2 kg ขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 10 m/s
3. 2
2
1
mvEk  = 0 J
 mghEp …….… J
2. 25
2
1 2
 mvEk J
 mghEp ………. J
1. 2
2
1
mvEk  = ……….. J
0 mghEp J
เมื่อเขียนกราฟ แสดง pE , kE และ E กรณีที่วัตถุถูกโยนขึ้น และตกกลับลงมาที่เดิม
จะเห็นว่า (ขาขึ้น) pE จะเพิ่มขึ้น ในขณะที่ kE จะลดลง แต่ E จะมีค่าเท่าเดิมไม่เปลี่ยน
JE ...........2 
JE ...........3 
JE ...........1 
21 EE 

72
พลังงานที่จาเป็นทั้งหมด ในการคานวณกฎการอนุรักษ์พลังงาน
1. 2
2
1
mvEk  ……พลังงานจลน์
2. mghEp  ……พลังงานศักย์โน้มถ่วง
3. 2
2
1
ksEp  ……พลังงานศักย์ยืดหยุ่น
4. sFW . …… งานของแรง F
5. NsfW  . ….งานของแรงเสียดทาน
6. tPW . …………พลังงานที่เกี่ยวข้องกับ กาลัง
7.  tVIW ..  tRI .2
 t
R
V
.
2






 …….พลังงานไฟฟ้ า
8. W (อื่นๆ) ที่ยังไม่ได้เรียน เช่น พลังงานความร้อน พลังงานของก๊าซ …..
7. (En.42) ก้อนหินมวล 20 กิโลกรัม ตกจากที่สูง 490 เมตร เหนือพื้นดิน อยากทราบว่าหลังจาก
ปล่อยก้อนหินแล้วเป็นเวลานานเท่าใด ก้อนหินจะมีพลังงานจลน์เท่ากับพลังงานศักย์ (7)
8. (มช.44) กล่องมวล 30 กิโลกรัม เคลื่อนที่ลงมาตามทางโค้ง ดังรูป ถ้ากล่องมีอัตราเร็ว 1 m/s ณ
ตาแหน่ง A และ 6 m/s ณ ตาแหน่ง B จงหางานของแรงเสียดทานที่พื้นทางโค้งกระทาต่อกล่อง
ในช่วงการเคลื่อนที่จาก A ไปยัง B จะมีค่ากี่จูล
ก. 375 ค. 825
ข. 475 ง. 1455
สังเกตว่า
งาน W กับ พลังงาน E
มันคือปริมาณที่เหมือนกัน (J )
งาน …..ต้องมีแรงทาให้เกิด
พลังงาน…..มีอยู่แล้วในตัวเอง

73
9. (มช.42) ปล่อยวัตถุมวล 5 กิโลกรัม ให้ไถลไปตามพื้นเอียงซึ่งยาว 5 เมตร และอยู่สูงจากพื้นราบ 3
เมตร ปรากฏว่าวัตถุนี้ยังสามารถไถลไปตามพื้นราบได้อีกเป็นระยะทาง 11 เมตร จึงหยุด ถ้าพื้นเอียง
และพื้นราบมีสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานจลน์เท่ากัน จงคานวณหาค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน
จลน์นี้ (0.2)
10. (มช.53) ปล่อยวัตถุมวล m = 1 กิโลกรัม ลงมาตามพื้นเอียงที่ไม่มีความเสียดทาน ซึ่งพื้นเอียงทามุมกับ
แนวระดับ 30 องศา จากตาแหน่งเริ่มต้นซึ่งห่างจากปลายสปริง 2 เมตร ดังแสดงในรูป เข้าชนกับ
สปริงที่ติดอยู่ที่ปลายล่างพื้นเอียง ทาให้สปริงหดเข้าไป 20 เซนติเมตร จงหาค่า k ของสปริงในหน่วย
นิวตัน/เมตร

74
เครื่องกล (Machine)
คือ อุปกรณ์ที่ทาให้การทางานสะดวกขึ้น ซึ่งส่วนมากก็จะผ่อนแรง เช่น รอก พื้นเอียง คาน
ล้อและเพลา ลิ่ม สกรู เป็นต้น
การได้เปรียบเชิงกล (Mechanical Advantage) ; M.A.
คือ อัตราส่วนของ แรงที่ได้จากเครื่องกล W ส่วนแรงที่ให้กับเครื่องกล F
มีหน่วยเป็น จานวนเท่า
ประสิทธิภาพของเครื่องกล (Efficiency) ; Eff.
คือ อัตราส่วนของงานที่ได้จากเครื่องกล ส่วนงานที่ให้กับเครื่องกล (มักบอกเป็น %)
 เครื่องกลในอุดมคติ จะมี Eff. = 100 % นั่นคือ ไม่มีการสูญเสียงานเนื่องจากความฝืด
 เครื่องกลในทางปฏิบัติ จะมี Eff. < 100 % นั่นคือ ต้องมีการสูญเสียพลังงานเกิดขึ้น
11. ถ้าใช้พื้นเอียงผิวเกลี้ยง ดังรูป เป็นเครื่องกลอันหนึ่ง การได้เปรียบเชิงกล และ ประสิทธิภาพของ
เครื่องกลอันนี้มีค่าเท่าใด (1.5 , 75 % )
M.A. =
F
W
งานที่ให้ = งานที่ได้
งานที่ให้ = งานที่ได้ + งานที่เสียไป(แรงเสียดทาน)

75
Homework
1. (PAT.53) ออกแรง F ขนาด 40 นิวตัน กระทาต่อวัตถุมวล 2 กิโลกรัม ดังรูป ทาให้วัตถุเคลื่อนที่ขึ้น
ตามพื้นเอียงเป็นระยะทาง 0.5 เมตร งานของแรง F ที่กระทาต่อวัตถุนี้เป็นกี่จูล
i. 12.4 ค. 24.8
ii. 17.3 ง. 34.6
2. เด็กคนหนึ่งออกแรง 50 นิวตัน ลากกล่องไม้ในแนวทามุม 60 องศากับแนวการเคลื่อนที่ ถ้าเขา
สามารถลากกล่องไม้ไปได้ไกล 20 เมตร ด้วยอัตราเร็วคงที่ จงหางานที่เขาทา (500 J)
3. ชายคนหนึ่ง ดึงวัตถุมล 50 kg ขึ้นจากพื้น ด้วยความเร่ง 2 m/s2
งานของชายคนนี้เป็นเท่าไร ถ้ามวล
ขึ้นไปสูงจากพื้น 5 เมตร ( 3 kJ)
4. โซ่เหล็กยาว 10 เมตร มีมวลเมตรละ 2 กิโลกรัม ห้อยอยู่ที่ปากบ่อซึ่งลึก 10 เมตร ถ้าต้องการดึงโซ่
ทั้งเส้นขึ้นจากบ่อ จะต้องทางานเท่ากับ (1000 จูล)
5. (มช.45) งาน 80 จูล ถูกใช้ไปเพื่อยกวัตถุมวล 2 กิโลกรัม ขึ้นในแนวดิ่ง เป็นระยะสูง 1 เมตร เป็นการ
ออกแรงคงที่ อยากทราบว่าวัตถุนี้ถูกยกขึ้นด้วยความเร่งกี่เมตร/วินาที2
(30)
6. เข็นลังที่มีมวล 80 kg ขึ้นไปตามพื้นเอียงเป็นระยะทาง 10 m ดังรูป ด้วยความเร็วคงที่ ถ้ากาหนด
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์เป็น 0.2 จะต้องทางานทั้งหมดเท่าไร (6080 J)
7. รถไฟขบวนหนึ่งมีมวล 2 x 105
กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่าเสมอ 25 เมตร/วินาที ถ้ารถไฟมี
กาลัง 95000 วัตต์ แรงต้านเฉลี่ยของรางรถไฟเป็นกี่นิวตัน (3.8 x 103
)
8. หญิงคนหนึ่งมวล 40 กิโลกรัม รับประทานอาหารที่ให้พลังงานความร้อน 400 จูล ถ้าพลังงาน
จานวนนี้จะใช้สาหรับยกตัวเองขึ้นจากพื้น เธอจะถูกยกสูงจากพื้นเท่าใด ( 1 m)

76
9. งานของแรง F ซึ่งกระทากับวัตถุหนึ่ง มีความสัมพันธ์กับระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ s ดังรูป วัตถุใช้เวลา
เคลื่อนที่ทั้งหมด 20 วินาที ในการทางานของแรง F นี้กาลังเฉลี่ยของแรง F เป็นเท่าใด(3.5 W )
10. โยนวัตถุมวล 500 กรัม ขึ้นไปด้วยความเร็ว 20 m/s ที่ตาแหน่งสูงสุดวัตถุมีพลังงานศักย์โน้มถ่วงกี่จูล
(100 J)
11. จากการทดลองหาความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของแรงกับระยะทางที่สปริงยืดออก ได้กราฟ
ความสัมพันธ์ดังรูป ในการทดลองนี้ถ้ายืดสปริงออกจากสมดุล 12 เซนติเมตร พลังงานศักย์ยืดหยุ่น
ของสปริงขณะนั้นมีค่าเท่าไร (6 J )
12.( มช. 47 ) จงหาความเร็ว ( ตอบในหน่วย เมตร/ วินาที ) ของมวล 20 กิโลกรัม ที่เคลื่อนที่เข้าชนสปริง
ในแนวระดับ แล้วทาให้สปริงถูกกดเข้าไปเป็นระยะมากที่สุด 10 เซนติเมตร แต่ถ้าใช้มวล 2 กิโลกรัม
แขวน ที่ปลายสปริงในแนวดิ่ง ทาให้สปริงยืดออก 0.01 เมตร
13. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกที่ปลายของเชือกเบายาว 1.6 เมตร ซึ่งปลายอีกด้านหนึ่งยึดติดกับเพดาน
ถ้าดึงวัตถุให้เชือกทามุม 60๐
กับแนวดิ่ง แล้วปล่อย จงหาความเร็วของวัตถุที่จุดต่าสุด ( 4 m/s)
14. มวล 4.4 กิโลกรัม อยู่ห่างจากปลายสปริง 25 เซนติเมตร เคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็ว 1
เมตร/วินาที ชนสปริงซึ่งมีค่านิจ 800 นิวตัน/เมตร ถ้าแรงเสียดทานระหว่างพื้นกับมวลเป็น 4 นิวตัน
สปริงจะหดสั้นสุดกี่เซนติเมตร (5)
15.(มช 48) วัตถุมวล 4 กิโลกรัม ตกจากที่สูง h ลงบนฟูกที่มีความยืดหยุ่นและมีค่าตัวสปริงเป็น 4 x 103
นิวตัน /เมตร ฟูกถูกกดลงไปเป็นระยะมากที่สุด 20 เซนติเมตร จงหาค่า h ในหน่วยเมตร เมื่อ h เป็น
ระยะจากจุดที่วัตถุตกถึงฟูกก่อนถูกกด

77
16. แท่งวัตถุหนัก 2 kg ไถลลงมาตามรางส่วนโค้งของวงกลมรัศมีความโค้ง 2.5 m ดังรูป เมื่อถึงส่วน
ล่างสุด แท่งวัตถุมีความเร็ว 6 m/s จงหางานในการไถลลงมาตามลางของแท่งวัตถุเนื่องจากความฝืด
(14 จูล )
17. (มช.40) ชานคนหนึ่งเล่นสกีโดยเลื่อนสกีลงด้วยอัตราเร็ว 9 เมตร/วินาที ลงจากเนินสกีที่ลาดตรงและ
ไม่มีความเสียดทาน เป็นระยะทาง 9 เมตร พบว่ามีอัตราเร็วเป็น 15 เมตร/วินาที จงหาค่าความชัน
ของเนินสกี ( 1.33)
18. (มช.50) ในการเล่นเลื่อนบนหิมะ ด.ช.ทิมหนัก 30 กิโลกรัม ขอให้พ่อลากเลื่อนที่ตัวเขานั่งอยู่ จากบ้าน
ขึ้นไปบนเนินเขาสูง 10 เมตร แล้วปล่อยให้เลื่อนไถลลงเนินเขาอีกด้านหนึ่งที่ชันกว่า ลงสู่พื้นที่ต่ากว่า
ระดับของบ้านเป็นระยะ 2 เมตร ถ้าเลื่อนนั้นทาให้หิมะละลายคิดเป็นความร้อนได้ 153 จูล ด.ช.ทิม
จะมีความเร็วกี่เมตร/วินาที เมื่อเลื่อนเคลื่อนที่มาถึงพื้น (กาหนดให้ g = 9.8 m/s2
)
ก. 13.6 ข. 14.2 ค. 15.0 ง. 17.5
19. (มช.43) ใช้เครื่องสูบน้าที่มีกาลัง 400 วัตต์ สูบน้าขึ้นจากบ่อลึก 10 เมตร ในเวลา 1 ชั่วโมง แล้วฉีด
ออกไปด้วยอัตราเร็ว 20 เมตร/วินาที จงหาว่าเครื่องสูบน้านี้สูบน้าได้มวลกี่กิโลกรัม (4800)
20. (มช. 45) ถ้ารถอีแต๋นคันหนึ่งวิ่งด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 36 กิโลเมตร/ชั่วโมง ด้วยกาลังเฉลี่ยของเครื่องยนต์
20 กาลังม้า สมมติเครื่องยนต์มีประสิทธิภาพ 20% อยากทราบว่าในระยะทาง 100 กิโลเมตร รถอีแต๋น
คันนี้ผลาญน้ามันไปกี่กิโลกรัม ถ้าน้ามันที่ใช้ชนิดที่จะใช้พลังงาน 5 x 107
จูลต่อ 1 กิโลกรัม
(กาหนด 1 กาลังม้า = 743 วัตต์) (14.86 kg)
21. (มช.41) โดยการใช้ล้อและเพลาดังรูป เราสามารถยกวัตถุมวล 40 กิโลกรัม โดยใช้แรง 50 นิวตัน
กระทาที่ขอบของล้อ รัศมีของล้อ และเพลามีค่าเท่ากับ 96 และ 6 เซนติเมตร ตามลาดับ จงหา
ประสิทธิภาพของเครื่องกลนี้ (50 %)

78
โมเมนตัมและการดล
โมเมนตัม (Momentum) ; P

มีความหมายว่า ความพยายามที่จะมุ่งไปข้างหน้า นิยาม (Definition) ในทางฟิสิกส์ คือ
โมเมนตัม ;P

(ของวัตถุ) คือ ผลคูณระหว่าง มวล(m) ของวัตถุ กับ ความเร็ว(v

) ของวัตถุนั้น
โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางในทิศของความเร็ว
มีหน่วยเป็น กิโลกรัม.เมตร/วินาที (kg.m/s) หรือ นิวตัน.วินาที (N.s)
ความสัมพันธ์ ระหว่าง P และ Ek
 เมื่อวัตถุมี พลังงานจลน์ ก็ต้องมีโมเมนตัมด้วย
แรงและการเปลี่ยนโมเมนตัม (แรงดล – การดล)
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน (Newton’s Second Law)
นั่นคือ amF


จาก
12 tt
uv
a


 จะได้ 








12 tt
uv
mF
(แรงทาให้โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนไป)
t
PP


 12
t
P
F


 = แรงดล ( เกิดในช่วงเวลาสั้นๆ)
PtF  = การดล
 การดล (Impulse) คือ การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม หรือ โมเมนตัมที่เปลี่ยนไป
 แรงดล (Impulsive Force) คือ แรงที่ทาให้เกิดการดล ซึ่งทาให้โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนไป
เกิดในช่วงเวลาสั้นๆ หรือ อาจเรียกว่า อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัม ก็ได้
vmP


t
mumv
F



อย่าลืมคิดเครื่องหมาย
ของความเร็วด้วย !!
เข้าเป็นบวก ออกเป็น ลบ
m
P
Ek
2
2

วัสดุนุ่มๆช่วยลดแรงดลได้

79
1. (มช.44) รถยนต์ 2 คัน A และ B มีพลังงานจลน์เท่ากัน มีโมเมนตัมเป็น PA และ PB ถ้ารถยนต์ A
มีมวลเป็น 2 เท่าของรถยนต์ B ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมของรถยนต์ทั้งสองคันจะเป็นเท่าใด
ก. PB = 2 PA ข. PA = 2 PB ค. PB = 2 PA ง. PA = 2 PB
2. ลูกฟุตบอลมวล 0.5 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ถ้าผู้รักษาประตูใช้มือรับลูก
บอลให้หยุดนิ่ง ภายในเวลา 0.04 วินาที แรงเฉลี่ยที่มือกระทาต่อลูกบอลมีขนาดเท่าใด
ก. 100 N ข. 250 N ค. 500 N ง. 750 N
3. (มช.52) หากปล่อยลูกบอลมวล 100 กรัม จากที่สูง 1.25 เมตร พบว่าลูกบอลกระทบพื้น แล้ว
กระดอนขึ้นสูง 0.8 เมตร ในการกระทบพื้นโมเมนตัมของลูกบอลเปลี่ยนไปกี่กิโลกรัม.เมตร/วินาที2
ก. -0.1 ข. 0.45 ค. 0.9 ง. 0.1

80
 กรณีที่ลูกบอลกระทบพื้นแล้วกระดอนขึ้น จะเห็นว่าช่วงเวลาที่ลูกบอลกระทบพื้นนั้น
สั้นมากๆ แรงที่พื้นกระทาต่อลูกบอลนั้น มีการเปลี่ยนแปลงดังกราฟ
จะเห็นว่าแรงดลกระทามีขนาดไม่คงที่
เพิ่มขึ้น และ ลดลงอย่างรวดเร็ว ในช่วงเวลาสั้นๆ
ดังนั้น อาจคิดเป็น แรงเฉลี่ย ก็ได้
 พื้นที่ใต้กราฟ F กับ t คือ การดล P นั่นเอง ( PtF  = พื้นที่ใต้กราฟ)
4. ลูกบอลมวล 40 กรัม ถูกตีด้วยแรงในเวลาสั้น ๆ ซึ่งขนาดของแรงและเวลาประมาณได้ดังกราฟ
อัตราเร็วหลังถูกตีของลูกบอลจะเป็นเท่าใด
ก. 10 m/s ค. 36 m/s
ข. 24 m/s ง. 50 m/s
แรงเฉลี่ย (ของแรงดล) คือ ตาแหน่งเส้นประที่ทาให้ พื้นที่ใต้กราฟ(โค้ง) = พื้นที่ของรูป 

81
การชน (Collision) ใน 1 มิติ
เมื่อวัตถุเข้าชนกัน ดีดตัว หรือระเบิดออกจากกัน ซึ่งจะทาให้โมเมนตัมของวัตถุ เปลี่ยนไป
แต่โมเมนตัมรวมของระบบต้องคงที่ ซึ่งเป็นไปตาม กฎอนุรักษ์โมเมนตัม ที่กล่าวว่า…
‚ ผลรวมโมเมนตัมของระบบก่อนชน เท่ากับ ผลรวมโมเมนตัมของระบบหลังชน ‛
นั่นคือ * อย่าลืมคิดทิศทางโมเมนตัมด้วย
22112211 vmvmumum 
การชนกันของวัตถุ โดยทั่วไปจะมี 2 แบบ คือ
1. การชนกันแบบยืดหยุ่น เป็นการชนซึ่งพลังงานจลน์จะมีค่าคงเดิม นั่นคือ
2. การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น พลังงานจลน์จะมีค่าไม่คงเดิม
 ทุกลักษณะการชน โมเมนตัมจะต้องอนุรักษ์
 หากหลังจากชนแล้ววัตถุเคลื่อนที่ติดกันไป จะเป็น แบบไม่ยืดหยุ่น
 ชนแล้วติดกันไป ให้อามวลมารวมกัน  21 mm    vmmumum 212211 
 การชนส่วนใหญ่ มักเป็นแบบไม่ยืดหยุ่น เพราะว่ามีการสูญเสียพลังงาน
5. (มช.41) ชุดสาธิตการคงตัวของโมเมนตัม ประกอบด้วยวัตถุทรงกลม x , y และ z ทาด้วยวัสดุอย่าง
เดียวกัน มีขนาดเท่ากัน แขวนไว้ในแนวดิ่ง เมื่อดึงวัตถุ x ออกไปข้าง ๆ ดังรูป แล้วปล่อย ข้อใดที่
อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุทรงกลม x , y และ z หลังจากถูกชนทันทีทันใด
ก. x หยุดนิ่ง
ข. y หยุดนิ่ง
ค. x และ y หยุดนิ่ง
ง. y และ z เคลื่อนที่ไปด้วยกัน
P ก่อนชน = P หลังชน
kE ก่อนชน = kE หลังชน
kE ก่อนชน  kE หลังชน

82
6. ลูกบิลเลียดสีขาวมีอัตราเร็ว 5 เมตร/วินาที วิ่งชนลูกบิลเลียดสีดาที่อยู่นิ่ง หลังจากชนแล้ว ลูก
บิลเลียดทั้งสองวิ่งไปในทิศทางเดียวกัน ถ้าลูกสีขาวมีอัตราเร็วหลังชนเป็น 1 เมตร/วินาที จงหาว่าลูก
สีดาจะมีอัตราเร็วกี่ เมตร/วินาที และชนแบบยืดหยุ่นหรือไม่ยืดหยุ่น (4 )
7. (PAT.53) ชาย 2 คน มวล 50 กิโลกรัม และ 100 กิโลกรัม ยืนอยู่บนลานน้าแข็งราบและลื่น จับปลาย
เชือกเบายาว 9 เมตร คนละด้าน เมื่อชายมวล 100 กิโลกรัม ดึงเชือกเข้าหาตัวเองเขาจะเลื่อนไปชนกัน
ณ ตาแหน่งที่ห่างจากตาแหน่งเดิมของเขาเป็นระยะกี่เมตร
ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6
8. ลูกปืนมวล 8 กรัม ยิงตรงไปยังท่อนไม้มวล 2.0 กิโลกรัม ซึ่งวางอยู่บนขอบโต๊ะพื้นลื่นที่ความสูง 0.8
เมตร เมื่อลูกปืนกระทบท่อนไม้ และฝังในเนื้อไม้ท่อนไม้เคลื่อนที่หล่นจากโต๊ะและตกถึงพื้นห่างจากโต๊ะ
2 เมตร จงหาอัตราเร็วของลูกปืนในหน่วยเมตร/วินาที (1,255 m/s)

83
9. ปล่อยมวล 2 กิโลกรัม จาก A สูง 5 เมตร ลงมาตามทางเกลี้ยง AB ชนมวล 3 กิโลกรัม ซึ่งอยู่นิ่ง
ที่จุด B แล้วไถลไปด้วยกันตามพื้นราบ ไปหยุดที่จุด C ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่าง
พื้นราบกับมวลทั้งสองเท่ากับ 0.1 ระยะ BC มีค่ากี่เมตร (8 เมตร)
10. กระสุนปืนมวล 4 กรัม มีความเร็ว 1000 เมตรต่อวินาที ยิงทะลุแผ่นไม้หนัก 800 กรัม ที่ห้อยแขวน
ไว้ด้วยเชือกยาว หลังจากทะลุแผ่นไม้ลูกปืนมีความเร็ว 400 เมตรต่อวินาที จงหาว่าแท่งไม้จะแกว่ง
ขึ้นไปสูงจากจุดนิ่งเท่าใด
ก. 0.15 m ข. 0.20 m ค. 0.45 m ง. 0.60 m

84
การชนใน 2 มิติ
เช่น การระเบิด แยกทามุมซึ่งกันและกัน การชนแบบชิ่ง เช่น ลูกบิลเลียด
การชนก็ยังคงเป็นไปตามกฎอนุรักษ์โมเมนตัม
ต้องใช้เรื่องของเวกเตอร์ลัพธ์มาช่วย
cos.222
yxyx PPPPP  กรณีที่ ตั้งฉากกัน 22
yx PPP 
1. การชนแบบยืดหยุ่น (สมบูรณ์)
กรณีที่ มวลทั้ง 2 ก้อนเท่ากัน โดยที่ก้อนที่ 1 เข้าชนแบบชิ่ง กับก้อนที่ 2 ซึ่งอยู่นิ่ง
หลังชน แล้วทั้ง 2 ก้อนจะแยกออกจากกันเป็นมุมฉาก (90 o
) ดังรูป
 ซึ่งหลักการนี้เป็นที่ทราบดีสาหรับนักกีฬาสนุ๊กเกอร์ บิลเลียด
กรณีที่ มวลไม่เท่ากัน อาจแยกจากกันทามุม > 90 o
หรือ < 90 o
ก็ได้ แล้วแต่กรณี
2. การชนแบบไม่ยืดหยุ่น เช่น….
P ก่อนชน = P หลังชน

85
11. (มช.50) มวล M1 ขนาด 5 กิโลกรัม ความเร็ว 8 เมตร/ วินาที วิ่งเข้าชนกับมวล M2 ขนาด 10
กิโลกรัม ความเร็ว 4 เมตร/วินาที แล้ววิ่งติดไปด้วยกัน ดังรูป ให้หาความเร็วหลังการชน V ของมวล
ทั้งสองในหน่วยเมตร/วินาที และเป็นการชนแบบ……………………..

