BMP ESPA4222

MDDUL 1
Mat ri ks
Dr. Wahyu WIdayat, M. Ee.
PENDAHULUAN- - - - - - - - - - - - - - - -
ering kali kita berhadapan dengan masalah mencari solusi dari sistem
persamaan linier, atau masalah optimisasi suatu fungsi dengan jumlah
variabel yang banyak. Masalah-masalah tersebut dapat dibantu pemecahannya
dengan menggunakan matriks. Sistem persamaan linier tersebut dapat ditulis
lebih singkat dengan menggunakan matriks dan solusinya dapat diperoleh
dengan metode Cramer atau menggunakan invers dari matriks. Dengan
menggunakan matriks, maka penyelesaian suatu masalah ternyata akan menjadi
lebih mudah. Selain itu, pengetahuan tentang matriks dapatjugadiaplikasikan di
dalam ekonomi dan bisnis pada banyak hal. Optimisasi suatu fungsi dengan
banyak variabel akan diperoleh pemecahan dengan menggunakan matriks.
Masalah input-output untuk perencanaan ekonomi juga memerlukan matriks.
Tanpa menggunakan matriks, maka masalah-masalah seperti yang disebutkan
di atas menjadi sangat sulit atau mungkin tidak akan memberi hasil pemecahan.
Oleh sebab itu, konsep matriks seperti yang akan dijelaskan mulai modul ini
merupakan konsep penting yang harus dipahami dengan baik.
Mengingat pentingnya matriks dalam kehidupan sehari-hari, maka setelah
mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu untuk menggunakan konsep
matriks untuk memecahkan.masalah ekonomi dan.bisnis tertentu.
Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu untuk:
1. menjelaskan konsep matriks;
2. menghitung penjumlahan dan pengurangan matriks;
3. menghitung perkalian matriks;
4. menghitung transpose dari matriks;
5. menghitung determinan matriks;
6. menghitung akar persamaan dengan kaidah Cramer.

1.2 MATEMATIKA EKDNDMI DAN BISNIS e
KEGIATAN BELAJAR 1
Konsep Mat ri ks
A. PENGERTIAN MATRIKS
Suatu matriks dapat didefinisikan sebagai suatu susunan angka-angka yang
disebut elemen dan bentuk umumnya disusun sebagai berikut.
A=
ai1 a12 a13 ····· ain
a11 a22 a23 ····· a2n
• • • •
• • • •
••••• a.nn
atau dapat juga ditulis:
a11 a12 a13 • • •• aln
a11 a12 a23 •••• a2n
A= a31 a32 a32 •••• a3n
• • • • •
• • • • •
mxn
Simbol untuk matriks ditulis dengan huruf besar (huruf kapital) dan dicetak
tebal (bold), sedangkan a11 a12 ...amn adalah elemen-elemen digunakan untuk
simbol-simbol bilangan riil. Elemen-elemen matriks ditulis di antara dua tanda
kurung ( ) atau dapat juga tanda kurung [ ]. Perhatikan indeks yang diberikan
untuk setiap elemen. Secara umum elemen dapat diberi simbol aij· Untuk elemen
a23 misalnya, dapat diartikan i bemilai 2 dan j bernilai 3. Lebih lanjut dapat
dilihat bahwa i menunjukkan baris dan j menunjukkan kolom. Dalam hal i = 2
danj = 3, maka elemennya adalah a23 dan letaknya dalam matriks dapat segera
diketahui, yaitu pada baris kedua dan kolom ketiga pada matriks. Karena aij
merupakan simbol dari elemen suatu matriks, adakalanya suatu matriks A
dilukiskan sebagai:

e ESPA4222/MODUL 1 1.3
Suatu matriks yang mempunyai baris sebanyak m dan jumlah kolomnya n
sering disebut dengan matriks m x n yang dibaca ''m kali n'' atau matriks
berdimensi m x n. Dimensi atau ukuran matriks ini ditulis di sebelah kanan
bawah kurung tutupnya.
Contoh:
2 3 -1 5
A= 1 2 4 3
5 0 3 l 3x4
Matriks di atas jumlah barisnya 3 dan jumlah kolomnya 4. Dimensi matriks
A adalah 3 x 4.
Bila m = n, matriksnya disebut dengan matriks bujur sangkar.
Contoh 1.1:
2 1
B=
0 3 2x2
Dimensi matriks B adalah 2 x 2 dan matriks B adalah matriks bujur
sangkar.
Contoh matriks bujur sangkar dengan dimensi 3 x 3
1 -2 3
C= 0 0 4
2 1 6 3x3
Suatu matriks dengan dimensinya sering disimbolkan sebagai Amxn atau (aij)mxn·
Contoh 1.2:
2 0 6
A 2x3 =
4 1 8 2x3
Sebenamya, tanpa ditulis dimensinya pun kita bisa melihat langsung berapa
jumlah baris dan kolomnya, sehingga penulisan matriks juga dibenarkan apabila
dimensinya tidak ditulis.

Contoh 1.3:
2 0 6
A=
4 1 8
Dua buah matriks dikatakan sama bila kedua matriks tersebut mempunyai
dimensi yang sama dan elemen pada baris dan kolom yang sama berelemenkan
suatu nilai yang sama.
Contoh 1.4:
A=
3 -3
-3 3
A = C akan tetapi A -:t:- B, A -:t:- D, B -:t:- C, B -:t:- D dan C -:t:- D.
Bisa terjadi, suatu matriks hanya memiliki satu kolom atau satu baris saja.
Matriks yang hanya memiliki satu kolom disebut dengan vektor kolom dan
ditulis.
U1 U1
U2 U2
U= u3 atau U= u3
• •
• •
U1, U2 ... Um disebut dengan komponen vektor. Suatu vektor kolom yang
terdiri atas m buah baris disebut vektor komponen m atau vektor baris

dimensi m. Suatu matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja disebut vektor
baris dan dapat ditulis seperti:
V = (V1, V2 ... Vn)
atau
V = [V1, V2 , ••••••••• , V0
J
V1, V2 ... Vn merupakan komponen vektor.:. Suatu vektor baris yang terdiri atas
n buah kolom disebut vektor komponen n atau vektor baris dimensi n.
Contoh 1.5:
2
adalah matriks dimensi 2 x 1 atau vektor kolom 2 dimensi.
1
Contoh 1.6:
1
2
1 adalah matriks dimensi 5 x 1 atau vektor kolom 5 dimensi.
2
3
Contoh 1.7:
[1, 5, 2] adalah matriks dimensi 1 x 3 atau vektor baris 3 dimensi.
Perhatikan, antara elemen yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan
koma untuk menghindari salah penafsiran sebagai suatu matriks yang
hanya memiliki satu elemen seperti [152].
Contoh 1.8:
[-1, 1, -1, 1, -1J adalah matriks dimensi 1 x 5 atau vektor baris 5
dimensi.
Dua buah vektor baris dikatakan sama hanyajika kedua vektor mempunyai
jumlah kolom yang sama dan elemen-elemen yang sepadan di kedua vektorjuga
sama.

Contoh 1.9:
u = [2, 3, l] w = [2, 3, l] U=W
Dua buah vektor kolom dikatakan sama hanya jika kedua vektor mempunyai
jumlah baris yang sama dan elemen-elemen yang sepadan di kedua vektorjuga
sama.
Contoh 1.10:
1
X= 0
1
1
y = 0
1
B. BENTUK MATRIKS
Pada bagian ini kita akan membahas tiga bentuk matriks, yaitu matriks
diagonal, matriks identitas, dan matriks nol.
1. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemennya
bemilai nol kecuali elemen-elemen yang terletak di diagonal utama, yaitu
diagonal dari kiri atas ke kanan bawah, dan paling sedikit satu elemen tidak
bemilai nol.
Jadi:
•••••
• • • • •
A= • • •
• • •
merupakan matriks diagonal hanya jika:
aij = 0 untuk i * j
aij * 0 untuk paling sedikit satu i = j.
Contoh 1.11:
Matriks-matriks berikut adalah matriks diagonal.

e ESPA4222/ MODUL 1 1.7
A=
3 0
B=
0 0
0 1 0 1
5 0 0 3 0 0
C= 0 -2 0 D= 0 0 0
0 0 1 0 0 0
2. Matriks ldentitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonalnya
bemilai satu, jadi:
a11 a12 ····· a1n
A = a21 a22 ····· a2n
.. . .. a nn
nxn
merupakan matriks identitas hanya jika:
aij = 0 untuk i :;t: j
aij =1 untuk i =j
matriks identitas biasanya diberi simbol I
Contoh 1.12:
1 0 0
l3 = 0 1 0
0 0 1
13 merupakan matriks identitas dimensi 3 x 3.
Contoh 1.13:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
Is= 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Is merupakan matriks identitas dimensi 5 x 5.

1.8 MATEMATIKA EKDNOMI DAN BISNIS e
3. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks dengan dimensi m x n yang semua elemennya
bernilai nol dan diberi simbol 0.
Contoh:
2)
0 0 0
0 0 0
LATI HAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
Dari matriks di atas, tentukanlah:
a) Dimensi matriks A.
b) Bentuk matriks B.
c) Jenis matriks C.
d) Jenis matriks D.
Bila diketahui:
0 - 3 - 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
D= 1 0 5 E= 0 0 0 F= 0 0 0 G= 0 1 0
8 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
Dari matriks di atas, tentukanlah:
a) Bentuk matriks D.
b) Bentuk matriks E.
c) Bentuk matriks F.

e ESPA4222/MDDUL 1 1.9
d) Bentuk matriks G.
Petunjuk Jawaban Latilian
1) a) Matriks A dimensinya 2 x 3.
b) Matriks B adalah matriks bujur sangkar berdimensi 3 x 3.
c) Matriks C adalah vektor baris.
d) Matriks D adalah vektor kolom
2) a) Bentuk matriks D adalah bujur sangkar.
b) Matriks E adalah matriks nol.
c) Matriks F adalah matriks diagonal.
d) Matriks G adalah matriks identitas.
RANG KU MA
Suatu matriks dapat didefinisikan sebagai suatu susunan angka-angka
yang terdiri dari baris dan kolom. Suatu matriks yang mempunyai baris
sebanyak m danjumlah kolom n disebut dengan m.atriks berdimensi m x n.
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan
jumlah kolomnya. Matriks yang hanya memiliki satu baris saja disebut
dengan vektor baris, dan matriks yang hanya memiliki satu kolom saja
disebut dengan vektor kolom.
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemennya
bernilai nol kecuali elemen-elemen yang terletak di diagonal utama, yaitu
diagonal dari kiri atas ke kanan bawah, paling sedikit satu elemen tidak
bernilai nol.
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen-elemen
diagonalnya bernilai satu. Matriks nol adalah matriks dengan dimensi m x n
yang semua elemennya bernilai nol dan diberi simbol 0.
· TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1) Matriks A =
1 0
0 1
A. rnatriks biasa
adalah ....

