Gjeometri, aksioma, historia matematike

1. Matematika në Greqinë e
lashtë
• Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç
janë : Pitagora,Talesi,Plutoi,Eudoksi,Euklidi,Arkimedi, etj. Grekët e vjetër matematikën e kuptonin në
sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i
vërtetonin.
• Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët të cilët quhen
edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve grekë në mesjetë
depërtuan në Evropë. Pastaj shtytjen dhe zhvillimin e matematikës e
morën në dorë Evropianët.

2. Talesi
Teorema e Talesit:
Teorema e Talesit thotë
se: Nëse A,B dhe C janë
pika të një vije rrethore të
tilla që segmenti AC është
diametër i vijës rrethore
atëherë këndi ABC është
kënd idrejtë.
Teorema e anasjelltë
e Talesit:
Hipotenuza e
trekëndëshit
kënddrejt është
diametër i rrethit të
jashtashkruar.
Talesi i Miletit lindi më 624p.e.s. dhe vdiq
më 552p.e.s., ishte filozof dhe matematikan
antik. Autor i veprave filozofike të cilat
mëvonë nga shumë shkencëtarë merren si
pikënisje e punës së tyre.Historia Tales nuk
është i pari që e zbuloi teoremën, dihet se
këtë teoremë e zotëronin Egjiptianët dhe
Babilonasit e vjetër të cilët e përdornin
porpa e vërtetuar. Talesi është i pari që
dha vërtetimin e saj prandaj ajo sot mban
emrine tij.

3. Pitagora
• Matematikan dhe filozof grek, i cili ka jetuar afërsisht nga viti 570 deri
në 495 para Krishtit. Pitagora është i njohur me teoremën e tij të
Pitagorës dhe është cilësuar nga Aristoteli si nga nismëtarët e parë në
studimin dhe zhvillimin e shkencës të matematikës.
• Historikisht është i njohur si trekëndëshi kënddrejtë. Teorema e
Pitagorës, është një rol kyç në matjet moderne dhe pajisjet
teknologjike dhe njihet si baza për teoritë dhe teoremat e tjera në
matematikë.
• Simbolet matematike kanë një rëndësi të madhe në doktrinën
Pitagoriene pasi nëpërmes tyre arrinin të konsolidonin në botën e
shfaqur gjithcka që kishin arritur të përvetsonin. Domethënë mund të
shkruanin , duke përdorur simbolet matematike, një gjendje
psikologjike ose një shprehje bukurie.

4. Euklidi
• Euklidi rreth 365 – 275 p.e.s.)
është themelues i metodës
aksiomatike në gjeometri. Ai
të gjitha njohuritë
gjeometrike por edhe
matematike të kohës së vet i
përmblodhi dhe i sistematizoi
në 13 libra të cillat njihen me
titullin Elementet.
Teorema e pare e Ekulidit
Ne trekendeshin
kendedrejt,lartesia e hequr
nga kulmi i kendit te drejte
eshte e mesme e perpjesshme
ndermejet te kateteve me
hipotenuzen.
CD2=AH*BH
Teorema e dyte e Euklidit
Ne trekendeshin
kendedrejt,cdo katet eshte i
mesem i perpjesshem
ndermjet hipotenuzes dhe
projeksionit te tij mbi
hipotenuze.
AC2=AD*AB
Pika eshte dicka qe nuk
ka pjese, apo drejteza
eshte nje vije e cila ka
gjatesi, por nuk ka
gjeresi.

5. Pohimet themelore dhe ato te nxjerra te
gjeometrise
 Pika, drejtezat dhe rrafshet kane disa veti te cilat i dallojne nga figurat tjera. Vetite e figurave gjeometrike
shprehen permes pohimeve, te cilat i ndajme ne:
 Pohime themelore
 Pohime te nxjerra.
 Pohimet themelore bejne pjese te ashtuquajtura akisomat. Keto jane pohime te cilat konsiderohen si te
sakta pa i vertetuar.
 Vertetimi I ketyre pohimeve bazohet ne metoden deduktive. Ekzistojne dy menyta per vertetimin e nje
pohimi (teoreme) ne menyren deductive: direkte dhe ajo indirkete (kontrapozicionit).
Aksiomat ne gjeometri ndahen ne pese grupe:
 Aksiomat e incidences (lidhjes)
 Aksiomat e renditjes,
 Aksiomat e kongruences dhe
 Aksiomen e paraleleve dhe vazhdueshmersie.