86
Homework
1. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปบนพื้นราบ ถ้าโมเมนตัมขณะหนึ่งของวัตถุเท่ากับ 10 kg.m/s จงหา
ว่าขณะนั้นวัตถุมีพลังงานจลน์เท่าไร (25 จูล)
2. ขว้างวัตถุมวล  กิโลกรัม ขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 36 km/h โมเมนตัมของวัตถุที่ระดับ
ความสูง 2.55 เมตรจากพื้นดินเป็นเท่าไร (22 kg.m/s)
3. (มช.45) ลูกเทนนิสมวล 250 กรัม เคลื่อนที่ตรงเข้าหาภราดรด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ถูก
ภราดรตีกลับด้วยอัตราเร็ว 30 เมตร/วินาที ในทิศทางตรงกันข้าม ถ้าเวลาที่ลูกเทนนิสถูกตีเท่ากับ
0.05 วินาที ภราดรตีลูกเทนนิสกลับด้วยแรงขนาดกี่นิวตัน (250 นิวตัน)
4. (En.42) กระสุนปืนมวล 20 กรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 500 เมตร/วินาที เข้าไปในกระสอบทราย
ใช้เวลา 1.0 มิลลิวินาที กระสุนจึงหยุด ถ้าแรงต้านทานของทรายที่กระทาต่อกระสุนมีค่าคงตัว แรง
ต้านทานนี้มีค่าเท่าใดในหน่วย กิโลนิวตัน (10 kN)
5. ปล่อยลูกบอลมวล 100 กรัม สูงจากพื้น 20.0 เมตร หลังจากกระทบพื้นลูกบอลสะท้อนกลับใน
แนวดิ่งดังเดิมขึ้นไปสูง 11.25 เมตร ถ้าช่วงเวลาที่ลูกบอลสัมผัสพื้นเป็นเวลา 10- 2
วินาที แรงเฉลี่ยที่
พื้นกระทาต่อลูกบอลมีค่ากี่นิวตัน (351 นิวตัน)
6. ใช้ค้อนมวล 0.5 kg ตอกตะปู ในขณะที่ค้อนใกล้กระทบตะปูนั้น มีขนาดความเร็ว 8 m/s และ
หลังจากกระทบหัวตะปูแล้ว ค้อนสะท้อนกลับด้วยความเร็วเท่าเดิม ถ้าช่วงเวลาที่ค้อนกระทบหัวตะปู
เป็น 1 มิลลิวินาที การดลเป็นเท่าใด และ แรงเฉลี่ยที่ค้อนกระทาต่อตะปูเป็นเท่าใด
(8 kg.m/s , 8000 N)
7. (มช.50) ลูกกอล์ฟมวล 0.1 kg ถูกตีออกจากแท่นวาง ด้วยแรงขนาด 600 N ถ้าไม่กอล์ฟ สาผัสลูก
กอล์ฟ เป็นเวลา 5 มิลลิวินาที จงหาขนาดของการดล ในหน่วย N.s และอัตราเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปของ
ลูกกอล์ฟในหน่วย m/s ( 3 , 30)

87
8. ลูกบอลมวล 0.4 kg เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 10 m/s ในแนวระดับ ถูกตีสวนด้วยไม้ กราฟระหว่าง
แรงกับเวลา ในขณะกระทบกันแสดงดังรูป อัตราเร็วหลังถูกตีของลูกบอลเป็นกี่ m/s (27.5 m/s)
9. รถสินค้ามวล 104
กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปตามรางด้วยความเร็ว 2 เมตร/วินาที วิ่งเข้าชนรถสินค้าอีกคัน
หนึ่งมวล 2 x 104
กิโลกรัม ซึ่งจอดอยู่นิ่ง ภายหลังชนรถทั้งสองเคลื่อนที่ติดกันไป จงหาความเร็วของ
รถทั้งสองคันหลังชน (0.67 m/s)
10. ยิงลูกปืนมวล 4 กรัม ด้วยความเร็ว 1000 เมตร/วินาที วิ่งทะลุผ่านแผ่นไม้มวล 800 กรัม ซึ่งแขวน
ไว้ด้วยเชือกยาว ทันทีที่ลูกปืนทะลุผ่านแผ่นไม้ แผ่นไม้มีความเร็ว 3 เมตร/วินาที ค่าการเปลี่ยน
โมเมนตัมของลูกปืนเป็นเท่าใด (2.4 N.s)
11. มวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 16 m/s เข้าชนกับมวล 3m ที่อยู่นิ่ง หลังชนพบว่ามวล m กระเด็น
กลับด้วยความเร็ว 5 m/s ความเร็วหลังชนของมวล 3m มีขนาดกี่ m/s (7 m/s)
12. (มช.45) วัตถุ A และวัตถุ B ถูกจับให้อยู่นิ่งบนพื้นลื่น โดยบีบสปริงอยู่ตรงกลาง วัตถุ A มีมวล
5
2 เท่าของวัตถุ B เมื่อปล่อยให้วัตถุทั้งสองเป็นอิสระ อัตราส่วนของค่าพลังงานจลน์ของวัตถุ A ต่อ
วัตถุ B เป็นเท่าใด ( 2
5 )
13. (En.42) รถยนต์คันหนึ่งมวล 2000 กิโลกรัม แล่นด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที แล้วชนกับรถยนต์
อีกคันหนึ่ง มวล 3000 กิโลกรัม ซึ่งจอดอยู่นิ่ง ภายหลังการชนรถทั้งสองติดกันและไถลไปได้ไกล 5
เมตร แล้วหยุด จงหาขนาดของแรงเสียดทานที่พื้นถนน กระทาต่อรถทั้งสองในหน่วยนิวตัน
(8000 นิวตัน)
14. ( มช.47) ลูกปืนมวล 20 กรัม เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว 100 เมตร/วินาที เข้าชนกล่องไม้ที่มีมวล 780 กรัม
ที่วางอยู่บนพื้น ภายหลังการชน ลูกปืนฝังอยู่ในกล่องไม้และกล่องไม้เคลื่อนที่ไปได้ระยะทาง 50
เซนติเมตร แล้วหยุดนิ่ง จงหาว่าแรงเสียดทานระหว่างพื้นกับกล่องไม้มีค่ากี่นิวตัน

88
15. (มช.41) จากรูป สปริงอยู่ในแนวราบ มวล M ขนาด 480 กรัม วางอยู่บนพื้นลื่น ยิงลูกปืนมวล 20
กรัม ในแนวราบเข้าฝังในมวล M ทาให้สปริงหดเข้าจากเดิม 5 เซนติเมตร ถ้าลูกปืนวิ่งชนมวล M
ด้วยอัตราเร็ว 50 m/s จงหาว่าค่าคงตัวของสปริงอันนี้มีค่ากี่นิวตัน/เมตร (800 N/m)
16. ในการฝึกของ รด. ลูกปืนมวล 10 กรัม ถูกยิงออกจากปากกระบอกปืนด้วยความเร็ว 1500 เมตร/
วินาที ตามกฎทรงโมเมนตัมตัวปืนจะเคลื่อนที่ตรงข้ามกับลูกปืน ถามว่าจะต้องออกแรงเฉลี่ยเท่าไร จึง
จะบังคับให้ปืนหยุดในเวลา 0.1 วินาที (150 นิวตัน)
17. ปืนใหญ่มีมวล 800 กิโลกรัม ยิงลูกปืนมวล 20 กิโลกรัม ในแนวขนานกับพื้นราบ ซึ่งมีสัมประสิทธิความ
เสียดทาน 0.5 ปรากฏว่าเมื่อยิงออกไปแล้วปืนใหญ่เลื่อนไถลไป 0.4 เมตรจึงหยุด จงหาอัตราเร็วของ
ลูกปืน (80 m/s)
18. (มช 48) ลูกปืนมวล 15 กรัม ถูกยิงเข้าไปฝังในท่อนไม้มวล 3 กิโลกรัม ที่แขนอยู่ด้วยเชือกที่ยาวมาก ทา
ให้ท่อนไม้นั้นกระดอนขึ้นไปเป็นระยะ 10 เซนติเมตรจากแนวระดับเดิม ความเร็วของลูกปืนก่อนชนท่อน
ไม้เป็นกี่เมตรต่อวินาที (กาหนดให้สาหรับข้อนี้g = 9.8 m/s2
)
19. (มช.43) วัตถุ A มีมวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนสปริง
เบา ที่ผูกติดกับวัตถุ B ซึ่งมีมวล 5 กิโลกรัม ที่กาลังเคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยความเร็ว 3 m/s ทาให้
สปริงยุบเข้าไป 50 cm แล้วเคลื่อนที่ติดกันไป จงหาว่าสปริงอันนี้มีค่าคงที่สปริงกี่นิวตัน/เมตร (280)
20. มวลขนาด 8 กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันออกด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ไปชนกับมวลขนาด
2 กิโลกรัม ที่กาลังเคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันตกด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที แล้วมวลแรกยังคง
เคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันออกด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที พลังงานจลน์รวมเปลี่ยนไปกี่จูล (400 จูล)
21. (En. 42) บั้งไฟบั้งหนึ่งกาลังเคลื่อนที่ขึ้นตามแนวดิ่งด้วยความเร็ว 16 เมตรต่อวินาที เกิดระเบิดแตก
ออกเป็นสองส่วน โดยส่วนแรกมีมวล 12 กิโลกรัม เคลื่อนที่ตั้งฉากกับทิศทางเดิมด้วยอัตราเร็ว 16
เมตรต่อวินาที และส่วนที่สองมวล 4 กิโลกรัม จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่าใด

89
22. (En 43) ลูกบิลเลียด A วิ่งด้วยอัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที เข้าชนกับลูกบิลเลียด B ที่อยู่นิ่งและมีมวล
เท่ากับ A หลังจากชนกันแล้วลูกบิลเลียดทั้งสองเคลื่อนที่แยกออกจากกัน โดย A ทามุม 37o
กับแนว
เดิมดังรูป ถ้าการชนเป็นแบบยืดหยุ่นและไม่คิดผลจากการหมุนและความฝืดของพื้นกับลูกบิลเลียด
อัตราเร็วของลูกบิลเลียดทั้งสองจะเป็นเท่าใด (VA = 8 m/s , VB = 6 m/s)

90
การเคลื่อนที่แบบหมุน (Rotational Motion)
การเคลื่อนที่ที่เราได้เรียนผ่านมา เป็นการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตาแหน่งเพียงอย่างเดียว
ซึ่งเป็นผลมาจาก ออกแรงกระทาผ่านศูนย์กลางมวลวัตถุ (จุด CM)
ถ้าออกแรงกระทากับวัตถุ โดยไม่ผ่านศูนย์กลางมวล จะทาให้วัตถุเกิดการหมุน และอาจ
มีการเลื่อนตาแหน่งด้วย เช่น ลูกฟุตบอล และ ล้อรถ ที่หมุนและเคลื่อนที่ไปด้วย
ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุน
1. การกระจัดเชิงมุม  (Angular displacement)…..ปริมาณเวกเตอร์
คือ มุม  ในหน่วย เรเดียน ซึ่งรองรับส่วนโค้งใด ๆ
นิยาม ของมุมเรเดียน  คือ อัตราส่วนของ ความยาวส่วนโค้ง S ต่อ รัศมี R
เทียบ
มุม 360 องศา เท่ากับ 2 เรเดียน (1 รอบ)
ดังนั้น มุม 0
 =
180

Rad
R
S


91
2. ความเร็วเชิงมุม  (Angular velocity) …..ปริมาณเวกเตอร์
คือ การกระจัดเชิงมุมที่กวาดไปได้ ในหนึ่งหน่วยเวลา
มีหน่วย rad / s
ถ้ากวาดไปได้ 1 รอบ   2 ใช้เวลา 1 คาบ  Tt 
ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์ คือ
3. ความเร่งเชิงมุม  (Angular acceleration)……ปริมาณเวกเตอร์
คือ ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไป ในหนึ่งหน่วยเวลา
มีหน่วย rad /s2
 ทิศของ 

,, จะอยู่ตรงแกนหมุน ตาม กฎมือขวา (ทาท่านางกวัก)
ความสัมพันธ์ของปริมาณต่าง ๆ แบบเชิงมุม หาได้ในทานองเดียวกันกับเชิงเส้น เช่น….
ที่เวลา t = 0 วัตถุมีความเร็วเชิงมุม 0 และ เมื่อเวลาผ่านไป t มีความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนเป็น 
จะได้
ot 

 0
 หรือ t  0 และก็จะได้……พิสูจน์เอง
เปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่ เชิงเส้น (linear)และ เชิงมุม (angular)
เชิงเส้น เชิงมุม เทียบ
atuv  t  0 u , 0
t
uv
s 




 

2
t




 

2
0
 v , 
asuv 222
  22
0
2
 a , 
2
2
1
atuts  2
0
2
1
tt   s , 
f
T


 2
2

t




t





92
ความสัมพันธ์ของปริมาณเชิงเส้น และ เชิงมุม
จาก นิยาม
R
S
 ดังนั้นจะได้
จากนิยาม
R
v
tR
S
t

.

 ดังนั้นจะได้
จากนิยาม
R
a
tR
v
t







.

 ดังนั้นจะได้
เชิงเส้น เชิงมุม
 จาว่าเชิงเส้น และ เชิงมุม เป็นพี่กับน้องกัน……ยังไงก้อหากันเจอ
1. ดาวเทียมใช้ในการสื่อสารนั้น จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่าไร ในหน่วยของเรเดียน/วินาที
ก. 3 x 10–3
ข. 360 ค. 4 x 10–4
ง. 7 x 10–5
Rv  
Ra  
Rs  
Note : สาหรับดาวเทียมสื่อสารนั้น

93
2. (มช 42) สาหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน ข้อใดถูก
ก. เมื่อมีแรงกระทาต่อวัตถุโดยไม่ผ่านศูนย์กลางมวล จะทาให้วัตถุเคลื่อนที่แบบหมุนเพียงอย่าง
เดียว โดยไม่มีการเลื่อน
ข. เมื่อมีแรงกระทาต่อวัตถุโดยผ่านศูนย์กลางมวล จะทาให้วัตถุเคลื่อนที่แบบเลื่อนเพียงอย่าง
เดียว โดยไม่มีการหมุน
ค. การกระจัดเชิงมุมเป็นปริมาณสเกลาร์
ง. ความเร่งเชิงมุมของวัตถุหมุนจะมีค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับโมเมนต์ของแรง(ทอร์ก)เพียงอย่างเดียว
3. วงล้อ 2 วง มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 24 และ 18 เซนติเมตร ตามลาดับ วงล้อทั้งสองมีสายพานพันอยู่รอบ
ดังรูป โดยวงล้อเริ่มหมุนจากสภาพหยุดนิ่งเมื่อล้อ A หมุนอยู่นาน 30 วินาที จะมีอัตราเร็วเชิงมุมเป็น
25 เรเดียน/วินาที จงหาความเร่งเชิงมุมของล้อ B ณ เวลานั้น (
9
10
)
Note :
ข้อนี้ใช้ Concept ว่า ล้อ A และ B เคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่ากัน

94
ทอร์ก (Torque) กับการเคลื่อนที่แบบหมุน :   แรงเชิงมุม
เมื่อออกแรงกระทากับวัตถุ โดยไม่ผ่านศูนย์กลางมวล จะทาให้วัตถุเกิดการหมุน ซึ่งจะเกิด
โมเมนต์รอบจุดหมุน ซึ่งเรียกว่า ทอร์ก โดย นิยาม ทอร์กที่กระทากับวัตถุ ดังนี้
ทอร์ก คือ ผลคูณระหว่างแรง F กับระยะ R จากจุดหมุน
( ซึ่ง F ตั้งฉากกับ R ) หน่วย N.m
 ซึ่ง ทอร์ก ทาให้วัตถุหมุนด้วย ความเร่งเชิงมุม 
 หากวัตถุหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม  คงตัว ( = 0 ) ทอร์กจะมีค่าเป็นศูนย์
 (ซึ่งอาจเปรียบเทียบ ทอร์ก ว่าเป็น แรงเชิงมุม ก็น่าจะได้) มีทิศตามกฎมือขวา (นางกวัก)
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ ( Moment of Inertia ) : I  มวลเชิงมุม
คือ สมบัติของวัตถุที่ต้านสภาพการหมุน (คล้ายกับ มวล m ที่ต้านสภาพการเคลื่อนที่)
ซึ่ง โมเมนต์ความเฉื่อย ของวัตถุ แต่ละชนิดก็มีค่าแตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุ และ
ลักษณะการหมุนรอบแกนหมุน เช่น
โมเมนต์ความเฉื่อย หน่วย kg.m2
RF.
2
mRI 
2
2
1
mRI  2
4
1
mRI 
ตัน กลวงตัน
2
2
1
mRI  2
5
2
mRI  2
3
2
mRI 

95
4. (มช.52) ทรงกลมตันและทรงกลมกลวง มีมวลรัศมีเท่ากัน ถ้าปล่อยวัตถุทั้งสองให้กลิ้งโดยไม่ไถล จาก
ด้านบนของพื้นเอียงพร้อมกัน วัตถุใดจะถึงด้านล่างของพื้นอียงก่อนกัน
( กาหนด Iกลวง = 2
3
2
MR , Iตัน = 2
5
2
MR )
ก. ทรงกลมกลวง ค. วัตถุทั้งสองถึงด้านล่างพร้อมกัน
ข. ทรงกลมตัน ง. ข้อมูลไม่เพียงพอ
5. (มช.50) ล้อและเพลา เป็นเครื่องทุ่นแรงที่ใช้ยกวัตถุ ประกอบด้วยล้อที่มีรัศมี 20 เซนติเมตร มวล (M1)
30 กิโลกรัม และเพลา รัศมี 4 เซนติเมตร มวล (M2) 5 กิโลกรัม ให้หาค่าโมเมนต์ของความเฉื่อย
ของล้อและเพลานี้รอบแกนหมุนดังรูป ในหน่วย กิโลกรัม.เมตร2
ก. 0.504 ค. 0.728
ข. 0.604 ง. 1.208
จากกฎข้อที่ 2 ของ นิวตัน
เมื่อมีทอร์กลัพธ์ ( ) ที่มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ มากระทากับวัตถุที่มีค่าโมเมนต์ความเฉื่อย I
จะทาให้วัตถุหมุนด้วย ความเร่งเชิงมุม  ซึ่งสามารถเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
คล้ายกับแบบเชิงเส้น คือ maF 
 โดย ทอร์ก มีทิศเดียวกับทิศของ ความเร่งเชิงมุม
 โมเมนต์ความเฉื่อย I มีบทบาทต้านการหมุน คล้ายมวล m ที่ต้านการเคลื่อนที่
6. ทรงกระบอกเส้นผ่าศูนย์กลาง 0.12 เมตร เมื่อดึงเชือกที่พันรอบทรงกระบอกด้วยแรง 9.0 นิวตัน
พบว่าเชือกมีความเร่ง 0.36 เมตรต่อวินาที2
จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอก
ก. 0.05 kg.m2
ค. 0.12 kg.m2
ข. 0.09 kg.m2
ง. 1.20 kg.m2
 I

96
7. ตามรูปเป็นวงล้อรัศมี 40 เซนติเมตร มีแกนหมุนลื่นและมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนเท่ากับ 0.2
กิโลกรัม.เมตร2
วงล้อถูกพันไว้ด้วยเส้นเชือกขนาดเล็ก และเบาจานวนหลายรอบถ้าออกแรง F ขนาด
คงที่เท่ากับ 2 นิวตัน ดึงปลายเชือก จงหาความยาวของเชือกที่ถูกดึงออกมาได้ในเวลา 2 วินาที ทั้งนี้
กาหนดวงล้อเริ่มหมุนจากหยุดนิ่ง (ให้ตอบในหน่วยเมตร) ( 3.2)
8. (มช.51) กาหนดให้ทรงกลมตันมวล 0.96 กิโลกรัม รัศมี 12.0 ซม. ถูกโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่มี
ขนาด 0.12 นิวตัน.เมตร กระทาเป็นเวลา 8.0 วินาที จงหาอัตราเร็วเชิงมุม(rad/s) ในการเคลื่อนที่
หลังจากที่ได้รับแรงกระทานี้ (กาหนด 2
5
2
MRI  ) (173.6)

97
พลังงานจลน์ของการหมุน และ พลังงานจลน์ของการกลิ้ง
วัตถุที่กาลังหมุน จะมีพลังงานจลน์ เรียกว่าพลังงานจลน์ของการหมุน
หาได้จาก คล้ายกับเชิงเส้น คือ 2
2
1
mvEk 
(เฉพาะ หมุนอย่างเดียว) (เคลื่อนที่อย่างเดียว)
ถ้า โดยไม่ไถล จะมีพลังงานจลน์ของการเลื่อนที่ด้วย
ดังนั้น พลังงานจลน์ของการกลิ้ง
; ความเร็ว v คือ ความเร็วที่ศูนย์กลางมวล
9. วงล้อรัศมี 0.5 m กลิ้งลงมาจากยอดพื้นเอียงที่สูง 2.5 m จงหาความเร็วเชิงมุม เพื่อล้อกลิ้งลงมาถึง
พื้นล่างพอดี ในหน่วย rad/s กาหนด ให้วงล้อมี 2
mRI  ( 10 )…….(ใช้กฎทรงพลังงาน)
2
2
1
IEk 
22
2
1
2
1
mvIEk  
หมุน + เคลื่อนที่ไปด้วย = (กลิ้ง)

98
โมเมนตัมเชิงมุม ; L
เมื่อวัตถุหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม คงตัว วัตถุจะมีโมเมนตัมเชิงมุม
โมเมนตัมเชิงมุม (L) คือ ผลคูณระหว่างโมเมนต์แห่งความเฉื่อย (I) กับความเร็วเชิงมุม ( )
หน่วย (kg.m2
. rad/s) คล้ายกับเชิงเส้น คือ vmp .
กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม กล่าวว่า “ หากทอร์กมีค่าเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมจะมีค่าคงตัว”
นั่นคือ   21
LL หรือ
 นั่นคือ เมื่อ โมเมนต์ความเฉื่อย I ลดลง ความเร็วเชิงมุม  จะเพิ่มขึ้น
 และเมื่อ ทอร์ก มีค่าไม่เป็นศุนย์ จะทาให้โมเมนตัมเชิงมุม ของวัตถุเปลี่ยน
โมเมนตัมเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม
คือ ทอร์ก ที่กระทากับวัตถุ นั่นเอง
t
L


 คล้ายกับ
t
p
F



หรือ tL  . คล้ายกับ tFp  .
10. ถ้าดาวเทียมมวล m โคจรรอบโลกมวล M เป็นวงกลม โดยรัศมีวงโคจรเท่ากับ R ขนาดของโมเมนตัม
เชิงมุมของดาวเทียม รอบจุดศูนย์กลางโลกเป็นเท่าใด เมื่อ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากล
ก. GMRm ข. GmRM ค.
R
GMm
ง. GMmR
IL 
2211  II 

99
11. (มช.50) นักสเกตน้าแข็งหมุนรอบตัวเองในท่าที่กางแขนออกจากตัวทั้งสองข้าง เมื่อหุบแขนเข้าหาตัว
จะมีการเปลี่ยนแปลงอัตราเร็วเชิงมุมอย่างไร เพราะเหตุใด
ก. ลดลง เพราะโมเมนต์ความเฉื่อยลดลง
ข. ลดลง เพราะ โมเมนต์ความเฉื่อยเพิ่มขึ้น
ค. เพิ่มขึ้น เพราะโมเมนต์ความเฉื่อยลดลง
ง. เพิ่มขึ้น เพราะ โมเมนต์ความเฉื่อยเพิ่มขึ้น
12. ชายคนหนึ่ง ถือ ดัมเบลไว้สองมือ ยืนบนเก้าอี้ที่หมุนได้อย่างอิสระ โดยแกนหมุนแนวดิ่ง โมเมนต์ความ
เฉื่อยของชายคนนี้ดัมเบลและเก้าอี้เท่ากับ 2.25 kg.m2
ถ้าเริ่มหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 5 rad/s
เมื่อเขาหุบแขนทั้งสองข้างเข้าหาตัว โมเมนต์ความเฉื่อยรวมเท่ากับ 1.8 kg.m2
จงหาอัตราเร็วเชิงมุม
ในการหมุนขณะหุบแขนมีค่ากี่ rad/s (6.25)

