silahkan di upload

1. MENGGUNAKAN ATURAN PANGKAT DALAM
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
====================================================
1. BILANGAN BERPANGKAT
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bilangan yang sangat
besar atau sangat kecil. Bentuk bilangan berpangkat ini merupakan salah
satu cara untuk menyederhanakan penulisan bilangan-bilangan tersebut,
terutama dalam kaitannya dengan perhitungan-perhitungan, misalnya
mata pelajaran fisika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Untuk lebih jelas
tentang bilangan berpangkat, perhatikan pernyataan berikut ini, setelah
anda mengetahui sifat-sifat dan aturannya diharapkan anda dapat
menggunakan atau menerapkan dalam memecahkan permasalahan yang
sedang dihadapi.
Pernyataan “ 2 x 2 x 2 x 2 “ diartikan perkalian berulang bilangan 2
sebanyak 4 faktor dan dinotasikan dengan “ 24
“ dibaca “ 2 pangkat 4 “
2 x 2 x 2 x 2 = 16 ... (1) ⇒ hasil perhitungan
2 x 2 x 2 x 2 = 24
... (2) ⇒ notasi perkalian berulang
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa nilai dari 24
= 16
Untuk sebarang bilangan real a dan bilangan bulat n, maka an
didefinisikan sebagai
an
= a x a x a x ... x a
sebanyak “ n “ faktor
an
disebut bilangan berpangkat, dengan :
a adalah bilangan pokok
n adalah pangkat dari a
1
Kegiatan Belajar 1

2. 1.1 Mengulang sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat
positif dan nol
Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 1 : an
x am
= a n + m
 Contoh 1 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 24
x 23
= 27
b. 56
x 53
= 59

Penyelesaian :
24
x 23
= ( 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
56
x 53
= ( ... x ... x ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... )
= ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ...
= ...
Jika a ∈R, a ≠ 0 dengan n > m bilangan bulat positif, maka berlaku
Sifat 2 : m
n
a
a
= an– m
 Contoh 2 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 3
5
2
2
= 22
b. 4
7
5
5
= 53

Penyelesaian :
a. 3
5
2
2
= 2x2x2
2x2x2x2x2
= 2 x 2
2

3. = 22
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. 4
7
5
5
= ...x...x...x...
...x...x...x...x...x...x...
= ... x ... x ...
= . . .
....
Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 3 : ( an
)m
= a n m
 Contoh 3 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. ( 23
)4
= 212
b. ( 52
)3
= 56

Penyelesaian :
a. ( 23
)4
= ( 23
) x (23
) x ( 23
) x ( 23
)
= ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 212
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. ( 52
)3
= ( ... ) x ( ... ) x ( ... )
= ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ...)
= ... x ... x ... x ... x ... x ...
= .....
....
Jika a,b∈R dengan n dan m bilangan bulat positif, maka berlaku
Sifat 4 : (a x b)n
= an
x bn
 Contoh 4 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. ( 2 x 5 )3
= 23
x 53
b. ( 3 x 7 )4
= 34
x 74

Penyelesaian :
a. ( 2 x 5 )3
= ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 )
3

4. = ( 2 x 2 x 2 ) x ( 5 x 5 x 5 )
= 23
x 53
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. ( 3 x 7 )4
= ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... )
= ( ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... x ... )
= ....
...
x ....
...
Jika a,b∈R dan b ≠ 0 dengan n bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 5 :
n
b
a 




= nb
na
 Contoh 5 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a.
3
2
5 



 = 3
3
2
5
b.
5
3
2 



 = 5
5
3
2

Penyelesaian :
a.
3
2
5 



 = 




2
5
x 




2
5
x 




2
5
= 





2x2x2
5x5x5
=
3
3
2
5
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
5
3
2 



 = ( )...
...
x ( )...
...
x ( )...
...
x ( )...
...
x ( )...
...
= 





...x...x...x...x...
...x...x...x...x...
= ...
...
Pangkat nol dari suatu bilangan
Sifat 6 : Untuk setiap a∈R dan a ≠ 0, berlaku a0
= 1
4

5.  Contoh 6 :
Tunjukkan bahwa 4
4
3
3
= 30
= 1 ,
a. Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan
b. Dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat

Penyelesaian :
a. 4
4
3
3
= 3x3x3x3
3x3x3x3
= 1
b. 4
4
3
3
= 3 4 – 4
= 30
Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 30
= 1
Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh
a. 5
5
6
6
= ...x...x...x...x...
...x...x...x...x...
= ...
b. 5
5
6
6
= .... .... – ....
= ...
Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 60
= 1
 Catatan : 00
tidak terdefinisi
LATIHAN 1
5

6. 1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 c. (x – 2) x (x – 2)
b. n x n x n x . . . x n d. (a + b) x (a + b) x {–(a + b)}
m faktor
2. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini
dalam bentuk paling sederhana.
a. 33
x 35
c. 5c3
x 3c2
b. –23
x 22
d. –4y5
x 2y2
3. Bilangan manakah yang mempunyai nilai paling besar 2175
atau 575
4. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini
dalam bentuk paling sederhana.
a. 2
5
3
3
c. 3
6
4
8
p
p−
b. 2
3
4
4−
d. 2
3
3
9
c
c
−
−
5. Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat di bawah ini.
a. ( 2a2
)4
e. {– (c2
d3
)}2
i. 410
265
2
4
y
zy
b. 2(a2
)4
f. (– 2 x3
y2
)3
j.
3
2
2
3
2






b
a
c. (–3k3
)2
g.
3
3
2






b
a
k.
2
96
128






yx
yx
d. – ( 2k3
)3
h. 33
65
ca
ca
l.
5
24
75






cb
ba
Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 1, cocokan
jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.
6

7. Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba
menjawab.
JAWABAN LATIHAN 1
1. a. 56
2. a. 38
3. 2175
= ( 27
)25
= 12825
b. nm
b. –25
575
= ( 53
)25
= 12525
c. (x – 2)2
c. 15c5
Jadi nilai 2175
lebih besar
d. – (a + b)3
d. –8y7
dibanding nilai dari 575
4. a. 33
5. a. 16a8
e. c4
d6
i. y2
z2
b. – 41
= – 4 b. 2a8
f. –8x9
y6
j. 6
6
27
8
b
a
c. –2p3
c. 9k6
g. 9
6
b
a
k. x4
y6
d. 3c d. –8k9
h. a2
c3
l. 10
1525
c
ba
Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti
Anda paham, bagus !
Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah
samakan.
Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau
tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat
belajar Anda.
1.2. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan
sebaliknya
7

8. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif juga
berlaku pada bilangan berpangkat bulat negatif atau berpangkat nol
kecuali 0n
= 0. Untuk bilangan bulat positif n , 0–n
tidak terdefinisi
Untuk setiap a∈R, a ≠ 0 dan n bilangan bulat, berlaku
Sifat 7 : a– n
= n
a
1
atau an
= n
a −
1
Untuk pembuktian secara intuitif dengan menulis faktor-faktor setiap
bilangan dan menggunakan sifat operasi aljabar pembagian pada
bilangan berpangkat, kita dapat menyatakan bentuk pangkat negatif
ke pangkat positif dan sebaliknya.
Perhatikan operasi aljabar pembagian bilangan berpangkat berikut :
6
4
5
5
= 5x5x5x5x5x5
5x5x5x5
= 2
5
1
... definisi bilangan berpangkat (1)
6
4
5
5
= 5 4 – 6
= 5– 2
... sifat operasi bagi bil. pangkat (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : 5– 2
= 2
5
1
Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh
4
3
6
6
= ...x...x...x...
...x...x...
= ... ... (1)
4
3
6
6
= .... .... – ....
= ... ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : ... ...
= ...
Perhatikan barisan bilangan di bawah ini
... , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 2
1
, 4
1
, 8
1
, 16
1
, ...
... , 24
, 23
, 22
, 21
, 20
, 2–1
, 2–2
, 2–3
, 2– 4
, ...
Untuk setiap suku dari barisan bilangan pecahan di atas, dapat dinyata
kan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat negatif , sebagai berikut :
2–1
= 2
1
2– 2
= 2
2
1
= 4
1
8

