Modul ini membahas tentang matrik dan determinan. Matrik adalah susunan bilangan yang dibatasi oleh kurung kuadrat dan elemen-elemennya ditandai dengan indeks baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matrik khusus seperti matrik bujur sangkar, matrik diagonal, matrik identitas, dan matrik transpose. Modul ini juga menjelaskan operasi-operasi dasar pada matrik seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan transpose matrik.

1. MODUL 4:
MATRIK DAN DETERMINAN

2. Pengertian Matrik
Matrik adalah susunan bilangan
real (kompleks) berbentuk empat
persegi panjang yang dibatasi oleh
tanda kurung, ditulis dengan :
)
(
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
n
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
ij
mn
m
m
m
ij
n
n
n

























Istilah-istilah :
Lambang matrik digunakan huruf
besar, A, B, C
Elemen matrik digunakan lambang
huruf kecil, a. b , c …
Bagian mendatar disebut baris
Bagian tegak disebut kolom
Indeks-I menyatkan baris, indeks-j
menyatakan kolom
Jumlah baris=m, jumlah kolom=n
Ukuran matrik disebut ordo
Matrik dengan jumlah baris=m,
jumlah kolom=n diebut dengan ukuran
(mxn) atau matrik berordo (mxn)

3. CONTOH
















3
1
45
.
0
2
3
2
2
3
001
.
0
23
.
0
4
333
.
0
2
2
5
667
.
0
2
2
1
j
j
A

Beberapa istilah yang perlu
diketahui ;
Elemen matrik A dapat berupa
bilangan bulat, desimal, rel atau
bilangan kompleks
Jumlah baris A=4, jumlah kolom
a=5, A berukuran (4x5)
a32 : elemen baris ke-3 kolom-2
adalah 0.001
Elemen-elemen diagonal matrik A
: 1, , 3, 1
CONTOH
Perhatikan jaringan berikut :
1 2 4
3




terbubung
tidak
j
dan
i
node
jika
,
terhubung
j
dan
i
node
jika
,
0
1
ij
a













0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
A
Matrik jaringannya adalah sebagai
berikut

4. MATRIK-MATRIK KHUSUS
Matrik Bujur Sangkar
A dikatakan matrik bujur sangkar jika
jumlah baris dan jumlah kolom A
sama. Matrik A dikatakan berordo n
)
(
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
ij
nn
n
n
n
ij
n
n
n

























Elemen-elemen diagonal utama A
adalah a11, a22, a33, a44 ….
CONTOH













0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
A
Matrik A berordo 4, elemen-
elemen diagonal utama A adalah
0, 0, 0, 0




















8
1
.
0
9
2
5
1
2
8
3
.
0
4
.
0
5
4
.
0
7
1
3
4
2
3
4
2
5
.
0
1
2
5
1
A

5. Matrik Segitiga Atas
A dikatakan matrik segitiga atas, jika
A adalah matrik bujur sangkar
dimana semua elemen dibawah
diagonal utama 0
Matrik Segitiga Bawah
A dikatakan matrik segitiga atas, jika
A adalah matrik bujur sangkar
dimana semua elemen diatas
diagonal utama 0



















8
1
.
0
9
2
5
0
2
8
3
.
0
4
.
0
0
.
0
7
1
3
0
0
0
4
2
0
0
0
0
1
A
Elemen-elemen diagonal utama :
1, 4, 7, 2, 8
Elemen-elemen diatas diagonal
utama 0, maka A matrik segitiga
bawah


















8
0
0
0
0
2
0
0
0
.
7
0
0
9
0
3
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
A
Elemen-elemen diagonal utama :
3, 9, -7, 2, 8
Elemen-elemen dibawah
diagonal utama 0, maka A matrik
segitiga atas

6. Matrik Diagonal = D
A dikatakan matrik diagonal, jika A
adalah matrik bujur sangkar dimana
semua elemen selain diagonal
utama 0, dan elemen diagonal utama
tak nol. Matrik demikian diberi
lambang D.
Matrik Identitas = I
A dikatakan matrik identitas, jika A
adalah matrik bujur sangkar dimana
semua elemen selain diagonal
utama 0, dan elemen diagonal utama
1. Matrik identitas diberi lambang I.