100
Homework
1. วงล้อวงหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 เมตร เริ่มหมุนรอบแกนจากหยุดนิ่งด้วยแรงคู่ควบคู่หนึ่งปรากฏว่า
วงล้อนั้น มีความเร็วปลายเป็น 40 เรเดียน / วินาที ในเวลา 10 วินาที จงหาความเร่งเชิงมุมและการ
กระจัดเชิงมุมที่รัศมีของวงล้อกวาดไปได้เท่าใด ( 4 , 200)
2. ล้อรถจักรยานยนต์หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว 80 เรเดียนต่อวินาที ถูกห้ามล้อให้หยุดในเวลา 16
วินาที ด้วยความเร่งเชิงมุมกี่เรเดียนต่อ(วินาที)2
และ ล้อรถหมุนไปได้คิดเป็นกี่เรเดียน (- 5 , 640 )
3. ชายคนหนึ่งขี่จักรยานไปตามถนนตรงจากหยุดนิ่ง ถ้าล้อรถจักรยานของเขามีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.8
เมตรและเคลื่อนที่ไปด้วยความเร่งเชิงมุม 1 เรเดียนต่อ(วินาที)2
เขาจะขี่จักรยานได้ระยะทางกี่เมตรใน
เวลา 10 วินาที (20 m )
4. ตามรูป นักปั่นจักรยานถีบจักรยาน ทาให้จานหมุน 1 รอบในเวลา 2 วินาที ถ้าจาน A , จาน B และล้อ
หลัง C มีรัศมี 10 cm , 2.5 cm และ 35 cm ตามลาดับ จักรยานจะวิ่งด้วยอัตราเร็วเท่าใด (4.4 m/s)
5. จงหาความโมเมนต์ความเฉื่อยของ แท่งเหล็กขนาดเล็ก ยาว 6 m มวล 4 กิโลกรัม ที่นักกายกรรมไต่
ลวดใช้ถือ ขณะเดินไต่เชือก (12) กาหนด 2
12
1
mRI 
6. จงหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของ ล้อและเพลา เป็นเครื่องทุ่นแรงที่ใช้ยกวัตถุซึ่งล้อมวล 2.5 kg รัศมี
0.15 m และ เพลามวล 1 kg รัศมี 0.05 m ( 0.0325)
7. (มช.41) แผ่นกลมรัศมี 0.2 เมตร ยึดติดกับแกนหมุนที่จุดศูนย์กลางของแผ่นกลม และมีแท่งวัตถุมวล
0.5 กิโลกรัม ผูกติดกับเส้นเชือกเบาคล้องผ่านแผ่นกลมทาให้แผ่นกลมหมุนด้วยอัตราเร่งคงที่โมเมนต์
ความเฉื่อยของแผ่นกลม 0.05 กิโลกรัม เมตร2
จงหาอัตราเร่งเชิงมุมของแผ่นกลมนี้
(ไม่คิดแรงเสียดทาน) ( 14.28 rad /s2
)

101
ก.
I
mgr
ค.
I
mgr
2
ข.
 2
2 mrI
mgr

ง. 2
mrI
mgr

8. (มช.40) วัตถุทรงกลมตัน และ ทรงกระบอกตัน มวล M และรัศมี R เท่ากัน ต่างเริ่มกลิ้งพร้อมกัน ลง
จากจุดยอดของพื้นเอียง ที่มีความสูง h โดยไม่มีการลื่นไถล ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตัน
รอบแกนหมุนที่ผ่านศูนย์กลางทรงกลม = 2
5
2
MR และ โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอก
ตันรอบแกนหมุนที่ผ่านแกนกลางทรงกระบอก = 2
2
1
MR ข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง
ก. ความเร็วเชิงเส้น ของศูนย์กลางมวลทรงกลมขณะกลิ้งลงถึงจุดปลายพื้นเอียงเท่ากับ h
3
40
ข. ทรงกระบอกกลิ้งถึงจุดปลายพื้นเอียงก่อนทรงกลม
ค. ความเร็วเชิงมุมของทรงกลมรอบแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลขณะกลิ้งถึงจุดปลายพื้น
เอียงเท่ากับ h
R 7
1001
ง. ทรงกลม และทรงกระบอกถึงจุดปลายพื้นเอียงพร้อมๆกัน
9. รอกมวล 1 กิโลกรัม มีรัศมี 10 เซนติเมตร ยึดติดกับเพดานไว้ มีเชือกเบาคล้องผ่าน แล้วนาวัตถุที่มีมวล
1 และ 2 กิโลกรัม แขวนไว้ที่ปลายเชือกคนละข้าง เมื่อปล่อยให้เคลื่อนที่ จงหาความเร่งของวัตถุที่
เคลื่อนที่ เมื่อโมเมนต์ความเฉื่อยของรอกมีค่าเป็นตามสมการ 2
2
1
mRI  ( 2.8 เมตร/วินาที2
)
10. ถ้าล้อมีโมเมนต์ความเฉื่อย I ถูกยึดไว้ให้หมุนรอบแกนได้สะดวก โดยไม่มีแรงเสียดทาน มวล m ผูกไว้
ด้วยเชือกที่พันรอบเพลา รัศมี r จะได้ความเร่งเชิงมุมของล้อเป็นเท่าใด
11. ทรงกลมตันมวล 5 kg รัศมี 15 cm กลิ้งลงมาตามพื้นเอียง โดยไม่มีการไถล โดยที่ศูนย์มวลมี
อัตราเร็ว 3 m/s จงหาพลังงานจลน์ในการกลิ้งมีค่ากี่จูล (31.5 J )
12. (En.41) วงแหวน 4 กิโลกรัม เส้นผ่าศูนย์กลาง 1 เมตร กลิ้งขึ้นพื้นเอียงโดยไม่ไกลศูนย์กลางมวลมี
ความเร็วต้น 10 เมตรต่อวินาที จะขึ้นไปได้สูงสุดในแนวดิ่งเป็นระยะทางกี่เมตร ( 10 m )
กาหนด สาหรับวงแหวน 2
mRI 

102
13. แผ่นกลมแบนมวล 30 kg รัศมี 50 cm มีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับ 6.5 kg.m2
เมื่อปล่อยให้กลิ้งลง
มาตามพื้นเอียงซึ่งทามุม 300
เทียบกับแนวระดับ จงหาอัตราเร็วเชิงมุมของแผ่นกลม ขณะกลิ้งลงมา
ได้ระยะ 2 เมตรตามพื้นเอียง
ก.
7
1
10 rad/s ข.
7
2
10 rad/s ค.
7
3
10 rad/s ง.
4
7
10 rad/s
14. ลูกข่างเด็กเล่น ดังรูป มีมวล 400 g รัศมี 7 cm กาลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 1000 rad / s จง
หาโมเมนตัมเชิงมุม ใช้ 2
2
1
mRI  (0.98)
15. (En.40) วัตถุมวล 50 กรัม ผูกติดกับปลายเชือกซึ่งลอดผ่านรูหลอดเล็ก ๆ ปลายเชือกข้างหนึ่งดึงยืดไว้
ด้วยแรงค่าหนึ่งแล้วเหวี่ยงให้เป็นวงกลมรัศมี 1 เมตร ถ้าดึงเชือกให้รัศมีวงกลมเป็น 50 เซนติเมตร
ทันที วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่าไรในหน่วย เรเดียน/วินาที ถ้าเดิมมีอัตราเร็วเชิงมุม 3
เรเดียนต่อวินาที (12)
16. (มช 46) ชายคนหนึ่งมวล 60 กิโลกรัม ยืนอยู่บนแป้ นหมุนวงกลม รัศมี 10 เมตร ที่หยุดนิ่ง ค่าโมเมนต์
ความเฉื่อยของแป้ นวงกลมนี้เท่ากับ 5,000 กิโลกรัม-เมตร2
ถ้าชายคนนี้เดินเป็นวงกลมห่างแกนหมุน 5
เมตร ด้วยอัตราเร็ว 6 กิโลเมตร/ชั่วโมง เมื่อเทียบกับแป้ นวงกลม แป้ นวงกลมจะหมุนด้วยอัตราเร็วกี่
รอบต่อนาที (ให้ประมาณว่าชายคนนี้เป็นจุดมวลย่อยและกาหนดค่า  = 3)
17. นักสเก็ตน้าแข็งกาลังหมุนตัวอยู่บนลานสเก็ต ด้วยความเร็วเชิงมุม 6 rad / s หากนักสเก็ตเหยียด
ขาข้างหนึ่งออกไป เพื่อทาให้ความเร็วลดลง ซึ่งทาให้โมเมนต์ความเฉื่อย เพิ่มขึ้น 20 % ของตอนแรก
ความเร็วเชิงมุม จะลดลงจากเดิม กี่ rad / s ( )

103
สภาพสมดุล (Mechanical Equilibrium)
เงื่อนไขที่สมบูรณ์ ของวัตถุที่อยู่ในสภาพสมดุล (สมดุลกล) ก็ต่อเมื่อ
1. แรงลัพธ์ที่กระทาต่อวัตถุมีค่าเป็นศูนย์   0F

(กฎข้อ 1) และ
2. ผลรวมของโมเมนต์รอบจุดหมุนหนึ่ง มีค่าเป็นศูนย์   0M
วัตถุอยู่นิ่ง เรียกว่า สมดุลสถิต (Static Equilibrium)
กรณี   0F

(สมดุลต่อการเลื่อนที่) วัตถุที่มีความเร็ว V คงที่ เรียกว่า สมดุลจลน์ (Kinetic Equilibrium)
วัตถุไม่หมุน
กรณี   0M ………………………………………….… M ตาม = M ทวน
(สมดุลต่อการหมุน) วัตถุหมุนด้วยความเร็ว คงที่
สมดุลของ 2 แรง เช่น…
สมดุลของแรง 3 แรง เช่น…
 ถ้า   0F

แล้วเมื่อเขียนเวกเตอร์แทนแรง แล้ว จะได้รูปสามเหลี่ยมปิด

104
 ใช้วิธี การแตกแรง ให้อยู่ในแนวแกน X – Y (แรงที่อยู่ในแนวเดียวกัน จะมีค่าเท่ากัน)
นั่นคือ
เช่น…
 เทคนิคการเดาคร่าวๆ T1 > T2 เพราะน้าหนักถูกแขวนค่อนมาทางด้าน T1
 หรือใช้ ทฤษฎีของลามี (Lami ’s Theorem)
อาจจาเป็นต้องใช้ มาช่วย
เช่น…     60sin3090sin3090sin120sin 
1. ในทางฟิสิกส์สภาพสมดุลที่สมบูรณ์ของวัตถุใด ๆ คือ
ก. แรงลัพธ์ของแรงคู่ควบ มีค่าเป็นศูนย์ แต่ผลรวมของโมเมนต์ของแรงคู่ควบเท่ากับผลคูณของ
ขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับระยะตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง
ข. ผลรวมของแรงต่าง ๆ ที่กระทาต่อวัตถุเป็นศูนย์ และผลรวมทางคณิตศาสตร์ของโมเมนต์เป็น
ศูนย์
ค. เมื่อตาแหน่งที่ออกแรงกระทาผ่านแนวของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนั้น
ง. วัตถุนั้นจะต้องอยู่ในสภาพที่ไม่ถูกแรงใด ๆ มากระทาเลย
F ขึ้น = F ลง F ซ้าย = F ขวา
 sinsinsin
CBA

     90sin90sin
จาก F ซ้าย = F ขวา
 1.......30cos60cos 21 TT 
จาก F ขึ้น = F ลง
 2...................30sin60sin 21 WTT 
จากนั้น แก้สมการ (1) และ (2)

105
1T
 W

2T

W

1T

2T

W

1T

2T

W

1T

2T

2. (มช.41) น้าหนัก W

แขวนไว้ด้วยเชือกเบา 2 เส้น ซึ่งเอียงทามุม 30๐
และ 60๐
กับแนวดิ่ง เมื่อ
วัตถุอยู่ในสภาวะสมดุล โดยที่ 1T

และ 2T

เป็นแรงดึงในเส้นเชือกทั้งสองดังรูป เมื่อเขียนเส้นตรง
แทนขนาดและทิศทางของแรงทั้งสาม รูปในข้อใดถูก
ก. ค.
ข. ง.
3. (มช.52) ถ้าต้องการแขวนป้ ายมวล 4 กิโลกรัม ดังรูปด้านล่างนี้ จะต้องซื้อเชือกชนิดใด จึงจะสามารถ
ทนรับน้าหนักของป้ ายได้ใกล้เคียงที่สุด
ก. ชนิด A ทนแรงได้ 17 นิวตัน
ข. ชนิด B ทนแรงได้ 25 นิวตัน
ค. ชนิด C ทนแรงได้ 34 นิวตัน
ง. ชนิด D ทนแรงได้ 50 นิวตัน
4. ชายคนหนึ่งมวล 80 กิโลกรัม โหนเชือกเบาดังรูป โดยปลายของเชือกทั้งสอง ผูกติดแน่นกับเสาที่จุด A
และ B แรงดึงในเส้นเชือก X และ Y เป็นเท่าไร
ก. 400 และ 3400 นิวตัน
ข. 3400 และ 400 นิวตัน
ค. 300 และ 3300 นิวตัน
ง. 3300 และ 300 นิวตัน

106
5. ลูกกลมตันหนัก 5 N วางอยู่บนพื้นระนาบเอียง ที่ไม่มีแรงเสียดทาน 2 อัน ซึ่งทามุม 30 องศา
และ 60 องศา กับพื้นราบ ดังแสดงในรูป ข้อสรุปต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง
(ให้ tan60๐
= 1.732 , tan30๐
= 0.577)
ก. N1 - N2 = 1.83 N
ข. N2 - N1 = 1.83 N
ค. N1 - N2 = 2.83 N
ง. N2 - N1 = 2.83 N
6. (มช.49) ออกแรง (F) 3 นิวตัน ดึงวงล้อมวล (W) 400 กรัม เพื่อให้เคลื่อนที่ขึ้นบันได ดังรูป ปรากฏว่า
วงล้อเกือบจะเคลื่อนที่ ต้องออกแรงเพิ่มอีกเล็กน้อยจึงเคลื่อนที่ขึ้นไปได้ จงหาแรงในหน่วยนิวตันที่ขอบ
บันไดกระทาต่อวงล้อ ก่อนจะเคลื่อนที่ขึ้น
ก. 6 ค. 4
ข. 5 ง. 3

107
M ตาม = M ทวน
lFM .
สมดุลต่อการหมุน   0M
นั้นคือ ผลรวมของโมเมนต์รอบจุดหมุน มีค่าเป็นศูนย์ (  0M )
หรือ ผลรวมของโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา
โมเมนต์ของแรง(M ) คือ ผลคูณของแรง(F) กับ ระยะทาง(l)
(วัดจากจุดหมุนมาตั้งฉากกับแนวแรง) หน่วยเป็น นิวตัน.เมตร (N.m)
 ทิศทางของโมเมนต์ เทียบกับการหมุนของเข็มนาฬิกา
 กรณีที่ แนวแรงไม่ตั้งฉากกับ ระยะทาง ต้องใช้การแตกแรง เช่น…
อุปกรณ์ที่เกี่ยวข้องกับเรื่อง โมเมนต์

108
7. (มช.44) แผ่นไม้สม่าเสมอแผ่นหนึ่งยาว 4.0 เมตร มีมวล 60 กิโลกรัม พาดอยู่บนหมอนหนุนตรงจุด
C และปลาย A ตั้งอยู่บนคมมีด ชายคนหนึ่งหนัก 600 นิวตัน เดินบนแผ่นไม้จาก A ไปยัง B ดัง
รูป จงหาว่าเขาจะเดินไปได้ไกลจาก A เป็นระยะทางมากที่สุดกี่เมตร กระดานจึงจะยังคงสภาพสมดุล
ครั้งสุดท้ายอยู่ได้
ก. 2.0 ค. 3.0
ข. 2.5 ง. 3.5
8. (En.43) ชายคนหนึ่งถือแผ่นไม้ขนาดสม่าเสมอยาว 2 เมตร น้าหนัก 100 นิวตัน ให้สมดุลตามแนว
ระดับ โดยมือข้างหนึ่งยกแผ่นไม้ขึ้นที่ตาแหน่ง 40 cm จากปลายใกล้ตัว และมืออีกข้างหนึ่งกดแผ่น
ไม้ลงที่ปลายเดียวกันนั้นดังรูป จงคานวณหาแรงยก ( 250 N)
9. (PAT.53) คานสม่าเสมอยาว 2L น้าหนัก 2W ดังรูป 1 เมื่อวางจุดกึ่งกลางานไว้ที่คมมีด พบว่าคาน
ดังกล่าวอยู่ในสภาพสมดุล ถ้าตัดคานด้านขวาออกไป 2 ท่อนเล็ก ยาวท่อนละ (1/3)L แล้ววางลงบน
ส่วนที่เหลือ ดังรูป 2 จะได้ผลตามข้อใด
ก. คานในรูป 2 สมดุลเหมือนเดิม
ข. ต้องออกแรงดึงในทิศลงที่จุด A ด้วยขนาด (4/3)W จึงจะทาให้คานในรูป 2 สมดุล
ค. ต้องออกแรงดึงในทิศลงที่จุด B ด้วยขนาด (4/3)W จึงจะทาให้คานในรูป 2 สมดุล
ง. ต้องออกแรงดึงในทิศขึ้นที่จุด B ด้วยขนาด (4/3)W จึงจะทาให้คานในรูป 2 สมดุล

109
10. (มช.47) เส้นลวดดึงคาน AB ซึ่งมีมวล 5 กิโลกรัมแขวนไว้ที่ปลาย B ถ้าคานสม่าเสมอมีน้าหนัก 20 นิว
ตันยาว 5 เมตร มีปลาย A ตรึงติดกาแพง คานสมดุลอยู่ได้ดังรูป จงหาว่าว่าแรงดึงของเส้นลวดมีค่ากี่
นิวตัน
11. บันได AB หนัก 100 นิวตัน วางพาดกับกาแพงผิวเกลี้ยง โดยปลาย A อยู่บนพื้นหยาบที่มี
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.25 ส่วนปลาย B แตะผิวกาแพงเกลี้ยง ถ้าบันไดนี้ยาว 52
เมตร และกาลังจะเลื่อนไถลลงมา อยากทราบว่าปลาย B อยู่สูงจากพื้นหยาบ กี่เมตร ( 4 เมตร )

110
W1 W2

A
1 m 2 m
12. W1 และ W2 แขวนไว้ที่ปลายไม้ที่เบามาก รูปตัว L (มุมฉาก) ดังรูป ถ้าติดบานพับไว้ที่จุด A จงหาค่า
มุม  ซึ่งทาให้ระบบสมดุล
ก.  12
1
/2tan WW
ค.  21
1
/2tan WW
ข.  12
1
2/tan WW
ง.  21
1
2/tan WW
13. แผ่นโลหะกลมแบนสม่าเสมอ มีเส้นผ่าศูนย์กลาง 2 เซนติเมตร หนา 1.2 มิลลิเมตรวางซ้อนกันอย่าง
มีระเบียบ บนพื้นเอียงที่ทามุม 45 องศา กับแนวระดับ ดังรูป ถ้าแรงเสียดทานระหว่างแผ่นโลหะและ
พื้นเอียงมีค่ามาก จงหาว่าจะซ้อนแผ่นโลหะเหล่านี้ได้มากที่สุดเท่าไรโดยไม่มีการล้มเกิดขึ้น
ก. 7 แผ่น ค. 16 แผ่น
ข. 8 แผ่น ง. 18 แผ่น
14. (มช.52) กล่องมวล 2 กิโลกรัม กว้าง 2 เมตร ยาว 2 เมตร และ สูง 4 เมตร อยู่บนรถบรรทุก จงหา
ความเร่งสูงสุดของรถบรรทุกที่สามารถวิ่งได้ โดยที่กล่องไม่ล้ม ในหน่วย เมตร/วินาที2
(ให้คิดว่ากล่องล้ม ก่อนที่จะไถล)

111
Homework
1. (มช.50) ออกแรงสองแรงขนาด 5 นิวตัน ดึงสัตถุชิ้นหนึ่ง โดยที่มุมระหว่างแรงทั้งสองเป็น 120 องศา
ถ้าต้องการให้วัตถุนี้ไม่มีการเคลื่อนที่ จะต้องออกแรงที่สามกระทาต่อวัตถุนี้โดยที่แรงที่สามจะต้องมี
ขนาดกี่นิวตัน และทามุมกี่องศากับแนวแรงของ A (5 N , 120 องศา)
2. ตรึงไม้ 2 แท่ง ยาวแท่งละ 3 ฟุต และ 4 ฟุต ตามลาดับ ที่ปลายบนดังแสดงในรูปแขวนวัตถุหนัก
200 ปอนด์ จากจุดตรึง แรงที่ไม้ 3 ฟุต กระทาตามแนวความยาว คือ (160 ปอนด์)
3. วัตถุ m และ M อยู่ในภาวะสมดุล ดังรูป อัตราส่วน M/m คือ (5/3)
4. แขวนลวดวงกลมหนัก 8 นิวตัน เส้นผ่าศูนย์กลาง 60 เซนติเมตร ไว้กับเพดานอย่างสมมาตร และ
วางตัวสมดุลอยู่ในแนวระดับด้วยเชือกเบา 4 เส้น ดังรูป ถ้าเชือกแต่ละเส้นยาว 50 เซนติเมตร แรง
ดึงในเชือกแต่ละเส้นมีค่าเท่าใด
ก. 2.0 N ค. 3.3 N
ข. 2.5 N ง. 5 N
5. ABC เป็นกรอบรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ในระนาบระดับ มีเชือก AD , BD , CD ยาวเท่ากันหมด และ
ยาวเท่ากับด้านของสามเหลี่ยม แขวนมวล m ที่จุด D จงหาความตึงในเส้นเชือกเส้นใดเส้นหนึ่ง
ก.  mg6/1 ค.  mg6/1
ข.  mg3/1 ง.  mg3/1

112
6. ลูกกลมมวล 3 กิโลกรัม วางนิ่งอยู่บนพื้นเอียง 2 อัน ซึ่งวางให้ปลายชิดกัน ทามุม 60๐
และ 30๐
กับแนวระดับตามรูป ถ้า R1 และ R2 เป็นขนาดของแรงกระทาจากพื้นเอียงต่อทรงกลมทางด้านมุม
60๐
และ 30๐
ตามลาดับ ขนาดของ R1 จะประมาณกี่นิวตัน
ก. 15 ค. 22
ข. 20 ค. 22
7. ตามรูปทรงกระบอกหนัก 100 นิวตัน วางอยู่บนระนาบเอียงทามุม 300
กับแนวระดับและมีไม้ฉากที่ติด
แน่นอยู่บนระนาบเอียงรองรับอยู่ ผิวทุกส่วนเป็นผิวเกลี้ยง จงคานวณหาแรงปฏิกิริยาที่ A และ B
8. ตามรูป ทรงกลมทั้งสองมวล 10 กิโลกรัม เท่ากัน ถ้าผิวทรงกลมเกลี้ยง แรงปฏิกิริยาที่ทรงกลมทั้งสอง
กระทาต่อกันเป็นเท่าไร
ก. 3100 นิวตัน ค. 3200 นิวตัน
ข. 3/100 นิวตัน ง. 3/200 นิวตัน
9. ทรงกลมหนัก 20 นิวตัน รัศมี 10 เซนติเมตร ผูกด้วยเชือกยาว 20 เซนติเมตรติดกับกาแพง ถ้า
ผิวสัมผัสระหว่างกาแพงกับทรงกลมไม่มีความเสียดทาน จงหาแรงดึงในเส้นเชือก ( 215 N)
10. ทรงกลมมวล 310 กิโลกรัม สองลูกเท่ากัน วางบนแท่งไม้สามเหลี่ยมลื่น ดังรูป ทรงกลมทั้งสองผูก
ติดกันด้วยเชือกเบา จงหาแรงดึงในเส้นเชือก เมื่อ 0
30 (100 นิวตัน)