6. Aksiomat e incidences
 Aksioma 1. Cdo drejtez permban te pakten dy pika te ndryshme. Ekzistojne tri pika jokolineare.
 Aksioma 2. Cdo dy pika te ndryshme percaktojne nje drejtez te vetme.
 Aksioma 3. Cdo tri pika jokolineare percaktojne nje rrafsh te vetem.
 Aksioma 4. Cdo rrafsh permban tri pika. Ekzistojne kater pika (jokomplanare)
qe nuk i takojne te njejtit rrafsh.
*
A
*
B
a
*
A
*
B
*C a
*A
*C
*B
a
*A
*B
*C a
*D

7. AKSIOMA 5. CDO DREJTEZ, E CILA ME NJE RRAFSH KA DY PIKA TE PERBASHKETA,
PERMBAHET NE ATE RRAFSH.
AKSIOMA 6. NESE DY RRAFSHE TE NDRYSHME KANE NJE PIKE TE PERBASHKET, ATEHERE
ATO KANE NJE DREJTEZ TE PERBASHKET.
*
A
*
B
a a

8.  Perkufizimi 1. Per dy drejteza te ndryshme a dhe b themi se priten nese ato kane nje pike te
perbashket dhe simbolikisht shkruajme a∩b= {o}
 Perkufizimi 2. Nese pikat e perbashketa te dy rrafsheve a dhe β i takojne vetem nje drejtez, do te
themi se rrafshet priten. Per dy rrafshe γ dhe δ, te cilat nuk kane pika te perbashketa, do te
jane paralele dhe simbolikisht do te shkruajme γІІδ
*
O
a
b
γ
δ

9.  Rrjedhimi 1. Dy drejteza qe priten percaktojne nje rrafsh te vetem.
 Rrjedhimi 2. Dy drejteza te cilat nuk shtrihen ne te njejtin rrafsh, nuk mund te priten.
 Teorema 2. Dy drejteza te ndryshme kane me se shumti nje pike te perbashket.
a
a a
a
*
M
*
N
n
m

10.  Perkufizimi 4. Per dy drejteza a dhe b themi se jane paralele dhe simbolikisht shkruajme a ІІ b nese
a=b ose dy drejteza shtrihen ne te njejtin rrafsh dhe ato nuk priten. Pra a∩b= O
a=b a
b
a∩b= O

11.  Aksioma 7. Per cdo drejtez a dhe nje pike A ekziston nje drejtez e vetme b, e cila
e permban piken A dhe eshte paralele me drejtezen a.
 Teorema 4. Dy drejteza te ndryshme dhe paralele percaktojne nje rrafsh te vetem.
A b
*
a
a
b
L

12.  Teorema 5. Le te jene m,n dhe p tri drejteza te nje rrafshi α, nese drejtezen m dhe n jane
paralele mes veti dhe nese drejteza p e pret njeren prej tyre, atehre ajo e pret edhe tjetren.
 Perkufizim 5. Per dy drejteza te ndryshme m dhe n themi se jane aplanare nese ato nuk shtrihen
ne te njejtin rrafsh.
P
Q
p m
α
n

13.  Teorema 6. Drejteza b eshte paralele me rrafshin α atehere dhe vetem atehere kur ne rrafshin α
ekziston drejteza a, e cila eshte paralele me drejtezen b.