1
0
0
0
0
4
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
2
0
0
0
2
;
4
0
0
2
4
3
2
D
D
D































1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
;
1
0
0
1
4
3
2
I
I
I

7. Transpose Matrik= AT
Transpose matrik A ditulis AT
adalah sebuah matrik yang
diperoleh dari A dimana baris AT
adalah kolam A, dan kolom AT
adalah baris A. Bila A berukuran
(mxn), AT berukuran (nxm)
CONTOH
























2
4
6
8
7
6
5
4
6
4
2
1
;
2
7
6
4
6
4
6
5
2
8
4
1
T
A
A
Matrik Simetris, A=AT
A dikatakan matrik simetris,
bilamana A adalah matrik bujur
sangkar dimana, AT=A
CONTOH






































7
3
0
0
0
3
5
2
0
0
0
2
10
1
0
0
0
1
6
1
.
0
0
0
0
1
.
0
5
5
4
3
4
3
1
3
1
2
;
3
1
1
2
A
A
A
Matrik
tridiagonal

8. OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)
(1) Kesamaan, A=B
Matrik, A=[aij] dan B=[bij]
dikatakan sama ditulis A=B jika
hanya jika
(1)A dan B berukuran sama
(2)Setiap elemen yang seletak
nilainya sama, aij = aij ;
Contoh :





 








4
6
3
5
1
2
dan
6
4
3
5
1
2
B
A
A dan B berukuran sama (2x3),
tetapi AB, karena terdapat elemen
seletak nilainya tidak sama
(2) Perkalian dng skalar, kA
Perkalian matrik, A=[aij] dengan
skalar tak nol k ditulis kA,
didefinisikan bahwa setiap elemen A
dikalikan dengan konstanta tak nol k,
yakni :
kA=k[aij]= [kaij]
Contoh :
18
12
9
15
3
6
)
6
(
3
)
4
(
3
)
3
(
3
)
5
(
3
)
1
(
3
)
2
(
3
6
4
3
5
1
2
3
3A
6
4
3
5
1
2




























A

9. (3) Penjumlahan, A+B
(1)Matrik, A=[aij] dan B=[bij]
dikatakan dapat dijumlahkan
ditulis A+B bilamana A dan B
berukuran sama.
(2)Bilamana, A+B=C, maka
elemen matrik C diberikan,
cij = aij + bij
(elemen yang seletak
dijumlahkan)
OPERASI ARITMATIK MATRIK (2)
Contoh :
Diberikan :





































































26
0
5
11
1
12
8
18
12
12
4
9
4
15
2
3
8
4
8
12
4
4
2
8
18
12
9
15
3
4
4
6
2
2
1
4
2
-
6
4
3
5
1
2
3
2B
-
3A
:
maka
4
6
2
2
1
4
dan
6
4
3
5
1
2
B
A

10. OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)
(4) Perkalian Matrik, AB=C
(1)Matrik, A=[aij](m=n) dan
B=[bij](pxq) dikatakan dapat
dikalikan ditulis AB bilamana jumlah
kolom A dan jumlah baris B sama
[n=p].
(2) Bilamana, AB=C, maka matrik
C=[cij](mxq) dimana elemen cij
diberikan oleh :
nj
in
j
i
j
i
n
k
kj
ik
ij
b
a
b
a
b
a
b
a
c




 

...
2
2
1
1
1
(mxq)
(pxq)
(mxn) C
B
A 






































































6
4
3
5
1
2
1
3
4
2
6
1
BA
8
13
13
15
1
3
4
2
6
1
6
4
3
5
1
2
AB
maka
1
3
4
2
6
1
dan
6
4
3
5
1
2
B
A
Contoh : Diberikan :