113
11. ทรงกลม 2 ลูก มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 และ 18 เซนติเมตร หนัก 3 และ 12 นิวตัน ตามลาดับ วาง
ในทรงกระทอกเส้นผ่าศูนย์กลาง 27 เซนติเมตร ดังรูป ถ้าผิวทุกผิวไม่มีความฝืด แรงปฏิกิริยาที่ผิวของ
ทรงกระบอกที่จุด B มีค่าเท่ากับกี่นิวตัน
ก. 12 ค. 14
ข. 13 ง. 15
12. (มช.44) ลูกกลมเหล็กมวล 0.3 กิโลกรัม ผูกติดปลายเชือกเบา A และ B แขวนติดกับกล่องดังรูป จงหา
ว่ากล่องจะต้องเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร่งกี่เมตร/วินาที2 จึงจะพอดีทาให้ขนาดของแรงตึงในเส้นเชือก A
เป็น 2 เท่าของแรงตึงในเส้นเชือก B (ไม่คิดแรงเสียดทานระหว่างพื้นกับล้อของกล่อง)
ก.
3
3g
ค.
3
3g
ข. g33 ง.
33
g
13. (มช.44) วัตถุมวล 200 กรัม โยงติดกับคานที่ตั้งในแนวดิ่งด้วยเชือก 2 เส้นดังรูป คานหมุนรอบตัวเอง
ทาให้วัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมในระนาบระดับ โดยมีอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว ปรากฏว่าเชือกเส้นล่างมี
แรงดึง 18.75 นิวตัน จงหาอัตราเร็วเชิงมุม (20 Rad/s)
14. (En.41) รถยกคันหนึ่งมีมวล 2400 กิโลกรัม มีศูนย์กลางมวลของรถอยู่ที่ตาแหน่งกึ่งกลางระหว่างล้อ
หลังกับล้อหน้าซึ่งห่างกัน 2.0 เมตร ถ้ารถพยายามยกวัตถุที่อยู่ห่างจากตัวรถ
ไปทางด้านหน้า 10 เมตร มวลมากที่สุดที่รถสามารถยกได้เป็นกี่กิโลกรัม
( 240 kg )

114
15. กระดานสปริงสาหรับกระโดดน้า หนัก 400 N ดังรูป ระยะ AB ห่างกันเป็น
4
1
ของความยาวสปริง
ขณะที่นักกระโดดน้า หนัก 600 N ยืนนิ่ง ๆ ที่ปลาย C จงหาขนาดของแรงที่กระทาต่อจุด A และ B
( 2200 , 3200 )
16. AB เป็นท่อนไม้ขนาดสม่าเสมอยาว 4 เมตร หนัก 4 กิโลกรัม ปลาย A ถูกยึดไว้กับผนังอาคารด้วย
บานพับ ปลาย B ผูกด้วยเส้นลวดโลหะ BC ยาว 5 เมตร ทาให้ AB อยู่ในแนวระดับ และ ที่ปลาย B
นี้มีวัตถุหนัก 28 กิโลกรัมแขวนอยู่ จงหาแรงดึงในลวด BC
(500 N)
17. (มช.43) ลวดดึงแผ่นป้ ายซึ่งแขวนไว้ดังรูป ถ้าแผ่นป้ ายมีขนาดสม่าเสมอ มีศูนย์ถ่วงอยู่ที่จุดตัดกันของ
เส้นทแยงมุม คาน AB ถูกตรึงไว้ที่จุด A ด้วยบานพับที่ติดกาแพงผิวหยาบ มีแรงที่บานพับกระทากับ
คานในแนวระดับ 250 นิวตัน ถ้าไม่คิดน้าหนักของคาน แผ่นป้ านจะต้องมีมวลขนาดกี่กิโลกรัม จึงจะ
ทาให้คานสมดุลได้ตามแนวระดับ (50 kg)
18. แท่งเหล็กหนัก 120 นิวตัน มี W1 และ W2 แขวนที่ปลาย พยุงไว้ด้วยเชือก A และ B ดังรูป โดย
เชือกแต่ละเส้นสามารถทนแรงดึงได้เพียง 500 นิวตัน ถ้า W2 จะต้องหนักเป็น 2 เท่าของ W1 ค่ามาก
ที่สุดของ W1 ในหน่วยนิวตัน ที่จะแขวนได้โดยที่เชือกไม่ขาด (176 นิวตัน)

115
19. ชายสองคนช่วยกันหามวัตถุมวล 90 กิโลกรัม ซึ่งแขวนอยู่ที่จุดกึ่งกลางคานสม่าเสมอมวล 10
กิโลกรัม ชายคนที่หนึ่งแบกคานตรงตาแหน่งที่ห่างจากจุดที่แขวนวัตถุ 0.5 เมตร และรับน้าหนัก 600
นิวตัน ชายคนที่สองจะแบกคานที่ตาแหน่งห่างจากจุดแขวนวัตถุเท่าไร (0.75 m)
20. จากรูป วัตถุก้อนหนึ่งหนัก 2.0 x 103
นิวตัน วางอยู่บนพื้นราบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต
ระหว่างผิวสัมผัส 0.4 เมื่อเคลื่อนวัตถุด้วยแรง F โดยที่วัตถุไม่ล้ม h จะเป็นระยะทางเท่าไร
ก. 10 cm ค. 50 cm
ข. 37.5 cm ง. 62.5 cm
21. ตู้ใบหนึ่งมีฐานกว้าง b และมีของภายในตู้วางกระจายไว้อย่างสม่าเสมอ ตู้วางอยู่บนพื้นราบซึ่งมี
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานกับพื้นตู้เป็น  ถ้าออกแรงผลักตู้ที่ตรงจุดที่สูงจากพื้น x ให้ตู้เลื่อนโดยไม่
ล้ม x จะต้องมีค่าอย่างมากที่สุดไม่เกินเท่าใด
ก.
2
b
ค.

b2
ข.

b
ง.

b4
22. ทรงกระบอกตันมวล 40 กิโลกรัม เส้นผ่าศูนย์กลางยาว 1.00 เมตร วางอยู่บนพื้น และมีแรง F
ขนาด 500 นิวตัน พยายามหมุนทรงกระบอก ดังรูป ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่าง
กาแพง และทรงกระบอกเป็น 0.2 ส่วนพื้นไม่มีความฝืด จงหาค่า h ที่น้อยที่สุดในหน่วยเซนติเมตร
ที่ทรงกระบอกพร้อมที่จะหมุนได้ (10 cm)
23. ถ้ามีไม้กระดาน 3 แผ่น ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวแผ่นละ 60 cm วางเรียงซ้อนกันดังในรูป จงหาว่าไม้
กระดานแผ่นบน จะยื่นออกไปไกลสุดสัมพัทธ์กับไม้กระดานแผ่นล่างสุดเท่าไร (45 cm)
24. บันไดสม่าเสมอมีมวล 10 กิโลกรัม ยาว 2 เมตร วางพิงกาแพงเกลี้ยง โดยฐานบันไดกับพื้นมี
สัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.5 จะต้องพาดบันไดบนกาแพง
ให้ทามุมน้อยที่สุดกับพื้นเท่าใด บันไดจึงจะไม่ไถล

116
25. บันไดขนาดสม่าเสมอ มีน้าหนัก W วางพาดกาแพงเกลี้ยงซึ่งไม่คิดแรงเสียดทาน ถ้าสัมประสิทธิ์ความ
เสียดทานสถิตระหว่างพื้นล่างกับบันได เท่ากับ  จงหามุม  น้อยที่สุดที่ทาให้บันไดวางอยู่นิ่งได้
ก. tan- 1
(1/ ) ค. tan- 1
(1/ 2 )
ค. tan- 1
( ) ง. tan- 1
( 2 )
26. (En.42) ชายคนหนึ่งหนัก 500 นิวตัน กาลังขึ้นบันไดขนาดสม่าเสมอยาว 5.0 เมตร และหนัก 100
นิวตัน ถ้าบันไดพาดอยู่กับผนังลื่น โดยปลายบันไดบนพื้นอยู่ห่างจากผนัง 3.0 เมตร ถ้าสัมประสิทธิ์
ความเสียดทานระหว่างพื้นกับบันไดเป็น 0.5 ชายคนนี้จะขึ้นบันไดไปได้ระยะกี่เมตรก่อนที่บันไดจะ
ไถล (3.5 เมตร)
27. (มช.53) มวล m1 มีขนาดเป็น 2
2
3
m เคลื่อนที่เข้าหามวล m2 ซึ่งอยู่นิ่งด้วยอัตราเร็ว u ดังรูป จงหาว่า
จุดศูนย์กลางมวลของมวลทั้งสอง จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่าใด
ก. u ข. u
2
1
ค. u
2
3
ง. u
5
3

117
สภาพยืดหยุ่น (Elasticity) กับสมบัติของวัสดุ
วัสดุบางชนิด เมื่อเราออกแรงดึงที่ปลาย จะพบว่า ความยาวที่ยืดออก l จะแปรผันตรงกับ
แรง F ที่ใช้ยืด ภายในขอบเขตหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า กฎของฮุก (Hook ’s Law)
และเมื่อออกแรงต่อ วัสดุนั้นก็จะขาดในที่สุด ดังกราฟ
จุด A ขีดจากัดการแปรผันตรง
จุด B จุดคราก (yield Point)
จุด C จุดแตกหัก
 วัสดุที่มีความเหนียว ลักษณะของกราฟปลายจะพลิ้ว ดังรูป
 วัสดุที่มีความเปราะ ลักษณะของกราฟปลายจะไม่พลิ้ว
ปริมาณต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของวัสดุ
ความเค้น (Stress) คือ อัตราส่วนของแรงที่ใช้ดึงวัสดุ F กับขนาดพื้นที่หน้าตัดของวัสดุ A
จะได้ ความเค้น มีหน่วยเป็น N/m2
ความเครียด (Strain) คือ อัตราส่วนของความยาวของวัสดุที่ยึดออก l กับ
ความยาวเดิมของวัสดุ 0l
จะได้ ความเครียดไม่มีหน่วย (ตัดกันไปแล้ว)
A
F

0l
l


118
มอดูลัสของยัง (Young's modulus)
มอดูลัสของยัง ;  (Young's modulus) หรือ มอดูลัสของสภาพยืดหยุ่น เป็นค่าบอกระดับ
ความแข็งแกร่งของวัสดุ ซึ่งเป็นค่าคงที่สาหรับวัสดุแต่ละชนิด
หาได้จาก อัตราส่วนระหว่าง ความเค้นกับความเครียด
จะได้
 การหาค่า  สามารถอาจหาได้จาก slope ของกราฟ
 จากกราฟจะเห็นว่า 1 > 2 นั่นคือ มีความแข็งแรงกว่า
 แต่ 2 จะมีความยืดหยุ่นและเหนียวกว่า
1. ลวดเหล็กกล้าสาหรับดึงลิฟต์ตัวหนึ่ง มีพื้นที่หน้าดัด 5 ตารางเซนติเมตร ตัวลิฟต์และสัมภาระในลิฟต์
มีน้าหนักรวม 2,000 กิโลกรัม จงหาความเค้น (stress) ในสายเคเบิล ในขณะที่ลิฟต์กาลังเคลื่อนที่ขึ้น
ด้วยความเร่งสูงสุด 2.0 m/s2
ก. 64 x 106
N/m2
ข. 48 x 106
N/m2
ค. 40 x 106
N/m2
ง. 32 x 106
N/m2
2. (มช.52) นักปีนเขาน้าหนักตัว 770 นิวตัน ใช้เชือกไนลอนที่มีความยาว 80 เมตร และมี
เส้นผ่าศูนย์กลาง 14.0 มิลลิเมตร ถ้าเชือกยืดออก 2.0 เมตร จงหาค่ามอดูลัสของเชือกเส้นนี้ในหน่วย
นิวตัน/เมตร2
ก. 0.5 x 108
ข. 1.0 x 108
ค. 2.0 x 108
ง. 7.0 x 108
0ll
AF






119
3. (มช.49) กาหนดให้วัตถุ A มีค่ามอดูลัสของยังเท่ากับ EA และ วัตถุ B มีค่ามอดูลัสของยังเท่ากับ EB
โดยที่ EA > EB ถ้าต้องการให้วัตถุทั้งสองรับแรงได้เท่ากัน โดยออกแรงดึงให้มีความยาวเพิ่มขึ้น 0.1%
เท่ากัน วัตถุทั้งสองควรจะมีลักษณะเริ่มต้นก่อนที่จะถูกดึงเป็นอย่างไร
ก. วัตถุ A มีความยาวเท่ากับวัตถุ B
ข. วัตถุ A มีพื้นที่หน้าตัดเท่ากับวัตถุ B
ค. วัตถุ A มีพื้นที่หน้าตัดมากกว่าวัตถุ B
ง. วัตถุ A มีพื้นที่หน้าตัดน้อยกว่าวัตถุ B

120
Homework
1. สายไฟเส้นหนึ่งยาว 120 เมตร เส้นผ่าศูนย์กลาง 2.2 มิลลิเมตร ถูกทาให้ยืดออกด้วยแรงขนาด 380
นิวตัน ทาให้สายไฟมีความยาวเป็น 120.10 เมตร จงหา ความเค้น และความเครียด ที่เกิดขึ้น
(108
N/m2
, 8.33 x 10- 4
)
2. นาลวดโลหะ ซึ่งมีความเค้นที่ขีดจากัดสภาพยืดหยุ่นเท่ากับ 2.0 x 1010
N/m2
ขนาดพื้นที่หน้าตัด
0.1 ตารางมิลลิเมตร มาผูกติดกับมวลดังรูป ถ้าพื้นมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.8 จงหา
อัตราเร่งสูงสุดของวัตถุที่ลวดจะยังไม่ขาด ( 12 m/s2
)
3. ลวดทองแดงเส้นหนึ่งยาว 4 เมตร มีพื้นที่ภาคตัดขวาง 1 x 10- 8
ตารางเมตร มีค่ามอดูลัสของยัง
เป็น 1.1 x 1011
นิวตันต่อตารางเมตร จะต้องออกแรงดึงเท่าใด จึงจะทาให้เส้นลวดนี้ยืดออกอีก 1
มิลลิเมตร (0.275 N)
4. (มช.43) แขวนวัตถุมวล m กิโลกรัม ที่ปลายเส้นลวดเหล็กกล้า ซึ่งมีค่ามอดูลัสของยัง เท่ากับ
2.0 x 1011
นิวตันต่อตารางเมตร ทาให้เส้นลวดยืดออก 0.005 เท่าของความยาวเดิม ถ้า
พื้นที่หน้าตัดของเส้นลวดเท่ากับ 0.4 ตารางเซนติเมตร จงหาค่าของมวล m นี้ (4000 kg)
5. (มช.45) หมู่บ้านแห่งหนึ่งใช้ท่อเหล็กแท่งหนึ่งที่มีความยาว 20 เมตร เป็นฐานรองรับถังเก็บน้าขนาด
ความจุ 50 ลูกบาศก์เมตร ถ้าพื้นที่หน้าตัดของท่อในส่วนที่เป็นเหล็กมีขนาด 5 x 10- 2
ตารางเมตร
ค่ายังมอดูลัสของเหล็กมีค่าเป็น 2 x 1011
N/m2
เมื่อมีน้าเต็มถัง ท่อเหล็กนี้จะหดลงไปกี่เมตร
ก. 1 x 10- 2
ข. 1 x 10- 3
ค. 1 x 10- 4
ง. 1 x 10- 5
6. (มช.50) ลวดเปียโนเส้นหนึ่ง มีความทนแรงดึงเป็น 100,000 นิวตันต่อตารางเซนติเมตร ถ้าลวดเส้นนี้
มีความยาว 2 เมตร และมีพื้นที่หน้าตัด 0.01 ตารางเซนติเมตร เมื่อถูกขึงด้วยแรงที่ทาให้เกิดความ
เค้นเท่ากับความทนแรงดึง ลวดจะยืดออกเป็นระยะกี่เมตร (กาหนดให้ มอดูลัสของยัง ของลวดเป็น
2 x 1011
N/m2
)
ก. 1.0 x 10- 6
ข. 1.0 x 10- 5
ค. 1.0 x 10- 4
ง. 1.0 x 10- 2

121
7. (มช.53) เส้นลวดหนึ่งยาวเท่ากับ 2 เมตร มีพื้นที่เท่ากับ 0.20 ตารางมิลลิเมตร และมีค่ามอดูลัสของ
ยังเท่ากับ 1.0 x 1011
นิวตัน/ตารางเมตร ถ้าต้องการให้ลวดเส้นนี้ยาวออก 2% จะต้องใช้แรงดึงกี่
นิวตัน
ก. 200 ข. 400 ค. 5 x 105
ง. 5 x 107
8. แขวนมวล 400 กิโลกรัม กับเส้นลวดโลหะชนิดหนึ่งยาว 10 เมตร มีพื้นที่หน้าตัด 2 x 10– 4
m2
เส้นลวด
นี้จะยืดออกเป็นเท่าใด ถ้ากาหนดให้ค่ายังมอดูลัสของเส้นนี้เป็น 2 x 1011
N/m2
(0.1 cm)
9. เมื่อแขวนมวล M ไว้ที่ปลายเส้นลวดดังรูป จะทาให้เส้นลวดยืดออก 0.12 เปอร์เซ็นต์ของความความ
เดิม ถ้าพื้นที่หน้าตัดของลวดเท่ากับ 0.20 ตารางมิลลิเมตร และมีค่ามอดูลัสของยังเท่ากับ
2.0 x 1011
นิวตันต่อตารางเมตร มวล M จะมีค่าเท่าใด (4.8 kg)
10. (PAT.53) อัตราส่วนระหว่างแรงดึงที่กระทาต่อเส้นลวด กับระยะยืดของเส้นลวด A และ B ซึ่งยาว
เท่ากัน เป็นอัตราส่วน 2 : 1 ถ้าค่ามอดูลัสของยังของเส้นลวด B เป็น 2 เท่าของเส้นลวด A
เส้นผ่าศูนย์กลางของเส้นลวด A เป็นกี่เท่าของเส้นลวด B
ก. 0.5 ข. 1 ค. 2 ง. 4

122
ของไหล (Fluid)
โดยทั่วไป จะแบ่งสสารออกเป็น 3 สถานะ คือ ของแข็ง (solid) ของเหลว (liquid) และแก๊ส (gas)
อาจเรียกรวม ของเหลว + ก๊าซ = ของไหล
การศึกษาเกี่ยวกับของไหลที่อยู่นิ่ง เรียกว่า อุทกสถิตศาสตร์ (hydrostatics)
การศึกษาเกี่ยวกับของไหลที่เคลื่อนที่ เรียกว่า อุทกพลศาสตร์ (hydrodynamics)
ความหนาแน่น (density) ;  เป็นสมบัติเฉพาะตัวของสารแต่ละชนิด ซึ่ง
หมายถึง อัตราส่วนระหว่างมวลกับปริมาตรของวัตถุ นั่นคือ
เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น kg/m3
 ความหนาแน่นของสารสัมพัทธ์กับน้า อาจเรียกอีกอย่างว่า ความถ่วงจาเพาะ ; ถ.พ.
(specific gravity) ; S.G.
  น้า = 1 g/cm3
หรือ 1,000 kg/m3
 วัตถุที่มี  น้อยกว่าน้าจะลอยน้าได้ และในทานองเดียวกัน.....
 วัตถุที่มี  มากกว่าน้าจะจมน้าได้ และ วัตถุที่มี  เท่ากับน้าจะลอยอยู่ในน้า
 โจทย์ความหนาแน่น มักจะเกี่ยวข้องกับเรื่อง แรงลอยตัว ซึ่งจะได้ศึกษาต่อไป
ความหนาแน่น ความดัน แรงดัน แรงลอยตัว
ความตึงผิว ความหนืด ฯลฯ
v
m

เมื่อเอาสาร สอง ชนิดมารวมกัน สามารถหาความหนาแน่นรวมได้ดังนี้
 ผสม =
...
...
21
21


VV
mm
หรือ =
...
...
21
2211


VV
VV 
(ส่วนที่เป็น Hydrostatics)
ความหนาแน่นสัมพัทธ์ (ถ.พ.) =

123
1. (มช.40) เมื่อผสมสาร A (ถ.พ. 0.80) เข้ากับ สาร B (ถ.พ. 1.68) เพื่อใช้หาความหนาแน่นของเลือด
พบว่าต้องผสมด้วยสัดส่วนของ A : B เป็น 75% โดยปริมาตร หยดเลือดที่หยดลงไปในสารละลายนี้
จึงจะยังคงแขวนลอยอยู่ จงคานวณหาความหนาแน่นของเลือด (ตอบในหน่วย กรัม/ลบ.ซม.)
( 1.02 )
ความดันในของเหลว
ความดัน (Pressure) ; P ในของเหลว คือ อัตราส่วนของขนาดของแรงดัน F ที่กระทาตั้งฉากกับ
พื้นที่ที่ของเหลวสัมผัส A
ซึ่งความดัน P มีหน่วยเป็น N/m2
หรือเรียกอีกอย่างว่า ปาสคัล ; Pa
และความดันในของเหลวจะมีค่าขึ้นอยู่กับ ระดับความลึก ; h นั่นคือ เมื่อลึกลงไปปริมาณ
ของเหลวที่กดทับลงบนพื้นที่ก็จะมีค่ามากขึ้น นั่นคือมีแรงกดมาก
จาก
A
F
P  และ F = mg (น้าหนักของเหลว : ในแนวตั้งฉากกับพื้นที่)
แทนค่าจะได้
A
mg
P  และ vm  (ความหนาแน่น)
จะได้
A
vg
P

 และ v = Ah (ปริมาตร)
แทนค่าจะได้ ....(ความดันเกจ....Gauge Pressure)
 ความดันเกจ คือ ความดันที่ขึ้นอยู่กับความลึกของของเหลว เนื่องมาจากน้าหนักของของเหลว
 ความดันของของเหลวชนิดเดียวกัน ที่ระดับความลึกเดียวกัน มีค่าเท่ากันเสมอ โดยไม่ขึ้นกับ
รูปทรงของภาชนะที่บรรจุ
 จุดใด ๆ ในของเหลว แรงดันของของเหลว
มีได้ทุกทิศทุกทาง และ จะกระทาตั้งฉากกับ
ผนังของภาชนะและผิวของวัตถุเสมอ
A
F
P  F = P.A
ghPG 

124
2. จงพิจารณาภาชนะบรรจุน้า 3 ใบ ปริมาตรไม่เท่ากัน ดังรูป ถ้าความสูงของระดับน้าในภาชนะทั้ง
สามใบมีค่าเท่ากัน
จงเลือกคาตอบที่ถูกที่สุดต่อไปนี้
ก. ความดันที่ก้นภาชนะทั้งสามใบมีค่าเท่ากัน แต่น้าหนักของน้าในภาชนะแต่ละใบมีค่าไม่เท่ากัน
ข. ความดันที่ก้นภาชนะทั้งสามใบมีค่าไม่เท่ากัน แต่น้าหนักของน้าในภาชนะแต่ละใบมีค่าเท่ากัน
ค. ความดันที่ก้นภาชนะและน้าหนักของน้าในภาชนะแต่ละใบมีค่ามีค่าไม่เท่ากัน
ง. ความดันที่ก้นภาชนะและน้าหนักของน้าในภาชนะแต่ละใบมีค่ามีค่าเท่ากัน
ความดันสัมบูรณ์ (Absolute pressure)
ความดันตามสมการ ( ghPG  ) เป็นความดันเนื่องมาจากของเหลว แต่เพียงอย่างเดียว
ซึ่งความเป็นจริง จะต้องมีความดันจากบรรยากาศ P0 กดทับอีกทีหนึ่ง
** ผลรวมของความดันเกจ กับ ความดันบรรยากาศ เรียกว่า ความดันสัมบูรณ์ **
Absolute Pressure (P) = P0 + gh
(ความดันบรรยากาศที่ระดับน้าทะเล คือ ความดัน 1 บรรยากาศ
(atmosphere) ; atm มีค่า 1.013 x 105
N/m2
= 1 atm )
 ความดันอากาศจะ ลดลง เมื่อความสูงจากระดับน้าทะเล เพิ่มขึ้น
(เนื่องจากมวลอากาศ ลดลง....การขึ้นดอยสูงๆ จะทาให้เกิดอาการหูอื้อ)
 ความดันอากาศจากเครื่องวัด เช่น ความดันโลหิต ความดันอากาศ
มักวัดในหน่วย mm.Hg

