Modul ini membahas tentang gerak rotasi benda tegar dan unsur-unsur kinematikanya seperti kecepatan dan percepatan sudut, serta hubungannya dengan gerak translasi. Modul ini juga menjelaskan konsep-konsep penting lainnya seperti energi dan momentum sudut yang relevan untuk memahami gerak rotasi."

1. Modul 3
BENDA TEGAR
Dr. A. Arkundato, S.Si., M.Si.
ada Modul 2, Anda telah mempelajari mekanika gerak translasi di mana hukum-hukum
Newton dapat diterapkan dengan baik untuk menjawab problem gerak translasi. Dari modul
ini sebelumnya Anda juga telah mengetahui bahwasanya tipe gerak ada banyak ragam. Selain
translasi ada juga gerak rotasi. Pada Modul 3 ini Anda akan mempelajari mekanika gerak rotasi,
di mana obyek yang kita sebut benda tegar yang berotasi memerlukan konsep torka. Selanjutnya
kombinasi gerak translasi yang dipengaruhi oleh gaya dan gerak rotasi yang dipengaruhi oleh
torka akan dapat dievaluasi dengan hukum Newton dengan beberapa penyesuaian.
Pada bahan ajar cetak ini, sebanyak 50% materi akan disajikan dalam bentuk bahan
pembelajaran online dan 50% materi akan disajikan dalam bahan pembelajaran cetak ini. Secara
umum, tujuan pembelajaran yang diharapkan pada modul 3 ini adalah Anda diharapkan dapat
menganalisis konsep benda tegar berdasarkan teori dan contoh-contoh yang diberikan. Secara
khusus diharapkan setelah mempelajari modul ini mahasiswa dapat:
1. Menjelaskan konsep rotasi benda dan komponen-komponennya dengan benar
2. Menghitung kecepatan dan percepatan sudut dalam gerak benda tegar dengan
benar
3. Menentukan gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap dengan benar
4. Menjelaskan energi pada gerak rotasi dengan benar
5. Menjelaskan momentum sudut dengan benar
6. Menentukan letak posisi dan momen inersia benda tegar dengan benar
7. Menganalisis masalah dinamika rotasi benda tegar untuk berbagai keadaan
dengan benar
8. Menentukan momen gaya pada benda tegar dengan benar
9. Menentukan pusat massa benda tegar dengan benar
10. Menjelaskan kesetimbangan partikel dengan benar
Untuk materi – materi yang disajikan pada bahan pembelajaran cetak ini adalah materi yang ada
pada tujuan pembelajaran khusus dari nomor 1 – 5 yaitu:
1. Menjelaskan konsep rotasi benda dan komponen-komponennya dengan benar
2. Menghitung kecepatan dan percepatan sudut dalam gerak benda tegar dengan
benar
P
PENDAHULUAN

2. 3.2 Materi Kurikuler Fisika SMA 
3. Menentukan gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap dengan benar
4. Menjelaskan energi pada gerak rotasi dengan benar
5. Menjelaskan momentum sudut dengan benar
Sedangkan materi yang lainnya terdapat pada tujuan pembelajaran khusus nomor 6 – 10 dan
tersaji pada bahan pembelajaran online.
Selanjutnya untuk lebih memudahkan mahasiswa dalam belajar maka format modul penyajian
isi BMP (Buku Materi Pokok) ini diberikan dengan menampilkan icon-icon seperti:
Emoji untuk jika Anda dianggap mampu pada topik yang didiskusikan
Emoji untuk sesuatu yang tidak logis dan tidak tepat
Emoji untuk suatu kesimpulan penting atau definisi yang perlu dicermati mahasiswa
Emoji untuk sesuatu yang tidak mungkin dilakukan
Emoji untuk contoh soal yang harus Anda pelajari, fahami dan diingat
Emoji untuk link URL yang memuat informasi penting di internet
Akhirnya meskipun materi BMP ini sudah disusun sedemikian hingga agar dapat
memenuhi harapan sebagai materi untuk belajar mandiri mahasiswa, namun sangat disarankan
mahasiswa mengali lebih dalam mater-materi yang lain sesuai dengan kisi-kisi BMP ini dari
berbagai sumber. Disarankan mahasiswa menggali materi tambahan dari sumber-sumber formal
seperti website universitas, lembaga penelitian atau yang lain yang dapat dipertanggung
jawabkan isi materinya.
Pada akhir modul disediakan tes formatif untuk mengukur pemahaman Anda setelah
mempelajari modul. Kerjakan dengan baik tanpa melihat dahulu kunci jawaban.
Selamat Belajar!

3.  PEFI4425/MODUL 3 3.3
A. ROTASI BENDA TEGAR
Dalam fisika, benda tegar adalah idealisasi dari benda padat dengan ukuran tertentu/berhingga
(finite) yang tidak mengalami perubahan bentuk (deformation). Jadi benda tegar dapat dipandang
sebagai kumpulan partikel (massa titik) yang kedudukan masing-masing partikel tetap terhadap
satu sama lain adalah tetap, sehingga sifat-sifatnya berbeda dengan fluida. Partikel dipandang
mempunyai ukuran kecil tak hingga (infinite) sedangkan fluida mengalami perubahan bentuk
sesuai dengan tempat yang mewadahi fluida. Oleh karena tidak terdeformasi/tidak mengalami
perubahan bentuk maka jarak antara dua titik sembarang di dalam benda tegar tidak berubah
sepanjang waktu, mengabaikan gaya luar yang bekerja pada benda tegar tersebut. Di dalam
mekanika klasik (Newton) sebuah benda tegar sering dipandang sebagai sebuah distribusi massa
yang kontinu, sehingga sebuah obyek yang bergerak dapat dianggap sebagai sebuah massa
tunggal. Sesungguhnya, secara umum jika sebuah benda tegar bergerak, maka ada dua hal yang
berubah terhadap waktu, yaitu posisinya oleh gerak translasi dan orientasinya oleh gerak rotasi
benda tegar. Sebagai contoh, sebuah silinder pejal yang menggelinding, maka tipe geraknya
adalah kombinasi dari gerak translasi dan rotasi. Untuk benda tegar ini, telaahnya lebih
menguntungkan jika kita tinjau pusat massanya.
Pada modul sebelumnya kita telah membahas kinematika dan dinamika gerak translasi. Pada
modul ini kita kembangkan untuk kinematika dan dinamika gerak rotasi, serta kombinasinya.
Penerapan hukum II Newton untuk gerak kombinasi ini memerlukan penyesuaian. Pada gerak
translasi, gaya adalah sesuatu yang menyebabkan gerak translasi sedangkan pada gerak rotasi
besaran fisis torka akan berperan seperti gaya yang menyebabkan gerak rotasi. Sebelum kita ulas
lebih jauh kinematika gerak rotasi, seperti biasa kita perlu mendefinisikan kecepatan dan
percepatan sudut. Untuk pembahasan ini kita khususkan untuk gerak melingkar seragam, di
mana hasil-hasil penting untuk sistem ini dapat diperluas untuk kasus-kasus gerak dengan
lintasan melengkung (tidak lurus) yang lain. Demikian juga sebelum pembahasan benda tegar
kita bahas dulu kasus gerak melingkar sebuah massa tunggal.
A.1 Kecepatan Dan Percepatan Sudut
Di alam ini banyak sistem yang menampilkan gerak rotasi, yaitu gerak mengelilingi suatu sumbu
rotasi tertentu. Gambar 3.1 adalah contoh dari gerak rotasi atau gerak melingkar untuk sebuah
titik pada roda berputar, mengelilingi poros roda (axle). Seperti halnya kinematika gerak
translasi maka untuk gerak rotasi ini pada dasarnya dapat terjadi untuk kecepatan sembarang.

4. 3.4 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Gambar 3.1 Gerak rotasi sebuah roda
Barangkali Anda pernah mengendarai mobil dalam jalanan berbelok sedemikian hingga
mobil Anda mengikuti lintasan kurva. Efek-efek fisis sebagai efek gerak melingkar akan
muncul. Jika saat berbelok Anda tidak mengurangi atau menambah lajunya alias konstan
misalnya 15 km/jam, maka mobil dikatakan bergerak melingkar seragam. Gerak melingkar
seragam akan menempuh jarak yang sama untuk setiap detiknya. Untuk lintasan berbentuk
lingkaran murni maka jarak tersebut diukur di sepanjang keliling lingkaran tentunya. Konsep-
konsep kinematika dan prinsip-prinsip gerak melingkar (rotasi) dapat diterapkan untuk
menganalisis berbagai gerak seperti pada roller coaster dan orbit planet.
A1.1 Pergeseran Sudut
Dalam gerak melingkar juga terjadi perubahan posisi selama gerak seperti halnya dalam gerak
linear. Kita dapat mendefinisikan seperti biasa jarak dan pergeseran. Kita kembali ke Gambar
3.1, sudut yang menyatakan orientasi titik dalam bidang dapat diukur dalam derajat, revolusi
atau dalam satuan radian. Dari gambar maka sudut  secara geometri adalah panjang busur s
dibagi dengan jari-jari r,
s
r
  (3.1)
Jika kita ambil saat s = r maka  mempunyai satuan radian yaitu 1  rad. Jadi untuk satu
lingkaran penuh kita mempunyai hubungan:
 = s/r = 2r/r = 2 rad (3.2)
atau
360o
= 2 rad = 6,28 rad = 1 revolusi (3.3)
atau
1 rad = 360o
/6,28 = 57,3o
(3.4)
atau juga

5.  PEFI4425/MODUL 3 3.5
1 rad = 1/6,28 = 0,16 revolusi (3.5)
Contoh Soal:
Diketahui sebuah titik telah berotasi 90o
dari kedudukan awal. Tentukan sudut yang sesuai
dalam radian dan revolusi!
Penyelesaian:
2
90 90
360 2
1 1
90 90
360 4
rad
rad
rev
rev
 


 
     
 
 
    
 
Contoh Soal:
Diketahui sebuah titik telah berotasi 1 rad dari kedudukan awal. Tentukan sudut yang sesuai
dalam derajat dan revolusi!
Penyelesaian:
360
1 1 57
2
1
1 1 0,16
2
rad rad
rad
rev
rad rad rev
rad




 
    
 
 
   
 
Contoh Soal:
Sebuah roda radius 4,1 m berputar sehingga sebuah titik pada roda menyapu sudut 30o
. Berapa
jauh titik telah berputar? Tentukan juga untuk sudut putar 30 rad!
Penyelesaian:
Kita mengetahui bahwa panjang busur yang disapu adalah s = .r sedangkan 1 rad = 57,3o
atau
1o
= 1/57,3 rad = 0,017452 rad, sehingga:
a) Untuk sudut 30o
:  = 30 x (0,017452) rad = 0,5235 rad. Jarak yang disapu untuk sudut ini
adalah: s = .r = 0,5235 x 4,1 m = 2,15 m.
b)  = 30 rad maka s = .r = 30 x 4,1 m = 123 m
Sekarang kita tentukan pergeseran sudut (dibedakan dengan kasus pergeseran linear) dari sebuah
titik, dari sudut i ke sudut f seperti pada Gambar 3.2.

