1. OpenFOAMに
実装したS-‐‑‒CLSVOF法の検証
（静⽌止気泡のLaplace圧）
⼤大阪⼤大学⼤大学院基礎⼯工学研究科
修⼠士課程２年年
⼭山本卓也
第26回OpenCAE勉強会@関西
2013/11/23

2. VOF法の界⾯面再構築法
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0.3
0
0
0.5
0.95
1.0
0
0.4
1.0
1.0
1.0
0
0.7
1.0
1.0
1.0
VOF
精度悪い
界面がなまりやすい

3. A. Albadawi et al. (2013)
A. Albadawi et al., Int. J. Multiphase Flow, 53, 11-28 (2013).
S-­‐CLSVOF
(Simple
Coupled
Volume
of
Fluid
with
Level
Set
method)
Air
Air
water
OpenFOAM
実験
VOF法(interFoam)
S-­‐CLSVOF法
実験
誤差大
誤差小
脱離時間
約35~50%
脱離体積
約25%
脱離時間
約2%
脱離体積
約3%
今回はS-­‐CLSVOF法の実装とその検証

4. interFoam (VOF法)
• ⽀支配⽅方程式
Navier-‐‑‒Stokes 式
流流体率率率αの移流流⽅方程式
sk
gP
t
δσ
ρν
σ
σ
nF
Fvvv
v
=
++∇+−∇=∇⋅+
∂
∂ 2
::
liquid
phase
::
interface
::
gas
phase
1=α
0=α
10 <<α
液相領域
固相領域
( ) 0=⋅∇+
∂
∂
l
t
vα
α
( ) 0=⋅∇+
∂
∂
vα
α
t
( )( ) 01 =−⋅∇+
∂
∂
g
t
vα
α
小文字l,
gはそれぞれ液相、気相を表す。
( )
glr
gl
vvv
vvv
−=
−+= αα 1
vr:
相関速度（圧縮速度）
再定義
ρ =αρl +(1−α)ρg
µ =αµl +(1−α)µg
( ) 0=⋅∇+
∂
∂
vα
α
t
CSFモデル

5. • ⽀支配⽅方程式
Navier-‐‑‒Stokes 式
流流体率率率αの移流流⽅方程式
sk
gP
t
δσ
ρν
σ
σ
nF
Fvvv
v
=
++∇+−∇=∇⋅+
∂
∂ 2
::
liquid
phase
::
interface
::
gas
phase
1=α
0=α
10 <<α
( ) ( )( ) 01 =−⋅∇+⋅∇+
∂
∂
r
t
vv ααα
α
最終形
alphaEqn.H中で設定
∂α
∂t
+ ∇⋅ αv( )= 0 この項は界面上に働くもの
(1-­‐α)αが入っているため
実際の物理現象では界面厚み
がないため数値計算のために
用いられる仮想的なもの
interFoam (VOF法)
ρ =αρl +(1−α)ρg
µ =αµl +(1−α)µg

6. α式の設定
( ) dSdSdV
dt
d
SSV ∫∫∫ ⋅−+⋅+
Δ
nvnv rαααα 1
離散化
( )( ) ff S⋅⋅− nvrαα1( ) ff S⋅⋅nvα
ここで、fはセル界面上を表す。
Sfは表面積
中点公式により近似
Sf
αvn
イメージ
( ) ( )( ) 01 =−⋅∇+⋅∇+
∂
∂
r
t
vv ααα
α
離散化（program中で解く形に変換）
interFoam (VOF法)
MULESでこのfluxを計算

7. ( )( ) ff
S⋅⋅− nvrαα1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅⋅
f
ff
f
ff
f
S
Su
S
Su
Cn max,min α
OpenFOAMのコード内
nfv =
∇α( )f
∇α( )f
+δN
3/1
8
)/(
0.1
∑
−
=
N
i
N
NV
e
δ
解を安定化するもの
(nfvが無限大になるのを防ぐ)
人工的に界面幅を圧縮する項
ffvf Snn ⋅=
α場（赤:流体,
青:気体）
interFoam (VOF法)
α∇

8. • ⽀支配⽅方程式
Navier-‐‑‒Stokes 式
流流体率率率αの移流流⽅方程式
∂v
∂t
+v⋅∇v = −∇P +ν∇2
v + Fσ + ρg
::
liquid
phase
::
interface
::
gas
phase
1=α
0=α
10 <<α
∂α
∂t
+ ∇⋅ αv( )= 0
ρ =αρl +(1−α)ρg
µ =αµl +(1−α)µg
Level-­‐Set関数 φ
φ0 = (2α −1)⋅Γ
Γ
;
無次元数
Γ = 0.75Δx
Δx
;
無次元数
S-‐‑‒CLSVOF法
∇φ
α∇
イメージ
Re-­‐iniXalizaXon
equaXon
反復回数φcorr
界面幅ε
∂φ
∂τ
= S φ0( ) 1− ∇φ( )
φ x,0( )= φ0 x( )
φcorr =
ε
Δτ
ε =1.5Δx

