Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 1 - EM field in vacuum

Điện động lực học
Chương 1:
Những định luật tổng quát
của trường điện từ trong
chân không
Design by Lê Đại Nam
GV: Lê Đại Nam
03/09/2018
1

Design by Lê Đại Nam
Nội dung
Điện trường1
Từ trường2
Hệ phương trình Maxwell3
Luyện tập4
03/09/2018
2

03/09/2018 Design by Lê Đại Nam
3
Điện trường
Định luật Coulomb
2
0
1
4
qQ r
F
r r

Viết lại thành
2
0
1
4
q r
F Q QE
r r
 
   
 
2
0
1
4
q r
E
r r


4
Điện trường
Điện trường của điện tích điểm
2
0
1
4
q r
E
r r

Các điện tích tương tác lực điện thông qua Điện trường

5
Điện trường
Nguyên lý chồng chất điện trường
1 2
1
n
j n
j
E E E E E

    
2
1 0
1
4
n
j j
j j j
q r
E
r r
 

6
Điện trường
  3
2
r r r
E dE d r
r rr r
  
 

 

7
Điện trường

8
Điện trường
 
2
r r r
E dV
r rr r
  



 
2
r r r
E dS
r rr r
  



 
2
r r r
E dl
r rr r
  



2
1 0
1
4
n
j j
j j j
q r
E
r r
 

9
Điện trường
Đường sức điện trường

10
Điện trường
Đường sức điện trường
Phương trình vi phân mô tả đường sức điện trường là
0E dr 
Trong tọa độ Descartes tương đương với
x y z
dx dy dz
E E E
 

11
Điện trường
Thông lượng điện trường
E E dS  
Đặc trưng cho số đường sức gửi
qua mặt S

12
Điện trường
Định luật Gauss cho điện trường
 ,
0
0
1
1
VE S
dV
VS
Q
E dS



 
  ˜
Thông lượng qua một mặt kín tỉ
lệ với tổng điện tích bên trong
mặt kín đó

13
Điện trường
0
1
VE d
V
dS
S


  ˜
Gauss - Ostrogradski
  0
1
div E dV dV
V V


 
0
div E




14
Điện trường
Ý nghĩa
• Các đường sức xuất phát hay tận cùng tại các điện tích
• Điện trường là trường có nguồn, nguồn là điện tích

15
Điện trường
Công của điện trường
Dịch chuyển một điện tích thử dọc theo đường cong kín
Không sinh công
0E d
C
l ˜
ĐL Stokes
 rot 0E dS
S
  rot 0E 
Điện trường tĩnh không xoáy

16
Điện trường
Suất điện động
Suất điện động là lưu số của điện trường.
E d
C
l  
Điện trường tĩnh là một trường thế

17
Từ trường
Định luật Ampere về lực từ
giữa hai phần tử dòng điện, xuất hiện lực từ có dạng
1 1 2 2
0
3
4
I dl I
d F
dl r
r


   
0 2 2
1 1 1 13
4
I dl r
I dl I dld F dB
r


  
    
  
Viết lại thành

18
Từ trường
Định luật Biot – Savart – Laplace
0
3
4
Idl r
dB
r




Hay dưới dạng tích phân
0
3
4
Idl r
B
r



 

19
Từ trường
Nguyên lý chồng chất từ trường
B dB 
1 2
1
n
j n
j
B B B B B

    

20
Từ trường
Mật độ dòng điện
I j dS 
   Idl j dS dl j dS dl jdV    

21
Từ trường
Dòng điện là dòng các điện tích
dương chuyển động nên nếu một
phân bố điện tích khối chuyển động
thành dòng thì
dV
I v dS j dS v dS j v
dt

          

22
Từ trường
Dòng điện là dòng các điện tích
dương chuyển động nên nếu một
phân bố điện tích mặt chuyển động
thành dòng thì
dS
I v da v i
dt

     
   Idl i da dl i da dl idS    

23
Từ trường

24
Từ trường
Định luật bảo toàn điện tích
Điện tích không tự sinh ra, không tự
mất đi.
V
S
dQ
I
dt
 
i 0d v
d
j dS dV j
d
S
t t
V



     
˜

25
Từ trường
Đường sức từ trường

26
Từ trường
Đường sức từ trường
Phương trình vi phân mô tả đường sức từ trường là
0B dr 
Trong tọa độ Descartes tương đương với
x y z
dx dy dz
B B B
 