1. 10 MATEMATIKA EKDNDMI DAN BISNIS e
B. matriks nol
C. matriks identitas
D. matriks diagonal
2 1
2) Matriks B =
4 3
3 4
2 3
3 2 adalah ....
4 3 3x4
A. matriks bujur sangkar
B. matriks biasa dengan dimensi 3 x 4
C. matriks identitas
D. matriks diagonal
0 1 1
3) Matriks C = 1 0 1 adalah ....
1 1 0
A. matriks identitas
B. matriks diagonal
C. matriks nol
D. matriks biasa
0 0 0
4) Matriks D = 0 0 0 adalah ....
0 0 0
B. matriks diagonal
C. matriks nol
D. matriks biasa
a 21
5) Matriks E =
•• • ••
adalah ....
. . . . . a nn
nxn
A. matriks diagonal hanya jika aij = 0 untuk i *j dan aij = 1 untuk i = j
B. matriks identitas hanya jika aij = 0 untuk i*j dan aij = 1 untuk i = j
C. matriks nol hanya jika aij = 0 untuk i *j dan aij = 1 untuk i = j
D. bukan matriks bujur sangkar jika aij = 0 untuk i *j dan aij = 1 untuk i = j

e ESPA4222/MODUL 1 1. 11
alI al2 ····· aln
•••••
6) Matriks F =
a21
adalah ....
..... ann nxn
A. matriks diagonal hanyajika aij = 0 untuk i -:t:- j dan aij -:t:- 0 untuk paling
sedikit satu i = j
B. matriks identitas hanyajika aij = 0 untuk i -:t:- j dan aij -:t:- 0 untuk paling
sedikit satu i = j
C. matriks nol hanya jika aij = 0 untuk i -:t:- j dan aij -:t:- 0 untuk paling
sedikit satu i = j
D. bukan matriks bujur sangkar jika aij = 0 untuk i -:t:- j dan aij -:t:- 0 untuk
paling sedikit satu i = j
0
1
7) Matriks G = 0 merupakan ....
1
0
A. vektor baris dengan dimensi 1 x 5
B. vektor baris dengan dimensi 5 x 1
C. vektor kolom dengan dimensi 1 x 5
D. vektor kolom dengan dimensi 5 x 1
8) Matriks A = [2, 3, 1] adalah ....
A. vektor baris dengan dimensi 1 x 3
B. vektor baris dengan dimensi 3 x 1
C. vektor kolom dengan dimensi 1 x 3
D. vektor kolom dengan dimensi 3 x 1
0 0 0
9) Matriks A= 0 1 0 adalah ....
0 0 0
B. matriks diagonal
C. matriks nol

D. matriks biasa
2 3 -1 5
10) Matriks A= 1 2 4 3 adalah ....
5 0 3 1 3x4
B. matriks diagonal
C. matriks nol
D. matriks biasa
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian,
gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
materi Kegiatan Belajar 1.
Jumlah Jawaban yang Benar
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70o/o = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum
dikuasai.

KEGIATAN BELAJAR 2
Operasi Mat ri ks
A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
Suatu matriks dapat dioperasikan secara aritmatik, yaitu ditambah,
dikurangi, dibagi, atau dikalikan. Selain itu suatu matriks dapat juga
dioperasikan tetapi tidak terdapat pada operasi aritmatik, yaitu transpose,
determinan, dan invers. Karena umumnya matriks bukan merupakan angka
tunggal, maka operasi aritmatiknya berbeda dengan operasi pada
bilangan-bilangan real.
Dua buah matriks dapat dijumlahkan hanya jika kedua matriks tersebut
mempunyai dimensi yang sama dan hasilnya adalah matriks lain yang setiap
elemennya merupakan hasil penjumlahan elemen-elemen yang letaknya sesuai.
Maksud dari letak yang sesuai adalah, kedua elemen tersebut terletak di baris
dan kolom yang sama. Jadi jika ada dua matriks:
A = a 11 a12 a13
az1 a22 a23
maka:
A+B=
dan B = b11 b12 b13
b21 b22 b23
Dua buah matriks dapat dikurangkan hanya jika kedua matriks tersebut
memiliki dimensi yang sama hasilnya adalah matriks lain yang setiap elemennya
merupakan hasil pengurangan elemen-elemen yang letaknya sesuai. Misalnya
ada dua buah matriks, yaitu:
C11 C12 C13
C = C21 C22 C23
maka:
d11 d12 d13
dan D = d21 d22 d23
d31 d32 d33

1. 14 M A TEMATIKA EKDNDMI DAN BISNIS e
C11 - d 11 C12 - d 12 C13 - d 13
C - D= C 21 -d21 C 22 -d22 C 23 -d23
C 31 - d 31 C 32 - d 32 C33 - d 33
Contoh 1.14:
1 0 3 1 5 -5 2 5 -2
2 1 -2 + -2 2 3 - 0 3 1-
3 0 -1 4 0 1 7 0 0
Contoh 1.15:
2 1 4 0 2 -1 2 -1 5
3 0 2 1 5 0 - 2 -5 2-
1 2 2 -2 1 1 3 1 1
Contoh 1.16:
[4, 12, 6] - [3, 2, -1] = [1, 10, 7]
Contoh 1.17:
[-1, 3, 2] + [-2, 1, 3] = [-3, 4, 5]
Contoh 1.18:
1 0 1
1 1 2
+ --1 1 2
2 0 2
Contoh 1.19:
3 1 4 0
1 2 4 -1
+ - ---2 0 2 -4
0 1 3 -2

e ESPA4222/MODUL 1
Contoh 1.20:
2 6 3 7
+
3 4 1 2
Contoh 1.21:
4 0
2 3
--
3 -1
4 5
[3, 4] + [2, 1] + [1, 3] - [5, 8] = [1, O]
Contoh 1.22:
2 4 2 -4 0
2 + 2 0 + -4 - 0-
2 3 4 -1 0
Contoh 1.23:
1 0 4 2 1 5 -4
2 7 3 2 + 4 4 - -5-
3 11 1 3 2 3 0
1. 15
-7
1
5
Suatu matriks yang ditambah atau dikurangi dengan matriks nol nilainya tidak
akan berubah, jadi:
Contoh 1.24:
0 1 0
A 1x3 =
9 0 5
A 2x3 + 0 2x3 =
0 1 0
--
9 0 5
0 1 0
9 0 5
Amxn + Omxn = Amxn
+
0 0 0
0 0 0

B. PERKALIAN MATRIKS
Suatu bilangan skalar dapat dikalikan dengan suatu matriks dimensi berapa
pun, dan basilnya adalab matriks lain yang elemen-elemennya merupakan basil
perkalian bilangan skalar dengan elemen matriks awalnya.
Contoh 1.25:
2 -2
- 2 2
-1 4 - -4-
- 5 5
0 0
Contoh 1.26:
-1 2 4 5
3
5 3 1 2
Contoh 1.27:
--
-3 6
15 9
12 15
3 6
C [1, 0, 0, 0, 2 J = [C, 0, 0, 2CJ
Contoh 1.28:
b b
2
b a = ab
ab ab2
Pada contob-contob perkalian skalar dengan matriks di atas, skalar dapat
dikalikan dengan matriks berapa pun dimensinya. Lain balnya kalau kita akan
mengalikan matriks dengan matriks. Perkalian antara dua buab matriks dapat
dilakukan kalau dipenubinya suatu syarat tertentu. Misalkan ada dua matriks
yaitu Adan B yang diketabui dan kita ingin mencari basil perkaliannya. Syarat
yang barus dipenubi agar dua buab matriks dapat dikalikan adalab jumlab
kolom matriks A barus sama dengan jumlab baris matriks B.
Jadi seandainya:

Perkalian A dan B dapat dilakukan karena matriks A mempunyai dua
kolom dan matriks B mempunyai dua baris. Hasil perkaliannya yaitu AB
merupakan suatu matriks yang dimensinya 1 x 3. Jadi:
Aix2 . B2x3 =[AB]1x3
Bila kemudian dimisalkan bahwa [ABl1x3 = C1x3 dan C1x3 = [C11· C12· C13],
maka:
Sekarang kita akan menentukan prosedur perkalian, ketiga elemen matriks
C merupakan jumlah hasil perkalian baris matriks A dengan kolom matriks B
dengan mengikuti prosedur berikut ini:
C11= a11b11+ a12b21 (baris 1 matriks A kali kolom 1 matriks B).
C12 = a11 b12+ a12b22 (baris 1 matriks A kali kolom 2 matriks B).
C13 = a11b13+ a12b23 (baris 1 matriks A kali kolom 3 matriks B).
Perhatikan bahwa indeks pada Cij menunjukkan bahwa indeks pertama
adalah baris pada matriks Adan indeks kedua menunjukkan kolom pada matriks
B. Jadi, seandainya C11 harus merupakanjumlah hasil perkalian elemen-elemen
pada baris pertama matriks A dan kolom pertama matriks B, dan C12 harus
merupakan jumlah hasil perkalian elemen-elemen pada baris pertama matriks A
dan kolom kedua matriks B. Bila baris dan kolom telah dipilih, maka elemen
yang ada di dalamnya dikalikan secara berpasangan secara urut. Dengan
menggunakan gambar, jumlah hasil perkalian untuk mengisi elemen cij dapat
ditunjukkan sebagai berikut:

Pasangan pertama
Pasangan kedua
Untuk C12:
Pasangan pertama
Pasangan kedua
Untuk C11, pada pasangan pertama a11 dikalikan dengan b11 dan pada
pasangan kedua a12dikalikan dengan b12sehingga C11 = a11b11 + a12b12. Untuk
C12, pada pasangan pertama a11 dikalikan dengan b12dan pada pasangan kedua
a12 dikalikan dengan b22 sehingga C12 = a11 b12+ a12 b22. Dengan cara yang
sama maka dapat diperoleh C13 = a11 b13 + a12 b23.
Contoh 1.29:
1 5
A= [1, 2J1x2 B=
3 2 2x2
1 5
Ax B = [1, 2]
3 2
= [lxl + 2x3, lx5 + 2x2] ix2
= [1 + 6, 5 + 4] lx2
= [7, 9] lx2

e ESPA4222/ MODUL 1
Contoh 1.30:
-1
A=
3
1
B=
0 -2
1 42 2x2 2x2
-lx0+3xl -lx-2 + 3x4
--
2x0+ 1x l
3 14
-
1 Q 2x2
5 4
AB= -1 0
0 3
2x-2+1x4
0 5 -4
-1 3 2
2x2
5x0+4x-1 5x5+4x3 5x - 4+4x2
AxB= -l xO+Ox- 1
Ox0+3x-1
-4 37 -12
- 0 -5 4-
-3 9 6
-l x5 +0 x3
Ox5+3x3
3x3
-lx-4+0x2
Ox-4+3x2
1. 19
3x 3

Contoh 1.32:
2
V=
-1
U = [3, -2] lx2
VxU=
--
Contoh 1.33:
2x l
2x3
-1x3
6 -4
-3 2
U = [1, 3]lx2 V =
2x-2
-1 x -2
2x2
5
2 2x I
U XV= [1 X 5 + 3 X 2] lxl
= [5 + 6] lxl
=[llJ 1xl
= 11
2x2
Pada contoh di atas dapat dilihat bahwa perkalian antara vektor baris
dengan kolom akan menghasilkan skalar. Jadi secara umum dapat ditulis:
U = [ul, ... unJ1xn dan V =
Vt
V n n xi
maka: U1xn V0 x1= W = skalar.
di mana W = u, V1 + U2V2+ .... +Un Vn
Dalam perkalian matriks, urut-urutan matriks yang dikalikan harus
diperhatikan karena A x B hasilnya berbeda dengan B x A. Bila dimensi A
adalah m x n dan B adalah n x m maka A x B dimensinya adalah m x m dan B x
A berdimensi n x n.
Jadi secara umum Ax B -=1:- Bx A.

e ESPA4222/MODUL 1
maka:
4xl+Ox-l+lx2 4x3+0x6+1x0
AxB=
-lx1+2x-1+3x2 -lx3+2x6+3x0
4+0+2
--
-1- 2 + 6
6 12
--
3 9 2x2
12+0+0
-3+12+0
0
2
1
3
2x2
2x3
lx4+3x-1 -lx-0+3x2 lx1+3x3
= -lx4+6x-1 -lx-0+6x2 -lx1+6x3
2x4+0x-1
4-3
= -4-6
8-0
0+6
0+12
O+O
1 6 10
= -10 12 17
8 0 2
2xO+Ox2
1+9
-1 +18
2+0
3x3
3x3
2xl+Ox3
1.21
2x2
3x3
Suatu matriks jikadikalikan dengan matriks identitas atau matriks identitas yang
dikalikan dengan suatu matriks hasilnya adalah sama dengan matriks itu sendiri.
Jadi:
Contoh 1.35:
Bila A=
4 0 3
1 3 2 2x3
maka:

Sifat khusus matriks identitas adalah dalam suatu proses perkalian dapat
disisipkan (atau dihapus) matriks identitas tanpa mempengaruhi hasilnya, jadi:
Amxn Inxn B nxp =(Al) B =Amxn B nxp
menunjukkan bahwa ada tidaknya I, hasil perkalian matriksnya tidak akan
terpengaruh.
Suatu matriks yang dikalikan dengan matriks nol atau sebaliknya matriks nol
dikalikan dengan suatu matriks akan menghasilkan matriks nol, jadi:
Okxm Amxn = Okxn
Amxn Onxl = Omxl
Contoh 1.35a:
1
A2x4 =
3
--
-1 -2 4
2 -4 1
0 0
0 0
0 0 3x2
1 -1 -2 4
3 2 -4 1 2
x
4
0 0 0 0
0 0 0
= 0 3x4
0 3x4

e ESPA4222/MODUL 1
A2x4 0 4x2 =
--
1 -1 -2 4
3 2 -4 l 2x4
0 0
= 0 2x2
0 0 2x2
C. KAIDAH MATRIKS
1.23
0 0
0 0
0 0
0 0 4x2
Di dalam mempelajari
kaidah seperti:
aljabar untuk bilangan riil, dipelajari beberapa
Kaidah jumlah komutatif:
Kaidah perkalian komutatif:
Kaidah jumlah asosiatif:
Kaidah perkalian asosiatif:
Kaidah distribusi:
a+b=b+a
ab * ba
(a+b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b+c) =ab+ ac
Hampir semua dari kaidah-kaidah tersebut dapat diterapkan dalam operasi
matriks. Hanya kaidah perkalian komutatif yang menjadi perkecualian dan
kaidah itu tidak dapat diterapkan dalam operasi matriks.
Penjumlahan matriks dapat dilakukan secara komutatif maupun asosiatif.
Anda telah mempelajari bahwa penjumlahan dua buah matriks dilakukan
dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berkaitan dari dua matriks.
Pengurangan yang operasinya A - B dapat dianggap sama dengan operasi
penambahan A+ (-B) sehingga tidak diperlukan penambahan yang terpisah.
Kaidah komutatif dan asosiatif dapat ditentukan sebagai berikut:
maka:
1. Kaidah Jumlah Komutatif A + B = B +A
Bukti:
A+B= [ a.. +b.. JIJ IJ

1. 24 MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS •
B + A =[ b.. + a.. JIJ IJ
karena [ a.. + b.. J= [ b.. + a.. J,maka A + B = B +A.lJ IJ IJ lJ
Contoh 1.36:
0 3
A=
1 2
maka:
4 10
A+B=B+A=
6 8
2. Kaidah Jumlah Asosiatif (A+ B) + C =A+ (B + C)
Bukti:
(A + B) + C = [aij + bij] + cij = [aij + bij +cij]
A + (B + C) = aij +[ bij + cij] = [ aij + bij +cij]
Jadi:
(A + B) + C = A + (B + C) [aij + bij + cij]
Contoh 1.37:
4
V1= 0
3
V2 =
1
9
2
4-1
0 - 9
3-2
V3=
2
+ -1
6
3 2
= -9 + -1
1 6
2
-1
6

e ESPA4222/MODUL 1
5
= -10
7
Jawaban di atas sama dengan:
4 1- 2
V1 - (V2- V3) = 0 - 9 - (-1)
3 2- 6
4 -1
= 0 10
3 -4
5
= -10
7
3. Perkalian Matriks
Perkalian matriks tidak komutatif berarti:
AB*BA
1.25
Bila AB dapat ditentukan maka belum tentu BA ditentukan dan bila BA dapat
ditentukan maka kaidah umum adalah
AB * BA
Contoh 1.38:
-1 0
Bila A=
AB=
--
2 1
-lx3+0x-2 -lx-l+OxO
2x3+1x-2 2x-l+lx0
-3 1
4 -2

Jadi temyata AB* BA
Perkalian antara skalar dan matriks mengikuti hukum komutatif, atau bila k
adalah skalar maka: k.A = A.k.
dan
A.k=
1.5 5.5
3.5 7.5
--
5 25
15 35
4. Kaidah Asosiatif (AB)C = A(BC)
Apabila dimensi matriks A adalah m x n dan C adalah p x q, maka
perkalian ABC dapat dilakukan bila dimensi B adalah n x p.
Contoh 1.40:
A= [1,4]1x2 B =
0 -1
AB= [1,4] l
3
0 -1
1 3
Amxn Bnxp Cpxq
C=
2x2
-2
2 2xl
= [O + 4, -1 + 12] = [4, 11]
(AB) C = [4, 11]
-2
2 2Xl
=[-8 + 22] =14

e ESPA4222/ MODUL 1
-2
A (BC) = [1, 4]
4
=[-2+16]=14
Jadi (AB) C =A (BC)
5. Kaidah Distributif
A (B + C) =AB + AC dan
(B + C) = BA = CA
Contoh 1.41:
-3 4 3
A= B= C=
1 -2 1
-3 4 1
A(B+C) =
1 -2 5
-3 +(20) 17
- -- -
1 -10 -9
-2
4
1.27

-5 22
AB+AC= +
17
--
1 -10 -9
Jadi A (B+C) =AB+ AC
D. TRANSPOSE
Transpose suatu matriks diperoleh dengan menukarkan kolom menjadi
baris atau sebaliknya. Jadi, dengan transpose misalnya, baris pertama suatu
matriks diubah menjadi kolom pertama dan baris kedua menjadi kolom kedua
dan seterusnya. Simbol yang digunakan untuk transpose matriks A adalah A'
atau AT.
Contoh 1.42:
Bila diketahui :
A=
3 1 8
2 0 9
maka:
3 2
A'= 1 0
8 9
Contoh 1.43:
Bila diketahui:
0 4
B=
2 5
maka:
B'=
0 2
4 5
Suatu matriks A yang berdimensi m x n mempunyai transpose A' yang
dimensinya n x m. Bila m =n atau matriksnya adalah matriks bujur sangkar,
maka matriks aslinya maupun transposenya mempunyai dimensi yang sama,
Jadi, jika:

e ESPA4222/ MODUL 1
a1.·.1. ai2 a1• •• ..n
Amxn = •
•
a22 ..·
• •
• •
am2 ... amn mxn
dan transpose matriks A adalah:
A' n x m =
... atn2
• • •
• • •
Berikut ini adalah contoh transpose dari matriks,
Contoh 1.45:
1
3
Bila A= [l, 3, 2, 7, 6]Ix5 , maka A'= 2
7
6 Sxl
Contoh 1.46:
12 -3 4 12 4
Bila A= 4 0 6 , maka A'= -3 0
0 5 7 3x3
4 6
1.29
0
5
7 3x3

Contoh 1.47:
6 10 3 11 2 6 7 -2 5 0
7 1 -1 9 6 10 1 -7 9 8
A= -2 -7 2 0 7 , maka A'= 3 -1 2 4 4
5 9 4 3 7 11 9 0 3 5
0 8 4 5 8 5x5
2 6 7 7 8 5x5
Contoh 1.48:
4
1
Bila A= 3 , maka A' = [4 1 3 2 0 ]1
x
5
2
0 5xl
Bila suatu matriks dan transposenya bernilai sama, yaitu aij = a;i untuk
semua i dan j, maka matriks itu dinamakan matriks simetris terhadap diagonal
utama.
Contoh 1.49:
1 4 7 1 4 7
Bila A= 4 0 2 , makaA' = 4 0 2
7 2 3 3x3
7 2 3 3x3
Karena A = A', maka A disebut matriks simetris.
Contoh 1.50:
2 1 3 4 2 1 3 4
1 1 4 5 1 1 4 5
Bila A= , maka A'=
3 4 0 7 3 4 0 7
4 5 7 0 4x4
4 5 7 0 4x4
Karena A = A', maka A adalah matriks simetris.