125
3. นักสารวจท้องทะเลลงไปวัดความดันน้าทะเลได้ 5.2 x 105
N/m2
น้าทะเลมีความหนาแน่น
1.4 x 103
kg/m3
ถ้าขณะนั้นที่ระดับน้าทะเลอากาศมีความดัน 105
N/m2
จงหาความลึกของทะเล
ก. 300 m ข. 42 m ค. 37 m ง. 30 m
หน่วยความดัน
1 atm = 760 mm.Hg (มิลลิเมตรของปรอท) = 76 cm.Hg (เซนติเมตรของปรอท)
= 1.01325 x 105
N/m2
1 bar = 105
N/m2
( เพราะฉะนั้น 1 atm  1 bar )
1 torr = 1 mm.Hg ( mm.Hg เรียกอีกอย่างว่า torr )
อุปกรณ์วัดความดัน
บารอมิเตอร์ (Barometer)
 ทุก ๆ ความสูงที่เพิ่มขึ้น 11 m ความดันอากาศจะลดลงประมาณ 1 mm-Hg *
เครื่องมือวัดความดันอย่างง่าย ๆ ซึ่งใช้ปรอท
วัดความดันบรรยากาศ (Atmospheric pressure)
เรียกว่า บารอมิเตอร์ (barometer) ดังแสดงในรูป
อุปกรณ์ดังกล่าวจะมีหลอดปลายปิดข้างหนึ่ง เติม
ปรอทให้เต็มแล้วกลับหลอดให้ด้านปลายเปิดจุ่มลง
ในอ่างที่มีปรอท ปรอทจะไหลลงไปจากหลอดส่วน
หนึ่ง แต่จะมีอีกส่วนหนึ่งที่ยังคงค้างอยู่ โดยความ
ดัน ที่ด้านบนของหลอดจะมีค่าประมาณ 0 และเรา
จะได้ว่าความดันที่จุด A เนื่องจากความสูงของ
ปรอท จะเท่ากับความดันบรรยากาศ ซึ่งเท่ากับ
760 mm-Hg

126
PขวาPซ้าย
ก.
3
11
ค. 5
ข. 3 ง. 7
การคานวณหลอดแก้วรูปตัวยู
* ความดัน ไม่เกี่ยวกับขนาดของขาทั้งสองข้าง *
4. (มช.53) พิจารณาของเหลว 3 ชนิด ที่มีความหนาแน่นเป็น 1 , 2 และ 3 บรรจุในภาชนะดังรูป
ถ้า 31 3  จงหาว่า 2 มีค่าเป็นกี่เท่าของ 3
เครื่องมือวัดความดันอีกชนิดหนึ่งเรียกว่า
แมนอมิเตอร์ (manometer) ซึ่งเป็นหลอดรูปตัว U
ที่มีของเหลวบรรจุอยู่ (โดยมากจะเป็นปรอท) ปลาย
ด้านหนึ่งต่อเข้ากับภาชนะซึ่งมีความดัน P2 ส่วน
ปลายอีกข้างหนึ่งเปิดให้อากาศเข้า ซึ่งจะมีความดัน
เป็น P1 = Patm ถ้า P2 > P1 จะทาให้ของเหลวใน
ด้านปลายเปิดสูงกว่าด้านปลายปิด ถ้าจุด B เป็น
จุดบนผิวของของเหลวที่อยู่ในด้านปลายปิด และ
จุด A เป็นจุดที่อยู่ในแนวระดับเดียวกับจุด B
( ดังนั้น PA = PB )
ใช้หลักการที่ว่า
“ ที่ระดับเดียวกัน ความดันมีค่าเท่ากัน”
นั่นคือ Pซ้าย = Pขวา

127
แรงดันของของเหลวที่กระทาต่อผิวด้านข้างภาชนะ
พิจารณา ที่ผิวด้านหนึ่งของภาชนะ ซึ่งบรรจุน้าที่ระดับความสูง h ดังรูป
จะมีแรงดันของน้ากระทาต่อผิวด้านข้าง
ทุก ๆ จุดในทิศตั้งฉาก ซึ่งมีค่าไม่เท่ากัน ขึ้นอยู่กับ
ระดับความลึกของของเหลว ( ghP  )
ดันนั้น แรงดันของน้าที่กระทาจึงเป็น
แรงดันเฉลี่ย (ความดันก็เฉลี่ย)
จาก APF . = A
PP
.
2
10





 
= lh
gh
.
2
0





  
………….**
 แรงดันนี้เป็นแรงดันเนื่องจากของเหลวอย่างเดียว โดยไม่คิดแรงดันบรรยากาศ
 แรงดันของน้าจะเพิ่มขึ้นแบบกาลังสอง ตามความสูงของระดับน้า
 แรงดันเฉลี่ย จะเสมือนกระทาที่ตาแหน่ง
3
h
การออกแบบสร้างเขื่อน วิศวกรจะต้องออกแบบบริเวณฐาน
ของประตูเขื่อนให้มีความแข็งแรง และหนาเป็นพิเศษ
5. ประตูกั้นน้าแห่งหนึ่งกว้าง 10 เมตร มีระดับน้าในประตูสูง 8 เมตร และนอกประตูสูง 4 เมตร จงหา
แรงดันน้าลัพธ์ที่กระทาต่อประตูกั้นน้านี้ (2.4 x 106
N)
F = 2
2
1
glh
ที่ผิวน้า P = 0 , ที่ด้านล่างสุด P = gh
พื้นที่รับแรงดัน A = l.h = ความกว้างผิว
ด้านข้าง คูณกับ ความสูงของน้า

128
กรณี พื้นที่ผิวข้างเอียงทามุม  (เพิ่มเติม)
พิจารณา รูป ข้างต้นจะมีแรงดันของน้า
กระทาต่อผิวข้าง ทุก ๆ จุดในทิศตั้งฉากเหมือนกัน
และความดัน ghP 
(โดยไม่ขึ้นกับรูปร่างของผนังข้าง)
จาก APF . = A
PP
.
2
20





 
= lX
gh
.
2
0





  
= 













sin
.
2
h
l
gh
 สาหรับ Factor ( eccos ) เมื่อ 900  จะได้ค่าที่มากว่า 1 ทาให้ผลลัพธ์จากการคูณ
ได้ค่ามากขึ้น **สรุปเกิดแรงดันมากขึ้น
6. ถังน้าใบหนึ่งมีด้านกว้าง ยาว สูง เป็น 4 , 4 และ 3 เมตร ตามลาดับ มีน้าบรรจุอยู่ ขณะที่เอียงถังดัง
รูป แรงดันน้าที่กระทาต่อด้านข้าง AB เป็นกี่ kN (ความหนาแน่นน้าเท่ากับ 103
kg/m3
)
ก. 128 ค. 115.2
ข. 144 ง. 212
ที่ผิวน้า P = 0 , ที่ด้านล่างสุด P = gh
พื้นที่รับแรงดัน A = l.X
ความกว้างผิวข้าง l คูณกับ สูงเอียงของน้า X
จาก
X
h
sin
sin
h
X 
ech cos.
F =  ecglh cos.
2
1 2

129
กฎของปาสคัล (เครื่องอัดไฮดรอลิก) …กล่าวว่า
“ เมื่อ เพิ่มความดัน ณ ตาแหน่งใด ๆ ในของเหลวที่อยู่นิ่งในภาชนะปิด
ความดันที่เพิ่มขึ้น จะถ่ายทอดไปยังทุก ๆ จุดทุกตาแหน่งในของเหลวนั้น
รวมถึงผนังของภาชนะด้วย ทาให้ทุกจุดมีความดันเพิ่มขึ้น ”
ซึ่งกฎของปาสคัล สามารถนาไปอธิบายการทางานของ เครื่องกล ผ่อนแรงชนิดหนึ่ง
นั่นคือ เครื่องอัดไฮดรอลิก (Hydraulic Press) ซึ่งประกอบไปด้วย กระบอกสูบ และ ลูกสูบ
ที่มีขนาดต่างกัน กระบอกสูบทั้งสองเชื่อมต่อถึงกัน และภายในกระบอกสูบทั้งสอง จะมีของเหลว
บรรจุอยู่ภายใน (น้ามันหล่อลื่น) ดังรูป.....
 เนื่องจากความดันที่เพิ่มขึ้น จะไปดันผนังด้านข้างของกระบอกสูบ ดังนั้นกระบอกสูบต้องมี
ความแข็งแรงเป็นพิเศษ และทนต่อแรงอัดของความดันได้ดี
หลักการ ความดันใน ขณะที่กระบอกสูบทั้งสองข้าง มีระดับเท่ากัน จะมีค่าเท่ากัน
นั้นคือ PA = Pa
……..*
* * ในกรณีที่ ระดับกระบอกสูบไม่สมดุลกัน จะต้องบวกความดันเกจ ของข้างที่สูงกว่าด้วย
A
W
=
a
F
A
W
= gh
a
F


130
ก. 321 MMM 
ข. 321 32 MMM 
ค. 3
21
32
M
MM

ง. 231 MMM 
 เนื่องจากเครื่องอัดไฮดรอลิก เป็นเครื่องกลผ่อนแรง ดังนั้น จึงมี การได้เปรียบเชิงกล (M.A)
Mechanical Adventage
 หากต้องการให้ ผ่อนแรงได้มากขึ้น อาจใช้หลักการของคานเข้ามาช่วยอีก (โมเมนต์)
7. (มช.52) จากรูป ระบบประกอบด้วย กระบอกสูบและลูกสูบ 3 ชุด ภายในบรรจุด้วยของเหลว มี
พื้นที่หน้าตัดของกระบอกสูบเป็น 2A , 3A และ A ซึ่งมีมวล M1 , M2 และ M3 วางอยู่บนลูกสูบของแต่
ละชุดตามลาดับ ถ้าลูกสูบทุกอันมีน้าหนักเบามาก และไม่มีแรงเสียดทานระหว่างผิวของกระบอกสูบ
และลูกสูบ เมื่อระบบอยู่ในสภาวะสมดุล ความสัมพันธ์ระหว่าง M1 , M2 และ M3 เป็นไปตามข้อใด
8. (En.44) เครื่องอัดไฮดรอลิกสาหรับยกรถยนต์เครื่องหนึ่ง ใช้น้ามันที่มีความหนาแน่น 800 kg/m3
พื้นที่ของลูกสูบใหญ่และลูกสูบเล็กมีค่า 1000 ตารางเซนติเมตร และ 25 ตารางเซนติเมตร ตามลาดับ
ถ้าต้องการยกรถยนต์หนัก 1000 กิโลกรัม ขณะที่กดลูกสูบเล็ก ระดับน้ามันในลูกสูบเล็กอยู่สูงกว่า
ระดับน้ามันในลูกสูบใหญ่ 100 เซนติเมตร แรงที่กดบนลูกสูบเล็กมีค่าเท่าใด ( 230 N)
M.A. =
F
W
=
a
A
= 2
2
r
R

131
9. จากแม่แรงยกรถเครื่องหนึ่ง ลูกสูบใหญ่มีพื้นที่เป็น 25 เท่า ของลูกสูบเล็ก ถ้าต้องการใช้แม่แรงนี้ยกรถ
มวล 200 kg จะต้องออกแรง F กดที่คันโยกของแม่แรงกี่นิวตัน
ก. 20 ข. 27 ค. 50 ง. 80
แรงลอยตัว (แรงพยุง) Buoyancy Force ; FB
เมื่อวัตถุลอย หรือ จมอยู่ในของเหลว จะมีแรงชนิดหนึ่งคอยพยุงวัตถุไว้
ไม่ให้จม เรียกแรงนี้ว่า แรงลอยตัว หรือ แรงพยุง ซึ่งเป็นแรงดันน้าลัพธ์ที่
กระทาต่อวัตถุด้านบน และ ด้านล่าง แรงลัพธ์ที่ได้จะมีทิศขึ้น
(ส่วนแรงดันน้า ด้านผิวข้าง จะหักล้างกันไป)
พิจารณาวัตถุที่มีพื้นที่หน้าตัด A ซึ่ง จมอยู่ในของเหลวดังรูป
แรงที่ของเหลวกระทาต่อผิวด้านบน F1
AghAPF 111 
แรงที่ของเหลวกระทาต่อผิวด้านล่าง F2
AghAPF 222 
และ แรงลัพธ์ที่กระทาต่อวัตถุ คือ แรงลอยตัว ( F2 – F1)
AghAghFB 12  
 12 hhgA  
gVgAh  
แรงลอยตัว ...........** ( V คือ ปริมาตรของวัตถุส่วนที่จม)gVFB 

132
หลักของอาร์คิมีดีส (Archimedes’ Principle) กล่าวว่า……
‚ วัตถุที่จมในของเหลวทั้งก้อน หรือบางส่วน จะถูกแรงลอยตัวกระทา ซึ่ง แรงลอยตัวจะ
เท่ากับ น้าหนักของของเหลวที่ถูกวัตถุแทนที่ ‛
แรงลอยตัว FB = น้าหนักของของเหลวที่ถูกวัตถุแทนที่
= น้าหนักที่หายไป (เมื่อชั่งในของเหลว)
 สาหรับในอากาศ ก็มีแรงลอยตัวเหมือนกัน แต่มีค่าน้อยมากครับ
 วัตถุที่มีรูปทรงไม่เป็นเรขาคณิตสามารถหา ปริมาตรจากการแทนที่น้า
แล้ววัดปริมาตรน้าแทนได้
10. โป๊ ะรูปสี่เหลี่ยมยาว 4 เมตร กว้าง 2 เมตร มีมวล 12 ตัน ลอยอยู่น้าทะเลที่มีความถ่วงจาเพาะ 1.03
จงหาส่วนจมน้า d เมื่อความหนาแน่นของน้าเท่ากับ 1000 kg/m3
และค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้ม
ถ่วงโลก (g) = 10 m/s2
ดังรูป
ก. 1.15 m ข. 1.25 m ค. 1.45 m ง. 1.55 m
สูตรลัดหาความหนาแน่นของวัตถุ เมื่อวัตถุลอยน้า
 วัตถุ = ปริมาตรส่วนจม x (1000)
ปริมาตรทั้งหมด
แรงลอยตัว

133
11. (มช.43) อาร์คีเมดีส ชั่งมงกุฎทองของพระราชาในอากาศได้ 1.2 กิโลกรัม และเมื่อมงกุฎจมอยู่ในน้า
ชั่งได้ 1.04 กิโลกรัม จงหาความหนาแน่นของมงกุฎ ในหน่วยของ กิโลกรัม/(เมตร)3
(7500)
แรงลอยตัว เท่ากับ………………………………………..
12. (PAT.53) นาโลหะความหนาแน่น  ปริมาตร V ไปชั่งในของเหลวชนิดหนึ่ง ที่มีความหนาแน่น l
น้าหนักของโลหะในของเหลวนี้เป็นเท่าใด
ก.  Vgl  ข.  Vgl  ค. Vg
l







2
ง. Vgl







2
13. (มช.52) แท่งโลหะมวล 2 kg มีความหนาแน่นสัมพัทธ์ (หรือความถ่วงจาเพาะ) เท่ากับ 5 ถูกแขวน
ไว้กับตาชั่งสปริง และแท่งโลหะจุมอยู่ในน้า ดังแสดงในรูป จงหาว่าเครื่องชั่งสปริงจะอ่านค่าได้กี่ นิว
ตัน ( กาหนด g = 10 m/s2
)
1. 0 ค. 16
2. 2 ง. 20
สูตรลัดหาความหนาแน่นของวัตถุ เมื่อวัตถุจม หรือ ลอย น้า
 วัตถุ = น้าหนักจริง x (1000) (น้าหนักที่หายไป = แรงลอยตัว)
น้าหนักที่หายไป

134
ความตึงผิว Surface Tension ; 
ทาไม จิงโจ้น้า ถึงสไลด์บนผิวน้าได้ – ทาไมใบมีดโกนถึงวางบนผิวน้าได้
ทั้งที่มี  มากกว่าน้า ที่เป็นเช่นนี้เพราะ ที่ผิวของเหลว จะมีแรงชนิดหนึ่ง
ซึ่งไม่ใช่แรงลอยตัว มาช่วยพยุงไว้
แรงนี้จะยึดผิวของของเหลวไว้ ไม่ให้แยกจากกัน ซึ่งเป็นแรงระหว่าง
โมเลกุลของของเหลว เกิดเฉพาะที่ผิวของของเหลวเท่านั้น ทาให้ผิวของของเหลวราบเรียบ
และตึง เรียกแรงนี้ว่า แรงดึงผิว (Surface tension force)
 แรงดึงผิวของของเหลว มีทิศขนานกับผิวของของเหลว และตั้งฉากกับขอบที่ของเหลวสัมผัส
พิจารณารูป ของฟิล์มสบู่เมื่อดึงลวดออก เมื่อออกแรงดึงลวด ฟิล์มสบู่จะออกแรงต้าน
ไม่ให้ลวดหลุดจากฟิล์มสบู่ และแรงต้านนั้นก็คือ แรงดึงผิว นั่นเอง
( ฟิล์มสบู่มี 2 ผิว ดังนั้น แรงดึงผิวก็มี 2 ด้านด้วย )
อัตราส่วนระหว่าง แรงดึงผิว (F) กับความยาวของเส้นที่ของเหลวสัมผัส (l )
เรียกว่า ความตึงผิว (Surface tension) ใช้สัญลักษณ์ 
มีหน่วยเป็น นิวตัน/เมตร (N/m)
 พิจารณาให้ดีว่าแรงดึงผิว สัมผัสกับวัตถุกี่ด้าน ถ้ามี 2 ด้าน ให้เป็น 2l
เส้นลวดตรง (2l) , เส้นลวดโค้ง  R22 , แผ่นวงกลมบาง  R2 เป็นต้น..........
 ความตึงผิว เป็นสมบัติเฉพาะตัวของของเหลว สาหรับของเหลวชนิดหนึ่ง ๆ ความตึงผิวจะ
ลดลงเมื่อ อุณหภูมิเพิ่มขึ้น
 สารบางชนิดมีสมบัติลดความตึงผิว เช่น สารทาความสะอาด ผงซักฟอก น้ายาล้างจาน สบู่ ..
l
F


135
ความตึงผิวของของเหลวบางชนิด ที่อุณหภูมิ 20 0
C
ของเหลว ความตึงผิว (N/m)
ปรอท (Mercury
น้า (Water)
กลีเซอรีน (Glycerin)
เบนซิน (Benzene)
เอทิลแอลกอฮอล์
0.4350
0.0728
0.0631
0.0289
0.0223
ความเปียก-ไม่เปียกน้า (Wetting , Non-wetting)
 ถ้าหยดของเหลว กับผิวสัมผัส มีมุมสัมผัสมาก แสดงว่า พลังงานศักย์ผิวของเหลวมีค่ามาก
14. (มช.49) ถ้าใช้ลวดบาง (ที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางเล็กมาก) ทาเป็นห่วงวงกลมรัศมี 7 มิลลิเมตร ดังรูป ใน
การหาความตึงผิวของน้าผสมผงซักฟอก โดยใช้แรงดังเท่ากับ 3.52 มิลลินิวตัน ทาให้ห่วงพ้นน้าพอดี
ความตึงผิวในหน่วยมิลลินิวตัน/เมตร ของน้าผสมนี้มีค่าเท่าใด (กาหนดให้
7
22
 )
ก. 40 ค. 60
ข. 50 ง. 80

136
15. (มช.50) จากรูป แผ่นแก้วขนาด a = 1 cm , b = 2 cm หนา 2.5 mm ถูกดึงจากผิวของเหลวด้วย
แรง F ขนาด 420 มิลลินิวตัน ทาให้หลุดจากผิวน้าพอดี ให้หาความตึงผิวของของเหลวในหน่วยมิลลิ
นิวตันต่อเมตร
ปรากฏการณ์ซึมตามรูเล็ก (Capillarity)
คือ ปรากฏการณ์ที่เมื่อจุ่มหลอดเล็กๆ ลงในของเหลวแล้ว ระดับของของเหลวภายในหลอดกับ
ภายนอกหลอดแตกต่างกัน คาปิลลาริตี้เกิดเนื่องจากความตึงผิว ของของเหลวนั่นเอง
Ad > Co Co > Ad

137
ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยแรง ระหว่างโมเลกุล 2 ชนิด คือ
 แรงระหว่างโมเลกุลของของเหลว (โมเลกุลชนิดเดียวกัน) เรียกแรงนี้ว่า แรงเชื่อมแน่น
( Cohesive force)
 แรงระหว่างโมเลกุลของของเหลว กับโมเลกุลของภาชนะ (โมเลกุลต่างชนิดกัน)
เรียกแรงนี้ว่า แรงยึดติด (Adhesive force)
เนื่องจากแรงตึงผิว F ทามุม  กับแนวดิ่ง ดังนั้นต้องแตกเวกเตอร์
ของแรงตึงผิวนี้เข้าแนวดิ่งและอ้างว่าเท่ากับน้าหนัก ของเหลวที่ถูกดึงขึ้นมา
จากรูป Fcos = น้าหนักของเหลว
    ghrr .cos.2 2
 
 = ความตึงผิว
r = รัศมีของหลอดแก้ว
 = ความหนาแน่น
16. (มช.51) ข้อความใดถูกต้องที่สุด โดยพิจารณาจากหยดของเหลว 3 ชนิด ดังรูป
ก. ของเหลว (ก) มีมุมสัมผัส  ที่มีขนาดเล็ก นั่นคือของเหลวเปียกพื้น เนื่องจากความตึงผิวมีค่ามาก
ข. ของเหลว (ข) มีมุมสัมผัส  ปานกลาง เพราะของเหลวดึงดูดกันเองเท่าๆกับของเหลวดึงดูดพื้น
ค. ของเหลว (ค) มีมุมสัมผัส  มีค่ามาก ทาให้ของเหลวซึมเข้าไปไนเนื้อผ้าได้ดี
ง. เปรียบเทียบของเหลวทั้งสาม ของเหลว (ก) มีพลังงานศักย์มากที่สุด
gr
h

 cos.2


138
mgmg
ความหนืดของของเหลว (Viscosity)
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ภายในของเหลวที่หยุดนิ่ง จะมีแรงต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งเป็นผลมาจาก
ความหนืด ของของเหลวนั่นเอง เรียกว่า แรงหนืด
สาหรับการทดลองหาค่า แรงหนืด สโตกส์ (Stokes) ได้ทาการทดลองปล่อยวัตถุทรงกลมให้
เคลื่อนที่ในของเหลว แล้วทาการวัด อัตราเร็ว ของวัตถุ
พบว่า ช่วงเริ่มต้น วัตถุเคลื่อนที่โดยมี ความเร่ง และความเร็วจะค่อย ๆ คงที่ค่าหนึ่ง
เรียกความเร็วที่คงที่นี้ว่า ความเร็วปลาย ; v ดังรูป
สโตกส์ พบว่า แรงหนืด มีค่าขึ้นกับ ความเร็วปลาย vF 
จะได้ว่า kvF  เมื่อ rk 6 ดังนั้น …..**
เมื่อ r = รัศมีของลูกทรงกลม (กฎของสโตกส์) BF F
 ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดของของเหลว
 โดยปกติ โจทย์ แรงหนืด มักต้องคานวณร่วมกับ แรงลอยตัว เมื่อ   0F
จะได้ 0 FFmg B
 สิ่งที่มีผลต่อ ความหนืดของสาร เช่น อุณหภูมิ ปริมาณความเข้มข้นสาร การเติมสารเจือ…
17. (PAT.53) หย่อนลูกเหล็กขนาดเล็ก ลงในท่อแก้วสูง ที่บรรจุสารละลายชนิดหนึ่ง ปรากฏว่าเมื่อถึงจุดๆ
หนึ่ง ลูกเหล็กเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว ณ จุดนี้ควรใช้หลักฟิสิกส์ใดอธิบายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น
ก. แรงโน้มถ่วงของโลก ค. การตกอิสระ
ข. แรงดึงดูดระหว่างมวล ง. สมดุลของแรง
ช่วง A-B เป็นการเคลื่อนที่ที่มี ความเร่ง
ตั้งแต่ B เป็นต้นไปลูกทรงกลม เริ่ม มี
อัตราเร็วคงที่ (  0F )
vrF  6

139
18. (มช.50) ในการทดลองหย่อยลูกแก้ว เส้นผ่าศูนย์กลาง 6 mm ลงในของเหลวชนิดหนึ่ง พบว่า
ความเร็วของลูกแก้วที่ระยะลึกต่างๆ เป็นไปดังแสดงในกราฟ ในหาความหนืดของของเหลว ในหน่วย
นิวตัน.วินาที/เมตร2
กาหนดให้ ความหนาแน่นของลูกแก้ว = 2.45 กรัม/ลบ.ซม.
ความหนาแน่นของของเหลว = 1.25 กรัม/ลบ.ซม.
ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก = 9.8 เมตร/วินาที2