6. 3.6 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Gambar 3.2 Pergeseran sudut sebuah titik
Pergeseran sudut adalah perubahan posisi sudut, yaitu:
∆ = f - i (3.6)
dengan indeks f dan i seperti biasa adalah untuk “final” dan “initial” yaitu keadaan akhir dan
awal.
A.1.2 Kecepatan Sudut dan Kecepatan Linear
Kecepatan ada karena ada perubahan kedudukan terhadap waktu, jadi kecepatan sudut memberi
gambaran seberapa besar perubahan pergeseran sudut terhadap waktu. Kita dapat menentukan
besarnya kecepatan sudut (rata-rata) gerak melingkar dengan cara:
t





(3.7)
Besarnya kecepatan sesaat diperoleh untuk limit ∆t 0 yang menurut kalkulus adalah
 = lim∆t 0 /t =>
d
dt

  (3.8)
Kita mempunyai definisi
s
r
  atau ∆s = r.∆, sehingga:
= (∆s/r)/∆t = (r)-1
.(∆s/∆t) = v/r (3.9)
menurut definisi kecepatan linear rata-rata bahwa v = ∆s/∆t. Jadi kita mempunyai hubungan
antara kecepatan sudut dan kecepatan linear dalam:
v
r
  atau v r  (3.10)
Kecepatan adalah besaran vektor dan untuk gerak melingkar maka arah kecepatan linear v akan
selalu berbeda dengan arah kecepatan sesaat sebelumnya (lihat Gambar 3.3), yaitu pada gerak
melingkar seragam meskipun besar (magnitude) kecepatan sepanjang kurva konstan (seragam),
namun arahnya akan berubah terus. Kecepatan linear ini sangat tepat jika digunakan istilah
kecepatan tangensial karena arahnya yang tegak lurus jari-jari lingkaran yaitu menyinggung

7.  PEFI4425/MODUL 3 3.7
(tangent) lingkaran. Arah tangensial di suatu titik adalah arah yang ditunjukkan oleh sebuah
anak panah/garis yang menyinggung lingkaran di titik itu.
Gambar 3.3 Arah vektor kecepatan linear v selalu  jari-jari lingkaran
Jadi obyek yang bergerak melingkar seragam arah vektor kecepatan linear selalu berubah
sedangkan lajunya tetap. Perubahan arah vektor ini menimbulkan adanya percepatan. Catatan:
percepatan tidak hanya ada karena adanya perubahan besar kecepatan namun juga ada jika
terjadi perubahan arah vektor terhadap waktu.
A.2 Gerak Rotasi Dengan Percepatan Konstan
Kecepatan adalah besaran vektor yang selain ditentukan oleh besarnya (magnitude) juga
ditentukan oleh arahnya. Gerak melingkar dengan kecepatan seragam meskipun besarnya
kecepatan adalah tetap namun seperti telah diterangkan di atas, arah kecepatan selalu berubah di
setiap titik sepanjang lintasan gerak. Dari konsep percepatan maka percepatan ada pada suatu
obyek bergerak jika ada perubahan kecepatan. Kita akan meninjau apa yang disebut percepatan
sentripetal yang muncul karena adanya perubahan arah vektor kecepatan. Kita tinjau gambar
berikut ini untuk sebuah obyek yang bergerak melingkar dari titik A ke titik B.
Gambar 3.4 Penjumlahan vektor kecepatan

8. 3.8 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Berdasarkan diagram di atas, ada perubahan kecepatan (dalam hal ini arahnya) jika obyek
bergerak dari titik A ke titik B meskipun obyek bergerak dengan kecepatan seragam. Kita lihat
bahwa arah perubahan kecepatan v ini menuju ke pusat lingkaran. Kita mengetahui dari kasus
gerak linear bahwa ada perubahan kecepatan berarti ada percepatan. Untuk gerak melingkar
seragam ini arah percepatan adalah menuju pusat lingkaran C sesuai dengan arah perubahan
kecepatan ∆v.
Efek percepatan ke arah dalam ini dapat divisualkan jika kita menaruh lilin menyala di dalam
gelas dengan tipe gerak melingkar seragam seperti pada gambar berikut ini.
Gambar 3.5 Visualisasi arah vektor percepatan
A.2.1 Gaya Sentripetal
Dari ulasan di atas, obyek yang bergerak melingkar (berotasi) akan mengalami percepatan
sentripetal yang arahnya mencari pusat rotasi. Namun dari hukum II Newton kita juga
mengetahui bahwa adanya percepatan mengindikasikan adanya gaya netto yang arahnya searah
dengan percepatan. Oleh karena itu untuk gerak melingkar seragam ini secara konsep
diperlukan juga adanya gaya netto yang karena arahnya ke pusat gerak kita sebut gaya
sentripetal.
Sekarang kita tinjau efek gerak melingkar ini. Misalkan sebuah mobil bergerak ke depan (linear)
dengan kecepatan konstan. Tiba-tiba di depan ada sebuah tikungan berbentuk ¼ lingkaran
memutar ke kiri. Mobil masih dalam keadaan bergerak dengan kecepatan linear konstan namun
dipaksa membelok pada lintasan lingkaran tersebut. Apa yang dirasakan oleh penumpang yang
ada di dalam mobil? Dari hukum I Newton kita mengetahui adanya konsep inersia (hukum
inersia) bahwa semua obyek cenderung mempertahankan keadaan geraknya. Demikian juga
untuk penumpang di dalam mobil tersebut saat berbelok ke kiri tubuh penumpang tersebut
berusaha mempertahankan untuk tetap bergerak linear ke depan. Efek yang dirasakan oleh tubuh
saat berbelok adalah seakan-akan dia di lempar keluar oleh suatu gaya yang arahnya radial
keluar (sentrifugal). Keadaan yang sebenarnya adalah karena sifat inersia benda maka tubuh

9.  PEFI4425/MODUL 3 3.9
ingin tetap bergerak ke depan tidak mau bergerak melingkar, dan bukan bergerak radial keluar
oleh gaya sentrifugal tersebut.
Gambar 3.6 Efek gerak melingkar pada orang di dalam mobil
Gaya sentripetal yang berperan pada obyek yang bergerak melingkar adalah bukan tipe gaya
yang baru. Gaya ini seperti gaya dorong atau gaya tarik, yang karena arahnya selalu mencari
pusat maka dinamakan gaya sentripetal. Berbagai contoh di mana diperlukan adanya gaya
sentripetal adalah seperti gambar berikut ini.
Gambar 3.7 Berbagai contoh gerak melingkar
Pada Gambar 3.7 di atas, (a) untuk mobil yang berbelok maka gaya gesekan antara roda dengan
jalan akan men-support gaya sentripetal yang diperlukan agar mobil bisa berbelok tanpa selip;
(b) untuk benda yang diputar melingkar menggunakan tali maka gaya tegangan tali akan men-
support gaya sentripetal yang diperlukan agar benda berputar; (c) untuk bulan yang mengelilingi
bumi maka gaya gravitasi akan men-support gaya sentripetal yang diperlukan agar dapat
mengelilingi bumi. Gaya sentripetal tersebut hanya mengubah arah obyek namun tidak besarnya
kecepatan. Gaya sentripetal ini diperlukan agar obyek dapat bergerak melingkar dan jika gaya ini
tidak ada maka obyek akan terus bergerak linear ke depan. Ini bisa dibuktikan, jika untuk

10. 3.10 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Gambar 3.7c setelah benda berotasi kemudian tiba-tiba tali dilepas oleh tangan maka benda akan
bergerak lurus.
Definisi: percepatan adalah perubahan kecepatan terhadap waktu, sehingga percepatan sudut
adalah:
d
dt

  (3.11)
Selanjutnya kita dapat menyatakan
  1
v
r
d dv
dt r dt
   (3.12)
Namun demikian berlaku dv/dt =at yaitu percepatan linear (tangensial) sehingga:
ta
r
  (3.13)
Jadi percepatan sudut α didefinisikan dalam komponen tangensial percepatan. Kemudian kita
mengetahui ada gaya sentripetal yang berarti ada percepatan sentripetal yang arahnya menuju
pusat. Percepatan sentripetal dapat dihitung dengan cara yang sederhana menurut gambar
berikut (lihat juga Gambar 3.1 dan 3.4):
Gambar 3.8. Percepatan Sentripetal
Pada Gambar 3.8 maka kita dapat membandingkan berdasarkan kemiripan segitiga bahwa
percepatan sentripetal adalah:
 =
2
sentripetal c
v v
a a
t r

  

(3.14)
Dan juga dengan substitusi:
2 2 2
2
c
v r
a r
r r

   (3.15)
Gaya yang relevan untuk percepatan sentripetal ini adalah gaya sentripetal yang besarnya dapat
kita hitung:

11.  PEFI4425/MODUL 3 3.11
2
c c
v
F ma m
r
  (3.16)
Contoh Soal:
Radius bumi adalah 6400 km. Jika untuk berotasi memerlukan 24 jam (misalnya ini adalah )
maka besarnya kecepatan sudut bumi adalah?
Penyelesaian:
2x r
v
t



 

=>
  
-5 rad
ss
hr
2 2 2
7,3 x 10
24 hr 3600
v r
r r
  

 
    
Contoh Soal:
Sebuah mobil 900 kg bergerak dengan laju 10 m/s mengelilingi lingkaran radius 25 m.
Tentukan percepatan sentripetal dan gaya netto pada mobil tersebut?
Penyelesaian:
Percepatan adalah a = (v2
)/r = ((10,0 m/s)2
)/(25,0 m) = 4 m/s2
Gaya netto adalah Fnet = m.a = (900 kg).(4 m/s2
) = 3600 N
Contoh Soal:
Sebuah mobil 900 kg membuat putaran 180o
dengan laju 10 m/s. Radius lingkaran horizontal
yang dilalui oleh mobil adalah 25 m. Tentukanlah gaya gesekan dan koefisien gesekan pada
mobil?
Penyelesaian:
Kita hitung dulu gaya normal yang karena tidak ada percepatan arah vertikal maka gaya normal
Fnorm sama dengan gaya gravitasi Fgrav = m.g yaitu Fgrav = Fnorm= 9000 N. FBD untuk sistem
mobil adalah:
Gambar 3.9 FBD (Free Body Diagram)