Contoh 1.51:
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
Bila I= 0 0 1 0 0 , maka I'= 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 5x5
0 0 0 0 1 5x5
Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa In = I'ndan sebaliknya I'n= In
Suatu matriks simetris yang dikalikan dengan matriks itu sendiri dan
hasilnya sama dengan matriks itu sendiri, maka matriks disebut matriks
idempoten. Jadi, suatu matriks A dikatakan matriks idempoten bila:
Contoh 1.52:
A'=A
dan
AA=A
Matriks identitas untuk semua dimensi merupakan matriks idempoten
karena
I'n =In
dan
In In= In
Contoh 1.53:
Matriks
3 6
15 15
6 12
15 15
3 6
15
6
15
--
15
12
15
3
merupakan matriks idempoten karena
6
15 15
6 12
15 15

1.32
3 6
15 15
6 12
15 15
3 6
15 15
6 12
15 15
Sifat-sifat suatu transpose:
--
MATEMATIKA EKDNDMI DAN BISNIS e
3 6
15 15
6 12
15 15
1. Transpose dari transpose adalah matriks asalnya, atau (A')' = A
3 1
(A')'= 8 0
-9 4
2. Transpose suatu jumlah merupakan jumlah dari suatu transpose, jadi:
(A+B)'=A'+B'
Contoh 1.55:
2 4
Bila A=
3 1
A+B =
6 2
3 3
2 3
A'= B'=
4 1
A'+ B' =
6 3
2 3
4 -2
danB --
0 2
(A+ B)' =
4 0
-2 2
6 3
2 3
Jadi, ternyata benar bahwa (A+ B)' =A'+ B'

e ESPA4222/MDDUL 1
Contoh 1.56:
Dari contoh di atas :
A-B =
-2 6
3 - 1
Jadi (A - B)' =A'- B'
(A - B)' =
- 2 3
6 -1
1.33
3. Transpose dari satu perkalian adalah produk perkalian dari transpose yang
urut-urutan perkaliannya dibalik, jadi:
'(Amxn Bnxp) =Bpxn Anxm
Contoh 1.57:
Bila diketahui :
1 2
A= dan B=
3 4
0 - 1
6
, maka
7
12 24
dan (AB)'=
13 25
0 6 1 3
B'A' = -
12 24
-1 7 2 4 13 25
Jadi (AB)'= B' A'.
___...... .
LATI HAN
4 2 -2 2
1) Bila diketahui A = dan B = ,maka
3 1 3 0
a) berapakah A - B?

1.34 MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS •
b) berapakah A + B?
c) berapakah A x B?
d) berapakah B x A?
0 2 3 1 5 0
2) Bila diketahui C= 3 1 -2 dan D = 2 2 3 , maka
2 0 4 1 0 4
a) berapakah C + D?
b) berapakah C - D?
c) berapakah C x D?
d) berapakah D x C?
'e) berapakah C ?
0,2
3) Bila diketahui E =
0,4
Petunjuk Jawaban Latihan
4 2
0,4
0,8
maka berapakah E' x E?
-2 2
1) Diketahui A= dan B =
3 1 3 0
, maka
4 - (- 2)
a) A-B =
3- 3
4 + (- 2)
b) A+ B =
3+ 3
c) Ax B =
d) BxA =
4 2
3 1
- 2 2
3 0
x
2-2
1- 0
2 + 2
1+ 0
- 2 2
3 0
--
--
--
--
6 0
0 1
2 4
6 1
4.(- 2) + 2.3
3.(-2) +1.3
4.2 + 2.0
3.2 +1.0
(- 2).4 + 2.3 (-2).2 + 2.1
3.4+ 0.3 3.2+ 0.1
--
--
-2 8
-3 6
-2 - 2.
12 6

e ESPA4222/MODUL 1
0 2 3
2) Diketahui C= 3 1 -2
2 0 4
1 5 0
dan D = 2 2 3 , maka
1 0 4
0 2 3 15 0 17 3
a) C + D = 3 1 -2 + 2 2 3 = 5 3 1
2 0 4 10 4 2 0 8
0 2 3
b) C -D = 3 1 -2
2 0 4
0 2 3
c) C x D = 3 1 -2
2 0 4
1 5 0
2 2 3 =
1 0 4
1 5 0
x 2 2 3
1 0 4
- 1 - 3 3
1 -1 -5
1 0 0
1.35
0.1+2.2+3.1
= 3.1+1.2 + (-2).1
2.1 + 0.2 + 4.l
0.5 + 2.2 + 3.0
3.5 +1.2 + (-2).0
2.5 + 0.2 + 4.0
0.0 + 2.3 + 3.4
3.0+1.3 + (-2).4
2.0 + 0.3 + 4.4
7 4 18
= 3 17 -5
6 10 16
1 5 0 0 2 3
d) D x C = 2 2 3 x 3 1 -2
1 0 4 2 0 4
1.0 + 5.3+ 0.2 1.2 + 5.l+O.O l .3+ 5.(- 2)+0.4
= 2.0 + 2.3 + 3.2 2.2 + 2.1 + 3.0 2.3 + 2.(-2) + 3.4
1.0+0.3 + 4.2 1.2 + 0.1 + 4.0 l .3+ 0.(-2)+4.4

1.36 MATEMATIKA EKDNOMI DAN B I SN I S e
15 7 -7
= 12 6 14
8 2 19
0 30 2 3
e) C = 3 1 -2
2 0 4
,C' = 2 1
0,2
3) Diketahui E =
0,4
0,4
0,8
R ANG KU MA
3 - 2
maka
2
0
4
Kaidah-kaidah yang berlaku pada matriks adalah :
1. Kaidahjumlah komutatif : A+B = B+A
2. Kaidah jumlah asosiatif : (A+B) = A(B+C)
3. Kaidah perkalian asosiatif : (AB) C = A(BC)
4. Kaidah distributif : A(B+C) = AB+AC
Sedangkan pada perkalian komutatif AB -:t= BA.
TES FORMATIF 2
Bila diketahui:
3 1 -2 1 -1 3 0 -5
A= 0 -3 0 B = 0 2 -2 C = 2 1
0 2 1 0 1 3 0 0
-1
-3
2

e ESPA4222/MODUL 1
1) Tentukan (A+ B) + C
4 0 1
A. 0 -1 -2
0 3 4
1 -5 2
B. 2 3 -5
0 1 5
4 - 5 0
C. 2 0 -5
0 3 6
3 -4 -3
D. 2 - 2 3
0 2 3
2) Tentukan (A - B) + C
1 - 2 - 5
A. 0 - 5 2
0 1 - 2
2 - 3 - 6
B. 2 -4 5
0 1 0
1 4 4
C. -2 1 5
0 1 1
1 4 4
D. - 2 1 5
0 1 0
3) Tentukan AB
3 - 3 1
A. 0 - 6 6
0 5 1
1.37

3 10 1
B. 0 -10 2
0 3 3
3 - 3 l
C. 0 - 10 2
5 0 l
3 0 0
D. - 3 - 6 5
l 6 l
4) Tentukan AI3
1 0 0
A. 0 1 0
0 0 1
3 1
B. -3 -6
1 6
3 0
C. 1 -3
0 2
0 0 0
D. 0 0 0
0 0 0
- 2
5
1
0
2
1
5) Tentukan 0 3C
0 - 5 - 1
A. 2 l - 3
0 0 2
1 0 0
B. 0 1 0
0 0 l

0 2 0
C. -5 1 0
- 1 - 3 2
0 0 0
D. 0 0 0
0 0 0
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
dikuasai.

KEGIATAN BELAJAR 3
Operasi Khusus
A. DETERMINAN
Determinan suatu matriks adalah bilangan skalar yang diperoleh dari
pengoperasian elemen-elemen matriks secara spesifik. Simbol yang digunakan
untuk menunjukkan determinan dari suatu matriks adalah I I,misalnya matriks
A maka determinannya ditulis IAI. Determinan hanya dapat dihitung dari
matriks bujur sangkar. Metode untuk memperoleh determinan suatu matriks
adalah sebagai berikut:
Misalkan kita mempunyai suatu matriks dengan dimensi 2 x 2:
A=
maka determinannya adalah:
IAI =a11a22 - a12 a21 =bilangan skalar
Contoh 1.58:
1 3 1 3
JikaA = , maka IAI = = 1.4- 3.2 = -2
2 4 2 4
Tanda titik (.) pada contoh di atas digunakan untuk mewakili tanda
perkalian.
Contoh 1.59:
Jika B =
- 2 0
4
, maka IBI =
3 4
- 2 0
3 = (-2).3 - 0.4 = -6
Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat bahwa determinan matriks bujur
sangkar dimensi 2 x 2 diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen pada
diagonal utama dan kemudian dikurangi dengan hasil kali kedua elemen yang
lain. Karena dimensi dari matriks yang dihitung tersebut adalah 2 x 2, maka
determinannya disebut determinan tingkat dua.

