matematika asuransi tentang life annuity

1. LIFE ANNUITY, LIFE INSURANCE AND NET
PREMIUM
(Dosen : Azwir Arifin , Msc , FSAI , AAAIJ)
BAB III
LIFE ANNUITY
3.1 ANNUITY CERTAIN DAN LIFE ANNUITY
Pada Bab pembungaan telah kita kenal berbagai jenis pembayaran berkala yang
tidak ada kaitannya dengan hidup atau matinya seseorang.
Pembayaran berkala tersebut kita namakan Annuity Certain.
Dalam Bab ini akan kita bahas “Life Annuity” yaitu pembayaran berkalan yang
pembayarannya dikaitkan dengan hidup atau matinya seseorang.
Pada dasarnya jenis dan hubunngan life annuity ini serupa dengan annuity
certain yang telah diuraikan pada bab Pembungaan, dilihat dari saat dan jangka
waktu pembayarannya adalah sebagai berikut :
 1). Annuity Due, Jika pembayaran dilakukan pada tiap awal periode.
2). Annuity Forborne, Jika pembayarannya ditunda selama jangka
waktu tertentu.
 1). Immediate Annuities, Jika pembayaran pertam adilakukan segera.
2). Deferred Annuities, Jika pembayarannya ditunda selama jangka
waktu tertentu.

2.  1). Limited Annuity (Temporary Annuities), Jika pembayarannya
dilakukan maksimum sampai batas waktu tertentu.
2). Perpetuel Annuity (Whole Life Annuities), Jika pembayarannya
dilakukan selama hidup.
3.2 PURE ENDOWMENTS
Dalam teori kemungkinan, apabila p adalah merupakan kemungkinan
seseorang untuk mendapatkan suatu pembayaran tertentu seharga K , maka
hasil perkalian K dan p yaitu Kp disebut harapannya (expectation).
Sekarang jika pembayaran tersebut ditunda selama n tahun, maka Nilai Awal
dari harapannya tersebut adalah
n
vpK .. dimana
n
v adalah factor diskonto
dengan suatu dasar bunga tertentu.
NILAI AWAL n tahun
n
vpK .. .. pK
n
v
Kalau kita anggap bahwa )(x akan menerima pembayaran seharga K
pada akhir n tahun jika dia hidup sampai saat tersebut, maka situasi ini adalah
sama dengan situasi tersebut diatas, hanya dalam hal ini kemungkinan untuk
mendapatkan tersebut )( p adalah kemungkinan )(x hidup selama n tahun,
yaitu xn p . Dengan demikian Nilai Awal adalah
n
xn vpK .. .
Jenis pembayaran ditunda ini disebut n tahun-pure endowment sebesar K .

3. Nilai Awal pada usia x dari suatu n tahun. Pure endowment sebesar 1,
symbol-nya ditulis xn E , sehingga :
xn E .n
v= xn p
x
nx
n
v
1
1. +
= . ……………………………………. (3.1).
Nilainya dapat dihitung langsung dengan menggunakan daftar mortalita dan
daftar bunga.
Meskipun demikian dalam praktek agar perhitungan lebih mudah dilaksanakan,
lazimnya digunakan Commutation Coloumn yang menunjukkan angka-angka
sebagai hasil gabungan unsure mortalita dan bunga. Untuk lebih jelasnya dapat
diikuti uraian berikut ini.
Dari persamaan : xn E
x
nx
n
v
1
1. +
=
Jika ruang kanan kita kalikan dengan x
x
v
v
(nilainya =1) akan didapat persamaan
baru :
xn E
x
x
nx
nx
v
v
1
1. +
+
=
Commutation Symbol atau nilai pengganti untuk x
x
v 1. adalah xD , maka
xD = x
x
v 1. …………………………………………………………………….. (3.2)
Selanjutnya dapat kita tulis xn E
x
nx
D
D +
= ………………………… (3.3)
Contoh Soal :
1. Berapa Nilai Awal dari uang sebesar $ 5.000,- yang akan diterima seseorang
yang sekarang berusia 20 tahun jika ybs. Hidup pada usia 40 tahun. Dasar
bunga adalah 3%, Daftar Mortalita yang digunakan adalah 1958 CSP Table.

4. Diberikan : (1+0,03)
20
= 1,8061.1123
1958 CSO Table 120= 9.664.994
140 = 9.241.239
Perhitungan :
n – 20 tahun $. 5.000,-
x= 20 tahun x=40 tahun
5000. 20E20 =
20
4020
20
2020
20
1
1.
)03,01(
1
1
1
5000
+
=+v
= 00,647.2
994.644.9
239.9241.
1123.8061.1
1
5000 =
Nilai Awal = US$ 2.647,00
2. Apabila xxS −= 100
10
1
)( , berapa Nilai Awal dari 15 tahun Pure
Endowment sebesar $.1.000,- bagi orang yang berusia 36 tahun jika dasar
bunga adalah 3%.
Diketahui bahwa v
15
untuk %3=i adalah 0.6418.6195
Perhitungan :
Nilai Awal $.1.000,-
X = 36 n=15 tahun x=51 thn
15
36153615 .1000.1000 vPE =

5. )36(
)51(
3615
S
S
P =
8
7
36100
10
1
51100
10
1
=
−
−
1000 63,5616195.6418,0
8
7
10003615 == xxE
∴Nilai Awal = US$ 561,63
3.3 LIFE ANNUITIES DENGAN PEMBAYARAN TAHUNAN
Suatu pembayaran berkala yang dilakukan tiap tahun terus menerus selama
)(x hidup dinamakan Whole Life Annuity. Jika pembayarannya dilakukan tiap
akhir tahun sebesar 1, maka Nilai Awal dari Whole Life Annuity tersebut
dinyatakan dengan Symbol : xa .
Nilai Awal dari Whole Life Annuity ini )( xa tidak lain adalah merupakan jumlah
Nilai Awal dari Pure Endowment ( )( xn E dimulai 1=n sampai dengan 1−=n
Untuk lebih jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut :

6. x x+1 ………………………………………………..
Dengan demikian maka :
xxxx EEEa 321 ++= ………………………………………+ xEx 1−−∞
∑
−−∞
=
=
1
1
x
t
xt E
…………………………………………………………………… (3.4)
Menurut persamaan (3.3) :
x
x
xn
D
D
E 3+
=
Maka xa dapat dinyatakan pula dengan xD :
xxxxx ExEEEa 1321 ....................................... −−∞++++=

7. xx
x
x
x
x
x
D
D
D
D
D
D
D
D 1321
............................ −∞+++
++++=
).............(
1
1321 −∞+++ ++++= DDDD
D
xxx
x
∑
−−∞
=
+=
1
1
1 x
t
tx
x
D
D ………………………………………………………………
(3.5)
Untuk memudahkan perhitungan sebagaimana halnya dengan x
x
v 1. yang
dinyatakan dengan Commutation Symbol xD , maka untuk :
∑
−−∞
=
+
1
0
x
t
txD atau )....................( 121 −∞++ ++ DDDD xxx juga dinyatakan
dengan Commutation Symbol tertentu, yaitu xN
Dengan demikian, 121 ............................... −∞++ +++= DDDDN xxxx
∑
−−∞
=
+=
1
0
x
t
txD …………………………………………………
(3.6)
Dengan memasukkan persamaan (3.6) kedalam persamaan (3.5) didapat
persamaan :
(3.6) )...........................................( 11 −∞+ +++= DDDN xxx
)......................................( 1211 −∞+++ +++= DDDN xxx
(3.5) )..................................
1
121 −∞++ +++= DDD
D
a xx
x
x
)(
1
1+= x
x
N
D
x
x
x
D
N
a 1+
=∴ ………………………………………………………………………
(3.7)

8. Dari uraian diatas terlihat jelas bahwa dengan adanya Commutations Symbol
xD dan xN perhitungan Life Annuities dapat lebih dipermudah, misalnya untuk
menghitung Nilai Awal Whole Life Annuity tdak usah menggunakan rumus :
∑
−−∞
=
+
=
1
0 1
1.x
t x
tx
t
x
v
a
Tetapi menggunakan rumus (3.7) yang lebih sederhana.
Commutation Symbol xD dan xN tersebut disusun dalam bentuk table
menurut usia dimulai dari 0 sampai yang tertua.
Untuk menyusun tabel xD tersebut digunakan rumus x
x
x vD 1.= dimana
x
v
diambil dari Daftar Bunga dan x1 dari Daftar Mortalita.
Untuk menyusun tabel xN diturunkan rumus :
121 ................................... −∞++ +++= DDDDN xxxx
)...............................( 121 −∞++ ++++= DDDD xxx
1++= xx ND
xxx DNN +=∴ +1 …………………………………………(3.8)
Sebagai contoh dibawah ini digambarkan cara penyusunan tabel xD dan xN
untuk 1958 C.S.O Table dengan %3=i
X 1x V
x
Dx=v
x
.1x Nx=Nx+1+Dx
0
1
2
3
4
10.000.000
9.929.200
9.911.725
9.896.659
9.882.210
1,0000.0000
0,9708.7379
0,9425.9591
0,9151.4166
0,8884.8705
10.000.000,0
9.640.000,0
9.342.751,4
9.056.844,9
8.780.215,6
288.963.016,7
278.963.016,7
269.323.016,7
259.980.265,3
250.923.420,4

9. 5
.
.
.
95
96
97
98
99
9.868.375
97.165
63.037
37.787
19.331
6.415
0,8626.0878
0,0603.2032
0,0585.6342
0,0568.5769
0,0552.0164
0,0535.9383
8.512.546,9
5.861,0
3.691,7
2.148,5
1.067,1
343,8
242.143.204,8
12.112,1
7.251,1
3.559,4
1.410,9
343,8
Dalam penyusunan Tabel xD dengan menggunakan rumus x
x
x vD 1.= diatas,
dapat dimulai dari usia muda ke usia tinggi ataupun sebaliknya, tetapi untuk
penyusunan Tabel xN dengan rumus xxx DNN +=∴ +1 haruslah dimulai dari
usia tua ke usia muda.
Contoh soal :
1. Nyatakan 95a dengan 1 dan v
Penyelesaian :
∑∑ =
−−
=
==
4
1
95
195100
1
9595
t
t
t
t EEa
∑∑ =
+
=
==
4
1 95
95
95
4
1 1
1.
.
t
t
t
t
t
t v
pv
95
1.41.31.21.
1
99989796 vvvv
+++
=

10. 2. Seseorang yang berusia 95 tahun mempunyai uang kontan sekarang
sebesar Rp. 1.000.000,-. Berapa dia akan mendapat pembayaran tiap akhir
tahun selama dia hidup jika uang tersebut dibelikan Whole Life Annuity
(gunakan tabel tersebut diatas).
Perhitungan :
Rp. 1.000.000,-
95
195
D
N
Px +
=
95
96
.
D
N
P=
0,861.5
1,251.7
.P=
−=−= ,291.808.,000.000.1.
1,251.7
0,861.5
RpxRp
3. Buktikan : 24232221202520 DDDDDNN +++−=−
Bukti :
125242322212020 ........ −∞+++++++= DDDDDDDN
=25N 125 ........ −∞++ DD
(-)
=− 2520 NN 2423222120 DDDDD ++++
Bentuk kedua dari Life Annuity adalah Temporary Life Annuity, yaitu Whole Life
Annuity yang pembayarannya terbatas maximum selama jangka waktu tertentu.
Dengan demikian, dapat pula kita katakana bahwa suatu pembayarn berkala
tahunan selama n tahun jika )(x tetap hidup adalah n-tahun Temporary Life
Annuity.

