1. www.matematiranje.com
LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
Pre nego što krenete u reševanje jednačine savetujemo vam da se podsetite pravila za
logaritme.
1) Rešiti jednačine:
a) log 3 (2 x + 3) = 2
b) log 4 (3 x + 4) = 3
1
c) log 3x + 1 =
2
Rešenje:
a) log 3 (2 x + 3) = 2 → Iskoristićemo definiciju log A B = ⊗ ⇔ B = A⊗
Dakle:
2 x + 3 = 32
2x + 3 > 0
2x + 3 = 9
uz uslov 2 x > −3
2x = 6
3
x=3 x>−
2
3
Pošto je 3 > − , rešenje x = 3 je ‘’dobro’’
2
b) log 4 (3 x + 4) = 3 → Opet po definiciji
3 x + 4 = 43
3x + 4 > 0
3x + 4 = 64
uslov 3x > −4
3x = 60
4
x = 20 x>−
3
Rešenje zadovoljava uslov!!!
1
v) log 3x + 1 = → Primetimo da nema osnova, pa dopišemo 10 po dogovoru,.
2
1

2. www.matematiranje.com
1
log10 3x + 1 =
2
1
3x + 1 > 0
3 x + 1 = 10 2 uz uslov
3x + 1 > 0
3 x + 1 = 10....... /() 2 kvadriramo
3x = 9 1
x>−
x=3 3
1
3 > − , dobro je rešenje.
3
2) Rešiti jednačine:
a) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2
b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2
v) log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1
Rešenja:
a) Iskoristićemo log a x + log a y = log a ( xy)
log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2
log 2 ( x − 1)( x + 2) = 2 → Uslovi x − 1 > 0 i x + 2 > 0
x > 1 i x > −2
Dalje po definiciji:
( x − 1)( x + 2) = 2 2
x 2 + 2x − x − 2 = 4
x2 + x − 6 = 0
−1± 5
x1, 2 =
2
x1 = 2
x 2 = −3
Dalje se pitamo da li rešenja zadovoljavaju uslove: x > 1 i x > −2
x ∈ (1, ∞ )
x1 = 2 → Zadovoljava
x2 = −3 → Ne zadovoljava
Dakle, jedino rešenje je x = 2
2

3. www.matematiranje.com
b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2
Dopišemo najpre osnovu 10
log10 ( x 2 + 19) − log10 ( x − 8) = 2
x
Pošto je log a x − log a y = log a
y
x 2 + 19
log10 = 2 naravno uz uslove: x 2 + 19 > 0 i x − 8 > 0
x −8
x>8
x + 19
2
= 10 2
x −8
x 2 + 19
= 100
x −8
x 2 + 19 = 100( x − 8)
x 2 + 19 = 100 x − 800
x 2 − 100 x + 819 = 0
100 ± 82
x1, 2 =
2
x1 = 91
x2 = 9
Oba rešenja ‘’dobra’’ jer su veća od 8
v)
log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1
2
log(5 − x) + log 3 − x = 1
log(5 − x) + log(3 − x) = 1
Uslovi su:
5− x > 0 3− x > 0
− x > −5 i − x > −3
x<5 x<3
Dakle uslov je x < 3
3

4. www.matematiranje.com
(5 − x)(3 − x) = 101
15 − 5 x − 3 x + x 2 − 10 = 0
x 2 − 8x + 5 = 0
8 ± 44 8 ± 2 11 2(4 ± 11)
x1, 2 = = = = 4 ± 11
2 2 2
x1 = 4 + 11 ≈ 7,32
x 2 = 4 − 11 ≈ 0,68
x1 = 4 + 11 ne zadovoljava uslov, pa je jedino rešenje: x = 4 − 11
3) Rešiti jednačine:
a) log 2 x − 3 log x + 2 = 0
5
b) log 2 x + log x 2 =
2
Rešenja:
a) Uvodimo smenu log x = t uz uslov x > 0
log 2 x − 3 log x + 2 = 0
t 2 − 3t + 2 = 0
3 ±1
t1, 2 =
2
t1 = 2
t2 = 1
Vratimo se u smenu log10 x = 2 i log10 x = 1
x = 10 2 x = 101
x = 100 x = 10
5 1
b) log 2 x + log x 2 = kako je log a b =
2 log b a
1 5
log 2 x + = → Uvodimo smenu log 2 x = t uz uslove x > 0 i x ≠ 1
log 2 x 2
1 5
t + = → Sve pomnožimo sa 2t
t 2
4

