TEMA:PERDORIMI I NUMRAVE KOMPLEKS DHE NUMRAVE IMAGJINARE NE GJEOMETRI

1. UNIVERSITETI “ALEKSANDËR XHUVANI”
FAKULTETI I SHKENCAVETE NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI
MASTER I SHKENCAVE (M.Sc .)
TEMË DIPLOME
PËRDORIMI I NUMRAVE KOMPLEKS DHE NUMRAVE
IMAGJINARË NË GJEOMETRI
Punoi : Udheheqës shkencor:
Marjeta Tabaku Pr. Mehmet Ballkoçi
ELBASAN.2013

2.  Në gjeometrinë euklidjane janë provuar e vërtetuar shumë teorema e ushtrime.Për
veprimet numerike në to janë përdorur numrat realë... Shtrohet pyetja: A mund të
vërtetojmë teorema dhe të zgjidhim ushtrime në gjeometri duke pëdorur numrat kompleks dhe
imagjinarë?
 Ky punim përmban:
 në kapitullin e parë disa zbatime të njohurive për numrat kompleks dhe disa teorema të
vërteuara, nëpërmjet numrave kompleks e imagjinarë .
 Në kapitullin e dytë, sqarohen zbatime të numrit kompleks për rrethin dhe tufat e rrathëve
dhe konceptet polareve ndaj nje vije ose pike.
 Dhe kapitulli i tretë, trajton transformimet pikësore të shprehura me numra kompleks në
planin kompleks dhe zbatime të tyre…

3.  Numrat kompleks janë përgjithsim i numrit real të formuar me ndihmën e
një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas
përkufizimit e plotëson kushtin : i2= -1
 Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C dhe përfshin të gjithë
numrat e trajtës:
1. z= a + bi ku zakonisht shënojmë
2. a =Re(z) pjesën reale dhe
3. b= Im(z) pjesën imagjinare
 Çdo numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën
imagjinare e ka të barabartë me 0.
1. Kështu, numrat realë janë : a+ 0i=a , dhe
2. numrat imagjinarë janë: 0+bi=bi
 Zbatimi i numrit kompleks në gjeometri e fusha të tjera të matematikës
është shumë i rëndësishëm.

4. a)Trajta algjebrike e numrit kompleks është z= a+bi
I konjuguari i tij është: z =a-bi dhe
z∙z=a2+b2
b)Paraqitja gjeometrike e z=x+yi.
Moduli numrit kompleks r=
Argumenti i numrit kompleks
*Kështu numri kompleks z paraqitet si
një vektor gjatësia e të cilit është sa
moduli i numrit kompleks z.
*Në këtë mënyrë realizohet një bijeksion
për numrin kompleks dhe planin P
,Shënohet me M(x;y) afiksi i numrit
kompleks z=x+yi.
*I anasjellti i numrit kompleks është z -1=1/z
dhe plotëson kushtin z.z -1= 1
-z=-x-iy

5. * Teoremë :
Numri kompleks ,i konjuguari i tij dhe i kundërti i tij kanë të njëjtin modul.
Vërtetim:
Nga OR=OM dhe ON =OM marrim z = z dhe -z = z ,pra z = -z = z
M(x:y)
R(x;-y)N (-x;-y)

6.  Për secilin numër kompleks kemi : a= r cos
z= r(cos + isin )=a+bi
b r
O
Atëherë trajta trigonometrike shkruhet : z= r(cos + isin )
Shprehja me koordinata polare të koordinatave karteziane:
dhe i shënojmë M(r; ) :ku r –moduli dhe -argumenti i numrit kompleks z
x
y
z
a
; b=r sin

7.  Dhe trajta polare ose eksponenciale që quhet formula e Eulerit:
= ( + ) dhe z= r
*Formula e De Moivre për fuqizimin e numrit kompleks:
 *Nxjerrja e rrënjës së numrit kompleks del nga zgjidhja e ekuacionit të formës zn= .
 Dhe të gjitha zgjidhjet shkruhen ne trajtën e meposhtme:
k=0,1,2,3….n-1
Këto zgjidhje janë n numra që në planin kompleks i përkasin kulmeve të një n-këndëshi të rregullt të
brendashkruar në rrethin me rreze r dhe qendër pikën z=(0:o).

