2. GEOMETRI DATAR
Kelompok V
Disusun Oleh:
•Teguh Pribadi Saputra
•Melati Nur Aflaha
•Putri Binti Sholikhah
•Tri Kusyanti
•Yenny Putri Yulianti
•Juwita Gus Pratiwi

4. DALIL PHYTAGORAS
• Rumus phytagoras • Rumus asli phytagoras:
adalah rumus yang sering
di pakai dalam pelajaran
matematika di sekolah. c b
• Kadang kita di buat
bingung dengan rumus
phytagoras matematika,
bagaimana cara a
membuktikan
kebenarannya?
• Kurang lebih uraian
tentang rumus phytagoras
seperti di bawah ini.

5. Pembuktian dalil phytagoras
• 4 buah segitiga siku-siku.
Perhatikan gambar di samping.
4 segitiga di samping adalah
c
b segitiga yang sama.
• Mempunyai sisi-sisi a, b dan c.
a dan sisi c merupakan sisi miring
dari segitiga tersebut.
• Ketiga segitiga disampingnya
adalah hasil rotasi 90, 180 dan
c b
270 derajat dari segitiga pertama.
a • Segitiga-segitiga tersebut kita
atur sedemikian sehingga
membentung persegi dengan sisi c
seperti gambar disamping.

6. • Pengertian
• Sebuah segitiga ABC dimana
Jika x, y, dan r
A = 6 B = 8 C = 10
merupakan sisi-sisi
segitiga dan memenuhi
persamaan X2 + Y2 = R2 B
C
maka segitiga tersebut
pastilah siku-siku, A
dan dikatakan x, y,
c2 = a2 + b 2
dan z adalah tripel
pythagoras. 10 2 = 8 2 + 6 2
100 = 64 + 36
Rumus 100 = 100
2 2 2 Jadi, segitiga ABC adalah
c b a siku-siku

7. DALIL MINELAUS
• MINELAUS adalah teorema • Persamaan ini menggunakan
tentang segitiga dalam geometri panjang ditandatangani segmen,
pesawat . Mengingat ABC segitiga, dengan kata lain AB panjang
dan transversal yang melintasi
diambil menjadi positif atau negatif
tergantung pada apakahA adalah
garis BC, AC dan AB pada titik- ke kiri atau kanan B di beberapa
titik D, E, dan F masing-masing, orientasi tetap
dengan D, E, dan F yang berbeda baris. Misalnya, AF / FB didefinisika
dari A, B dan C, kemudian n sebagai memiliki nilai positif
ketika F adalah antara A dan B dan
AF BD CE negatif sebaliknya.
X X 1
FB DC EA AF BD CE
X X 1
FB DC EA
• dan Kebalikannya juga benar: Jika
poin D, E dan F yang dipilih
pada BC, AC dan AB masing-
masing maka D, E dan F adalah
collinear.

8. Dalil de ceva
Teorema Ceva merupakan teorema Persamaan ini menggunakan
tentang segitiga dalam geometri panjang ditandatangani
Euclidean segmen, dengan kata
pesawat. Mengingat ABC segitiga, lain AB panjang diambil
biarkan garis AO, BO dan CO menjadi positif atau negatif
ditarik dari simpul ke titik O yang tergantung pada apakah
umum untuk memenuhi sisi yang A adalah ke kiri atau
berlawanan di D, E, dan F masing- kanan B di beberapa
masing. Kemudian orientasi tetap baris.
Misalnya, AF / FB didefinisikan
AF BD CE sebagai memiliki nilai positif
. .
FB DC EA
1 ketika F adalah antara A
dan B dan negatif sebaliknya.
Teorema ini sangat mirip
dengan teorema Menelaus
dalam persamaan mereka
hanya berbeda dalam tanda.

9. LINGKARAN

10. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah garis
lengkung yang bertemu
kedua ujungnya dan semua
titik yang terletak pada
garis lengkung itu
jaraknya sama jauh
terhadap sebuah titik

11. unsur-unsur lingkaran
Pusat lingkaran
Busur kecil
Tali busur
tembereng
E A
G
apotema
D O B
Jari-jari
lingkaran C diameter
juring

12. Keliling dan Luas
Lingkaran

13. Keliling lingkaran
• Rumus CoSo :
Hitunglah keliling lingkaran
• K = π d atau K=2 π r yang panjang jari-jarinya 17,5
Dimana, cm dengan π = 3,14
Jawab : r = 17,5 cm
d = diameter
K= 2πr
r = jari-jari = 2 × 3,14 ×17,5
π = 3,14 atau = 110
22/7 Jadi, keliling lingkaran
tersebut adalah 110 cm