11. Jika pembayaran tiap akhir tahun dan besarnya tiap pembayaran adalah 1, maka
Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol : /:nx
a
Untuk mengetahui rumus /:nx
a dapat dilihat gambaran dibawah ini.
x 1 1 1 …………………………………… 1
n-tahun
x+n
xnxxxnx
EEEEa ++++= .............................321/:
∑=
=
n
t
xx E
1
……………………………………………………………………………
…..(3.9)
Dengan menggunakan rumus
x
nx
xn
D
D
E +
=
Maka : /:nx
a = ∑=
+
n
t x
tx
D
D
1
Kita lihat sekarang persamaan-persamaan sebagai berikut :
11211 .............................. −∞++++++ +++++= DDDDDN nxnxxxx
=++ 1nxN 11 .......1 −∞++ + DD nx

12. (-)
nxxxnxx DDDNN ++++++ +++=− .......................2111
∑=
+=
n
t
txD
1
Rumus (3.10) /:nx
a = ∑=
+
n
t x
tx
D
D
1
=
xD
1
∑=
+
n
t x
tx
D
D
1
Dengan dimasukkan persamaan diatas, akan didapat :
/:nx
a =
xD
1
)( 11 +++ − nxx NN
∴ /:nx
a =
x
nxx
D
NN 11 +++ −
……………………………..(3.10)
Contoh soal :
Buktikan : xa = /:nx
a + xn E . nxa +
Bukti xa = /:nx
a + xn E . nxa +
=
x
nxx
D
NN 11 +++ −
+
x
nx
D
D +
.
nx
nx
D
N
+
++ 1
=
x
qnx
x
x
D
N
D
N +++
−1
+
x
nx
D
N 1++
=
x
x
D
N 1+
= xa
3. Nilai Awal pada usia 30 tahun dari 5 tahun Temporary Life Annuity Forborne
adalah sebesar Rp. 500.000,-

13. Nyatakan pembayarn tiap akhir tahun tersebut dengan Commutation Symbol
D.
Perhitungan :
30
3631
000.500
D
NN
P
−
=
3631
30
000.500
NN
D
P
−
=
Pembayaran tiap akhir tahun =
3534333231
30
000.500
DDDDD
D
++++
Bentuk ketiga dari Life Annuity adalah n-tahun deferred life annuity. Ini
adalah suatu Life Annuity yang pembayaran pertamanya ditangguhkan n
tahun. Dengan demikian suatu n-tahun Deferred Life Annuity untuk (x) yang
pembayarannya akhir tahunan, pembayaran pertamanya akan dilakukan
pada usia 1++ nx .
Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol xan / , gambarannya adalah :

14. (x) (x+1) (x+n) (x+n+1) (x+n+2) …………..
xan / =
xxnxn EEE 121 ........................................................ −++ +++
= ∑
−
+=
1
1
x
nt
xt E
………………………………………………………………(3.11)
Rumus (3.11) tersebut dapat dinyatakan pula dalam Commutation Symbol.
xan / = ∑
−−∞
+=
1
1
x
nt
xt E
= ∑
−−∞
+=
+
1
1
x
nt x
tx
D
D
= ∑
−−∞
+=
+
1
1
1 x
nt
tx
x
D
D
Sedangkan, 1
1
1
++
−−∞
+=
+ =∑ nx
x
nt
tx ND
Maka, xan /
x
nx
D
N 1++
= …………………………………………………………….
(3.12)

15. Kalau diperhatikan ternyata bahwa n-tahun deferred life annuity merupakan
selisih antara Whole Life Annuity dan n-tahun Temporary Life Annuity, hal ini
dapat dibuktikan sebagai berikut :
xa - /:nx
a =
x
nxx
x
x
D
NN
D
N 111 ++++ −
−
x
nx
x
x
x
x
D
N
D
N
D
N 111 ++++
+−=
x
nx
D
N 1++
=
∴ xa = xan / ……………………………………………………………
(3.13)
Lebih lanjut dapat dibuktikan pula bahwa n-tahun deferred life annuity adalah
merupakan nilai awal dari n-tahun Pure Endowment sebesar nxa + , atau
dapat pula disebut sebagai Nilai Awal dari nxa + pada usia (x);
Pembuktiannya dapat diperhatikan uraian dibawah ini :
………………………
1 1
n (x+n)(x) (x+n+1)
xn E
nx
nx
x
nx
D
N
D
D
nx
+
+++
=+ 1
.
x
nx
D
N 1++
=
xn E∴ nxa + = xan /
………………………………………………………(3.14)

16. Suatu deretan pembayaran akhir tahunan pada (x) yang akan dimulai pada
usia x+n+1 dan berlangsung selama m tahun jika x masih hidup disebut n-
tahun deferred m-tahun Temporary Life Annuity.
Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol : mn / xa
(x) (x+1) (x+n+1) …………..
1 1
n m
(x+n+m)
mn / xa =
xmnxnxn EEE +++ +++ .....................................................21
∑
+
+=
mn
nt
xt E
1
……………………………………………………………………..(3.15)
Selanjutnya dapat kita tulis,
mn / xa = ∑
+
+=
+
mn
nt
tx
x
D
D 1
1
............................. 1211 +++= +++++++++ mnxnxnxnx DDDN
=+++ 1mnxN .........1 ++++ mnxD (-)
1++nxN - 1+++ mnxN mnxnx DD ++++ += ..............1
∑
+
+=
+=
mn
nt
txD
1