9. 2– 3
= 3
2
1
= 8
1
2– 4
= 4
2
1
= 16
1
dst.
Nyatakan dalam bentuk pangkat tiap-tiap suku dari barisan bilangan di
bawah ini dengan bilangan pokok 10
... , 10.000 , 1.000 , 100 , 10 , 1 , 10
1
, 100
1
, 000.1
1
, 000.10
1
, ...
... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ...
Bilangan positif kecil dan besar dengan pokok 10 , seperti :
10–1
, 10– 2
, 10– 3
, 10– 4
, ... disebut bentuk baku bilangan kecil
1 , 10 , 100 , 1.000 , 10.000, ... disebut bentuk baku bilangan besar
Bentuk umum bilangan baku ditulis : a x 10n
, 1≤ a ≤ 10 dan n∈B
 Contoh 7 :
Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah ini
a. 145.000.000 c. 5,25 x 0,0000064
b. 0,0000096 d. 750.000.000 : 15.000

Penyelesaian :
a. 145.000.000 = 1,45 x 108
b. 0,0000096 = 9,6 x 10–6
c. 525 x 0,0000064 = 5,25 x 102
x 6,4 x 10–6
= 33,6 x 10–4
= 3,36 x 10–3
d. 750.000.000 : 15.000 = 7,5 x 108
: 1,5 x 104
= 5 x 104
Pangkat Pecahan dari suatu bilangan
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif , nol dan
negatif juga berlaku pada bilangan berpangkat rasional pecahan.
Bentuk umum pangkat pecahan dari suatu bilangan ditulis
9

10. n
m
a , untuk a ∈ R dengan m dan n bilangan bulat
 Contoh 8 :
Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk paling
sederhana
a. 2
1
16 c. 3
2
125 e. 3
2
63
)8( yx
b. 5
1
)243(− d. 2
1
62
)4( −
ba

Penyelesaian :
a. 2
1
16 = 2
1
2
)4( = 4
b. 5
1
)243(− = 5
1
5
)3(− = – 3
c. 3
2
125 = ......
)5( = ...
... = ...
d. 2
1
62
)4( −
ba = 2
1
622
)2( −
ba = .............
e. 3
2
63
)8( yx = .........3
2
.........
.........).........( =
= ..............
3. OPERASI ALJABAR PADA BENTUK PANGKAT
10

11. Pada bagian ini akan dibahas berbagai persoalan yang berkaitan
dengan bilangan berpangkat positif, nol, negatif dan pecahan.
Dalam melakukan operasi aljabar pada bilangan berpangkat, kita
dapat memilih dan menggunakan sifat-sifat mana yang cocok
digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang sedang dihadapi.
Perhatikan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.
 Contoh 9 :
Tentukan nilai x, y, z dari
( )
( ) 35
44
)12(.
.)75(
4
3
16
15
= 2x
3y
5z

Penyelesaian :
( )
( ) 35
44
)12(.
.)75(
4
3
16
15
= 2x
3y
5z
⇔
3
5
4
4
)(.
.)(
43
4
3
44
53
253
x
x
x
x











= 2x
3y
5z
⇔
32
5
2
4
4
42
)(.
.)(
23
2
3
2
53
53
x
x
x












= 2x
3y
5z
⇔
















10
635
16
4484
2
2
2
5353
33 xx
xxx
= 2x
3y
5z
⇔ 















68
10
16
128
23
2
2
53
x
x
= 2x
3y
5z
⇔ .5.3.2 12012−
= 2x
3y
5z
Jadi nilai x = –12 , y = 0 dan z = 12
 Contoh 10 :
Sederhanakan bentuk operasi aljabar bilangan berpangkat di
bawah ini.
11

12. a. (– 2ab– 3
)2
( 3a – 2
b 7
) c. 2
12222
:
)()(
−
−+
nn
nn
aa
aa x
b.
3
1
2
3
2






−
−
b
a d. 22
11
−−
−−
−
−
yx
yx
, Jika x + y ≠ 0

Penyelesaian :
a. (– 2ab– 3
)2
( 3a – 2
b 7
) = ( 4a 2
b – 6
)( 3a – 2
b 7
)
= 12 a 2 – 2
b 7 – 6
= 12b
b.
3
1
2
3
2






−
−
b
a = 33
63
3
2
−
−
b
a
= 3
6
27
8
−
−
b
a
= 6
3
27
8
a
b
c. 2
12222
:
)()(
−
−+
nn
nn
aa
aa x
= )2(
2442
−−
−+
nn
nn
a
aa x
= 2
26
a
a
n +
= a6n
d. 22
11
−−
−−
−
−
yx
yx
=
22
11
11
yx
yx
−
−
=
22
22
yx
xy
xy
xy
−
−
= 