14. Luas Bidang Lingkaran
Untuk setiap lingkaran
CoSo
berlaku rumus berikut: Hitunglah luas lingkaran
yang panjang jari-jarinya 7
cm, untuk π = 3,14
Luas =
Jawab:
atau
r = 7 cm
π = 3,14
Luas =
L =3,14 × 7 × 7
Dimana, = 154
r = jari-jari • Jadi luas lingkaran
d = diameter π =3,14 tersebut adalah 154

15. Hubungan Dua Lingkaran

16. 1. Saling Asing

17. 2. Bersinggungan Dalam

18. 3. L1 di dalam L2

19. 4. Bersinggungan luar

20. 5. berpotongan

21. Garis singgung persekutuan dua buah
lingkaran

22. Sifat-sifat Garis Singgung
Persekutuan
• Garis Singgung suatu lingkaran adalah
suatu garis yang memotong lingkaran
hanya pada satu titik.
• Garis Singgung suatu
lingkaran tegak lurus
dengan jari-jari lingkaran
yang melalui titik
singgungnya.

23. Garis Singgung Persekutuan Dalam
Dua Lingkaran
• Rumus : d2 = p2 - ( r1 + r2 )2
Dimana :
d : panjang garis singgung persekutuan
dalam
p : jarak pusat lingkaran pertama dan
lingkaran kedua
( r1 , r2 ) : jari-jari lingkaran pertama dan
lingkaran kedua

24. Contoh Soal
• Dua buah lingkaran yang pusatnya di P dan Q masing-masing
berjari jari 7 cm dan 3 cm. jika jarak P dan Q = 14 cm,
tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam.?
Jawab:
Dik: - P = 7 cm
- Q = 3 cm
- Jarak P ke Q = 14 cm, maka p = 14
- Panjang garis singgung persekutuan dalamnya = d cm
d2 = p2 – (r1 + r2)2
d2 = 142 – ( 7 + 3 )2
d2 = 196 – 100
d2 = 96
d = = 9,8 cm

25. Garis Singgung Persekutuan Luar
Dua Lingkaran
Rumus : L2 = p2 - ( r1 - r2 )2
Keterangan :
L : panjang garis singgung persekutuan
luar
p : jarak pusat lingkaran pertama dan
lingkaran kedua
( r1 , r2 ) : jari-jari lingkaran pertama dan
lingkaran kedua

26. Dua lingkaran yang
bersinggungan di luar
• luar Dalam kedudukan
n
seperti ini dapat
L
A dibuat satu buah
B garis singgung
persekutuan dalam,
yaitu n dan dua
M D garis singgung
persekutuan luar,
yaitu l dan m.

27. Dua lingkaran yang
bersinggungan di dalam
• dalam Untuk kedudukan
k seperti ini dapat
dibuat satu buah
garis singgung
A
persekutan luar,
yaitu k dengan titik
singgung A

28. Melukis garis singgung
persekutuan dua lingkaran

29. Melukis Garis Singgung Persekutuan
dalam
• Langkah 1 • Langkah 2
Lukis lingkaran A1 berpusat di Lukis busur lingkaran berpusat
titik P dengan jari-jari R dan di titik P dan Q sehingga saling
lingkaran A2 berpusat di titik berpotongan di titik M dan N,
Q dengan jari-jari r (R > r). dan Hubungkan titik M dengan
Hubungkan titik P dan Q titik N sehingga memotong garis
PQ di titik T
A1 A2 M
Q A1 A2
r r
P Q
P r T r
N

30. • Langkah 3 • Langkah 4
Lukislah busur lingkaran
Lukislah lingkaran yang yang terpusat di P dan jari-
terpusat di T dengan jari- jari R + r sehingga
jari PT memotong lingkaran yang
terpusat di T pada titik A
dan B, dan hubungkan titik
P dengan A dan B sehingga
M
memotong lingkaran di titik
C dan D
M
A
P
T Q
C
P Q
T
D
N
B
N

31. • Langkah 5 • Langkah 6
Lukislah busur lingkaran dari C Hubungkan titik C dengan F dan titik
D dengan E,garis CF dan garis DE
dengan jari-jari AQ sehingga
adalah garis singgung persekutuan
memotong lingkaran yang dalam dua lingkaran yang berpusat
berpusat di Q pada titik E. di P dan Q
Lukislah busur lingkaran dari D
dengan jari-jari AQ sehingga
memotong lingkaran yang
berpusat di Q pada titik F.
A
A
E
C E C
Q
P Q P
D D
F F
B
B