17. ∴ mn / xa
x
mnxnx
D
NN 11 +++++ −
=
…………………………………….(3.16)
Contoh Soal :
Seseorang yang pada saat ini berusia 30 tahun, mendapat pembayaran
sebesar Rp. 1.000,- tiap akhir tahun, pembayaran pertama dimulai pada saat
dia berusia 35 tahun. Lamanya pembayaran adalah 15 tahun jika dia masih
hidup pada saat itu.
Berapa Nilai Awal pembayaran tersebut pada saat ini?
Nyatakan jawabannya dalam Commutation Symbol D dan N.
Perhitungan :
N=4 thn m=15 thn 1000,-
1000,-1000,-………..
30 34 35 49
x = 30 )
n = 4 )
m = 15 )
30
1154301430
30 ,1000
15
4.1000
D
NN
a +++++ −
−=
P = Rp. 1.000,- )
30
5035
,1000
D
NN −
−=
Whole Life Annuity, Temporary Life Annuity dan Deferred Life Annuity yang
telah diuraikan diatas adalah “ Life Annuity Forborne” yaitu yang

18. pembayarannya dilakukan tiap akhir tahun, Nilai Awalnya dinyatakan dengan
symbol : a
Berikut ini akan kita bahas Life Annuity yang pembayarannya dilakukan tiap
awal tahun yaitu Life Annuity Due. Nilai Awalnya lazim ditulis : xa .
Untuk jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut :
(x) (x+1) ………….. ………….. ………….. …………..
1
xa xx EE 11 ...............................................1 −∞+++=
∑
−−∞
=
=
1
0
x
t
xt E
………………………………………………………………..(3.17)
Selanjutnya dari (3.17) dapat diuraikan,
xa = ∑
−−∞
=
+
1
0
1 x
t
tx
x
D
D
x
x
N
D
.
1
=

19. ∴ xa
x
x
D
N
= …………………………………………………………..
(3.18)
Nilai Awal n-tahun Temporary Life Annuity Due : /:nx
a
(x) (x+1) ………….. ………….. ………….. x+n
1 1 1
x+n-1
/:nx
a xnx EE 11 ................................................1 −+++=
∑
−
=
+
=
1
0
n
t x
tx
D
D
…………………………………………………………….(3.19)
xN 1
................................1 −∞
+++++= ++ DDDD nxxx
=+nxN 1............ −∞+ ++ DD nx (-)
xN - =+nxN 11 ..................... −++ +++ nxxx DDD
∑
−
=
+=
1
0
n
t
txD

20. ∴ /:nx
a
x
nxx
D
NN +−
=
………………………………………………………..(3.20)
Nilai Awal n-tahun Deferred Life Annuity Due : xan /
(x) ………….. ………….. …………..
1 1
(x+1)
xan / =
xxn EE 1........................................................... −++ ω
= ∑
−−
=
1x
nt
xt E
ω
…………………………………………………………(3.21)
∑
−−
=
+
1x
nt
txD
ω
= nxN +
∴ xan / =
x
nx
nx
x D
N
N
D
+
+ =.
1
…………………………………………..
(3.22)
Nilai Awal n-tahun Deferred m-tahun Temporary Life Annuity Due : xmn a/

21. (x) (x+n+1)
1
(x+1) (x+n+m-1) (x+n+m)
xmn a/ = xmnxnxn EEE 11 ............................................ −++ +++
= ∑
−+
=
1mn
nt
xt E
………………………………………………………………(3.23)
Kita lihat,
....................................................1 ++++= ++++++ mnxnxnxnx DDDN
=++ mnxN
...................1 +−++ mnxD (-)
mnxnx NN +++ − 11 .............................. −+++++ +++= mnxnxnx DDD
∑
−+
=
+=
1mn
nt
txt D
∴ xmn a/
x
mnxnx
D
NN +++ −
= ……………………………………………………..
(3.24)

22. Contoh soal :
Buktikan :
1. xx aa +=1
2. /:nx
a /1:
1 −
+= nx
a
3. xx anan /1/ −=
4. xmn a/ xm an /1−=
Bukti :
1.
x
x
x
D
N
a 1
11 +
+=+
x
xx
D
ND 1++
=
x
x
x
a
D
N
==
2.
x
nxx
nx
D
NN
a ++
−
−
+=+ 1
/1:
11
x
nxx
x
x
D
NN
D
D ++ −
+= 1
x
nxxx
D
NND ++ −+
=
)( 1
x
nxx
D
NN +−
=
/:nx
a=

23. 3. xnx aan // 1−=
x
nx
D
N 11+−+
=
x
nx
D
N +
=
xan /=
4. xmn a/ xmn a/1−=
x
mnxnx
D
NN 1111 ++−++−+ −
=
x
nmxnx
D
NN ++ −
=
= xmn a/
LIFE ANNUITY DENGAN INSTALLMENTS (Pembayarannya lebih dari satu
kali tiap tahun)
Dalam praktek sering kali pembayaran berkala dilakukan tiap setengah
tahunan, kwartalan dan bulanan.
Selanjutnya dapat kita cari Nilai Awal pada usia x dari Whole Life Annuity
sebesar 1 yang akan diangsur m kali tiap tahun. Jika suatu pembayaran
sebesar m
1
akan dilakukan tiap m
1
tahun kepada x sepanjang yang
bersangkutan hidup dan pembayaran pertama dimulai pada usia m
x
1
+ ,