9. S-‐‑‒CLSVOF法
• ⽀支配⽅方程式
Navier-‐‑‒Stokes 式
流流体率率率αの移流流⽅方程式
∂v
∂t
+v⋅∇v = −∇P +ν∇2
v + Fσ + ρg
::
liquid
phase
::
interface
::
gas
phase
1=α
0=α
10 <<α
Fσ =σkδ∇φ
CSFモデル
k = −∇⋅nf = −∇⋅
∇φ( )f
∇φ( )f
+δ
$
%
&
&
'
(
)
)
∂α
∂t
+ ∇⋅ αv( )= 0
ダイラック関数δ
δ φ( )= 0
δ φ( )=
1
2ε
1+cos
πφ
ε
!
"
#
$
%
&
!
"
#
$
%
&
φ >ε
φ ≤ε
ヘビサイド関数H
H φ( )= 0
H φ( )=
1
2
1+
φ
ε
+
1
π
sin
πφ
ε
!
"
#
$
%
&
!
"
#
$
%
&
H φ( )=1
曲率
ρ =αρl +(1−α)ρg
µ =αµl +(1−α)µg

10. S-‐‑‒CLSVOF法
• ⽀支配⽅方程式
Navier-‐‑‒Stokes 式
流流体率率率αの移流流⽅方程式
∂v
∂t
+v⋅∇v = −∇P +ν∇2
v + Fσ + ρg
::
liquid
phase
::
interface
::
gas
phase
1=α
0=α
10 <<α
∂α
∂t
+ ∇⋅ αv( )= 0
ヘビサイド関数H
H φ( )= 0
H φ( )=
1
2
1+
φ
ε
+
1
π
sin
πφ
ε
!
"
#
$
%
&
!
"
#
$
%
&
H φ( )=1
ρ =αρl +(1−α)ρg
µ =αµl +(1−α)µg
ρ = Hρl +(1− H)ρg
µ = Hµl +(1− H)µg
一般には物性値をヘビサイド関数で更新
しかし、A. Albadawi et al. (2013)では
物性値はヘビサイド関数で更新せず
φ < −ε
φ ≤ ε
φ > ε

11. 検証１（Laplace圧の測定）
• A. Albadawi et al.(2013)で⾏行行われている⼀一つの検
証問題
Laplace圧
２種の流流体を分ける表⾯面を横切切るときに⽣生ずる静⽔水圧の
ジャンプΔp (表⾯面張⼒力力の物理理学(p.8)より 著 ドゥジェ
ンヌ、ブロシャール­−ヴィアール、ケレ 訳 奥村剛)
Δp =γ
1
R
+
1
R'
!
"
#
$
%
&
Δp = p0
in
− p∞
out p0
in
p∞
out
気泡中心部の圧力
壁境界での圧力
数値計算による圧力差と理論値の比較
M. M. Francois et al., J. Comput. Phys., 213, 141-173 (2006).
元々は

12. 検証１（Laplace圧の測定）
• 計算条件
Δpexact =γ
1
R
+
1
R'
!
"
#
$
%
& = 2
Δp = p0
in
− p∞
out
p0
in
p∞
out
気泡中心部の圧力
壁境界での圧力
等間隔格子
DX
=
0.001
m
(Fine)
=
0.0005
m
(Coarse)
0.05
m
0.05
m
0.01
m
理論値のラプラス圧
物性値
γ
0.01
N/m
計算によるラプラス圧
ρg
1
kg/m3
µg
10-­‐5
kg/(ms)
ρl
1000
kg/m3
µl
10-­‐3
kg/(ms)
gas
liquid
無重力条件
（静置条件）
計算時間
0.1
sec.
(Δt
=
1x10-­‐5
sec.
(Coarse))
(Δt
=
5x10-­‐6
sec.
(Fine))
相対圧力誤差E0
E0 =
Δp− Δpexact
Δpexact

13. 検証１（Laplace圧の測定）
• 計算結果
Δp = p0
in
− p∞
out
p0
in
p∞
out
気泡中心部の圧力
壁境界での圧力
0.05
m
0.05
m
0.01
m
理論値のラプラス圧
計算によるラプラス圧
gas
liquid
相対圧力誤差E0
E0 =
Δp− Δpexact
Δpexact
×100
手法
E0
S-­‐CLSVOF
(F)
1.210
S-­‐CLSVOF
(C)
0.1749
VOF
(F)
19.29
VOF
(C)
25.23
(％)
Δpexact =γ
1
R
+
1
R'
!
"
#
$
%
& = 2

14. まとめ
• S-‐‑‒CLSVOF法の実装に成功した
• S-‐‑‒CLSVOF法の⽅方が精度度が⾼高い
• 計算時間少し上昇
• 他のケースにも実装予定

15. 参考⽂文献
1. M. M. Francois et al., J. Comput. Phys. 213 (2006) 141-173.
2. A. Albadawi et al., Int. J. Multiphase Flow 53 (2013) 11-28.
3. ドゥジェンヌ・ブロシャール-ヴィアール・ケレ共著
奥村剛訳, 表⾯面張⼒力力の物理理学 第2版,吉岡書店