FGFGFGFGFGGG

1. Matematika për ekonomi dhe
biznes
Dr.sc. Xhevdet Thaqi prof.ass.
Fakulteti i Ekonomik
Univerziteti i AAB
Tema : Funksioni kuadratik, eksponencial dhe
logaritmik

2. FUNKSIONI KUADRATIK
• Funksionet e formës: f(x)= a·x 2+ b·x + c, quhen funksione
kuadratike.
• Zona e perkufizimit është (Domeni) D f: R apo intervali (-, ).
• Grafiku i funksionit kuadratik është lakore e cila quhet
parabolë.
• Koeficientet e funksionit kuadratik janë numra apo konstante,
dhe identifikohen si:
• a - termi (koeficienti) i katrorit, b –termi (koeficienti) linear dhe
c - termi (koeficienti) i lire.

3. Shenja dhe vlera e ekoeficientit a
• eshte konkav nese a>o, dhe konveks nese a<0.
• Varësisht nga fakti se D>0 apo D<0, përcaktohet posicioni i
grafikut ndaj boshtit Ox., prandaj në figuarat e më poshtme nuk
paraqesim boshtin Ox.
• Poashtu varësisht nga vlera apsolute e koeficientit a, “krahët” e
grafikut janë më të hapur apo më të mbyllur,…

4. Nëse e çvendosim grafikun e funks. f(x)= x2 për p-njësi drejt anës
së djathtë, dhe për k – njësi në drejtim të kahjes pozitive të
boshtit y, fitojmë grafikun e funksionit: g(x) = a(x - p)2 + k
Shembull: Ne figurë kemi f(x)= x2, të çvendosur për 4.58 njësi në
drejtim pozitiv te boshtit x dhe per 3.92 njësi në drejtim pozitiv
të boshtit y, kemi fituar funksionin f(x)= (x– 4.58)2 + 3.92
Çvendosja e grafikut f(x)=ax
2

5. Ekuacionet kuadratike
 > 0  = 0  < 0

6. GrAFIKU I FUNKSIONIT KUADRATIK
Te llogaritet Shenohen në grafikun e funksionit
Duke zbatuar formulen gjenden
rrenjet e ekuacionit kuadratik x1
dhe x2
Nese rrenjet jane reale, ato caktohen
ne boshtin x si pika x1 dhe x2
Njehsohen koordinatat e kulmit:
xv = (x1+x2)/2 ose xv= -b/2a,
dhe
yv = f(xv) – zevend. në funksion
vlera e xv.
Kulmi: V (xv ; yv)
Boshti i simetrisë së grafikut: drejtza
e cila kalon nëpër piken xv
Prerja me boshtin y, x=0, y=c, pra
pika (0 ; c)
Pikeprerja me boshtin Oy, dhe duke
shfrytezuar simetrine mund te
caktohet edhe pika simetrike me te.

7. • Konkaviteti i funksionit:
• Nëse a > 0 funksioni eshte konkav “”.
• Nëse a < 0 funksioni eshte konveks “”.
• Intervalet e monotonise (rritja dhe zvoglimi i funksionit)
• Nese a>0, funksioni f(x) eshte zvoglues ne (-∞;xv), dhe rrites
ne intervalin (xv ;+ ∞).
• Nese a<0, funksioni f(x) eshte rrites ne intervalin(-∞;xv), dhe
zvogelues ne intervalin (xv ;+ ∞).
• Shenja e funksionit kuadratik:
• Ne rastin e funksionit kuadratik dallojme:
• Nese a>0, pozitiv ne (-, x1), dhe (x2, ) negativ ne (x1, x2),
• Nese a<0, pozitiv ne (x1, x2), negativ ne (-, x1), dhe (x2, )
• Max dhe min.
Vetite e funksionit kuadratik

8. Shembull: Eshte dhene funksioni f(x)= x
2
+x - 3.75

9. ushtrime
a) Vizatoni grafikun e funksioneve:
f(x)= (x + 5 ) 2 - 8 g(x) = -3 x 2 - 6 x + 12
h(x) = x 2 - 4 x + 4 t(x) = - x 2
+ 3x
Zgjidhni ekuacionet e meposhtme:
1) 0,5 x 2
+ 8 = 0
2) 3 x 2
+ 2,5 x = 0
3) (2 x ) 2
- 3 = 6
4) 3 x ( 7 - x ) = 0
5) 2 x2
- 3 x + 1 = 1/ 2 ( 2x + 2)
6) 6 (1/ 3 X+ 1/ 2) = x 2
+ 3
Gjeni numrat e plotë të cilet plotësojne kushtet e dhëna me posht:
a) Ndryshimi ndermjet katrorit të trefishit të një numri dhe katrorit të
dyfishit të tij është 125.
b) Prodhimi i numrit (të plotë) pasardhes dhe paraardhesit është 399.
c) Trefishi i katrorit të pasardhesit të një numri është 147.