12. 3.12 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Karena gaya gesekan adalah gaya horizontal tunggal, maka gaya netto pada obyek pastilah sama
dengan gaya gesekan itu sendiri yaitu Fges = Fnetto. Sementara itu gaya sentripetal adalah gaya
netto tersebut yaitu
2
neto
v
F m
R
 . Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui maka Fneto = 3.600
N. Oleh karena itu Fges = 3.600 N. Koefisien gesekan selanjutnya dapat dihitung
dengan ges normF F . Substitusi Fges = 3.600 N dan Fnorm = 9.000 N maka koefisien gesek = 0,4.
Contoh Soal:
Koefisien gesek antara mobil 900 kg dan jalan adalah 0,850. Mobil membuat putaran 180o
sepanjang jalan lingkar yang mempunyai radius 35 m. Tentukan laju maksimum agar mobil
dapat belok dengan mulus!
Penyelesaian:
Fnorm = Fgrav = m.g = (9.00 kg).(10 m/s2
) = 9.000 N
Fgesek = µFnorm = 7.650 N
Gambar 3.10
Gaya gesekan ini sama dengan gaya neto sehingga Fneto = m.a = 7650 N atau percepatan a =
7,65 m/s2
. Percepatan ini dihubungkan dengan kecepatan linear menurut: a = v2
/r. Jika harga-
harga yang diketahui dimasukkan maka v = 16,4 m/s.
Contoh Soal:
Bola 4 kg diikatkan pada tali 0,7 m lalu diputar sehingga bergerak melingkar dengan laju 2 m/s.
Berapakah (a) percepatan sentripetalnya? (b) gaya sentripetal yang sesuai?
a) ac = v2
/R = (2,0 m/s)2
/(0,7 m) = 5,71 m/s2
b) Fc = mac = (4,0 kg)(5,71 m/s2
) = 23 Newtons
B. KINEMATIKA GERAK LURUS DAN GERAK ROTASI
Untuk GLB (gerak lurus beraturan) dan GLBB (gerak lurus berubah beraturan) kita telah
membahas pada modul sebelumnya, dapat kita tuliskan kembali persamaan-persamaan yang
relevan sebagai berikut:
( )x t v t  (GLB)

13.  PEFI4425/MODUL 3 3.13
21
0 0 2
( )x t x v t at   ; 0( )v t v at  ;  2 2
0 02v v a x x   (GLBB)
Bagaimana untuk kasus gerak rotasi? Bagaimanakah hubungan antara gerak translasi dan rotasi?
Sebagai contoh, bola yang menggelinding selain bertranslasi juga berotasi. Untuk mengerti
hubungan kedua tipe gerak, kita tinjau Gambar 3.11 berikut ini. Sebuah roda dengan jari-jari r
menggelinding sejauh s.
Gambar 3.11 Gerak translasi dan rotasi
Titik A pada pelek roda dan dari gambar maka busur lingkaran yang ditempuh titik acuan A
akibat rotasi akan sama dengan jarak translasi s. Jarak ini boleh kita sebut jarak tangensial.
Kaitan antara θ dan s telah kita ketahui yaitu s r   (jarak tangensial). Kecepatan sudut
(angular) ω dan kecepatan tangensial v dapat kita gambarkan seperti Gambar 3.12.
Gambar 3.12. Kecepatan sudut (angular) ω dan kecepatan tangensial v
Dari Gambar 3.12 jelas bahwa setiap titik pada pelek roda akan mempunyai kecepatan tangensial
v yang sama dan ini sama juga dengan kecepatan linear roda secara keseluruhan. Dari
persamaan (3.1), (3.10) dan (3.13) bahwa s r   , tv r  dan ta r  maka berdasarkan
gerak translasi kita boleh menyatakan untuk gerak rotasi (gerak melingkar: GM) berlaku:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(GLBB) 0( )v t v at   r(t) = r0 +rt (GMBB)
atau
(GLBB) 0( )v t v at   0( )t t    (GMBB) (3.17)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(GLBB) 21
0 0 2
( )x t x v t at    21
0 0 2
( )r t r r t r t      (GMBB)
atau
(GLBB) 21
0 0 2
( )x t x v t at    21
0 0 2
( )t t t      (GMBB) (3.18)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14. 3.14 Materi Kurikuler Fisika SMA 
r


(GLBB)  2 2
0 02v v a x x     2 2 2 2
0 02r r r r r       (GMBB)
atau
(GMBB)  2 2
0 02v v a x x     2 2
0 02       (GMBB) (3.19)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Jadi bentuk rumus-rumus yang digunakan dalam gerak translasi dan rotasi sangat mirip sehingga
ini mempermudah mengingatnya. Yang perlu diperhatikan bahwa satuan yang digunakan adalah
dalam radian.
Contoh Soal:
Sebuah bola diikatkan pada tali diayun sedemikian hingga bwsarnya percepatan sudutnya adalah
0,05 rad/s2
. Jika pada awalnya telah mempunyai kecepatan sudut sebesar 1,2 rad/s maka berapa
derajat bola telah diayun setelah 30 detik?
Kemiripan antara gerak translasi dengan rotasi:
21
0 0 2
( )t t t     
       2
2rad rad1
s 2 s
0 rad 1,2 30 s 0,05 30 s
59 rad
=3380
   


Contoh Soal:
Sebuah roda gerinda mempunyai kecepatan sudut sebesar 215 rad/s ketika dihidupkan. Setelah
10 s kecepatan sudutnya menjadi sebesar 125 rad/s. Berapakah besar percepatan sudutnya?
Berapakah pergeseran sudutnya selama 10 s tersebut? Asumsikan besar percepatan sudut tetap
konstan. Tentukan berapa revolusi putaran roda dari bergerak ke diam!
20
0
125 / 215 /
9,0 /
10,0
rad s rad s
t rad s
t s
 
   
 
     

15.  PEFI4425/MODUL 3 3.15
2 2 2 3 2
0
1 1
(215 / )(10,0 ) ( 9,0 / )(10,0 ) 1,70 10 /
2 2
t rad s s rad s s rad s        
2 2 2
2 2 0
0 2
(215 / ) 1
2 2600 410
2 22( 9,0 / )
rad s rev
rad rev
radrad s
 
   
 
 
        
  
Contoh Soal:
Sebuah gasing yang biasa dimainkan anak-anak sedang ber-spin pada 100 rev/s lalu diusahakan
berhenti dalam 10 detik. Berapa percepatan sudut gasing tersebut?
Penyelesaian:
ω0 = 200π s-1
adalah kecepatan sudut awal. Kecepatan sudut akhir adalah ωakhir = 0. Dari
hubungan 0( )t t    maka: 0( )t
t
 


 = (0 - 200 π)/10 = - 62,8 s-2
Tanda minus menunjukkan suatu perlambatan menuju berhenti.
C. ENERGI KINETIK GERAK ROTASI
Untuk menghitung energi kinetik obyek berotasi kita dapat memandang sebuah obyek berukuran
tertentu adalah kumpulan dari partikel-partikel dan masing-masing menyumbang energi kinetik:
2 21 1
( )
2 2
i i i i
i i
K m v m r  
2 21
{ )
2
i i
i
m r   (3.20)
Dengan i iv r dan kita tidak menggunakan i i iv r karena untuk gerak rotasi benda tegar
kecepatan sudut ω adalah sama untuk semua partikel benda tegar. Dari persamaan tersebut di
atas dapat kita definisikan massa (inersia) rotasional:
2
{ )i i
i
I m r  (3.21)
Sehingga energi kinetik benda tegar berotasi adalah:
21
2
K I (3.22)
Yang mana kita lihat bentuknya sangat mirip dengan energi kinetik gerak translasi yaitu K =
½mv2
. Dengan demikian jika dari konsep Newton bahwa massa obyek berkaitan dengan
keengganan obyek tersebut untuk mengubah keadaan geraknya, maka demikian juga untuk kasus
gerak rotasi maka inersia rotasi (massa rotasional) juga memberikan gambaran keengganan
(kelembaman) obyek untuk berotasi. Selanjutnya permasalahannya adalah bagaimana
menghitung inersia rotasi ini.

16. 3.16 Materi Kurikuler Fisika SMA 
C.1 Momen Inersia Untuk Berbagai Bentuk Benda Tegar
Untuk distribusi massa tak kontinu (diskrit) seperti telah disampaikan maka inersia rotasi adalah
bentuk sumasi. Momen inersia (inersia rotasional) juga didefinisikan terhadap sumbu rotasi
tertentu, seperti gambar berikut ini.
Gambar 3.13
Untuk distribusi massa yang kontinu maka konsep sumasi digantikan dengan konsep
integral:
2 2
(diskrit) (kontinu)i i
i
I m r I r dm    (3.23)
Elemen massa dm dihitung berdasarkan kasus apakah obyek dianggap berdimensi satu, dua atau
tiga. Untuk 1D jika didefinisikan rapat massa /m L  maka dm dL , untuk 2D jika rapat
massa /m A  maka dm dA dan untuk 3D jika rapat massa /m V  maka dm dV . Inersia
rotasi untuk sistem kontinu untuk masing-masing kasus menjadi:
2 2 2
I r dL r dA r dV       (3.24)
Sekarang jika sesuatu berputar mesti ada sumbu putarnya yaitu sebuah benda berputar harus
terhadap suatu sumbu. Dalam hal ini berputar dengan sumbu putar melalui pusat massa obyek
adalah lebih mudah daripada berputar dengan sumbu putar yang lain. Ini bisa Anda buktikan,
jika Anda ingin memutar buku di atas ujung jari Anda maka jika jari telunjuk Anda tempatkan
tepat di tengah-tengah buku (pusat massa) maka untuk memutarnya jauh lebih mudah daripada
jari telunjuk di tempatkan agak ke pinggir.
Inersia rotasi telah kita jelaskan memberikan gambaran kelembaman obyek untuk berputar.
Dari rumus inersia rotasi, r diukur dari pusat rotasi (sumbu rotasi). Jadi inersia rotasi I akan kecil
untuk sumbu putar melalui pusat massa, dan makin kecil I berarti obyek mempunyai
kemungkinan bergerak rotasi yang lebih besar. Dalam hal ini dapat juga inersia rotasi I dihitung
tidak melalui pusat massa obyek. Dengan teorema sumbu sejajar (lihat Gambar 3.14 ):
I = Icm + Mh2
(3.25)

