2. Persamaan Linier2020.pptx

1. KOMPUTASI NUMERIK TEKNIK
KIMIA (KNTK) - TK-184604
Sistem Persamaan Linear

2. Sistem Persamaan Linier
• Sistem persamaan aljabar linier sering timbul pada
perumusan persoalan di berbagai bidang.
• Contoh bidang teknik kimia :
• Stok bahan untuk suatu industri kimia,
• Neraca massa pada tiap-tiap plate (stage) kolom
absorpsi,
• Optimasi proses-proses
• Penyelesaian persamaan differensial parsial, dan banyak
lagi pemakaian yang lain

3. • Stok bahan untuk suatu industri kimia,
• Neraca massa pada tiap-tiap plate (stage) kolom
absorpsi,
• Optimasi proses-proses
• Penyelesaian persamaan differensial parsial, dan banyak
lagi pemakaian yang lain

4. Sistem Persamaan Linier
• Pada kuliah sebelumnya kita fokus pada
persoalan mencari nilai x yang memenuhi
persamaan tunggal f(x) = 0
• Sekarang kita akan membahas kasus
penentuan nilai-nilai x1, x2, .....xn, yang secara
simultan memenuhi suatu set persamaan
linier

5. Sistem Persamaan Linier
• Persamaan simultan
– f1(x1, x2, .....xn) = 0
– f2(x1, x2, .....xn) = 0
– .............
– f3(x1, x2, .....xn) = 0
• Set Persamaan Linier
– a11x1 + a12x2 +...... a1nxn =c1
– a21x1 + a22x2 +...... a2nxn =c2
– ..........
– an1x1 + an2x2 +...... annxn =cn

6. Persamaan Linier
3x1 + 2x2 = 18
-x1 + 2x2 = 2



















 2
18
*
2
1
2
3
2
1
x
x
Det = 3*2 - (-1)*2 = 8
x1
x2
Penyelesaian: Ada, Tunggal
(well condition)
- ½ x1 + x2 = 1
-2.3/5 x1 + x2 = 1.1























1
.
1
1
*
1
5
3
.
2
1
2
1
2
1
x
x
Det = -1/2 *1 - (-2.3/5)*1 = -0.04
x1
x2
Penyelesaian: Ada, Kondisi buruk
(ill condition)

7. Persamaan Linier
-½ x1 + x2 = 1
-½ x1 + x2 = ½



























2
1
1
*
1
2
1
1
2
1
2
1
x
x
Det = -1/2 *1 - (-1/2)*1 = 0
x1
x2
Penyelesaian: Tak ada
-½ x1 + x2 = 1
-1 x1 + 2x2 = 2























2
1
*
2
1
1
2
1
2
1
x
x
Det = -1/2 *2 - (-1)*1 = 0
x1
x2
Penyelesaian: Tak berhingga

8. Matrix
• Set elemen horizontal disebut baris (row)
• Set elemen vertikal disebut kolom (column)
• Indeks pertama menunjukan nomor baris
• Indeks kedua menunjukan nomor kolom
 
A
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
m m m mn













11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
. . . .
...

9.  













mn
m
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
.
.
.
.
...
...
3
2
1
2
23
22
21
1
13
12
11
Matrix memiliki m baris dan n kolom.
Disebut matrix dimensi m cross n (m x n)
note
subscript
Matrix

10.  
A
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
m m m mn













11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
. . . .
...
row 2
column 3
Catatan skema yang
konsisten dengan
subskrip yang
menunjukkan baris,
kolom
Matrix

11. Matriks
Operasi Matrik
• Penjumlahan / Pengurangan
• Perkalian
• Transpose
• Invers Matrik
• Determinan












mn
m
m
ij
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
Contoh :
Jenis-jenis Matrik
• Matrik Bujur Sangkar
• Matrik Diagonal
• Matrik Identitas
• Matrik Segitiga Atas / Bawah
• Matrik Simetri
• Vektor Baris
• Vektor Kolom


















2
7
9
5
;
4
0
6
8
1
3
B
A
m x n
Kolom - j
baris-i

12. Vektor baris : m = 1
Vektor kolom : n=1 Matrix square : m = n
   
B b b bn
 1 2 .......
 
C
c
c
cm

















1
2
.
.
 
A
a a a
a a a
a a a











11 12 13
21 22 23
31 32 33
Matrix

13.  
A
a a a
a a a
a a a











11 12 13
21 22 23
31 32 33
Matrix dengan diagonal terdiri dari elemen-elemen :
a11 a22 a33
• Matrix simetris
• Matrix diagonal
• Matrix identitas (identity) 
• Matrix segitiga atas (upper triangular)
• Matrix segitiga bawah (lower triangular)
• Banded matrix
upper
lower
bandwitdth
elemen diagonal 1 dan nol yang lain
Matrix

14. Matrix Simetris
 
A 










5 1 2
1 3 7
2 7 8
aij = aji untuk semua i dan j

15. Matrix Diagonal
 
A
a
a
a
a













11
22
33
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Square matrix dengan semua elemen diluar
main diagonal adalah zero

16. Matrix Identity
 
A 












1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Simbol [I] digunakan untuk menunjukan matrix identitas.
Matrix diagonal semua elemen main diagonal adalah 1 dan
elemen-elemen yang lain bernilai zero

17. Triangle Matrix
Upper Triangle Matrix :Elemen-elemen dibawah main diagonal
adalah zero
[𝐴] =
5 7 2
0 3 1
0 0 8
[𝐴] =
5 0 0
1 3 0
2 7 8
Lower Triangle Matrix : Elemen-elemen dibawah main diagonal
adalah zero

18. Banded Matrix
Semua elemen adalah zero kecuali elemen-elemen
“band” yang berpusat pada main diagonal
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21
0
0
𝑎22
𝑎32
0
0 0
𝑎23
𝑎33
𝑎43
0
𝑎34
𝑎44

19. Aturan Operasi Matrix
• Penjumlahan/Pengurangan
– aij + bij = cij
• Penjumlahan/Pengurangan : komutatif
– [A] + [B] = [B] + [A]
• Penjumlahan/Pengurangan : asosiatif
– [A] + ([B]+[C]) = ([A] +[B]) + [C]

20. Aturan Operasi Matrix
• Perkalian matrix [A] dgn skalar g sama dengan
perkalian setiap elemen [A] dengan g
   
B g A
ga ga ga
ga ga ga
ga ga ga
n
n
m m mn
 


















11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . .

21. Aturan Operasi Matrix
• Perkalian dua buah matrix dinyatakan sbg
[C] = [A][B]
–n = dimensi kolom [A]
–n = dimensi baris [B]
c a b
ij ik kj
k
N


1
Harus sama
Syarat :

22. Cara sederhana untuk cek apakah
perkalian matrix bisa atau tidak
[A] m x n [B] n x k = [C] m x k
Dimensi interior
harus sama
Dimensi eksterior sesuai dengan
dimensi matrix yang dihasilkan

23. Perkalian Matrix
• Perkalian matriks bersifat asosiatif
([A][B])[C] = [A]([B][C])
• Perkalian matriks bersifat distributif
– ([A] + [B])[C] = [A][C] + [B][C]
• Perkalian umumnya tidak komutatif
– [A][B]  [B][A]

24. Matrix Inverse [A]
        
I
A
A
A
A 


 1
1

25. Transpose [A] :
 
A
a a a
a a a
a a a
t
m
m
n n mn



















11 21 1
12 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . .
Refleksi A thd main diagonal
Baris A menjadi kolom AT
Kolom A menjadibaris AT
Matrix : Transpose [A]

26. Determinants
Ditulis sebagai det A or |A|
Untuk matrix 2 x 2
bc
ad
d
c
b
a



27. Determinants
Ada beberapa skema yang digunakan untuk menghitung
determinant suatu matrix
gunakan minor dan cofactors matrix
Minor: minor dari sebuah entry aij adalah determinant dari
submatrix yg diperoleh penghapusan baris ke-i dan kolom ke-j
Cofactor: cofactor dari entry aij dari matrix A (n x n) adalah
perkalian (-1)i+j dan minor dari aij

28. minor of a
a a a
a a a
a a a
32
11 12 13
21 22 23
31 32 33











Minor: minor dari sebuah entry aij adalah determinant dari
submatrix yg diperoleh penghapusan baris ke-i dan kolom ke-j
Contoh : minor dari a32 untuk matrix 3x3 :
Untuk elemen
a32 baris ke-i
adalah baris 3

29. minor of a
a a a
a a a
a a a
32
11 12 13
21 22 23
31 32 33











Untuk elemen a32 kolom ke-j adalah kolom 2
Minor: minor dari sebuah entry aij adalah determinant dari
submatrix yg diperoleh penghapusan baris ke-i dan kolom ke-j
Contoh : minor dari a32 untuk matrix 3x3 :

30. minor of a
a a a
a a a
a a a
32
11 12 13
21 22 23
31 32 33











minor of a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a a a
32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 13
21 23
11 23 13 21











  
Minor: minor dari sebuah entry aij adalah determinant dari
submatrix yg diperoleh penghapusan baris ke-i dan kolom ke-j
Contoh : minor dari a32 untuk matrix 3x3 :

31. minor of a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a a a
31
11 12 13
21 22 23
31 32 33
12 13
22 23
12 23 22 13











  
Cofactor : Aij, cofactor dari entry aij dari matrix A (n x n) adalah
perkalian dari (-1)i+j dan minor aij
Misal hitung A31 untuk matrix 3x3
Pertama hitung minor a31

32. minor of a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a a a
31
11 12 13
21 22 23
31 32 33
12 13
22 23
12 23 22 13











  
Cofactor : Aij, cofactor dari entry aij dari matrix A (n x n) adalah
perkalian dari (-1)i+j dan minor aij
Misal hitung A31 untuk matrix 3x3
Pertama hitung minor a31

33.    
A a a a a
31
3 1
12 23 22 13
1
  

minor of a
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a a a
31
11 12 13
21 22 23
31 32 33
12 13
22 23
12 23 22 13











  
Cofactor : Aij, cofactor dari entry aij dari matrix A (n x n) adalah
perkalian dari (-1)i+j dan minor aij
Misal hitung A31 untuk matrix 3x3
Pertama hitung minor a31

34. Minor dan cofactor digunakan untuk menghitung determinant dari
suatu matrix.
Misal matrix n x n diekspan disekitar baris ke-i
in
in
i
i
i
i A
a
A
a
A
a
A ......
2
2
1
1 


Ekspansi disekitar kolom ke-j
nj
nj
j
j
j
j A
a
A
a
A
a
A ......
2
2
1
1 


(untuk setiap satu nilai i)
(untuk setiap satu nilai j)

35. D
a a a
a a a
a a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
   
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
22 23
32 33
12
21 23
31 33
13
21 22
31 32
       
   
32
22
32
21
13
3
1
31
23
33
21
12
2
1
13
22
23
12
11
1
1
1
1
1
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a













36. Hitung determinan matrix 3x3 dibawah.
pertama, hitung menggunakan baris ke-1.
Kemudian coba menggunakan baris ke-2n.










5
1
6
2
3
4
9
7
1
Contoh

37. Sifat-sifat Determinan
• det A = det AT
• Bila semua entry dari baris dan kolom adalah
zero, maka det A = 0
• Bila dua rows or two kolom adalah identik,
maka det A = 0