Pada penulisan determinan dapat dilibat bahwa suatu determinan diapit oleb
dua garis tegak dan nilai suatu determinan merupakan skalar (angka). Jadi suatu
determinan dapat disusut menjadi suatu bilangan. Berbeda dengan matriks yang
tidak dapat disusut menjadi bilangan lain.
Bagaimana dengan determinan suatu matriks yang berdimensi 3 x 3.
Misalkan ada suatu determinan yang dimensinya 3 x 3 berikut:
a11 a12 ai3
A= a21 a22 a23
maka determinannya akan bernilai:
a11 a12 a13
IAI=
a22 a23 a21 a23
a21 a22 a23 = a11 - a12
a32 a33 a31 a33
a31 a32 a33
a21 a22
+ a13
a31 a32
= a11a12 a33 - a11a13 a32 + a12 a13 a31 - a12 a11a33+ a13 a11 a12
- a13 a12 a31 (= skalar)
Dari mana basil tersebut diperoleb? Dengan melibat basil akhir yang
diperoleb, nilai IAI merupakan penjumlaban dari enam suku basil kali dengan
tiga di antaranya didabului tanda minus dan tiga yang lain dengan tanda plus.
Hasil semacam itu sulit memang untuk dipikirkan jika kita banya melibat basil
akhimya saja. Dalam modul ini dijelaskan dua cara untuk mengbitung
determinan tingkat tiga, yaitu metode short cut dan metode uraian Laplace.
B. METODE SHORT CUT
Cara yang memudabkan dalam mencari pasangan-pasangan elemen yang
barus dikalikan, yaitu dengan menggunakan gambar seperti ditunjukkan pada
gambar berikut ini.

1.42
'.
'
j
'L
MATEMATIKA EKDNOMI DAN BISNIS e
:1:1!J.
l 1 ~ ''
---
1 - ~ ·
I I
l
Pada gambar di atas, setiap elemen telah dihubungkan dengan dua elemen
lainnya oleh garis panah yang tidak terputus-putus dan garis yang
terputus-putus.
Coba sekarang ikuti arah garis penghubungnya dengan cermat.
Elemen-elemen yang dihubungkan dengan garis yang tidak putus adalah
a11.-7a22-7a33, a12 -7a23-7a3.1 dan a13-7a32-7a21. Setiap elemen yang dihubungkan
dengan tanda panah dapat dikalikan dan basil kalinya merupakan bagian dari
enam suku tersebut. Suku-suk:t1 basil perkalian tiga elemen ini diberi tanda plus
di depan.
Pada pihak lain, setiap elemen yang ada di baris atas dihubungkan dengan
elemen-elemen lain oleh garis yang patah-patah, yaitu a11-7a32-7a23,
a12-7a21-7a33 dan a13-7a22-7a31. Tiga elemen dari masing-masing hubungan ini
kemudian dikalikan dan diawali tanda minus. Jumlah dari tiga suku yang
bertanda plus dan tiga suku terakhir yang bertanda minus merupakan nilai
determinan. Untuk mengingat-ingat, perhatikan gambar panah-panah tersebut!
Nampak seperti gambar jantung hati. Ini akan memudahkan kita untuk
menentukan pasangan elemen-elemennya.
Contoh 1.60:
1 -3 2
5 2 0
-1 6 4
= (1)(2)(4) + (-3)(0)(-1) + (2)(6)(5)-(2)(2)(-1) - (-3) (5) (4) - (1)(6)(0)
= 8 + 0 + 60 + 4 + 60 - 0
= 132

e ESPA4222/MODUL 1
Contoh 1.61:
1 2 3
- 4 - 5 - 6
0 - 1 2
= (1)(-5)(2) + (2)(-6)(0) + (3)(-1)(-4)-(3)(-5)(0)-(2)(-4)(2)-(1)(-1)(6)
=-10-0+ 12-0+ 16-6
= 12
Contoh 1.62:
9 0 0
0 1 0
0 0 2
= (9)(1)(2) + (0)(0)(0) + (0)(0)(0) - (0)(1)(0) - (0) (0) (2) - (9)(0)(0)
=18+0+0-0-0-0
= 18
Contoh 1.63:
1 2 3
2 4 6
3 6 5
= (1)(4)(5) + (2)(6)(3)+ (3)(6)(2) - (3)(4)(3) - (2)(2)(5) - (1) (6) (6)
= 20 + 36 + 36 - 36 - 20 - 36
=0
1.43
Alternatiflainnya adalah dengan jalan menuliskan kembali kolom pertama
dan kedua di sebelah kanan garis tegak, kemudian elemen-elemen dihubungkan
dengan panah seperti gambar berikut ini:
'
a.31",, ':J·i_,- .. ---. ' '' ' ,' ' '' ' '' , •
+ + +

Elemen-elemen yang dihubungkan oleh garis yang turun dari kiri atas ke kanan
bawah kemudian dikalikan dan masing-masing suku diberi tanda plus.
Elemen-elemen yang dihubungkan oleh garis yang turun dari kanan atas ke kiri
bawah dikalikan dan diberi tanda minus. Keenam basil perkalian kemudian
dipindahkan dan merupakan nilai dari determinan, yaitu:
IDI= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31-a11a23 a32 - a12 a21 a33
Contoh 1.64:
Berapakah determinan dari:
1 2 8
IAI = 3 4 7
5 6 9
11 2 81 1 2
13 4 71 3 4
15 6 91 5 6
= (1)(4)(9) + (2)(7)(5) + (8)(3) (6) -(8)(4)(5) - (1)(7)(6) -(2)(3)(9)
= 36 + 70 + 144 - 160 - 42 - 54
= -6
Apabila menghitung determinan seperti yang dilakukan pada contoh di atas,
dihitung lagi dengan cara sebelumnya, maka sudah barang tentu hasilnya akan
sama. Cara yang mana yang akan Anda gunakan untuk menghitung determinan,
nantinya diserahkan pada Anda sendiri. Tentunya, yang sebaiknya Anda
gunakan adalah yang cara yang menurut Anda paling mudah.
C. URAIAN LAPLACE
Kedua cara yang dibahas di atas adalah cara mencari nilai determinan
tingkat tiga. Bila Anda akan mencari nilai determinan tingkat yang lebih tinggi,
maka cara di atas tidak dapat diterapkan. Sebagai gantinya dapat digunakan
cara Laplace yang biasa disebut dengan uraian Laplace. Cara ini dapat
digunakan untuk determinan tingkat tiga maupun tingkat yang lebih tinggi.
Sebagai awal dari uraian, marilah kita bahas pengertian Laplace dari suatu
determinan tingkat tiga. Perhatikan determinan berikut:

e ESPA4222/MODUL 1
a11 a12 a13
IAI = a11 a12 a23
1.45
Determinan A di atas dapat dipandang sebagai jumlah dari tiga suku yang
masing-masing suku merupakan basil perkalian antara elemen baris pertama
dengan suatu determinan tingkat dua. Proses penguraian dari IAI inilah yang
melukiskan penguraian Laplace dari suatu determinan. Determinan tingkat dua
yang disebutkan di atas tidak ditetapkan secara sembarang tetapi ditetapkan
dengan menggunakan kaidah tertentu. Determinan tingkat dua yang pertama
adalah
merupakan determinan bagian dari IAI yang didapat dengan menghilangkan
baris pertama dan kolom pertama dari IAI. Bagian ini disebut minor dari elemen
a11, yaitu elemen baris dan kolom yang dihilangkan dan ditulis IM111. Simbol
IMijl dapatjuga digunakan untuk menyatakan minor yang diperoleh dengan cara
menghilangkan baris ke i kolom ke j. Dengan demikian, tentu bisa ditebak
bahwa dua determinan tingkat dua lainnya adalah minor IM121dan minor IM131,
atau:
Konsep lain yang mempunyai hubungan erat dengan minor adalah kofaktor.
Kofaktor ditulis dengan ICijl dan didefinisikan sebagai minor dengan disertai
tanda aljabar tertentu (mungkin minus atau plus). Aturan pemberian tanda
adalah sebagai berikut. Jika jumlah indeks i dan j pada IMijl genap, maka tanda
pada kofaktor sama dengan tanda minor. Jadi ICijl = IMijl. Akan tetapi jika
jumlah antara i danj ganjil, maka tanda pada kofaktor akan berlawanan dengan
tanda pada minor. Jadi ICijl = - IMijl. Penentuan tanda pada kofaktor dapat
dirumuskan menjadi:
Di sini dapat dilihat bahwa (-l)1
+J akan positif bila i+j genap dan akan negatif
bila i + j ganjil.

Contoh 1.65:
4 3 2
Pada determinan 1 5 9 , minor dari elemen 3 adalah
6 8 7
1 9
6 7
= 7 - 54
= -47
Kofaktor dari elemen 3 adalah:
IC12I = (-1)
1
+
2IM121
Karena i + j =1 + 2 =3 adalah ganjil, maka kofaktor:
IC12I = - IM12I
=47
Kofaktor elemen baris pertama yang lain adalah
IC11I = IM11I
5 9
--
8 7
= 35 - 72 =-37, dan
IC13I = IM13I
1 5
--
6 8
= 8 - 30
= -22
Dengan menggunakan cara Laplace, suatu determinan tingkat tiga dapat
diuraikan menjadi:
IAI = a11IM11I - a12IM12I + a12IM13I
= a11 IC11I + a12IC12I + a13IC13I
= aij ICijl
Nilai determinan di atas didapat dengan menguraikan baris pertama dan
mengalikan elemen-elemen pada baris pertama dan kofaktor pasangannya.