14.  Teorema 7. Nese drejtezat p dhe q priten dhe jane paralele me rrafshin α, ato percaktojne nje
rrafsh te vetem β, i cili eshte paralel me rrafshin α.
 Teorema 8. Neper piken e dhene B jashte rrafshit te dhene α kalon nje rrafsh β, i cili eshte paralel
me rrafshin α
α

15.  Teorema 9. Nese drejteza b eshte paralel me rrafshin e dhene , α atehere
ekziston nje rrafsh i vetem β, i cili e permban drejtezen b dhe eshte paralel me
rrafshin α

16. Aksiomat e renditjes
 Aksioma 8. Nese pika B eshte ndermjet pikave A dhe C, atehere pikat A, B dhe C jane kolineare, dhe
po ashtu pika B eshte ndermjet pikave C dhe A.
 Aksioma 9. Nese A,B,C jane tri pika kolineare, atehre dhe vetem nje eshte ndermjet dy te tjerave (A-
B-C), (A-C-B) ose (B-A-C).
* *
*
A B
C
α
C
*
D *
B
*
*E
p

17.  Teorema 12. Nese A dhe B jane dy pika te ndryshme, atehere ekziston pika C, e cila eshte
ndermjet tyre.
 Perkufizimi 6. Segment te percaktuar nga dy pika A dhe B te nje drejteze p quajme bashkesine e
te gjitha pikave te drejtezes p te cilat ndodhen ndermjet pikave A dhe B duke i perfshire edhe
A e B. Simbolikisht e shenojme me [AB]. Pikat A dhe B i quajme skaje te segmentit.
 Perkufizimi 7. Per piken C te drejtezes a themi se ndodhet nga e njejta ane e pikes A nga e cila
ndodhet pika B, nese nuk vlen renditja (B-A-C)
 Perkufizimi 8. Bashkesine e te gjitha pikave te drejtezes a te cilat ne te njejten ane te pikes A,
duke e perfshire edhe vete piken A, e quajme gjysmedrejtez me fillim ne piken A
* *
A B
p
* * *
A B C
a

18.  Perkufizim 9. Per piken A te rrafshit α themi se ndodhet nga e njejta ane e drejtezes a nga e cila
ndodhet pika B, nese vlen ndonjeri nga rastet
 1 AB ∩ a = O.
 2 Nga Ab ∩ a = (c) rrjedh se pika C nuk mund te jete ndermjet pikave A dhe B
 Perkufizim 10. Bashkesine e te gjitha pikave te rrafshit α te cilat ndodhen ne te njejten ane te
drejtezes a, duke e perfshire edhe vete drejtezem a, e quajme gjysmerrafsh me dhe drejtezen a
α
a

19.  Perkufizim 11. Per nje bashkesi pikash themi se eshte konvekse, nese per cdo dy
pika te saja A e B edhe segmenti i percaktuar prej tyre [Ab] permbahet ne ate
bashkesi. Ne te kunderten bashkesia quhet jokonvkese
 Perkufizim 12. Unioni i ketyre dy gjysmedrejtezave a dhe b e quajme vije kendore
me kulm ne piken O dhe simbolikisht e shenojme me . < aOb. Gjysmedrejtezat a
dhe b i quajme krahe te vijes kendore.
B*
a O a

20.  Perkufizim 13. Per dy kende, te te njejtit rrafsh, themi se jane fqinje nese ato dy kende kane nje
krah te perbashket, ndersa krahu tjeter I njerit nuk guzon te permbahet ne brendine e tjetrit.
 Perkufizim 14. Per dy kende, te cilat shtrihen ne te njejtin rrafsh, themi se jane kryqezore nese ato
dy kende nuk jane fqinje, kane kulm te perbashket dhe formohen gjate prerjes se dy drejtezave
po atij rrafshi.
α
β
O
a
c
b
a b
b a
a1 a
O
β1

21. Perkufizim 15. Le te jene A1, A2,…..An, per n >2 pika te nje ttafshi, ashtu qe asnje treshe pikash fqinje
nuk I takojne nje drejteze. Unionin e segmenteve [A1 A2],[A2 A3],….[An-1 An] e quajme vije te thyer te
rrafshte dhe simbolikisht e shenojme me A1 A2 A3…An.
 Perkufizim 16. Unioni i nje vije te mbyllur poligonale dhe pikat e brendshme te saj e quajme
siperfaqe poligonale.
A1 = An An-1
* *
An-1 *
An *
*
A1
A2