38. Bagaimana merepresentasikan suatu sistem
persamaan linier kedalam matrix
[A]{X} = {C}
dimana {X} dan {C} adalah vektor kolom

39.  













































44
.
0
67
.
0
01
.
0
5
.
0
3
.
0
1
.
0
9
.
1
1
5
.
0
1
52
.
0
3
.
0
}
{
}
{
44
.
0
5
.
0
3
.
0
1
.
0
67
.
0
9
.
1
5
.
0
01
.
0
52
.
0
3
.
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
C
X
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x

40. Metode Grafik
2 Persamaan, 2 Tak Diketahui
a x a x c
a x a x c
x
a
a
x
c
a
x
a
a
x
c
a
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
2
11
12
1
1
12
2
21
22
1
2
22
 
 
 





 
 





 
x2
x1
( x1, x2 )

41. 3 2 18
2 2
3
2
9
1
2
1
1 2
1 2
2 1
2 1
x x
x x
x x
x x
 
  
 





 
 






 
x2
x1
( 4 , 3 )
3
2
2
1
9
1
Cek: 3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18

42. Bagaimana kita tahu apakah sistem ini ill-
condition.
• bila determinan adalah zero, slopes adalah
identical a x a x c
a x a x c
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
 
 
Susun ulang persamaan-persamaan ini shg kita memiliki
versi alternatif dalam bentuk garis lurus
Misal :x2 = (slope) x1 + intercept
Mulailah dengan mempertimbangkan sistem dimana
slopenya adalah identik

43. x
a
a
x
c
a
x
a
a
x
c
a
2
11
12
1
1
12
2
21
22
1
2
22
  
  
Bila slope hampir sama (ill-conditioned)
a
a
a
a
a a a a
a a a a
11
12
21
22
11 22 21 12
11 22 21 12 0


 
a a
a a
A
11 12
21 22
 det
Bukankah ini determinan?

44. Bila determinan adalah zero slopes adalah sama.
Ini dapat diartikan :
- Tidak ada solusi
- Solusi banyak tak terbatas (infinite number
of solutions)
Bila determinant mendekati zero, system dikatakan ill-
conditioned.
Jadi sepertinya kita harus menggunakan cek determinan
sistem sebelum perhitungan lebih lanjut dilakukan.

45. METODE ELIMINASI GAUSS

46. Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss :
• Salah satu metode yang paling awal dan
• Banyak digunakan dalam menyelesaiakan sistem persamaan
linier
Prosedur :
• Merubah sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga atas
• Salah satu persamaan dari sistem persamaan hanya
mengandung satu variabel tak diketahui
• Setiap persamaan selanjutnya terdiri satu tambahan variabel
tak diketahui

47. Metode Eliminasi Gauss
Dalam bentuk matriks :
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
c
x
a
x
a
x
a
c
x
a
x
a
x
a
c
x
a
x
a
x
a








































3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
1
12
11
c
c
c
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(1)
(2)
(3)
Problem :
Set persamaan linier
dengan 3 variabel tak
diketahui

48. Metode Eliminasi Gauss










3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
|
|
|
c
c
c
a
a
a
a
a
a
a
a
a










'
'
3
'
2
1
'
'
33
'
23
'
22
13
12
11
|
|
|
0
0
0
c
c
c
a
a
a
a
a
a
11
3
13
2
12
1
1
'
22
3
'
23
'
2
2
'
'
33
'
'
3
3
/
)
(
/
)
(
/
a
x
a
x
a
c
x
a
x
a
c
x
a
c
x






Matriks segi tiga atas
Matriks koefisien
Eliminasi Gauss :
Merubah matriks koefisien
menjadi matriks segi tiga
atas

49. Metode Eliminasi Gauss
Step 1 :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
11
31
1
3
11
21
1
2
1
11
31
13
33
11
31
12
32
11
31
11
31
11
21
13
23
11
21
12
22
11
21
11
21
13
12
11
a
a
c
c
a
a
c
c
c
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a








)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
11
31
1
3
11
21
1
2
1
11
31
13
33
11
31
12
32
11
21
13
23
11
21
12
22
13
12
11
a
a
c
c
a
a
c
c
c
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a






Prosedure 1 :
11
31
11
21
*
)
1
(
)
3
(
*
)
1
(
)
2
(
a
a
baris
baris
a
a
baris
baris



50. Metode Eliminasi Gauss
Step 2 :
'
3
'
2
1
'
33
'
32
'
23
'
22
13
12
11
0
0
c
c
c
a
a
a
a
a
a
a
Prosedure 2 :
'
22
'
32
*
)
2
(
)
3
(
a
a
baris
baris 
)
(
)
(
)
(
0
0
'
22
'
32
'
2
'
3
'
2
1
'
22
'
32
'
23
'
33
'
22
'
32
'
22
'
32
'
23
'
22
13
12
11
a
a
c
c
c
c
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



'
'
3
'
2
1
'
'
33
'
23
'
22
13
12
11
0
0
0
c
c
c
a
a
a
a
a
a
Persamaan baris (3) hanya terdiri atas 1
variabel yaitu x3

51. Metode Eliminasi Gauss
Step 3 : Substitusi balik
Keterangan :
Perlu diperhatikan bahwa nilai a11, a’22 dan a’’33 tidak boleh
sama dengan nol.
'
'
3
'
2
1
'
'
33
'
23
'
22
13
12
11
0
0
0
c
c
c
a
a
a
a
a
a
11
3
13
2
12
1
1
'
22
3
'
23
'
2
2
'
'
33
'
'
3
3
a
x
a
x
a
c
x
a
x
a
c
x
a
c
x







52. Metode Eliminasi Gauss
Generalisasi :
1
1
3
2
1
3
1
3
33
2
1
1
2
1
2
3
1
23
2
1
22
1
1
1
3
13
2
12
1
11
0
0
0
0
0
0






















n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
x
x
b
x
a
x
a
x
x
b
x
a
x
a
x
a
x
b
x
a
x
a
x
a
x
a





