2. HUKUM ALJABAR PROPOSISI
(ATURAN PENGGANTIAN)
Digunakan untuk membuktikan:
Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel
kebenaran)
Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain
menggunakan tabel kebenaran)
Membuktikan kesahan suatu argumen
3. 1. Hukum Idempoten (Idem)
o ( p v p ) p
o ( p p ) p
2. Hukum Assosiatif (As)
( p v q ) v r p v ( q v r )
( p q ) r p ( q r )
3. Hukum Komutatif (Kom)
( p q ) ( q p )
( p v q ) ( q v p )
4. Hukum Distributif (Dist)
( p v q ) r ( p r ) v ( q r )
( p q ) v r ( p v r ) ( q v r )
4. 5. Hukum Identitas (Id)
o p v F p
o p v T T
o p F F
o p T p
6. Hukum Komplemen (Komp)
o p v ~ p T
o p ~ p F
o ~(~ p) p
o ~(T) F dan ~ (F) T
7. Transposisi (trans)
o p q ~ q ~ p
8. Hukum Implikasi (imp)
o p q ~ p v q
5. 9. Hukum Ekivalensi (Eki)
p q ( p q ) ( q p )
p q ( p q ) v ( ~ p ~ q )
10. Hukum Eksportasi (Eks)
o p ( q r ) ( p q ) r
11. Hukum de Morgan (DM)
~ ( p q ) ~ p v ~ q
~ ( p v q ) ~ p ~ q
6. CONTOH SOAL
1. Buktikan bahwa: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
menggunakan aturan penggantian.
Penyelesaian:
p ⇒ (q ∧ r) ≡ ~ p v (q ∧ r) (Imp)
≡ (~ p v q) ∧ (~ p v r) (Dist)
≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) (Imp)
Terbukti
7. 2. Buktikan bahwa ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu
kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian
Penyelesaian:
((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) ek
(((-p) v (-q)) ⇒(-((-p) v (-q)))) ∧ ((-((-p) v (-q))) ⇒ ((-p) v (-q)))
(eki)
(-((-p) v (-q)) v (-((-p) v (-q)))) ∧ (-(-((-p) v (-q))) v ((-p) v (-q)))
(Imp, DM)
((-(-p) ∧ -(-q)) v (-(-p) ∧ -(-q))) ∧ (((-p) v (-q) v ((-p) v (-q)))
(DM, komp)
((p ∧ q) v (p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (komp, idem)
(p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (idem)
((p ∧ q) ∧ (-p)) v ((p ∧ q)∧(-q)) (dist)
(p ∧ (-p) ∧ q) v (p ∧ (q ∧ (-q))) (Kom, Ass)
8. (F ∧ q) v (p ∧ F) (Komp)
F v F (Komp)
F ( Idem)
Jadi ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi
9. 3. Buktikan argumen berikut ini sah menggunakan aturan
penggantian
p ⇒ q
-q / ∴ -p
Penyelesaian
Argumen di ubah menjadi bentuk implikasi yaitu
((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p)
Perhatikan bahwa ((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p) ek
-((p ⇒ q) ∧ (-q)) v (-p) (Imp)
(-(p ⇒ q) v –(-q)) v (-p) (DM)
(-(p ⇒ q) v q) v (-p) (Komp)
(-(-p v q) v q) v (-p) (Imp)
((-(-p) ∧ (-q)) v q ) v (-p) (DM)
((p ∧ (-q)) v q ) v (-p) (Komp)
((p v q) ∧ ((-q) v q)) v (-p) (Dist)
10. ((p v q) ∧ T ) v (-p) (Komp)
(pv q) v (-p) (ident)
p v (q v (–p)) (Ass)
p v ((-p) v q) (Kom)
(p v (-p)) v q (Ass)
T v q (komp)
T (Ident)
Jadi argumen sah.
11. ATURAN PENYIMPULAN
1. Modus Ponens (MP)
p ⇒ q
p
∴ q
2. Modus Tollens (MT)
p ⇒ q
-q
∴ -p
3. Silogisme (Sil)
p ⇒ q
q ⇒ r
∴ p ⇒r
12. 4. Distruktif Silogisma (DS)
p v q
-p
∴ q
5. Konstruktif Delema (KD)
(p⇒q) ∧ (r⇒s)
p v r
∴ q v s
6. Distruktif Delema (DD)
(p⇒q) ∧ (r⇒s)
-q v -s
∴ -p v -r
13. 7. Simplifikasi (Simp)
p ∧ q
∴ p
8. Adisi (Ad)
p
∴ p v q
9. Konjungsi (Konj)
p
q
∴ p ∧ q
14. CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini menggunakan aturan
penyimpulan
1. a b
2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Penyelesaian:
1. a b
2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
4. (a b ) ( c d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl
6.~ a v ~c 4,5 DD
(Argumen sah)
15. ATURAN BUKTI BERSYARAT (ABB)
Catatan
1. ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen
merupakan implikasi
2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik
antiseden dari konklusi menjadi premis baru
(premis tambahan) dan konsekuennya menjadi
konklusi argumen
16. CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan ABB
1. (a v b) ⇒ (c ∧ d)
2. (d v e) ⇒ f / ∴ a ⇒ f
3. a / ∴ f (asumsi)
4. a v b (3 Ad)
5. (c ∧ d) (1,4 MP)
6. d (5 simp)
7. d v e (6 ad)
8. f (2,7 MP)
9. a ⇒ f 3 s.d 8 ABB
17. BUKTI TAK LANGSUNG
Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru
(premis tambahan)
Dengan menggunakan aturan penyimpulan dan hukum
penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi
Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan
prinsip Adisi dan Distruktif Silogisma
18. CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan BTL
1. a v (b ∧ c)
2. a⇒ c / ∴ c
3. -c (asumsi)
4. -a (2,3 MT)
5. -a v b ( 4 Ad)
6. a ⇒ b (5 Imp)
7. (a v b) ∧ (a v c) ( 1 Dist)
8. a v c (7 Simp)
9. c v a (8 Kom)
10. -c ⇒ a ( 9 imp)
11. a (10,3 MP)
19. 12. a ∧ -a (11,4 Konj)
13. a v c ( 11 Ad)
14. c ( 13,4 DS)