17.  PEFI4425/MODUL 3 3.17
Dengan I adalah inersia dihitung dengan sumbu rotasi berjarak h dari pusat massa dan sejajar
dengan garis yang melalui pusat massa. M adalah massa total seluruh benda tegar.
Gambar 3.14 Definisi teorema sumbu sejajar
Contoh Soal:
Batang kayu panjang L dengan massa kecil (dapat diabaikan) pada kedua ujungnya diberi bola
bermassa m. Hitunglah inersia rotasional untuk sumbu rotasi melalui pusat massa (dan tegak
lurus batang)?
Penyelesaian:
Masing-masing bola bermassa dapat dianggap sebagai massa diskrit sehingga:
2 2 2
1 2i iI r m r m r m  
r1 = ½ L dan r2 = - ½L sehingga:
2 2 21 1 1
2 2 2
( ) ( )I L m L m mL   
Contoh Soal:
Hitunglah inersia rotasional untuk contoh soal di atas jika sumbu putar melalui salah satu ujung
batang (masih tegak lurus batang)?
Penyelesaian:
r1 =0 dan r2 = L sehingga 2 2
0 ( )I L m mL  
Contoh Soal:
Hitunglah inersia rotasional untuk contoh soal di atas dengan teorema sumbu sejajar?
Penyelesaian:
I = Icm + Mh2
Total massa adalah M = 2m dan h adalah jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi. Jadi h = ½L ,

18. 3.18 Materi Kurikuler Fisika SMA 
 
22 21 1
2 2
(2 )I mL m L mL  
Contoh Soal:
Hitunglah inersia rotasional sebuah batang tipis seragam massa m dan panjang L jika sumbu
rotasi melalui pusat massa (dan tegak lurus panjangnya)?
Penyelesaian:
Benda tegar seragam berarti rapat massa konstan dan dapat dikeluarkan dari integrasi, kemudian
dL = dr:
/ 2 / 2 3 3
2 2 2
/ 2 / 2
1
...
12 12 12
L L
L L
L M L
I r dr r dr ML
L
  
 
 
      
Contoh Soal:
Ulangi contoh di atas untuk sumbu rotasi di salah satu ujungnya:
3 3
2 2
0
1
...
3 3 3
L
L M L
I r dr ML
L
     
Contoh Soal:
Ulangi untuk contoh soal di atas dengan teorema sumbu sejajar?
Penyelesaian:
I = Icm + Mh2
  
22 21 1 1
12 2 3
I ML M L ML  
Contoh Soal:
Hitunglah momen inersia sebuah cincin tipis dengan radius R massa M yang berotasi dengan
sumbu rotasi melalui pusat cincin seperti gambar berikut ini?

19.  PEFI4425/MODUL 3 3.19
Penyelesaian:
Rapat massa cincin adalah λ = M/L =M/(2πR). Pada obyek ini integrasi adalah sepanjang
lingkaran yang berbentuk kurva sehingga akan lebih sesuai jika kita ubah integrasi dr  dθ
dengan hubungan l = θ.R dan dl = Rdθ sehingga momen inersia adalah:
2
22 3 3 2
0
0
2
2
M
I R Rd R d R MR
R


    

 
    
 
 
Contoh Soal:
Sekarang untuk sebuah piringan pejal massa M radius R berotasi pada pusat piringan maka
momen inersia adalah?
Penyelesaian:
Rapat massa adalah σ = M/πR2
dan elemen luas adalah dA = rdrdθ maka momen inersia adalah:
2 2 4 4
2 3 2
2
0 0 0 0
1
2
4 2 2
R R
R M R
I r rdrd r dr d MR
R
 

     

 
     
 
   
Dapat kita ringkas untuk berbagai bentuk benda mempunyai momen inersia berikut ini.
Gambar 3.15

20. 3.20 Materi Kurikuler Fisika SMA 
C.2 Pusat Massa Sistem
Kita telah menghitung momen inersia jika sumbu rotasi melalui pusat massa. Konsep pusat
massa penting karena sifat berikut:
All the mass of a rigid body may be assumed to be at the center of mass of the object when
considering the transitional behavior of that object under the action of external forces.
Ini berarti sebuah benda tegar (rigid body) adalah ekuivalen dengan sebuah massa titik yang
masif yang ditempatkan di pusat massanya. Demikian juga dengan meninjau pusat massa maka
mengizinkan kita untuk memisahkan gerak translasi dan rotasi obyek. Obyek akan ditranslasikan
dengan menganggap massanya dipusatkan di pusat massa. Dengan demikian problem menjadi
lebih sederhana dengan memandang pusat massa sistem. Penerapan hukum Newton untuk gerak
translasi yang telah kita pelajari di muka sebenarnya memandang obyek adalah massa titik
dievaluasi di pusat massanya dan semua gaya-gaya luar yang bekerja pada obyek adalah bekerja
di pusat massa obyek. Cara mencari pusat massa sistem yang paling mudah adalah mencari titik
keseimbangannya. Baik untuk distribusi massa titik maupun massa kontinu dapat dicari
koordinat pusat massanya. Sampai sejauh ini kita baru membahas kinematika gerak rotasi. Kita
akan mengembangkan lebih lanjut yaitu dinamika gerak rotasi, yang dalam hal ini memerlukan
konsep torka. Jika untuk dinamika gerak translasi gaya adalah sesuatu yang menyebabkan gerak
translasi, maka dalam dinamika gerak rotasi torka adalah sesuatu yang memungkinkan adanya
rotasi.
C. MOMEN GAYA
Gerak translasi sebuah obyek seperti telah kita ketahui dipengaruhi oleh gaya eksternal. Untuk
gerak rotasi maka ada sesuatu yang ekuivalen dengan gaya yaitu apa yang kita sebut torka
(torque) atau juga disebut momen gaya (moment of force) atau juga disebut kopel (couple) atau
juga disebut gaya angular (angular force) atau juga disebut kakas menurut padanan istilah
dalam bahasa Indonesia. Torka adalah ukuran seberapa besar sebuah gaya yang bekerja pada
sebuah obyek dapat menyebabkan rotasi atau memutar obyek benda. Sebuah obyek berotasi
menurut sumbu rotasi tertentu, atau sebuah titik pivot. Jarak antara titik pivot (misal titik O) dan
titik di mana gaya F bekerja obyek (benda tegar) menyatakan vektor posisi r obyek. Gambar
3.17 mendefinisikan torka sebuah obyek. Sebuah batang kayu diikat pada salah satu ujungnya
(sebagai pivot) dan digantung dinding sehingga dapat berotasi jika dikenai gaya F. Gaya yang
bekerja boleh tegak lurus batang atau membentuk sudut.

21.  PEFI4425/MODUL 3 3.21
Gambar 3.17 Momen gaya pada benda tegar berbentuk batang
Kita dapat melakukan eksperimen. Jika gaya F yang diberikan (misalnya dengan cara
mendorong dengan jari telunjuk) pada batang (di suatu titik kerja tertentu) makin lama makin
mendekati pivot maka ternyata gaya yang diperlukan akan semakin besar agar batang dapat
berotasi dengan cepat. Setelah diamati lebih lanjut dapat disimpulkan dirumuskan bahwa
hubungan antara gaya dan torka adalah:
r F  
 
(3.26)
Dengan r adalah jarak titik pivot ke gaya yang diterapkan. Persamaan ini adalah persamaan
vektor (dengan operasi cross product). Jadi hanya komponen gaya yang tegak lurus vektor jarak
(lihat nanti pada konsep lengan momen) yang menyumbang torka. Besarnya torka dapat
diberikan oleh:
τ = rFsinθ (N.m) (3.27)
dengan θ adalah sudut antara gaya F dan vektor jarak r. Satuan torka adalah N.m. Meskipun
secara matematis urutan Newton dan meter dapat dipertukarkan namun BIPM (Bureau
International des Poids et Mesures) menentukan bahwa satuan torka adalah N.m dan bukan
m.N. Sebagai catatan juga satuan energi joule didefinisikan untuk/dengan 1 N.m yang berasal
dari gaya kali (dot) jarak. Namun demikian torka tidak menggunakan satuan joule dan definisi 1
N.m adalah untuk vektor gaya cross vektor jarak. Energi adalah skalar sedangkan torka adalah
vektor. Arah torka ditunjukkan menggunakan kaidah tangan kanan (right hand rule):

22. 3.22 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Gambar 3.18 Arah torka menurut kaidah tangan kanan
Cara lain yang cukup berguna untuk mendefinisikan torka dan sering digunakan di luar fisika
adalah bahwa besarnya torka adalah:
(Torka, τ ) = (lengan momen, L) kali (gaya F) τ = L F = F L (3.28)
Lengan momen (moment arm) L didefinisikan seperti pada Gambar 3.19 berikut ini.
Gambar 3.19. Lengan Momen
Namun demikian ada kendala untuk menggunakan definisi ini, karena definisi ini hanya
menunjukkan besarnya torka saja dan bukan sekaligus arahnya sehingga menemui masalah jika
diterapkan untuk problem 3D. Sebenarnya ini hanyalah penegasan dari persamaan (3.27) bahwa
τ = rFsinθ karena lengan momen tidak lain adalah r.sinθ.
C.1 Pengaruh Torka Terhadap Gerak Rotasi
Penerapan konsep torka yang paling jelas dalam kehidupan sehari-hari namun sering tidak kita
sadari adalah saat kita membuka atau menutup pintu rumah. Bayangkan Anda mendorong pintu
untuk menutup rumah. Gaya F dorongan Anda menyebabkan pintu berotasi pada engselnya
(pivot O). Seberapa kuat dorongan bergantung pada jarak titik dorongan terhadap engsel (dan

23.  PEFI4425/MODUL 3 3.23
beberapa yang lain, namun kita abaikan saja). Semakin dekat dengan engsel di mana Anda
mendorong maka semakin susah (perlu lebih keras mendorong) menutup pintu. Jika titik dorong
gaya tepat di engsel maka pintu tidak akan berotasi atau tidak akan menutup, karena lengan
momen nol. Seberapa pun besarnya gaya dorong, jika titik dorong tepat di titik pivot maka
obyek tidak akan berotasi. Oleh karena itu tepat sekali jika dikatakan bahwa torka adalah
sesuatu yang menyebabkan rotasi. Seperti halnya gaya adalah sesuatu yang menyebabkan
translasi. Semakin besar torka yang dikenakan maka semakin besar kemungkinan rotasi obyek.
Demikian juga nilai torka paling besar jika vektor posisi r adalah tegak lurus gaya F karena
dari persamaan (3.27) jika θ = 90o
maka sin θ = 1, yaitu lengan momen sama dengan vektor
posisi. Jadi agar pintu cepat tertutup maka dorongan Anda perlu tegak lurus papan pintu untuk
gaya yang sama. Coba Anda buktikan sendiri untuk menutup pintu dengan sudut yang berbeda-
beda, dan Anda akan mendapatkan pemahaman yang lebih baik!! Selanjutnya barangkali ada
banyak gaya yang bekerja pada obyek. Masing-masing gaya akan menyumbang torka sehingga
kita perlu mencari torka netto yang merupakan jumlahan semua torka-torka individu.
Contoh Soal:
Carilah torka yang dikeluarkan oleh kunci pembuka (wrench) pada sebuah baut untuk gambar
berikut ini.
Penyelesaian:
. sin(90 ) 0,3 100 30 N.mr F    
Contoh Soal:
Seorang anak menahan beban 15 N di tangannya yang mempunyai panjang tangan 80 cm.
Hitunglah torka yang bekerja pada tangan jika tangan membentuk sudut 30o
terhadap horizontal
dihitung dari bahu anak tersebut (lihat gambar)?