1
1
1
1





 r
rr
r
rj
r
ir
r
ij
r
ij
a
a
a
a
a
1
1
1
1





 r
rr
r
ir
r
r
r
i
r
i
a
a
c
c
c
1
,
,
3
,
2
,
1
1
1






n
r
r
j
r
i






















n
j
i
j
jj
i
j
ji
j
j
j
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
a
x
a
c
x
a
x
a
c
x
a
c
x
1
1
1
1
2
1
,
1
2
,
1
2
1
1
1
1
/
)
(
/
)
(
/

Substitusi kembali :
dengan :

53. METODE GAUSS-JORDAN

54. Metode Gauss-Jordan
Metode Gauss-Jordan :
• Mirip dengan metode Eliminasi Gauss
• Semua variabel tak diketahui dieliminasi dari secara simultan
Prosedur :
• Merubah matriks koefisien sistem persamaan ke dalam
bentuk matriks identitas
• Matriks dengan semua elemennya nol kecuali elemen
diagonal bernilai 1

55. Metode Gauss-Jordan










3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
|
|
|
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a










'
3
'
2
'
1
|
|
|
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
b
b
Matriks identitas
Matriks koefisien
Eliminasi Gauss-Jordan:
Merubah matriks koefisien
menjadi matriks identitas































'
3
'
2
'
1
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
b
b
x
x
x

56. Metode Gauss-Jordan
Step 1 :































'
3
'
2
'
1
3
2
1
'
33
'
32
'
23
'
22
'
13
'
12
0
0
1
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
11
31
11
21
11
*
)
1
(
)
3
(
*
)
1
(
)
2
(
)
1
(
a
a
baris
baris
a
a
baris
baris
a
baris















3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
|
|
|
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a

57. Metode Gauss-Jordan
Step 2 :































'
'
3
'
'
2
'
'
1
3
2
1
'
'
33
'
'
23
'
'
13
0
0
1
0
0
1
b
b
b
x
x
x
a
a
a































'
3
'
2
'
1
3
2
1
'
33
'
32
'
23
'
22
'
13
'
12
0
0
1
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
'
22
'
32
'
22
'
12
'
22
*
)
2
(
)
3
(
*
)
2
(
)
1
(
)
2
(
a
a
baris
baris
a
a
baris
baris
a
baris






58. Metode Gauss-Jordan
Step 3 :































'
'
'
3
'
'
'
2
'
'
'
1
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
b
b
x
x
x
'
'
'
3
3
'
'
'
2
2
'
'
'
1
1
b
x
b
x
b
x


































'
'
3
'
'
2
'
'
1
3
2
1
'
'
33
'
'
23
'
'
13
0
0
1
0
0
1
b
b
b
x
x
x
a
a
a
'
'
33
'
'
32
'
'
33
'
'
13
'
'
33
*
)
3
(
)
2
(
*
)
3
(
)
1
(
)
3
(
a
a
baris
baris
a
a
baris
baris
a
baris






59. Metode Gauss-Jordan
Step 1 :
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
0
1
11
1
31
3
3
11
13
31
33
2
11
12
31
32
1
11
1
21
2
3
11
13
21
23
2
11
12
21
22
1
11
1
3
11
13
2
11
12
1
a
b
a
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
b
a
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x















'
3
3
'
33
2
'
32
1
'
2
3
'
23
2
'
22
1
'
1
3
'
13
2
'
12
1
0
0
1
b
x
a
x
a
x
b
x
a
x
a
x
b
x
a
x
a
x











60. Metode Gauss-Jordan
Step 2 :
'
'
3
3
'
'
33
2
1
'
'
2
3
'
'
23
2
1
'
'
1
3
'
'
13
2
1
0
0
1
0
0
1
b
x
a
x
x
b
x
a
x
x
b
x
a
x
x










)
(
)
(
0
0
1
0
)
(
)
(
0
1
'
22
'
2
'
33
'
3
3
'
22
'
23
'
33
'
33
2
1
'
22
'
2
3
'
22
'
23
2
1
'
22
'
2
'
13
'
1
3
'
22
'
23
'
13
'
13
2
1
a
b
a
b
x
a
a
a
a
x
x
a
b
x
a
a
x
x
a
b
a
b
x
a
a
a
a
x
x














61. Metode Gauss-Jordan
Step 3 :
'
'
'
3
3
2
1
'
'
'
2
3
2
1
'
'
'
1
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
x
x
x
b
x
x
x
b
x
x
x










'
'
33
'
'
3
3
2
1
'
'
33
'
'
3
'
'
23
'
'
2
3
2
1
'
'
33
'
'
3
'
'
23
'
'
1
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
a
b
x
x
x
a
b
a
b
x
x
x
a
b
a
b
x
x
x











'
'
'
3
3
'
'
'
2
2
'
'
'
1
1
b
x
b
x
b
x




62. Metode Gauss-Jordan
Generalisasi :
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
x
x
x
x
b
x
x
x
x
b
x
x
x
x
b
x
x
x
x




















1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
1





i
ki
k
k
ij
ki
kj
kj
ii
ij
r
ij
c
a
c
c
a
a
a
a
a
a
a
.
.
/





1
,
,
3
,
2
,
1
1
1






n
r
r
j
r
i

dengan :
n
n
n c
x 

63. Metode Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan































*
3
*
2
*
1
3
2
1
*
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
b
b
x
x
x
*
3
3
*
2
2
*
1
1
b
x
b
x
b
x


































3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
*
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Forward Elimination
NO Back Substitution
Forward Elimination:
for k=1…n
dummy = A(k,k)
for j=1…n+1
A(k,j) = A(k,j)/dummy
end
for i=1…n
if (i<>k)
dummy = A(i,k)
for j=1…n+1
A(i,j) = A(i,j) – dummy * A(k,j)
end
end if
end
end

