Dokumen tersebut membahas beberapa konsep dasar dalam teori bilangan seperti keterbagian, algoritma pembagian, kongruensi, dan faktor persekutuan terkecil. Secara singkat, dibahas definisi dan sifat-sifat penting dari konsep-konsep tersebut beserta ilustrasi contoh-contohnya.

1. 5

2. 4

3. 3

4. 2

5. 1

8. pendidikan
Bunga Dara Sangadji
(201013500)
Desy Wulandari
(201013500704)
Neneng Fitriyanah
(201013500738)
Wijy Suryani
(201013500725)

9. Teori bilangan adalah cabang
dari matematika murni yang
mempelajari sifat-sifat bilangan
bulat dan mengandung berbagai
masalah terbuka yang dapat mudah
dimengerti sekalipun bukan oleh ahli
matematika.

10. Aksioma untuk
Zn
Bukti dengan
Induksi
Keterbagian
Dalam teori
bilangan Kongruensi Zn
itu, ada... Faktorisasi
Tunggal
Alogoritma
Euclid
Fungsi Bilangan
Teoritik

11. Keterbagian
“Keterbagian
elementer”
“Identitas
Aljabar”
3. “Algoritma
pembagian”

12. Kongruensi Zn
Apa saja “Persamaan
kongruensi Kongruensi”
Zn
itu? “Kongruensi”
3. “Uji
Keterbagian”

13. Faktorisasi Tunggal
Bilangan Prima & Teorema Fermat &
Faktorisasi Teorema Euler
KPK & FPB

14. Algoritma Euclid
Sistem
Kongruensi
Linear

15. Beberapa aksioma dasar untuk Z:
1. Jika , maka (dikatakan
tertutup terhadap operasi penjumlahan,
a b, a b, ab
a, b
pengurangan, dan perkalian)
2. Jika maka tidak ada sedemikian
sehingga x
a
a x a 1
3. Jika b
a, dan 1 makab
ab a 1
atau b
a 1
4. Hukum eksponen: Untuk dan
n,m, a, b R
berlaku:
(ab) n n n
ab
n m
a a n m
a (an )m anm
Aturan-aturan diatas berlaku untuk semua

16. 5. Sifat ketaksamaan: Untuk R
a , b, c
berlaku:d
(a)Transitif: Jika b dan
a
maka
b c a c
(b) Jika maka
a b a c b c
(c) Jika b dan
a
maka
0 c ac bc
(d) Jika b dan 0 maka
a c bc ac
(e)Taksonomi: Diberikan dan , hanya
a b
berlaku salah satu dari: a
a b, a c, b
6. Sifat terurut baik untuk : setiap himpunan
bagian tak kosong dari memuat suatu elemen
terkecil atau minimal. Suatu elemen
terkecildari suatu himpunan bagian Ss
adalah
S S0 S
suatu elemen dimana untuk setiap

17. 7.Prinsip iduksi matematis: diambil
sebagai suatu pernyataan menyangkut
variabel bilangan asli Diambil adalah
suatu bilangan asli. adalah benar
untuk semua bilangan asli jika
kedua pernyataan ini berlaku:
(a) benar untuk
(b) Jika benar untuk maka
benar untuk

18. 2. Bukti dengan Induksi
Jikan 5 maka
2n 5n
Disini digunakan prinsip induksi matematis
(a) Diambil adalah pernyataan n
. Untuk
n0
2 5n
diambil Secara sederhana dapat
dituliskan: n 5
P(n) : 2n 5n
dan n 4
0
P(n)
(b)Sekarang jika maka 2 menjadi 25
5
5 .5 32
pernyataan yang )adalah salah. Tetapi
n 5 P(n
jika P(n) adalah. pernyataan atau
n 5
yang adalah benar. Jadi benar untuk

