SlideShare a Scribd company logo
1
2
3
Matricë quhet çdo tabelë
drejtkëndore me elemente
numra realë (ose kompleks )
Matrica me m rreshta dhe n kolona
quhet matricë e tipit m x n.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn mxn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a







 
L
L
L
M M M M
L
Rreshti 1
Rreshti 2
Rreshti 3
Rreshti m
Kolona 1 Kolona 2 Kolona 3 Kolona n
4
Një matricë paraqitet në këtë mënyrë:
5
• Matrica simbolikisht shënohet:
ij mxn
A a   
1, 2,...,
1, 2,...,
i m
j n


• Matrica e tipit nxn quhet matricë katrore, kurse
matrica e tipit 1xn, gjegjësisht nx1, quhet matricë
rreshtore, gjegjësisht matricë shtyllore.
 2,3,4A  matrica rresht
2
3
4
A
 
   
  
matrica shtyllë
1 2
3 4
A
 
  
 
matrica katrore
• Matrica quhet zero matricë, nëse
6
ij mxn
A a    0, ,ija i j 
• Matrica quhet zero skalare, nëse kurseij mxn
A a    ,ija a
0,ija i j  
• Në veçanti për a=1, matrica skalare , quhet zero njësi e
rendit n dhe shënohet me I=In :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I






 
L
L
L
M M M M
L
7
8
a) Barazimi i matricave
Dy matrica dhe janë të barabarta
(A=B ), nëse janë të të njejtit tip (m=p, n=q ), kurse
elementet përkatëse i kanë të barabarta, d.m.th.
vlenë: .
ij mxn
A a    ij pxq
B b   
,i j
ij ija b
Shembulli 1. Matricat e mëposhtme janë të barabarta
2 1
log100 3
A
 
  
 
2 sin90
2 3
B
 
 
 
o
Pra A=B
9
b) Shumëzimi i matricës me skalar
Matrica shumëzohet me skalarin , nëse
çdo element i matricës A shumëzohet me . Pra:
ij mxn
A a    

ij ijmxn mxn
a a         
Shembulli 2. Matricat të shumëzohet me numrin 3.
2 3
1 4
A
 
  
Zgjidhje
2 3 6 9
3 3
1 4 3 12
A
   
        
5 0
4 1
A
 
  
 
A + B
 5 6 0 3
4 2 1 3
    
  
  
1 3
6 4
 
  
 10
c) Shuma e matricave
Le të jenë dhënë matricat dhe d.m.th.
matrica të tipit të njejtë. Shumë të matricave A dhe B
quajmë matricën A+B, e cila përkufizohet si vijonë :
ij mxn
A a    ij mxn
B b   
A+B= ij ij ij ijmxn mxn mxn
a b a b            
Shembulli 3. Janë dhënë matricat:
6 3
2 3
B
 
  
 
Shuma e tyre është :
dhe
11
Ndryshim i matricave A dhe B quhet matricën A+(-B)
dhe shenohet : A-B=A+(-B)
Shembulli 4. Janë dhënë matricat:
1 2
3 4
5 0
A
 
   
  
2 4
6 3
7 2
B
 
   
  
dhe
Ndryshimi i tyre do të jetë
 
 
1 2 2 4
3 6 4 3
5 7 0 2
   
 
     
     
A - B
1 6
3 7
2 2
  
  
  
d) Ndryshimi i matricave
12
e) Transponimi i matricës
Nëse në matricën rreshtat ndrrohen me shtyllat,
atëherë matrica e fituar quhet matricë e transponuar e
matricës A dhe shënohet
ij mxn
A a   
T
ji nxm
A a   
Shembulli 5. Nëse , atëherë
1 2
3 4
5 0
A
 
   
  
1 3 5
2 4 0
T
A
 
   
13
f) Shumëzimi i matricave
Le të jenë dhe dy matrica të tilla që
numri i shtyllave të matricës së parë A të jetë i barabartë
me numrin e rreshtave të matricës së dytë B.
Në këtë rast shumëzimi është i mundur dhe
prodhimi do të jetë i tipit mxp .
ij mxn
A a    ij nxp
B b   
A B
A B C 
1
( 1,2,..., ; 1,2,..., )
n
ij ik kj
k
c a b i m j p

  
Shembulli 6. Nëse dhe , atëherë 2 3 4A 
1
1
2
 
   
  
A B   2 3 4 
1
1
2
B
 
   
  
