SlideShare a Scribd company logo
1 of 15
PROJEKT
Lenda: Matematike e Avancuar
Tema; Numri kompleks
OBJEKTIVAT
 Te dime te perkufizojme numrin kompleks, formen e tyre dhe
te kryejme veprime te thjesha ( x ; / ; + ; -- )
 Te dime se si mund te shprehet numri kompleks ne menyra te
ndryshme duke e ilustruar me shembuj.
 Te dime se ku gjejne perdorim numrat komplekse, shkencat
qe kane lidhje me te.
 Te dime ti shpjegojme qarte dhe ne menyre te thjeshte keto
perdorime.
 Synimi: Te rritet fryma e bashkepunimit ne grup dhe
veprimtaria te shendrrohet si nje menyre interesante per te
thelluar njohurite.
CFARE ESHTE NUMRI KOMPLEKS DHE NGA LINDI?
 Numri kompleks eshte numri i trajtes a+bi , ku a,b jane numra te
bashkesise R dhe i eshte pjesa imagjinare.
 Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo
Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të
shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe
pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael
Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi
matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit
kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e
kuaternioneve.
NUMRI KOMPLEKS ESHTE NJE KOMBINIM I NUMRAVE
REALE DHE IMAGJINARE, I TRAJTES
 Numri kompleks eshte nje kombinim i numrave reale dhe imagjinare ne trajten a+bi
, ku a dhe b bejne pjese ne bashkesine R
 Qe ta kuptojme me qarte se cfare domethenie ka numri kompleks , fillimisht duhet
qe te qartesojme kuptimin mbi numrat real , katrorin e tyre etj.
 Numrat real ne mund t’i shumezojme me veten dhe prej tyre marrim nje rezultat qe
eshte gjithmone (+) ose (0)
2 x 2 = 4
0 x 0 =0
(-2) x (-2) = 4
 Por cfare numri duhet ta shumzojme me veten qe te marrim (-4)?
? x ? = (-4)
 Nga ketu kuptojme qe matematika ishte e paplote dhe lindi nevoja qe te
imagjinonim per nje numer i cili kur te ngrihej ne katror te jepte numer negativ. Ky
numer do te shenohej i dhe me marreveshje dolen ne kete perfundim :i2=(-1)
Dhe: 2i x 2i = 4 i2=4(-1)= (-4)
MBLEDHJA ,ZBRITJA , SHUMEZIMI DHE PJESTIMI
 Mbledhja e dy numrave komplekse ( pjesa reale e numrit te pare mbidhet me pjesen
reale te numrit te dyte, dhe pjesa imagjinare e numrit te pare mblidhet me pjesen
imagjinare te numrit te dyte). Keshtu veprojme perkatesisht edhe me zbritjen.
Dmth: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Shembull: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
 Zbritja: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Shembull: (3 + 2i) - (1 + 7i) = (2 - 5i)
 Shumezimi: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2
Shembull: (3 + 2i)(1 + 7i) =3*1 +3*7i + 2i*1 +2*7i2
= 3 +21i + 2i + 14i2 = 3 + 23i - 14
= (-11) + 23 i
 Pjestimi: Qe te pjestojme dy numra komplekse fillimisht kete pjestim e shprehim ne
trajte thyesore dhe me pas gjejme te konjugaren e emeruesit, me pas e shumezojme me
te konjugaren edhe emeruesin edhe numeruesin.
5 VETITE E NUMRAVE KOMPLEKSE
 Vetia e nderrimit : Z1+Z2 = Z2+Z1
 Vetia e shoqerimit: (Z1+Z2)+Z3 = Z1+(Z2+Z3)
 Vetia e nderrimit per shumezimin: Z1xZ2 = Z2xZ1
 Vetia e shoqerimit per shumezimin: (Z1xZ2)xZ3 = Z1x(Z2xZ3)
 Vetia shperndarese: (Z1+Z2)xZ3 = Z3xZ2+Z3xZ1
Por si duhet te veprojme/zevendesojme kur i eshte ne grade me te
madhe se 2 ?!?!?!?
i × i = −1,
Me pas −1 × i = -i,
Me pas −i × i = 1,
Dhe 1 × i = i
Keshtu u kthyem ne fillimi te ciklit
1
3 2
4
Psh: i6=i4 × i2 =1 × −1 =−1
BOSHTI DHE RRJETI KOORDINATIV
 Cdo numer real dhe pike ka nje vendodhje ne bosht dhe rrjetin koordinativ
perkatesisht.
 Psh. kane nje vendodhje te sakte ne bosht.
 Apo pikat (-5;6) dhe (3;2).
