1. 5.3Notasi Jumlah dan Sigma
NOTASI SIGMA
12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 100 2
Dan
a1 + a 2 + a3 + a 4 + .... + a n
Untuk menunjukan jumlah ini dalam satu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang
pertama sebagai
100
∑i
i =1
2
Dan yang kedua sebagai
n
∑a
i =1
i
Disini ∑ (huruf besar sigma Yunani) , yang berpadanan dengan S, sama dengan
menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang bditunjukan
selama indeks I menjelajahi bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang
diperliatkan dibawah tanda ∑ dan berakhir dengan bilangan yang diatas tanda
tersebut. Sehingga ,
5
∑b
i=2
i = b2 + b3 + b4 + b5
n
1 1 1 1 1
∑ j = 1 + 2 + 3 + ... + n
j =1
4
k 1 2 3 4
∑k
k =1
2
= 2 + 2 + 2 + 2
+1 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1
Dan, untuk n ≥ m,
n
∑ F (i) = F (m) + F (m + 1) + F (m + 2) + ... + F (n)
i =m
n
Jika semua c dalam ∑c
i =1
i mempunyai nilai yang sama, katakana c, maka
n
∑c
i =1
i = c + c + c + ... + c = nc
Sebagai suatu hasil kita terima perjanjian
n
∑ c = nc
i =1
Khusunya,
5 100
∑ 2 = 5(2) = 10, ∑ (−4) = −400
i =1 I =1

2. SIFAT-SIFAT ∑
Teorema A
(kelinearan ∑ ) andaikan { ai │}dan { bi } menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta.
Maka :
n n
(i) ∑ cai = c∑ ai
i =1 i =1
n n n
(ii) ∑ (a
i =1
i + bi ) = ∑ a i + ∑ bi ; dan akibatnya
i =1 i =1
n n n
(iii) ∑ (ai =1
i − bi ) = ∑ a i + ∑ bi
i =1 i =1
Bukti bukti-buktinya mudah ; kita tinjau (i) saja,
n
∑ ca
i =1
i = ca1 + ca 2 + ca3 + ... + ca n = c(a1 + a 2 + a3 + ... + a n )
n
= c ∑ ai
i =1
100 100
Contoh 1 Andaikan bahwa ∑ ai = 60 dan ∑b i = 11 . Hitung
i =1 i =1
n
∑ ( 2a
i =1
i − 3bi + 4)
Penyelesaian
n 100 100 100
∑ ( 2a
i =1
i − 3bi + 4) = ∑ 2ai − ∑ 3bi + ∑ 4
i =1 i =1 i =1
100 100 100
= 2∑ ai − 3∑ bi + ∑ 4
i =1 i =1 i =1
= 2(60) − 3(11) + 100(4) = 487
n
Contoh 2 ( jumlah berjatuhan ) sederhanakan ∑ (a
i =1
i +1 − ai ) = a n +1 − ai
Penyelesaian
Disini kiita seharusnya bertahan pada kecendrungan kita untuk menerapkan kelinearan
dan sebagai gantinya menuliskan
n
∑ (a
i =1
i +1 − ai ) = (a 2 − a1 ) + (a3 − a 2 ) + (a 4 − a3 ) + ... + (a a +1 − a n )
= −a1 + a 2 − a 2 + a3 − a3 + a 4 + ... − a n + a n +1

3. = a n +1 − a1
BEBERAPA JUMLAH KHUSUS
Disini kita akan membahas tentang jumlah darei n bilangan bulat positif yang pertama,
seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkatnya, pangkat tiganya, dan seterusnya.
n
n(n + 1)
1. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
i =1 2
n
n(n + 1)(2n + 1)
2. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
2 2 2 2 2 2
i =1 6
2
n
 n(n + 1) 
3. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 
3 3 3 3 3 3
i =1  2  
n
n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1)
4. ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
4 4 4 4 4 4
i =1 30
10
Contoh 3 Hitung ∑i
i=2
4
Penyelesaian
10 10
10(11)(6000 + 900 + 10 − 1)
∑i
i=2
4
= (∑ i 4 ) − 14 =
i =2 30
−1
= 25.332
10
Contoh 4 hitung ∑ i (i −5)
2
i=
Penuelesaian
10 10 10 10
∑ 2i(i − 5) = ∑ 2i
i =1 i =1
2
− 10i ) = 2∑ i − 10∑ i
i =1
2
i =1
10(10 + 1)[2(10) + 1]  10(10 + 1) 
= 2  − 10  
 6   2 
= 2(385) − 10(55)
= 220
n
Contoh 5 Cari suatu rumus ∑ ( j + 2)( j − 5)
j −1

4. Penyelesaian
n
∑ ( j + 2)( j − 5) = ∑ ( j
j −1
2
− 3 j − 10)
n n n
=∑ j 2 − 3∑ j − ∑10
j =1 j +1 j +1
n( n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
= −3 − 10n
6 2
n
[
= 2n 2 + 3n + 1 − 9n − 9 − 60
6
]
n( n 2 − 3n − 34)
=
6