2 1 3 ( 1)   4 2  7
14
Shembulli 7. Janë dhënë matricat:
3 1 2
0 1 1
A
 
   
1 5
1 2
1 1
B
 
   
  
dhe
Të gjendet A B
Zgjidhje
A B 
3 1 2
0 1 1
 
  
1 5
1 2
1 1
 
   
  
 
    
3 1 1 1 2 1 3 5 1 2 2 1
0 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 1
           
 
            
3 1 2 15 2 2
0 1 1 0 2 1
    
      
4 19
.
2 1
 
  
3 1
 1 1 
2 1
15

More Related Content

What's hot

Matematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleksMatematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleks
sidorelahalilaj113
 
Vendimmarrja individuale dhe grupore
Vendimmarrja individuale dhe gruporeVendimmarrja individuale dhe grupore
Vendimmarrja individuale dhe grupore
Kastriot Gashi
 
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteMenyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Teutë Domi
 
Paraqitjet grafike
Paraqitjet grafikeParaqitjet grafike
Paraqitjet grafikeMenaxherat
 
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
fatonbajrami1
 
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioniMonotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Maja
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
fatonbajrami1
 
Funksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshmeFunksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshme
matildad93
 
Syprina e trapezit
Syprina e trapezitSyprina e trapezit
Syprina e trapezit
Adelina Fejzulla
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikes
guestc49863
 
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
#MesueseAurela Elezaj
 
Elasticiteti i kerkese dhe i ofertes elasticiteti
Elasticiteti i kerkese dhe i ofertes  elasticitetiElasticiteti i kerkese dhe i ofertes  elasticiteti
Elasticiteti i kerkese dhe i ofertes elasticitetiMenaxherat
 
Punim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrje
Punim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrjePunim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrje
Punim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrjeMuhamet Sopa
 
Syprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshitSyprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshit
Ramiz Ilazi
 
Derivati dhe zbatimet
Derivati dhe zbatimet Derivati dhe zbatimet
Derivati dhe zbatimet
#MesueseAurela Elezaj
 
1. biznesi dhe format e organizimit të tij
1. biznesi dhe format e organizimit të tij1. biznesi dhe format e organizimit të tij
1. biznesi dhe format e organizimit të tijMenaxherat
 
Tregu,kerkesa,oferta,ekuilibri
Tregu,kerkesa,oferta,ekuilibriTregu,kerkesa,oferta,ekuilibri
Tregu,kerkesa,oferta,ekuilibriBessnik Latifi
 
Analize statistikore
Analize statistikoreAnalize statistikore
Analize statistikoreMenaxherat
 
Metodologjia e Hulumtimeve
Metodologjia e Hulumtimeve Metodologjia e Hulumtimeve
Metodologjia e Hulumtimeve
Fitore ZEQIRI
 
MAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigje
MAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigjeMAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigje
MAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigje
fatonbajrami1
 

What's hot (20)

Matematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleksMatematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleks
 
Vendimmarrja individuale dhe grupore
Vendimmarrja individuale dhe gruporeVendimmarrja individuale dhe grupore
Vendimmarrja individuale dhe grupore
 
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteMenyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
 
Paraqitjet grafike
Paraqitjet grafikeParaqitjet grafike
Paraqitjet grafike
 
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
 
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioniMonotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
Monotonia, ekstremumet, perkulshmeria e nje funksioni
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
 
Funksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshmeFunksionet ne jeten e perditshme
Funksionet ne jeten e perditshme
 
Syprina e trapezit
Syprina e trapezitSyprina e trapezit
Syprina e trapezit
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikes
 
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
 
Elasticiteti i kerkese dhe i ofertes elasticiteti
Elasticiteti i kerkese dhe i ofertes  elasticitetiElasticiteti i kerkese dhe i ofertes  elasticiteti
Elasticiteti i kerkese dhe i ofertes elasticiteti
 
Punim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrje
Punim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrjePunim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrje
Punim seminarik menaxhimi i rriskut ne ndermarrje
 
Syprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshitSyprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshit
 
Derivati dhe zbatimet
Derivati dhe zbatimet Derivati dhe zbatimet
Derivati dhe zbatimet
 
1. biznesi dhe format e organizimit të tij
1. biznesi dhe format e organizimit të tij1. biznesi dhe format e organizimit të tij
1. biznesi dhe format e organizimit të tij
 
Tregu,kerkesa,oferta,ekuilibri
Tregu,kerkesa,oferta,ekuilibriTregu,kerkesa,oferta,ekuilibri
Tregu,kerkesa,oferta,ekuilibri
 