140
(ส่วนที่เป็น Hydrodynamics)
การศึกษาเกี่ยวกับของไหลที่เคลื่อนที่ เรียกว่า อุทกพลศาสตร์ (Hydrodynamics)
ของไหลในอุดมคติ (Ideal Fluid)
1. มีการไหลสม่าเสมอ (Steady flow) คือ ความเร็วของทุก ๆ อนุภาคของของไหล ณ ตาแหน่ง
ต่างๆ มีค่าคงที่
2. มีการไหลโดยไม่หมุน (Irrotational flow) คือ ต้องไม่มีความเร็วเชิงมุม
3. มีการไหลโดยไม่มีแรงต้านเนื่องจากความหนืด (Non viscous flow) คือ ต้องไม่มีแรงต้าน
ทานใด ๆ ภายในเนื้อของไหลมากระทาต่ออนุภาคของของไหล
4. ไม่สามารถอัดได้ (Incompressible flow) คือ ของไหลต้องมีปริมาตรคงที่ หรือ ต้องมีความ
หนาแน่นเท่าเดิม
ลักษณะการไหลทั่วไป แบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ ดังนี้คือ .....
1. การไหลแบบลามินาร์ (Laminar flow) เป็นลักษณะการไหลแบบต่อเนื่อง เป็นเส้นกระแส
ไม่มีการหมุนเกิดขึ้น
2. การไหลแบบเทอร์บุเลนซ์ (Turbulent flow) เป็นลักษณะการไหลที่มีการหมุนด้วย
 การไหลของของไหลในอุดมคติ เป็นการไหลแบบ Laminar
 ส่วนใหญ่ การไหลในชีวิตประจาวันจะเป็นแบบ Turbulence
อัตราการไหล สมการความต่อเนื่อง สมการแบร์นูลลี
กฎของทอร์ริเซลลี และการประยุกต์ ฯลฯ

141
การไหลของของไหลในอุดมคติ อนุภาคของของไหลจะเคลื่อนที่ไปตามทางเดินเส้นหนึ่ง
เรียกว่า เส้นกระแส (Stream line) แต่ละเส้นกระแสจะไม่ตัดกัน โดยความเร็วของอนุภาคที่
ตาแหน่งต่าง ๆ มีทิศในแนวเส้นสัมผัส ณ ตาแหน่งนั้น
ถ้าให้เส้นกระแสจานวนหนึ่งอยู่รวมกันเป็นมัด เรียกมัดนี้ว่า หลอดการไหล (tube of flow)
เส้นกระแส หลอดการไหล
สมการความต่อเนื่อง
ผลคูณระหว่างพื้นที่หน้าตัด (A) กับ อัตราเร็วของของไหล (v) ไม่ว่าจะอยู่ที่ตาแหน่งใดใน
หลอดการไหล จะมีค่าคงตัวเสมอ
เรียก ผลคูณระหว่าง Av เรียกว่า อัตราการไหล (Volume flow rate)
อัตราการไหล มีหน่วยเป็น m3
/s
หรือ เรียกว่า สมการความต่อเนื่อง
(the equation of continuity)
 พื้นที่หน้าตัดเล็กลง จะทาให้ของไหลมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้น
AvQ  = ค่าคงที่
2211 vAvA 
   21 VolumeVolume 
2211 LALA 
   tVAtVA 2211 
2211 VAVA 

142
19. (มช.46) ‚ผลคูณของพื้นที่หน้าตัด (A) ที่ของไหลไหลผ่าน กับอัตราเร็ว (v) ของของไหลที่ผ่าน ไม่ว่าจะ
เป็นตาแหน่งใดในหลอดการไหล มีค่าคงตัว‛ ข้อใดมีความหมายตรงกับข้อความนี้
ก. เมื่อ A มีค่าคงที่ v มีค่าลดลง ค. เมื่อ A มีค่าเพิ่มขึ้น v มีค่าเพิ่มขึ้น
ข. เมื่อ v มีค่าคงที่ A มีค่าเพิ่มขึ้น ง. เมื่อ A มีค่าเพิ่มขึ้น v มีค่าลดลง
20. เครื่องสูบน้าเครื่องหนึ่งสามารถสูบน้าได้ 10 ลิตร ในเวลา 10 วินาที แล้วส่งออกไปทางท่อที่มีขนาด
พื้นที่หน้าตัด 1 ตารางเซนติเมตร น้าพุ่งออกด้วยอัตราเร็วกี่เมตร/วินาที (10 m/s)
อัตราการไหล เท่ากับ …………………………………………..
21. (มช.49) ท่อน้าประปาวางอยู่ในแนวระดับ มีน้าไหลด้วยอัตราเร็ว 2.5 m/s ส่วนของปลายท่อถูกลด
พื้นที่หน้าตัดลง 25 % ของพื้นที่หน้าตัดเดิม ให้หาอัตราเร็วของน้าที่ปลายท่อนี้ในหน่วย m/s (10 )
22. (PAT.53) น้าไหลผ่านท่อทรงกระบอก 2 อัน รัศมี r และ R ด้วยอัตราการไหลเท่ากัน ถ้าอัตราเร็วของน้า
ที่ไหลในท่อรัศมี r เท่ากับ V อัตราเร็วของน้าที่ไหลในท่อรัศมี R เป็นเท่าใด
ก.
R
rV
ข.
r
RV
ค. 2
2
r
VR
ง. 2
2
R
Vr

143
สมการของแบร์นูลลี (นักคณิตศาสตร์-ฟิสิกส์ชาวสวิส ช่วง พ.ศ. 2243-2325)
หลักของแบร์นูลลี (Bernoulli’s principle)
‚ ถ้าระดับคงตัว เมื่อของไหลมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้น ความดันของของไหลจะลดลง
และ เมื่อของไหลมีอัตราเร็วลดลง ความดันของของไหลจะเพิ่มขึ้น ‛
สมการของแบร์นูลลี่ (Bernuolli’s Equation)
‚ ผลรวมของความดัน( P) พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร และ พลังงานศักย์โน้มถ่วงต่อหนึ่ง
หน่วยปริมาตร ณ ตาแหน่งใด ๆ ภายในท่อที่ของไหลผ่านมีค่าคงตัวเสมอ ‛
( ซึ่งจริงๆ ก็คือ กฎอนุรักษ์พลังงาน ของของไหลนั่นเอง )
2
2
221
2
11
2
1
2
1
ghvPghvP  
หรือ
พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร 2
2
2
1
2
1
v
V
mv

พลังงานศักย์โน้มถ่วงต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร gh
V
mgh

อาจเขียนเป็น
   12
2
1
2
221
2
1
hhgvvPP  
ในกรณีที่ 21 hh 
 2
1
2
221
2
1
vvPP  
ghvP   2
2
1
= ค่าคงที่
V
m

โดยที่
Fluid
Fluid
P
V
1


144
ก. P0 > P1 > P2
ข. P0 > P2 > P1
ค. P1 > P2 > P0
ง. P1 > P0 > P2
การประยุกต์สมการแบร์นูลลี
 อุปกรณ์พ่นสีสเปรย์
 หลอด แมนอมิเตอร์
23. (มช.52) จากรูปของอุปกรณ์พ่นสีด้านข้าง ข้อใดแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความดัน P1 , P2 และ
P0(ความดันบรรยากาศ) ขณะที่ทาการพ่นสีได้ถูกต้อง
ความแตกต่างของ ความดัน
P1 > P0 > P2
ทาให้เกิดแรงดูด
   2
1
2
221
2
1
vvPP  
  ghPP  21

145
24. (มช.40) ของเหลวชนิดหนึ่งไหลอย่างต่อเนื่องโดยไม่มีการหมุน ไปตามท่อกลมซึ่งมีพื้นที่หน้าตัดไม่
สม่าเสมอกันตลอดความยาวท่อดังแสดงในรูป ให้หาความสูง d ที่แสดงในรูป ในหน่วยของ
เซนติเมตร ถ้า A1 / A2 เท่ากับ 5/3 และ V1 เท่ากับ 60 เซนติเมตร/วินาที
ก. 3.2 ค. 4.8
ข. 3.0 ง. 2.8
 แรงยกปีกของเครื่องบิน-หลังคาบ้าน
เนื่องจากระยะทางของปีก ส่วนบน และส่วนล่าง
ไม่เท่ากัน(บน > ล่าง) แต่อากาศเคลื่อนที่ไปพร้อมกัน
ทั้งข้างบนและข้างล่าง (ใช้เวลาเท่ากัน) จาก
t
s
v 
ดังนั้น อากาศข้างบนปีกมีอัตราเร็วมากกว่า อากาศข้างล่างปีก จากหลักของแบร์นูลลี
ความดันอากาศข้างบนน้อยกว่าความดันข้างล่างปีก
vบน > vล่าง ดังนั้น Pบน < Pล่าง
สามารถหาแรงยกปีก (F) ของเครื่องบินได้จาก
 ถ้าเป็นแรงยกของหลังคาบ้าน ลักษณะดังรูป ความเร็วลมใต้หลังคาเป็นศูนย์
   2
1
2
221
2
1
vvPP  
F = (Pล่าง- Pบน).A = mg
เมื่อ A คือ พื้นที่ปีกเครื่องด้านล่าง

146
25. เครื่องบินลาหนึ่งต้องมีแรงยก 20 นิวตันต่อตารางเมตร จึงจะสามารถบินขึ้นได้ ถ้าความเร็วของ
อากาศที่พัดผ่านส่วนล่างของปีกเท่ากับ 300 เมตร/วินาที ให้หาความเร็วอากาศที่พัดผ่านส่วนบน
ของปีก กาหนดให้ความหนาแน่นของอากาศขณะนั้นเป็น 1.29 x 10- 3
kg/m3
(348 m/s)
 สมการของ ทอร์ริเชลลิ (Torricelli ‘s Equation)
หา ความเร็ว ของน้าที่พุ่งออกจาก ภาชนะที่เจาะรู ดังรูป
จาก 2211 vAvA 
เนื่องจาก A1 >> A2 ดังนั้น V2 >> V1 ( V1= 0)
2
2
221
2
11
2
1
2
1
gHvPgHvP  
2
2
201
2
10
2
1
2
1
gHvPgHvP  
 212 2 HHgv 
 ยิ่งระดับน้า h สูง ความเร็วก็จะมาก นั่นคือ พุ่งไปได้ไกล
 ส่วนระยะทาง S สามารถหาได้จากการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์
ghv 22 

147
26. จากรูป จงหาค่า V2 และ ระยะ L (102.83 m)

148
Homework
1. (มช.52) ดาวฤกษ์ดวงหนึ่ง มีมวลและเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น 4 และ 2 เท่า ของมวลและเส้นผ่าน
ศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ ตามลาดับ ดาวฤกษ์นี้จะมีความหนาแน่นเป็นกี่เท่าของดวงอาทิตย์
( ½ เท่า)
2. ตะกั่วความหนาแน่น 11,300 kg/m3
ผสมกับดีบุกความหนาแน่น 7,300 kg/m3
เพื่อให้ได้โลหะ
ผสม (alloy) ที่มีความหนาแน่น 9,000 kg/m3
จงหาอัตราส่วนของตะกั่วต่อดีบุก โดย มวล และโดย
ปริมาตร (1.15 : 1 , 1 :1.35 )
3. หญิงคนหนึ่งมวล 50 kg สวมรองเท้าส้นสูง โดยส้นรองเท้ามีลักษณะเป็นวงกลมรัศมี 0.5 cm เมื่อ
เธอยืนด้วยส้นทั้งสองข้าง อยากทราบว่าจะมีความดันเกิดขึ้นที่พื้นกี่ N/m2
(3.1 x 106
N/m2
)
4. น้ามันเครื่องมวล 1430 กิโลกรัม บรรจุในถังรูปทรงกระบอก ซึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 0.7 เมตร จง
คานวณหาความดันที่ก้นถัง (ใช้ค่า g = 9.8 m/s2
) (36400 N/m2
)
5. ความดันเกจที่ก้นแก้วรูปทรงกระบอกจะมีค่าเท่าใด เมื่อใส่น้าลงไปสูง 15 cm (1,500 Pa)
6. ภาชนะดังรูป มีพื้นที่ก้นภาชนะ A = 0.05 ตารางเมตร มีของเหลวบรรจุอยู่สูง h = 10 cm ถ้าของเหลว
มีปริมาตรทั้งหมด 0.006 ลูกบาศก์เมตร และมีมวล 5.4 kg ความดันที่ของเหลวกระทาต่อก้นภาชนะ
เป็นกี่นิวตันต่อตารางเมตร (900)
7. จุดที่อยู่ลึกจากผิวน้า 6 เมตร มีค่าความดันสัมบูรณ์กี่นิวตันต่อตารางเมตร ให้ความดันบรรยากาศ
เท่ากับ 105
N/m2
และความหนาแน่นของน้าเท่ากับ 1.0 x 103
kg/m3
(1.60 x 105
Pa)
8. (En.43) หลอดแก้วรูปตัวยู บรรจุน้าภายใน ใส่น้ามันชนิดหนึ่งซึ่งไม่ละลายน้า และมีความหนาแน่น
0.8 กรัม/ลูกบาศก์เซนติเมตร ที่ด้านขวาสูง 10 เซนติเมตร ระดับผิวของน้าด้านซ้ายมือ จะต่ากว่า
ระดับผิวบนของน้ามันด้านขวามือเท่าใด (2 cm)

149
27. ของเหลว 3 ชนิด อยู่ในสภาวะสมดุลในหลอดแก้วรูปตัวยู ดังรูป ความหนาแน่นของของเหลวชนิดที่
หนึ่ง และ ชนิดที่สอง มีค่า 4.0 x 103
และ 3.0 x 103
kg/m3
ตามลาดับ ความหนาแน่นของของเหลว
ชนิดที่สามมีค่ากี่ kg/m3
9. (En.34) ถ้าระดับน้าในตู้ปลารูปสี่เหลี่ยมเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า แรงทั้งหมดที่น้ากระทาต่อด้านข้างของตู้
ปลา จะเพิ่มขึ้นเป็นกี่เท่า ( 4 เท่า)
10. (En.43) เนื่องจากฝนตก ทาให้ระดับน้าเหนือเขื่อนเพิ่มขึ้นจาก 8 เมตร เป็น 10 เมตร แรงดันที่น้า
กระทาต่อเขื่อนจะเพิ่มขึ้นจากเดิมกี่เปอร์เซ็นต์ ถ้าความกว้างของเขื่อนคงตัว (56.25 %)
11. เครื่องอัดไฮดรอลิกเครื่องหนึ่ง ลูกสูบเล็กมีพื้นที่หน้าตัด 3 cm2
ลูกสูบใหญ่มีพื้นที่หน้าตัด 24 cm2
ถ้าออกแรงกดที่ลูกสูบเล็ก 10 นิวตัน จะเกิดแรงยกที่ลูกสูบใหญ่เท่าใด และการได้เปรียบเชิงกลเป็น
เท่าใด (80 นิวตัน , 8 เท่า)
12. คานโยกในเครื่องอัดไฮโดรลิก ดังรูป มีระยะ X และ Y เท่ากับ 10 และ 40 cm ตามลาดับ มีขนาด
พื้นที่หน้าตัดของลูกสูบเล็ก และลูกสูบใหญ่เป็น 2.5 และ 125 cm2
ตามลาดับ เมื่อต้องการยกของ
หนัก 1,000 กิโลกรัม จะต้องออกแรงที่ปลายคันโยกกี่นิวตัน (50 N)
13. ลูกสูบเล็กของเครื่องอัดไฮดรอลิกมีพื้นที่ 20 ตารางเซนติเมตร มีมวล 200 กิโลกรัมวางอยู่บนลูกสูบ
ลูกสูบใหญ่มีพื้นที่ 1000 ตารางเซนติเมตร น้ามันในเครื่องอัดมีความหนาแน่น 1000 กิโลกรัม/
ลูกบาศก์เมตร ถ้าเครื่องอัดอยู่ในสมดุลขณะที่น้ามันในลูกสูบใหญ่มีระดับสูงกว่าในลูกสูบเล็ก 1 เมตร
จะต้องวางมวลบนลูกสูบใหญ่เท่ากับกี่กิโลกรัม

150
14. ท่อนไม้รูปลูกบาศก์มีปริมาตร 1 m3
ในไปลอยในน้า เมื่อออกแรงกด 2 kN ปรากฏว่าผิวบนอยู่สูง
กว่าระดับน้า 20 cm จงหาความถ่วงจาเพาะของท่อนไม้ ( กาหนด  น้า = 103
kg/m3
) (0.6)
15. (PAT.53) ของเหลว A มีความหนาแน่นเป็น 1.2 เท่าของ B เมื่อนาวัตถุหนึ่งหย่อนลงในของเหลว B
ปรากฏว่ามีปริมาตรส่วนที่จมลงเป็น 0.6 เท่าของปริมาตรทั้งหมด ถ้านาวัตถุนี้หย่อนลงในของเหลว A
ปริมาตรส่วนที่จมลงในของเหลว A เป็นสัดส่วนเท่าใดของปริมาตรทั้งหมด
ก. 0.4 ข. 0.5 ค. 0.6 ง. 0.8
16. (มช.41) วัตถุก้อนหนึ่งชั่งได้ 10 กิโลกรัม ในอากาศ , 8 กิโลกรัม ในน้า และ 8.5 กิโลกรัมใน
น้ามันชนิดหนึ่ง ความหนาแน่นของน้ามันชนิดนี้เป็นกี่ kg/m3
(750)
17. (En 42) ขวดใส่ลูกกวาดทรงกระบอกใบหนึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลาง10 เซนติเมตร ลอยอยู่ในน้าดังรูป จง
คานวณว่าขวดและลูกกวาดมีมวลรวมกันเท่ากับเท่าไร (1570 g)
กาหนด ใช้ 14.3
18. วัตถุมวล 4 กิโลกรัม ความหนาแน่น 8000 kg/m3
ผูกด้วยเชือกเบา เมื่อนาไปหย่อนลงใน
ของเหลวที่มีความหนาแน่น 900 kg/m3
ที่บรรจุในภาชนะดังรูป จงหาแรงพยุงที่ของเหลวกระทาต่อ
วัตถุมีค่ากี่นิวตัน (4.5 นิวตัน)
19. วงแหวนรัศมี 14 เซนติเมตร มีมวล 15 กรัม วางลอยอยู่บนผิวของเหลวที่มีค่าความตึงผิว 0.05 นิว
ตันต่อเมตร แรงดึงน้อยที่สุดที่พอดีดึงวงแหวนให้ลอยจากผิวของเหลวเป็นเท่าใด
20. ในการทดลองวัดความตึงผิวของของเหลวชนิดหนึ่ง โดยใช้เครื่องมือดังรูป จะต้องใช้มวลสาหรับแขวน
น้าหนักจานวน 30 g จึงจะทาให้ห่วงวงกลมรัศมี 7 cm หลุดจากผิวของเหลวพอดี จงหาค่าความตึง
ผิวของของเหลวนี้

151
21. จงหาความเร็วปลายของลูกเหล็กทรงกลมรัศมี 2 มิลลิเมตร ในกลีเซอรีน กาหนดให้ ความหนาแน่น
ของเหล็ก และ กลีเซอรีน เท่ากับ 7.9 x 103
kg/m3
และ 1.3 x 103
kg/m3
ตามลาดับ และ ความ
หนืดของกลีเซอรีนเท่ากับ 0.833 N.s/m2
(0.07 เมตร/วินาที)
22. (มช 48) เม็ดเลือดมีอัตราการไหลเป็น 3 ลูกบาศก์เมตรต่อวินาที ในเส้นเลือดใหญ่รัศมี 0.3 เซนติเมตร
ไหลไปสู่เส้นเลือดเล็กลงที่มีรัศมี 0.1 เซนติเมตร อัตราเร็วของเม็ดเลือดในเส้นเลือดเล็กจะมีค่ากี่
เซนติเมตรต่อวินาที (สาหรับข้อนี้เท่านั้น ให้ใช้  = 3)
23. ท่อดับเพลิงดังรูป ถ้าต้องการให้น้าพุ่งออกด้วยอัตราเร็ว 24 m/s จงหาอัตราเร็วของน้าที่ไหลในท่อ
ใหญ่ เมื่อขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของท่อใหญ่และเล็กเป็น 8 และ 4 cm ตามลาดับ (6 m/s)
24. เครื่องบินลาหนึ่งต้องการแรงยก 900 นิวตัน/ตารางเมตร จึงจะสามารถบินขึ้นได้ ถ้าความเร็วของ
อากาศที่พัดผ่านส่วนล่างของปีกเท่ากับ 100 เมตร/วินาที ให้หาความเร็วของอากาศที่พัดผ่านส่วนบน
ของปีก เพื่อให้ได้แรงยกตามกาหนด (  ของอากาศขณะนั้นเป็น 1.2 kg/m3
) (107.24 m/s)
25. น้าไหลในท่อด้วยอัตราการไหล 12 ลูกบาศก์เมตรต่อนาที ท่อนี้ผ่านจุด 2 จุด ซึ่งระดับต่างกัน 0.5
เมตร จุดที่ระดับสูง มีพื้นที่หน้าตัด 4 x 10– 2
ตารางเมตร มีความดันน้า 105
นิวตัน/ตารางเมตร ส่วน
จุดที่อยู่ระดับต่ามีพื้นที่หน้าตัด 8 x 10– 2
ตารางเมตร จงหาความดันน้าในท่อที่จุดระดับต่า
( 1.14 x 105
N/m2
)

152
212373.16100
R 0
C 0
FK
80
0 273.160 32
80 ช่อง 100 ช่อง 100 ช่อง 180 ช่อง
ความร้อน (Thermal)
ความร้อน (Thermal) เป็นพลังงานรูปแบบหนึ่ง ซึ่งสามารถถ่ายโอน และเปลี่ยนรูปพลังงานได้
(แต่มีหลักสาคัญที่ว่า ความร้อนไม่สามารถเปลี่ยนเป็น งานได้เต็ม 100 %)
หน่วยของพลังงานความร้อน ในระบบ SI มีหน่วยเป็น จูล (J)
แต่ยังมีอีกหลายหน่วย ที่นิยมใช้ เช่น .........เช่น แคลอรี บีทียู
พลังงาน 1 แคลอรี คือ พลังงานความร้อนที่ทาให้น้า 1 กรัม มีอุณหภูมิเพิ่มขึ้น 1 0
C
พลังงาน 1 บีทียู (BTU ; British Thermal Unit) คือ พลังงานความร้อนที่ทาให้น้า 1 ปอนด์
มีอุณหภูมิเพิ่มขึ้น 0
F
โดยที่
การบอกระดับของพลังงานความร้อนก็คือ อุณหภูมิ (Temperature) สามารถอ่านค่าได้จากแท่ง
เทอร์มอมิเตอร์(Thermometor) ซึ่งมีหลายหน่วย เช่น... องศาเซลเซียส หรือ องศาเซนติเกรด 0
C ,
องศาฟาเรนไฮต์ 0
F , โรเมอร์ R (สาหรับหน่วย SI เราใช้เป็น เคลวิน (K)
โดยที่สเกลของแต่ละหน่วยเป็นดังนี้
 โดยที่สเกลเริ่มต้น จะเริ่มที่จุดเยือกแข็งของน้า และ สเกลสุดท้ายจะเป็นจุดเดือดของน้า
32212
32
0100
0
080
0







 FCR
180
32
10080


FCR
จะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้...... และ
1 cal = 4.186 J  4.2 J
1 BTU = 252 cal  1055 J
 แล้วแต่โจทย์จะกาหนดให้
9
32
54