5. www.matematiranje.com
2t 2 + 2 = 5t
2t 2 − 5t + 2 = 0
5±3
t1, 2 =
4
t1 = 2
1
t2 =
2
1
Vratimo se u smenu : log 2 x = 2 ili log 2 x =
2
x = 22 1
x=4 x=2 2
x= 2
4) Rešiti jednačine:
a) log 2 x + log 4 x + log16 x = 7
2
b) log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =
3
Rešenje: U oba primera ćemo koristiti da je:
1
log a S x = log a x
S
a)
log 2 x + log 4 x + log16 x = 7 uslov x>0
log 2 x + log 22 x + log 24 x = 7
1 1
log 2 x + log 2 x + log 2 x = 7 /⋅ 4
2 4
4 log 2 x + 2 log 2 x + 1log 2 x = 28
7 log 2 x = 28
log 2 x = 4
x = 2 4 ⇒ x = 16
5

6. www.matematiranje.com
b)
2
log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =
3
2
log 3 x ⋅ log 32 x ⋅ log 33 x ⋅ log 34 x =
3
1 1 1 2
log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x =
2 3 4 3
1 2
log 3 x =
4
24 3
log 3 x = 16 ⇒ log 3 x = t
4
t 4 − 16 = 0 ⇒ (t 2 ) 2 − 4 2 = (t 2 − 4)(t 2 + 4) = 0
(t − 2)(t + 2)(t 2 + 4) = 0
odavde je t=2 ili t=-2
Kada se vratimo u smenu
log 3 x = 2 v log 3 x = −2
x=3 2
x = 3− 2
x=9 v 1
x=
9
5)
Rešiti jednačine:
a) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2
b) log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0
Rešenja
a)
log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2
x
Kako je log a x − log a y = log a
y
6

7. www.matematiranje.com
4x − 6
log =2
5
2x − 2
4x − 6 2
= 5
2 −2
x
4 x − 6 = 5(2 x − 2)
4 x − 6 = 5 ⋅ 2 x − 10
4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 ⇒ smena 2 x = t
t 2 − 5t + 4 = 0
5±3
t1, 2 =
2
t1 = 4
t2 = 1
2x = 4 2x = 1
ili
2 x = 22 x=0
x=2
Ovde je najbolje da proverimo rešenja u početnoj jednačini→ x=2 je jedino rešenje
b)
log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0
log10 (7 − 2 x ) − log10 (5 + 4 x ) + log10 7 = 0
log10 (7 − 2 x ) ⋅ 7 = log10 (5 + 4 x )............... / ANTILOGARITMOVANJE
(7 − 2 x ) ⋅ 7 = 5 + 4 x
49 − 7 ⋅ 2 x = 5 + 4 x
49 − 7 ⋅ 2 x − 5 − 4 x = 0
−4 x − 7 ⋅ 2 x + 44 = 0 / (−1)
4 x + 7 ⋅ 2 x − 44 = 0...................................smena 2 x = t
t 2 + 7t − 44 = 0
−7 ± 15
t1,2 =
2
t1 = 4
t2 = −11
7

8. www.matematiranje.com
Vratimo se u smenu:
2x = 4 ili 2 x = −11 nema rešenja
2 x = 22
x=2
Uslovi su 7 − 2 x > 0 i 5 + 4 x > 0 a rešenje je x=2 ih očigledno zadovoljava
6) Rešiti jednačine:
a) x1+ log3 x = 3x
b) x log 4 x − 2 = 23(log 4 x −1)
Ovo je tip zadataka gde moramo logaritmovati obe strane za odgovarajuću osnovu!!!
a)
x1+ log3 x = 3x................ / log 3
log 3 x1+ log3 x = log 3 3x važi log a b n = n log a b
(1 + log 3 x) log 3 x = log 3 3 + log 3 x............ ⇒ smena log 3 x = t
(1 + t ) ⋅ t = 1 + t
t + t2 = 1+ t
t 2 = 1 − t + t ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = ±1
Vratimo se u smenu:
log 3 x = 1 ili log 3 x = −1
x = 31 ili x = 3−1
1
x=3 ili x=
3
b)
x log4 x − 2 = 23(log4 x −1) → logaritmijemo za osnovu 4
log 4 x log4 x − 2 = log 4 23(log 4 x −1)
(log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 4 2
(log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 22 2
1
(log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) ⋅
2
Smena log 4 x = t :
8