64. METODE JACOBI

65. Metode Yacobi
Metode Yacobi :
• Alternatif metode eliminasi adalah metode iterasi
(pendekatan)
• Salah satu metode iterasi untuk sistem persamaan linier
adalah Metode Yacobi
Prosedur Yacobi :
• Menyusun baris-baris persamaan sehingga elemen-elemen
diagonal sistem persamaan mempuyai harga relatif lebih
besar dibanding elemen-elemen lain dalam baris yang sama

66. Metode Jacobi
Prosedur Jacobi:
• Tentukan pendekatan awal, x1,
• Hitung komponen xi untuk sebagai berikut :

,
3
,
2
1






k
a
x
a
c
x
ii
n
i
j
k
j
ij
i
k
i
• Iterasi dihentikan bila telah memenuhi syarat konvergen :

 

 

1
1
, k
i
k
i
k
i
i
a
x
x
x  : batas toleransi
yang diijinkan
:
:
1

k
i
k
i
x
x xi pada iterasi k
xi pada iterasi k-1

67. METODE ITERASI JACOBI
contoh soal
Dengan
Psolusi = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2,4,3)
P0 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (1,2,2)
Carilah galat/error dengan mengunakan metode iterasi jacobi
dan gauss seidel sampai 3 iterasi?
4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 7
4𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 = −21
−2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 =15

68. Metode Iterasi Jacobi
Metode Iterasi Jacobi
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (1,2,2)
4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 7
4𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 = −21
−2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 =15
4𝑥1 = 7 + 𝑥2 − 𝑥3 𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
−8𝑥2 = −21 − 4𝑥1 + 𝑥3 𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
5𝑥3 = 15 + 2𝑥1 − 𝑥2 𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
Iterasi 1
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 2 − 2
4
= 1,75
𝑥2 =
21 + 4(1) + 2
8
= 3,375
𝑥3 =
15 + 2 1 − 2
5
= 3
P1=(1,75; 3,375; 3) output iterasi 1
Galat/error : x1=|2-1,75|=0,25; x2=|4-3,375|=0,625; x3=|3-3|=0

69. Metode Iterasi Jacobi
Iterasi 2
P1=(1,84375; 3,875; 3,025) output iterasi 2
Galat/error : x1=|2-1,84375|=0,15625; x2=|4-3,875|=0,125; x3=|3-3,025|=0,025
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 3,375 − 3
4
= 1,84375
𝑥2 =
21 + 4(1,75) + 3
8
= 3,875
𝑥3 =
15 + 2 1,75 − 3,375
5
= 3,025

70. Metode Iterasi Yacoby
Iterasi 3
P1=(1,9625; 3,925; 2,9625) output iterasi 3
Galat/error : x1=|2-1,9625|=0,0375; x2=|4-3,9625|=0,075; x3=|3-2,9625|=0,0375
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 3,875 − 3,025
4
= 1,9625
𝑥2 =
21 + 4(1,84375) + 3,025
8
= 3,925
𝑥3 =
15 + 2 1,84375 − 3,875
5
= 2,9625

71. METODE GAUSS-SIEDEL

72. Metode Gauss Seidel
• Merupakan metode pendekatan iteratif
• Kontinyu sampai nilai konvergen dalam batas toleransi
kesalahan yang dapat diterima
• Round off tidak menjadi masalah, karena kita dapat mengontrol
level kesalahan pada tingkat yang dapat diterima
• Secara fundamental perbedaan dengan metode Eliminasi
Gauss, metode Gauss-Seidel merupakan metode approximate,
iterative yang cocok untuk persamaan linier yang besar
• Metode Gauss-Siedel adalah metode iterasi yang banyak
digunakan
• Sistem persamaan [A]{X}={B} dibentuk dengan menyelesaikan
persamaan ke-1 untuk x1, ke-2 untuk x2, ke-3 untuk x3, ...,
persamaan ke-n untuk xn.
Metode Gauss-Siedel :

73. Metode Gauss-Siedel
Prosedur Iterasi Gauss-Siedel:
• Iterasi dimulai dengan memilih x pendekatan awal (yang
paling mudah pendekatan awal adalah semua x =0,
• Substitusi ke persamaan untuk x1 diperoleh x1 baru x1=b1/a11
• x1 baru disubstitusi ke persamaan x2 dan x3, diulang sampai
konvergen
33
2
32
1
31
3
3
22
3
23
1
21
2
2
11
3
13
2
12
1
1
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x









3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a









Iterasi Gauss-Siedel:
Merubah sistem perasamaan menjadi matriks identitas

74. Metode Gauss-Siedel
Untuk semua i dimana j dan j-1 adalah langkah iterasi ke-j dan
ke-(j-1)
Iterasi Gauss-Siedel:
Syarat konvergen bila semua nilai aii memenuhi :
s
j
i
j
i
j
i
i
a
x
x
x

 



%
100
1
,

75. Metode Gauss-Siedel
Generalisasi:
Metode Gauss-Siedel secara umum dilakukan merubah
persamaan ke dalam bentuk dengan ketentuan semua elemen
diagonalnya adalah non-zero :

,
3
,
2
1
1
1





 




k
a
x
a
x
a
c
x
ii
n
i
j
k
j
ij
i
i
j
k
j
ij
i
k
i
• Rubah persamaan menjadi bentuk xi (i=1, 2, 3, ...)
• Mulai proses dengan nilai tebakan (guessing) x (Cara
mudah tebakan awal x adalah semua x nol)
• Hitung xi mulai dengan nilai : x1 = c1/a11
• Substitusi secara progresif untuk semua persamaan
• Ulang sampai batas toleransi tercapai

