Andi Krasniqi (MATEMATIKE KL-IX)

1. MATEMATIKË
ARSIMTARI: RRAHIM BRATI
NXËNËSI: ANDI KRASNIQI
KLASA: I X-1

2. HYRJE
Matematika në Greqinë e lashtë;
Gjeometria;
Kuptimet themelore dhe ato të nxjerrura të gjeometrisë;
Pohimet themelore dhe ato të nxjerrura të gjeometrisë;
Aksioma e Incidencesë;
Aksioma e Renditjes;
Aksioma e Kongruencës.

3. Matematika në Greqinë e lashtë
 Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një pleajdë e
tërë matematikanësh siç janë: Pitagora,Talesi,Plutoi,Eudoksi,Euklidi,Arkimedi
etj.Grekët e vjetër matematikanë e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të
parët ishin ata që të vërtetat matematikore të cilat ato I quanin teorema I
vërtetonin.
 Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë I përvetësuan dhe I
pasuruan arabët të cilët quhen edhe themelues të algjebrës.Përkthimet arabe të
veprave të matematikanëve grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
 Pastaj shtytjen dhe zhvilllimin e matematikës e morën në dorë Evropianët.

4. GJEOMETRIA
 Fjala gjeometri ka prejardhjen nga greqishtja,që në shqip do të thotë (geo-dhe;
metri-matje).
 Zanafilla e saj është shumë e largët qe nga koha e
sumerëve,indianëve,egjiptianëve,babilonasve,etj.
 Këta popuj të lashtë kanë përdorur figura të ndryshme gjeometrike si:
segmente,kënde,trekëndësha.
 Për herë të parë gjeometria është përdorur në Egjiptin e lashtë.Ata për
vërtetimin e fakteve kanë përdorur metoden deduktive e cila për të vërtetuar nje
fakt të ri shfryntëzonte të gjitha faktet e mëparshme,themeluesi I kësaj metode
është Talesi I Miletes.Zhvillim të hovshëm gjeometria përjeton ne kohën e
Euklidit I cili në vitin 300 p.e.s. shkroi veprën e quajtur Elementet.

5. KUPTIMET THEMELORE DHE TË NXJERRURA TË GJEOMETRISË
 Kuptimet themelore të gjeometrisë janë:pika,drejtëza dhe rrafshi.
 Parimi themelor I studimit të gjeometrisë është prej të njohurës nga e panjohura.
 Përshkrimi I një koncepti të ri gjeometrik me ndihmën e koncepteve të njohura
më parë quhet përkufizim.
 Pika është pozita në hapësirë e cila mund të paraqitet nëpërmjet tri kordinantave
apo kombinimeve tjera gjeometrike për orientim në hapesirë.

6. Drejtëza,Rrafshi,Pikat komplanare dhe
jokamplanare
 Drejtëza është vijë e drejtë e pakufizuar në asnjërën anë.
 Rrafshi paraqet sipërfaqa me dy përmasa, në të cilën një drejtëz që bashkon dy
pika qfarëdo të saj ndodhet gjithnjë brenda saj.
 Për pikat që I takojnë një drejtezë do të themi se janë kolineare.
 Ndërsa për pikat të cilat I takojnë një rrafshi do themi se janë komplanare.

7. POHIMET THEMELORE DHE ATO TË NXJERRURA Të
GJEOMETRISË
 Pika,drejtëza dhe rrafshet kanë disa veti të cilat I dallojnë nga figurat tjera.Vetitë
e figurave gjeometrike shprehen përmes pohimeve,të cilat i ndajmë në:
 Pohime themelore
 Pohime të nxjerrura
 Pohimet themelore bëjnë pjesë të ashtuquajtura aksiomat.Keto janë pohime të
cilat konsiderohen si të sakta pa I vërtetuara.
 Vërtetimi i këtyre pohimeve bazohet në metoden deduktive.Ekzistojnë dy mënyra
për të vërtetimin e një pohimi(teoreme)në mënyren deduktive:direkte dhe ajo
inderekte(kontrapozicionit)

8. Ndarja e aksiomave
 Aksiomat në gjeometri ndahen në pesë grupe:
 Aksiomat e incidencës(lidhjes),
 Aksiomat e renditjes,
 Aksiomat e kongruencës, dhe
 Aksiomen e paraleleve dhe vazhdueshmërise.

9. Aksiomat e Incidencës
 Aksioma 1. Cdo drejtëz mban të pakten dy pika te ndryshme.
 Aksioma 2.Cdo dy pika të ndryshme përcaktojnë një drejtëz të vetme.
 Aksioma 3.Cdo tri pika jokolineare përcaktojne një rrafsh të vetëm.
 Aksioma 4.Cdo rrafsh përmban tri pika.Ekzistojnë katër pika(jokomplanare)që nuk I takojnë të
njejtit rrafsh.