8. a) Gjeni të gjitha rrënjët me tregues 4 të numrit
16.
Zgjidhje
Shënojmë < => z4 =16 <=>
z4=16(cos 0 + i sin 0).
Zbatojmë formulën:
Atëherë kemi:
Ekuacioni z4 =16 ka 4 rrënjë, për k=0; k=1;
k=2 dhe k=3.
Gjeometrikisht ato janë kulme të katrorit të
brendashkruar rrethit merreze 2 njësi ,me
qendër në O(0,0)
z3
zo
z1
z2
y
x

9.  Veprimet me numrat kompleks interpretohen njësoj si veprimet me vektorë
Shembull1.1
*Mbledhja dhe zbritja e numrave kompleks
 Në figurë ato jepen si shuma dhe diferenca e dy vektorëve që janë diagonalet e paralelogramit të
formuar nga z1 e z 2. Y
Kështu : x
 Shuma e numrave kompleks z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i
 Diferenca e numrave kompleks z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i
• Shumzimi : z1•z2 = (a 1a2 - b1b2 ) + (a 1b2 + b1a2) i
• Pjestimi
 numrat kompleksë jane çifte të renditura (a,b) e (c,d) të cilat gëzojnë vetitë:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, b·c + a·d)
z1+z2
z2 z1- z2 z1

10. Shembull:1.3
 Të tregohet se nëse afikset e tre numrave kompleksë z 1 ,z 2 , z 3,shtrihen në një drejtëz ,
atëhere raporti = r është numër real.
z1 z2
x
 Zgjidhje:
Vektori = - = z2 -z1
Vektori = - = z3 –z2 .Vektorët MIM2 dhe M2M3 janë bashkëvijorë numrat
kompleks përkatës do të kenë të njëjtin argument pra:
z2 -z1 = r1 ( + ) z3 – z2 = r2 ( + )
Nëse r=1 kemi që z2 mes i segmentit (z 1 , z 3) :dhe në përgjithësi *
M1
M2
M3
y
z3

11. Shembull:1.4
 Të vërtetohet se mesoret e një
trekëndëshi priten në një pikë.
Zgjidhje:
 Le të jenë (a, b, c) kulmet e një trekëndëshi dhe
(a,m) mesorja që del nga kulmi a dhe skajin tjetër
në pikën m.Pika z ndan mesoren në raportin k :
kemi
Ky relacion tregon që a ,m ,z ndodhen ne një drejtëz
 për mesoren (b ,m1) kemi:
 Që të kemi z=z1 duhet dhe mjafton që:
ose
m – m1 = Por, m= , m1 =
 m – m1= , pra k=2, atëherë
 dhe
 Meqë ky barazim paraqet z që është
simetrike ndaj a, b, c,të tri mesoret e
trekëndëshit janë konkurente në pikën
z të caktuar në këtë mënyrë,pra ato
priten në një pikë pikërisht në pikën
z.
z
m1

12. Ekuacioni i drejtëzës në koordinata polare:
 Në drejtëzën d ndodhen vetëm ato pika që plotësojnë vetinë:projeksioni i OM mbi drejtëzën l
është i barabartë me p ON =p. (shih figurën )
Ku M pikë e d ,dhe (r, Ѳ ) kordinatat polare të saj, OP boshti polar,.p-largësia e drejtëzës nga
poli O, ON=p dhe l pingul me d.
d
raste të veçanta
d II OP atëherë : sepse
d pingul me OP : sepse
M(r,

13. Për katrorin ABCD me brinjë a ,duke marrë
kulmin A si pol dhe AB si bosht polar përcaktoni;
A)kordinatat polare të kulmeve e të qendrës E.
B)Ekuacinet e brinjëve e të diagonaleve.
Zgjidhje
Koordinatat polare të cdo pike janë:
A=(r, = (o;o)
B=(r, =(a ;o)
C=(r, =(a , п/4 )
D=(r, =(a; п/2 )
E=(r, = ( a /2; п/4 )
B)Ekuacionet e brinjëve dhe diagonaleve :
meqë kemi:
AB : =0 ,sepse AB është paralel me boshtin polar,
, p=0
AD: , sepse AD është pingul me boshtin
polar , p=0.
BC: , sepse p=a dheBC pingul me
boshtin polar .
DC: , sepse p=a dhe DC është paralel
me boshtin polar.
AC: , sepse p=0 dhe a = 0
DB: ) =