 Por ku duhet ti vendosim numrat komplekse ?!?!?!
RRJETI KOMPLEKS
 Duke qene se numrat kompleks nuk mund ti vendosim as ne bosht e as ne rrjetin
kordinativ, atehere serish lindi nevoja per te ndertuar nje rrjet ku te mund ti vendosnim
keta numra.
 Keshtu u krijua rrjeti kompleks ku boshti i numrave real perkon me boshtin e x ( te
rrjeti koodrinativ) dhe boshti i numrave imagjinare perkon me boshtin e y ( te rrjeti
koodrinativ) .
 Keshtu nr.kompleks 3 + 4i vendoset 3 njesi ne te djathte , pergjate boshtit te nr reale
dhe 4 njesi lart , pergjate boshtit te nr imagjinare.
 Ne te njejten menyre veprojme edhe me nr 4 – 2i
NUMRI KOMPLEKS SI VEKTOR
 Ky eshte nje vektor i cili ka nje gjatesi te caktuar dhe drejtim.
 Dhe ja nje numer kompleks ( 3 + 4i ) i shprehur ne menyre vektoriale.
 Ne kete grafik mund te shtojme edhe nje vektor tjeter ( 4 – 3i ), dhe te
gjejme vektorin shume. ( 3 + 5i ) + ( 4 – 3i ) = ( 3 +4 ) + ( 5 – 3 )i = 7 + 2i
 Gjatesia e vektorit shenohet me r
NUMRI KOMPLEKS SI TREGUES I NJE KENDI
 Pervecse si nje vektor ( 3 + 4i ) , numri kompleks tregon edhe nje kend te
caktuar te shprehur ne radian.
ǀ ǀ ǀ
Trajta trigonometrike
NUMRAT KOMPLEKS NE ELEKTRICITET
 Numrat kompleks gjejne perdorim edhe ne elektricitet por ne nje
menyre qe ndoshta eshte e studiuar vetem ne fakultete.
 Numrat kompleks ne qarkun elektrik shenohen ne trajten Z=a+bj ku
i=j. Arsyeja se perse e shenojme me j eshte se me i shenojme
intensitetin qarkor.
E = I • Z
Tensioni i brendshem i qarkut
Rezistenca e plote e brendshme
Intensiteti
Tensioni ne pjesen e brendshme(brenda qarkut) eshte E=45+j10 volt dhe
rezistenca e brendshme Z=3+j4 om. Sa eshte intensiteti?
Zgjidhja:E = I • Z
45 + j10 = I • (3 + j4)
amper
KOMPJUTERI DHE NUMRAT KOMPLEKS?
 Kompjuteri: Te gjithe e dime qe koompjuterat punojne ne baze te algoritmave
dhe rregullave te ndryshme nga ato qqe ne dime. Psh: nr 8 ne sistemin binar
te tij eshte 1000. Por fotot qe jane te dukshme per ne si shihen nga
komjuteri? Si realizohen ato?
 Kompjuteri i njeh fotot nepermjet sistemit DCT ( Discrete complex transform)
(transformimi diskret i nr kompleks). Cdo foto qe ndodhet ne internet nga
kompjuteri nepermjet algoritmave te numrave kompleks. Pra fotot nuk jane
gje tjeter vecse nje perkthim i ekuacioneve te numrave kompleks.
PIANOJA ELEKTRONIKE
 Imagjinoni nje piano elektrike. Cdo tast jep/prodhon nje tingull me vete. Butoni
i volumit ndryshon aplitude te tegjithe tastet ne te njejten menyre dhe force.
Kjo eshte menyra e ndikimit te numrave reale ne piano.
 Tani le te imagjinojme nje filter, ku disa taste te krijojne nje tingull me te forte e
te larte e disa taste te tjere te prodhojne nje tingull me te bute ne varesi te
frekuences. Ky eshte efekti i numrave komplekse, i cili te lejon nje “dimension
ekstra” ne perllogaritjen e tingujve.
 I gjithe ky sistem eshte i ndertuar te numrat komplekse. Kjo gje tashme eshte
teper e perdorshme nga DJ qe bejne alternime tingujsh.
POR NQS CDO PIKE E FOTOS SE MEPARSHME NDRYSHON NE BAZE TE
FORMULAVE PERKATESE.FOTOJA NDRYSHOHET NE KETE FORMA
SETI MANDELBROT
 Fotoja interesante e mesiperme nuk eshte gje
tjeter vecse nje nje zbatim i funksionit
kompleks. Ndryshe nga ato grafike qe ne jemi
mesuar te shohim ky grafik eshte teper i
vecante per shkak te simetrise absolute qe ajo
krijon.(fotot jane punuar ne programe
kompjuterike).
 Ky eshte funksioni ne te cilin eshte nderuar ky
sistem/foto.
 Pjesa me ngjyre tregon se sa shpejt rritet
funkksioni , ndersa ngjyra e zeze tregon nje
game te caktuar boshe , nje hapsire ku vlerat
nuk arrihen.