19. 3.1. Sifat Keterbagian Elementer
 n|n (sifat refleksif)
 d|n dan n|m → d|m (sifat transitif)
 d|n dan d|m → d|an + bm untuk setiap bilangan
bulat a dan b
(sifat linier)
 d|n → ad|an untuk a ≠ 0 (sifat perkalian)
 ad |an dan a ≠ 0 → d|n (sifat penghapusan)
 1|n (1 membagi sembarang bilangan)
 n|1 → n = ±1 (hanya 1 dan -1 yang merupakan
pembagi dari 1)
 d|0 (sembarang nilai membagi 0)
 0|n → n = 0 (nol hanya membagi nol)
 d, n adalah positif dan d|n → d n (sifat
perbandingan)

20. Pernyataan d|n dapat dibaca seperti berikut
ini :
 d membagi n
 d adalah pembagi dari n
 d adalah suatu faktor dari n
 n adalah kelipatan dari d
Contoh : 2|6, dibaca :
 2 membagi 6
 2 adalah pembagi dari 6
 2 adalah suatu factor dari 6
 6 adalah kelipatan dari 2

21. 3.2. Algoritma Pembagian
Teorema 1 : Untuk sembarang bilangan
bulat a dan d, dimana d ≠ 0. Pasti ada
bilangan bulat q dan r yang memenuhi a =
qd+r dimana 0r < |d|
Secara Matematis : Untuk a,d € Z, dimana d ≠
0. Pasti ada q,r € Z yang memenuhi a = qd +
r dimana 0r < |d|
 a disebut dividend (bilangan yang dibagi)
 d disebut divisor (bilangan
pembagi/faktor)
 q disebut quotient (hasil bagi)
 r disebut remainder (sisa bagi)

22. Teorema 2 : dinyatakan habis
membagi jika dan hanya jika.
Sebaliknya, dinyatakan tidak habis
membagi jika dan hanya jika.
d |a r 0
Secara Matematis:
d |a r 0
sebaliknya
Contoh 1 :
„ 2 | 6 , dibaca 2 habis membagi 6
„ -9 | 36 , dibaca -9 habis membagi
36
„ 25| -100 , dibaca 25 habis membagi

23. Teorema 3 : Untuk bilangana, b
bulat c dan .
Jika habis membagi bdan habis c
a b
membagi , maka c habis membagi
a
Secara matematis : Untuk
a , b, c aJika b | c
|b
dan a | c maka
Teorema 4 : Untuk bilangan bulat
a, b, m n
dan . Jika habis membagi dan habis
c a c b
membagi , maka ma nb
habis membagi
c
Secara matematis : Untuk , n
a, b, m
jika
c|a c|b
dan
c | ( ma nb )

24. Dalam algoritma
pembagian perhatikan bahwa sisa
a qd r
bagi/remainder (r) BUKAN hal yang sama
dengan fungsi a, d ) pada ilmu komputasi.
mod(
Memang ada hubungannya, tetapi kedua
hal ini adalah hal yang berbeda. Serupa
d
dengan algoritma pembagian, dikatakana, d )
a mod( 0
habis membagi jika dan hanya jika
Contoh 1 : Contoh 2 :
„ 6=3.2+0 14 = 4 . 3 + 2
„ 36 = -4 . -9 + 0 -53 = -7 . 8 + 3
„ -100 = -4 . 25 + 0 37 = -4 . -9 + 1

25. 3.3. Identitas Aljabar
Pada bagian ini diberikan beberapa
contoh di mana penyelesaiannya
tergantung pada penggunaan beberapa
Contoh :
identitas aljabar elementer.
Tentukan bilangan prima berbentuk n3 - 1,
untuk bilangan bulat n > 1!
Penyelesaian : n3 - 1 (n - 1) (n2 + n + 1) Jika
pernyataan tersebut merupakan bilangan
prima, karena (n2 + n + 1) > 1, pasti dipunyai n ‟
1 = 1, yang berarti n = 2. Jadi bilangan prima
yang dimaksud adalah 7.

26. 4.1. Kongruensi
Misalnya 28 mod 5 = 3 dan 18 mod 5
= 3, maka kita katakan 28 18 (mod 5)
(baca: 28
kongruen dengan 18 dalam
modulo 5).
Misalkan a dan b adalah
bilangan bulat dan madalah bilangan >
0, maka a b (mod m) jika m habis
membagi a ‟ b. Jika a tidak kongruen
dengan b dalam modulus m, maka
ditulis a ≢ b (mod m).