24. maka Nilai Awalnya ditulis dengan Symbol :
)(m
xa , rumusnya dapat kita
turunkan sebagai berikut :
(x)
)(m
xa = xxx E
m
xm
m
E
mm
E
mm
)(
.
1
........................
2
.
11
.
1 −
+++
ω
= ∑
−
=
)(
1
/.
1 xm
t
xmt E
m
ω
Batas tertinggi )( xm −ω lazimnya ditulis ∞ sebagai suatu batas tertinggi
dari fungsi hidup.
Dengan demikian maka,
)(m
xa = ∑
∞
=1
/.
1
t
xmt E
m
…………………………………………………….(3.25)
Selanjutnya dapat diuraikan,
)(m
xa = ∑
∞
=
+
1
.
1
t x
m
t
x
D
D
m

25. = ∑
∞
=
+
1.
1
t m
t
x
x
D
Dm ………………………………………………
(3.26)
)).....().........................( 22
1
1
1
121
1
+
++++
+
++
∞
=
+
++++++=∑ x
m
x
m
x
x
m
x
m
x
t m
t
x
DDDDDDD
Dari rumus diatas kita ambil potongan tahun ke 1+t , maka akan didapat
Commutation Function
111 ,,......, ++−
++++
+ tx
m
m
tx
m
tx
tx DDDD
Apabila Commutation Function tersebut kita anggap sebagai fungsi linier,
maka dengan interpolasi linier akan didapat gambaran perhitungan seperti
dibawah ini :
Dari gambar diatas dapat dilihat,
zDD tx
m
tx
−= +
++
1
Dimana, mDDz txtx :1)(: 1 =− +++
)(
1
1+++ −= txtx DD
m
z
Maka, m
tx
D 1
++ )(
1
1++++ −−= txtxtx DD
m
D
Identik dengan perhitungan ini akan didapt pula nilai m
tx
D 2
++ dst.
Selanjutnya ,

26. )(
1
11 ++++
++
−−= txtxtx
m
tx
DD
m
DD
)( 1++++
++
−−= txtxtx
m
m
tx
DD
m
m
DD
(+)
Jumlah ))(..................
1
( 1++++ −++−= txtxtx DD
m
m
m
mD
)(
2
1
1++++ −
+
−= txtxtx DD
m
mD
Apabila kita ambil t=0,1,2………………………pada persamaan diatas dan kita
tulis kembali persamaan,
∑
∞
=
+
++++
+
++
++++++=
1
22
1
1
1
121 )......()...........................(.
t
x
m
x
m
x
x
m
x
m
x
x DDDDDD
m
t
D






−
+
−+






−
+
−= ++++ )()
2
1
()(
2
1
211 xxxtxxx DDx
m
mDDD
m
mD
xxx D
m
DDm
2
1
......)..........( 1
+
−++= +
xxx D
m
DmmD
2
1
........)( 1
+
−++= +
xxx D
m
DmDm
2
1
........)..........(( 11
+
−++= ++
Akan didapat,
)(m
xa = ∑
∞
=
+
1.
1
t m
t
x
x
D
Dm
)
2
1
.(
.
1
1 xx
x
D
m
Nm
Dm
−
+= +
m
m
D
N
x
x
2
11 −
+= +
∴ )(m
xa
m
m
ax
2
1−
+=
………………………………………………………………..(3.27)
Nilai Awal dari n-tahun Deferred Life Annuity Forborne sebesar 1, yang
pembayarannya dangsur m kali setahun, symbol ditulis :
)(
/ m
xan .

27. Rumusnya dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan,
nxxnx aEan += ./
Yang identik pula dengan,
)()(
./ m
nxxn
m
x aEan += …………………………………………………..
(3.28)
Dengan demikian maka,
)
2
1
(/ )(
m
m
a
D
D
an nx
x
nxm
x
−
+= +
+
∴
x
nx
x
m
x
D
D
m
m
anan +−
+= .
2
1
// )(
…………………………………..(3.29)
Demikian pula Nilai Awal dari n-tahun Temporary Life Annuity Forborne sebesar
1, yang pembayarannya diangsur m kali setahun, dapat diturunkan dengan
menggunakkan persamaan,
xxnx
anaa //:
−=
Yang identik dengan,
)()()(
/:
/ m
x
m
x
m
nx
anaa −= ………………………………………………
(3.30)
Maka Nilai Awalnya )( )(
/:
m
nx
a adalah,
)( )(
/:
m
nx
a =
)()(
/ m
x
m
x ana −
).
2
1
/()
2
1
(
x
nx
xx
D
D
m
m
an
m
m
a +−
+−
−
+=
x
nx
xx
D
D
m
m
m
m
ana +−
−
−
−= .
2
1
2
1
)/(

28. ).
2
1
2
1
()/(
x
nx
xx
D
D
m
m
m
m
ana +−
−
−
+−=
∴ )(
/:
m
nx
a )1(
2
1
/:
x
nx
nx
D
D
m
m
a +
−
−
+= …………………………..(3.31)
Untuk mengetahui Nilai Awal dari n-tahun Whole Life Annuity Due sebesar1,
Yang pembayarannya diangsur m kali tiap tahun dapat kita uraikan sebagai
berikut :
Nilai Awal ∑
∞
=
==
0
)(
/
1
t
xm
m
x Et
m
a ………………………………..(3.32)
t=0 menunjukkan bahwa pembayaran sebesar 1/m telah dilakukan pada awal
periode yaitu pada usia x, maka
∑
∞
=
+
=
0
)(
.
.
1
t m
t
x
x
m
x D
Dm
a …………………………………………………….
(3.33)
.........)..............................(
.
1
1 ++=
+
m
x
x
x
DD
Dm
....)..............................(
.
1
.
1 ++=
+
m
x
xx
x
D
DmDm
D
∑
∞
=
+
+=
1.
11
t m
t
x
x
D
Dmm
∴ )()(
.
1 m
x
m
x a
m
a += ………………………………………………………..(3.34)
,
2
1)(
m
m
aa x
m
x
−
+= maka
m
m
a
m
a x
m
x
2
11)( −
++=