27
Từ trường
Thông lượng cảm ứng từ
B B dS  
Đặc trưng cho số đường sức gửi
qua mặt S

28
Từ trường
Định luật Gauss cho từ trường
 ,
0
0
B S
S
B dS
 
 ˜
Từ thông qua một mặt kín bằng 0
(từ thông qua một mặt luôn bảo toàn)

29
Từ trường
0B d
S
S ˜
Gauss - Ostrogradski
 div 0B dV
V

div 0B 

30
Từ trường
Ý nghĩa
• Các đường sức từ là các đường cong kín
• Từ trường là trường không có nguồn điểm (không tồn tại từ tích)

31
Từ trường
Định luật Ampere cho dòng điện dẫn
0 jB d
SC
dl S  ˜
Stokes
  0rot B dS j dS
S S
   0rot B j
Từ trường dừng là trường
xoáy, do dòng điện sinh ra.
Lưu số của cảm ứng từ qua một đường
cong kín tỉ lệ với tổng đại số cường độ
dòng điện bên trong đường cong đó

32
Hệ phương trình Maxwell
Định luật Faraday về cảm ứng điện từ
Suất điện động qua một đường cong kín C có độ lớn bằng và ngược dấu
với độ biến thiên từ thông gửi qua mặt S giới hạn bởi đường cong C.
Bd
dt


 
S
n
C
B

33
Định luật Faraday về cảm ứng điện từ
d
E dl B dS
dt
SC
   ˜
Stokes
 rot
B
E dS dS
t
S S

   
 
rot
B
E
t

 

Biến thiên từ trường
sinh ra điện trường xoáy.

34
Định luật Ampere về dòng toàn phần
Lưu số của từ trường qua một đường cong kín L bằng tổng đại số dòng
toàn phần đâm xuyên qua mặt S giới hạn bởi đường cong L.
Dòng toàn phần = dòng điện dẫn + dòng điện dịch
• Dòng điện dẫn = dòng các điện tích dịch chuyển có hướng
• Dòng điện dịch = do sự biến thiên của điện trường

35
0
div E



0div
t t
E 

  
  
 


 
div 0j
t

 

0div 0
E
j
t


 

 
  
 

36
0j
t
E




chính là dòng toàn phần.
0 0
E
dS
S
B dl
t
C
j 
 
   
 
 
˜
Từ phát biểu định luật Ampere, ta có thể viết lại thành

37
0 0
E
dS
S
B dl
t
C
j 
 
   
 
 
˜
Stokes
  0 0rot
E
B dS j dS
S
t
S
 
 
      
 
0 0rot B j
t
E
 
 
    
Dòng điện toàn phần sinh
ra từ trường.
Từ trường là trường xoáy.

38
Hệ phương trình Maxwell (chân không)
Với một phân bố điện tích và mật độ dòng cho trước, trường điện từ
được xác định bởi hệ phương trình Maxwell.
Dạng vi phân
0 0
0
div rot
div 0 rot
B
EE
B j
E
B
t
t
 





 

 
    

39
Dạng tích phân
0
0 0
1
0
d
E dS E dl B dS
dt
B dS B
dV
V SS C
E
dS
SS
dl j
t
C

 
     

 
 
  

 



 

˜ ˜
˜ ˜

40

41
Phương trình liên tục (bảo toàn điện tích)
div 0j
t

 

d
j dS dV
d
VS
t
   ˜
Dạng tích phânDạng vi phân

42
Năng lượng của trường điện từ
Từ hai phương trình rot của hệ phương trình Maxwell
0 0
rot
rot
B
E
t
B j
E
t
 

 

 
    
2
0 0
2
0
0
rot
2
2
rot
B B
E
t
EB
E E j
t
 



 


   



43
2
2
0
0 0 0
rot
2
r
1
ot
B B B
E E E j E
t

  
  
        
    

 
2
2
0
0 02
i
1
d v
B B
E E j E
t

 
  
       
 
 
     



44
2
2
0
0 0
d
1
2
iv
B B
E E E j
t

 
  
   
 
  

  
     
Ta thu được phương trình mô tả định luật Umov - Poynting
Vector Umov - Poynting Mật độ năng lượng
trường điện từ
Mật độ công suất
dòng hạt
Định luật Umov – Poynting chính là định luật bảo toàn năng
lượng điện từ của trường điện từ và của các điện tích

45
2
2
0
0
1
2
B
E 

 
  
 
 