14. Në qoftë se pikat A B C D janë kulmet e renditura të një katërkëndëshi ciklik atëherë
është i vërtetë barazimi:
Vërtetim:
Nqs numrat kompleks z1,z2 ,z3 ,z4 përfaqsojnë kulmet e renditura A B C D
atëherë kemi :
( z1:z2 :z3 :z4 ) = , =r , ku r është një numër real negativ.
Ky barazim mund të shkruhet:
( )( ) = r ( )( ) ku r<0
*Rrethi i Eulerit
Rrethi me qendër mesin e segmentit me skaje prerjen e lartësive të trekëndëshit
dhe qendrën e rrethit të jashtëshkruar ,kalon nga 9 pika : meset e brinjëve ,këmbët e
lartësive dhe meset e segmenteve me skaje kulmet e trekëndëshit dhe prerjen e
lartësive të tij.

15. Marrim ortoqendrën O të trekëndëshit të dhënë si
origjinë të planit kompleks.Le të jenë z1 z2 z3 kulmet
e trekëndëshit të përfaqsuara nga numrat
kompleksë z1, z2 ,z3 .
Kemi: = r
Diagonalet e rombit janë pingule me nj- tj:
P1
m
z1
z2
z3
Nga përkufizimi i qendrës :
G: =
Ortoqendra jepet nga :
H :=
OG:OH = 1 : 3
Vija OGH quhet vija e Eulerit.
kemi :
P1= ; P2 = ; P3 =
o G N
H
P1
P2P3
W3
.

16. 1. Le të jenë dy drejtëza konkurente ox dhe ox1 ;a ,b dy pika në ox dhe a1,b1 dy pika në ox1 .kushti
që aa1 dhe bb1 të kenë të njëjtin drejtim është:
Vërtetim:
Supozojmë se:
Kushti i kolinearitetit të dy vektorëve shkruhet:
=
Barazimi merr formën:
)
Nga hipoteza b dhe b1, janë të
ndryshme,dhe barazimi I
mësipërm mund të shkruhet vetëm
kur K =k = k1,
Barazimi përfundimtar:

17. 2.1 Rrethi dhe numrat kompleks

18.  Nga një pikë a e planit të një rrethi O R heqim
një sekante arbitrare azz1. Të vërtetohet se
az.az1 është kostante e barabartë me d2- R2 , ku
d është largësia e pikës a nga qendra o.
 Zgjidhje
 Nëse marrim për origjinë të imagjinarëve
pikën a dhe për bosht real ax drejtëzën az
(të orientuar) ekuacioni i rrethit me qendër
o do të jetë :
 Ekuacioni i drejtëzës az do të jetë : z=x ;
 Pikat e përbashkëta të rrethit e te drejtëzës
në fjalë jepen nga ekuacioni: x2-x(zo+zo)+
d2-R2=0
x2-2xxo+ d2-R2=0
 Barazimi I fundit paraqet një ekuacion të
fuqisë së dytë me një ndryshore,nga
formula e Vietës ne mund të gjejmë që
prodhimi i rrënjëve të këtij ekuacioni është:
= d2-R2
 Pra az . az1= d2-R2 e cila është një
madhesi kostante
z z1
z- +d2-R2=0-

19. Polarja e një pike ndaj një rrethi
 Dy pika P,Q quhen të konjuguara ndaj një rrethi (O,R) në qoftë se rrethi me diametër
PQ është pingul me rrethin (O,R).
Përkufizim:Le të marrim për origjinë të numrave kompleksë qendrën O të rrethit ,dhe
le të jetë p një pikë e dhënë dhe z një e konjuguar e saj e çfarëdoshme .Quhet
polare e pikës p ndaj rrethit (O,R),vendi gjeometrik i pikës z .
 Ekuacioni i rrethit ( O,R) është: - = 0
 Dhe fuqia e qendrës së rrethit me diametër pz është:
R
Q
P

20. Nëse marrim polaren e një pike p ndaj rrethit(O,R) ekuacioni i polares
shkruhet:
(1)
Për një vijë k`që përshkruhet nga p,drejtëza (1) e mbështjell
këtë vijë .Duke zbatuar njohuritë për polaren gjendet
ekuacioni parametrik i vijës k që është vija reciproke e vijës
k`p=p(t) (t parametër real) dhe jepet me ekuacionin (2) ,ku
p`=dpdt.
(2)