24. 3.24 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Penyelesaian:
Kita dapat menguraikan gaya-gaya yang bekerja seperti gambar atas kanan. Jadi torka adalah:
τ = rFsinθ = (0,8 m) x (15 N) sin (60°) = 10,39 N.m
D. ANALOGI HUKUM II NEWTON GERAK TRANSLASI DAN GERAK ROTASI
Sekarang kita telah mempunyai torka yang berperan untuk gerak rotasi. Bagaimanakah hukum
Newton II yang ekuivalen untuk gerak rotasi? Kita dapat mencarinya dengan mengingat kembali
hukum II Newton translasi yaitu:
F = ma (3.29)
Mengalikan kedua sisi dengan r secara perkalian silang (cross product):
r F mr a  
  
(3.30)
Dengan definisi-definisi yang sudah kita bahas dapat kita turunkan:
 
2
r F
mr a
mr r
mr



 
 


 



 
 


Atau
I 

(analogi Hukum II Newton untuk rotasi) (3.31)
I adalah momen inersia 2
i iI m r  seperti telah kita ulas di depan yang memberikan sifat
kelembaman gerak rotasi. Makin besar I makin lembam benda tegar, yaitu makin besar untuk
mempertahankan keadaan gerak rotasinya. Persamaan (3.31) akan selalu digunakan menelaah
benda tegar yang berotasi.

25.  PEFI4425/MODUL 3 3.25
Contoh Soal:
Anda mengayuh sepeda yang mempunyai roda dengan diameter 0,85 m dan massa 4,5 kg. Gaya
yang diterapkan pada roda agar berputar adalah gaya tangensial sebesar 24 N. (a) Berapa torka
pada roda; (b) berapa momen inersia roda; (c) berapa percepatan sudut roda?
Penyelesaian:
(a) Torka r F  
 
 τ = rFsinθ = (0,425)(24N) sin (90) = 10,2 N.m
(b) Momen inersia untuk roda berbentuk cincin adalah:
2
2
2
.
(4,5) 0,425
0,813
I M R
kg m



(c) Percepatan sudut dicari dengan: I 

. Karena hanya ada satu torka maka I 

. Dari
jawaban (a) (b) maka percepatan sudut α = /I = 10,2 /0,813 = 12,5 rad/s2
Momen inersia untuk benda gabungan dapat dicari dengan mudah dengan memisah-misahkan
bagian benda lebih dulu. Seperti gasing piringan berikut maka momen inersia adalah
penjumlahan untuk momen inersia piringan (disk) dan momen inersia sumbu (axle):
Momen inersia gasing piringan adalah:
2 21 1
2 2
total disk axle disk axleI I I m R m r    (3.32)

26. 3.26 Materi Kurikuler Fisika SMA 
E. GERAK TRANSLASI-ROTASI DAN ANALISISNYA DALAM DINAMIKA
Sekarang kita sudah siap untuk membahas gerak yang lebih kompleks yaitu gerak kombinasi
translasi dan rotasi dari sebuah benda tegar. Untuk dinamika gerak translasi-rotasi ini kita
menggunakan hukum II Newton dalam dua bentuk:
 F = mat (Translasi) (3.33)
I 

(Rotasi) (3.34)
Perlu diingat juga dalam persamaan (3.34) mengandung r F   
 
dan ta
r
  adalah
percepatan sudut. Selanjutnya jika sebuah benda tegar dalam keadaan diam tak berotasi atau
bergerak translasi dengan kecepatan tetap tanpa rotasi maka at = 0 dan 0  .
E.1 Mesin Atwood
Penerapan Hukum Newton II untuk translasi-rotasi paling sederhana adalah seperti pada Mesin
Atwood berikut ini. Mesin Atwood termasuk pesawat sederhana. Misalkan pesawat (katrol)
adalah bergerak rotasi murni, yaitu pusat gravitasi katrol tidak bertranslasi ke atas/bawah atau ke
kiri/kanan.
Persamaan gerak untuk mesin Atwood yang mempunyai sebuah katrol dengan momen inersia
adalah sebagai berikut.
1. Untuk Beban (Translasi):
a. Massa kecil m : total F = ma dan T1 - mg = ma
b. Massa besar M: total F = ma dan Mg - T2 = Ma
2. Untuk Katrol (Rotasi Murni):
a. Total τ = ICMα dan (T2 - T1)r = Iα
T2 adalah tegangan dalam arah rotasi katrol ( ke arah massa besar) dan T1 adalah tegangan pada
sisi katrol yang lain. T1 dan T2 dapat sama hanya jika katrol dalam keadaan tanpa gesekan dan
dianggap tak bermassa. Persamaan a = rα dapat digunakan untuk menghubungkan percepatan
linear massa yang digantung dengan percepatan angular katrol.

27.  PEFI4425/MODUL 3 3.27
Contoh Soal:
Penerapan berikutnya yang populer adalah untuk gerak menggelinding dalam bidang miring.
Obyek massa m radius r momen inersia I menggelinding ke bawah tanpa selip seperti pada
gambar. Jika bidang miring mempunyai sudut θ terhadap horizontal nyatakan ungkapan
percepatan pusat massa bola pejal obyek itu dalam m, r, I dan θ?.
Penyelesaian:
Sumbu rotasi adalah pada pusat massa CM. Hanya gaya gesekan yang menghasilkan torka
terhadap titik pusat massa. Sejauh massa menggelinding tanpa slip maka kita dapat
menggunakan hubungan persamaan v = rω dan a = rα.
Untuk gerak rotasi: total τ = ICMα ; τ = fsr dan fs = ICM(α/r)
Untuk gerak linear: total F = ma ; mg sinθ - fs = mrα dengan a = rα
Eliminasi fs dari dua persamaan (saling substitusi) dan memecahkan untuk α:
mg sinθ - ICM(α/r) = mrα
Percepatan sudut: α = g sinθ /(r + ICM/mr)
Momen inersia untuk piringan atau silinder adalah I = ½mr2
sehingga substitusi ini
menghasilkan:
α = 2g sinθ/(3r)
F. USAHA DAN DAYA PADA GERAK ROTASI
Dalam teknologi otomotif, torka adalah bagian spesifikasi dasar sebuah mesin (engine) yaitu
daya (power) keluaran sebuah mesin dinyatakan dalam torka-nya dikalikan laju rotasinya.
Mesin-mesin pembakaran internal menghasilkan torka yang baik hanya untuk interval terbatas
laju rotasi (sekitar 1000 – 6000 rpm untuk mobil kecil). Pemahaman antara torka, daya dan laju
mesin adalah vital dalam rekayasa otomotif karena berkenaan dengan menyalurkan daya dari
mesin ke roda. Khususnya daya adalah fungsi dari torka dan laju mesin. Gigi (Gear) pada
kendaraan harus dipilih secara tepat untuk menghasilkan karakteristik torka motor yang paling

28. 3.28 Materi Kurikuler Fisika SMA 
tepat. Torka juga digunakan untuk menyatakan cara termudah menggambarkan keuntungan
mekanik pada pesawat sederhana, seperti telah kita singgung sebelumnya.
F.1. Hubungan antara Torka, Daya, dan Energi
Jika gaya menyebabkan obyek berjalan mencapai jarak tertentu maka itu mendefinisikan sebuah
usaha. Dengan cara yang sama jika torka bekerja mencapai jarak rotasi maka juga
mendefinisikan usaha. Sedangkan daya (power) adalah usaha per satuan waktu. Namun
demikian, waktu dan jarak rotasi dikaitkan dengan laju sudut di mana setiap revolusi adalah satu
putaran penuh. Dari definisi sebelumnya kita tahu bahwa v r  yaitu laju linear = laju sudut x
jari-jari. Jarak linear adalah s = v.t = laju linear x waktu, sehingga:
Jarak linear = laju sudut x jari-jari x waktu (3.35)
Torka didefinisikan dengan gaya x jari-jari atau:
Gaya = torka/jari-jari. (3.36)
Dari dua nilai ini maka kita boleh mendefinisikan:
Daya P = usaha/waktu =
gaya x jarak linear
waktu
( / ) ( )r r t
t
 
 
  
   (3.37)
Dengan demikian
Daya P = torka  x laju sudut ω (3.38)
Perlu diingat laju sudut adalah dalam rad/s, sehingga jika dinyatakan dalam rpm (revolusi per
menit) maka:
Daya P = torka x 2π x laju rotasi (3.39)
F.2. Usaha
Usaha yang dilakukan oleh torka dapat dirumuskan:
W   

(3.40)
Ini mirip dengan usaha oleh gaya dalam 1D yaitu W F dx 
 
. Oleh karena itu bentuk yang
lebih tepat adalah:
W d   (3.41)
Untuk benda tegar yang bertranslasi-rotasi energi kinetik total adalah:
2 21 1
2 2
CM CMK mv I   (3.42)

29.  PEFI4425/MODUL 3 3.29
Contoh Soal:
Sebuah piringan terbang (A flywheel) dengan radius 0,2 m dan massa 40 kg berotasi 50 rad/s.
Carilah energi kinetik rotasi?
Penyelesaian:
2 2 21 1
(40 )(0,2 ) 0,8 ,
2 2
I mr kg m kg m  
Energi kinetik rotasi:
  22 21 1
0,8 . 50 /sec
2 2
1000
rotasi
rotasi
KE I kg m rad
KE Joule
 

Contoh Soal:
Sebuah silinder pejal dan sebuah silinder berongga mempunyai massa dan radius sama dibiarkan
menggelinding pada bidang miring. Mana yang tiba lebih dulu sampai di bawah?
Penyelesaian:
Energi kinetik untuk obyek yang menggelinding sekarang adalah mengandung dua suku yaitu
suku rotasi dan suku translasi:
2 21 1
2 2
cm rotasi translasiKE I Mv K K   
Icm adalah momen inersia melalui pusat massa dan vcm adalah laju translasi pusat massa. Untuk
silinder pejal dan berongga kita ketahui bahwa:
2
21
2
silinder berongga
silinder pejal
I MR
I MR