11. Soal Latihan








































1
2
2
1
2
3
1
2
dan
1
3
2
2
2
1
4
1
;
3
2
4
2
1
3
).
1
( C
a
b
a
b
B
A
Hitunglah
(a). AB ; BC dan CA
(b). (AB)C = A(BC)
(c). (BC)(A)=B(CA)
(d). (CA)B = C(AB)


























































a
b
b
b
a
b
a
C
b
a
a
b
a
b
b
a
B
b
a
a
b
b
a
A
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2
3
2
1
;
2
4
4
2
3
1
).
2
(

12. DETERMINAN MATRIK
Fungsi determinan matrik bujur
sangkar A dinyatakan dengan
det(A)=|A|, didefinisikan sebagai
jumlahan hasil kali elementer
elemen-elemen bertanda A
Kasus n=1
A=[a], det(A) =|a| = a
Kasus n=2
10
)
6
(
4
1
2
-
3
4
bc
-
ad
det(A)
d
c
b
a
|
A
|
maka
,
d
c
b
a
A













Kasus, n=3, Metode Sarrus
32
31
22
21
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
|
A
|
:
|
A
|
det(A)
Sarrus,
metode
dengan
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A













(–) (–) (–) (+) (+) (+)
7
4
12
24
8
9
16
4
2
3
1
2
1
4
3
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
a
a
a
a
a
a
a
a
a
31
22
13
33
21
12
32
23
11
32
21
13
31
23
12
33
22
11














13. METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah
matrik bujur sangkar berordo (nxn).
(1). Minor elemen matrik A baris ke-
i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij
didefinisikan sebagai determinan
matrik berordo (n-1)x(n-1) yang
diperoleh dari A dengan cara
menghilangkan baris ke-I dan kolom
ke-j
(2). Kofaktor elemen matrik A baris
ke-i kolom ke-j ditulis C-ij
didefinisikan sebagai :
ij
j
i
ij M
C 

 )
1
(
CONTOH :











6
3
-
4
5
2
3
2
1
2
-
A
17
3
-
4
2
3
1)
(
M
)
1
(
C
:
untuk
dan
-12
(-1)(12)
M
(-1)
C
12
)
6
(
6
6
3
-
2
1
M
13
3
1
13
21
1
2
21
21
















M21 baris ke-2
dan kolom ke-1
dihilangkan

14. CONTOH : Minor













1
2
4
-
5
2
-
3
2
4
2
5
-
1
3
4
1
3
2
-
A













1
2
4
-
5
2
-
3
2
4
2
5
-
1
3
4
1
3
2
-
A
M23 determinan matrik berordo
(3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3
dari matrik A dihilangkan
M32 determinan matrik berordo
(3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2
dari matrik A dihilangkan
134
(-16)
-
12
-
40
-
(-64)
(-30)
(-4)
1
4
-
5
2
-
2
4
4
3
2
-
M23






149
(-8)
-
3
-
(-100)
-
24
0
1
10
1
2
5
2
5
-
3
4
1
2
-
M32






15. DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah
matrik bujur sangkar berordo (nxn),
dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor
elemen matrik A baris ke-i kolom
ke-j.
)
i
-
ke
baris
kofaktor
Ekspansi
(
C
a
...
C
a
C
a
n
1,2,...,
i
;
C
a
det(A)
).
2
(
oleh,
diberikan
A
matrik
determinan
2
n
Untuk,
a
a
|
A
|
det(A)
1,
n
Untuk
).
1
(
in
in
i2
i2
i1
i1
n
1
k
ik
ik
11
11













)
j
-
ke
kolom
kofaktor
Ekspansi
(
C
a
...
C
a
C
a
n
1,2,...,
j
;
C
a
det(A)
).
3
(
nj
nj
2j
2j
1j
1j
n
1
k
kj
kj





 

CONTOH
Hitung det (A)
dengan ekspansi
kofaktor
149
4(31)
1(-7)
-
-2(-9)
2
5
5
-
3
4
1
5
2
3
1
-
1
2
2
5
-
(-2)
M
a
M
a
-
M
a
C
a
C
a
C
a
1
2
5
2
5
-
3
4
1
2
-
det(A)
13
13
12
12
11
11
13
13
12
12
11
11












