Per ndertimin e nje projekt transporti, duhet detyrimisht te merren ne konsiderate shume elemente, ose kushte, te cilat konvertohen ne nje bashkesi ndervaresie e quajtur Modeli i sistemit te transportit, ky model eshte i afte ti simuloje keto kushte apo elemente, te projektit duke ne dhene rezultatet respektive. Sa me siper, nje projekt per nje sistem transporti, duhet te ece neper keto faza logjike:  Individualizimi i objeketve qe kerkojne levizje (kerkesa per transport)  Analiza sasiore e sistemit te transportit aktual (ose per disa sisteme)  Ndertimi i nje model varesie, qe perfaqeson nje sitem transporti, i cili eshte ne gjendje te funksionoje me te dhenat (dati) aktuale, si edhe me parametrat e vlerave te prespektives, ne lidhje me kete sistem qe po projektojme, se bashkeu me sistemet e tjere konkurues

1. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
KAPITULLI V
Tema :
Te ori a e graf e v e
Per ndertimin e nje projekt transporti, duhet detyrimisht te merren ne konsiderate shume
elemente, ose kushte, te cilat konvertohen ne nje bashkesi ndervaresie e quajtur Modeli
i sistemit te transportit, ky model eshte i afte ti simuloje keto kushte apo elemente, te
projektit duke ne dhene rezultatet respektive. Sa me siper, nje projekt per nje sistem
transporti, duhet te ece neper keto faza logjike:
 Individualizimi i objeketve qe kerkojne levizje (kerkesa per transport)
 Analiza sasiore e sistemit te transportit aktual (ose per disa sisteme)
 Ndertimi i nje model varesie, qe perfaqeson nje sitem transporti, i cili eshte ne
gjendje te funksionoje me te dhenat (dati) aktuale, si edhe me parametrat e vlerave te
prespektives, ne lidhje me kete sistem qe po projektojme, se bashkeu me sistemet e tjere
konkurues
 Verifikimi i modelit
 Formimi i zgjidhjeve alternative
 Zgjedhjen e variantit optimal
Faza kryesore e delikate e te gjithe procesit te projektimit, te modulit te
nje sitem transporti, eshte faza e ndertimit te ketij moduli, qe duhet patjeter te
shprehi realitetin, si dhe te jete ne gjendje te jape rezultate mbi ndryshimet e
mundeshme te kushteve, ose elementeve te prespektives.
Perpunimi i ketij moduli, ose besueshmeria e ketij moduli, realizohet
nepermjet funksioneve, e teorive matematikore, te cilat jane mbeshtetur ne
koncepte specifike. Nje nder keto teori, eshte teoria e grafeve, e cila eshte e
besueshme ne projektimin e c’do modeli per c’do sistem livizje. Ne po
prezantojme kriteret kryesore te kesaj teorie, se si ajo e parametrizon nje sistem
transporti dhe ne c’form dalin zgjidhjet e mundeshme. Realizimi konkret i nje
zgjidhjeje kerkon atrecature speciale si Hardware, Software, si dhe nje personel
me eksperience ne perdorimin e kesaj fushe.
1

2. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Perkufizimet per grafet dhe metodat e pergatitjes
Jepen nje bashkesi me N elemente, te quajtur Nyje dhe nje bashkesi me L
elemente, te quajtur Dege ose Harqe, te cilat lidhin keto nyje nga njera tek
tjetra. Bashkesia G e ndertuar nga keto lidhje te N (nyjeve), me L (dege), perben
ate qe quhet Graf. ( mund te jepet nga shprehja G={N,L} )
Nje graf mund te ndertohet per te paraqitur nje realitet fizik te c’faredoshem.
Nyjet qe e perbejne grafin, mund te tregojne pikat fizike te nje teritori, ose
komponente te ndryshem fizike te nje sistemi, ose aktivitete te ndryshme te tij.
Deget lidhese qe lidhin dy nyjet, tregojne relacionet e pikave te teritorit, ose
komponente te ndryshem fizike, ose aktivitete te nje sistemi qe ekziston ndermjet
tyre, ose relacion te nje tipi te caktuar.
N.q.se dy nyje jane pikat e nje teritori, lidhja e ketyre nyjeve tregon qe ato jane
te lidhura nje e nga nje sipas:
a) Cifti i nyjeve mund te jene te Rregullta (n.q. se ekzistojne), atehere kur cifti
(i,j) eshte i ndryshem nga cifti (ji), ne kete rast Harku (ij) quhet i Orientuar
b) Ciftet i nyjeve mund te jene jo te rregullta dhe harqet jo te orientuarr .
Ne nje graf mund te kemi harqe te orientuar dhe jo te orientuar. Grafi ne te cilin
te gjithe harqet jane te orientuar, ai vete quhet graf i orientuar. Ne nje hark te
orientuar, nyja e pare e kapjes quhet Nyje origjine, nyja e dyte Nyja fundore.
Grafet qe perdoren pre prezantimin e sistemeve te transportit ne pergjithesi jane
te orientuar. Le te kemi
Nn (numuri i elementeve, nga bashkesia N e nyjeve)
Ln (numuri i elementeve, nga bashkesia L e degeve)
Per te dalluar nje dege, eshte e nevojshme qe te njihen elmentet e bashkesise N
dhe kapjet e marra nga kjo bashkesi, perbejne bashkesine e degeve L. Paraqitja
me e lehete dhe me e qarte per nje graf, eshte ajo grafike, ne kete paraqitje
nyjet konvertohen me nga nje pike, te emertuar me nga nje numer, ndersa
harqet paaqiten me segmente, qe lidhin cifte te ndryshme nyjesh, duke formuar
bashkesise e degeve L. Cdo hark i orientuar konvertohet me nje shigjete, ne kete
rast tregon kahun e orientimit. Per komentimin e sa thame me siper, po
prezantojme nje graf me keto elemente, bashkesia e Nyjeve me 5 nyje qe mund
te perfaqesojne 5 elemente qe kerkojne nje levizje, dhe bashkesia e harqeve me
9 elemente qe perfaqesojne 9 levizje te ndryshme neper kato nyje. Paraqitja
grafike e ketij Grafi (5 nyje / 9 harqe) po e japim ne figuren e meposhme,
2

3. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Por paraqitja grafike e nje grafi mund te ekujvalentohet, ose transformohet ne
menyre qe te perpunohet nga aparati matematikore, si:
Paraqitje Matricor
Paraqitje Vektorial,
Ne keto paraqitje, nyjet e bashkesise Nn tregohen gjithmone me numura
progresive. Per dallimin e kapjeve perberese te bashkesise L perdoren teknika te
ndryshme. Po prezantojme disa prej tyre:
Matrice Katrore
Paraqitja grafike e nje grafi me forme matricore k atrore, eshte konceptuar si nje
mtrice katrore, me dimensionet sa eshte numuri i nyjeve te grafit. Matrica
mbushet me elementet e saj me kete logjike. Elementi “ij” i matrices, eshte i
barabarte me 1 n.q.se kapja e nyjes “ij” (fillohet nga emertimi i rreshtit, tek
emertimi i kolones), ben pjese ne bashkesine harqeve L, me dalje nga “i” dhe me
0 ne te kundert
1 2 3 4 5
1 0 0 0 1 0
2 1 0 1 0 1
3 0 0 0 1 1
4 0 0 0 0 0
5 1 0 1 1 0
Matrice e varesise Nyje-Dege
Nje forme tjeter e paraqitjes matricore te grafit, eshte paraqitja matrica varesi
nyje dege. Dimensionimet e kesaj matrice jane ne perputhje me sasiene nyjeve
e degeve, konketisht, c’do rrjeshti i korespondon nje nyje dhe c’do klone nje
dege. Mbushja e matrices realizohet sipas kesaj logjike, elementi “ij” i matrices
eshte 0 n.q.se nyja “i” nuk i perket harkut korespondues te kolones “j” dhe e
3

4. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
barabatre me 1 n.q.se nyja “i” eshte nyje fillestare e harkut te orientuar (d.m.th.
elementi i pare i kapjes se harkut te orientuar) dhe me –1 n.q. se nyja “i” eshte
nyja fundore e harkut te orientuar. Per ta bere me te qarte paraqitjen matrice
varesise nyje dege dhe korespondencen e saj, kemi prezantuar nje matrice qe
perfaqeson kete logjike dhe qe i referohet po te njejtin graf, kjo matrice quhet
paraqitjen matricore me varesi nyje dege.
Ne emertimin e cdo rreshti, eshte vendosur sipas rendirjes progresive, numuri i
nyjeve te grafit (1-5). Ne emertimin e c’do kolone, eshte vendosur kapja e nyjeve
qe percaktojne harkun ne graf (1-9). Dhe mbushja e matrices (me 1, ose 0, ose –
1)behet me logjiken e cituar me siper, duke na dhene kete paraqitje:
1-4 2-1 2-3 2-5 3-4 3-5 5-1 5-3 5-4
1 1 -1 0 0 0 0 -1 0 0
2 0 1 1 1 0 0 0 0 0
3 0 0 -1 0 1 1 0 -1 0
4 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1
5 0 0 0 -1 -1 -1 1 1 1
Matrice e nyjeve me-harqet maksimale qe dalin nga nje nyje
Paraqitja e gafit jepet nga nje matrice te dimensionuar sipas ketij koncepti,
numuri i rreshtave eshte i barabarte me numurin e nyjeve (progresion rrites),
ndersa numuri i kolonave merret i barabarte me numurin maksimal te harqeve
qe dalin nga nje nyje (s’ka rendesi e sata nyje eshte ne gaf). Mbushja e matrices
rrealizohet sipas kesaj logjike, vlera e elementit “ij” eshte sa numuri rendore i
nyjes, qe shikon harkun dales, n.q. se nuk ka hark (eshte me e vogel se mumuri
max. i harqeve dalese), atehere merr vleren 0. Sa thame me siper ne mund ta
dimensionojme dhe ndertojme te njejtin shembull me matricen nyje harqesh
maksimale si me poshte:
1 2 3
1 4 0 0
2 1 3 5
3 4 5 0
4 0 0 0
5 1 3 4
4

5. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Matrica e varesise Harqe-Rrugekalim A
Ne paraqitjen e grafit, sipas matrice varesi harqe rrugekalimi, kemi kete
konceptim. Ndertohet nje matrice me numurin e rreshtave te barabarte me
numurin e harqeve, ose lidhjeve, ndersa numuri i kolonave, eshte me numurin e
mundeshem te intinerareve te realizuara ne kete graf, (levizjeve neper nyje, po
per te njejtin shembull te treguar, rezulton 4 intenerare 2-3-5-1-4/ 2-5-1-4/ 2-5-3-4/
2-3-4 ), pra c’do rrjesht lidhet me nje hark te grafit dhe c’do kolone me nje
intinerar. Mbushja e matrices konceptohet ne vleren 1 dhe 0, Vlera 1 eshte
atehere kur harqet (emertimi i rreshtit) ben pjese ne intinerarin qe korespondon
me kolonen “j” dhe 0 kur nuk ben pjese ne kete intenerar.
1 2 3 4
1-4 1 1 0 0
2-1 0 0 0 0
2-3 1 0 0 1
2-5 0 1 1 0
3-5 1 0 0 0
4-3 0 0 1 1
5-1 1 1 0 0
5-3 0 1 0 0
5-4 0 0 0 0
Matrice e ciftit Nyje-Rrugekalimi
Ne te cilen c’do rresht i korespondon nje cift nyjesh, dhe c’do kolone i
korespondon nje rrugekalimi (intinerare), mbushja me elemente kete matrice
realizohet sipas kesj logjike elementi “ij” eshte 1 n.q.se ciftin “i” lidhet me
intinerari “j” (d.m.thene intinerari ka nyje te ekstremeve, ato qe ndertojne ciftin e
“i”) dhe 0 ne kundert. Ne kete rast numeri i elementeve te matrices, varet nga
numuri i cifteve per te cilat merren parasysh intineraret, psh. Me posht po japim
per nje cift nyjesh nje matrice cift nyje rruge kalim, qe mbeshtetet ne po te
njejtin graf.
1 2 3 4
1-5 1 1 1 0
5-1 0 0 0 1
Metoda e Yjeve e Harqeve (Algoritmi DIJKSTRA)
Prezantimi i grafit qe perdoret me shume ne programet llogaritese dhe qe do te
perdoret me vone eshte quajtur si prezantim me metoden e Yjeve e Harqeve.
5

6. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Nje prezantim i tille bazohet ne faktin qe ne nje graf c’do nyje eshte origjina e
nje ylli prej harqesh, qe dalin prej saj. Ne nje vektor fillestar a sillen nyjet ekstreme
te yjeve te ndryshem, ne blloqe te njepasnjeshem, c’do bllok vendoset pas
tjetrit, me te njejten rregulll, me te cilin gjenden nyjet origjine te yjeve.
Komponentet e vektorit te dyte b (me numur te njejte me numurin e nyjeve te
grafit), jane “shenjuesit “ ose numurat qe tregojne vendet e zena ne vektorin e
pare, nga nyjet e fundit te blloqeve te njepasnjeshme. Sa thame me siper, mund
te paraqesim po te njejten paraqitje te grafit, me nje koncept tjeter (shif figuren
per ndertimin e vektoreve). Keshtu pranojme te lexohen te parin ne bllok, e
pastaj te njohe per c’do bllok, harqet qe kane per origjine. Si perfundim, nyjet e
lidhur ne dalje me nyjen “i” jane komponente te vektorit a perfshire nga bI-1 +1 e
atij b1 . Eshte e mundur te vleresohet se sa pozicione te memories, ose sa
elemente nevoiten per paraqitjen e nje grafi, ne memorien e nje makine
llogaritese. duke perdorur tre metodat e paraqitjes se grafeve, te prezantuar me
lart. Ato jane n2
N ; nNxnL dhe nNx(nm +1) ku nm eshte numuri mesatare i harqeve
qe ndertojne ne nje yll.
P.sh. marrim nje graf, me nyjet si qender levizje, ku deget e grafit i atribojme me
cilesite si, gjatesise se rruges, ose kosto e rruges etj. Kerkojme te marrim levizjen
(intineraret) per te gjitha nyjet e grafit me vleren minimale (leviz neper minimum)
Qellimi i levizjes nga Nyja 1 ne nyjen 6 (pretendojme levizjen ekstreme). Per kete
detyre prezantojme bashkesine e intenerareve, bashkesin e qendrave:
Q{1,} bashkesia e intenerarit ne qendren 1, me vleren e intenerarit dint=0 (gjatesi,
kosto)
N{2,3,4,5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur gjate levizjes
Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra fillestare ne te cilen ndodhemi, me te
gjitha qendrat e tjera te bashkesise N, duke i vleresuar vektoret si shumen e tyre
nga nyja fillestare1.
1→2 (mini [(distanca direkte 1-2)] 1
1→4 (mini [(distanca direkte 1-4)] 2
1→3 /5 /6 (mini [(distanca direkte 1-3 etj)] eshte ∞ pasi nuk kemi lidhje direkte
per kete hap, eleminojme levizjet ∞ dhe ndertojme dy intinerare paralele, kjo
kondicionohet nga vlera direkte e kapjes 1-4 me distance levizje dmin =2, pra tani
na krijohen 2 intinerare 1-2 dhe 1-4, levizjeje paralele, qe do te merren ne
konsiderate gjate gjith procedures, se levizjes
6

7. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Kalojme ne hapin e dyte, me kete situacion te grafit
 Intinerari i pare 1-2 , kapet nyja 2, me distance intinerari dintinerari=1
Q{1,2} bashkesia e intenerarit me levizjen min dint=1 (minimumi i levizjes)
N{3,5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur
Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 2, me te gjitha
qendrat e tjera, te bashkesise N duke i vleresuar vektoret levizes, si shumen e tyre
nga nyja fillestare1.
2→3 (mini [(distanca direkte1-3)(1+d2-3)] ∞ (1+1.5) min=2.5
2→5 /6 (mini [(distanca direkte 1-5 /6 )] eshte ∞
per kete hap, pranojme qe kemi kete levizje minimale dintinerari=2.5 (kapet nyja 3)
 Intinerari i dyte 1-4, kapet nyja 4, me distance intinerari dintinerari=2
Q{1,4 } bashkesia e intenerarit me levizjen min dint=2 (minimumi i levizjes)
N{3,5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur
Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 4, me te gjitha
qendrat e tjera, te bashkesise N duke i vleresuar vektoret levizes, si shumen e tyre
nga nyja fillestare1.
4→3 (mini [(distanca direkte 1-3)(2+d4-3)]∞ (2+∞)
4→5 /6 (mini [(distanca direkte 1-5 /6 )] eshte ∞
sic shikohet nuk kemi vlere, pra ky intinerar eshte i mbyllur, nuk vazhdon me tej,
problemin e vazhdon intenerari mbetes 1-2-3 me levizje min dinti =2.5
Kalojme ne hapin e trete me kete situacion te grafit (jemi ne nyjen 3)
Q{1,4 dhe 1,2,3} bashkesia e intenerarit me levizjen mini. dint=2.5
N{5,6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur
Krijojme te gjitha lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 3 me te gjitha
qendrat e tjera, te bashkesise N duke i vleresuar vektoret levizes, si shumen e tyre
nga nyja fillestare1.
3→5 (mini [(distanca direkte1-5)(2.5+d3-5)] ∞ (2.5+2) min=4.5 (nyja 5)
3→6 (mini [(distanca direkte 1-6)(2.5+d3-6)] ∞ (2.5+∞)
per kete hap, pranojme qe kemi kete levizje min. dintinerari=4.5 (kapet nyja 5)
Kalojme ne hapin e katert, me kete situacion te grafit (jemi ne nyjen 5)
Q{1,4 dhe 1,2,3,5} bashkesia e intenerarit levizja min. neper nyjet dint=4.5
N{6} bashkesia e qendrave te grafit, per tu kapur
7

8. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Krijojme lidhjet qe ka qendra ne te cilen ndodhemi 5, me qendren 6 te
bashkesise se njeve N, duke i vleresuar vektoret levizes, si shumen e tyre nga nyja
fillestare1.
5→6 (mini [(distanca direkte 1-6)(4.5+d5-6)] ∞ (4.5+2) min=6.5
Sic shikohet nga rezultati, bashkesia e nyjeve N{ } eshte bosh qe do te thote qe
te gjitha nyjet jane kapur sipas nje logjike renditese tek bashkesia Q { } e
internerareve, kjo bashkesi mund te jete vlere kostoje ose vlere distance etj.
Levizja neper Graf, sipas logjikes me minimumin e levizjes, rezolton kjo kapje e
bashkesise se Nyjeve, ne bashkesine Q te Intinerareve me 2 elemente, ose me
intenerare, te cilat konkretisht jane
Intinerari i pare 1-4
Intinerari i dyte 1-2-3-5-6
Me poshte po japim grafikisht grafin e dimensionuar, te trajtuar me siper, se
bashku me logjiken e kapjeve te nyjeve
figura qe tregon menyren e ndertimit te vektoreve
8

9. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Disa karakterristika te grafeve
Ne nje graf do ta quajme Rruge kalimi ose intenerare, nje lidhje te harqeve ne te
cilin nyja fundore e harkut, cilido, koincidon me nyjen fillestare te harkut ndjekes
ose pasues. P.sh. ne grafin e mesiper lidhja (5,1);(1,4);(4,3);(3,5) eshte nje
intenerar.
 Nje ruge kalimi quhet e mbyllur “me lak” n.q. se nyja finale e rruges se
kalimit perputhet me ate fillestare.
 Nje rrugekalim quhet me mungese laku n.q.se asnje pjese e tij nuk
perben lak, d.m. thene se nje nyje, nuk eshte njeheresh fillim dhe fund i
nje harku.
P.sh.ne figuren tone kemi :
Intenerari (5,1);(1,4);(4,3);(3,5) eshte nje lak
Intenerari (2,1);(1,4);(4,3);(3,5) ka mungese laku
Ne te ardhme edhe pa e perdorur termin, do te referohemi gjithnje intenerarit te
privuar nga harqet Lak. (keto jane pothuaise te perhershme ne projektet e
transportit, per efekt eficenses ekonomike.)
 Nje graf, ne te cilin c’do nyje eshte e lidhur me anen e nje harku, me sejcilen
nyje, quhet komplet i lidhur. Keto grafe, jane grafet qe perdoren per te
perfaqesuar sistemet e transportit ajror ose detar. Ne nje hapsire te caktuar
gjeografike. Ne kete rast nyjet jane aeroportet, ose portet dhe harqet jane
lidhjet ajrore, ose detare, midis tyre.
 Nje graf quhet i lidhur n.q.se ne c’do nyje eshte origjina e te pakten e nje
intenerari qe ka si ekstrem nje nyje c’fardo te grafit.
Grafet qe perdoren per paraqitjen e sistemeve te transportit jane shpesh jo
komplet te lidhur.
 Nje graf (ne te cilin nuk eshte prezent asnje lak) ne te cilin ekziston nje
intenerare i vetem, qe lidh nje nyje (i) me c’do nyje tjeter quhet pema me
rrenje i
Nje peme e siper treguar, eshte shembulli i grafeve jo te lidhur. N.q.se ne nje graf
eleminojme ndonje nyje dhe harqet e te cileve iu perkasin keto nyje, atehere
perfitohet nje nengraf i grafit te dhene.
Ne nje graf ku shenojme, pemet, duke pasur si origjine nyje te ndryshme, do te
perfitonim shembuj grafesh te pjeseshem. P.sh. duke iu referuar grafit ne figuren
e mesiperme, grafet e ndertuara nga harqet (2,1);(1,4);(2,5);(5,3), te perfituar nga
9

10. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
grafi fillestar, si dhe duke hequr te gjithe harqet e tjere, eshte nje graf i
pjeseshem, qe krijon nje peme me rrenje 2
Numuri i intenerareve (pa leqe) qe mund te dallojme ne nje graf, eshte i fundem.
Ne rrjetat e transportit jane vene ne dukje vetem rruget e kalimit, qe lidhin cifte
nyjesh, te cilet fillojne e mbarojne zhvendosjet. Nyje te tilla, sic do te shohim me
vone, do te quajme qendra. Per nje graf te dhene, me nje numur te caktuar
nyjesh qender, eshte e mundur te numurohen te gjithe rruget e kalimit te
mundeshme pa leqe, duke pasur nyje qendre, si nyje fillestare dhe fundore.
N.se i dhe j jane dy qendra, mund te percaktojme bashkesine e rrugeve te
kalimit te lidhura (i) e (j), bashkesia e rrugeve te kalimit I ij , duke patur (i) si nyje
fillestare dhe (j) si nyje fundore.
Teknika e ndertimit te nje rrjeti
Rrjeti, eshte grafi i cili harqet posedojne nje karakterikstike sasiore. C’do hark i nje
grafi i perdorur per te prezantuar nje sistem transporti, karakterizohet nga koha e
levizjes dhe nga treguesit te tjere, qe konkretizojne perdoruesin e sistemit te
transportit, per levizjen nga nje nyje e harkut tek tjetra, te gjitha keto marrin
pjese, ne percaktimin e te ashtuquajtures Kosto e Tansportit te harkut. Elementet
qe perbejne koston e transportit jane madhesi te karaktereve te ndryshme, pra
jo homogjene p.sh. koha/ kostoja monetare/ stresi/ etj d.m. se kostoja eshte nje
vektor, dhe keto elementet jane komponente te tij. Megjithate kostoja gjithnje
konsiderohet si nje madhesi skalare, sepse ose merret ne konsiderate vetem
koha e levizjes, ose te gjithe komponentet homogjenizohen. Nga ana tjeter, ne i
referohemi gjithmone perdoruesit mesatare, keshtu qe kostoja e nje harku te
grafit, merret konstante per te gjithe perdoruesit e tjere
Vektori i kostos se harkut
Do te gjuajme nje vektor C tek i cili komponentet cij jane emertuar nga kostoja
e transportit te harkut (ij). Vektori i kostos se grafit do te kete dimensionin (nLX1).
Numuri i perdoruesave qe perdorin sistemin e transporit, (kerkesa per transport)
ndryshon ne kohe (sic do te shohim me vone). Ne pergjithesi nje sistem transporti
studiohet duke iu referuar nje intervali kohore, me te cilin funksioni i tij eshte
konstant, qe do te thote, se shmangjet rastesore te numurit te perdoruesave te
jete konstant dhe I pranueshem. Ne kete rast numuri mesatar i perdoruesave, qe
ne intervale te vogla kohe te njepasnjeshme, te supozuar si te njesishme,
10

11. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
pershkruajne harkun e nje grafi, perfaqesues te nje sistemi transporti, I cili eshte
konstante. Ky numur quhet ndryshe edhe fluksi i harkut
Fluksi gjithmone konsiderohet si nje madhesi skalare, n.q.se perdoruesit qe e
perbejne jane jo homogjene, ato homogjenizohen mesatarisht duke perdorur
koeficente te pershtatshem te transformimit.
Vektoret te fluksit te harkut
Perkufizohet vektori f me dimesionet (n L x1), komponentet e tij (fij) jane krijuar
nga fluksi mbi harkun (ij) . Ndonjehere ne te ardhmen ai do te tregohet me nje
indeks te vetem, me te cilin eshte e mundur te shoqerohet me nje numer per
sejcilen kapje te nyjeve, d.m. se fluksi mbi harkun i do te tregohet fi. Konceptet e
kostos se transportit dhe i fluksit, mund ti referohen edhe “rruges se kalimit” /
intenerarit.
Do te quajme kosto e transporti te rruges se kalimit, koston (e pergjithesuar ) e
mbajtur nga perdoruesi mesatar, per te kaluar nje intenerar te cktuar. Zakonisht
supozohet qe kostoja Ck e nje rruge kalimi, te pergjithshme k, jepet nga shuma e
kostove te harqeve qe e perbejne ate rruge kalimi. Duke kujtuar perkufizimin e
matrices se varesive Harqe-Rrugekalim mund te shkruajme
Ck = ∑ aki * Ci kostojaa e harqeve (i)
Ose ne forme matricore
C = A * c ku
C eshte vektori i kostove te rrugkalimit me kompponente Ck
A eshte matrica e transformuar te varesise Harqe-Rruge
c eshte vektori i kostove te harkut
Vektore te fluksit te rruges te kalimit
Do te quajmme vektorin F, komponentet e te cilit Fk jane krijuar nga numuri i
perdoruesave (i homogjenizuar) qe e pershkruajne intenerarin k, ne njesine e
kohes. Fluksi qe pershkruan nje hark i, eshte shuma e flukseve te rrugeve qe
perdorin kete hark. Duke perdorur matricen e varesise Hark-Rruge mund te
shkruajme:
fk= ∑ aik Fk
Ne forme matricore
f = A * F
11

12. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
kostoja e transportit, ne lidhje me sejcilin hark te grafit, eshte ne pergjithesi
funksion si i fluksit, qe e pershkruan kete hark, ashtu edhe i atyre qe pershkruajne
harqet e tjere te grafit, (sic do ta shohim me vone). Nje funksion i tille skalar Ci(f),
pergjithesish me shume variabla, i jepet emri funksion i kostos dhe eshte
karakteristike sasiore qe e kthen nje graf ne nje rrjet te transportit , pra me
perkufizim.
Rrjet transporti, eshte bashkesia T e perbere nga bashkimi i bashkesive N te
nyjeve, bashkesia L e cifteve te nyjeve qe i takojne bashkesise se linjave, dhe
nga nje bashkesi Fc e funksioneve te kostos per sejcilin element te bashkesise L
T= (N,L,Fc)
Skematizimi i nje sistemi ofertash per transport, nepermjet nje rrjeti
Teoria e rrjeteve, si dhe algoritmet qe derivojne per kete teori, formojne nje
instrument teorik adapt dhe shume efikas per projektimin e studimin e nje sistemi
transporti. Nje rrjete eshte efektivisht nje pershkrim i thjeshtezuar i fenomenit te
komplikuar, rreal. Ndertimi i nje rrjete kalon neper disa operacione, te cilat
paraprakisht duhet te grupohen sipas problematikave: Siperfaqja e studimit/
zonifikimi i siperfaqes/ permbledhje e perafert e grafit te realitetit fizik/
individualizimi I pozicioneve ne hapsire dhe kohe te perdoruesave per sistemin
rreal/ si dhe funksionet e kostos per elementet e transportit. Sa me siper eshte e
thjeshte nderttimi i nje rrjeti, kur behet fjale per nje transport detar apo airor, ne
kete rast veshtiresia eshte ne percaktimet e mesatareve te orevonesave apo te
cikleve kohore etj. Veshtiresite e medha per ndertimin e nje rrjeti, jane kur kemi
raste te nderthurjes se llojeve te transportit, si dhe te formave te infrastruktures.
Kjo baze sherben per vleresimet sasiore dhe cilesore te nyjeve dhe harqeve,
kombinacionet e te cilave japin sistuatet, ose modelet e grafeve, dhe rrjetave te
prezantuar me siper. Ne pergjithesi, ndertimi i nje modeli rrjeti, kalon nepermjet
nje serie operacionesh, per te cilet, me poshte do te pershkruajme kriteret e
pergjitheshme.
Persa i perket nyjeve mund te dallojme per nje siperfaqe:
a) vleresimet ne siperfaqe per nyjet qender.
Perfaqesojene nyjet, ne te cilat ipotezohen levizjet e koncentruar per hyrjet dhe
daljet ne c’do zone e trafikut (ose e intenerarit)
b) vleresimet per nyjet reale
Perfaqessojne ato nyje te cilat fizikisht, ne terren paraqesin pozicione fikse
12

13. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Persa i perket harqeve, per nje rrjet transporti, c’do njera korespondon njesise se
fluksit ne nje drejtim perdorimi, me te njejtat karakteristika, konkretisht :
 harqet rreale
Pefaqesojne bashkimet e dy nyjeve reale
 harqe fiktive
Perfaqesojne ose c’faqen kur basshkojne nje nyje qender te zones me nje nyje
rreale kur keto nuk ekzistojne aktualisht po e njejeta
A) Kufizimi i zones se studimit
Ne kete faze percaktohen zonat gjeografike me te cilan gjendet sistemi i
transportit ne studim,( sistemi ne projekt), ose me te cilin do te trajtohen
hollesisht, pjesa me e madhe e efekteve te nderhyrjeve te projektuara. C’fare
gjendet ne pjesen e jashteme te kordonit te supozuar, qe kufizon zonen e
studimit, perben ambjentin e jashtem te atij, ne ket rast, ne na intereson
vecanerisht, nderlidhjet me sistemin ne projekt.
Zona e studimit mund te jete I gjithe vendi ne rastin e studimeve te nje plani
nacional per transportin, por mund te jete dhe nje pjese e rrjetit rrugore, me te
cilin tentohet, nje nderhyrje ne shfrytezim.
B) Zonifikimi
Zhvendosjet qe ndikojne ne nje zone te dhene mundet ne pergjithesi te fillojne
dhe mbarojne ne ne pike c’fardo te teritorit. Per trajtimin e fenomenit eshte
permbi te gjitha e nevojhme nendarja e zones se studimit (dhe eventualisht zona
e brendeshme e saj) ne zona trafiku , midis se cileve zhvillohen zhvendosje qe I
perkasin sistemit te projektimit. Zhvendosje te tilla quhen zhvendosje
nderzonave, ndersa per zhvendosje zonale zhvillohen zhvendosje qe fillojne dhe
mbarojne ne brendesi te se njejtes zone te trafikut.
Zonat mundt te jene te ndertuar nga i gjithe qyteti, ose grupe qytetesh, ne
planin nacional, deri ne zona te vogla, ne planin e trafikut urban. Perderisa
objektivi i zonifikimit eshte te perofroje te gjitha pikat e fillimit dhe te mbarimit te
zhvendosjeve zonale ne nje pike te vetme (qendra e zones). Kriteri teorike qe do
te ndiqet per zonifikimin eshte, individualizimi i pjeseve te tilla te zones se
studimit, per te cilat koncentrime te tilla paraqesin hipoteza te pranueshme. Nga
pikpamja praktike, si ato, te nohjes se zones se studimit, egzistojne mundesi te
ndryshme zonifikimi per te nejtin problem, nendarja e zones se studimit ne nje
13

14. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
numer te madh zonash, zakonisht con ne nje prezantim me te sakt te fenomenit
real, por edhe nje ngarkese te madhe per skematizimin e simulimeve te
sistemeve te transportit. Kriteret praktike, per arritjen e nje kompromisi te mire,
midis nevojave te ndryshme, varen akoma edhe nje here nga tipi i vecante i
planit. Edhe ambjenti i jashtem i zones se studimit, zakonisht ndahet ne zona me
te gjera, ( medha ) se sa ato te brendeshme, te zones vete. Zonat e jashme, na
interesojne vecanerisht si zona me te cilat fillojne e mbarojne zhvendosja, qe
zhvillohen (te pakten pjeserisht) , ne brendesi te zones se studimit. Zonofikimi
konsiston ne nendarjen e zones se studimit, ne zona te trafikut, ne menyre qe
origjinat dhe destinacionet e zhvendosjeve e sejciless zone, te hipotezohen te
koncentruara ne jne pike te vetme te quajtur qender e zones ose qendra e
brendeshme. Edhe per origjinat dhe destinacionet e zhvendosjeve jashte zones
se studimit, hipotezohen te perqendruara ne qendra te jashteme
C) Nxjerrja e grafit
Nyjet e nje grafi te perdorur per prezantimin e nje sistemi transporti tregojne
pozicione ne kuptimin me hapsiren e ne kohe me te cilin mund te vijme e te
gjejme nje perdorues te sistemei te transportit . Keshtu dy nyjet te lidhura nga
nje hark, mund te tregojne dy pika te teritorit te bashkuara nga nje rruge . Ata
kane koordinata te ndryshme gjeografike dhe kohore perdrisa egziston koha e
zhvendosjes nga nje nyje ne nje tjeter. Dy nyje te lidhura nga nje hak, mund te
kene edhe te njejtat koordinata gjeografike dhe ndryshojne vetem nga ato
kohore, sic ndodh kur dy nyjet tregojne situata te ndryshme ne te cilen gjendjet
nje perdorues i sistemit te transporti, ne castin me te cilin ai arrin nje pike te
caktuar (p.sh. nje terminali i transportit puplik) dhe atehere me te cilin ai
largohet. Si rrjedhim harqet mund te tregojne realitete fizike te ndryshme, nje
infrastrukture (rrugore ose hekurudhore) qe lidh dy nyje, ekzistenca e nje sherbimi
e ofruar nga nje mjet i pershtatshem i transportit , por jo ajo e nje infrastrukture
lidhese, dy gjendje te njepasnjeshme me te cilin, ne te njejten vend gjeometrik,
por ne kohe te ndryshme, mund te vijne e te gjejne perdorues (p.sh. ardhja ne je
modelim te autobuzit dhe ngjitja ne makine pas nje kohe te caktuaar pritjeje )
Mbi bazen e karakteristikave te ndryshme eshte e mundur qe te bejme ndarjen e
bashkesise se nyjeve N dhe te harqeve L ne nenbasshkesi:
Per sa thame me siper problemi I skematizimit te nje sistem transporti nepermjet
nje grafi ose, sic mund te themi, nxjerrja e grafit, nga rrealiteti fizike, konsiston ne
14

15. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
thelb ne percaktimin e ketyre pozicioneve hapsire/kohe perdoruesave qe
ndalojne qellimisht ne menyre te detajuar ne analizen e sistemeve te transportit
real dhe harqeve qe I lidhin.
Ky operacion ka gradee te ndryshme teveshtiresise ne pershtatje me sistemin ne
projektim. Ne vazhdim do te jepen disa shembuj te ndryshem ne lidhje me
nxjerrjen e grafit per sisteme transporti te caktuar.
Skematizimi eshte ne pergjithesi mjaft I thjeshte kur flitet per nje sistem transporti
detar ose ajrore qe sherben ne nje zone te caaktuar, nyjet jane portet ose
aeroportet dhe harqet jane udhet qe lidhen midis tyre . N.q. se marrim ne
konsiderate kohen e pritjes ne porte ose aeroporte te ndryshme dhe se keto
kohe nuk jane te paperfillshme krahasuar me kohen e udhetimit , porti ose
aerroporti do te percaktohen nepermjet dy nyjeve qe paraqesin te njejten pike
fizike por karakterizohen nga kohe te ndryshme, ajo e mbritjes dhe ajo e nisjes.
Ne hakun qe I lidh do te vendoset kostoja e pritjes. Eshte shume e thjeshte te
perfitosh nje graf qe paraqet nje sistem transporti tokesore, kur ky eshte I perbere
nga nje menyre e vetme transporti, p.sh. mjeti hekurudhore. Ne kete rast, nyjet
jane pikat me te cilat flukset emetohen ose dalin nga sistemi I infrastruktures
(stacionet hekurudhore, qe mund te jene qendra edhe si qendra) dhe atyre ne
te cilet infrastrukturet I intersektohen me njera tjetren, dhe harqet jane deget e
ndryshme hekurudhash qe lidhin
Skematizimi I jne sistemi transporti rezulton shume kompleks kur ehste perbere
nga shume menyra transporti (p.sh. hekurudha tramvaj, autobuza etj) si dhe nga
infrastruktura te niveleve te ndryshme cilesie sic ndodh ne pergjithesi ne zonat
urbane dhe metropolitane.
Ne rastin e sistemeve urbane dhe metropolitane eshte e mundur te ndertosh nje
graf shume te detajuar te sistemit te transportit ne nje zonim shume te imet deri
ne izolimin e nje elementi te vetem, ose duke marre ne konsiderate , paraqitjet
me te komplikuara (agregate) me zona me te medha dhe ne nje graf me me
pak harqe.
Ne pergjithesi ne nxjerrjen e nje grafi merren ne konsiderate pikat e zhvendosjes
nga nje menyre transporti ne nje tjeter , keto pergjithesisht , paraqiten nga
shume nyje qe percaktojne te njejten vend fizik por karakterizohen nga kohe te
ndryshme ajo e arritjes ne kete vend me nje menyer transporti dhe ajo e nisjes
ne menyre pasqrdhese dhe eventualisht nga cmimi I perdorimit te menyres se
15

16. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
daljes. shembuj tipike te kesaj menyre paraqitje jane ndalesat e autobuzave
urbane ku e ka fundin nje rruge kembesore dhe fillimin nje rruge me menyren e
transportit publik dhe kur mbi harkun qe I lidh dy nyjet vendoset koha e pritjes ne
ndalese dhe kostoja e biletes, ose stacionit hekurudhore ku pranohet kembimi
midis mjeteve peersonale dhe hekurudhore.
Jo gjithmone ne nxjerrjen e grafit eshte e nevojshme I njejti nivel drejtimi , sic u
tha dhe me siper menyra me te cilen grafi do te nxiret nga nje realitet teritorial
(ne vecanti urban) varet nga objektivi I studimit. Nje przantim I detajuar eshte I
nevojshem kur I referohemi nje realiteti teritorial te dimensioneve modeste, d.m.
thene kur p.sh. duhet te projektohet nje plan I ushtrimit te autobuzave ne nje
lagje urbane . Ose kur I referohemi ne nje zone te tere urbane nje skematizem
shume I detajuari sistemit te transportit nuk duhet te perdoret per dy arsye :
1) Do te duheshin nje numer shume I madh elementesh te se njejetes (nyje
dhe harqe), edhe per zona urbane te vogla , dhe keshtu veshtiresi te
shumta te llogaritjes.
2) Do te duhej te rrezikohej po te futeshin analizen e sistemit te transportit
edhe gabime te medha te cilet lidhen me nje rrjet shume te detajuar, ne
vecanti per sa I perket cmimit te kerkeses per traansport .
Ne nje mjet transporti c’do hark i korespondon nje fluksi i vetem, me nje hark
kohore i perdoruesave me karakteristikat dalluese, keshtu p.sh.nje rruge dy
drejtimeshe mbi te cilinudhetojne vetem autobuza private paraqiten nepermjet
nje qifft harqes me drejtime te kunderta. por nje rruge njedrejtimeshe mbi te
cilen udhetojne autobuza private dhe automjete publike paraqiten nepermjet
nje harku perkates te autoveturave private dhe nje harku per sherbimin publik
ose per sejcilen vije ne varesi te nivelit te detajizimit te perdorur. Nese ne te
kundert duhet te vendosen ne kategori te ndryshme perdoruesit qe perdorin te
njejten infrastrukture p.sh. sipas shkakut te udhetimit, ose tarifes se paguar se
njejtes infrastrukture fizike, e cila i bashkengjitet nje hark per c’do kategori
perdoruesish.
Ne figure jane sjelle grafet e rrjetit rrugore dhe te transportit publik per nje pjese
te zones urbane. Po atu ne figuren e meposhteme eshte paraqitur nje pjese e
grafit shumemodulesh per gjithe vendin, per nje plan te pergjithshem te
transportit .
16

17. “PROJEKTIMI I SISTEMEVE TE TRANSPORTIT”
Nga sa thame me siper eshte e dukshme qe operacioni i trafikimit dhe i nxjerrjes
se grafit jane shume te lidhur me njera tjetren. Niveli i zonifikimit duhet ne fakt te
perputhet me nivelin e paraqitjes te sistemit real dhe e anasjellta, per me teper
ne vcanti ne zonat urbane struktura e sistemit te transportit ekzistues dhe atij te
projektuar, do te influencoje ne mase te konsiderueshme zonifikimin e zones se
studimit.
D) Funksioni i kostos
Kostoja ( e pergjitheshme) e kalimit te nje harku ne graf te nje sistemi transporti
eshte elementi qe lejon te kalohet nga grafi, tek paraqitja me rrjet, e nje sistemi
transporti. Ne pergjithesi ne mjete e transportit private ku ne shume raste
qarkullojne edhe mjete publike kostoja e kalimit te nje harku, eshte nje rrelacion
matematikor qe jep ose perfaqeson koston mesatare te transportit per fluksin,
sigurisht qe varet nga numuri I perdoruesave qe e perdorin harkun vete dhe
harqe te tjere te rrjetit. Komponentet qe perbejne koston e kalimit te nje harku,
jane komplekse, por ne perafrojme ne nje limit duke i konsideruar si te
homogjenizuar, dhe i vetmi faktor viziv, mbetet koha, per te cilen vleresohet si
nje kohe mesatare e harkut. Ne fakt, kjo kohe, prezantohet ne kohen e levizjes
urbane dhe dhe kohen e levizjes extraurbane, kjo e fundit perfshin nocionet e
nderhyrjes me rrjetat e tjere.
Teknikat e sgjidhjes se nje rrjete te ndertuar per nje sistem transporti
Per zgjidhjen matematikore qe propozohen te kryhen mbi rrjetat e sistemeve te
transportit, ose shkurt do ti permendim rrejtat e transportit, jane Algoritmi sipas
“Dijkstras”;”Gjenerimit te pemes” etj.
17