Silinder berongga mempunyai momen inersia yang lebih besar sehingga lebih banyak energi
kinetik untuk rotasi, dan jadi kurang energi kinetik untuk translasi, sehingga silinder pejal akan
tiba lebih dulu.
G. MOMENTUM SUDUT
Hukum II Newton gerak linear menurut persamaan (2.7) adalah turunan momentum linear
terhadap waktu yaitu
dp
F
dt


dengan p mv
 
adalah momentum linear. Analogi dengan ini
maka untuk gerak rotasi kita mempunyai momentum sudut yang kaitannya dengan torka boleh
diharapkan berbentuk:

30. 3.30 Materi Kurikuler Fisika SMA 
dL
dt
 


(3.43)
Dengan L

adalah momentum sudut (angular) total. Kita belum mendefinisikan bagaimana
bentuk L

ini. Kita tinjau besaran berikut:
( )
d dr dp dv
r p p r v mv r m
dt dt dt dt
        
  
      
( )m v v r a   
   
Karena v v
 
= 0 maka
( ) ( )
d
r p m r a r F
dt
     
     
(3.44)
Jadi momentum sudut untuk partikel tunggal kita definisikan dengan
r p 
  
 (3.45)
Untuk sistem partikel maka momentum sudut total adalah:
i
i
L  
 
 (3.46)
Persamaan
eksternal
dL
dt
 


(3.47)
Untuk benda tegar sistem partikel maka semua partikel berotasi dengan laju sama dan dapat
dinyatakan dengan
L I
 
(3.48)
Yang sangat sesuai dengan p mv
 
.
Contoh Soal:
Buktikan bahwa terdapat hubungan L I
 
!
Penyelesaian:
Dari I 

, dan
d
dt

 


maka
d dL
I I
dt dt

   


Jadi  
d dL d dL
I I L I
dt dt dt dt

     
   
G.1 Hukum Kekekalan Momentum Sudut
Untuk gerak translasi kita tahu berlaku
dP
F
dt



dan jika F

= 0 maka momentum linear P
adalah konstan, yaitu berlaku kekekalan momentum linear. Dengan cara yang sama maka dari
eksternal
dL
dt
 


jika 0eksternal 

maka berlaku kekekalan momentum sudut yaitu

31.  PEFI4425/MODUL 3 3.31
L adalah konstan (3.49)
Yaitu jika tidak ada torka luar maka momentum sudutnya tetap konstan.
Contoh Soal:
Seorang penari balet es berputar (spin) di atas es. Evaluasilah bagaimana laju spin untuk dua
kondisi yaitu jika kedua tangan telentang dan jika bersedekap?
Penyelesaian:
L I
 
Momentum sudut adalah kekal sehingga: i f i i f fL L I I   
 
Dalam hal ini momen inersia I hanyalah fungsi r sehingga:
2
i
f i
f
r
r
 
 
 
 
 
Dapat kita simpulkan bahwa: jika i f f ir r maka   
Dengan merentangkan tangan (menambah r) maka mengurangi laju putaran. Jadi untuk
mengontrol putaran dengan baik, seorang penari balet es akan memperhatikan posisi tangan
selama berputar.
Contoh Soal:
Seorang penari balet es (ice skater) merentangkan kedua tangan sehingga laju putarnya 0,5 rev/s.
Pada keadaan ini momen inersianya 12 kg.m2
. Pada saat selanjutnya ia menarik kedua tangan ke
dekat dada sehingga momen inersianya 3 kg.m2
. Berapakah laju rotasi yang baru?
Penyelesaian:
Untuk memecahkan persoalan ini kita gunakan kekekalan momentum sudut. Momentum akhir =
momentum awal yaitu:
2
2
(12 . )(5 /sec)
2 /sec
3 .
F F i i
i i
F
F
I I
I kg m rev
rev
I kg m
 



  

32. 3.32 Materi Kurikuler Fisika SMA 
  2
m
24 kg 41,67 kg 9,8
s
653,37 N
 
   
 

 Dalam fisika benda tegar adalah idealisasi dari benda padat dengan ukuran
tertentu/berhingga yang tidak mengalami perubahan bentuk. Jadi benda tegar dapat
dipandang sebagai kumpulan partikel yang kedudukan partikel-partikelnya tetap satu
terhadap yang.
 Oleh karena tidak terdeformasi/tidak mengalami perubahan bentuk maka jarak antara
dua titik sembarang di dalam benda tegar tidak berubah sepanjang waktu, mengabaikan
gaya luar yang bekerja pada benda tegar tersebut. Di dalam mekanika klasik (Newton)
sebuah benda tegar sering dipandang sebagai sebuah distribusi massa yang kontinu,
sehingga sebuah obyek yang bergerak dapat dianggap sebagai sebuah massa tunggal.
 Sesungguhnya, secara umum jika sebuah benda tegar bergerak, maka ada dua hal yang
berubah terhadap waktu, yaitu posisinya oleh gerak translasi dan orientasinya oleh
gerak rotasi benda tegar. Sebagai contoh, sebuah silinder pejal yang menggelinding,
maka tipe geraknya adalah kombinasi dari gerak translasi dan rotasi.
 Telaah benda tegar lebih menguntungkan jika kita tinjau pusat massanya.
 Untuk kinematika gerak melingkar dapat didefinisikan beberapa besaran:
 kecepatan sudut (rata-rata)
t





. Kecepatan sesaat diperoleh untuk limit ∆t 0
yaitu
d
dt

  .
 Jika
s
r
  maka dapat didefinisikan hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan
sudut:
v
r
  .
 Kecepatan adalah vektor dan untuk gerak melingkar maka arah kecepatan linear v
selalu berbeda dengan arah kecepatan sesaat sebelumnya, yaitu pada gerak
melingkar seragam meskipun besar kecepatan sepanjang kurva konstan (seragam),
RINGKASAN

33.  PEFI4425/MODUL 3 3.33
namun arahnya akan berubah terus. Dari konsep percepatan maka karena ada
perubahan arah kecepatan, meskipun besarnya tetap, maka muncul percepatan yang
disebut percepatan sentripetal.
 Untuk gerak rotasi benda tegar dapat didefinisikan momen inersia 2
{ )i i
i
I m r  ,
dengan energi kinetik rotasi 21
2
K I . Yang mana kita lihat bentuknya sangat mirip
dengan energi kinetik gerak translasi yaitu K = ½mv2
.
 Menurut hukum kelembaman Newton, massa berkaitan dengan keengganan obyek
untuk mengubah keadaan geraknya (translasi), sedangkan momen inersia memberikan
gambaran keengganan (kelembaman) obyek untuk berotasi.
 Gerak translasi sebuah obyek dipengaruhi oleh gaya eksternal. Untuk gerak rotasi maka
ada sesuatu yang ekuivalen dengan gaya yaitu apa yang kita sebut torka atau juga
disebut momen gaya atau juga disebut kopel atau juga disebut gaya angular atau juga
disebut kakas. Torka adalah ukuran seberapa besar sebuah gaya yang bekerja pada
sebuah obyek dapat menyebabkan rotasi. Sebuah obyek berotasi menurut sumbu rotasi
tertentu, atau sebuah titik pivot. Jarak antara titik pivot (misal titik O) dan titik di mana
gaya F bekerja obyek (benda tegar) menyatakan vektor posisi r obyek.
 Hubungan antara gaya dan torka adalah r F  
 
. Dengan r adalah jarak titik pivot ke
gaya yang diterapkan. Satuan torka adalah N.m.
 Jika untuk gerak translasi berlaku hukum Newton F = ma maka untuk gerak rotasi
berlaku hukum Newton I 

. Jika dalam gerak translasi maka /F dp dt
 
maka
untuk rotasi mempunyai hubungan similar yaitu
dL
dt
 


.
 Untuk benda tegar secara umum mempunyai kemungkinan berotasi dan keadaan
kesetimbangan memenuhi syarat kesetimbangan pada benda tegar adalah (a)
terpenuhinya kesetimbangan translasi (F = 0) dan juga (b) terpenuhinya
kesetimbangan rotasi 0 

:
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan
berikut!

34. 3.34 Materi Kurikuler Fisika SMA 
1) Pemutar piringan hitam (PH) yang lama dapat berputar 33 rpm. Bila piringan mempunyai
diameter 30 cm, berapa kecepatan partikel di pinggir PH? Berapakah percepatan sentripetal
dan tangensial yang dialami partikel itu?
2) Angkatan udara menggunakan mesin sentrifugal untuk melatih pilot-pilotnya untuk melatih
manuver-manuver G-tinggi yang akan mereka hadapi dalam manuver-manuver di udara. Jika
mesin sentrifugal mempunyai diameter 15 m dan berputar sekali dalam 2 s, berapakah
percepatan yang dialami oleh pilot di dalam? Bagaimana ini dibandingkan gravitasi bumi?
3) Sebuah batu 1 kg diikat dengan kawat dan diputar horizontal mengikuti lingkaran. Panjang
kawat adalah 0,5 m dan batu melaju konstan 10 m/s. Carilah tegangan kawat?
4) Mobil bermassa 1000 kg berjalan memutar pada tikungan lingkaran yang mempunyai radius
200 m, pada kecepatan 20 m/s. Berapa gaya sentripetal mobil, dengan asumsi belokan adalah
bidang datar?
5) Sebuah roda bergerak dari keadaan diam sampai laju sudutnya 2 rad/s dalam waktu 5 detik.
Berapakah percepatan sudut rata-rata?
6) Sebuah kipas angin dari keadaan diam berputar sampai kecepatan rotasi maksimum 60 rpm,
dalam waktu 5 detik. Berapakah percepatan sudut rata-rata dan berapa revolusi?
7) Hitunglah torka yang diperlukan oleh sebuah sepeda yang mempunyai roda dengan radius
0,4 m, massa 2 kg, dan berputar 10 rad/s2
?
8) Bola pejal menggelinding tanpa slip pada bidang miring. Jadi ada konversi energi dari energi
potensial ke energi kinetik.
9) Usaha neto dalam mempercepat sebuah roda dari diam ke laju sudut 30 rev/s adalah W =
5500 J. Berapakah momen inersia roda tersebut?