Perbedaan tanda yang ada pada misalnya suku a12 IC12I dan a13 IC131adalah
karena perbedaan lebih elemen tersebut.
Bila dikehendaki, baris yang diuraikan tidak harus baris satu tetapi dapat
juga baris kedua atau yang lain bahkan dapat pula yang diuraikan adalah
kolomnya, yaitu kolom satu atau kolom dua atau kolom yang lain. Penulisan
baris atau kolom manapun yang akan diuraikan akan memberikan basil yang
sama.
Contoh 1.66:
1 2 -1
Determinan IAI= 3 4 5 dapat dikerjakan dengan:
2 0 -3
1. Menguraikan baris pertama:
4 5 3 5 3 4
IAI = 1 -2 -1
0 - 3 2 - 3 2 0
= -12 - 0 - 2 (-9 - 10) - 1(0 - 8)
= -12 + 18 + 20 + 8
= 34
2. Menguraikan baris kedua:
2 - 1 1 - 1 1 2
IAI = -3 + 4 - 5
0 - 3 2 - 3 2 0
= -3 (-6 - 0) + 4(-3 + 2) - 5(0 - 4)
= 18 - 4 + 20
= 34
3. Menguraikan kolom pertama:
4 5 2 - 1 2 - 1
A=l -3 +2
0 - 1 0 - 3 4 5
= -12 - 0 - 3(-6 - 0) + 2 (10 + 4)
= -12 + 18 + 28
= 34

Jadi dengan menguraikan kolom atau baris yang manapun akan didapat nilai
determinan yang sama.
Contoh 1.67:
3 10 2
Nilai determinan A - 4 0 5 dengan-
6 0 7
menguraikan baris pertama:
0 5 4 5 4 0
IAI = 3 - 10 + 2
0 7 6 7 6 0
= 0 - 280 + 300 + 0
= 20
Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menguraikan kolom kedua:
4 5 3 2 3 2
IAI = -10 + 0 - 0
6 7 6 7 4 5
= -280 + 300 + 0 - 0
= 20
Dari contoh di atas, kita melihat suatu kenyataan bahwa kita mempunyai
kebebasan untuk memilih baris atau kolom yang "mudah" untuk diuraikan.
Suatu baris atau kolom yang mengandung elemen-elemen yang paling banyak
bernilai 0 atau 1 adalah yang disukai untuk tujuan penghitungan determinan.
Elemen yang bernilai 0 bila dikalikan dengan kofaktornya akan sama dengan
nol dan elemen yang nilainya satu dikalikan dengan kofaktornya hasilnyajelas
adalah kofaktor itu sendiri. Dengan demikian kita dapat melakukan
penghematan dalam melakukan perkalian.
Penguraian Laplace dapat juga digunakan untuk menghitung determinan
tingkat empat atau tingkat yang lebih tinggi lagi. Dalam suatu determinan
tingkat empat B misalnya:

Baris pertama memuat empat elemen, yaitu b11 , b12, b13, dan b14. Seperti telah
kita pelajari, minor dari elemen b11 adalah determinan B yang dihilangkan
baris dan kolom pertamanya. Karena minor bertingkat 3, maka kofaktor juga
bertingkat tiga. Secara umum kita dapat menyatakan bahwa dengan penguraian
Laplace, determinan tingkat n akan diciutkan menjadi n kofaktor yang
masing-masing bertingkat (n-1). Kemudian penguraian selanjutnya akan
membawa determinan ke tingkat yang lebih rendah. Demikian seterusnya
sehingga akhirnya akan didapat determinan-determinan tingkat dua yang dapat
dihitung dengan mudah.
Contoh 1.68:
Berapakah nilai determinan:
1 8 0 7
4 3 7 6
A = 3 - 5 0 - 1
0 6 0 8
Untuk menghitung nilai determinan A , maka sebaiknya kita memilih
kolom 3 untuk diuraikan karena pada kolom tersebut banyak mengandung
elemen yang bemilai 0. Jadi,
4 3 6
IAI = 0 3 - 5 - 1
0 6 8
1 8 7
= -7 3 - 5 - 1
0 6 8
1
- 7 3
0
8
- 5
6
7 1 8 7 1 8 7
- 1 +O 4 3 6 - 0 4 3 6
8 0 6 8 3 - 5 - 1
Kemudian determinan pangkat tiga di atas diuraikan lagi, misalnya:
1 8 7
C = 3 - 5 - 1 kemudian baris pertama diuraikan
0 6 8

1.50
c = 1
-5 -1
6 8
- 8
3 -1
0 8
+7
3 -5
0 6
= -40 + 7 - 8(24 + 0) + 7(18 - 0)
= -40 + 6 - 192 + 126
= -100
Jadi A = 7 C = -100
= 7(-100)
= -700
D. SIFAT-SIFAT DETERMINAN
Sekarang kita akan membahas sifat-sifat determinan. Ada 8 sifat yang akan
dibahas di sini, yaitu:
Sifat 1:
Nilai suatu determinan tidak akan berubah bila barisnya diganti dengan kolom
atau sebaliknya kolom diganti baris. Padahal kita sudah mempelajari bahwa
matriks yang ditukar barisnya dengan kolom atau sebaliknya merupakan
transpose dari matriks tersebut. Jadi sifat ke-1 ini dapat dikatakan pula bahwa
determinan dari suatu matriks IAI mempunyai nilai yang sama dengan
determinan dari transpose-nya, IA'I atau
Contoh 1.69:
9 5 9 4
--
4 3
Contoh 1.70:
a b
--
c d
5 3
IAI = IA'I
=7

Contoh 1.71:
0 1 - 1 0 2 2
2 1 3 - 1 1 0 =0+0+6+2-8-0=0-
2 0 4 - 1 3 4
Sifat 2:
Jika dalam suatu baris (kolom) dari matriks semua elemen nilainya nol, maka
nilai determinan itu juga sama dengan nol.
Contoh 1.72:
0 0
= 0.9 - 0.1=0
1 9
Contoh 1.73:
0 2 3
0 1 4 =0
0 3 5
=0+0+0
=0
Contoh 1.74:
9 8 6
0 0 0
3 1 2
=0-0+0
= 0.
Sifat 3:
1 4
3 5
-0
2 3
3 5
+ 0
2 3
1 4
Jika setiap elemen pada suatu baris (kolom) dari suatu determinan dikalikan
dengan bilangan skalar k, maka nilai determinan akan menjadi k kali nilai
determinan semula.

Contoh 1.75:
1 - 2 - 1
IAI = 0 3 1
2 3 4
= 12 - 4 + 0 + 6 + 0 - 3
= 11
Bila IBI adalah determinan IAI yang baris pertamanya dikalikan 5, maka:
5 -10 -5
IBI = 0 3 1
2 3 4
= 60 -20 + 0 + 30 + 0 - 15
= 55
maka IBI = 5 IAI
Bila IBI adalah determinan IAI yang kolom keduanya dikalikan tiga, maka:
1 - 6 - 1
IBI = 0 9 1
2 9 4
= 36 - 12 - 0 + 18 + 0 - 9
= 33
maka IBI = 3 IAI
Contoh 1.76:
0 1 2
A=l 2 3=0
2 3 4
Bila IA*1adalah determinan IAI yang baris pertamanya dikalikan 4, maka:
0 4 8
A' = 1 2 3 = 0
2 3 4
Jadi A' =4 A =0

Bila IA*1adalah determinan IAI yang kolom ketiganya dikalikan 2, maka
0 1 4
A' = 1 2 6 = 0
2 3 8
Jadi A' =2 IAI =0
Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat bahwa perkalian antara skalar
dengan suatu matriks berbeda dengan perkalian antara skalar dan determinan.
Pada perkalian skalar dengan matriks, maka semua elemen pada matriks harus
dikalikan dengan skalar tersebut. Akan tetapi, pada determinan seperti yang
Anda lihat, perkalian skalar dengan determinan hanya dilakukan dengan
mengalikan sebuah baris atau kolom dengan skalar. Sifat ini dapat digunakan
untuk mengeluarkan pembagi persekutuan yang terdapat dalam suatu baris atau
kolom.
Contoh 1.77:
4 8 4(1) 4(2) = 4 1 2
3 5 3 5 3 5
= 4 (5 - 6)
= -4
Contoh 1.78:
15 7 5 7
= 3
12 2 4 2
5 7
3(2) 2 1
= 6 (5 - 14)
= - 54

Sifat 4:
Bila dua buah baris atau kolom dari suatu determinan ditukar tempatnya, maka
tanda determinan akan berubah. Akan tetapi, nilai mutlaknya tetap sama.
Contoh 1.79:
1 3 2
A - 0 4 1
- 2 1 5
= 20 - 6 + 0 + 16 - 0 - 1
=29
Sekarang baris ke-2 ditukar tempatnya dengan baris ke-3
1 3 2
A* =-2 1 5 =-29
0 4 1
Jadi IAI = - IA*I
Contoh 1.80:
1 3 2
IBI = 0 4 1 =29
-2 1 5
Sekarang kolom ke-2 ditukar dengan kolom 1, maka:
3 1 2
IBI = 4 0 1
1 - 2 5
= 0 + 1 - 16 - 0 - 20 + 6
= -29

e ESPA4222/MODUL 1
Contoh 1.81:
5 - 2 3
IAI = 1 0 6
1 2 4
= 0 - 12 + 6 - 0 + 8 - 60
= -58
Bila baris pertama ditukar dengan baris ketiga, maka:
1
A* = 1
5
Sifat 5:
2 4
0 6
-2 3
= 0 + 60 - 8 - 0 - 6 + 12 = 58
1.55
Jika pada suatu determinan, elemen-elemen dua baris atau dua kolomnya sama,
maka nilai determinannya sama dengan nol.
Contoh 1.82:
1 2 3
A = 1 2 3
4 6 5
= 10 + 24 + 18 - 24 - 10 - 18
=0
Contoh 1.83:
4 1 1
A= 6 0 0
5 1 2
= 0 + 0 + 12 - 0 - 0 - 12
=0

Karena dua baris atau kolom yang sama dari suatu determinan akan
menyebabkan nilai determinannya nol, maka ini juga berarti bahwa suatu
determinan dengan baris atau kolom yang nilai elemen-elemennya merupakan
kelipatan baris atau kolom yang lain akan memberikan nilai determinan yang
sama dengan nol. Hal itu mudah dimengerti karena bila kelipatannya
dikeluarkan dari baris atau kolom akan menyebabkan kedua baris atau kolom
menjadi sama. Sifat nomor 5 menyatakan bahwa nilai determinan itu sama
dengan nol.
Contoh 1.84:
2a 2b
A = baris ke satu merupakan 2x baris kedua
a b
a b
2 =0
a b
=0
Contoh 1.86:
4 6 8
A = 2 3 4 baris pertama merupakan 2x baris kedua
1 0 2
2 3 4
= 2 2 3 4
1 0 2
= 0.
Contoh 1.87:

e ESPA4222/MODUL 1
1 3 1
A = 2 6 4 kolom kedua merupakan 2x kolom 1
3 9 2
Sifat 6:
1 1 1
= 2 2 2 4
3 3 2
1.57
Suatu determinan nilainya tidak akan berubah bila elemen-elemen pada suatu
baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan konstan kemudian
ditambahkan atau dikurangkan pada elemen-elemen dalam baris atau kolom
yang lain.
Baris pertama dikalikan k dan ditambahkan pada baris kedua, maka:
a b
e+ka d+kb
= a(d + kb) - b(e + ka)
= ad + kab - be - kab
=ad - be
= IAI
Contoh 1.89:
1 3
A = =4 - 15 =-11
5 4
Baris pertama dikalikan satu kemudian untuk mengurangi baris ke dua
1 3
4 1
= 1 - 12