More Related Content

What's hot

Statistike dhe probabilitet
Statistike dhe probabilitetStatistike dhe probabilitet
Statistike dhe probabilitetMelissa Cani
 
provimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematikeprovimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematikeaulenc gjini
 
Matricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matricaMatricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matricaFaton Hyseni
 
Funksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshmeFunksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshmematildad93
 
Tabela e Integraleve
Tabela e IntegraleveTabela e Integraleve
Tabela e IntegraleveRukolli
 
Trupat e rrotullimit
Trupat e rrotullimitTrupat e rrotullimit
Trupat e rrotullimitani salla
 
Energjia, llojet dhe perdorimi
Energjia, llojet dhe perdorimiEnergjia, llojet dhe perdorimi
Energjia, llojet dhe perdorimiBlerinaMuobega
 
Mjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokalMjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokalolinuhi
 
Provimi i lirimit 2014 Matematike
Provimi i lirimit 2014 MatematikeProvimi i lirimit 2014 Matematike
Provimi i lirimit 2014 MatematikeHelio RAMOLLARI
 
Fizika ne jeten e perditshme
Fizika ne jeten e perditshmeFizika ne jeten e perditshme
Fizika ne jeten e perditshmeAn An
 
Numrat e thjeshrte dhe te perbere.
Numrat e thjeshrte dhe te perbere.Numrat e thjeshrte dhe te perbere.
Numrat e thjeshrte dhe te perbere.Tefik Rika
 
Inxhinieringu gjenetik
Inxhinieringu gjenetikInxhinieringu gjenetik
Inxhinieringu gjenetikArdian Hyseni
 
Projekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne Shqiperi
Projekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne ShqiperiProjekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne Shqiperi
Projekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne ShqiperiMarinela Abedini
 
Funksioni
FunksioniFunksioni
Funksionikoralda
 
funksioni
funksioni funksioni
funksioni koralda
 
Limiti i Funksionit USHTRIME
Limiti i Funksionit USHTRIMELimiti i Funksionit USHTRIME
Limiti i Funksionit USHTRIMELiridon Muqaku
 
Rregulla e thjeshtë e treshit
Rregulla e thjeshtë e treshitRregulla e thjeshtë e treshit
Rregulla e thjeshtë e treshitAdelina Fejzulla
 
Dituri natyre
Dituri natyreDituri natyre
Dituri natyrekaltersi
 

What's hot (20)