35.  PEFI4425/MODUL 3 3.35
10) Bola seragam massa M = 5 kg radius a = 0,2 m berpusing (spin) terhadap sebuah sumbu
melalui pusat bola dengan periode T = 0,7 s. Berapakah momentum sudut bola?
11) Seseorang menahan massa m = 10 kg di tangannya. Otot bisep menciptakan gaya Fm
membuat sudut θm terhadap horizontal. Gaya reaksi Fr pada siku membuat sudut θr terhadap
horizontal. Hitunglah Fr, Fm, dan θr?
12) Di manakah posisi pusat massa sistem dengan dua bola (dumbells) dan setiap massanya m
yang diikatkan pada ujung tongkat tak bermassa yang panjangnya 4 ft?
13) Dua orang berdiri di kedua ujung jungkat-jungkit panjang 2 m. Masing-masing beratnya 400
N dan 500 N sedang berat jungkat-jungkit adalah 200 N. Di manakah titik tumpu harus
dipasang supaya jungkat-jungkit setimbang?
14) Pengungkit adalah sebuah pesawat sederhana (telah kita bahas pada modul sebelumnya).
Pengungkit ini dapat bebas digerakkan bertumpu pada titik tumpu. Pengungkit digunakan
untuk mengangkat beban berat menggunakan gaya yang cukup kecil. Kita tahu dari
penjelasan di atas, supaya dapat diangkat (berotasi) maka titik kerja gaya harus berjarak
cukup jauh dari titik tumpu (pivot), yaitu lengan gaya harus cukup besar supaya
menghasilkan torka yang besar dengan gaya yang kecil.
Tentukan gaya yang diperlukan agar dapat mengangkat bebas 1000 N untuk konfigurasi
seperti di bawah ini!
15) Sebuah tangga 40 kg panjang 10 m disandarkan di dinding tanpa gesekan dengan sudut 60o
.
Tentukan besar dan arah gaya yang diberikan oleh dinding dan lantai pada tangga?
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Kecepatan partikel adalah:
2 R
v
T



. T adalah periode
33 1 rev
rev/s
60 1,82 s
T  
Jadi kecepatan adalah 2(3,14159)(0,15)/1,82 = 0,518 m/s. Percepatan sentripetal

36. 3.36 Materi Kurikuler Fisika SMA 
 22
20,518
1,79 /
0,15
rad
v
a m s
R
  
Karena kecepatan adalah konstan maka percepatan tangensial adalah nol.
2) Jari-jari mesin adalah r = ½ d = 15/2 = 7,5 m. Percepatan yang dialami pilot adalah :
2
2
2 2
4 4 (7,5)
23,56 m/s
2
R
a
T
 
  
Yang 2,4 kali lebih besar dari gravitasi bumi (9,8 m/s2
). Pilot mengatakan ini adalah 2,4G.
Karena tegangan dan gaya sentripetal adalah pasangan aksi-reaksi maka tegangan adalah:
 22 (1) 10
200 N
0,5
c
mv
T F
r
   
3) FBD untuk mobil adalah:
Dari diagram kita dapat menuliskan: Menyelesaikan untuk gaya: 0g x cF N mg F F    
4)
0 0
2
2 2 2
2 2 2
( )/ ( )/
(2,0 / 0)/5,0
0,40 /
180
0,4 / (0,40 / ) deg/ 23deg/
1
0,4 / (0,40 / ) / 0,064 /
2
f fv v t t
rad s s
rad s
rad s rad s rad s
rad s rad s rev rad rev s
   




    
 

 
  
 
 
  
 
5)
  
0 0
0 0
0
( )/ ( )/
1 2 (1 2)( )
0 , 60( / ), 5,0
f f
f f
f
v v t t
d v v t t
rad s t s
   
  
 
    
    
  
0 0( )/ ( )/
(60 / 0)/5,0
f fv v t t
rad s s
   

    
 
12 /rad s 

37.  PEFI4425/MODUL 3 3.37
0 0(1/ 2)( ) (1/ 2)( )
(1/ 2)(60 / 0)(5,0 ) 150
1
2 1 , 150 ,
2
f fd v v t t
rad s s rad
rev
rad rev rad
rad
  

 

    
   
  
23,9rev 
6) Jika momen inersia adalah berikut: 2 2 21 1
(2 )(0,4 ) 0,16 .
2 2
I mr kg m kg m  
Maka torka roda adalah: 2 2
(0,16 . )(10 / ) 16 .I kg m rad s N m   
7)
2 2 2 21 1 2
2 2
g g traslasi rotasiPE Total KE PE KE KE
mgh mv I gh mv I 
   
    
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
5 5
2
2
5
2 7 10
2 2
5 5 7
gh v r I mr
v
gh v r v r
r
gh v v gh v v gh


 
   
 
  
       
 
      
 
Sebagai catatan: jika bola terjadi slip, yaitu bola bertranslasi tanpa menggelinding, maka
kekekalan energi tidak dapat digunakan untuk menentukan kecepatan pada bidang miring ini.
8) Laju sudut akhir adalah ω = 30 x 2π/60 = 3,142 rad/s.
Mengasumsikan semua usaha dilakukan pada roda adalah untuk menambah energi kinetik
rotasi maka: W = ½ Iω2
 I = 2W/ω2
= (2 x 5500)/3,1422
= 1114,6 kg m2
.
9) Kecepatan sudut bola adalah ω = 2π/T = 8,98 rad/s. Momen inersia bola adalah I = (2/5)
Ma2
= 0,4 x 5 x (0,2)2
= 0,08 kg m2
. Momentum sudut bola adalah L = Iω = 0,718 kg m2
/s.
10) Kita gambarkan situasinya seperti gambar berikut:

38. 3.38 Materi Kurikuler Fisika SMA 
Sudut θm adalah (180o
– 120o
) = 60o
. Dengan syarat kesetimbangan maka berdasarkan
gambar (b):
 Fx = 0 maka Fm cos θm – Fr cos θr = 0
 Fy = 0 maka Fm sin θm – Fr sin θr - ω = 0
Untuk menerapkan syarat kesetimbangan rotasi maka dipilih titik pivot O. Dengan syarat
kesetimbangan rotasi τCW = τCCW maka: Fm sin θm (0,05 m) = ω (0,35 m).
Substitusi nilai-nilai yang ada maka Fm = ... = 788 N.
11) XCM = (m x 0 ft + m x 4 ft)/(m + m) = 2 ft
12)
13)
400.(1 ) 500.(1 )
400 400 500 500 900 100 0,11 m
ccw cw d d
d d d d
     
      
1000 0,3 1,5 300/1,5 200 Nccw cw F F        
Jadi hanya dengan 200 N kita sudah dapat memindahkan beban 1.000 N (5 kali lebih besar).
14)
Dinding tanpa gesekan, maka gaya dari dinding adalah horizontal. Gaya dari lantai
mengandung dua bagian: komponen tegak yang vertikal dan gaya gesekan horizontal.
Yaitu:
x: f - Nw = 0
y: Nf - mg = 0
Dengan cara yang sama, karena gaya yang bekerja pada dua tempat berbeda pada tangga,
akan ada torka yang memenuhi:

39.  PEFI4425/MODUL 3 3.39
Torka: Nwlsin  - mg(l/2)cos  = 0
Jadi kita perlu menemukan Nw, Nf, dan f. Dari persamaan komponen y gaya maka:
Nf = mg
Untuk persamaan komponen x:
f = Nw
Dengan cara yang sama untuk torka:
F1 = mg/2tan 
Jadi kita dapatkan:
 
 
2
1
m
40 kg 9,8
s 113,2 N
2tan 2tan 60
mg
F

 
 
   

f = 113.2 N
  2
m
40 kg 9,8 392 N
s
N mg
 
   
 
Total gaya pada lantai:
   
 
 
2 22 2
1 1
392 N 113,2 N 408 N
392 N
tan tan 73,9
113,2 N
f
f
F N f
N
f
  
    
 
    
 
1) Roda berdiameter 1 m yang berputar dengan kecepatan sebesar 120 putaran per menit akan
memiliki kecepatan sudut dan kecepatan linier yang besarnya masing-masing adalah ...
A. 2 rad/s dan 4 m/s
B. 4 rad/s dan 4 m/s
C. 4 rad/s dan 2 m/s
D. 8 rad/s dan 2 m/s
2) Sebuah benda tegar berputar dengan kecepatan sudut 20 rad/s. Kecepatan linier suatu titik
pada benda berjarak 0,4 m dari sumbu putar adalah …
A. 80 m/s
B. 20,4 m/s
C. 20 m/s
D. 8 m/s
TES FORMATIF PILIHAN GANDA
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

40. 3.40 Materi Kurikuler Fisika SMA 
3) Sebuah mobil hendak membelok di suatu tikungan yang berbentuk seperempat lingkaran
dengan jari-jari 50 m. Jika koefisien gesek jalan raya adalah 0,2 dan mobil memiliki massa
1500 kg (percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/s2
) maka kecepatan maksimum mobil agar
tidak terguling adalah …
A. 50 m/s
B. 30 m/s
C. 10 m/s
D. 5 m/s
4) Suatu benda berotasi dengan kecepatan sudut sebesar 4 rad/s pada saat t = 0 dan mendapat
percepatan sudut konstan sebesar 2 rad/s2
. Setelah 3 s kemudian, besarnya sudut yang telah
ditempuh dan kecepatan sudutnya adalah ….
A. 21 rad dan 10 rad/s
B. 12 rad dan 6 rad/s
C. 8 rad dan 6 rad/s
D. 8 rad dan 12 rad/s
5) Berdasarkan gambar berikut ini, besarnya momen gaya di titik A adalah ....
A. 5 N
B. 50 2 N
C. 10 N
D. 10 2 N
6) Mesin Atwood menahan balok dengan massa m2 = 500 gr dan m1 = 400 gr. Jari-jari roda
katrol 5 cm. Apabila ketika dilepas m2 turun sejauh 75 cm dalam waktu 5 detik maka momen
inersia katrol adalah ....
A. 0,06 kg m2
B. 0,946 kg m2
C. 0,039 kg m2
D. 0,75 kg m2
7) Sebuah silinder pejal bermassa 100 gr dan berjari-jari 10 cm diletakkan pada bidang miring
dengan sudut kemiringan 30o
terhadap bidang horizontal yang mempunyai kekasaran
tertentu. Setelah dilepas dari ketinggian 30 cm, silinder tersebut menggelinding. Kecepatan
silinder setelah sampai di kaki bidang miring adalah ....
A. 30 m/s
B. 10 m/s
C. 3 m/s
D. 2 m/s

