Penerapan sifat kelinearan sigma untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m

2,881 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,881
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
37
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Penerapan sifat kelinearan sigma untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m

  1. 1. SEMINAR MATEMATIKAPenerapan Sifat Kelinearan Sigma untuk Menentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m Oleh Nama : JULIA SUSVIANA NIM : 09221032 Pembimbing : M.Win Afgani , S.Si, M.PdFAKULTAS TARBIYAH JURUSAN TADRIS MATEMATIKAINSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG 2009
  2. 2. Penerapan Sifat Kelinearan Sigma untuk Menentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m Abstrak Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsurhimpunan {1, 2, 3, 4, ...} . Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika ygpaling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengertioleh manusia. Notasi sigma yang dilambangkan dengan ”Σ” adalah sebuah hurufYunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisanpenjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabelberindeks atau suku-suku suatu deret. S1ifat kelinearan sigma dapat digunakan untukmenentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m.Kata Kunci : Notasi Sigma, Bilangan Asli, Induksi Matematis1 Fakultas Tarbiyah Jurusan Tadris Matematika
  3. 3. A. PENDAHULUAN1. Latar Belakang Masalah Matematika adalah ilmu dasar dari semua ilmu pengetahuan. Matematika jugaadalah ilmu yang universal, tidak akan habis pembahasan tentang ilmu matematika.Banyak hal yang dapat dipelajari lalu dikembangkan dalam matematika sehinggabermanfaat bagi kehidupan manusia. Notasi Sigma digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentukpanjang dari jumlah suku-suku yang merupakan Notasi sigma yang dilambangkandengan ”Σ” adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan variabel berindeks natau suku-suku suatu deret. Misalnya penjumlahan i 1 2 3  n i 1 Kelinearan Sigma merupakan salah satu contoh Penggunaan Notasi Sigmayang dapat membantu dalam melakukan pembuktian sekaligus menentukan rumusjumlah. Dengan Kelinearan Notasi Sigma, dapat ditentukan rumus jumlah dari suatubilangan, contohnya bilangan asli berpangkat m, rumus yang telah ada dapatdibuktikan dengan induksi matematis. Dalam makalah ini penulis akan menerapkan Kelinearan Sigma dalamMenentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m, m € .2. Rumusan Masalah Bagaimana menerapkan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m denganmenggunakan kelinearan Sigma.3. Tujuan Untuk mengetahui penerapan rumus jumlah bilangan asli berpangkat denganmenggunakan kelinearan Sigma.
  4. 4. B. Notasi Sigma Notasi sigma dilambangkan dengan (dibaca : sigma) Secara umum notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut: n u1 + u2 + u3+ … + un = ui i 1atau n ci = c + c + c + c +…+ c = nc i 1C.Sifat Kelinearan Sigma sifat-sifat .dipikirkan sebagai suatu opertaor, beroperasi padabarisan dan memang melakukan itu secara linear.Teorema A(Kelinearan Andaikan {ai} dan {bi} menyatakan dua barisan dan c suatukonstanta. Maka: n n ca i c ai i 1 i 1 n n n ( ai bi ) ai bi i 1 i 1 i 1 n n n ( ai bi ) ai bi i 1 i 1 i 1Bukti: n ca i i 1 n c ai i 1