32. Melukis Garis Singgung
Persekutuan Luar
• Langkah 1 • Langkah 2
Buatlah dua lingkaran dengan Lukislah busur lingkaran yang
pusat di M dan N dengan jari- berpusat di M dan N dengan panjang
lebih besar dari ½ MN, sehingga
jari R dan r, kemudian
berpotongan di A dan B, lalu
hubuingkan M dan N (R > r) hubungkan A dan B sehingga
memotong MN di C
A
M N
C
M N
B

33. • Langkah 3 • Langkah 4
Lukislah lingkaran yang Lukislah busur lingkaran
terpusat di C dengan jari- yang berpusat di M dengan
jari CM jari-jari R– r, sehingga
memotong lingkaran yang
berpusat di C di titik D dan
A E, lalu hubungkan M dengan
D dan M dengan E sehingga
memotong lingkaran yanf
Mv N berpusat di M di titik P dan
C R.
A
P
B D
M C N
E
R

34. Langkah 5 Langkah 6
Lukislah busur lingkaran dari P Hubungkan P dengan Q dan R
dengan jari-jari DN, sehingga dengan S, garis PQ dan garis
memotong lingkaran yang
RS adlah garis singgung
terpusat di N di titik Q, Lukislah
busur lingkaran dari R dengan jari-
persekutuan luar dua lingkaran
jari DN, sehingga memotong yang berpusat di M dan N
lingkaran yang terpusat di N di titik
S
P
P
D Q
D Q
M N
E C M N
E C
R
S
R S

35. Panjang segmen garis persekutuan luar dua lingkaran sama
dengan akar kuadrat dari selisih kuadrat jarak kedua
pusat lingkaran terhadap kuadrat dari selisih panjang
jari-jari kedua lingkaran.

36. Segitiga dan lingkaran

37. Lingkaran luar segitiga
• Lingkaran luar • gambar
segitiga adalah
lingkaran yang C
terletak di luar
a
segitiga dan melalui b
ketiga titik sudut O
segitiga tersebut. Titik A c B
pusat lingkaran luas
segitiga adalah titik
potong ketiga garis
sumbu sisi-sisi
segitiga.

38. contoh
• Contoh
L. segitiga = 24
R
abc 10
R 8
4.L.segitiga 6
P Q
Berapakah jari-jari lingkar luar
segitiga (R)
Jawab: R
abc
4.L.segitiga
6.8.10
4.24
480
5
96

39. Lingkaran Dalam Segitiga
• Lingkaran dalam suatu • Gambar
segitiga adalah lingkaran yang C
terletak didalam segitiga dan
menyinggung ketiga sisinya.
a
• Titik pusat lingkaran dalam
b
segitiga merupakan titik O
potong ketiga garis bagi sudut
suatu segitiga. A c
B
• Rumus jari-jari lingkaran
dalan segitiga
• RDimana:a)(= ½b(a+b+c)
(s S s )(s c)

40. Contoh soal
• Berapakah jari-jari
lingkaran dalam
segitiga, dimana AB
= 6 BC = 8, dan AC
= 10

41. Lingkaran singgung dari
segitiga
• Misal garis ab
merupakan garis
singgung lingkaran 0
pada titik b, sehingga
jari – jari ob tegak
B A
lurus terhadap garis
singgung ab, maka
panjang oa dapat
dihitung dengan
teorema pytagoras

42. CONTOH SOAL
• Pada gambar •
disamping, garis AB
merupakan garis
singgung. Panjang 0
OA = 13 dan jari –
jari OB =5 cm. B A
Hitunglah panjang
garissinggung AB ?

43. Jawab
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm

44. Sifat segi empat tali busur
• Jumlah sudut yang • Hasil kali diagonalnya
berhadapan pada = jumlah perkalian sisi-
setiap segi empat tali sisi yang berhadapan.
busur adalah 1800. • PR x QS = (PQ x RS) +
• P + R = 1800 ( PS x QR)
• Q + S = 1800
S R
S
R
P Q
P Q

45. • Hasil kali bagian-
bagian diagonalnya
sama.
S 11
• AE x CE = BE X DE 14 R
10
17 o
D P 12 Q
C
E
•
O
A B

46. Sifat segi empat garis singgung
1. Persegi • Semua sudutnya siku –
Ciri-ciri : siku
• Memiliki 4 sisi sama • Keliling : 4 x sisi
panjang • Diagonal dari sisi
• Diagonalnya kuadrat ditambah sisi
membentuk sudut siku- kuadrat
siku a
• Sisi yang berhapan
d
sejajar a

47. 2. Persegi Panjang
Ciri-ciri :
• Sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar
• Semua sudutnya siku-siku
d L
• Kedua diagonalnya saling
membagi sama panjang
p
• Luas : panjang x lebar
Diagonal : akar dari
• Keliling : 2(p+l)
panjang kuadrat
ditamba lebar kuadrat