16. CONTOH
Hitunglah determinan matrik A
Ekspnasi kofaktor baris













4
1
6
5
3
2
4
4
5
4
2
3
7
6
1
2
A
19
()
7
()
6
()
()
2
1
6
5
2
4
4
4
2
3
7
-
4
6
5
3
4
4
5
2
3
6
4
1
5
3
2
4
5
4
3
1
-
4
1
6
3
2
4
5
4
2
2
M
a
-
M
a
M
a
-
M
a
C
a
C
a
C
a
C
a
det(A)
14
14
13
13
12
12
11
11
14
14
13
13
12
12
11
11













CONTOH
Hitunglah determinan matrik A
Ekspansi kofaktor kolom













4
1
6
5
3
2
4
4
5
4
2
3
7
6
1
2
A
19
6()
4()
-
2()
-1()
3
2
4
5
4
3
7
6
2
6
4
1
5
5
4
3
7
6
2
4
4
1
5
3
2
4
7
6
2
2
4
1
5
3
2
4
5
4
3
-1
M
a
M
a
-
M
a
M
-a
C
a
C
a
C
a
C
a
det(A)
42
42
32
32
22
22
12
12
42
42
32
32
22
22
12
12
















17. DETERMINAN : METODE CHIO
Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka :
a
a
a
a
...
a
a
a
a
a
a
a
a
...
a
a
a
a
...
...
a
a
a
a
...
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
a
a
a
a
a
a
a
a
)
(a
1
det(A)
nn
n1
1n
11
n2
n1
12
11
n2
n1
12
11
ij
i1
1j
11
3n
31
1n
11
33
31
13
11
32
31
12
11
2n
21
1n
11
23
21
13
11
22
21
12
11
2
-
n
11

Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan
dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula
menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.

18. CONTOH
Hitunglah, det(A) dari :
Jawab :
Karena, a11= –2, dan n=3, maka :











1
2
5
2
5
-
3
4
1
2
-
A
149
2
298
)
144
154
(
2
1
22
-
9
-
16
-
7
2
1
1
5
4
2
-
2
5
1
2
-
2
3
4
2
-
5
-
3
1
2
-
(-2)
1
det(A)
2
-
3
























4
1
6
5
3
2
4
4
5
4
2
3
7
6
1
2
A
CONTOH
Hitunglah, det(A) dari :
Jawab :
Karena, a11= 2, dan n=4, maka :
19
4
76
4
924
1000
50
42
22
20
4
1
)
77
27
(
)
70
28
(
)
44
22
(
)
40
20
(
)
1
(
1
x
4
1
27
28
7
22
20
4
11
10
1
4
1
35)
-
(8
30)
-
(2
5)
-
(12
28)
-
(6
24)
-
(4
4)
-
(8
21)
-
(10
18)
-
(8
3)
-
(4
(2)
1
det(A)
2
3
2
-
4
























19. SIFAT-SIFAT DETERMINAN
(1). Jika A matrik bujur sangkar
maka
det(A) = det(AT)
Contoh :






















6
2
3
1
5
4
4
3
2
A
6
1
4
2
5
3
3
4
2
A
T
Menurut sifat (1), maka :
det(A) = det(AT) = –42
(2). Jika A dan B adalah matrik bujur
sangkar yang berordo sama maka
det(AB) = det(A) det(B)
Contoh :
8
det(B)
60
det(A)
2
0
0
3
-
2
0
2
1
-
2
B
dan
6
0
2
0
5
1
0
0
2
A
























480
8
60
)
det(
)
det(
det(AB)
16
2
4
13
9
2
4
2
4
2
0
0
3
-
2
0
2
1
-
2
6
0
2
0
5
1
0
0
2
AB







































B
A

20. (3). Jika A matrik bujur sangkar yang
memuat baris atau kolom dimana
elemennya 0 atau sebanding, maka
det(A) = 0
Contoh :
SIFAT-SIFAT DETERMINAN






















0
2
3
0
5
4
0
3
2
A
6
1
4
0
0
0
3
4
2
A
Baris-2 matrik A
elemennya 0,
maka det(A)=0
Kolom-3 matrik
A elemennya 0,
maka det(A)=0
(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah)
yang berordo (nxn) dimana
elemen diagonal utama tak nol,
maka :
det(A) = a11a22a33 … ann
Contoh :