29. m
m
ax
2
1+
+= ………………………………………………………(3.35)
Kita ketahui bahwa,
1−= xx aa 
Maka, m
m
aa x
m
x
2
1
)1()( +
+−= 
m
m
m
m
ax
2
1
2
2 +
+−= 
m
m
ax
2
1−
−=  ………………………………………………………..(3.36)
Selanjutnya n-tahun Deferred Life Annuity Due sebesar 1, yang pembayarannya
diangsur m kali tiap tahun, Nilai Awalnya dinyatakan dengan
)(
/ m
xn . Nilai Awal
ini dapat kita hitung dengan menggunakkan rumus :
nxxnx aEan +=  ./
Yang identik dengan
)()(
./ m
nxxn
m
x aEan += 
Maka,
)()(
./ m
nx
x
nxm
x a
D
D
an +
+
= 
)
2
1
(
m
m
a
D
D
nx
x
nx −
−= +
+

x
nx
nx
x
nx
D
D
m
m
a
D
D +
+
+ −
−= .
2
1

∴ )(
/ m
xan 
x
nx
x
D
D
m
m
an +−
−= .
2
1
/  ………………………………………………..
(3.37)

30. Nilai Awal n-tahun Temporary Life Annuity Due sebesar 1, yang pembayarannya
diangsur m kali setahun, symbolnya ditulis
)(
/:
m
nx
a .
Dengan menggunakkan rumus,
xxnx
anaa  //:
−=
Yang identik dengan,
)(
/:
m
nx
a )()(
/ m
x
m
x ana  −=
Maka,
)(
/:
m
nx
a ).
2
1
/()
2
1
(
x
nx
xx
D
D
m
m
an
m
m
a +−
−−
−
−= 
)
2
1
2
1
()(
x
nx
xx
D
D
m
m
m
m
aa +−
−
−
−−=
∴ )(
/:
m
nx
a )1(
2
1
/:
x
nx
nx
D
D
m
m
a +
−
−
−=  ………………………………………
(3.38)
Rumus-rumus diatas dapat pula dinyatakan dalam D dan N seperti dibawah ini :
Life Annuity Forborne.
)(m
xa
m
m
ax
2
1−
+=
x
xx
D
D
m
m
N .
2
1
1
−
+
=
+
………………………………………………………(3.39)
)(
/ m
xan
x
x
x
D
D
m
m
an .
2
1
/
−
+=
x
mxmx
D
D
m
m
N +++
−
+
=
.
2
1
1
……………………………………………….(3.40)

31. )(
/:
m
nx
a )1(
2
1
/:
x
nx
nx
D
D
m
m
a +
−
−
+=
x
nxxnxx
D
DD
m
m
NN )(
2
1
11 ++++ −
−
+−
= ……………………………(3.41)
Life Annuity Due
)(m
xa
m
m
ax
2
1−
−= 
x
xx
D
D
m
m
N
2
1−
−
= ………………………………………………………(3.42)
)(
/ m
xan 
x
nx
x
D
D
m
m
an +−
−= .
2
1
/ 
x
nxnx
D
D
m
m
N ++
−
−
=
.
2
1
………………………………………………..(3.43)
)(
/:
m
nx
a )1(
2
1
/:
x
nx
nx
D
D
m
m
a +
−
−
−= 
x
nxxnxx
D
DD
m
m
NN )(
2
1
++ −
−
−−
= ……………………………..(3.44)
Contoh Soal :
1. Hitung Nilai Awal suatu Life Annuity yang pembayarannya sebesar Rp.
500,- tiap akhir 3 bulan selama A yang sekarang berusia 50 tahun
masih hidup. Nyatakan dalam N dan D.
Perhitungan : x=50 tahun; m=4; P= Rp. 500,- x 4= Rp. 2.000,-
Nilai Awal
)(
50.000.2 m
a=

32. xD
DN 5050
8
14
.000.2
−
+
=
50
5051
8
3
.000.2
D
DN +
=
2. Nyatakan dengan D dan N, Nilai Awal suatu Annuity sebesar Rp. 10,-
tiap akhir bulan untuk usia 30, pembayaran pertama pada usia 40 dan
pembayaran dilakukan bulanan selama 10 tahun.
Perhitungan :
30 40 41 50
10 10
3010 Ex 120
)12(
/10:40
.120 a
Nilai Awal
)12(
/10:403010 .120 axE =












−
−
−−
=
40
50405040
30
40
)(
12.2
112
.120
D
DDNN
D
D
[ ])(55)(120
1
50405040
30
DDNN
D
−−−=
Variable Annuity

33. Suatu pembayaran berkala yang berubah jumlah pembayarannya selama
masa pembayaran disebut Variable Annuity.
Suatu pembayaran berkala akhir tahunan dimana pembayaran pertamanya
adalah 1 dan bertambah dengan 1 tiap tahun pada tahun berikutnya
sepanjang (x) hidup, yaitu 1 untuk usia x+1, 2 untuk usia x+2, 3 untuk usia
x+3 dst………, disebut Increasing Life Annuity Forborne.
Nilai Awalnya ditulis dengan Symbol : xIa)(
Gambarnya adalah sebagai berikut :
(x)
1 2 3……………………………………………….
Jenis lain dari Increasing Life Annuity, adalah suatu pembayaran berkala
yang jumlah tiap pembayarannya bertambah 1 selama n tahun pertama,
tetapi setelah masa n tahun tersebut dilewati, jumlah tiap pembayaran
adalah masa yaitu n-tiap tahun.