41.  PEFI4425/MODUL 3 3.41
8) Benda kecil bermassa 50 gr diikatkan di ujung tali. Tali diputar hingga bergerak melingkar
dengan jari-jari 20 cm dan kelajuannya 4 m/s. Ketika tali ditarik ke bawah hingga jari-jari
lingkarannya menjadi 10 cm, kelajuan gerak benda menjadi ....
A. 1 m/s
B. 2 m/s
C. 3 m/s
D. 4 m/s
9) Benda bermassa 100 gr diikatkan di ujung tali. Tali diputar hingga bergerak melingkar
dengan jari-jari 50 cm dan laju putarnya adalah 4 rad/s. Ketika tali ditarik ke bawah hingga
jari-jari lingkarannya menjadi 10 cm, laju putar benda menjadi .....
A. 0,4 rad/s
B. 0,5 rad/s
C. 0,6 rad/s
D. 0,8 rad/s
10) Sebuah gaya dikenakan pada sebuah benda tepat di titik massanya sedemikian hingga terjadi
kesetimbangan. Maka kesetimbangan yang sesuai adalah ....
A. kesetimbangan partikel
B. kesetimbangan benda tegar
C. kesetimbangan semu
D. kesetimbangan mutlak
11) Jika titik tangkap dua gaya sebuah benda tidak sama maka akan menyebabkan ....
A. rotasi searah putaran jarum jam
B. translasi infinitisimal
C. adanya torka
D. rotasi berlawanan arah jarum jam
12) Untuk sistem atau benda dengan kesetimbangan stabil akan berlaku ....
A. gaya yang relatif kecil untuk mengubah pusat masanya
B. benda bebas bergerak namun tidak mengubah pusat massanya
C. benda akan kembali keadaan setimbangnya begitu gaya luar hilang
D. tidak dipengaruhi benda
13) Ungkapan berikut ini adalah yang sesuai dengan definisi torka dan kopel, adalah ....
A. sebuah kopel boleh mengandung sebarang jumlah gaya
B. sebuah torka akan menyebabkan translasi dan rotasi
C. sebuah kopel hanya mengandung dua gaya yang besarnya sama berlawanan arah dengan
garis aksi yang berbeda
D. sebuah torka hanya boleh mengandung satu gaya yang bekerja pada titik tangkap tertentu
14) Pada sebuah pengungkit agar beban mudah dipindahkan dengan gaya yang cukup kecil,
maka harus diberikan kondisi ....

42. 3.42 Materi Kurikuler Fisika SMA 
A. jarak beban ke titik tumpu harus cukup dekat dibanding jarak titik kerja gaya ke titik
tumpu
B. jarak beban ke titik tumpu harus cukup dibanding jarak titik kerja gaya ke titik tumpu
C. pengungkit harus cukup besar
D. pengungkit harus cukup panjang
15) Pada sebuah pengungkit maka diperlukan lengan gaya yang ....
A. cukup besar untuk menghasilkan torka yang kecil
B. kecil untuk menghasilkan torka besar
C. besar untuk menghasilkan torka yang besar
D. kecil untuk menghasilkan torka yang kecil
1) Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan konstan 10 m/s melewati suatu kelengkungan jalan
yang mempunyai jari-jari 20 m. Jika berat mobil adalah 300 kg maka gaya normal pada
mobil adalah ...
2) Sebuah batang tipis dengan rapat massa 0,5 kg/m diputar pada salah satu ujungnya. Apabila
panjang batang adalah 2 m dan kecepatan sudutnya adalah 30 rad/s maka momen inersianya
adalah...
3) Piringan dengan jari-jari 0,5 m dan massanya 20 kg dapat berputar bebas pada sumbu
horizontal yang melalui sumbunya. Jika gaya 10 N dikenakan dengan menarik tali yang
membelit pada piringan maka percepatan anguler gerak piringan adalah ....
4) Sebuah batang panjang 5 m yang pusatnya diabaikan ditumpu pada titik 2 m dari ujung kiri.
Massa m1 = 25 kg diikatkan diselah kiri. Berapa massa balok yang seharusnya diikatkan
diujung kanan supaya batang seimbang dan gaya pada pivot batang?
TES FORMATIF ESSAY
Kerjakan soal-soal berikut dengan lengkap

43.  PEFI4425/MODUL 3 3.43
PETUNJUK EVALUASI TES FORMATIF PILIHAN GANDA
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian
akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk
mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi modul Modul 3. Jumlah Soal Pilihan
Ganda adalah 10 buah.
PETUNJUK EVALUASI TES FORMATIF ESSAY
Kerjakan soal-soal Essay yang ada, dan cocokan jawaban Anda dengan jawaban yang
diberikan pada bagian akhir Modul ini. Anda dapat memperkirakan berapa prosen (%) jawaban
Anda sesuai (benar) dengan Jawaban Kunci. Soal Essay pada modul ini ada 4 buah.
JAWABAN TES FORMATIF MODUL 3
PILIHAN GANDA
1) C Kecepatan sudut
120 2
120 putaran/menit 4 rad/s
60

 

  
Kecepatan linier 4 0,5 2 m/sv r     
2) D 20 0,4 8 m/sv r   
3) C
2 2
215000
3000 100 10 m/s
50
mv v
m g v v
r


        
4) A 2 21 1
2 2
0 4 3 2 3 21rado ot t           
4 2 3 10 rad/so t       
5) B 1
2
sin 45 10 2 10 50 2 Nmo
A F d     
Nilai Pilihan Ganda =
Jumlah Jawaban yang Benar
100%
Jumlah Soal


44. 3.44 Materi Kurikuler Fisika SMA 
6) C
 
2 2 22
2 1
2
2
0,1kg 10m/s 0,9kg 0,06m/s 0,05
0,06m/s
0,039 kgm
T T R
I
a
      

7) D 4 4
3 3
10 0,3 4 2 m/sv gh    
8) B 1
2 1
2
10 cm
4 m/s 2 m/s
20 cm
r
v v
r
  
9) D    2 2 1 1/ 10 cm/50cm 4 rad/s 0,8 rad/sr r   
10) A. Kesetimbangan partikel
11) C. Adanya torka
12) C. Benda akan kembali ke keadaan setimbangnya begitu gaya luar hilang
13) C. Sebuah kopel hanya boleh gaya yang besarnya sama berlawanan arah dengan garis aksi
yang
14) A. Jarak beban ke titik tumpu harus cukup dekat dibanding jarak titik kerja gaya ke titik
tumpu
15) C. Lengan gaya yang besar untuk menghasilkan torka yang besar
JAWABAN TES FORMATIF MODUL 3
ESSAY
1) Dapat kita analisis bahwa:
2 2
100
3000 10 3000
2
15000 N
v v
mg N m N mg m
r r
       

2) Dapat kita hitung bahwa: 21
3
I ML
3) Dapat kita temukan relasi: 2 21
2
2 2 10
2 rad/s
20 0,5
F
F R MR
MR
 

      

4) Setelah kita analisis maka diperoleh hubungan:
Gaya yang ada hanya untuk : 1 2 0m g m g P  
Torka terhadap pivot (CCW positif) : 1 0 2 0( ) 0m gI m g I I  
Menyelesaikan untuk m2
0
2 1
0
(5 )
(25 ) 41,67
1 (5 2 )
I m
m m kg kg
I m m
  
 
Jadi gaya pada pivot harusnya
1 2 1 2( ) (24 41,67 )(9,8)
653,37
P m g m g m m g kg kg
N
     


45.  PEFI4425/MODUL 3 3.45
GLOSARIUM
Benda
Tegar
: Adalah benda yang merupakan kumpulan partikel (massa titik) dengan
kedudukan masing-masing partikel tetap terhadap satu sama lain adalah tetap.
Oleh karena tidak terdeformasi/tidak mengalami perubahan bentuk maka jarak
antara dua titik sembarang di dalam benda tegar tidak berubah sepanjang
waktu, mengabaikan gaya luar yang bekerja pada benda tegar tersebut. Di
dalam mekanika klasik (Newton) sebuah benda tegar sering dipandang sebagai
sebuah distribusi massa yang kontinu, sehingga sebuah obyek yang bergerak
dapat dianggap sebagai sebuah massa tunggal. Sesungguhnya, secara umum
jika sebuah benda tegar bergerak, maka ada dua hal yang berubah terhadap
waktu, yaitu posisinya oleh gerak translasi dan orientasinya oleh gerak rotasi
benda tegar. Jadi untuk benda tegar, hukum Newton perlu dimodifikasi sedikit.
Pada benda tegar secara umum perlu memperhatikan gerak translasi dan rotasi.
Torka : Gerak translasi sebuah obyek seperti telah kita ketahui dipengaruhi oleh gaya
eksternal. Untuk gerak rotasi maka ada sesuatu yang ekuivalen dengan gaya
yaitu apa yang kita sebut torka (torque) atau juga disebut momen gaya
(moment of force) atau juga disebut kopel (couple) atau juga disebut gaya
angular (angular force) atau juga disebut kakas menurut padanan istilah dalam
bahasa Indonesia. Torka adalah ukuran seberapa besar sebuah gaya yang
bekerja pada sebuah obyek dapat menyebabkan rotasi. Dapat dibandingkan
dengan gaya yang menyebabkan translasi.

46. 3.46 Materi Kurikuler Fisika SMA 
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Saudara mahasiswa, setelah mempelajari dengan cermat dengan cara membaca, mengerjakan
latihan dan tes formatif yang ada pada modul 3 secara keseluruhan, Anda dapat memperoleh
hasil penilaian akhir dengan rumusan sebagai berikut.
Buatlah rata-rata Jawaban Anda dari pilihan Ganda dan Essay, kemudian berikan penilaian
kualitas sebagai berikut:
Kesesuaian jawaban Anda dengan Jawaban Kunci 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan materi Modul
selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulang membaca dan memahami
materi modul ini, terutama untuk bagian yang belum dikuasai.
PENUTUP

47.  PEFI4425/MODUL 3 3.47
DAFTAR PUSTAKA
Arya, A.P. (1979). Introductory College Physics. Macmilan Publishing Co.
Benjamin Crowell, http://www.lightandmatter.com
Halpern, A. (1988). Physics: Schaum’s Solved Problems Series. McGraw-Hill Book Company.
Norbury, John W. (2000). Elementary Mechanics and Thermodynamics. Milwaukee: Physics
Dept., University of Wisconsin.
Fitzpatrick, Richart. Classical Mechanics. Austin: The University of Texas.
Young & Freedman.(2004). Fisika Universitas. Jakarta: Erlangga.
Website untuk materi tambahan:
http://dev.physicslab.org/Default.aspx
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Moment_arm.png
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node97.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/circ.html#rotcon
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html
http://physics-help.info/physicsguide/mechanics/rotational_dynamics.shtml
http://theory.uwinnipeg.ca/physics/rot/node10.html
http://wikimediafoundation.org/wiki/
http://www.fearofphysics.com/Seesaw/seesaw.html
http://www.phy.cmich.edu/people/andy/Physics110/Book/Phy110.htm
http://www.physicsclassroom.com/Class/
http://www.unb.ca/web/civil/schriver/Previews/CE1013/Particle/Particle.htm
http://zebu.uoregon.edu/~probs/mechs

48. 3.48 Materi Kurikuler Fisika SMA 