76. 𝑥1 = (𝑐1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11
𝑥2 = (𝑐2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22
𝑥3 = (𝑐3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33
𝑥1 =
𝑐1 − 𝑎12(0) − 𝑎13(0)
𝑎11
=
𝑐1
𝑎11
= 𝑥′1
𝑥2 =
𝑐2 − 𝑎21𝑥′
1 − 𝑎23(0)
𝑎22
= 𝑥′2
𝑥3 =
𝑐3 − 𝑎31𝑥′
1 − 𝑎32𝑥′
2
𝑎33
= 𝑥′3
Step 1 :
Merubah persamaan
menjadi bentuk xi
Step 2 :
Substitusi dengan nilai
pendekatan xi=0, shg
diperoleh nilai x’i (xi baru)
Metode Gauss Seidel
𝑥′1 𝑥′′1
𝑥′2 𝑥′′2
𝑥′3 𝑥′′3
Step 3 dst. :
Substitusi x’i untuk
memperoleh x’’i

77. METODE ITERASI GAUSS SEIDEL
contoh soal
Dengan
Psolusi = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2,4,3)
P0 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (1,2,2)
Carilah galat/error dengan mengunakan metode iterasi jacoby
dan gauss seidel sampai 3 iterasi?
4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 7
4𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 = −21
−2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 =15
Solusi eksak

78. Metode Iterasi Gauss Seidel
Iterasi 1
Metode Iterasi Gauss Seidel
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (1,2,2)
4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 7
4𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 = −21
−2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 =15
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 2 − 2
4
= 1,75
𝑥2 =
−21 + 4 1,75 + 2
8
= 3,75
𝑥3 =
15 + 2 1,75 − 3,75
5
= 2,95
P1=(1,75; 3,75; 2,95) output iterasi 1
Galat/error : x1=|2-1,75|=0,25; x2=|4-3,75|=0,25; x3=|3-2,95|=0,05

79. Metode Iterasi Gauss Seidel
Iterasi 2
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 3,75 − 2,95
4
= 1,95
𝑥2 =
−21 + 4 1,95 + 2,95
8
= 3,96875
𝑥3 =
15 + 2 1,95 − 3,96875
5
= 2,98625
P1=(1,95; 3,96875; 2,98625) output iterasi 2
Galat/error : x1=|2-1,95|=0,05;
x2=|4-3,96875|=0,03125;
x3=|3-2,98625|=0,01375

80. Metode Iterasi Gauss Seidel
Iterasi 3
𝑥1 =
7 + 𝑥2 − 𝑥3
4
𝑥2 =
−21 + 4𝑥1 + 𝑥3
8
𝑥3 =
15 + 2𝑥1 − 𝑥2
5
𝑥1 =
7 + 3,96875 − 2,98625
4
= 1,995625
𝑥2 =
−21 + 4 1,995625 + 2,98625
8
= 3,99609
𝑥3 =
15 + 2 1,995625 − 3,99609
5
= 2,99903
P1=(1,995625; 3,99609; 2,99903) output iterasi 3
Galat/error : x1=|2- 1,995625 |=0,004375;
x2=|4- 3,99609 |=0,00391;
x3=|3- 2,99903 |=0,00097

81. Berikut set persamaan bentuk matrik augmented dan buat
penyelesaian dengan iterasi Gauss Seidel method.












1
1
2
3
2
2
1
4
2
1
3
2



Contoh :
Metode Gauss Seidel

82. Kriteria Konvergen Metode Gauss-Seidel
s
j
i
j
i
j
i
i
a
x
x
x

 




100
1
,
Penyelesaian metode Gauss-Seidel konvergen bila memenuhi :
Tinjau turunan partial u dan v :
 
  2
22
21
22
2
2
1
2
11
12
11
1
2
1
,
,
x
a
a
a
c
x
x
v
x
a
a
a
c
x
x
u




0
0
2
22
21
1
11
12
2
1






x
v
a
a
x
v
a
a
x
u
x
u









83. Kriteria Konvergen Metode Gauss-Seidel
1
1




y
v
y
u
x
v
x
u








Dimana x = x1 dan y = x2
Substitusi ke persamaan terdahulu :
1
1
11
12
22
21


a
a
a
a
Ini menyatakan bahwa nilai absolut slope
harus < 1 untuk menjamin konvergensi
penyelesaian

84. Meode Jacobi vs Metode Gauss-Siedel
• Metode iterasi Jacobi mirip dengan metode iteratif
Gauss Seidel
• Metode Gauss-Seidel menggunakan secara langsung
nilai xi dalam persamaan selanjutnya untuk prediksi
xi+1
• Metode Jacobi menghitung semua nilai baru xi’
untuk menghitung set nilai baru xi

85. Perbandingan Perbedaan Metode Gauss-
Siedel dan Jacobi
Gauss-Siedel Jacobi

86. Metode Dekomposisi LU

87. Dekomposisi LU
• L : matriks lower triangular
• U: matrik upper triangular
Maka,
• [A]{X}={B} dapat didekomposisi menjadi dua matriks
[L] dan [U] sehingga :
1. [L][U] = [A]  ([L][U]){X} = {B}

88. Dekomposisi LU
Tinjau:
• [U]{X} = {D}
• Sehingga, [L]{D} = {B}
2. [L]{D} = {B} digunakan untuk men-generate vektor
intermediate {D} dengan forward substitution.
3. Maka, [U]{X}={D} untuk mendapatkan{X} dengan
back substitution.
udah diketahui

89. Dekomposisi LU
• Seperti pada eliminasi Gauss, dekomposisi LU
harus menggunakan pivoting untuk mencegah
pembagian dengan zero dan meminimalkan
round off errors.
• Pivoting dilakukan segera setelah perhitungan
setiap kolom.