  5. 5. n (ai bi ) ( + ) + ( + ) + ( + ) +…+ ( + ) Hukum i 1 Komutatif =( Hukum Assosiatif n n ai bi i 1 i 1 n (ai bi ) ( - ) + ( - ) + ( - ) +…+ ( - ) Hukum i 1 Komutatif Hukum Assosiatif n n ai bi i 1 i 1 .D. Induksi Matematis Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian yang absah dalammatematika. Pembuktian dengan induksi matematika berkenaan pada pembuktianuntuk proporsi-proporsi yang keberlakuannya untuk setiap bilangan bulat atau lebihkhusus untuk setiap bilangan asli. Misalkan akan dibuktikan proporsi p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli ndengan menggunakan induksi matematik. Langkah-langkah pembuktiannya sebagaiberikut:Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benarLangkah (2) : diasumsikan bahwa p(1) benar untuk suatu bilangan asli n > 1 danditunjukkan bahwa p(n+1) benar Selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. langkah(1) disebut basis (dasar) induksi dan langkah (2) disebut langkah induksi.E. Penerapan Kelinearan Sigma
  6. 6. Rumus-rumus jumlah khusus untuk bilangan asli baik yang berpangkat satu, dua,tiga dan seterusnya. n 1 i 1 2 3  n n n 1 i 1 2 n 2 2 2 2 2 1 i 1 2 3  n n n 1 2n 1i 1 6 n 2 3 3 3 3 3 1 i 1 2 3  n n n 1i 1 2 n 3 2 4 4 4 4 4 n n 1 6n 9n n 1 i 1 2 3  ni 1 30Rumus-rumus jumlah diatas biasa dibuktikan dengan menggunakan InduksiMatematika, salah satunya pada pembuktian berikut ini; n 1 i 1 2 3  n n n 1 i 1 2Misalkan p(n) menyatakan; 1 1 2 3  n n n 1 , 2 1 1) p(1) adalah 1 .1 1 1 , jelas benar. 2 1 2) Diasumsikan bahwa p(n) benar, yaitu 1 2 3  n n n 1 adalah 2 benar. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(n + 1) benar yaitu ; 11 2 3  n n 1 n 1 n 2 2Hal ini ditunjukkan sebagai berikut ;1 2 3  n n 1 1 2 3  n (n 1)
  7. 7. 1 n n 1 n 1 2 1 n 1 2 n 1 1 = n 1 n 2 2 1Jadi, 1 2 3  n n 1 n 1 n 2 yaitu p(n + 1) benar. Dari (1) dan (2) 2dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Selanjutnya, disini akan diberikan pembuktian alternatif yang memilikikelebihan dalam menunjukkan dari mana rumus-rumus tersebut berasal. Pada penggunaan kelinearan Sigma didapat suatu bentuk jumlah berjatuhan,di bawah ini:( Jumlah Berjatuhan ) n 2 2 2 i 1 i n 1 1 i 1Bentuk ini digunakan untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat satu,yang dimulai dengan identitas; 2 2 i 1 i 2i 1, dimana pada kedua ruas digunakan kelinearan Sigma, yaitu; 2 2 i 1 i 2i 1 n n 2 2 i 1 i 2i 1i 1 i 1 n n 2 2 n 1 1 2 i 1 i 1 i 1 n 2 n 2n 2 i n i 1 2 nn n i 2 i 1Jadi, terbukti bahwa: n 1 i 1 2 3  n n n 1i 1 2
  8. 8. Sekarang terlebih dahulu akan dibuktikan apakah bentuk ini; n 2 2 2 i 1 i n 1 1, berlaku untuk pangkat 3, 4,5,6, ...,m.i 1 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 ni 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3  n 1 n 2 2 n 1 1 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n i 1 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 2 4 3  n 1 n 3 3 n 1 1n 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 ni 1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 3 2 4 3  n 1 n 4 4 n 1 1 n 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n i 1 5 5 5 5 5 5 5 5 2 1 3 2 4 3  n 1 n 5 5 n 1 1 n 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 ni 1 6 6 6 6 6 6 6 6 2 1 3 2 4 3  n 1 n 6 6 n 1 1Sehingga dari pembuktian-pembuktian diatas, untuk yang berpangkat m diperoleh; n m m m m m m m m m m i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 ni 1 m m m m m m m m m m 2 1 3 2 4 3  n 1 n n 1 1