Mật độ năng lượng của trường điện từ là
Năng lượng của trường điện từ là
2
2
0
0
1
2
B
W dV E dV 

 
   
 
 
 

46
Điện tích trong trường điện từ
Lực Lorentz
F q E v B    
Một điện tích điểm chuyển động trong trường điện từ chịu tác dụng của
lực Lorentz
Mật độ lực Lorentz (theo phân bố khối)
f E v B     

47
Điện tích trong trường điện từ
Công suất của lực Lorentz
F v qE v    
Chỉ thành phần điện trường sinh công nên
Mật độ công suất lực Lorentz chính là mật độ công suất dòng hạt trong
định luật Umov - Poynting
p E v j E   

48
Luyện tập
Ôn tập
1. Phát biểu định luật Gauss cho điện trường và từ trường. Viết biểu
thức định luật Gauss cho điện trường và từ trường dạng tích phân và
biến đổi sang dạng vi phân.
2. Phát biểu định luật Faraday về cảm ứng điện từ. Viết biểu thức định
luật Faraday dạng tích phân và biến đổi sang dạng vi phân.
3. Từ định luật Gauss cho điện trường và định luật bảo toàn điện tích,
hãy xây dựng biểu thức của dòng điện toàn phần.
4. Phát biểu định luật Ampere cho dòng toàn phần. Viết biểu thức định
luật Ampere cho dòng toàn phần dạng tích phân và biến đổi sang
dạng vi phân.

49
Luyện tập
Bài tập về điện trường
1. Không gian có phân bố điện tích
Tính điện trường tại một điểm trong không gian. (Bài 1.7)
3
0( ) r
r e 
  
 
2. Điện tích electron nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản có phân bố
Tính điện trường tại một điểm bên trong nguyên tử. (Bài 1.8)
3
( )
r
a
e
r e
a


 

50
Luyện tập
3. Một quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện khối ρ. Hãy xác
định cường độ điện trường bên trong và bên ngoài quả cầu.
4. Một quả cầu bán kính a, tích điện đều ở bề mặt với mật độ điện mặt
σ. Hãy xác định cường độ điện trường bên trong và bê ngoài quả cầu.
5. Trong không gian của một vỏ cầu có bán kính trong R1 và bán kính
ngoài R2, điện tích phân bố đều với mật độ
a/ Hãy tính điện tích tổng cộng bên trong vỏ cầu này.
b/ Hãy xác định cường độ điện trường bên trong, ở giữa và bên ngoài
vỏ cầu này.
2
r 

51
Luyện tập
6. Một quả cầu bán kính R1 điện tích phân bố đều ρ bị khoét một lỗ rỗng
hình cầu bán kính R2 có tâm cách tâm của quả cầu một đoạn a. Hãy xác
định cường độ điện trường bên trong quả cầu rỗng đó.
7. Một khối trụ đặc dài vô hạn bán kính tiết diện là R1 điện tích phân bố
đều ρ bị khoét một hình trụ dài vô hạn bán kính tiết diện R2 có trục cách
trục của khối trụ đặc một đoạn a. Hãy xác định cường độ điện trường
bên trong khối trụ rỗng đó.

52
Luyện tập
Bài tập về từ trường
8. Một quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích ρ, đang
quay với tốc độ góc ω không đổi quanh trục đi qua tâm của nó. Hãy xác
định cảm ứng từ tại tâm của quả cầu. (Bài 1.9)
9. Hãy xác định cảm ứng từ tại tâm O của “đường lượn sóng” mang
dòng điện cường độ I. Cho biết phương trình của “đường lượn sóng”
trong tọa độ cực (m là số nguyên) là
1 1 cosm
r a b

 
2 1 1 2
2
1
1
2

53
Luyện tập
Bài tập về từ trường
10. Khi sản xuất polyethylene, tấm polyethylene rộng được quấn theo
các trục nên chuyển động với vận tốc v. Trong quá trình sản xuất, do ma
sát, ở bề mặt tấm polyethylene xuất hiện phân bố điện tích với mật độ
điện mặt σ.
a/ Xác định cường độ điện trường tại gần bề mặt tấm polyethylene.
b/ Xác định cảm ứng từ xuất hiện gần bề mặt tấm polyethylene.
c/ Nếu không khí bị đánh thủng bởi điện trường E0 = 35 kV/cm và vận
tốc của tấm polyethylene là v = 15 m/s thì cảm ứng từ lớn nhất xuất
hiện ở gần bề mặt tấm polyethylene là bao nhiêu?
(Tham khảo bài 1.1a và 1.6)