34. Jika pembayarannya dilakukan akhir tahunan selama x hidup, maka Nilai
Awalnya adalah : xn
aI )( /
Dengan jelas dapat kita lihat bahwa :
xn
aI )( /
∑∑
∞
+==
+=
11
...
nt
xt
t
xt
n
t
t
pnvpvt …………………………………………
….(3.50)
Kalau kita uraikan lebih lanjut maka,
xn
aI )( /
∑ ∑=
∞
+=
++ +=
n
t nt
tx
x
tx
x
Dn
D
Dt
D 1 1
.
1
.
1
nxnx
anIa ++= .)( /:
x
nx
x
nxnnxx
D
Nn
D
NSS )1111
()( +++++++
+
−−
=
∴ xn
aI )( / x
nxx
D
SS 11 +++ −
= ……………………………………………………
…..(3.51)
Nilai Awal suatu pembayaran berkala akhir tahunan yang jumlah
pembayaran pertamanya adalah n, tetapi menurun sebesar 1 tiap tahun
sampai akhir tahun ke-n jika x hidup, symbolnya adalah : /:
)( nx
Da
/:
)( nx
Da
x
nx
x
x
x
x
x
x
D
D
D
D
n
D
D
n
D
D
n ++++
++−+−+= ..........)2()1(. 321
{ }nxxx
x
DDnnD
D
+++ ++−+= .......................)1(
1
21

35. { })(............)()(
1
21111 +++++++ −++−+−= xxnxxnxx
x
NNNNNN
D
{ })......................().(
1
211 +++++ ++−−= xnxnxx
x
NNNnN
D
∴ /:
)( nx
Da = { })(
1
221 ++++ −− nxxx
x
SSN
D ………………………………………
(3.52)
Contoh soal :
Carilah Nilai Awal dari :
1. Increasing Life Annuity Due xaI )( 
2. n-tahun Temporary Increasing Life Annuity Due /:
)( nx
aI 
3. Pembayaran berkala Awal Tahunan yang jumlah pembayarannya bertambah
1 selama n tahun pertama, tetapi setelah masa n tahun jumlah
pembayarannya adalh n tiap tahun. xn
aI )( /

Catatan : Halaman ini adalah tambahan untuk halaman 22, sebelum
Contoh Soal.
Nilai Awal Whole Life Annuity Forborne untuk (x) dalam mana jumlah
pembayaran pertama adalah n, dan berkurang dengan 1 tiap tahun sampai

36. mencapai 1, dan setelah itu pembayaran berkala berlangsung dengan jumlah
sebesar 1 tiap tahun, Nilai Awalnya adalah xn
aD )( /
Kita dapatkan bahwa,
xn
aD )( /
∑ ∑=
∞
+=
++
+=
n
t nt x
tx
x
tx
D
D
D
D
t
1 1
.
……………………………………………..(3.53)
Selanjutnya dari (3.53) kita peroleh,
xn
aD )( / nxnx
aDa ++= /:
)(
{ }
x
nx
nxxxn
x D
N
SSN
D
1
221 )(
1 ++
++++ +−−=
{ }1221
1
++++++ ++−= nxnxxxn
x
NSSN
D
∴ xn
aD )( /
{ })(
1
121 ++++ −−= nxxxn
x
SSN
D
…………………………………..
(3.54)
4. n-tahun Temporary Decreasing Life Annuity Due /:
)( nx
aD 
5. Whole Life Annuity Due untuk (x) dalam mana jumlah pembayaran pertama
adalah n, dan berkurang dengan 1 tiap tahun sampai mencapai 1, dan
setelah itu pembayaran berkala berlangsung dengan jumlah sebesar 1 tiap
tahun. xn
aD )( /
 .
Dan nyatakan dalam Commutation Symbol D,N dan S.

37. JAWABAN
1. xaI )(  ........................................3.21 21 +++= xx EE
.)...............................3.2(
1
21 +++= ++ xxx
x
DDD
D
....................................(
1
21 +++= ++ xxx
x
DDD
D
...................................21 ++ ++ xx DD
.................................2 ++xD
...)..............................(
1
21 +++= ++ xxx
x
NNN
D
)(
1
x
x
S
D
=
x
x
D
S
=
2. /:
)( nx
aI  xnxx EnEE 121 ............................3.21 −++++=
).................32(
1
121 −+++ ++++= nxxxx
x
DnDDD
D
)..........(
1
1321 −++++ +++++= nxxxxx
x
DDDDD
D
)...................... 121 −+++ +++ nxcx DDD
)..................... 12 −++ ++ nxx DD
)1−++ nxD
{ })(.....)()()(
1
121 nxnxnxxnxxnxx
x
NNNNNNNN
D
+−++++++ −++−+−+−=
{ }))..........((
1
1321 nxnnxxxxx
x
NNNNNN
D
+−++++ −+++++=

38. { }
x
nxnnxx
nxnnxx
x D
NSS
NSS
D
++
++
−−
=−−= .)(
1
3. xn
aI )( /

....)..()...................3.21( 1121 ++++++= +− xnxnxnxx EnEnEnEE
x
nxnxnx
x
nxnxx
D
DDDn
D
NSS .....)() 21 +++
+
−−
= +++++++
x
nx
x
nxnnxx
D
Nn
D
NSS ).()( +++
+
−−
=
x
nxx
D
SS +−
=
4. /:
)( nx
aD  xnxx EEnEnn 121 .1......................).2().1( −++−+−+=
{ }121 .1......)2()1(.
1
−+++ ++−+−+= nxxxx
x
DDnDnDn
D
121 ........(
1
−+++ ++++= nxxxx
x
DDDD
D
.........21 +++ ++ xxx DDD
1++ xx DD
{ })(........)()(
1
11 +−++ −++−+−= xxnxxnxx
x
NNNNNN
D
{ })...................................(
1
1++ ++−= xnxxn
x
NNN
D
x
nxxxn
D
SSN )( 11 +++ −−
=