10. Aksioma 5 dhe 6
 Aksioma 5.Cdo drejtëz,e cila me një rrafsh ka dy pika të perbashkëta,përmbahet
në atë rrafsh.
 Aksioma 6.Nëse dy rrafshe të ndryshme kanë një pikë të përbashkët,atëhere ato
kanë një drejtëz të përbashkët.

11. Përkufizim 1 dhe 2
 Përkufizim 1.Për dy drejtëza të ndryshme a dhe b themi se priten nëse ato kanë
një pikë të përbashkët dhe simbolikisht e shkruajmë a∩b=(0)
 Përkufizim 2.Nëse pikat e përbashkëta të dy rrafsheve
𝛼 dhe 𝛽 I takojnë vetëm një drejtëz,do të themi se rrafshet priten.Për dy rrafshe 𝛾
dhe 𝛿,të cilat nuk kanë pika të përbashkëta,do të themi se janë paralele dhe
simbolikisht do të shkruajm 𝛾 𝛿 .

12. Rrjedhimi 1,Rrjedhimi 2 dhe Teorema 2
 Rrjedhimi 1.Dy drejtëza që priten përcaktojnë një rrafsh të vetëm.
 Rrjedhimi 2.Dy drejtëza të cilat nuk shtrihen në të njejtin rrafsh ,nuk mund të
priten.
 Teorema 2.Dy drejtëza të ndryshme kanë më së shumti një pikë të përbashkët.

13. Përkufizim 4,Aksioma 7 dhe Teorema 4
 Përkufizim 4.Për dy drejtëza a dhe b themi se janë paralele dhe simbolikisht shkruajmë
a 𝑏 ose dy drejtëza shtrihen në të njejtin rrafsh dhe ato nuk priten.Pra a∩b=0
 Aksioma 7.Për cdo drejtëz a dhe një pike A ekziston një drejtëz e vetme b,e cila e
përmban pikën A dhe është paralele me drejtëzën a.
 Teorema 4.Dy drejteza te ndryshme dhe paralele percaktojne nje rrafsh te vetem.

14. Teorema 5 dhe Përkufizim 5
 Teorema 5.Le të jenë m,n dhe p tri drejtëza të një rrafshi a,nëse drejtëzën m dhe
n janë paralele mes vete dhe nëse drejtëza p e pret njërën prej tyre,atëherë ajo e
pret edhe tjetrën.
 Përkufizim 5.Për dy drejtëza të ndryshme m dhe n themi se janë aplanare nëse
ato nuk shtrihen në të njejtin rrafsh.

15. Teorema 6 dhe 7
 Teorema 6.Drejtëza b është paralele me rrafshin atëherë kur në rrafshin a
ekziston drejtëzën a,e cila është paralele me drejtëzën b.
 Teorema 7.Nëse drejtëzat p dhe q priten dhe
Janë paralele me rrafshin a,ato përcaktojnë një
rrafsh të vetëm 𝛽,I cili është paralel me rrafshin a.

16. Teorema 8 dhe 9
 Teorema 8.Nëpër pikën e dhënë B jashtë të rrafshit të dhënë a kalon një rrafsh
𝛽,I cili është paralel me rrafshin a.
 Teorema 9.Nëse drejtëza b është me paralel me rrafshin e dhënë, a atëherë
ekziston një rrafsh I vetëm 𝛽,I cili e përmban drejtëzen b dhe është paralel me
rrafshin a.

17. Aksiomat e Renditjes
 Aksioma 8.Nëse pika B është ndërmjet pikave A dhe C,atëherë pikat A,B dhe C
janë kolineare,dhe po ashtu pika B është ndërmjet pikave C dhe A.
 Aksioma 9.Nëse A,B,C janë tri pika kolineare,atëherë dhe vetëm një është
ndërmjet dy të tjerave(A-B-C),(A-C-B) ose (B-A-C).

18. Teorema 12, Përkufizim 6, 7 dhe 8
 Teorema 12.Nese A dhe B jane dy pika te ndryshme,atehere ekziston pika C,e cila
eshte ndermjet tyre.
 Përkufizim 6.Segment te percaktuar nga dy pika A dhe B te nje drejteze p quajme
bashkesine e te gjitha pikave te drejtezes p te cilat ndodhen ndermjet pikave A
dhe B dukei perfshire edhe A e B.Simbolikisht e shenojme 𝐴𝐵 .Pikat A dhe B I
quajme skaje te segmentit.
 Përkufizim 7.Për pikën C të drejtëzës a themi se ndodhet nga e njejta anë e pikës
A nga e cila ndodhet pika B,nëse nuk vlen renditja (B-A-C).
 Përkufizim 8.Bashkësinë e të gjitha pikave të drejtëzës a të cilat në të njejtën anë
të pikës A,duke e përfshirë edhe vetë pikën A,e quajmë gjysmëdrejtëz në fillim në
pikën A.