48. 3. Jajar Genjang
Ciri-ciri :
• Sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar
a
• Sudut yang berhadapan
sama besar
• Dua sudut yang berdekatan • Luas : a x t (tinggi harus
berjumlan 180 tegak lurus dengan alas)
• Keliling : jumlas sisi-
sisinya

49. 4. Belah Ketupat C
Ciri – cirinya :
• Semua sisinya sama panjang
D B
• Sudut yang berhadapan
sama besar
• Sisi yang berhadapan A
sejajar • Luas : 1/2 x diagonal 1 x
• Diagonalanya saling tegak diagonal 2
lurus • Keliling : jumlah sisi-sisinya
• Jumlah sudut yang • Diagonal : manggunakan
berdekatan 18o0 Phytagoras.

50. 5. Layang-Layang R
Ciri-ciri:
• Setiap sisi yang sepasang- S Q
pasang sama panjang
• Diagonalnya saling
berpotongan dan tegak
lurus P
• Sudut yang berhadapan • Luas : 1/2 x diagonal 1 x
sama besar (sudut RSP dan diagonal 2
sudut PQR). • Keliling : jumlah sisi-sisinya
• Diagonal: manggunakan
Phytagoras

51. 6. Trapesium
Ada beberapa jenis trapesium : Trapesium sama kaki,
trapesium siku-siku dan trapesium sembarang
• Ciri-ciri trapesium sama kaki :
• Memiliki sepasang sisi sejajar
• Sisi yang tidak sejajar
panjangnya sama

52. Ciri-ciri trapesium siku-siku : Ciri-ciri trapesium sembarang:
• Memiliki sepasang sisi • Memiliki sepasang sisi
sejajar sejajar
• Memiliki dua sudut siku-siku • Keempat sisinya tidak sama
panjang
Luas trapesium : 1/2 x jumlah sisi sejajar x tinggi
Keliling : jumlah semua sisinya

53. Tempat kedudukan
• . KEDUDUKAN TITIK • Kedudukan Titik
terhadap GARIS terhadap Bidang
.B
Titik terletak di dalam
garis
A
α .A
Titik terletak di luar
Titik A terletak pada bidang α
garis
B Titik B terletak di luar bidang α

54. Kedudukan garis terhadap garis
Dua garis sejajar
Dua garis berpotongan
Dua garis bersilangan

55. • Kedudukan garis terhadap bidang
• Garis terletak pada bidang
Garis AB terletak pada bidang ABCD
G dan bidang ABEF
H
P • Garis memotong/menembus bidang
E F Garis AG memotong bidang DCGH, bidang
BCGF
D C Garis DP menembus bidang EFGH di P
A B • garis sejajar bidang
Garis AE // bidang DCGH

56. Kedudukan bidang terhadap
bidang lain
• Dua bidang sejajar
H G
Bidang ABCD// EFGH
Bidang BCGF// ADEH E F
• Dua bidang berpotongan
D
Bidang ABCD berpotongan bidang BDFH C
Bidang BFHD berpotongan bidang ACEG A
B

57. Simetri lipat dan simetri putar
• Simetri Putar adalah
• Simetri Lipat adalah jumlah putaran yang
jumlah lipatan yang dapat dilakukan
dapat dibentuk oleh terhadap suatu
suatu bidang datar bangun datar di mana
menjadi 2 bagian hasil putarannya akan
yang sama besar. membentuk pola yang
sama sebelum
diputar, namun bukan
kembali ke posisi
awal.

58. Jumlah simetri lipat dan simetri putar
• Bangun datar nama bangun simetri lipat simetri putar
•
Persegi 4 4
Segitiga sama kaki 1 1
Segitiga sama sisi 3 3
Segitiga siku-siku tidak ada 1
Jajar genjang tidak punya 1
trapesium tidak ada 1
lingkaran tak hingga tak hingga

59. Referensi
http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Garis_Singgung_Lingkaran_8.2_(BAB_7)
http://soerya.surabaya.go.id/AuP/eDU.KONTEN/edukasi.net/Matematika/Dalil.Pytagoras/
pembuktian.html
http://organisasi.org/simetri_lipat_dan_simetri_putar_matematika
http://rumadimatematika.blogspot.com/2010/06/segiempat-tali-busur-rumadi.html
http://mathmagics.wordpress.com/2009/12/21/teorema-ceva-dan-menelaus/
http://mahasuryaa.wordpress.com/2012/01/01/bangun-ruang-dan-bangun-datar/
http://rumus-matematika.blogspot.com/2007/12/rumus-pythagoras.html
http://cerdasmapel.blogspot.com/2010/10/simetri-lipat-dan-simetri-putar.html