Dokumen tersebut membahas berbagai ukuran statistik untuk mengukur dan menganalisis data, termasuk rata-rata tertimbang, rata-rata geometrik, varians dan simpangan baku, koefisien variasi, dan angka baku. Metode-metode tersebut digunakan untuk menghitung dan membandingkan karakteristik dari populasi dan sampel data.

1. UKURAN STATISTIK
Rata-Rata Tertimbang (Weighted Mean)
Dalam beberapa kasus setiap nilai diberi beban, misalnya pada kasus perhitungan Indeks
Prestasi, Nilai Penjualan Barang, dll
n
∑Bx
i =1
i i
xB = n
∑B
i =1
i
Di mana xB : rata-rata tertimbang
Bi : beban ke-i
xi : data ke-i
n: banyak data
Contoh 1 :
Berikut adalah Transkrip Akademik seorang mahasiswa
Mata Kuliah Nilai Angka Mutu SKS ( Bi xi
Mutu ( xi ) Bi )
Pancasila B 3 2 6
Teori Ekonomi A 4 4 16
Bahasa Inggris C 2 3 6
Manajemen A 4 3 12
Σ 14 12 40
n
∑Bx
i =1
i i
40
Indeks Prestasi = x B = n = = 3.33
12
∑B
i =1
i
Rata-Rata Geometrik (Geometric Mean)
Rata-rata geometrik digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate),
misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga dll.
G = n x1 × x2 × x3 × ⋅⋅ ⋅ × xn
atau
log x 1 + log x 2 + log x 3 + ⋅⋅⋅ + log x n
log G =
n
ingat G = antilog (log G)
Di mana G : rata-rata geometrik
xi : data ke-i
n : banyak data
Contoh 2 :
Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :
1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 %
Ukuran Statistik 1

2. log x1 + log x 2 + log x 3 + log x 4 + log x 5
G = n x1 × x2 × x3 × ⋅⋅⋅ × xn = log G =
5
log 1.5 + log 2.3 + log 3.4 + log 1.2 + log 2.5
=
5
0.176...+ 0.361...+0.531...+0.079...+0.397...
=
5
15464...
.
= = 0.30928....
5
G = antilog 0.30928... = 2.03837....
Bandingkan dengan rata-rata hitung
n
∑x i
=
1.5 + 2.3 + 3.4 + 1.2 + 2.5 10.9
= = 2.18
i =1
x= 5 5
n
UKURAN PENYEBARAN
1 Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard
Deviation)
a. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data
POPULASI :
N N N
∑ (x i − µ) 2
atau
N ∑ xi − ( ∑ xi ) 2
2
σ2 = i =1
σ2 = i =1 i =1
Ν N 2
dan σ = σ2
SAMPEL :
n n n
∑ (x i − x) 2
n∑ xi − ( ∑ xi )2
2
atau i =1 i =1
s2 = i =1
s2 =
n −1 n( n − 1)
dan s = s2
xi : data ke-i
µ : rata-rata populasi x: rata-rata sampel
σ²: ragam populasi s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi s: simpangan baku
Ukuran Statistik 2

3. sampel
N: ukuran populasi n: ukuran sampel
Contoh 3 :
Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun
a. Hitunglah µ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi)
b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)
Jawab :
xi µ atau x ( xi -µ) atau ( xi - x ) ( xi -µ)² atau ( xi - x )² xi 2
18 20 -2 4 324
19 20 -1 1 361
20 20 0 0 400
21 20 1 1 441
22 20 2 4 484
Σ 100 ------ ------- 10 2010
POPULASI :
100
N=5 µ= = 20
5
n
∑ (x
i =1
i − µ) 2
=
10
=2
σ = 2
5
Ν
N N
N ∑ xi − ( ∑ xi ) 2
2
(5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50
i =1 i =1
= = = =2
σ2 = 2 52 25 25
N
σ = σ = 2 = 1.414...
2
SAMPEL :
n
n=5 x=
100
=2 2 ∑ (x i − x )2
=
10
= 2.5
5 s = i =1
4
n −1
n n
n∑ xi 2 − ( ∑ xi )2 (5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50
i =1 i =1 = = = = 2.5
s2 = 5× 4 20 20
n(n − 1)
s = s2 = 2.5 =1.581...
b. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data
POPULASI :
Ukuran Statistik 3

4. k
∑f i × ( xi − µ ) 2
dan σ = σ2
σ2 = i =1
Ν
SAMPEL :
k
∑f
i =1
i × ( xi − x ) 2 dan s = s2
s =
2
n −1
xi : Titik Tengah Kelas ke-i
fi : frekuensi kelas ke-i
k : banyak kelas
x: rata-rata sampel
µ : rata-rata populasi
σ²: ragam populasi
s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi
s: simpangan baku sampel
N: ukuran populasi
n: ukuran sampel
Contoh 4 :
1679
Rata -Rata (µ atau x ) = = 33.58
50
Kelas TTK Frek. f i xi µ atau ( xi -µ) atau ( ( xi -µ)² atau f i ( xi -µ)²
xi fi x xi - x ) ( xi - x )² atau
f i ( xi - x )²
16 - 23 19.5 10 195 33.58 -14.08 198.2464 1982.4640
24 - 31 27.5 17 467.5 33.58 -6.08 36.9664 628.4288
32 - 39 35.5 7 248.5 33.58 1.92 3.6864 25.8048
40 - 47 43.5 10 435 33.58 9.92 98.4064 984.0640
48 - 55 51.5 3 154.5 33.58 17.92 321.1264 963.3792
56 - 63 59.5 3 178.5 33.58 25.92 671.8464 2015.5392
Ukuran Statistik 4

5. Σ ----- 50 1679 ---- ---------- ----------- 6599.68
POPULASI : N = 50
k
∑f i × ( xi − µ ) 2
=
6599.68
= 131.9936
σ = 2 i =1
50
Ν
σ = σ 2 = 131.9936 = 11.4888....
SAMPEL :
k
∑f
i =1
i × ( xi − x ) 2
=
6599.68
= 134.6873....
s = 2
49
n −1
s = s2 = 134.6873... = 11.6054....
2 Koefisien Ragam
Koefisien Ragam = Koefisien Varians
Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data
makin tinggi.
σ
Untuk Populasi →Koefisien Ragam = × 100%
µ
s
Untuk Sampel →Koefisien Ragam = × 100%
x
Contoh :
x = 33.58 s = 11.6054
Koefisien Ragam =
s 116054
.
× 100% = × 100% = 34.56 %
x 3358
.
Ukuran Statistik 5

6. 3 Angka Baku (z-score)
• Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .
• z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
• z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi
• z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi
• z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi
x−µ
z=
σ
z : Angka baku
x : nilai data
µ: rata-rata populasi
σ : simpangan baku populasi
Contoh 5 :
Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 km
Hitung angka baku untuk kecepatan lari :
a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam
x − µ 25 − 20 5
Jawab : a. z = = = =2
σ 2.5 2.5
x − µ 18 − 20 − 2
b. z = = = = -0.8
σ 2.5 2.5
Ukuran Statistik 6