9. www.matematiranje.com
3
(t − 2) ⋅ t = (t − 1)
2
2t (t − 2) = 3(t − 1)
2t 2 − 4t = 3t − 3
2t 2 − 4t − 3t + 3 = 0
2t 2 − 7t + 3 = 0
7±5
t1, 2 =
4
t1 = 3
1
t2 =
2
Dakle:
1
log 4 x = 3 ili log 4 x =
2
1
x = 43 ili x = 42
x = 64 ili x=2
Za logaritamske nejednačine koristimo iste ‘’trikove’’ kao za jednačine, ali vodimo
računa:
1) Kad je osnova veća od 1 (a>1) prepisujemo znak nejednakosti jer je funkcija
rastuća.
2) Kaj je osnova izmedju 0 i 1 (0<a<1) okrećemo znak nejednakosti jer je tada
funkcija opadajuća.
Kad postavimo uslove tj. oblast definisanosti, nadjemo i rešimo nejednačinu, trebamo
naći njihov presek.
1) Reši nejednačine:
a) log 2 (3 x + 4) ≥ 0
b) log 1 (4 x − 3) < 0
2
v) log 2 (3x − 5) < 1
Rešenje:
9

10. www.matematiranje.com
a)
log 2 (3 x + 4) ≥ 0 uslov 3x + 4 > 0
3x + 4 ≥ 2 o
3 x > −4
3x + 4 ≥ 1 4
x>−
3x ≥ −3 3
x ≥ −1
ne okrećemo znak jer je osnova veća od 1
Sad upakujemo rešenje i oblast definisanosti.
Konačno: x ∈ [− 1, ∞ )
b)
log 1 (4 x − 3) < 0 uslov: 4x − 3 > 0
2
4x > 3
PAZI: Okrećemo znak!!! 3
x>
o 4
⎛1⎞
4x − 3 > ⎜ ⎟
⎝2⎠
4x − 3 > 1
4x > 4
x >1
Upakujemo ova dva:
Konačno: x ∈ (1, ∞)
10

11. www.matematiranje.com
v)
log 2 (3 x − 5) < 1 uslov 3x − 5 > 0
3 x − 5 < 21 3x > 5
3x − 5 < 2 5
x>
3x < 7 3
7
x<
3
⎛5 7⎞
x∈⎜ , ⎟
⎝3 3⎠
2) Rešiti nejednačine:
a) log( x − 2) > log x
b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8)
Rešenja:
a)
log( x − 2) > log x uslovi: x−2 >0 i x >0
x−2 > x x>2 i x>0
x−x >2 Dakle x > 2
0x > 2
Ovo nema rešenja, pa cela nejednačina nema rešenja!!!
b)
log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8)
PAZI:Okreće se smer Uslovi:
2x + 6 < x + 8
2x + 6 > 0 ∧ x + 8 > 0
2x − x < 8 − 6
x > −3 ∧ x > −8
x<2
Uslovi daju : x > −3
11

12. www.matematiranje.com
Upakujemo:
x ∈ (−3,2) konačno rešenje
3) Rešiti jednačine:
a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0
b) log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3
a)
log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 uslov x 2 − 5 x + 6 > 0
5 ±1
x1, 2 =
x 2 − 5 x + 6 < 3o 2
x2 − 5x + 6 < 1 x1 = 3
x2 − 5x + 5 < 0 x2 = 2
5± 5
x1,2 =
2
5+ 5 x ∈ ( −∞,2) ∪ (3, ∞ ) Rešenje uslova
x1 = ≈ 3, 62
2
5− 5
x2 = ≈ 1,38
2
⎛5− 5 5+ 5 ⎞
x∈⎜ ⎟
⎜ 2 , 2 ⎟ rešenje zadatka konačno rešenje dobijemo kad upakujemo ova dva
⎝ ⎠
Dakle:
Dakle:
⎛5− 5 ⎞ ⎛ 5+ 5 ⎞
x ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 ,2 ⎟ ∪ ⎜ 3, 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12

13. www.matematiranje.com
b)
log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3 uslov: x2 − 4x + 3 > 0
x 2 − 4 x + 3 ≤ (0,5) −3 4±2
x1, 2 =
−3 2
⎛1⎞
x2 − 4 x + 3 ≤ ⎜ ⎟ x1 = 3
⎝2⎠
x2 = 1
x − 4 x + 3 ≤ 23
2
x2 − 4 x + 3 ≤ 8
x2 − 4 x + 3 − 8 ≤ 0
x2 − 4 x − 5 ≤ 0
4±6
x1,2 =
2
x1 = 5
x2 = −1
x ∈ [− 1,5]
Upakujemo rešenja:
x ∈ [− 1,1) ∪ (3,5] Konačno
13