FCR
273 CK

153
T
Q
C



1. เพื่อช่วยลดปัญหาโลกร้อน ควรเปิดแอร์ที่ 77 0
F หรือเท่ากับกี่ 0
C และกี่ เคลวิน
ความร้อนกับการเปลี่ยนอุณหภูมิของสาร (อุณหภูมิเปลี่ยน แต่สถานะไม่เปลี่ยน)
เมื่อให้พลังงานความร้อนจานวนหนึ่งแก่สารแต่ละชนิด จะทาให้สารมีอุณหภูมิเพิ่มขึ้นต่างกัน
ซึ่งขึ้นอยู่กับค่า ความจุความร้อน (Heat Capacity) ของสารแต่ละชนิด
(ความสามารถ ในการเก็บกักความร้อนไว้ในตัวสาร)
ความจุความร้อน : C ของสาร
คือ อัตราส่วนของพลังงานความร้อนที่ให้กับสาร Q กับ อุณหภูมิของสารที่เปลี่ยนไป T
นั่นคือ ( หน่วย J/K ) หรือ Cal/g
แต่ถ้าสารชนิดเดียวกัน ซึ่งมีมวลต่างกัน แม้ได้รับความร้อนเท่ากัน แต่อุณหภูมิจะเพิ่มขึ้น
ไม่เท่ากัน (มวลน้อย อุณหภูมิจะเพิ่มมากกว่า)
ดังนั้น ถ้าต้องการเทียบกับสารที่มีมวลเท่ากัน คือ 1 กิโลกรัม ต้องหารด้วยมวล m ของสารด้วย
นั่นคือ
T
Q
mm
C


 .
1
T
Q
m
c


 .
1
ถ้าให้ค่า
m
C
c  ( c ; ความจุความร้อนจาเพาะของสาร Specific Heat Capacity )
(หน่วย จูล/กิโลกรัม.เคลวิน.....J/kg.K) หรือ Cal/g.0
C
จะได้ .................* QC
 ความยาก และปัญหาอยู่ที่หน่วย นะครับ ต้องcheck ให้สัมพันธ์กัน
TmcQ 

154
ค่า L ที่ควรต้องรู้ เช่น …
ความร้อนกับการเปลี่ยนสถานะของสาร (ความร้อนแฝง) สถานะเปลี่ยน แต่อุณหภูมิไม่เปลี่ยน
ความร้อนแฝงจาเพาะ ของการเปลี่ยนสถานะสาร คือ ความร้อนที่ทาให้สาร 1 หน่วย
เปลี่ยนสถานะ (โดยที่อุณหภูมิไม่เปลี่ยน)
 เมื่อ น้าแข็ง หลอมเหลวกลายเป็นน้าหมด พอดี อุณหภูมิยังคงเท่ากับ 0 0
C
 เมื่อน้า เดือดกลายเป็นไอน้า อุณหภูมิ ของไอน้ายังคงเท่ากับ 100 0
C
ความร้อนแฝงจาเพาะ. .............** QL
L คือ ความร้อนแฝงจาเพาะของการ…..
Lm (น้าแข็ง) = 80 cal/g = 336 J/g
Lv (น้า) = 540 cal/g = 2268 J/g
ตัวอย่าง ไดอะแกรม แสดงการเปลี่ยนสถานะและอุณหภูมิของสาร เมื่อได้รับความร้อน
สรุป
TmcQ  ……….อุณหภูมิเปลี่ยน
ความร้อน Q
mLQ  ………..สถานะเปลี่ยน
mLQ 

155
2. (มช.41) วันหนึ่งในฤดูหนาว คนคนหนึ่งจะหายใจเข้าเอาอากาศที่มีอุณหภูมิ 22 องศาเซลเซียส และ
หายใจเอาอากาศออกด้วยอุณหภูมิ 37 องศาเซลเซียส ถ้าปริมาตรเฉลี่ยของการหายใจ 1 ครั้ง เป็น
100 ลูกบาศก์เซนติเมตร และใน 1 นาทีเขามีการหายใจ 10 ครั้ง จงหาปริมาณความร้อนในหน่วย
กิโลจูล ที่อากาศรับจากร่างกายในเวลา 1 วัน (27 kJ)
กาหนด ความหนาแน่นของอากาศ = 1.25 กิโลกรัม/ลูกบาศก์เมตร
ความจุความร้อนจาเพาะของอากาศ = 1000 จูล / กิโลกรัม.องสาเซลเซียส
3. (มช.53) เมื่อใช้กระติกต้มน้าไฟฟ้ าขนาด 240 โวลต์ และกาลัง 1,200 วัตต์ ต้มน้า 1 ลิตร จากอุณหภูมิ
40 องศาเซลเซียส จนถึงน้าเดือดพอดีที่อุณหภูมิ 100 องศาเซลเซียส จะใช้เวลากี่นาที ถ้ากระติกน้ามี
ประสิทธิภาพ 100 เปอร์เซ็นต์
ก. 0.83 ข. 3.5 ค. 17.5 ง. 21.0

156
4. (En.44) จงหาปริมาณความร้อนที่ทาให้น้าแข็งมวล 100 กรัม อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียส กลายเป็น
น้ามวล 100 กรัม อุณหภูมิ 10 องศาเซลเซียส กาหนดให้ ความจุความร้อนจาเพาะของน้าเท่ากับ
4,200 จูล/กิโลกรัม.เคลวิน และความร้อนแฝงจาเพาะของการหลอมเหลวของน้าแข็งเท่ากับ 333
กิโลจูล/กิโลกรัม
ก. 33.7 kJ ข. 37.5 kJ ค. 75.3 kJ ง. 423.3 kJ
เขียน Diagram
5. ถ้านาน้ามวล 1 กิโลกรัม อุณหภูมิ 20 0
C ใส่ในตู้แช่แข็ง ซึ่ง สามารถดูดความร้อนได้วินาทีละ 345
จูล นานกี่ นาที น้าจานวนนี้จึงจะกลายเป็นน้าแข็งหมด
กาหนด ความจุความร้อนจาเพาะของน้าเท่ากับ 4.2 kJ / kg.K
ความร้อนแฝงจาเพาะของการหลอมเหลวของน้าแข็ง = 330 kJ / kg
ก. 12 นาที ข. 20 นาที ค. 24 นาที ง. 48 นาที
เขียน Diagram

157
สมดุลทางความร้อน (Thermal Equilibrium)
เมื่อนาวัตถุ ที่มีอุณหภูมิต่างกันมาแตะกัน หรือ มาผสมกัน จะเกิดการถ่ายโอนความร้อนขึ้น
โดยที่ พลังงานความร้อนจากวัตถุที่อุณหภูมิสูงกว่า จะถ่ายเทไปให้วัตถุที่มีอุณหภูมิต่ากว่า
เมื่อ อุณหภูมิเท่ากัน ก็จะหยุดการถ่ายโอนความร้อน
นั่นคือ วัตถุอยู่ในภาวะสมดุลทางความร้อน เรียกอุณหภูมิที่เท่ากันนั้นว่า อุณหภูมิสุดท้าย
 ใช้หลักการว่า ความร้อนอันหนึ่งที่ลดลง จะเท่ากับ ความร้อนของอีกอันที่เพิ่มขึ้น
............***
อุณหภูมิสูง  อุณหภูมิผสม  อุณหภูมิต่า น้าร้อน + น้าเย็น = น้าอุ่น
การถ่ายโอนความร้อน (Heat transfer) เกิดขึ้นได้ 3 แบบ คือ
 การนาความร้อน (Thermal conduction) ....โมเลกุลสารไม่ได้เคลื่อนที่ไปพร้อมความร้อน
 การพาความร้อน (Thermal convection)…..โมเลกุลสารเคลื่อนที่พาความร้อนไป
 การแผ่รังสีความร้อน (Thermal radiation)...ความร้อนเคลื่อนที่ไป ในรูปคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ า
วิธีการ ให้มีการถ่ายโอนความร้อนเกิดขึ้นกับระบบน้อยที่สุด เช่น..ใช้วัสดุที่มี ค่าการนาความร้อน
ต่า เช่น ใช้โฟม ไยหิน ฉนวนกันความร้อน หรือ การทาให้เป็นสุญญากาศ
 Qลด =  Qเพิ่ม

158
6. น้า 100 กรัม อุณหภูมิ 10 0
C ผสมกับน้า 20 กรัม อุณหภูมิ 60 0
C จงหาว่าอุณหภูมิผสมเป็น
เท่าไร
ก. 18.3 0
C ข. 32.4 0
C ค. 43.3 0
C ง. 51.2 0
C
7. (มช.52) นาก้อนอลูมิเนียมมวล 500 กรัม อุณหภูมิ 327 องศาเซลเซียส จุ่มลงในน้าที่มีอุณหภูมิ 27
องศาเซลเซียส ปริมาตร 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ซึ่งบรรจุอยู่ในภาชนะที่เป็นฉนวน แล้วปล่อยทิ้งไว้
จงหาว่าอุณหภูมิสุดท้ายของน้ามีค่าเป็นเท่าใด โดยให้คิดว่าภาชนะฉนวนให้หรือรับความร้อน
น้อยมาก กาหนดให้
ความหนาแน่นของน้าคงที่ = 1 กรัมต่อลูกบาศก์เซนติเมตร
ความจุความร้อนจาเพาะของอลูมิเนียม = 0.9 กิโลจูล/กิโลกรัม.เคลวิน
ความจุความร้อนจาเพาะของน้า = 4.2 กิโลจูล/กิโลกรัม.เคลวิน

159
8. (มช.40) นาย ลีโอ พุฒต้องการดื่มชาเย็น เขาจึงเทชา น้าตามและผสมนมในน้าร้อนได้ปริมาณชาที่
ปรุงแล้ว 1 แก้ว (250 ลูกบาศก์เซนติเมตร) มีอุณหภูมิ 50 องศาเซลเซียส เพื่อที่จะทาให้น้าชานี้เย็น
ลง เขาจึงเติมน้าแข็งที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียส ลงไปจานวน 200 กรัม ถ้าอุณหภูมิผสมเป็น 0
องศาเซลเซียส พอดี ถามว่ามีน้าแข็งเหลืออยู่กี่กรัม (40 กรัม)
กาหนดความจุความร้อนจาเพาะของน้าชา = 4.0 กิโลจูล/กิโลกรัม เคลวิน
ความหนาแน่นของน้าชา ณ อุณหภูมิใด ๆ = 1000 กิโลกรัม/ลูกบาศก์เมตร
ความร้อนแฝงจาเพาะของการหลอมเหลวของน้า = 312.5 กิโลจูล/กิโลกรัม
(ไม่ต้องคิดการสูญเสียพลังงานความร้อนให้กับภาชนะหรือสิ่งแวดล้อม)
หามวลน้าชา

160
Homework
1. อุณหภูมิของร่างกายเราปกติ เท่ากับกี่ 0
F
2. ยิงกระสุนปืนทองแดงด้วยความเร็ว 385 m/s ถ้า 3 ใน 4 ของพลังงานจลน์เปลี่ยนไปเป็นพลังงาน
ความร้อน จงหาว่ากระสุนปืนจะมีอุณหภูมิเพิ่มขึ้นเป็นเท่าใด ถ้าเดิมกระสุนมีอุณหภูมิ 27 0
C และ
ค่าความจุความร้อนจาเพาะของทองแดงเป็น 0.385 kJ/kg.K (171.38 0
C)
9. ถ้าใช้หม้อต้มน้าไฟฟ้ าขนาด 220 โวลต์ 1000 วัตต์ ต้มน้า 1 ลิตร อุณหภูมิ 20 องศาเซลเซียส น้าจะ
เริ่มเดือดภายในเวลากี่นาที ถ้ากาต้มน้ามีประสิทธิภาพร้อยละ 80
(ความจุความร้อนจาเพาะของน้า = 4.2 kJ / kg.K)
ก. 7 นาที ข. 9 นาที ค. 12 นาที ง. 15 นาที
3. (En 38) น้าไหลผ่านเครื่องทาความเย็นขนาด 5,000 วัตต์ ด้วยอัตราเร็วค่าหนึ่ง เครื่องทาความเย็น
สามารถทาให้น้าเย็นจากอุณหภูมิ 25 องศาเซลเซียส เป็น 10 องศาเซลเซียส ถ้าประสิทธิภาพของ
การทาความเย็นเป็น 100 เปอร์เซ็นต์ อัตราการไหลของน้าเป็นกี่ ลิตรต่อนาที ( 4.8 )
กาหนด ความหนาแน่นของน้า 1 กิโลกรัม ต่อ ลิตร
ความจุความร้อนของน้า 4.18 กิโลจูล ต่อ กิโลกรัม–เคลวิน
4. น้าแข็ง 50 กรัม อุณหภูมิ 0 องศา จะเปลี่ยนสถานะกลายเป็นน้า อุณหภูมิ 0 องศา ต้องได้รับ
พลังงานความร้อนกี่ กิโลจูล กาหนด Lm (น้าแข็ง) = 80 cal/g ; 1 cal = 4.2 จูล) (16.8 k J )
5. ถ้าต้องการให้น้าแข็งมวล 1 kg อุณหภูมิ - 10 องศาเซลเซียส กลายเป็นน้าที่อุณหภูมิ 100 องศา
เซลเซียสทั้งหมด จงหาว่าจะต้องใช้พลังงานความร้อนกี่กิโลจูล (772 kJ)
ความจุความร้อนจาเพาะของน้าแข็ง = 2.10 กิโลจูลต่อกิโลกรัมเคลวิน
ความจุความร้อนจาเพาะของน้า = 4.18 กิโลจูลต่อกิโลกรัมเคลวิน
ความร้อนแฟงจาเพาะของการหลอมเหลวของน้าแข็ง = 333 กิโลจูลต่อกิโลกรัม
6. น้าแข็ง 200 กรัม ที่ - 20 0
C จะกลายเป็นน้า 200 กรัม ที่ 60 0
C จะต้องได้รับปริมาณความร้อน
เท่าใด กาหนดให้ความจุความร้อนจาเพาะของน้าแข็งเท่ากับ 2.0 x 103
จูล / กิโลกรัม.เคลวิน
(ใช้ Lm (น้าแข็ง) = 80 cal/g และ Lv (ไอน้า) = 540 cal/g ) (125.6 กิโลจูล)

161
7. (มช.45) แท่งเหล็กมีมวล 100 g นาไปอบให้ร้อนโดยใช้ไอน้าจนมีอุณหภูมิ 100 0
C หย่อนแท่งเหล็ก
ลงในน้ามวล 200 g อุณหภูมิ 24 0
C ตั้งทิ้งไว้ สุดท้ายแท่งเหล็กและน้ามีอุณหภูมิกี่ องศาเซลเซียส
กาหนดให้ ความจุความร้อนจาเพาะของน้าและเหล็กเท่ากับ 4.18 และ 0.45 กิโลจูลต่อกิโลกรัมต่อ
เคลวิน ตามลาดับ และไม่คิดพลังงานที่ถ่ายโอนให้กับภาชนะและสิ่งแวดล้อม (27.9 0
C )
8. (มช.37) แท่งเหล็กมีมวล 1 kg เผาให้ร้อนจนมีอุณหภูมิ 200 0
C หย่อนลงในภาชนะที่มีน้า 100 g
และ น้าแข็ง 100 g อุณหภูมิ 0 0
C จงหาอุณหภูมิผสมสุดท้าย กาหนดให้ความจุความร้อนจาเพาะ
ของน้า และ เหล็กมีค่าเท่ากับ 4.18 และ 0.45 กิโลจูลต่อกิโลกรัมเคลวิน ตามลาดับ และค่าความ
ร้อนแฝงจาเพาะของการหลอมเหลวของน้าเท่ากับ 333 kJ/kg ( 44.1 0
C )
9. พ่นไอน้าอุณหภูมิ 100 0
C จานวน 10 กรัม ลงในถ้วยซึ่งมีน้าแข็ง อุณหภูมิ 0 0
C จานวน 200
กรัม บรรจุอยู่ ให้หาอุณหภูมิสุดท้าย และ หาว่าน้าแข็งละลายไปกี่กรัม (0 0
C , 80 กรัม)
(กาหนด cไอน้า = 26.64 kJ/kg.K และ Lm ของน้าแข็ง = 333 kJ/kg )

162
ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส (Kinetic Theory of Gas)
แก๊สอุดมคติ (Ideal Gas)
ในการศึกษาเรื่องแก๊ส (gas) เราจะใช้ทฤษฎีจลน์ของแก๊สเป็นสาคัญ (Kinetic Theory of Gas)
ใน ส่วนอื่น ๆ ที่ศึกษาเรื่องแก็ส ก็มี เช่น.....
 Thermodynamics (อุณหพลศาสตร์) เป็นการศึกษาปริมาณที่เป็น macroscopic (มหภาค)
เท่านั้น เช่น ความดัน อุณหภูมิ และ ปริมาตร ซึ่งจะไม่พูดถึง อะตอม หรือ โมเลกุลของแก๊ส และก็
ศึกษาเกี่ยวกับการถ่ายโอนความร้อน การทางานของระบบและสิ่งแวดล้อม ซึ่งจะได้ศึกษา ต่อไป
เพื่อให้ง่ายต่อการศึกษาสมบัติต่าง ๆ ของแก๊สจริงในธรรมชาติ เราจะพิจารณา แก๊สอุดมคติ
ซึ่งมีคุณสมบัติดังจะได้อธิบาย ในเรื่อง ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส ต่อไป...
ปริมาณ แก๊ส 1 โมล (mole) จะมีจานวนอะตอม (หรือ โมเลกุล) เท่ากับ เลขอโวกาโดร ; NA
(Avogadro’ number ; NA ) ซึ่งเท่ากับ 6.02 x 1023
mol- 1
ถ้า n เป็นจานวนโมล และ N เป็นจานวนอะตอม หรือ โมเลกุลของแก๊ส
จะได้ว่า
AN
N
n  หรือ ANnN .
และ ถ้า g เป็นมวลของแก๊ส (กรัม) และ M.W เป็นมวลโมเลกุลของแก๊ส (กรัม)
จะได้ว่า
1. แก๊สคาร์บอนไดออกไซด์ (CO2) จานวน 66 กรัม จะมีกี่โมล และมีทั้งหมดกี่โมเลกุล
2. แก๊สมีเทน (CH4) ปริมาณ 2 โมล หนักกี่กรัม และมีกี่โมเลกุล
AN
N
WM
g
n 
.

163
ในการศึกษาแก๊ส มีนักวิทยาศาสตร์อยู่หลายท่าน……
 กฎของบอยล์ (Boyle’s Law)
พบว่า สาหรับแก๊สในภาชนะปิด ถ้าอุณหภูมิ (T) ของแก๊สคงตัว ปริมาตรของแก๊ส (V)
จะแปลผกผันกับความดัน (P) ของแก๊ส นั่นคือ
P
V
1
 เมื่อ T คงตัว
จะได้ หรือ ..…..*
แสดงได้ดังกราฟ ปริมาตรลด…ความดันเพิ่ม
 กฎของชาร์ลส์ (Charles’Law)
พบว่า สาหรับแก๊สในภาชนะปิด ถ้าความดัน (P) ของแก๊สคงตัว ปริมาตร (V) ของแก๊ส
จะแปลผันตรงกับ อุณหภูมิ (T) ของแก๊ส นั่นคือ TV  เมื่อ P คงตัว
จะได้ หรือ ……..**
แสดงได้ดังกราฟ
kPV  (ค่าคงตัว)
k
T
V
 (ค่าคงตัว)
2
2
1
1
T
V
T
V

2211 VPVP 

164
 กฎของเกย์-ลูสแซก (Gay- Lussack’s Law)
พบว่า สาหรับแก๊สในภาชนะปิด (V) คงตัว ความดัน (P) ของแก๊ส จะแปลผันตรงกับ
อุณหภูมิ (T) ของแก๊ส นั่นคือ TP  เมื่อ V คงตัว
จะได้ หรือ ……..***
 กฎของแก๊ส (Gas Law)
เมื่อรวม กฎของบอยยล์ ชาร์ลส์ และ เกย์- ลูสแซก เข้าด้วยกัน นั่นคือ
P
T
V 
จะได้ หรือ ……..****
หมายเหตุ หน่วยของความดัน (P) หรือ ปริมาตร (V) จะใช้หน่วยอะไรก็ได้ในการคานวณ
แต่ทั้งสองข้างของสมการต้องเป็นหน่วยเดียวกัน สาหรับ หน่วยของอุณหภูมิ (T) ต้องใช้เป็น
หน่วย เคลวิน (K) เท่านั้น
3. (PAT.53) พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ที่อุณหภูมิคงตัว ปริมาตรแปรผันตามความดัน
ข. ที่ความดันคงตัว อุณหภูมิแปลผันตามปริมาตร
ค. ในระบบปิด ผลคูณของความดันกับปริมาตร แปลผันตามอุณหภูมิ
ข้อใดเป็นสมบัติของแก๊สอุดมคติ
1. ก และ ข 2. ก และ ค 3. ข และ ค 4. ก ข และ ค
k
T
PV
 (ค่าคงที่)
2
22
1
11
T
VP
T
VP

k
T
P
2
2
1
1
T
P
T
P


165
4. (มช.45) แก๊สชนิดหนึ่งมีปริมาตร 1 x 10- 3
ลูกบาศก์เมตร ที่ 27 0
C ความดัน 1 บรรยากาศ ขยายตัว
ขนมีปริมาตรเป็น 1.5 x 10- 3
ลูกบาศก์เมตร และความดันเป็น 1.1 บรรยากาศ จงหาอุณหภูมิ
สุดท้ายของแก๊สนี้ว่าเป็นกี่องศาเซลเซียส
ก. 49.5 ข. 495 ค. 22.2 ง. 222
5. ลูกโป่งบรรจุอากาศ ถูกนาลงไปใต้น้าที่ความลึกระดับหนึ่ง ปรากฏว่า ปริมาตรของลูกโป่งลดลง
ครึ่งหนึ่ง ถ้าถือว่าอุณหภูมิมีการเปลี่ยนแปลงน้อยมาก จงหาระดับความลึกตาแหน่งนั้น
(กาหนดให้ ความหนาแน่นของน้าเท่ากับ 1000 kg/m3
, 1 atm = 105
N/m2
)
ก. 10 เมตร ข. 20 เมตร ค. 30 เมตร ง. 40 เมตร

166
จากกฎรวมแก๊ส k
T
PV
 ค่าคงที่ (k) ในสมการ จะคงที่เฉพาะแก๊สหนึ่ง ๆ เท่านั้น และจะเปลี่ยนไป ถ้าแก๊สต่างชนิดกัน
 จากการศึกษา พบว่า (k) แปลผันโดยตรงกับจานวน โมล (mol) ; n ของแก๊สนั้น ๆ
นั่นคือ n
T
PV
 หรือ Rn
T
PV

เพราะฉะนั้นจะได้ เมื่อ R คือ ค่าคงที่ของแก๊สทั่วไป
(Gas Constant)
ซึ่งก็เรียกว่า กฎของแก๊ส มีค่าประมาณ 8.314 J/mol.K
การหาค่าคงที่ของแก๊ส (ค่านิจของแก๊ส) ; R
ใช้ความรู้จากวิชาเคมี ที่ว่า
‚ แก๊ส ปริมาณ 1 mole จะมีปริมาตร 22.4 dm3
หรือ 22.4 x 10- 3
m3
ที่ STP ‛
( Standard of Temperature and Pressure ) คือที่ อุณหภูมิ 00
C ความดัน 1 atm
จาก nRTPV 
  
  2731
104.2210013.1 35 

xx
R
R = 8.31 J/mol.K
จาก n (mol) =      
3
33
3
3
104.224.22104.22.. 

x
mVdmV
x
cmV
WM
g
N
N
A
แทนค่าใหม่ RT
N
N
PV
A







T
N
R
N
A







เพราะฉะนั้นจะได้ เมื่อ kB คือ ค่าคงที่ของโบลต์มันน์
(Boltzmann’s constant)
23
1002.6
31.8
xN
R
k
A
B  มีค่าประมาณ 1.38 x 10- 23
J/K
nRTPV 
TNkPV B

167
ค่า kB ก็จะเปลี่ยนตาม
 ถ้าใช้ V (m3
) ....... R = 8.31 J/mol.K
V (cm3
) ....... R = 8.31 x 106
J/mol.K
V (dm3
) ....... R = 8.31 x 103
J/mol.K
nRTPV 
กฎของแก๊ส (อุดมคติ)
TNkPV B
(Gas Laws) ซึ่งปกติก็ ใช้ได้กับแก๊สทั่วๆไป ยกเว้นกรณีที่แก๊สกาลังเปลี่ยนสถานะ
ควรใช้ P (N/m2
) , V (m3
) , T (K) !! เพราะถ้าเป็นหน่วยอื่น จะทาให้ค่าคงที่ R และ kB
เปลี่ยนแปลงไปด้วย
 สมการของแก๊สข้างต้น ไม่สามารถนามาใช้กับแก๊สธรรมชาติได้ทุกกรณี ถ้าอุณหภูมิ
ของแก๊สต่ามาก ๆ และ ความดันสูงมากไป สมบัติของแก๊สธรรมชาติจะต่างจากแก๊สอุดมคติ
ปัจจุบันพบว่า ยังไม่มี สมการใดสามารถอธิบายคุณสมบัติของแก๊สธรรมชาติได้ทุก P V และ T
6. (มช.35) ถังก๊าซใบหนึ่งมีปริมาตร 10 ลิตร ถ้าบรรจุก๊าซไฮโดรเจน (มวลโมเลกุลเท่ากับ 2) ซึ่งมี
อุณหภูมิ 27 องศาเซลเซียส ลงไปในถังจนมีความดัน 24.93 x 105
นิวตันต่อตารางเมตร จงหา...
1. จานวนโมลของก๊าซไฮโดรเจนในถัง (10 โมล)
2. ก๊าซไฮโดรเจนในถังจะมีความหนาแน่นกี่กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร (2 kg/m3
)