90. Dekomposisi LU
𝐿11 0 0 0
𝐿21
𝐿31
𝐿41
𝐿22
𝐿32
𝐿42
0
𝐿33
𝐿43
0
0
𝐿44
1 𝑈12 𝑈13 𝑈14
0
0
0
1
0
0
𝑈23
1
0
𝑈24
𝑈34
1
=
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21
𝑎31
𝑎41
𝑎22
𝑎32
𝑎42
𝑎23
𝑎33
𝑎43
𝑎24
𝑎34
𝑎44
Elemen-elemen matriks L dan U diperoleh dari perkalian
matriks dan indentitas
Baris-baris L dikalikan kolom-ke-1 U diperoleh :
𝐿11 = 𝑎11 𝐿21 = 𝑎21 𝐿31 = 𝑎31 𝐿41 = 𝑎41
L U = A

91. Dekomposisi LU
𝐿11𝑈12 = 𝑎12 𝐿11𝑈13 = 𝑎13 𝐿11𝑈14 = 𝑎14
𝑈12 =
𝑎12
𝐿11
𝑈13 =
𝑎13
𝐿11
𝑈14 =
𝑎14
𝐿11
𝐿21𝑈12 + 𝐿22 = 𝑎22 𝐿31𝑈12 + 𝐿32 = 𝑎32 𝐿41𝑈12 + 𝐿42 = 𝑎42
𝐿22 = 𝑎22 − 𝐿21𝑈12 𝐿32 = 𝑎32 − 𝐿31𝑈12 𝐿42 = 𝑎42 − 𝐿41𝑈12
Baris ke-1 L dikalikan kolom-kolom U diperoleh :
Baris-baris L dikalikan kolom ke-2U diperoleh :

92. Dekomposisi LU
𝐿21𝑈13 + 𝐿22𝑈23 = 𝑎23
𝐿21𝑈14 + 𝐿22𝑈24 = 𝑎24
𝐿31𝑈14 + 𝐿32𝑈24 + 𝐿33𝑈34 = 𝑎34
𝑈23 =
𝑎23 − 𝐿21𝑈13
𝐿22
𝑈24 =
𝑎24 − 𝐿21𝑈14
𝐿22
𝑈34 =
𝑎34 − 𝐿31𝑈14 − 𝐿32𝑈24
𝐿33
Baris ke-2 L dikalikan kolom ke-3 U
Baris ke-2 L dikalikan kolom ke-4 U
Baris ke-3 L dikalikan kolom ke-4 U

93. Dekomposisi LU
𝐿33 = 𝑎33 − 𝐿31𝑈13 − 𝐿32𝑈23
𝐿43 = 𝑎43 − 𝐿41𝑈13 − 𝐿42𝑈23
𝐿44 = 𝑎44 − 𝐿41𝑈14 − 𝐿42𝑈24 − 𝐿43𝑈34
Baris ke-3 L dikalikan kolom ke-3 U
Baris ke-4 L dikalikan kolom ke-3 U
Baris ke-4 L dikalikan kolom ke-4 U

94. Dekomposisi LU
• Secara umum Matriks L dan U diperoleh dengan persamaan :
𝐿𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 −
𝑘=1
𝑗−1
𝐿𝑖𝑘𝑈𝑘𝑗 𝑗 ≤ 𝑖
𝑈𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑗 − 𝑘=1
𝑖−1
𝐿𝑖𝑘𝑈𝑘𝑗
𝐿𝑖𝑖
𝑗 ≤ 𝑖
𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑛
𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑛
𝐿𝑖1 = 𝑎𝑖1
𝑈1𝑗 =
𝑎1𝑗
𝐿11
=
𝑎1𝑗
𝑎11
Untuk j=i
Untuk i=1

95. 






























3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11 12 13
/ /
22 23
//
33
[ ] 0
0 0
a a a
U a a
a
 
 
  
 
 
21
31 32
1 0 0
[ ] 1 0
1
L l
l l
 
 
  
 
 
31
12
21 31
11 11
32
32
22
;
a
a
l l
a a
a
l
a
 

Step 1: Dekomposisi
Sistem persamaan linear [A]{x}={B}
]
[
]
][
[ A
U
L 
Dekomposisi LU

96. Step 2: Generate vektor intermediate {D} dengan forward
substitution
Step 3: Mendapatkan {X} dengan back substitution.































3
2
1
3
2
1
32
31
21
1
0
1
0
0
1
b
b
b
d
d
d
l
l
l































3
2
1
3
2
1
33
23
22
13
12
11
'
'
0
0
'
'
0
d
d
d
x
x
x
a
a
a
a
a
a
Dekomposisi LU

97. Dekomposisi LU































3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
*
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a









































3
2
1
3
2
1
23
13
12
33
32
31
22
21
11
*
1
0
0
1
0
1
*
0
0
0
b
b
b
x
x
x
u
u
u
l
l
l
l
l
l
A * x = b
L * U * x = b
U * x = y
L * y = b
Cara Menyelesaikan Sistem Pers. Linier dengan merubah
Matrik sistem A menjadi Matrik Segitiga Bawah L dan Matrik
Segitiga Atas U
Proses Dekomposisi
Untuk memperoleh U dan L
Proses Subs. Maju
Untuk memperoleh y
A * x = b
L * U * x = b

98. Ringkasan Dekomposisi LU

99. 






