Statistike dhe probabilitet
Statistike dhe probabilitetStatistike dhe probabilitet
Statistike dhe probabilitet
 
Syprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshitSyprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshit
 
provimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematikeprovimi i lirimit 2018 matematike
provimi i lirimit 2018 matematike
 
Matricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matricaMatricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matrica
 
Funksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshmeFunksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshme
 
Tabela e Integraleve
Tabela e IntegraleveTabela e Integraleve
Tabela e Integraleve
 
Trupat e rrotullimit
Trupat e rrotullimitTrupat e rrotullimit
Trupat e rrotullimit
 
Energjia, llojet dhe perdorimi
Energjia, llojet dhe perdorimiEnergjia, llojet dhe perdorimi
Energjia, llojet dhe perdorimi
 
Mjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokalMjedisi yne-lokal
Mjedisi yne-lokal
 
Provimi i lirimit 2014 Matematike
Provimi i lirimit 2014 MatematikeProvimi i lirimit 2014 Matematike
Provimi i lirimit 2014 Matematike
 
Fizika ne jeten e perditshme
Fizika ne jeten e perditshmeFizika ne jeten e perditshme
Fizika ne jeten e perditshme
 
Numrat e thjeshrte dhe te perbere.
Numrat e thjeshrte dhe te perbere.Numrat e thjeshrte dhe te perbere.
Numrat e thjeshrte dhe te perbere.
 
Inxhinieringu gjenetik
Inxhinieringu gjenetikInxhinieringu gjenetik
Inxhinieringu gjenetik
 
Projekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne Shqiperi
Projekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne ShqiperiProjekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne Shqiperi
Projekt Kimi - Burime te hidrokarbureve ne Shqiperi
 
Funksioni
FunksioniFunksioni
Funksioni
 
funksioni
funksioni funksioni
funksioni
 
Limiti i Funksionit USHTRIME
Limiti i Funksionit USHTRIMELimiti i Funksionit USHTRIME
Limiti i Funksionit USHTRIME
 
Rregulla e thjeshtë e treshit
Rregulla e thjeshtë e treshitRregulla e thjeshtë e treshit
Rregulla e thjeshtë e treshit
 
Algoritmet
AlgoritmetAlgoritmet
Algoritmet
 
Dituri natyre
Dituri natyreDituri natyre
Dituri natyre
 

Viewers also liked

ushtrime matlab
ushtrime matlab ushtrime matlab
ushtrime matlab Burim Guri
 
Historia e zhvillimit te matematikes
Historia e zhvillimit te matematikesHistoria e zhvillimit te matematikes
Historia e zhvillimit te matematikesXhuliana Haxhiu
 
Matematika ne jeten e perditshme
Matematika ne jeten e perditshmeMatematika ne jeten e perditshme
Matematika ne jeten e perditshmeAna Ana
 
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshmeProjekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshmesidorelahalilaj113
 
Projekt matematike
Projekt matematike Projekt matematike
Projekt matematike XhuLia Muca
 
Trupat gjeometrik
Trupat gjeometrikTrupat gjeometrik
Trupat gjeometrikEsmer Alda
 
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionetLigjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionetcoupletea
 
Matematika 4
Matematika 4Matematika 4
Matematika 4coupletea
 
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9Ferit Fazliu
 
Struktura e punimit te diplomes
Struktura e punimit te diplomesStruktura e punimit te diplomes
Struktura e punimit te diplomesXh MedicalTeam
 
MIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbers
MIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbersMIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbers
MIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbersLawrence De Vera
 
комлексни броеви
комлексни броевикомлексни броеви
комлексни броевиGordana Nikolovska
 
Marjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdMarjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdmarjeta tabaku
 

Viewers also liked (20)

Historia e numrit
Historia e numritHistoria e numrit
Historia e numrit
 
ushtrime matlab
ushtrime matlab ushtrime matlab
ushtrime matlab
 
Historia e zhvillimit te matematikes
Historia e zhvillimit te matematikesHistoria e zhvillimit te matematikes
Historia e zhvillimit te matematikes
 