Analize statistikore
Analize statistikoreAnalize statistikore
Analize statistikore
 
Metodologjia e Hulumtimeve
Metodologjia e Hulumtimeve Metodologjia e Hulumtimeve
Metodologjia e Hulumtimeve
 
MAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigje
MAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigjeMAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigje
MAKROEKONOMIA - Pyetje dhe përgjigje
 

Similar to Matricat. Veprimet me matrica

Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01Arbenng
 
FSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-testeFSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-teste
Arton Feta
 
Marjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdMarjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cd
marjeta tabaku
 
Provimi i lirimit 2011 Matematike
Provimi i lirimit 2011 MatematikeProvimi i lirimit 2011 Matematike
Provimi i lirimit 2011 Matematike
Helio RAMOLLARI
 
Tema e diplomes msc
Tema e diplomes mscTema e diplomes msc
Tema e diplomes msc
marjeta tabaku
 
Matematke- klasa IX
Matematke- klasa IXMatematke- klasa IX
Matematke- klasa IXEsat_Imeraj
 
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Esat_Imeraj
 
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionetLigjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionetcoupletea
 
Teoria e grafeve
Teoria e grafeveTeoria e grafeve
Teoria e grafeve
Albania Energy Association
 

Similar to Matricat. Veprimet me matrica (10)

Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01Fshmn sh-130709210249-phpapp01
Fshmn sh-130709210249-phpapp01
 
FSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-testeFSHMN sh.kompjuterike-teste
FSHMN sh.kompjuterike-teste
 
Marjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdMarjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cd
 
Provimi i lirimit 2011 Matematike
Provimi i lirimit 2011 MatematikeProvimi i lirimit 2011 Matematike
Provimi i lirimit 2011 Matematike
 
Tema e diplomes msc
Tema e diplomes mscTema e diplomes msc
Tema e diplomes msc
 
Obeziteti
ObezitetiObeziteti
Obeziteti
 
Matematke- klasa IX
Matematke- klasa IXMatematke- klasa IX
Matematke- klasa IX
 
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
 
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionetLigjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
 
Teoria e grafeve
Teoria e grafeveTeoria e grafeve
Teoria e grafeve
 

More from Faton Hyseni

Formula e binomit
Formula e binomitFormula e binomit
Formula e binomit
Faton Hyseni
 
Kombinatorika ( ushtrime )
Kombinatorika ( ushtrime )Kombinatorika ( ushtrime )
Kombinatorika ( ushtrime )
Faton Hyseni
 
Kombinacionet
KombinacionetKombinacionet
Kombinacionet
Faton Hyseni
 
Permutacionet
PermutacionetPermutacionet
Permutacionet
Faton Hyseni
 
Variacionet
VariacionetVariacionet
Variacionet
Faton Hyseni
 
Kombinatorika
KombinatorikaKombinatorika
Kombinatorika
Faton Hyseni
 
Eratosteni
EratosteniEratosteni
Eratosteni
Faton Hyseni
 
Përcaktoret
PërcaktoretPërcaktoret
Përcaktoret
Faton Hyseni
 
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Faton Hyseni
 
Kuiz nga matematika
Kuiz nga matematikaKuiz nga matematika
Kuiz nga matematika
Faton Hyseni
 
Thënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematikenThënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematiken
Faton Hyseni
 

More from Faton Hyseni (11)

Formula e binomit
Formula e binomitFormula e binomit
Formula e binomit
 
Kombinatorika ( ushtrime )
Kombinatorika ( ushtrime )Kombinatorika ( ushtrime )
Kombinatorika ( ushtrime )
 
Kombinacionet
KombinacionetKombinacionet
Kombinacionet
 
Permutacionet
PermutacionetPermutacionet
Permutacionet
 
Variacionet
VariacionetVariacionet
Variacionet
 
Kombinatorika
KombinatorikaKombinatorika
Kombinatorika
 
Eratosteni
EratosteniEratosteni
Eratosteni
 
Përcaktoret
PërcaktoretPërcaktoret
Përcaktoret
 
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
 
Kuiz nga matematika
Kuiz nga matematikaKuiz nga matematika
Kuiz nga matematika
 
Thënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematikenThënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematiken
 