21. 2.4
TUFË
RRATHËSH
Nëse marrim parasysh një reper ortonormal xoy dhe
bashkësinë e rrathëve që jepet nga formula (1):
Ku p = kostante ,reale .Qendra reale e rrathëve është x
dhe rrezja R.Kemi që:
Bashkësia (1) e varur nga një parametër quhet një tufë
rrathësh me bazë ox dhe bosht oy.Të gjithë këta rrathë të
marrë dy nga dy kanë për bosht radikal oy , mbasi o,ndaj
secilit rreth ka të njejtën fuqi,që është kostantja p.

22. Shohim një rast të tillë.
1. Kur p<0 .Fuqia e pikës o ndaj rrethit (1) duke qënë më e vogël se se 0 ,pika o i përket (1), pra ky rreth
pret oy në dy pika A ,A` të barabarta me rrënjët e ekuacionit: p=0
Pikat A, A`quhen pika kryesore të tufës dhe i kanë kordinatat A(0; dhe A`(0; -
Të gjithë rrathët e tufës kalojnë nga pikat A, A`;themi që tufa formohet prej rrathësh sekantë ose prerës.
2. Kur p=0 rrathët e tufës janë tangentë
3. Kur p>0 ata nuk janë sekantë
x
y
A
A`
xo

23. Nga çdo pikë e planit kalon përgjithësisht një rreth i tufës dhe vetëm një .
Vërtetim:
Le të marrim një pike a . Që një rreth i tufës (1) të kalojë tek pika a ,duhet dhe mjafton që :
Duke patur kështu qendrën të rrethit të kërkuar ,rrezja e tij do të përcaktohet
nga lidhja:
* Teoremë 2.2 Një pikë limite ka të njëjtën polare ndaj çdo rrethi të tufës
Vërtetim
Nisemi nga ekuacioni i polares së një pike p ndaj një rrethi (zo,R)
Polarja e një pike limite b= ndaj një rrethi arbitrar të tufës F:
Ky ekuacion nuk varet nga rrethi (2) dhe vëmë re se kjo polare është pingulja e
hequr nga pika tjetër limite b`= mbi bazën ox.

24. 3.1Formulat e transformimeve pikësore
1.Translacioni paraqitet me barazimin : Z`=Z + V,
ku v është afiksi i një vektori të dhënë dhe shënohet me simbolin ose v.
2. Rrotullimi me qendër zo dhe kënd jepet nga barazimi; z`=z +p; p zo( 1-
) ose z`=z + zo( 1- )
3.Homotetiame qendër z0 dhe me raport k ,real jepet nga barazimi: z`=k z + p, p
s(1-k)
4. Inversioni me qendër zo dhe me fuqi k,reale paraqitet me relacionin:,
5.Formula e ndërrimit të rreperit ortonormal:•Përkufizim .3 .5
Çdo zhendosje kalon pikën në pikë ,drejtëzën në drejtëz dhe ruan incidencën e
pikës me drejtëzën ,domethënë një pikë e një drejtëze transformohet në një pikë
të drejtëzës së transformuar.

25. *Zbatim 3.1
Të gjendet natyra e prodhimit të tri transformineve që vijojnë edhe
elementët karakteristike të tij. 1)translacion v : 2)rrotullim (zo, ) 3)një
translacion –v.
Zgjidhje
Marrim si origjinë të numrave kompleksë qendrën zo ,dhe le të marrim z një pikë
arbitrare të planit .Shënojmë me:
z` pikën shëmbëllim në transformimin 1)
z``shëmbëllimin e z` në transformimin 2)
z```shëmbëllimin e z`` në transformimin 3) ,kështu kemi që :
z`= z +v (1) ; z``= z` (z0, ) (2); z```= z``- v = z +v( - 1) (3)
Relacioni (3) tregon formulën e transformimit përfundimtar .Ky relacion tregon një rrotullim me kënd dhe
qendër të tillë që : ) = V( - 1 ) ose = -V.
Pra , prodhimi i të tri transformimeve të dhëna është një rrotullim me kënd dhe qendër –v.
Xo
x
z`
z
z ``
z```