-perkufizimi i numrit kompleks -Si mund te shprehet numri kompleks ne menyra te ndryshme - perdorime te numrave komplekse -shpjegim te qarte te ketyre numrave

1. PROJEKT
Lenda: Matematike e Avancuar
Tema; Numri kompleks

2. OBJEKTIVAT
 Te dime te perkufizojme numrin kompleks, formen e tyre dhe
te kryejme veprime te thjesha ( x ; / ; + ; -- )
 Te dime se si mund te shprehet numri kompleks ne menyra te
ndryshme duke e ilustruar me shembuj.
 Te dime se ku gjejne perdorim numrat komplekse, shkencat
qe kane lidhje me te.
 Te dime ti shpjegojme qarte dhe ne menyre te thjeshte keto
perdorime.
 Synimi: Te rritet fryma e bashkepunimit ne grup dhe
veprimtaria te shendrrohet si nje menyre interesante per te
thelluar njohurite.

3. CFARE ESHTE NUMRI KOMPLEKS DHE NGA LINDI?
 Numri kompleks eshte numri i trajtes a+bi , ku a,b jane numra te
bashkesise R dhe i eshte pjesa imagjinare.
 Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo
Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të
shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe
pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael
Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi
matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit
kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e
kuaternioneve.

4. NUMRI KOMPLEKS ESHTE NJE KOMBINIM I NUMRAVE
REALE DHE IMAGJINARE, I TRAJTES
 Numri kompleks eshte nje kombinim i numrave reale dhe imagjinare ne trajten a+bi
, ku a dhe b bejne pjese ne bashkesine R
 Qe ta kuptojme me qarte se cfare domethenie ka numri kompleks , fillimisht duhet
qe te qartesojme kuptimin mbi numrat real , katrorin e tyre etj.
 Numrat real ne mund t’i shumezojme me veten dhe prej tyre marrim nje rezultat qe
eshte gjithmone (+) ose (0)
2 x 2 = 4
0 x 0 =0
(-2) x (-2) = 4
 Por cfare numri duhet ta shumzojme me veten qe te marrim (-4)?
? x ? = (-4)
 Nga ketu kuptojme qe matematika ishte e paplote dhe lindi nevoja qe te
imagjinonim per nje numer i cili kur te ngrihej ne katror te jepte numer negativ. Ky
numer do te shenohej i dhe me marreveshje dolen ne kete perfundim :i2=(-1)
Dhe: 2i x 2i = 4 i2=4(-1)= (-4)

5. MBLEDHJA ,ZBRITJA , SHUMEZIMI DHE PJESTIMI
 Mbledhja e dy numrave komplekse ( pjesa reale e numrit te pare mbidhet me pjesen
reale te numrit te dyte, dhe pjesa imagjinare e numrit te pare mblidhet me pjesen
imagjinare te numrit te dyte). Keshtu veprojme perkatesisht edhe me zbritjen.
Dmth: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Shembull: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
 Zbritja: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Shembull: (3 + 2i) - (1 + 7i) = (2 - 5i)
 Shumezimi: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2
Shembull: (3 + 2i)(1 + 7i) =3*1 +3*7i + 2i*1 +2*7i2
= 3 +21i + 2i + 14i2 = 3 + 23i - 14
= (-11) + 23 i
 Pjestimi: Qe te pjestojme dy numra komplekse fillimisht kete pjestim e shprehim ne
trajte thyesore dhe me pas gjejme te konjugaren e emeruesit, me pas e shumezojme me
te konjugaren edhe emeruesin edhe numeruesin.

6. 5 VETITE E NUMRAVE KOMPLEKSE
 Vetia e nderrimit : Z1+Z2 = Z2+Z1
 Vetia e shoqerimit: (Z1+Z2)+Z3 = Z1+(Z2+Z3)
 Vetia e nderrimit per shumezimin: Z1xZ2 = Z2xZ1
 Vetia e shoqerimit per shumezimin: (Z1xZ2)xZ3 = Z1x(Z2xZ3)
 Vetia shperndarese: (Z1+Z2)xZ3 = Z3xZ2+Z3xZ1
Por si duhet te veprojme/zevendesojme kur i eshte ne grade me te
madhe se 2 ?!?!?!?
i × i = −1,
Me pas −1 × i = -i,
Me pas −i × i = 1,
Dhe 1 × i = i
Keshtu u kthyem ne fillimi te ciklit
1
3 2
4
Psh: i6=i4 × i2 =1 × −1 =−1

7. BOSHTI DHE RRJETI KOORDINATIV
 Cdo numer real dhe pike ka nje vendodhje ne bosht dhe rrjetin koordinativ
perkatesisht.
 Psh. kane nje vendodhje te sakte ne bosht.
 Apo pikat (-5;6) dhe (3;2).
 Por ku duhet ti vendosim numrat komplekse ?!?!?!

