SEMOGA BERMANFAAT

1. Menghitung Integral Lipat Dua
 Pengertian
 Integral Lipat Dua merupakan Integral Biasa/Tunggal yang hasilnya
di Integralkan kembali .
Biasa bentuk umum nya dituliskan sebagai berikut :
Pada kondisi lainnya dinyatakkan sebagai :
Pernyataan diatas disebut dengan Integral Lipat Dua Tentu
(Definite Triple Integrals) Karena tiap-tiap Integralnya
mempunyai batas atas dan batas bawahnya.
 dxdyyxf ),(
 
2
1
2
1
),(
y
y
x
x
dxdyyxf

2. Menghitung Integral Lipat Dua
 Integral Tak Tentu
 dxdyyxf ),(
Langkah Penyelesaiannya yaitu :
1. Fungsi f(x,y) di Integralkan terhadap x dengan menganggap variabel y
konstan.
2. Hasilnya kemudian di Integralkan terhadap y dengan menganggap
variabel x konstan.
Proses penyelesaiannya dapat di visualisasikan seperti berikut ini :
Area kuning adalah Langkah yang pertama dan Area Hijau adalah Langkah
yang kedua.

3. Menghitung Integral Lipat Dua
 Contoh :
Hitunglah . dxdy
Penyelesaian :
 dxdy =
dycx )( 1 
=
21)( cycx 
= 21 cycxy 

4. Menghitung Integral Lipat Dua
 Integral Tentu
 
2
1
2
1
),(
y
y
x
x
dxdyyxf
Langkah Penyelesaiannya yaitu :
1. Fungsi f(x,y) di Integralkan terhadap x dengan menganggap variabel y konstan.
Hasilnya kemudian dihitung dengan mensubstitusikan batas atas dan
batas bawah
2. Hasilnya kemudian di Integralkan terhadap y dengan batas atas dan
batas bawah
Proses penyelesaiannya juga dapat di visualisasikan seperti berikut ini :
2xx 
.1xx 
2yy 
.1yy 
Area kuning adalah Langkah yang pertama dan Area Hijau adalah Langkah yang
kedua.

5. Menghitung Integral Lipat Dua
 Contoh :
Hitunglah .)32(
1
0
2
0   dxdyyx
Penyelesaian :
  dyxyxdxdyyx
0
2
3)32(
1
0
2
1
0
2
0   
   dyyy )0(3)0()2(3)2( 2
1
0
2
 
 dyy 
1
0
64
 0
1
34 2
yy 
 )0()1(3)1(4( 2

 34 
1

6. Menghitung Integral Lipat Dua
Jika f terintegralkan pada persegi panjang
Maka integral lipat dua dari pada S dapat dihitung
sebagai Integral Berulang :
   ,,, dcxba

7.  (ii) Sejajar bidang YOZ

8. Sejajar bidang XOZ Sejajar bidang YOZ
Rumus Perhitungan Integral Lipat Dua Pada Ruang
 
d
cR
dyyAAdyxf )(),(
  






d
c
b
a
dydxyxf ),(

d
c
b
a
dydxyxf ),(
Maka :
R
dAyxf ),( 
d
c
b
a
dydxyxf ),(
 
b
aR
dxxAAdyxf )(),(
  






b
a
d
c
dxdyyxf ),(

b
a
d
c
dxdyyxf ),(
Maka :
R
dAyxf ),( 
b
a
d
c
dydxyxf ),(