10. • Funksióni exponencial eshte i formes:
• ku a eshte numer real positiv, x-ndryshore e pavarur.
• Prandaj funksioni i cili çdo numri real x i korrespondon fuqia ax
quhet funksion eksponencial me base a dhe eksponent x.
• Shembull 1. Le te jete dhene funksioni
• Per x marrim vlera te ndryshme, fitojme vlerat e ndryshores y:
Fnksioni eksponencial
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2x
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

11. Shembulli 2. le te jete:
Shembulli 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
/2)x
8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

12. • Ekuacion exponencial eshte ekuacioni në të cilën e panjohura paraqitet në
eksponent. P.sh. ekuacioni është ekuacion exponencial.
Ekuacionet eksponenciale
Për të zgjidhë një ekuacion exponencial duhet të kemi parasysh:
1.
2.
3. Vetite e fuqive:
a0
= 1,
a1
= a,
,
,
am
· a n
= am+n
am
: a n
= am - n
(am
)n
= am · n
an
· b n
= (a · b) n
an
: b n
= (a : b) n

13. Shembull
Shembulli 3: Te zgjidhen ekuacionet exponenciale:
1. , 2. , 3.
Zgjidhje:
1.
2.
,
3.

14. Funksioni logaritmik
L ogaritëm i një numri x me bazë të dhënë a, është exponenti y me
të cilin duhet ngritur bazën a në mënyrë që të fitohet numeri x.
Simbolikisht shënojmë:
Duke qenë a bazë, x numri, dhe y logaritmi, do të kemi:
Shembull 1. Ne bazë të përkufizimit për logaritmet, llogaritni
vleren e y:
1.
2.
3.
4.

15. Logaritmi natyral dhe dhjetor
Varësisht nga baza e logaritmit, dallojmë dy klasa të veqanta të
logaritmeve: logaritmet dhjetore dhe logaritmet natyrale.
Logaritmet dhjetore: jane ato logaritme qe kan per baze numrin 10.
Shenohen simbolikisht me log(x).
p.sh.: log10100 =log 100=2, sepse 102
=100
Logaritmet neperiane apo logaritmet natyrale: jane logaritmet te
cilat per baze kan numrin e. Shkruhen simbolikisht me ln(x) ose
L(x).
p.sh. logex=lnx, etj

16. Vetitë e logaritmeve
Vetitë e logaritmeve
Ne vazhdim po perkujtojme disa nga vetite e logar itmeve te cilat
rrjedhn drejtperdrejt nga perkufizimi i logaritmit:
Pra nga perkufizimi i logaritmit rrjedh se:
- Nuk existon logaritmi i nje numri me base negative:
- Nuk existon logaritmi i nje numri negativ:
- Nuk existon logaritmi i numrit zero:
- Logaritmi i numrit 1 eshte zero.
- Logaritmi i numrit a me base a eshte i barabarte me nje:
- Logaritmi me baze a i nje fuqie te a eshte i barabarte me
eksponentin e a:

17. Funksioni logaritmik
Fnksion logarítmik me baze a eshte funcióni invers i funksionit
exponencial me baze a. Simbolikisht e shenojme:
f(x)=loga x, a>0, a≠1, eshte inverz i funksionit f(x)= ax
Shembull. Shqyrtojme funksionin:
Marrim disa vlera te ndryshores x dhe njehsojme vlerat perkatese te
f(x), dhe ato i paraqesim ne tabele:
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Vlerat e fituara i paraqesim ne sistemin koordinativ kendedrejte dhe
me bashkimin e tyre fitojme lakoren si ne figuren e mëposhtme:

18. Funksioni logaritmik
Shembulli 2. Shohim tani funksionin:
Duke vepruar ne te njejten menyre si ne shembullin emeparshem,
fitojme:
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
3 2 1 0 -1 -2 -3
Grafiku i te cilit eshte:

19. Vetitë e funksionit logaritmik
Vetite e përgjithshme të funksionit logaritmik janë:
1. Domeni (Fusha e perkufizimit): ,
2. Kodomeni (Fusha e vlerave te funksionit): .
3. Eshte funksion i vazhdueshem.
4. Eshte injektiv: d.m.th: a≠1, dhe x1 x2 vlen loga x1loga x2.
5. Eshte rrites nese a >1, dhe funksion zvoglues nese a < 1.
6. Lakorja e funk. y =loga x eshte simetrike me lakoren e funks. y =ax

20. Vetitë e funksionit logaritmik
Përveq vetive të cekura më sipër funksioni logaritmik ka edhe këto
veti:
1. shembull:
2. shembull:
3. shembull:
4. shembull:
5. Ndrrimi i bazave:
, për shembull:

21. ushtrime
A) Vizatoni grafikun e funksionevelogaritmike
1. Log3 x, log3 2x, log3 3x
2. Log2 x, log2 (x-2), log2 ( x-3)
B) Te zgjidhen ekuacionet logaritmike
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Te zgjidhen ekuacionet logaritmike:
1. ,
2.
3.
4.