= - 11
Contoh 1.90:
1 3 -3
A - 2 0 1
- 1 4 - 2
= 0 - 3 - 24 - 0 + 12 - 4
= -19
Baris kedua dikalikan 2 dan ditambahkan pada baris ketiga
1 3 -3
2 0 1
3 4 0
= 0 + 9 - 24 - 0 - 4
= -19
Contoh 1.91:
1 4 7
IAI = 2 8 4
3 2 1
= 8 + 48 + 28 - 168 - 8 - 8
= -100
Baris pertama dikalikan 2 kemudian untuk mengurangi baris kedua
1 4 7
0 0 - 10
3 2 1
Baris ketiga dikalikan 2 kemudian untuk mengurangi baris pertama
- 5 0 5
0 0 - 10
3 2 1

e ESPA4222/MODUL 1
Baris ketiga dikalikan 2 kemudian untuk mengurangi baris pertama
-5 0 5
0 0 - 10
3 2 1
Kolom pertama ditambahkan ke kolom 3
-5 0 0
0 0 -10 = -100
3 2 4
1.59
Sifat ke-6 ini terasa pentingnya jika kita akan menguraikan suatu determinan
dengan cara Laplace. Elemen-elemen dalam satu baris atau kolomjika mungkin
dijadikan nol dengan sifat ke-6 ini. Semakin banyak elemen yang bernilai nol,
maka pekerjaan menghitung perkalian menjadi lebih sedikit.
Sifat 7:
Determinan dari perkalian dua buah matriks sama dengan basil kali determinan
matriks-matriks tersebut, atau
Contoh 1.92:
2 3
Misalkan A=
1 5
AB= AB
2 3
A= =7
1 5
4
B =
2
2
= 20
6

1.60
Sifat 8:
--
8+6
4+10
4+18
2+30
-
-
14 22
14 32
Deterrninan dari matriks diagonal adalah hasil kali elemen-elemen diagonalnya.
a 0 0
A = 0 b 0 = abc
0 0 c
Contoh 1.93:
A
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
- 0 0 4 0 0-
0 0 0 5 0
0 0 0 0 3
= (1)(2)(4)(5)(3)
= 120
E. KAIDAH CRAMER
Dalam mencari titik ekstrem suatu fungsi biasanya kita terlibat pada
pekerjaan menyelesaikan persamaan linier secara serempak. Bila jumlah

variabel yang dihadapi banyak, maka penyelesaian secara serempak persamaan-
persamaan tersebut akan menjadi masalah tersendiri. Untuk mengatasi masalah
tersebut baiklah kita gunakan kaidah Cramer. Bila kita menghadapi n buah
persamaan linier dengan n peubah yang bentuk umumnya dapat ditulis:
a11X1 + a 12X2 + a 13X 3 + ···· + a 1nXn = C1
a11X1 + a22X2 + a13X3 + ···· + a1nXn = C2
• • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • ••
Dengan menggunakan matriks, persamaan-persamaan di atas dapat ditulis
menjadi:
•• •
• • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
••• a nn
Nilai x1, x2 ••• x0 dapat dicari dengan menggunakan rasio dari determinan:
c1 a12 a13
C2 a22 a23
• • • • • • • • •
• • • • • • • • •
•• •
•• •
•• • • • •
•• • • • •
• • •
x - -----------1 -
A
•••
• • •
• • • • • • • • • • • • • ••
• • • • • • • • • • • • • ••
• ••
A
x = - - - - - - - - - - -2

a11 a12 a13
a21 a22 a23
• • • • • • • ••
• • • • • • • ••
• • •
•••
• • • • ••
• • • • ••
• • •
X =----------n
A
ai1 •••
• • • • • • • • • • ••
di mana IAI =
• • • • • • • • • • ••
• • • • • • • • • • • •••
Untuk setiap xi pada i = 1, 2, ... n, pembilangannya merupakan suatu determinan
dari matriks koefisien dengan kolom ke i diganti oleh konstan c yang ada di
sebelah kanan tanda sama dengan pada persamaan. Bila persamaan tidak ada
penyelesaiannya maka IAI akan sama dengan nol.
Contoh 1.94:
Berapakah nilai x dan y yang memenuhi persamaan:
x + 2y = 1
3x + 4y = 2
Dalam bentuk matriks, persamaan di atas dapat ditulis:
1 2 x 1
-
3 4 y 2
1 2
A = =-2
x =
3 4
1 2
2 4
-2
= 0 =0
-2

e ESPA4222/ MODUL 1
y =
1 1
3 2
-2
Contoh 1.95:
-1 1
- -- -
-2 2
Berapakah x1,x2 dan x3 dari persamaan-persamaan berikut:
3X1 + X2 - X3 = 2
X1 - 2X2 + X3 = -9
4x1+ 3x2 + 2x3 = 1
Bentuk dalam matriks, persamaan di atas dapat ditulis:
3 1 -1 x1
2
1 - 2 1 X2
= -9
4 3 2 X 3 1
3 1 - 1
A = 1 - 2 1 =-30
4 3 2
2 1 -1
9 - 2 1
1 1 2 -30
x = --I
-30 -30
3 2 1
1 - 9 1
4 1 2
= 1
-90
X2 = - =3-
-30 -30
3 1 2
1 - 2 - 9
4 3 1 60
X3 = --
-30 -30
= -2
1.63

Contoh 1.96:
Selesaikan persamaan berikut ini:
x - Sy+ 6z = 7
3x + 3y - z = 8
2x + 8y - 7z = 1
Dalam bentuk matriks, persamaan di atas dapat ditulis:
1 - 5 6 x 7
3 3 - 1 y = 8
2 8 -7 z 1
1 -5 6
A = 3 3 - 1 = 0
2 8 - 7
Karena A = 0, maka persamaan tersebut tidak ada penyelesaiannya.
r-- .
---~ - .
Hitung determinan dari matriks berikut ini:
7 1
1)
2)
3)
2 5
4 4
6 9
3 9 12
2 4 1
1 3 16

e ESPA4222/MODUL 1
4)
5)
3 1 5
13 0 4
6 2 10
1 0 4 2
5 -1 0 3
0 - 2 4 0
1 3 2 1
1.65
Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan akar-akar dari persamaan berikut:
6) 3x + 2y = 7
x+3y= 10
7) 2x - 3y = 4
x + 2y = 9
8) x + 2y + 3z = 10
2x + 3y + z = 13
x + y + lOz = 15
9) x + 2y + 3z = 14
x-y-3z = 0
2x - 4y - 4z = 2
10) x+y=8
y- z = 2
x+3z=l0
1)

4 4
2) = 36 - 24 = 12
6 9
3 9 12 3 9 )2 3 9
' ~
'' ' '
' ' '
3) 2 4 1 2
'
2'' 4' '
- ' '
- '' '' '
'' '
'' '' ' '
1 3 16 1 3 16 3
= 3.4.16 + 9.1.1+12.2.3 - 1.4.12- 3.1.3 - 16.2.9 = - 72
3 1 5
4) 13 0 4 = Jika elemen-elemen pada baris pertama dikalikan 2, maka
6 2 10
6)
nilai elemen-elemennya menjadi sama dengan baris ketiga, maka
determinannya adalah 0.
3x + 2y = 9
x+3y= 10
3 2 x 9
Persamaan dapat ditulis menjadi --
1 3 10y
9 2
10 3 27 - 20 7
x= - - --1- - -
3 2 9 - 2 7
1 3
- -
3 9
y=
1 10
- -- -
3 2
= 30 - 9 = 21=3
9-2 7
1 3- -

Jadi x =1· y =3
' '
7) 2x - 3y = 4
x + 2y = 9
2 -3 x 4
Persamaan dapat ditulis menjadi --
1 2 9y
4 - 3
9 2 8+27 35
x= - - =5- -
2 -3 4+3 7
1 2
2 4
1 9 18 - 4 14
y= - - =2- -
2 -3 4+3 7
1 2
Jadi x = 5· y =2
' '
8) x+2y+3z= 10
2x + 3y + z = 13
x + y + lOz = 15
1 2 3 x 10
Persamaan dapat ditulis menjadi 2 3 1 y - 13-
1 1 10 z 15
~
-
10 2 3
13 3 1
x=
15 1 10
- -- -
= 300+30+ 39 - 135 - 260 - 10 = -36 = 3
1 2 3 30 + 2 + 6-9-40-1 - 12
2 3 1
1 1 10- -

1.68
9)
- -
1 10 3
2 13 1
y=
1 15 10
- -
- -
= 130+10 + 90 - 39 - 200 - 15 = -24 = 2
1 2 3 30+ 2+6-9-40-1 -12
2 3 1
1 1 10
- -
- -
1 2 10
2 3 13
z=
1 1 15
- -
- -
= 45 + 26+ 20 - 30- 60 - 13 = -12 = 1
1 2 3 30 + 2 + 6 - 9 - 40 - 1 - 12
2 3 1
1 1 10
- -
Jadi, x = 3; y = 2; z = 1
x -3y + 3z = 10
x - y - 3z = 0
2x -4y - 4z = 2
1 - 3 3 x 10
Persamaan dapat ditulis menjadi 1 -1 -3 y - 0-
-10 - 3
0 - 1
2 - 4
x= --1 - 3
1 -1
2 - 4
-
-
3
- 3
- 4
--
3
-3
- 4-
2 -4 - 4 z 2
= 40 + 18 + 0 + 6- 0 - 120 = - 56 = 7
4+18 - 12 + 6- 12 - 12 - 8

e ESPA4222/ MODUL 1
-1 10
1 0
2 2
y = --1 - 3
1 -1
2 - 4
-
-
1 - 3
1 -1
2 - 4
-
3
-3
- 4
--
3
-3
- 4
-
-
10
0
2
= 0-60+6+0+40+6 = -8 = 1
4+18-12+6-12-12 -8
z = - -
- -
- 2 + 0 - 40 + 20 + 6- 0 - 16
- - -2- - -
1 - 3 3 4 +18-12+6-12-12 -8
1 - 1 -3
2 -4 - 4
- -
Jadi, x = 7; y = 1; z = 2
10) x + y =8
y - z = 2
x + 3z =10
1 1 0 x 8
Persamaan dapat ditulis menjadi 0 1 -1 y - 2-
1 0 3 z 10
- -
8 1 0
2 1 - 1
x =
10 0 3
- -- -
24 - 10+ 0+0 - 6- 0 8
- - - -4- - -
1 1 0 3- 1+0 - 0 - 0- 0 2
0 1 -1
1 0 3
- -
1. 69