Luyện tập
54
Vấn đề 1: Đối ngẫu giữa điện và từ
Đối ngẫu giữa điện và từ là giả thiết về sự tương đương về điện trường
và từ trường trong hệ phương trình Maxwell.
Khảo sát tính đối ngẫu giữa điện trường và từ trường trong hệ phương
trình Maxwell dẫn đến giả thiết về đơn cực từ.
Giới thiệu

Luyện tập
55
Khảo sát tính đối ngẫu của hệ phương trình Maxwell khi
• Không có nguồn
• Có nguồn
• Có tồn tại đơn cực từ
Mục tiêu

Luyện tập
56
Hệ phương trình Maxwell trong trường hợp không có nguồn (điện tích)
và dòng điện biến đối như thế nào qua phép biến đổi đối ngẫu?
Câu hỏi 1
0 0
div 0 rot
div 0 rot
B
E
t
B
t
E
E
B  

 






0 0
0 0
B
E
B E
 
 

 

Luyện tập
57
Hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn (điện tích) và
dòng điện biến đối như thế nào qua phép biến đổi đối ngẫu?
Câu hỏi 2
0
0 0 0
div rot
div 0 rot
E
E
B
B
E
t
B j
t


  

 





 0 0
0 0
B
E
B E
 
 

 

Luyện tập
58
Câu hỏi 3
0
0
0
0 0 0
div rot
div rot
e
m
m
e
E
E
B
B
E j
t
B j
t



   


  


 


Luyện tập
59
Câu hỏi 3
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
e m e m
e e
m m
B
E
B E
j j
j
j
 
 
     


   

 
 
  
Đơn cực từ có giúp hệ phương trình Maxwell bất biến qua phép biến
đổi đối ngẫu sau đây hay không?

Luyện tập
60
Vấn đề 2: Biểu diễn Majorana của hệ phương trình Maxwell
Giới thiệu
Hệ phương trình Maxwell có thể
được biểu diễn dưới dạng một
phương trình tương tự phương
trình Schrodinger/Pauli/Dirac
trong cơ học lượng tử, được gọi
là hình thức luận Majorana.

Luyện tập
61
Dữ kiện
Ta có thể dùng một vector 6 chiều trong không gian phức C3 gọi là
vector Riemann-Silberstein
để biểu diễn trường điện từ.
0 0
i
G E B
 
 

Luyện tập
62
Dữ kiện
Toán tử nabla có thể thay bằng toán tử động lượng
trong cơ học lượng tử.
ˆp i  

Luyện tập
63
Dữ kiện
Trong các tính toán, ta sẽ sử dụng ma trận 𝑆
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
x y z
i i
S i e e i e
i i
     
     
        
          

Luyện tập
64
Câu hỏi
a) Từ hệ phương trình Maxwell, sử dụng vector 𝐺 và toán tử động
lượng thay cho điện từ trường và toán tử nabla, chứng minh rằng
hệ phương trình Maxwell trở thành
0
0 0
0 0
ˆ ˆ, .
G
p G i p G j
t

 
 

     


Luyện tập
65
Câu hỏi
b) CMR nếu không có điện tích và dòng điện thì hai phương trình
trên có thể viết lại thành
0 0
ˆ ˆ0, .
i G
p G p G i
t 

   


Luyện tập
66
Câu hỏi
c) Biết rằng trường điện từ tự do có thể được xem là sóng điện từ
với vector sóng 𝑘 nào đó. Khi đó 𝐺 có thể viết lại dưới dạng
Chứng minh rằng phương trình
tương đương
 0 expG G i k r t   
 
ˆ 0p G 
.k G

Luyện tập
67
Câu hỏi
d) Sử dụng ma trận 𝑆, chứng minh rằng phương trình
Có thể biểu diễn dưới dạng phương trình dạng Schrodinger/Pauli/Dirac
với toán tử Hamilton là một ma trận 3x3
ˆ G
H G i
t

 

 
1 2
0 0
ˆ ˆH S p 

 
0 0
ˆ
i G
p G i
t 

 


Design by Lê Đại Nam 03/09/2018
68

Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 1 - EM field in vacuum

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 1 - EM field in vacuum

Similar to Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 1 - EM field in vacuum (20)

More from Lê Đại-Nam

More from Lê Đại-Nam (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 1 - EM field in vacuum