39. 5. xn
aD )( /

{ }...)112 .1.1(1.....).2().1( xxxnxnxx EEEEnEnn +− ++++−+−+=






+++
−−
= +++
+++
.....)..........(
1)(.
1
11
nxnx
xx
nxxx
DD
DD
SSNn
x
nx
x
nxxx
D
N
D
SSNn ++++
+
−−
=
)(. 11
x
nxnxxx
D
NSSNn ++++ ++−
= 11.
x
nxnxxx
D
NSSNn )(. 11 ++++ −−−
=
x
nxxnx
D
NSNn +++ −−
= 1.

40. SOAL-SOAL LIFE ANNUITY
1. Buktikan bahwa : 11 ++= xxx avpa 
Bukti :
11 ++ xx avp  1
1
1
1
1 +
+
+= x
x
x
a
v

1
1
1
1.
1.
1 +
+
+
+= x
x
x
x
x
a
v
v

1
11
.1
+
++
+=
x
x
x
x
D
N
D
D
x
x
D
N 1
1 +
+=
x
xx
D
ND 1++
=
x
x
D
N
=
xa=

41. 2. Buktikan bahwa :
x
x
x
p
ai
a
)1(
1
+
=+

Bukti :
xp
i)1( +
x
x
p
a
v
.
1
=
x
x
pv
a
.
=
x
x
x
D
D
a
1+
=
x
x
E
a
1
=
1+= xa
3. Buktikan bahwa : 22
2
.. ++= xxxx apvvpa 
22
2
.. ++ xxx apvvp  221 . ++= xxx aEE 
2
221
.
+
+++
+=
x
x
x
x
x
x
D
N
D
D
D
D
x
xx
D
ND 21 ++ +
=
x
x
D
N 1+
=
xa=
4. Buktikan bahwa : 3321 332 ++++ −−=++ xxxxxx NSSDDD
Bukti :
32133 3)(3 +++++ −++=−− xxxxxxx NNNNNSS
................................21 ++ ++= xxx DDD
...............................21 ++ + xx DD

42. + ...............................2+xD
33 +− xN
321 332 +++ +++= xxxx DDDD
33 +− xD
21 32 ++ ++= xxx DDD
===================
5. Tulis Symbol Nilai Awal dari Life Annuity dibawah ini :
a. Nilai Awal pada usia 35 dari Annuity sebesar 1 per annum,
pembayaran pertama pada usia 42.
b. Nilai Awal pada usia 35 dari 15 tahun temporary life annuity due
sebesar 10 tiap bulan.
c. Nilai Awal pada usia 40 dari Life Annuity sebesar 1 yang akan
dibayarkan tiap 6 bulan, pembayaran pertama pada akhir 3 bulan.
Jawaban :
a. 35/6 a
b.
)12(
/15:35
120a
c.
)20(
40
4
1 /.2 a
6. Hitung Nilai awal dari suatu pembayaran pada usia 34 sebesar Rp. 100,- tiap
tahun selama 26 tahun, dan selanjutnya sebesar Rp. 200,- tiap tahun selama
4 tahun, pembayaran pertama dilakukan akhir tahun.
Nyatakan dalam Commutation Symbol

43. Jawaban :
34 60 61 64
100 100 200
26 4
/26:34
.100 a /4:60
.200 a
Nilai Awal :
/4:603426/26:34
.200..100 aEa +=
60
6561
34
60
34
6135
.200..100
D
NN
D
D
D
NN −
+
−
=
34
65616135 )(200)(100
D
NNNN −+−
=
34
656135 200100100
D
NNN −+
=
7. Seseorang yang berusia 30tahun akan menerima Rp. 10.000,- apabila dia
hidup sampai usia 40 tahun. Dia ingin menukar pembayaran tersebut dengan
life Annuity yang dimulai pada usia 65. Nyatakan dalam Commutation
Symbol jumlah yang akan dia terima tiap tahun dari Life Annuity tersebut.
Jawaban
3010.000.10 E 3035 /. aP =
P
30
3010
/35
.000.10
a
E

=

44. P
65
30
30
40.000.10
N
D
x
D
D
=
65
40.000.10
N
D
=
8. Nyatakan dalam Commutation Symbol Nilai Awal pada usia x dari 25
pembayaran berkala dimulai pada usiax sebesar 1 dan bertambah tiap tahun
sebesar 0,1 selama 5 tahun, pembayaran keenam dan seterusnya adalah
sama.
Jawaban :
X x+1 x+5 x+6 x+24
1 1 1 1 1
0,1………………………………… 0,5 0,5
0,5
+/24:
.1 x
a 1 /19:5
.5,0 +x
a
/5:
).(1, x
Iao
/24:
.1 x
a 1251
+
−
= ++
x
xx
D
NN
/5:
)(1,0 x
Ia
x
xxx
D
NSS )5(
1,0 661 +++ −−
=
/19:55 .5,0. +xx aE
5
2565
..5,0
+
+−++
=
x
xx
x
x
D
NN
D
D

45. Nilai Awal
x
x
x
xx
D
N
D
DN 251 )( ++
−
+
=
x
x
x
xx
D
N
D
SS 661
5,0
)(
1,0 +++
−
−
+
x
x
x
x
D
N
D
N 256
5,05,0 ++
−+
2561 5,1)(1,0.
1
+++ −−+= xxxx
x
NSSN
D