22. Aksiomat e kongruences
 Aksioma 12. Per cdo segment [AB] dhe cdo gjysmedrejtez a1 me fillim ne piken A1, ekziston pika e
vetme B1 e a1 e tille qe [AB] = [A1 B1]
 Aksioma 13. Le te jene A,B,C dhe A1, B1, C1 pika kolineare respektivisht te tilla qe (A-B-C) dhe (A1-
B1-C1). Nese [A1 B1]=[AB] dhe [B1 C1]=[BC]
* *
A
B
* *
A1 B1
a1
* * *
A B
C
* * *
A1 B 1 C 1

23.  Aksioma 14. Le te jene A,B,C tri pika jokolineare kurse A1, B1 pika te tehut a1 te gjysmerrafshit a1
ashtu qe [A1 B1] = [AB]. Atehere ne gjysmerrafshin e hapur a1 ekziston pika e vetme C1 e tille qe
C1]=[AC] dhe [B1C1]=[BC]
 Perkufizim 17. Bashkesine e te fjitha pikave ne rrafsh te cilat jane njesoj te larguara nga nje pike e
fiksuar O e quajme rreth. Piken e fiksuar O e quajme qender te rrethit, ndersa largesen r te ciles
do pike te rrethit nga qendra e tij e quajme rreze te rrethit.
A* *C
*
B
r
O

24.  Perkufizim 18. Bashkesine e te gjitha pikave ne hapsire te cilat jane njesoj te larguar nga nje pike
e fiksuar O e quajme sfere. Piken e fiksuar O e quajme qender te sferes, nfersa largesine r te ciles
do pike te sferes nga qendra e saj e quajme rreze te sferes
 Perkufizim 19. Le te jete r>0 dhe O nje pike e fiksuar e rrafshit. Bashkesine e te gjitha pikave ne
rrafsh largesat e te cilave eshte me e vogel ose e barabarte me numrin r e qujme qark rrethor.
Piken e fiksuar O e quajme qender te qarkut, ndersa numrin pozitiv r e quajme rreze te qarkut.
r o
O
r

25. Kongruenca e trekendeshave
Rregulla 1. (BBB)
Dy trekendesha jane kongruente atehere dhe vetem athere nese brinjet e njerit jane kongruente me
brinjet perkates te tjetrit. D.m.th
ABC = A1B1C1 atehre dhe vetem athere kur a=a1, b=b1, c=c1
A c B
α β
b γ a
C
A1 c1 B1
α1 β1
b1 γ 1 a1
C1

26. Rregulla 2 (BKB)
 Dy trekendesha jane kongruente atehre dhe vetem atehere nese dy brinjet e njerit dhe kedi qe
formojne ato, jane kongruente me dy brinjet perkatese dhe kendin qe formojne ato te trekendeshit
tjeter. D.m.th
 ABC = A1B1C1 atehre dhe vetem athere kur b=b1, c=c1 dhe α= α1
A c B
α
b
C
A1 c1 B1
α1
b1
C1

27. Rregulla 3(KBK)
 Dy trekendesha jane kongruente atehere dhe vetem atehere nese nje brinje e njerit dhe dy kendet
qe shtrihen ne ate brinje te njerit trekendesh ane kongruente me elementet perkatese te tjetrit
D.m.th
 ABC= A1B1C1 atehere dhe vetem atehere kur c=c1, α= α1 dhe β= β1
A c B
α
b
C
A1 c1 B1
α1
b1
C1
β β1

28. Rregulla 4 (BBK)
 Dy trekendesha jane kongruente atehere dhe vetem atehere nese dy brinje te njerit dhe kendi
perballe njeres prej tyre I njerit trekendesh jane kongruente me elementet perkatese te tjetrit,
ndersa kendet perballe dy brinjeve tjera jane te te njejtes klase : te dy te ngushte, te dy te drejte
ose te dy te gjere. D.m.th
ABC = A1B1C1 atehre dhe vetem athere kur a=a1, b=b1, α=α1
A B A1 B1
b a
C
b1 a1
C1
α α1

29.  Ortoqender quajme lartesite e trekendeshit qe priten ne nje pike H.

30. FALEMINDERIT
Punoi : Ajlinda Idrizi
Kl: IX/3
SHMU: Abaz Ajeti
Gjilan