  9. 9. Dari uraian diatas, didapatkan bahwa untuk menentukan rumus jumlah bilangan asliberpangkat m, kita mulai dengan identitas; m 1 m 1 m m m i 1 i i i 1 i i 1Maka, untuk yang berpangkat 2 dimulai dengan identitas; 2 1 2 1 2 2 2 i 1 i i i 1 i i 1 ,Seperti metode diatas penjumlahan kedua ruas menggunakan kelinearan; 3 3 2 2 2 i 1 i i i 1 i i 1 3 3 2 2 2 i 1 i i i 2i 1 i i 2i 1 3 3 2 2 i 1 i 2i i i 2i 1 3 3 2 i 1 i 3i 3i 1 n n 3 3 2 i 1 i 3i 3i 1i 1 i 1 n n n 3 3 2 n 1 1 3 i 3 i 1 i 1 i 1 i 1 n 3 2 2 n n 1n 3n 3n 3 i 3. n i 1 2 n 3 2 2 22n 6n 6n 6 i 3n 3n 2n i 1 3 2 n2n 3n n 2 i 6 i 1 nn n 1 2n 1 2 i 6 i 1Jadi, terbukti bahwa; n 2 2 2 2 2 1 i 1 2 3  n n n 1 2n 1i 1 6
  10. 10. Dari uraian diatas, rumus jumlah bilangan asli berpangkat m adalah; m 1 m 1 m m m i 1 i i i 1 i i 1 m 1 m 1 m m 1 m m 2 m m m 1 m m 2 i 1 i i C1 i C2 i  1 i C1 i C2 i  1 m 1 m 1 m m m m 1 m m m 1 m m 2 i 1 i C1 i C2 i  i i C1 i C2 i  1 m 1 m 1 m m m m m 1 m m m 2 i 1 i C1 1i C2 C1 i C3 C2 i  i 1 n n n n n n m 1 m 1 m m m m m 1 m m m 2 i 1 i C1 1 i C2 C1 i C3 C2 i  i 1i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n m 1 m 1 m m m m m 1 m m m 2 n 1 i C 1 1 i C 2 C 1 i C 3 C 2 i  i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n m 1 m m m m m 1 m m m 2 n 1 1 C1 1 i C2 C1 i C3 C2 i  i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 m m m m m 1n C1 n C2 n  Cm 1n C1 1 i C2 C1 i i 1 i 1 n n n m m m 2 C3 C2 i  i 1 i 1 i 1 i 1 n m m m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 C 1 1 i n C1 n C2 n  Cm 1 n i 1 n n n n m m m 1 m m m 2 C2 C1 i C3 C2 i  i 1 i 1 i 1 i 1 i 1Contoh Soal:1. Tentukan rumus jumlah dari; 3 3 3 3 1 2 3  nUntuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m, di mulai denganidentitas; 3 1 3 1 3 3 3 i 1 i i i 1 i i 1 ,
  11. 11. sehingga dengan menggunakan kelinearan; 3 1 3 1 3 3 3 i 1 i i i 1 i i 1 4 4 3 2 3 3 2 i 1 i i i 3i 3i 1 i i 3i 3i 1 4 4 3 2 3 2 i 1 i 3i 3i i i 3i 3i 1 4 4 3 2 i 1 i 4i 6i 4i 1 n n 4 4 3 2 i 1 i 4i 6i 4i 1i 1 i 1 n n n n 4 4 3 2 n 1 1 4 i 6 i 4 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n 4 3 2 3 n n 1 2n 1 n n 1n 4n 6n 4n 4 i 6. 4. n i 1 6 2 n 4 3 2 3 3 2n 4n 6n 4n 4 i 2n 5n 4n i 1 n 4 3 2 3n 2n n 4 i i 1 4 3 2 nn 2n n 3 i 4 i 1 2 n 1 3 n n 1 i 2 i 1Jadi, terbukti bahwa; n 2 3 3 3 3 3 1 i 1 2 3  n n n 1i 1 22. Tentukan rumus jumlah dari; 4 4 4 4 1 2 3  nSolusi:Untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m, di mulai denganidentitas; m 1 m 1 m m m i 1 i i i 1 i i 1 ,
  12. 12. Sehingga untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli yang berpangkat 4, kitamulai dengan identitas; 4 1 4 1 4 4 4 i 1 i i i 1 i i 1 5 5 4 4 4 i 1 i i i 1 i i 1 5 5 4 3 2 i 1 i 5i 10 i 10 i 5i 1Sehingga dengan menggunakan kelinearan sigma diperoleh; n n 5 5 4 3 2 i 1 i 5i 10 i 10 i 5i 1i 1 i 1 n n n n n 5 5 4 3 2 n 1 1 5 i 10 i 10 i 5 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 2 5 4 3 2 n 4 n n 1 n n 1 2n 1 n n 1n 5n 10 n 10 n 5n 5 i 10 . 10 . 5. n i 1 4 6 2Kemudian diperoleh; n 5 4 3 4 n n n n i i 1 5 2 3 30 n 5 4 3 4 6n 15 n 10 n n i i 1 30 n 3 2 4 n n 1 (6 n 9n n 1 i i 1 30Jadi, 3 2 4 4 4 4 n n 1 6n 9n n 11 2 3  n 30
  13. 13. F. PENUTUP Sifat Kelinearan Sigma yaitu pada jumlah berjatuhan dapat digunakan untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m. Rumus Jumlah berjatuhan yang digunakan adalah : n 2 2 2 i 1 i n 1 1 i 1Dengan menggunakan dengan identitas m 1 m 1 m m m i 1 i i i 1 i i 1
  14. 14. DAFTAR PUSTAKAPurcell,Edwin J dan Dale Varberg.2000. Kalkkulus dan Geometri Analitis Jilid 1.Jakarta:Erlangga.Djumanta, Wahyudin dan Dwi Susanti.2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.Seputro,T.M.H.T. 1994. Pengantar Dasar Matematika. Surabaya:Erlangga. Wirodikromo,Sartono. 2003. Matematika untuk SMA Jilid 2 Kelas 1Semester 2.Jakarta:Erlangga.

×