19. Përkufizim 9 dhe 10
 Përkufizim 9.Për pikën A të rrafshit a themi se ndodhet nga e njejta anë e
drejtëzës a nga e cila ndodhet pika B,nëse vlen ndonjëri rastet.
1 AB ∩ a =
2 Nga Ab ∩ a = (c) rrjedh se pika C nuk mund të jetë ndërmjet pikave A dhe B.
 Përkufizim 10.Bashkësinë e të gjithave pikave te rrafshit a të cilat ndodhen në të
njejtën anë të drejtëz,duke e përfshirë edhe vetë drejtëzën a,e quajmë
gjysmërrafsh me dhe drejtëzën a.

20. Përkufizim 11 dhe 12
 Përkufizimi 11.Për një bashkësi pikash themi se është konvekse,nëse për cdo dy
pika të saja A dhe B dhe segmenti I përcaktuar prej tyre 𝐴𝐵 përmbahet në atë
bashkësi.Në të kundërtën bashkësia quhet jokonvekse.
 Përkufizim 12.Unioni I këtyre dy gjysmëdrejtëzave a dhe b e quajmë vijë këndore
me kulm në piken O dhe simbolikisht e shënojmë me <aOb.Gjysmëdrejtëzat a
dhe b I quajmë krahë të vijës këndore.

21. Përkufizim 13 dhe 14
 Perkufizim 13.Për dy kënde, të të njejtit rrafsh,themi se janë fqinje nëse ato dy
kënde kanë një krah të përbashkët,ndërsa krahu tjetër I njërit nuk guxon të
përmbahet në brendinë e tjetrit.
 Perkufizim 14.Për dy kënde,të cilat shtrihen në të njejtin rrafsh,themi se janë
kryqëzore nëse ato dy kënde nuk janë fqinje,kanë kulm të përbashkët dhe
formohen gjatë prerjes se dy drejtëza po atij rrafshi.

22. Përkufizim 15 dhe 16
 Përkufizim 15.Le të jenë 𝐴1,𝐴2,…..𝐴𝑛, për n >2 pika të një rrafshi,ashtu që asnjë
treshe pikash fqinje nuk I takojnë një drejtëze.Unionin e
segmenteve 𝐴1𝐴2 , 𝐴2𝐴3 ,…. 𝐴𝑛−1𝐴𝑛 e quajmë vije të thyer të rrafshtë dhe
simbolikisht e shënojmë me 𝐴1𝐴2𝐴3…..𝐴𝑛.
 Përkufizim 16.Unioni I një vije të mbyllur poligonale dhe pikat e brendshme të saj
e quajmë sipërfaqe poligonale.

23. Aksiomat e Kongruencës
 Aksioma 12.Për cdo segment 𝐴𝐵 = 𝐴1𝐵1
 Aksioma 13.Le të jenë A,B,C dhe A1,B1,C1 pika kolineare respektivisht të tilla që
(A-B-C) dhe (A1-B1-C1).Nesë 𝐴1 𝐵1 = 𝐴𝐵 dhe 𝐵1𝐶1 = 𝐵𝐶

24. Aksioma 14 dhe Përkufizim 17
 Aksioma 14.Le të jenë A,B,C tri pika jokolineare kurse 𝐴1 𝐵1 pika të tehut 𝐴1 të
gjysmërrafshit 𝐴1 ashtu që 𝐴1𝐵1 = 𝐴𝐵 .Atëherë në gjysmërrafshin e hapur
𝐴1ekziston pika e vetme 𝑐1 e tillë që 𝐴1𝐶1 = [A𝐶] dhe 𝐵1𝐶1 = 𝐵𝐶 .
 Përkufizim 17.Bashkësinë e të gjithave pikave në rrafsh të cilat janë njësoj të
larguara nga një pikë e fiksuar O e quajmë rreth.Pikën e fiksuar O e quajmë
qendër të rrethit,ndërsa largesën r të cilës do pikë të rrethit nga qendra e tij e
quajmë rreze të rrethit.

25. Përkufizim 18 dhe 19
 Përkufizim 18.Bashkësinë e të gjitha pikave në hapësirë të cilat janë njësoj të
larguar nga një pikë e fiksuar O e quajmë sferë.
 Përkufizim 19.Le të jetë r>0 dhe O një pikë e fiksuar e rrafshit.Bashkësinë e të
gjitha pikave në rrafsh largesat e të cilave është më e vogel ose e barabartë me
numrin r e quajmë qark rrethor.Pikën e fiksuar O e quajmë qendër të
rrethit,ndërsa numrin pozitiv r e quajmë rreze të qarkut.