27. Definisi : ditentukan p, q, m
adalah bilangan-bilangan bulat dan m
≠ 0. Pp disebut kongruen dengan q
modulo m, ditulis p ≡ q (mod m), jika
dan hanya jika m ∣ p ‟ q
Contoh :
„ 22 2 (mod 5) ( 5 habis membagi 22 ‟ 2 =
20)
„ ‟6 14 (mod 10) (10 habis membagi ‟6 ‟ 14 =
‟20)

28. Kekongruenan a b (mod m) dapat
pula dituliskan dalam
hubungan a = b + km dengan k adalah
bilangan bulat.
Contoh :
„ 17 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 +
5 3
„ ‟7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai ‟7 = 15 +
(‟2)11

29. a) Sifat Kongruensi
m adalah bilangan bulat positif.
Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat
berikut:
• Sifat refleksif
Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka p ≡ p
(mod m)
• Sifat simetris
Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat
sehingga p ≡ q (mod m), maka q ≡ p (mod m)
• Sifat transitif
Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan

30. b) Teorema
Misalkan m adalah bilangan bulat
positif.
 Jika a b (mod m) dan c adalah sembarang
bilangan bulat maka:
1) (a + c) (b + c) (mod m)
2) ac bc (mod m)
 Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka:
1) (a + c) (b + d) (mod m)
2) ac bd (mod m)

31. 4.4. Sisa Lengkap
Suatu himpunan x1; x2; :::; x dinamakan
sistem sisa lengkap (complete residue
system) modulo n jika untuk setiap bilangan
bulat y terdapat secara tepat satu indeks j
sedemikian sehingga y = xj (mod n).
contoh :
Diambil n = 3 sehingga dipunyai Z3 = f0; 1;
2g. Elemen 0 menyatakan semua semua
bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 3,
sedangkan 1 dan 2 berturut-turut
menyatakan semua bilangan bulat yang
mempunyai sisa 1 dan 2 ketika dibagi oleh 3.

32. Dari a dan b , dinotasikan dengana , b ) Dicatat bahwa jikaa
( d|
dan d | b maka d | ( a , b )
Sebagai contoh: (68,-8) = 2, (1998,1999) = 1.
Jika( a, b) 1 , maka a danb dikatakan prima relative
(relatively prime) atau koprima (coprime).
Jikaa, b keduanya tidak nol, bilangan bulat positif
terkecil yang merupakan kelipatan dari dan dinamakan
a b
kelipatan persekutuan terkecil.
Jika: a | c dan b | c maka [a, b] | c

33. Jika r
( Teorema Bachet-Bezout)
faktor persekutuan terbesar ( FPB), yaitu terdapat bilangan
x, y
bulat dimana
(a, b) ax by
Bukti: Dimisalkan {ax by 0; x, y
f } . Berdasarkan
Algoritma pembagian, dapat dicari bilangan bulat dengan
q, r 0 r d
sedemikian sehingga
a dq r
Karena itu: r dq q(ax by ) (1 qx ) by
Jika , maka lebih kecil dari pada elemen terkecil
r 0 r f d f
di

34. ( Lemma Euclid)
Jika a | bc dan (a, b) 1 makaa | c
Bukti: Untuk (a, b) 1 berdasarkan Teorema Bachet-
Bezout, terdapat bilangan bulat ax dimana
x, y by 1
a b
(Teorema) : Jika, b)
(a d maka , ) 1
(
d d
Bukti : Berdasarkan Teorema Bachet-Bezout, terdapat
bilangan bulat y karena itu diperoleh ( b ) y 1
x, a
( )x
d d
dimana a , b adalah bilangan-bilangan bulat.
d d
Disimpulkan bahwaa , b ) 1
(
d d