4
0
0
0
3
5
0
0
5
4
3
0
7
6
1
2
A
A matrik segitiga atas, maka :
det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120

21. (5). Jika A dan B matrik bujur
sangkar
yang berordo sama. Jika matrik B
diperoleh dari A dengan cara
mengalikan sembarang baris
(kolom) dengan konstanta k tak
nol, maka :
det(B) = k det(A)
Operasi elementarnya adalah :
Hi  k Hi : Baris ke-i baru =
kx baris ke-i lama
Kj  k Kj : Kolom ke-j baru =
kxkolom ke-j lama
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
CONTOH :






















18
3
12
6
4
2
3
4
2
B
6
1
4
3
2
1
3
4
2
A det(A)=21
H2  2 H2 k1= 2
H2  3 H2 k2=3
det(B) = k1 k2 det (A)
= (2) (3) 21
= 126

22. (6). Jika A dan B matrik bujur
sangkar
yang berordo sama. Jika matrik B
diperoleh dari A dengan cara
menukarkan semua elemen
sembarang baris (kolom) , maka :
det(B) = – det(A)
Operasi elementarnya adalah :
Hi  Hj : Baris ke-i baru =
baris ke-j lama
Ki  Kj : Kolom ke-i baru =
kolom ke-j lama
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
CONTOH :

































2
3
1
1
6
4
4
3
2
C
3
2
1
6
1
4
3
4
2
B
6
1
4
3
2
1
3
4
2
A
det(A)=21
H2  H3
K2  K3
det(B)= –det(A)
= –21
det(C)= –det(B)
= –(–21)=21

23. (7). Jika A dan B matrik bujur
sangkar
yang berordo sama. Jika matrik B
diperoleh dari A dengan cara
mengalikan sembarang baris
(kolom) dengan konstanta k tak
nol dan hasilnya dijumlahkan
pada baris (kolom) yang lain,
maka :
det(B) = det(A)
Operasi elementarnya adalah :
Hi  Hi+kHj :
Baris ke-i baru = Baris ke-i lama
+ k baris ke-j lama
Kj  Kj+k Kj :
Kolom ke-j baru = kolom ke-j
lama + k kolom ke-i lama
SIFAT-SIFAT DETERMINAN

































4
0
0
3
-
2
-
0
3
2
1
C
2
-
4
-
0
3
-
2
-
0
3
2
1
B
7
2
3
3
2
2
3
2
1
A
CONTOH :
a11 = pivot
a21 dan a31
direduksi menjadi
0
H2  H2 – 2 H1
H3  H3 – 3 H1
a22 = pivot
a32 = direduksi – 0
H3  H3 – 2H2
Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8

24. Matrik Awal
2 2 4 0 40
3 2 0 1
2 4 6 3
2 4 4 6
Iterasi 1 PIVOT = a11
2 2 4 0
0 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H1
0 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H1
0 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1
Iterasi 2 PIVOT=a22
2 2 4 0
0 -1 -6 1
0 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H2
0 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2
Iterasi 3 PIVOT=a33
2 2 4 0
0 -1 -6 1
0 0 -10 5
0 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3

25. Matrik Awal
2 4 8 8 8
4 4 6 8 2
4 4 7 7 5
4 8 14 14 8
2 2 6 9 12
CONTOH :
Iterasi 1
2 4 8 8 8 -64
0 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H1
0 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H1
0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H1
0 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1
Iterasi 2
2 4 8 8 8 -64
0 -4 -10 -8 -14
0 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H2
0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H2
0 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2
Iterasi3
2 4 8 8 8
0 -4 -10 -8 -14
0 0 1 -1 3
0 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H3
0 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3
Iterasi4
2 4 8 8 8
0 -4 -10 -8 -14
0 0 1 -1 3
0 0 0 -4 -2
0 0 0 0 -2
H5=H5-(a54/a44)H4

26. DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN
Matrik bujur sangkar A dikatakan
dapat didekomposisi, jika
terdapat matrik segitiga bawah L
dan matrik segitiga atas U
sedemikian rupa sehingga :
A = LU
Akibatnya :
det(A) = det(L) det (U)
CONTOH
24
)
det(
14
6
2
9
5
1
6
4
2
LU
A
1
0
0
2
1
0
3
2
1
U
;
4
2
2
0
3
1
0
0
2
L




































A
TEKNIK MENGHITUNG
DEKOMPOSISI, A=LU
(1)Metode Crout, mendekomposisi
matrik yang menghasilkan elemen
diagonal utama matrik segitiga atas U
adalah satu.
(2)Metode Doollite, mendekomposisi
matrik yang menghasilkan elemen
diagonal utama matrik segitiga bawah L
adalah 1
(3)Metode Cholesky mendekomposisi
matrik diagonal utama L dan U sama.
Metode ini hanya untuk matrik simetris.
(4)Metode Operasi Elementer,
mendekomposisi matrik menjadi
segitiga atas atau segitiga bawah

27. DEKOMPOSISI : METODE CROUT
Kasus n=3
Rumus perhitungannya :































33
32
31
23
22
21
13
12
11
23
13
12
33
32
31
22
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
0
0
u
1
0
u
u
1
l
l
l
0
l
l
0
0
l
23
32
13
31
33
33
22
13
21
23
23
12
31
32
32
12
21
22
22
11
13
13
11
12
12
31
31
21
21
11
11
:
5
Iterasi
:
4
Iterasi
;
:
3
Iterasi
;
:
2
Iterasi
;
;
:
1
Iterasi
u
l
u
l
a
l
l
u
l
a
u
u
l
a
l
u
l
a
l
a
a
u
a
a
u
a
l
a
l
a
l














Rumus umum untuk
mencari L dan U dengan
metode Crout adalah :
n
2,...,
j
j,
i
l
u
l
a
u
n
1,...,
i
i,
j
u
l
a
l
ii
1
i
1
k
ik
ik
ij
ij
1
j
1
k
kj
ik
ij
ij















28. 













16
2
4
13
9
2
4
2
4
A
CONTOH :
Hitunglah determinan matrik
berikut dengan metode
dekomposisi
Jawab :
1
4
4
5
.
0
-
4
2
-
:
2
Iterasi
4
;
2
;
4
:
1
Iterasi
13
12
31
21
11







u
u
l
l
l
12
0(-1.5)
-
4(1)
-
16
:
5
Iterasi
-1.5
10
2(1)
-
13
-
:
4
Iterasi
0
4(-0.5)
-
-2
;
10
(2)(-0.5)
-
9
:
3
Iterasi
33
23
32
22








l
u
l
l
480
U)
det(L)det(
det(A)
1
)
det(
1
0
0
1.5
-
1
0
1
0.5
-
1
U
480
)
12
)(
10
(
4
)
det(
12
0
4
0
10
2
0
0
4
L
Jadi,





























U
L

29. KASUS n=4 : METODE CROUT
Rumus iterasi perhitungannya adalah :





































44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
34
24
23
14
13
12
44
43
42
41
33
32
31
22
21
11
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
u
u
u
u
u
u
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
22
14
21
24
24
22
13
21
23
23
12
41
42
42
12
31
32
32
12
21
22
22
11
14
14
11
13
13
11
12
12
41
41
31
31
21
21
11
11
:
4
Iterasi
;
:
3
Iterasi
;
;
:
2
Iterasi
;
;
;
;
:
1
Iterasi
l
u
l
a
u
l
u
l
a
u
u
l
a
l
u
l
a
l
u
l
a
l
a
a
u
a
a
u
a
a
u
a
l
a
l
a
l
a
l

















34
43
24
42
14
41
44
44
33
24
32
14
31
34
34
23
42
13
41
43
43
23
32
13
31
33
33
:
7
Iterasi
:
6
Iterasi
:
5
Iterasi
u
l
u
l
u
l
a
l
l
u
l
u
l
a
u
u
l
u
l
a
l
u
l
u
l
a
l