8. RRJETI KOMPLEKS
 Duke qene se numrat kompleks nuk mund ti vendosim as ne bosht e as ne rrjetin
kordinativ, atehere serish lindi nevoja per te ndertuar nje rrjet ku te mund ti vendosnim
keta numra.
 Keshtu u krijua rrjeti kompleks ku boshti i numrave real perkon me boshtin e x ( te
rrjeti koodrinativ) dhe boshti i numrave imagjinare perkon me boshtin e y ( te rrjeti
koodrinativ) .
 Keshtu nr.kompleks 3 + 4i vendoset 3 njesi ne te djathte , pergjate boshtit te nr reale
dhe 4 njesi lart , pergjate boshtit te nr imagjinare.
 Ne te njejten menyre veprojme edhe me nr 4 – 2i

9. NUMRI KOMPLEKS SI VEKTOR
 Ky eshte nje vektor i cili ka nje gjatesi te caktuar dhe drejtim.
 Dhe ja nje numer kompleks ( 3 + 4i ) i shprehur ne menyre vektoriale.
 Ne kete grafik mund te shtojme edhe nje vektor tjeter ( 4 – 3i ), dhe te
gjejme vektorin shume. ( 3 + 5i ) + ( 4 – 3i ) = ( 3 +4 ) + ( 5 – 3 )i = 7 + 2i
 Gjatesia e vektorit shenohet me r

10. NUMRI KOMPLEKS SI TREGUES I NJE KENDI
 Pervecse si nje vektor ( 3 + 4i ) , numri kompleks tregon edhe nje kend te
caktuar te shprehur ne radian.
ǀ ǀ ǀ
Trajta trigonometrike

11. NUMRAT KOMPLEKS NE ELEKTRICITET
 Numrat kompleks gjejne perdorim edhe ne elektricitet por ne nje
menyre qe ndoshta eshte e studiuar vetem ne fakultete.
 Numrat kompleks ne qarkun elektrik shenohen ne trajten Z=a+bj ku
i=j. Arsyeja se perse e shenojme me j eshte se me i shenojme
intensitetin qarkor.
E = I • Z
Tensioni i brendshem i qarkut
Rezistenca e plote e brendshme
Intensiteti
Tensioni ne pjesen e brendshme(brenda qarkut) eshte E=45+j10 volt dhe
rezistenca e brendshme Z=3+j4 om. Sa eshte intensiteti?
Zgjidhja:E = I • Z
45 + j10 = I • (3 + j4)
amper

12. KOMPJUTERI DHE NUMRAT KOMPLEKS?
 Kompjuteri: Te gjithe e dime qe koompjuterat punojne ne baze te algoritmave
dhe rregullave te ndryshme nga ato qqe ne dime. Psh: nr 8 ne sistemin binar
te tij eshte 1000. Por fotot qe jane te dukshme per ne si shihen nga
komjuteri? Si realizohen ato?
 Kompjuteri i njeh fotot nepermjet sistemit DCT ( Discrete complex transform)
(transformimi diskret i nr kompleks). Cdo foto qe ndodhet ne internet nga
kompjuteri nepermjet algoritmave te numrave kompleks. Pra fotot nuk jane
gje tjeter vecse nje perkthim i ekuacioneve te numrave kompleks.

13. PIANOJA ELEKTRONIKE
 Imagjinoni nje piano elektrike. Cdo tast jep/prodhon nje tingull me vete. Butoni
i volumit ndryshon aplitude te tegjithe tastet ne te njejten menyre dhe force.
Kjo eshte menyra e ndikimit te numrave reale ne piano.
 Tani le te imagjinojme nje filter, ku disa taste te krijojne nje tingull me te forte e
te larte e disa taste te tjere te prodhojne nje tingull me te bute ne varesi te
frekuences. Ky eshte efekti i numrave komplekse, i cili te lejon nje “dimension
ekstra” ne perllogaritjen e tingujve.
 I gjithe ky sistem eshte i ndertuar te numrat komplekse. Kjo gje tashme eshte
teper e perdorshme nga DJ qe bejne alternime tingujsh.

14. POR NQS CDO PIKE E FOTOS SE MEPARSHME NDRYSHON NE BAZE TE
FORMULAVE PERKATESE.FOTOJA NDRYSHOHET NE KETE FORMA

15. SETI MANDELBROT
 Fotoja interesante e mesiperme nuk eshte gje
tjeter vecse nje nje zbatim i funksionit
kompleks. Ndryshe nga ato grafike qe ne jemi
mesuar te shohim ky grafik eshte teper i
vecante per shkak te simetrise absolute qe ajo
krijon.(fotot jane punuar ne programe
kompjuterike).
 Ky eshte funksioni ne te cilin eshte nderuar ky
sistem/foto.
 Pjesa me ngjyre tregon se sa shpejt rritet
funkksioni , ndersa ngjyra e zeze tregon nje
game te caktuar boshe , nje hapsire ku vlerat
nuk arrihen.