Matricat. Veprimet me matrica

  • 1. 1
  • 2. 2
  • 3. 3 Matricë quhet çdo tabelë drejtkëndore me elemente numra realë (ose kompleks ) Matrica me m rreshta dhe n kolona quhet matricë e tipit m x n.
  • 4. 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n m m m mn mxn a a a a a a a a a a a a a a a a          L L L M M M M L Rreshti 1 Rreshti 2 Rreshti 3 Rreshti m Kolona 1 Kolona 2 Kolona 3 Kolona n 4 Një matricë paraqitet në këtë mënyrë:
  • 5. 5 • Matrica simbolikisht shënohet: ij mxn A a    1, 2,..., 1, 2,..., i m j n   • Matrica e tipit nxn quhet matricë katrore, kurse matrica e tipit 1xn, gjegjësisht nx1, quhet matricë rreshtore, gjegjësisht matricë shtyllore.  2,3,4A  matrica rresht 2 3 4 A          matrica shtyllë 1 2 3 4 A        matrica katrore
  • 6. • Matrica quhet zero matricë, nëse 6 ij mxn A a    0, ,ija i j  • Matrica quhet zero skalare, nëse kurseij mxn A a    ,ija a 0,ija i j   • Në veçanti për a=1, matrica skalare , quhet zero njësi e rendit n dhe shënohet me I=In : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I         L L L M M M M L
  • 7. 7
  • 8. 8 a) Barazimi i matricave Dy matrica dhe janë të barabarta (A=B ), nëse janë të të njejtit tip (m=p, n=q ), kurse elementet përkatëse i kanë të barabarta, d.m.th. vlenë: . ij mxn A a    ij pxq B b    ,i j ij ija b Shembulli 1. Matricat e mëposhtme janë të barabarta 2 1 log100 3 A        2 sin90 2 3 B       o Pra A=B
  • 9. 9 b) Shumëzimi i matricës me skalar Matrica shumëzohet me skalarin , nëse çdo element i matricës A shumëzohet me . Pra: ij mxn A a      ij ijmxn mxn a a          Shembulli 2. Matricat të shumëzohet me numrin 3. 2 3 1 4 A      Zgjidhje 2 3 6 9 3 3 1 4 3 12 A             
  • 10. 5 0 4 1 A        A + B  5 6 0 3 4 2 1 3            1 3 6 4       10 c) Shuma e matricave Le të jenë dhënë matricat dhe d.m.th. matrica të tipit të njejtë. Shumë të matricave A dhe B quajmë matricën A+B, e cila përkufizohet si vijonë : ij mxn A a    ij mxn B b    A+B= ij ij ij ijmxn mxn mxn a b a b             Shembulli 3. Janë dhënë matricat: 6 3 2 3 B        Shuma e tyre është : dhe
  • 11. 11 Ndryshim i matricave A dhe B quhet matricën A+(-B) dhe shenohet : A-B=A+(-B) Shembulli 4. Janë dhënë matricat: 1 2 3 4 5 0 A          2 4 6 3 7 2 B          dhe Ndryshimi i tyre do të jetë     1 2 2 4 3 6 4 3 5 7 0 2                   A - B 1 6 3 7 2 2          d) Ndryshimi i matricave
  • 12. 12 e) Transponimi i matricës Nëse në matricën rreshtat ndrrohen me shtyllat, atëherë matrica e fituar quhet matricë e transponuar e matricës A dhe shënohet ij mxn A a    T ji nxm A a    Shembulli 5. Nëse , atëherë 1 2 3 4 5 0 A          1 3 5 2 4 0 T A      
  • 13. 13 f) Shumëzimi i matricave Le të jenë dhe dy matrica të tilla që numri i shtyllave të matricës së parë A të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë B. Në këtë rast shumëzimi është i mundur dhe prodhimi do të jetë i tipit mxp . ij mxn A a    ij nxp B b    A B A B C  1 ( 1,2,..., ; 1,2,..., ) n ij ik kj k c a b i m j p     Shembulli 6. Nëse dhe , atëherë 2 3 4A  1 1 2          A B   2 3 4  1 1 2 B          2 1 3 ( 1)   4 2  7
  • 14. 14 Shembulli 7. Janë dhënë matricat: 3 1 2 0 1 1 A       1 5 1 2 1 1 B          dhe Të gjendet A B Zgjidhje A B  3 1 2 0 1 1      1 5 1 2 1 1                 3 1 1 1 2 1 3 5 1 2 2 1 0 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 1                            3 1 2 15 2 2 0 1 1 0 2 1             4 19 . 2 1      3 1  1 1  2 1
  • 15. 15