3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
*
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a











'
'
33
'
23
'
22
13
12
11
0
0
0
a
a
a
a
a
a
U
Diturunkan dari proses Eliminasi Gauss, dimana
L : Elemen Pengali mij dalam proses eliminasi
U : Matrik Segitiga Atas hasil dari proses eliminasi
A * x = b











1
0
1
0
0
1
32
31
21
m
m
m
L
Proses Eliminasi Gauss
Dekomposisi LU : Naif

100. Matrik L dan U dicari dengan menyelesaikan persamaan L * U = A





































44
43
42
41
34
43
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
34
24
23
14
13
12
44
43
42
41
33
32
31
22
21
11
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
*
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
u
u
u
u
u
u
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l11=a11, l21=a21, l31=a31, l41=a41 . . . . . . li1= ai1, utk i = 1,..,n
l11*u12 = a12, l11*u13 = a13, l11*u14 = a14
li2 = ai2-li1u12, utk i = 2,..,n u2j = (a2j-l21u1j)/l22, utk j = 3,..,n
li3 = ai3-li1u13-li2u23, utk i = 3,..,n u3j = (a3j-l31u1j-l32u2j)/l33, utk j = 4,..,n
li4 = ai4-li1u14-li2u24-li3u34, utk i = 4,..,n
u12 = a12/l11, u13 = a13/l11, u14 = a14/l11 . . . . . u1j = a1j/l11, utk j = 2,..,n
Dekomposisi LU : Crout

101. Algorithma Crout for j=2…n
a(i,j) = a(i,j)/a(1,1)
end
for j=2…n-1
for i=j…n
sum = 0
for k=1…j-1
sum = sum + a(i,k)*a(k,j)
end
a(i,j) = a(i,j)-sum
end
for k=j+1…n
sum=0
for i=1..j-1
sum = sum + a(j,i)*a(i,k)
end
a(j,k) = (a(j,k) – sum)/a(j,j)
end
end
sum = 0
for k=1…n-1
sum = sum + a(n,k)*a(k,n)
end
a(n,n) = a(n,n) - sum
li1= ai1, utk i = 1,..,n
utk j = 2,3,…n-1
u1j = a1j/l11, utk j = 2,..,n





1
1
j
k
kj
ik
ij
ij u
l
a
l
jj
j
k
ik
ji
ki
jk
l
u
l
a
u





1
1





1
1
n
k
kn
nk
nn
nn u
l
a
l
utk i = j, j+1,…,n
utk k = j+1, j+2…,n

102. Faktorisasi Choleski
• Sistem simetrik banyak dijumpai dalam persoalan
matematika maupun engineering/science dan untuk
menyelesaikannya terdapat teknik untuk sistem
seperti ini
• Faktorisasi Cholesky salah satu teknik yang populer
untuk kasus ini yang didasarkan pada kenyataan
bahwa matriks simetri dapat didekomposisi menjadi
[A]= [U]T[U] (T : transpose)
• Selebihnya proses sama dengan dekomposisi LU dan
eliminasi Gauss, bedanya pada faktorisasi Cholesky
matriks [U] harus disimpan

103. Dekomposisi LU : Metode Choleski
Digunakan jika Matrik Sistem A adalah matrik Simetri, yaitu A = AT
Matrik Simetri A bisa didekomposisi menjadi : L * LT = A





































44
43
42
41
43
43
32
31
42
32
22
21
41
31
21
11
44
43
33
42
32
22
41
31
21
11
44
43
42
41
33
32
31
22
21
11
0
0
0
0
0
0
*
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l11*l11 = a11, l21*l11 = a21, l31*l11 = a31, l41*l11=a41
l11 = √a11, l21 = a21/l11, l31 = a31/l11, l41 =a41/l11
l21*l21 + l22*l22 = a22, l31*l21+ l32*l22 = a32, l41*l21 + l42*l22=a42
l22 = √ (a22-l21*l21), l32= (a32 -l31*l21)/l22 , l42 = (a42-l41*l21)/l22
ii
i
j
kj
ij
ki
ki
l
l
l
a
l





1
1





1
1
2
k
j
kj
kk
kk l
a
l
untuk i=1,2,…,k-1

104. Algorithma Choleski
for k=1…n
for i=1…k-1
sum = 0
for j=1…i-1
sum = sum + a(I,j)*a(k,j)
end
a(k,i) = (a(k,i)-sum)/a(i,i)
end
sum = 0
for j=1…k-1
sum = sum + (a(k,j))2
end
a(k,k) =
end
ii
i
j
kj
ij
ki
ki
l
l
l
a
l





1
1





1
1
2
k
j
kj
kk
kk l
a
l
untuk i=1,2,…,k-1
sum
k)
(a(k, 

105. 



































4
.
71
3
.
19
85
.
7
1
10
2
.
0
3
.
0
3
.
0
7
1
.
0
2
.
0
1
.
0
3
3
2
1
x
x
x
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode
Dekomposisi LU
Dekomposisi LU
Contoh :
Dekomposisi matriks {A} menjadi matriks L dan U

106.  















10
2
0
3
0
3
0
7
1
0
2
0
1
0
3
A
.
.
.
.
.
. 3 0.1 0.2
0 7.003 0.293
0 0.19 10.02
 
 
 

 
 

 

21 31
32
32
22
0.1 0.3
0.03333; 0.1000
3 3
0.19
0.02713
7.003
l l
a
l
a
   

   
 














012
10
0
0
293
0
003
7
0
2
0
1
0
3
U
.
.
.
.
. 1 0 0
[ ] 0.03333 1 0
0.1000 .02713 1
L
 
 
  
 

 
Dekomposisi LU
Dekomposisi LU :

107. 






















































 0843
.
70
5617
.
19
85
.
7
4
.
71
3
.
19
85
.
7
1
02713
.
0
1000
.
0
0
1
0333
.
0
0
0
1
3
2
1
3
2
1
d
d
d
d
d
d
Cari vektor intermediate {D} dengan substitusi forward
Dekomposisi LU
Tentukan {x} dengan substitusi balik


























































00003
.
7
5
.
2
3
0843
.
70
5617
.
19
85
.
7
012
.
10
0
0
2933
.
0
0033
.
7
0
2
.
0
1
.
0
3
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x