Matematika ne jeten e perditshme
Matematika ne jeten e perditshmeMatematika ne jeten e perditshme
Matematika ne jeten e perditshme
 
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshmeProjekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
 
Projekt matematike
Projekt matematike Projekt matematike
Projekt matematike
 
Projekt Matematike
Projekt MatematikeProjekt Matematike
Projekt Matematike
 
Trupat gjeometrik
Trupat gjeometrikTrupat gjeometrik
Trupat gjeometrik
 
Projekt Kendet
Projekt KendetProjekt Kendet
Projekt Kendet
 
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionetLigjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
 
Matematike
Matematike Matematike
Matematike
 
Matematika 4
Matematika 4Matematika 4
Matematika 4
 
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
 
Struktura e punimit te diplomes
Struktura e punimit te diplomesStruktura e punimit te diplomes
Struktura e punimit te diplomes
 
MIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbers
MIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbersMIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbers
MIT Math Syllabus 10-3 Lesson 5: Complex numbers
 
комлексни броеви
комлексни броевикомлексни броеви
комлексни броеви
 
Tik dhe kompjuteri
Tik dhe kompjuteriTik dhe kompjuteri
Tik dhe kompjuteri
 
Kompjuteri
Kompjuteri Kompjuteri
Kompjuteri
 
Marjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdMarjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cd
 
Projekt "Kendet"
Projekt "Kendet" Projekt "Kendet"
Projekt "Kendet"
 

Similar to Matematika e avancuar; numri kompleks

Funksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen DokoFunksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen DokoHysen Doko
 
Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!
Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!
Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!Xhenet RashiTi
 
FSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-testeFSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-testeArton Feta
 
Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01Arbenng
 
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdfVieni Dapaj
 
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Esat_Imeraj
 
Matematke- klasa IX
Matematke- klasa IXMatematke- klasa IX
Matematke- klasa IXEsat_Imeraj
 

Similar to Matematika e avancuar; numri kompleks (11)

Tema e diplomes msc
Tema e diplomes mscTema e diplomes msc
Tema e diplomes msc
 
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
 
Funksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen DokoFunksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen Doko
 
Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!
Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!
Shumzimi dhe pjestimi i numrave racionl!
 
FSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-testeFSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-teste
 
Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01
 
Variacionet
VariacionetVariacionet
Variacionet
 
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
 
2.induksioni
2.induksioni2.induksioni
2.induksioni
 
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
 
Matematke- klasa IX
Matematke- klasa IXMatematke- klasa IX
Matematke- klasa IX
 

Matematika e avancuar; numri kompleks

  • 1. PROJEKT Lenda: Matematike e Avancuar Tema; Numri kompleks
  • 2. OBJEKTIVAT  Te dime te perkufizojme numrin kompleks, formen e tyre dhe te kryejme veprime te thjesha ( x ; / ; + ; -- )  Te dime se si mund te shprehet numri kompleks ne menyra te ndryshme duke e ilustruar me shembuj.  Te dime se ku gjejne perdorim numrat komplekse, shkencat qe kane lidhje me te.  Te dime ti shpjegojme qarte dhe ne menyre te thjeshte keto perdorime.  Synimi: Te rritet fryma e bashkepunimit ne grup dhe veprimtaria te shendrrohet si nje menyre interesante per te thelluar njohurite.
  • 3. CFARE ESHTE NUMRI KOMPLEKS DHE NGA LINDI?  Numri kompleks eshte numri i trajtes a+bi , ku a,b jane numra te bashkesise R dhe i eshte pjesa imagjinare.  Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.
  • 4. NUMRI KOMPLEKS ESHTE NJE KOMBINIM I NUMRAVE REALE DHE IMAGJINARE, I TRAJTES  Numri kompleks eshte nje kombinim i numrave reale dhe imagjinare ne trajten a+bi , ku a dhe b bejne pjese ne bashkesine R  Qe ta kuptojme me qarte se cfare domethenie ka numri kompleks , fillimisht duhet qe te qartesojme kuptimin mbi numrat real , katrorin e tyre etj.  Numrat real ne mund t’i shumezojme me veten dhe prej tyre marrim nje rezultat qe eshte gjithmone (+) ose (0) 2 x 2 = 4 0 x 0 =0 (-2) x (-2) = 4  Por cfare numri duhet ta shumzojme me veten qe te marrim (-4)? ? x ? = (-4)  Nga ketu kuptojme qe matematika ishte e paplote dhe lindi nevoja qe te imagjinonim per nje numer i cili kur te ngrihej ne katror te jepte numer negativ. Ky numer do te shenohej i dhe me marreveshje dolen ne kete perfundim :i2=(-1) Dhe: 2i x 2i = 4 i2=4(-1)= (-4)
  • 5. MBLEDHJA ,ZBRITJA , SHUMEZIMI DHE PJESTIMI  Mbledhja e dy numrave komplekse ( pjesa reale e numrit te pare mbidhet me pjesen reale te numrit te dyte, dhe pjesa imagjinare e numrit te pare mblidhet me pjesen imagjinare te numrit te dyte). Keshtu veprojme perkatesisht edhe me zbritjen. Dmth: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i Shembull: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)  Zbritja: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i Shembull: (3 + 2i) - (1 + 7i) = (2 - 5i)  Shumezimi: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 Shembull: (3 + 2i)(1 + 7i) =3*1 +3*7i + 2i*1 +2*7i2 = 3 +21i + 2i + 14i2 = 3 + 23i - 14 = (-11) + 23 i  Pjestimi: Qe te pjestojme dy numra komplekse fillimisht kete pjestim e shprehim ne trajte thyesore dhe me pas gjejme te konjugaren e emeruesit, me pas e shumezojme me te konjugaren edhe emeruesin edhe numeruesin.
  • 6. 5 VETITE E NUMRAVE KOMPLEKSE  Vetia e nderrimit : Z1+Z2 = Z2+Z1  Vetia e shoqerimit: (Z1+Z2)+Z3 = Z1+(Z2+Z3)  Vetia e nderrimit per shumezimin: Z1xZ2 = Z2xZ1  Vetia e shoqerimit per shumezimin: (Z1xZ2)xZ3 = Z1x(Z2xZ3)  Vetia shperndarese: (Z1+Z2)xZ3 = Z3xZ2+Z3xZ1 Por si duhet te veprojme/zevendesojme kur i eshte ne grade me te madhe se 2 ?!?!?!? i × i = −1, Me pas −1 × i = -i, Me pas −i × i = 1, Dhe 1 × i = i Keshtu u kthyem ne fillimi te ciklit 1 3 2 4 Psh: i6=i4 × i2 =1 × −1 =−1
  • 7. BOSHTI DHE RRJETI KOORDINATIV  Cdo numer real dhe pike ka nje vendodhje ne bosht dhe rrjetin koordinativ perkatesisht.  Psh. kane nje vendodhje te sakte ne bosht.  Apo pikat (-5;6) dhe (3;2).  Por ku duhet ti vendosim numrat komplekse ?!?!?!