−





 −
22
22
xy
yx
xy
xy
= 





+−





 −
))((
)( 2
xyxy
xy
xy
xy
= yx
xy
+
LATIHAN 2
1. Tulislah dalam bentuk 3–n
: 9
1
, 81
1
, 729
1
2. Tulislah nilai bilangan berpangkat di bawah ini :
a. 40
, 4–1
, 4– 2
, 4– 3
c.
321
3
2
3
2
3
2 ,,
−−−













b. 20
, 2–4
, 2
2
1
− , 5
2
1
−
12

13. 3. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan.
a. 4– 2
c. 2a– 5
e. 4
2
1
−
x
b. x – 8
d. (2a)–2
f.
2
2
1 −x
4. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan
a. 32
x 3– 3
c. 5– 2
x 2– 4
e. ( 5x– 2
)– 3
b. 34
x 2– 3
d. 2–2
x 2– 3
5. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif
a.
2
2
2
7
7






−
−
b.
2
2
4
3
3
−





 c.
3
3
2
5
4





 −
y
x d.
2
22
22
3
2






−−
−
b
a
6. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat negatif
a. 63
25
ya
ya
b. 2610
25
2
4
zy
y
c.
2
4
3




b
a d. 26
24
2 yx
yx −
7. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat positif
a. ( 2– 2
+ 2–1
+ 20
) –2
d. (–2ab– 3
)( 3a2
b–2
)
b.
5
:
37
25
24
80
81
15
16
x 

















e. 25
3
1
yx−
c.
2
4
3




−
−
b
a
8. Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah
a. 25 : 6.250.000.000 b. 480.000.000 x 25.000.000
Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 2, cocokan
jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.
Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba
menjawab.
JAWABAN LATIHAN 2
1. 3–2
, 3–4
, 3–6
2. a. 1, 4
1 , 16
1
, 64
1
b. 1, 16
1
, 4, 32 c. 2
3 , 4
9 , 8
27
3. a. 24
1
= 16
1
b. 8
1
x
c. 5
2
a
d. 2)2(
1
a = 24
1
a
e.
2
4x = 4
2
1 x f. 22
1
x
13

14. 4. a. 3– 1
= 3
1 b. 32
43
=
8
81 c. 2542
1
=
400
1
d. 52
1
=
32
1 e. 35
6x =
125
6x
5. a. 1 b. 43
1
c. 96125
64
yx
d. 4
44342
a
b
= 4
446
a
b
6. a. 4
2
y
a
= 2
4
−
−
a
y
b. 24 −−
zy c. 6
8
−
−
a
b
d. 2
42 −− yx
7. a. (
4
1 +
2
1 +1)–2
= (
4
7 ) –2
=
49
16 b. 2
105123272
105123282
=
c. 6
8
a
b
d. –6a3
b–5
= 5
36
b
a−
e. 23
5
y
x
8. a. 4 x 10-8
b. 1,2 x 1016
Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti
Anda paham, bagus !
Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah
samakan.
Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau
tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat
belajar Anda.
TUGAS 1
1. Tentukan nilai a,b,c,d dari
dcba 7532
)125()42()14(
)28()
234
423
45(
=
××
×
2. Sederhanakan bilangan berpangkat di bawah ini
a. 2
)
1213
31212
25
252.5
(
)(
−−
+−
×
×
nn
nnn
b.
2
2
)
1212
311212
53
5353
(
))((
−








×
××
+−
+−+−
nn
nnnn
14

15. c.
3
1
2
2
2
1
1
1
1
.. 

















−
−
−
−
−
− x
x
x
x
x
3. Nyatakan dalam bentuk baku
2
8
000.640
125128
000.1000.100
x
x












4. Berapa digitkah bilangan berpangkat di bawah ini apabila dituliskan
dalam bentuk bilangan tidak berpangkat.
a. 210
x 1010
c.
50
4
10
28
5
8












x
b. 418
x 5 29
5. Angka satuan manakah yang ditunjukkan oleh bilangan berpangkat
a. 777333
b. 31001
x 71002
x 131003
c. 1183281
6. Diketahui bilangan berpangkat A=20022002
, B = 20012002
+ 20022001
Bilangan manakah yang nilainya paling besar antara A dan B
15