35. Teorema: Jika
c adalah suatu bilangan positif, (ca, cb)
maka: c ( a, b)
Bukti : Diambil d1 (ca, cb) dan d2 ( a, b) Akan di buktikan
bahwa d1 | cd2 dan cd2 | d1. Karena itu terdapat suatu
bilangan bulat sedemikian 2 ax by :
s sd sehingga
Lemma untuk bilangan-bilangan bulat tak nol a,b,c berlaku
(a, bc ) (a, (a, b)c)
Bukti : karena a, (a, b)c) membagi , b)c dan , b)c
( (a (a membagi
bc
sehingga disimpulkan a, bc ) (a, (a, b)c)
(:

36. Bilangan PRIMA
yaitu suatu bilangan bulat positif lebih besar dari satu.
Contoh:
n adalah suatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa 32n+1
dapat dibagi oleh 2, tetapi tidak dapat dibagi oleh 4.
Bukti : jelas bahwa 32n adalah ganjil dan 32n+1 adalah genap.
Dicatat bahwa 32n = (32)2n-1 =92n-1 = (8+1)2n-1
mempunyai rumus binomial:

37. Algoritma Euclid
Adalah cara memperoleh faktor persekutuan
terbesar (FPB) dengan menghindari pemfaktoran
dua bilangan bulat positif.
Dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier
dari dan Berdasarkan Teorema Bachet-Bezout,
a b
disimpulkan bahwa adalah FPB dari dan . Jadi,
suku sisa tak nol berakhir yang dihasilkan oleh
algoritma Euclid adalah )
(a, b
Selanjutnya, FPB dari dua bilangan bulat boleh
dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari
dua bilangan bulat tersebut dengan menggunakan
metode subsitusi balik.

38. (a) Diambil a = 84 dan b = 60, maka:
Penyelesaian:
84 = 1.60 + 24 24 = 84+(-1).60
60 = 2.24 + 12 12 = 60+(-2).24
24 = 1.12 12 =(84.60)
Selanjutnya dikerjakan secara mundur untuk
mendapatkan
12 = 60+(-2).24
12 = 60+(-2).(84+60.(-1)
12 = (-2).84+3.60
Jadi, (84.60) = 12 = (-2).84 + 3.60

39. (b) Duplikasi Algoritma euclid:
446 = 2.206 + 34  206 = 6.36 + 2  32 = 2.17
Karena (206,446) = 2 dan 2|40, maka terdapat
penyelesaian-penyelesaian bilangan bulat.
Selanjutnya disubstitusi balik untuk memperoleh
2 =206-6.34 = 206-6.(446-206) = 13.206-6.446
Sekarang karena 40 = 20.2, maka dapat
dituliskan:
40 = 20. (13.206-6.446) 260.260-120.446
Jadi penyelesaiannya adalah x = 260 dan y = -120

40. Diambil a=84 dan b=60 maka:
Penyelesaian:
84 = 1 . 60 + 24 24 = 84 + (-1) . 60
60 = 2 . 24 + 12 12 = 60 + (-2) . 24
24 = 1 . 12 12 = (84,60)
Selanjutnya dikerjakan secara mundur untuk mendapatkan
12 = 60 + (-2) . 24
12 = 60 + (-2) . (84 + 60 . (-1))
12 = (-2) . 84 + 3 . 60
Jadi, (84,60) = 12 = (-2) . 84 + 3 . 60

41. Suatu pernyataan yang meminta penyelesain-penyelesain
bilangan bulat dinamakan persamaan diophantine.
Berdasarkan Teorema Bachet-Bezout, diperhatikan bahwa
persamaa diophantine linier
ax by c
( a, b) | c
Mempunyai suatu penyelesain bilangan bulat jika dan hanya
jika Algoritma euclid merupakan suatu cara yang efisien
untuk mencari suatu penyelesaian bagi persamaan tersebut.
190 x 72 y 2
Sebagai contohnya adalah:
x 11, y 29
Adalah

42. Suatu bilangan rill yaitu dimana terdapat diantara dua
x x
bilangan bulat sehingga
n x n 1 n . Dimana adalah bilangan
bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
x n
dinamakan adalah floor dari dinotasikan dengan .
n
Sedangkan adalah bilangan bulat terkecil yang lebih
besar atau sama dengan x, dinamakan n adalah ceiling dari x
dinotasikan dengan .
Contoh soal:
dan
dan

43. TERIMA KASIH