  • 8. RRJETI KOMPLEKS  Duke qene se numrat kompleks nuk mund ti vendosim as ne bosht e as ne rrjetin kordinativ, atehere serish lindi nevoja per te ndertuar nje rrjet ku te mund ti vendosnim keta numra.  Keshtu u krijua rrjeti kompleks ku boshti i numrave real perkon me boshtin e x ( te rrjeti koodrinativ) dhe boshti i numrave imagjinare perkon me boshtin e y ( te rrjeti koodrinativ) .  Keshtu nr.kompleks 3 + 4i vendoset 3 njesi ne te djathte , pergjate boshtit te nr reale dhe 4 njesi lart , pergjate boshtit te nr imagjinare.  Ne te njejten menyre veprojme edhe me nr 4 – 2i
  • 9. NUMRI KOMPLEKS SI VEKTOR  Ky eshte nje vektor i cili ka nje gjatesi te caktuar dhe drejtim.  Dhe ja nje numer kompleks ( 3 + 4i ) i shprehur ne menyre vektoriale.  Ne kete grafik mund te shtojme edhe nje vektor tjeter ( 4 – 3i ), dhe te gjejme vektorin shume. ( 3 + 5i ) + ( 4 – 3i ) = ( 3 +4 ) + ( 5 – 3 )i = 7 + 2i  Gjatesia e vektorit shenohet me r
  • 10. NUMRI KOMPLEKS SI TREGUES I NJE KENDI  Pervecse si nje vektor ( 3 + 4i ) , numri kompleks tregon edhe nje kend te caktuar te shprehur ne radian. ǀ ǀ ǀ Trajta trigonometrike
  • 11. NUMRAT KOMPLEKS NE ELEKTRICITET  Numrat kompleks gjejne perdorim edhe ne elektricitet por ne nje menyre qe ndoshta eshte e studiuar vetem ne fakultete.  Numrat kompleks ne qarkun elektrik shenohen ne trajten Z=a+bj ku i=j. Arsyeja se perse e shenojme me j eshte se me i shenojme intensitetin qarkor. E = I • Z Tensioni i brendshem i qarkut Rezistenca e plote e brendshme Intensiteti Tensioni ne pjesen e brendshme(brenda qarkut) eshte E=45+j10 volt dhe rezistenca e brendshme Z=3+j4 om. Sa eshte intensiteti? Zgjidhja:E = I • Z 45 + j10 = I • (3 + j4) amper
  • 12. KOMPJUTERI DHE NUMRAT KOMPLEKS?  Kompjuteri: Te gjithe e dime qe koompjuterat punojne ne baze te algoritmave dhe rregullave te ndryshme nga ato qqe ne dime. Psh: nr 8 ne sistemin binar te tij eshte 1000. Por fotot qe jane te dukshme per ne si shihen nga komjuteri? Si realizohen ato?  Kompjuteri i njeh fotot nepermjet sistemit DCT ( Discrete complex transform) (transformimi diskret i nr kompleks). Cdo foto qe ndodhet ne internet nga kompjuteri nepermjet algoritmave te numrave kompleks. Pra fotot nuk jane gje tjeter vecse nje perkthim i ekuacioneve te numrave kompleks.
  • 13. PIANOJA ELEKTRONIKE  Imagjinoni nje piano elektrike. Cdo tast jep/prodhon nje tingull me vete. Butoni i volumit ndryshon aplitude te tegjithe tastet ne te njejten menyre dhe force. Kjo eshte menyra e ndikimit te numrave reale ne piano.  Tani le te imagjinojme nje filter, ku disa taste te krijojne nje tingull me te forte e te larte e disa taste te tjere te prodhojne nje tingull me te bute ne varesi te frekuences. Ky eshte efekti i numrave komplekse, i cili te lejon nje “dimension ekstra” ne perllogaritjen e tingujve.  I gjithe ky sistem eshte i ndertuar te numrat komplekse. Kjo gje tashme eshte teper e perdorshme nga DJ qe bejne alternime tingujsh.
  • 14. POR NQS CDO PIKE E FOTOS SE MEPARSHME NDRYSHON NE BAZE TE FORMULAVE PERKATESE.FOTOJA NDRYSHOHET NE KETE FORMA
  • 15. SETI MANDELBROT  Fotoja interesante e mesiperme nuk eshte gje tjeter vecse nje nje zbatim i funksionit kompleks. Ndryshe nga ato grafike qe ne jemi mesuar te shohim ky grafik eshte teper i vecante per shkak te simetrise absolute qe ajo krijon.(fotot jane punuar ne programe kompjuterike).  Ky eshte funksioni ne te cilin eshte nderuar ky sistem/foto.  Pjesa me ngjyre tregon se sa shpejt rritet funkksioni , ndersa ngjyra e zeze tregon nje game te caktuar boshe , nje hapsire ku vlerat nuk arrihen.