168
หากมีการเปลี่ยนแปลงของแก๊สในระบบ เช่น แก๊สรั่วออก (แบบ 2 states) 2 สภาวะ
จากสมการ nRTPV  หรือ R
nT
PV
 (constant)
และจากสมการ TNkPV B หรือ Bk
NT
PV
 (constant)
สามารถเขียนได้เป็น และ
และ mNn  จาก
V
m

7. (En.36) ภาชนะปิดที่มีปริมาตร 4.15 ลูกบาศก์เมตร บรรจุก๊าซที่มีความดัน 6 x 104
นิวตัน/ตาราง
เมตร ที่อุณหภูมิ 27 องศาเซลเซียส ถ้าปล่อยให้ก๊าซนี้รั่วออกจากภาชนะจนความดันเหลือ
4
1
ของ
ความดันเดิมและอุณหภูมิเท่าเดิม จงหาจานวนโมลของก๊าซที่รั่วออกไป
(กาหนดให้ R = 8.3 J/mol.K) (75 โมล)
22
22
11
11
TN
VP
TN
VP

22
22
11
11
Tn
VP
Tn
VP

22
2
11
1
T
P
T
P


22
22
11
11
Tm
VP
Tm
VP


169
8. ถ้าความหนาแน่นของก๊าซที่อุณหภูมิ 27 0
C ความดัน 1 บรรยากาศ มีค่าเท่ากับ 1.3 กิโลกรัมต่อ
ลูกบาศก์เมตร จงคานวณหาความหนาแน่นของก๊าซนี้ที่อุณหภูมิ 127 0
C และความดัน 2
บรรยากาศ
ก. 0.55 kg/m3
ข. 0.81 kg/m3
ค. 1.95 kg/m3
ง. 2.35 kg/m3
 การคานวณแก๊สผสมที่ไม่ทาปฏิกิริยาเคมีกัน (หาอุณหภูมิผสม)
โดยที่ P V และ T เป็น ความดันรวม ปริมาตรรวม และ อุณหภูมิรวมของแก็ส
 RTnnPV ...21  หรือ ...21

V
RTn
V
RTn
P
= P1 + P2 +…
  TkNNPV B...21  ความดันผสม PV = P1 V1 + P2V2 +…
เมื่อ P1 และ P2 เป็นความดันย่อยของแก๊สแต่ละชนิด
หาอุณหภูมิผสม ( T ) จาก (พิสูจน์จากสมการข้างต้น)
เมื่อ n อาจเป็น จานวนโมล จานวนโมเลกุล หรือ ความหนาแน่น ก็ได้ และ ใช้ 0
C , K ก็ได้
9. (En.33) ก๊าซฮีเลียม 1 โมล ที่อุณหภูมิ 300 เคลวิน ผสมกับก๊าซอาร์กอน 3 โมล ที่อุณหภูมิ 400
เคลวิน ก๊าซผสมจะมีอุณหภูมิเท่าไรในหน่วยเคลวิน (375)
...2211  TnTnnT

170
ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส (Kinetic Theory of Gas)
 แบบจาลอง (Model) ของแก๊สอุดมคติ แก๊สอุดมคติต้องมีคุณสมบัติดังนี้
1. แก๊สประกอบไปด้วยโมเลกุลจานวนมาก ทุกโมเลกุลมีลักษณะเป็นก้อนกลม ที่มีขนาด
เท่ากัน มีความยืดหยุ่นสูง โมเลกุลเหล่านี้ชนกัน และ ชนกับผนังแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์
2. ถือว่าปริมาตรรวมของโมเลกุลของแก๊สมีค่าน้อยมาก เมื่อเทียบกับปริมาตรของแก๊สทั้งภาชนะ
เพราะฉะนั้นจะไม่คิดปริมาตรของโมเลกุลของแก๊ส
3. ไม่มีแรงใด ๆ กระทาต่อโมเลกุล ไม่ว่าจะเป็นแรงผลัก หรือแรงดึงดูด ระหว่างโมเลกุล หรือ
แม้แต่แรงโน้มถ่วงของโลกด้วย
4. การเคลื่อนที่ของโมเลกุลแก๊สเป็น การเคลื่อนที่แบบบราวน์ (สะเปะสะปะ ไร้ระเบียบ
ไม่มีทิศทางที่แน่นอน)
5. พลังงานจลน์เฉลี่ยของการเคลื่อนที่ของโมเลกุลของแก็สจะแปลผันตรงกับอุณหภูมิเคลวิน
TEk  ตามสมมติฐานของแบร์นุลลี ........ซึ่งอธิบายได้จากสมการ (*)
 การเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian motion)
มีลักษณะการเคลื่อนที่แบบสะเปะสะปะ ไม่มีทิศทางแน่นอน
การเคลื่อนที่และการเปลี่ยนตาแหน่งเป็นไปแบบสุ่ม (Random)
ซึ่งเราสามารเห็นปรากฏการณ์นี้ได้ โดยใช้กล้องจุลทรรศน์ส่องดู
อนุภาคเล็ก ๆ เช่น อนุภาคของควันบุหรี่
 อัตราเร็วของโมเลกุลของแก๊ส
แก็สแต่ละตัวต่างมีการเคลื่อนที่ด้วย อัตราเร็ว (speed)ที่สูงมาก และมีค่าไม่เท่ากัน
ดังนั้น จะพิจารณาเป็น อัตราเร็วรากที่สองของกาลังสองเฉลี่ย
(root-mean-square speed) ; rmsv
นั่นคือ หรือ
N
v
v
i
rms

2
2
 ค่า rmsv จะไม่เท่ากับ อัตราเร็วเฉลี่ยที่หาแบบธรรมดา v แต่จะมีค่าใกล้เคียงกัน และ
vvrms  เสมอ แล้วก็ rmsv ก็ไม่ได้เท่ากับ rsmv นะคราบบบ.....
N
vvv
vrms
....2
3
2
2
2
1 


171
rmsv
rmsv
2
2
1
rmsk mvE 
จากการวิเคราะห์ การชน ระหว่างโมเลกุลและผนัง จานวน N โมเลกุล แต่ละตัวมีมวล m
และมีอัตราเร็วเฉลี่ยเป็น rmsv โดยใช้หลักกลศาสตร์ของนิวตัน เรื่อง โมเมนตัม
สรุปได้ ความสัมพันธ์ของ P , V , N และ rmsv ดังนี้ ( ไม่พิสูจน์ให้ดูนะ….เหนื่อย)
2
3
1
rmsmNvPV  จัดรูปใหม่ 





 2
2
1
3
2
rmsmvNPV
พลังงานจลน์เฉลี่ยของแก๊ส แต่ละโมเลกุล
จะได้ว่า  kENPV
3
2

เทียบกับสมการ TNkPV B จะได้ ......(*)
 ซึ่งตรงกับสมติฐานของ แบร์นุลลี ข้างต้นพอดี TEk 
จาก TkmvE Brmsk
2
3
2
1 2
 จะได้ว่า
จัดรูปใหม่
 
 A
AB
rms
mN
TNk
v
3

จาก
A
B
N
R
k  และ AmNM  จะได้
 ข้อควรระวัง ในการใช้สูตร ตัว M (มวลโมเลกุล) ต้องใช้หน่วย kg /mole
เพราะว่า m ในสมการต้นแบบมีหน่วยเป็น kg
เช่น O2 มี M = 32 x 10- 3
kg/mole
และอีกรูปหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่น
TkE Bk
2
3

m
Tk
v B
rms
3

M
RT
vrms
3


P
vrms
3


172
10. (PAT.53) บอลลูนบรรจุแก๊สไฮโดรเจนจานวน n โมล ที่ความดัน P และปริมาตร V พลังงานจลน์เฉลี่ย
ของโมเลกุลของแก๊สเป็นเท่าใด
ก. PV
2
1
ข. PV
2
3
ค.
n
PV
2
3
ง.
AnN
PV
2
3
11. (มช.38) สมมติว่าอิเล็กตรอนที่นาไฟฟ้ าในโลหะประพฤติตัวเหมือนกับแก๊ส จงหาค่าอัตราเร็วของ
อิเล็กตรอน (กิโลเมตร/วินาที) ในขณะที่โลหะมีอุณหภูมิ 2727 องศาเซลเซียส (400)
กาหนดให้ ค่าคงตัวของโบลต์มันน์ (kB) = 1.6 x 10- 23
J/K
และ มวลของอิเล็กตรอน = 9 x 10–31
kg
12. โมเลกุลก๊าซออกซิเจนที่ 27o
C จะมีค่าเฉลี่ยกาลังสองของอัตราเร็วเท่าใด (จูล/กิโลกรัม) ถ้ามวล
อะตอมของออกซิเจนเท่ากับ 15
ก. 4.2 x 10–22
ข. 250 ค. 490 ง. 2.5 x 105

173
พลังงานภายในของระบบ (U)
ระบบ (system) คือ สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ภายในขอบเขต (boundary) ที่เราต้องการจะศึกษา
และพลังงานภายในของระบบ คือ พลังงานทั้งหมดของโมเลกุลของแก๊สในระบบนั้นนั่นเอง
สาหรับ แก๊สอุดมคติ พลังงานภายในของระบบ จึงเป็นแค่พลังงานจลน์ทั้งหมดของเหล่า
โมเลกุล เท่านั้น นั่นคือ.....
 kENU  จะได้ หรือ
จาก TNkPV B จะได้ เช่นกัน...
nRTPV 
 สาหรับระบบปิด (closed system) N จะคงที่ ดังนั้น U จะขึ้นอยู่กับ T แต่เพียงอย่างเดียว
13. พลังงานภายใน (U) ของแก็ส ซึ่งก็คือ พลังงานจลน์ทั้งหมดของโมเลกุลแก๊ส มีความสัมพันธ์กับความ
ดัน (P) และ ปริมาตร (V) ของแก๊สอย่างไร
ก. PVU
2
3
 ข. PVU
3
2
 ค. 2
2
1
PVU  ง. 2
3
1
PVU 
14. (มช.41) ถ้าก๊าซในอุดมคติมีจานวนโมเลกุลเพิ่มเป็น 3 เท่า โดยอุณหภูมิ T คงที่ พลังงานภายใน
ระบบจะเพิ่มขึ้น
ก. 1.5NkBT ข. 3NkBT ค. 4.5NkBT ง. 6NkBT
TNkU B
2
3
 nRTU
2
3

PVU
2
3


174
ได้งาน ให้งาน
F F
อุณหพลศาสตร์ (Thermodynamics)
เป็นวิชาที่ว่าด้วยเรื่องของ การใช้พลังงานความร้อนในการทางาน หรือความสัมพันธ์ของพลังงาน
ความร้อนกับพลังงานรูปอื่น
ซึ่งมีรากฐานมาจากประสบการณ์หลัก 2 ประการ คือ ...
1. หลักการอนุรักษ์พลังงาน ในการเปลี่ยนรูปพลังงานจากพลังงานความร้อน ไปเป็นพลังงานรูปอื่น
2. หลักของการที่พลังงานความร้อน ไม่สามารถเปลี่ยนไปเป็นพลังงานกลได้ทั้งหมด
(ในทางปฏิบัติจะไม่มีเครื่องยนต์ที่มี ประสิทธิภาพเป็น 100 % เต็ม)
พิจารณา จากรูป เมื่อให้ความร้อน Q กับระบบ พลังงานภายใน ของระบบก็จะเพิ่มขึ้น
(เนื่องจากแก๊สมีพลังงานจลน์สูงขึ้น) จาก U1 เป็น U2 นั่นคือ เพิ่มขึ้น U
ทาให้ปริมาตรแก๊สเกิดการขยายตัวดันให้ลูกสูบสูงขึ้น นั่นคือ ระบบได้ทางาน W
กฎข้อที่หนึ่ง กล่าวว่า...
‚ พลังงานความร้อน Q ที่ให้กับระบบ จะเท่ากับ พลังงานภายใน U ของระบบที่เพิ่มขึ้น
บวกกับ งาน W ที่ทาโดยระบบ ‛
นั่นคือ พลังงานไม่มีการสูญหายไปไหน - - - กฎอนุรักษ์พลังงานนั่นเอง
ซึ่งเท่ากับว่า พลังงานที่ให้ กับระบบ เท่ากับ พลังงานที่ได้จากระบบ
หลักในการพิจารณา
ให้ความร้อน กับ ระบบ (ดูดความร้อน) (+ Q ) ความร้อน ไหลออกระบบ (คายความร้อน) (- Q )
พลังงานภายในเพิ่มขึ้น T เพิ่ม (+ U ) พลังงานภายในลดลง T ลด (- U )
ระบบทางาน (+ W ) ……ได้งาน สิ่งแวดล้อมทางานทางาน (- W )……ให้งาน
WUQ 
ลูกสูบดันขึ้น ระบบทางาน (+W )
ลูกสูบถูกดันลงมา สิ่งแวดล้อมทางาน (-W )

175
ประยุกต์ เกี่ยวกับเครื่องยนต์ 4 จังหวะ
จังหวะ ดูด อัด ระเบิด คาย
Induction compression ignition exhaust
15. (PAT.53) กระบอกสูบบรรจุแก๊ส 2 โมล เมื่อลดอุณหภูมิลง 20 องศาเซลเซียส แก๊สจะคาย ความร้อน
150 จูล กระบอกสูบให้งานกี่จูล (ใช้ R = 8.3 ) (348 J)
16. (PAT.53) กระบอกสูบบรรจุแก๊สอุดมคติ จานวน 5 โมล ถ้ากระบอกสูบได้รับความร้อน 2493 จูล โดย
ไม่มีงานใดๆเกิดขึ้น อุณหภูมิในกระบอกสูบจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร
ก. ลดลง 20 เคลวิน ค. เพิ่มขึ้น20 เคลวิน
ข. ลดลง 40 เคลวิน ง. เพิ่มขึ้น20 เคลวิน

176
งานในการเปลี่ยนแปลงปริมาตรแก๊ส
พิจารณาจากรูป ข้างต้น ถ้าลูกสูบมีพื้นที่หน้าตัด A และความดันของแก๊สเท่ากับ P แล้ว...
จาก
A
F
P  แสดงว่าเกิดแรงดันลูกสูบ (F) ดังนี้คือ PAF 
 ถ้าระบบเปลี่ยนแปลง โดยมีปริมาตร V คงที่ งานที่เกิดขึ้นจะเป็นศูนย์
เพราะฉะนั้น UQ  นั่นคือ TNkTmc B
2
3
M
R
m
Nk
c B
v
2
3
2
3

และในทานองเดียวกัน เมื่อความดันคงที่
M
R
M
R
cc vp
2
5

 งานหาได้จาก พื้นที่ใต้กราฟ ระหว่าง P กับ V
 ถ้าแก๊สหดตัว ปริมาตรลดลง W เป็น (-W )
เขียนสมการรวมดังนี้
VP
WUQ 
TnRTNkPV B 
2
3
2
3
2
3
ถ้าลูกสูบถูกดันขึ้นมาเป็นระยะทางสั้น ๆ x
ระบบทางาน (W) จาก sFW .
เพราะฉะนั้น จะได้  xPAW 
ได้งาน
เมื่อ xA คือ ปริมาตรของแก๊สที่เพิ่มขึ้น V
VPW 

177
17. (มช.53) จากกราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงความดัน และ ปริมาตรของแก๊สอุดมคติ 1 โมล ในกระบอก
สูบปิด ตามกระบวนการจาก A  B  C
1. เมื่อให้ความร้อนแก่แก๊สแล้วพบว่าแก๊สทางานจาก A B จงหาค่าของงานที่แก๊สทาในหน่วย
กิโลจูล
2. ในกระบวนการ A B ถ้าแก๊สมีอุณหภูมิสูงขึ้น 20 เคลวิน ความร้อนที่ให้แก่แก๊สใน
กระบวนการนี้มีค่ากี่จูล
18. ระบบทางเทอร์มอไดนามิคส์ระบบหนึ่ง แสดงไว้ด้วยกราฟ ดังรูป การเพิ่มความดันจาก A ไป B
ต้องใช้ปริมาณความร้อนเท่ากับ 600 จูล ใส่เข้าในระบบ และในการขยายตัวของระบบจาก B ไป C
ต้องการปริมาณความร้อนเพิ่มอีก 200 จูล จงหาว่าพลังงานภายในของระบบที่เปลี่ยนแปลงใน
ขบวนการจาก A ไป B ไป C มีค่ากี่จูล (560 จูล)

178
Homework
1. (มช.46) ภายใต้ความดันคงตัว ที่อุณหภูมิ -73 องศาเซลเซียส แก๊สชนิดหนึ่งมีปริมาตร 40 ลูกบาศก์
เมตร ถ้าเพิ่มอุณหภูมิเป็น 27 องศาเซลเซียส แก๊สจะมีปริมาตรเท่าใด (60 m3
)
2. ในการสูบอากาศเข้ายางรถยนต์ ทาให้อากาศภายในยางรถยนต์มีความดัน 3 x 105
นิวตันต่อตาราง
เมตรที่อุณหภูมิ 27 องศาเซลเซียส เมื่อรถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง ยางรถยนต์ได้ร้อนขึ้น อุณหภูมิ
ของอากาศในยางรถยนต์เพิ่มขึ้นเป็น 177 องศาเซลเซียส ถ้าปริมาตรของอากาศในยางรถยนต์
เปลี่ยนแปลงน้อยมากจนถือได้ว่าคงตัว ความดันของอากาศภายในยางรถยนต์จะมีค่าเพิ่มขึ้นเป็น
เท่าไร (4.5 x 105
นิวตันต่อตารางเมตร)
3. อุณหภูมิของน้าที่ก้นทะเลสาบแห่งหนึ่งเท่ากับ 7 0
C ความดัน 2.8 บรรยากาศ มีฟองอากาศขนาด
เส้นผ่าศูนย์กลาง 4 cm ผุดจากก้นทะเลสาบขึ้นมายังผิวน้าซึ่งมีอุณหภูมิ 27 0
C ฟองอากาศที่ผิวน้า
จะมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางเท่าใด (5.77 cm)
4. (มช.40) กระป่องโลหะรูปทรงกระบอกปากเปิดก้นปิด มีเส้นผ่าศูนย์กลาง 10 เซนติเมตร สูง 45
เซนติเมตร เมื่อคว่ากระป๋ องลง แล้วกดลงไปในน้าทะเลลึก 100 เมตร ซึ่ง ณ ตาแหน่งนี้น้าทะเลมี
อุณหภูมิ 7 องศาเซลเซียส ถามว่าน้าทะเลจะเข้าไปในกระป๋ องนี้ได้สูงกี่เซนติเมตรนับจากปาก
กระป๋ อง ถ้าอุณหภูมิ ณ ระดับน้าทะเลเป็น 27 องศาเซลเซียส ความหนาแน่นของน้าทะเลเป็น
1025 กิโลกรัม/ลูกบาศก์เมตร และ ความดันบรรยากาศ ณ ระดับน้าทะเลเป็น 105
นิวตัน/ตาราง
เมตร (41.27)
5. ถังขนาดบรรจุ 590 ลิตร บรรจุออกซิเจนที่ STP จงคานวณหามวลของก๊าซออกซิเจนในถัง
(กาหนดมวลอะตอมของออกซิเจน = 16) (843 กรัม)
6. ภาชนะปิดปริมาตร 2 ลิตร บรรจุก๊าซคาร์บอนไดออกไซด์ซึ่งมีความดัน 20.5 atm ที่อุณหภูมิ - 23
0
C ก๊าซคาร์บอนไดออกไซด์มีจานวนปริมาณกี่กรัม
ก. 176 กรัม ข. 132 กรัม ค. 88 กรัม ง. 44 กรัม
7. (Pre.Olp.34) นาก๊าซซีนอน 2 โมล ที่ 30 องศาเซลเซียส ไปรวมกับก๊าซอาร์กอน 1 โมล ที่ 60
องศาเซลเซียส อุณหภูมิของก๊าซผสมจะเป็นเท่าใด ( 40 องศา )

179
8. ผสมแก๊สฮีเลียม 2 โมล อุณหภูมิ 60 0
C กับแก๊สอาร์กอน 1 โมล อุณหภูมิ 30 0
C จงหาว่า
อุณหภูมิผสมเป็นเท่าใด (50 0
C)
9. ถ้ามีโมเลกุลของก๊าซที่มีอัตราเร็ว v หนึ่งโมเลกุล 2v สองโมเลกุล และ 3v หนึ่งโมเลกุล อัตราเร็ว
รากที่สองของกาลังสองเฉลี่ยของโมเลกุลของก๊าซทั้งหมดมีค่าเท่าไร (2.1 v )
10. (En.42) จงหาว่าก๊าซไนโตรเจนที่อุณหภูมิเท่าใด ที่ค่าค่าเฉลี่ยของกาลังสองของอัตราเร็วโมเลกุล
เท่ากับของก๊าซออกซิเจนที่อุณหภูมิ 47 0
C (กาหนดให้ น้าหนักโมเลกุลของไนโตรเจน และ
ออกซิเจน เท่ากับ 28 และ 32 ตามลาดับ)
11. ถ้าก๊าซอุดมคติมีจานวนโมเลกุลเพิ่มเป็น 3 เท่า แต่อุณหภูมิ T ลดลงครึ่งหนึ่ง พลังงานภายในของ
ระบบจะเพิ่มขึ้น หรือลดลงจากค่าเดิมกี่เท่า (เพิ่มขึ้น 1.5 เท่า)
12. เมื่อให้ความร้อน 69.9 จูล แก่ก๊าซ 1 โมล ที่บรรจุในกระบอกสูบ ก๊าซจะทางาน 20 จูล ดันลูกสูบ
ให้เคลื่อนที่ อุณหภูมิของก๊าซจะเพิ่มขึ้นกี่เคลวิน
13. (PAT.53) กระบอกสูบบรรจุแก๊สอุดมคติ 2 โมล ถ้าอุณหภูมิภายในกระบอกสูบเพิ่มขึ้น 100 เคลวิน
โดยไม่มีการถ่ายเทความร้อนที่กระบอกสูบ งานที่ให้กับกระบอกสูบเป็นกี่จูล (2490 J)
14. แก็สฮีเลียมจานวนหนึ่ง บรรจุในกระบอกสูบ ขณะที่อุณหภูมิคงที่ ปริมาตร และความดันของแก๊ส
เปลี่ยนแปลงไปดังรูปกราฟ จงหางานที่แก๊สทาในช่วง ABCA มีค่ากี่กิโลจูล (15 kJ)
15. บรรจุแก๊สอุดมคติ ในกระบอกสูบ ถ้าแก๊สภายในกระบอกสูบมีการเปลี่ยนแปลงความดัน และปริมาตร
ดังกราฟ จาก A B  C จงหางานที่แก๊สทาในกระบวนการดังกล่าวในหน่วยกิโลจูล
ข้อ 14. ข้อ 15.

180
6
,300 
3
,600 
4
,450 
(0 , 1)
(1 , 0)(-1 , 0)
(0 , -1)
X = COSθ , Y = Sinθ (Radian) = (Degree)¶ / 180
3
5
4
3
2
,1200 
4
3
,1350 
6
5
,1500 
6
11
,3300 
4
7
,3150 
3
5
,3000 
6
7
,2100 
4
5
,2250 
3
4
,2400 
2
,900 
2
3
,2700 
,1800
2,00







2
3
,
2
1








2
2
,
2
2







2
1
,
2
3
X2
+ Y2
= r2
= 1 COS2
θ + Sin2
θ = 1
2
3
2
1
53๐
37๐
2
2
2
1
2
2
2
3

สรุปเนื้อหาฟิสิกส์ 1 [ครูแดง Physics Plus Astronomy]

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to สรุปเนื้อหาฟิสิกส์ 1 [ครูแดง Physics Plus Astronomy]

สรุปเนื้อหาฟิสิกส์ 1 [ครูแดง Physics Plus Astronomy]