30. CONTOH :
Hitunglah determinan matrik
berikut dengan metode
dekomposisi
Jawab :













6
4
4
2
3
6
4
2
1
0
2
3
0
4
2
2
A
2
)
1
(
2
4
2
)
1
(
2
4
;
1
)
1
(
3
2
:
3
Iterasi
0
2
0
;
2
2
4
;
1
2
2
:
2
Iterasi
;
2
;
2
;
3
;
2
:
1
Iterasi
42
32
22
14
13
12
41
31
21
11




















l
l
l
u
u
u
l
l
l
l
-1
(-1)
)
0
(3)(
-
1
u
6
(-1)
3(2)
-
0
u
:
4
Iterasi
24
23




2
12(0.5)
-
2(-1)
-
2(0)
-
6
:
7
Iterasi
5
.
0
10
2(-1)
-
2(0)
-
3
:
6
Iterasi
-12
2(6)
-
2(2)
-
4
-10
2(6)
-
2(2)
-
6
:
5
Iterasi
44
34
43
33








l
u
l
l


























1
0
0
0
0.5
1
0
0
1
-
6
1
0
0
2
1
1
U
;
2
12
2
2
0
10
2
2
0
0
1
-
3
0
0
0
2
L
Jadi,

31. DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE
Rumus umum untuk
mencari L dan U dengan
metode Doolittle adalah :
n
,...,
2
i
i,
j
u
u
l
a
l
n
1,...,
j
j,
i
u
l
a
u
ii
1
j
1
k
ik
ik
ij
ij
1
i
1
k
kj
ik
ij
ij














Kasus n=3
Rumus perhitungannya :































33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
23
22
13
12
11
32
31
21
a
a
a
a
a
a
a
a
a
u
0
0
u
u
0
u
u
u
1
l
l
0
1
l
0
0
1
23
32
13
31
33
33
22
12
31
32
32
13
21
23
23
12
21
22
22
11
31
31
11
21
21
13
13
12
12
11
11
:
5
Iterasi
l
:
4
Iterasi
u
;
:
3
Iterasi
;
l
:
2
Iterasi
;
;
u
:
1
Iterasi
u
l
u
l
a
u
u
u
l
a
u
l
a
u
l
a
u
a
a
l
a
a
a
u
a
u
a















32. KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE
Rumus iterasi perhitungannya adalah :





































44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
44
34
33
24
23
22
14
13
12
11
43
42
41
32
31
21
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
l
l
l
l
l
l
22
12
41
42
42
22
12
31
32
32
12
41
42
24
13
21
23
23
12
21
22
22
11
41
41
11
31
31
11
21
21
14
14
13
13
12
12
11
11
l
l
:
4
Iterasi
u
;
:
3
Iterasi
;
;
l
:
2
Iterasi
;
;
;
;
u
:
1
Iterasi
u
u
l
a
u
u
l
a
u
l
a
u
u
l
a
u
l
a
u
a
a
l
a
a
l
a
a
a
u
a
u
a
u
a

















34
43
24
42
14
41
44
44
33
23
42
13
41
43
43
24
32
14
31
34
34
23
32
13
31
33
33
:
7
Iterasi
:
6
Iterasi
u
u
:
5
Iterasi
u
l
u
l
u
l
a
u
u
u
l
u
l
a
l
u
l
u
l
a
u
l
u
l
a














33. TUGAS II,III dan IV



























3
a
1
a
3
b
1
b
1
a
1
a
1
b
1
b
1
b
2
b
1
a
2
a
1
b
b
a
1
a
A
Hitunglah det(A) dengan cara :
a.Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil)
b.Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap)
c.Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi
matrik segitiga)
d.Metode CHIO
e.Dekomposisi matrik (CROUT dan
Doolite)






































4
1
2
1
4
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
a
a
a
b
b
a
a
a
b
b
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
b
b
b
a
a
A
Hitunglah det (A) dengan
cara :
a)sifat-sifat determinan
b)Metode CHIO
c)Dekomposisi matrik
(Crout dan Doolite)