1.70
-
1 8
0 2
1 10
y= -
-1 1
0 1
1 0
-
-
1 1
0 1
1 0
- -- -
1 1
0 1
1 0
-
-
0
-1
3 --
0
-1
3
-
-
8
2
10-
-
0
-1
3
-
MATEMATIKA EKDNOMI DAN B I SN I S e
= 6-8+0+0-0 + 10 =~=4
3-l+ 0-0-0-0 2
10+ 2+ 0- 8- 0 - 0 4
- - - - 2- - -
3- 1+ 0- 0 - 0 - 0 2
Jadi, x = 4; y = 4; z = 2
R AN G KU MA
Sifat-sifat determinan
1. A = A I
2. Jika dalam suatu baris atau kolom elemen suatu matriks bemilai nol
semua, m.aka nilai determinan itu juga sama dengan nol.
3. Jika setiap elemen pada suatu baris atau kolom dari suatu matriks
determinan dikalikan dengan suatu skala k, maka nilai determinan
akan menjadi k kali nilai deterrninan semula.
4. Bila dua buah baris atau kolom dari suatu determinan ditukar
tempatnya, maka determinan akan berubah akan tetapi nilai mutlaknya
tetap sama.
5. Jika dua baris atau kolom suatu determinan sama elemen-elemennya,
maka nilai determinan sama dengan nol.
6. Suatu determinan nilainya tidak akan berubah bilaelemen-elemen pada
suatu baris atau kolom dikalikan dengan suatu konstan kemudian
ditambahkan atau dikurangkan pada elemen-elemen dalam baris atau
kolom yang lain.

7. Determinan dari perkalian dua buah matriks sama dengan basil kali
determinan matriks-matriks tersebut agar AB = A B .
8. Determinan dari matriks diagonal adalah hasil kali elemen-elemen
diagonalnya.
TES FORMATIF 3
1) Determinan dari
A. 8
B. 2
C. 0
D. -2
1 9 12
2) Determinan dari 0 0 1 adalah ....
4 3 15
A. 33
B. 27
C. 9
D. 0
3 1 15
3) Determinan dari 13 70 39 adalah ....
6 2 18
A. 60
B. 39
C. 15
D. 0

1.72
4) Akar dari persamaan:
3x + 5y = 32
4x + 2y = 26
adalah ....
A. x=5;y=4
B. x = 4; y = 5
C. x = -1; y = 7
D. x = 7; y =-1
5) Akar dari persamaan:
2x + 2y + z = 17
x + 3y + 4z = 18
y + lOz = 13
adalah ....
A. x=5; y=4;z=l
B. x = 3; y = 5; z = 2
C. x = 5; y = 3; z = 1
D. x = 4; y = 1; z = 3
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum
dikuasai.

e ESPA4222/MODUL 1
Tes Formatif 1
1) D
2) B
3) D
4) c
5) B
6) A
7) D
8) A
9) B
10) D
Tes Formatif2
1) c
2) B
3) A
4) B
5) D
Tes Formatif 3
1) D
2) A
3) D
4) B
5) c
1.73
Kunci Jawaban Tes Format if

Daftar Pustaka
Baldani, Jeffrey, James Bradfield, and Robert Turner. Mathematical Economics.
The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.
Dowling, Edward T. Introduction to Mathematical Economics 2nd. Schaum's
Outline Series, McGraw-Hill.
Haeussler, Ernest F., and Richard S. Paul. Introductory Mathematical Analysis
for Bussiness Economics and The Life Social Science. Eight Edition.
Prentice Hall Internasional, Inc.
Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees, and Thanasis
Stengos. Mathematicsfor Economics. Addison-Wesley Publisher Limited.
Jacques, Ian. Mathematical for Economics and Business. Second Edition.
Addison-Wesley Publishing Company.
Weber, Jean D. Mathematical Analysis: Business and Economic Aplication.
New York: Harper & Row, Inc.

MDDUL 2
lnvers Matriks dan Input-Output
PENDAHULUAN- - - - - - - - - - - - - - - -
istem persamaan linier simultan adalah masalah yang sering dijumpai dalam
ilmu ekonomi. Banyak cara yang dapat digunakan untuk memecahkan
masalah tersebut. Salah satu di antaranya adalah dengan menggunakan invers
matriks. Dalam modul ini Anda akan mempelajari bagaimana caranya
menghitung invers dari suatu matriks dan mempelajari kaidah-kaidah yang
berlaku untuk invers. Masalah yang sering menyulitkan dalam melakukan
invers adalah pada matriks dengan dimensi yang besar. Untuk mengatasi hal
tersebut pada modul ini disajikan cara untuk memisahkan matriks yaitu
memecah matriks yang berdimensi besar menjadi matriks-matriks berdimensi
lebih kecil sehingga lebih mudah untuk dioperasikan.
Untuk menghitung invers suatu matriks diperlukan pengetahuan
menghitung detenninan dan menguraikan matriks dengan cara kofaktor yang
sudah dibicarakan pada modul-modul sebelumnya. Pengetahuan mengenai
invers dari suatu matriks ini menjadi dasar untuk mempelajari tabel input-
output, cara membaca tabel input-output dan carapenggunaan tabel input-output
di dalam analisis ekonomi. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapl(an
mampu untuk menghitung invers matriks dan dapat melakukan analisis input-
output.
Agar Anda tidak mengalami kesulitan dalam memahami analisis input-
output ini, maka Anda harus menguasai lebih dahulu bagian-bagian dari
matriks, seperti tranpose matriks, perkalian matriks, inversi matriks, dan
determinan.
Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk:
1. menghitung invers dari suatu matriks;
2. menerapkan kaidah-kaidah invers;
3. menghitung matriks Leontief Inverse;
4. menganalisis pengaruh perubahan suatu sektor produksi terhadap sektor-
sektor lain;

5. menghitung nilai tambah dan pendapatan nasional;
6. menghitung matriks Leontief Inversi.

KEGIATAN BELAJAR 1
A. INVERS
Bila ada dua buah matriks yaitu matriks:
maka:
dan
0 1
danB =
1/ 2 - 3/ 2
3 2
1 0
x
0 1
0 1
1/ 2 -3 / 2
1/ 2 - 3 / 2
1 0
0 1
1 0
0 1
Invers Mat riks
Pada kedua matriks di atas dapat dilihat bahwa terdapat hubungan:
A nxn B nxn = In = B nxn A nxn
(Pada contoh di atas n = 2)
Apabila selain matriks A yang berdimensi n x n terdapatjuga matriks lain yaitu
B dengan dimensi n x n dan hasil perkaliannya merupakan matriks identitas
berdimensi n, maka B dikatakan sebagai kebalikan atau invers dari A dan
ditulis:
B = A-1
dan berlaku hubungan:
AB = I = BA
Kebalikan atau invers dari suatu matriks bisa diperoleh melalui cara yang sama
dengan kalau kita melakukan pembagian pada aljabarbiasa. Dalam aljabar biasa
pembagian antara dua bilangan p dan q hasilnya sama dengan perkalian antara p
dan kebalikan q, atau

-1
= pq
Setiap bilangan yang bukan nol mempunyai kebalikannya dan bilangan nol
tidak memiliki kebalikannya. Demikian juga pada matriks, matriks bujur
sangkar mempunyai kebalikan atau inversi, kecuali matriks nol. Suatu matriks
yang ada inversnya disebut dengan matriks nonsingular dan matriks yang tidak
ada inversnya disebut matriks singular.:.
Invers dari suatu matriks sangat berguna untuk mendapatkan penyelesaian
suatu sistem persamaan linear simultan. Persamaan-persamaan tersebut banyak
dijumpai dalam model-model ekonomi dan masalah programasi linear. Suatu
contoh, sistem persamaan linear berikut ini.
a 11 X 1 + a 12 X2 + a 13 X3 + .... + a 1n Xn = C1
a21 X 1 + a 22 X 2 + a23 X3 + .... + a 2n Xn = C 2
• • • • •
• • • • •
• • • • •
dapat ditulis dengan menggunakan matriks, menjadi
•••
• • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
a mn
atau Amxn X nx1 = Cmx1
Bila m = n dan A mempunyai invers yang berarti juga A merupakan matriks
bujur sangkar dan nonsingular, maka persamaan linear simultan dapat disajikan
sebagai berikut:
A nxn Xnx1 = C nx1
dan penyelesaiannya:
X nxl = Anxn-l Cnxl

Masalah ini akan dibahas lebih mendalam lagi dalam kegiatan belajar
selanjutnya.
Untuk n = 2, yaitu untuk persamaan simultan yang terdiri dari dua
persamaan dengan dua bilangan yang tidak diketahui, maka:
a11 x1+ a12x2= C2
a21 X1+ a22 x2 = C2
Persamaan tersebut di atas dapat ditulis:
a11 a12 X1 cl
a11 a12 X2 c 2
atau A2x2 X2x1 = C2x1
Persoalannya sekarang adalah mencari berapakah A2x2-1
dan
1 bl! bl2
misalkan A- ditunjukkan oleh B =
h21 h22
maka menurut definisi, AB = I, atau
a11 a12 h11 h12 1 0
a11 a12 h21 h22 0 1
sehingga
a11 bll + a12 h21 a11 bl2 + a12
a11 bll + a12 h21 a11 bl2 + a12
dan
a11 b11 + a12 h21 = 1
a11 b12 + a12 h22 = O
a21 b11 + a22 h21 = O
a21 h12 + a22 h22 = 1
h22 1 0
h22 0 1

Bila keempat persamaan di atas diselesaikan dengan aljabar biasa, maka
diperoleh
b11 = ___a_22__
a11 a22 - a21 ai2
-a21
b21= - - - - -
-a12
b12= - - - - -
b22 = ___a_11__
Perhatikan bahwa penyebut dari empat pecahan tersebut sama yaitu a11 a22 - a21
a12 dan merupakan determinan matriks A.
Dengan demikian, bila determinan A = 0, maka nilai bij tidak terdefinisi
sehingga A-1
tidak dapat dicari. Jadi suatu matriks bujur sangkar mempunyai
invers jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol.
Contoh 2.1:
Tentukan invers matriks
- 1 3
2 7
- 1 3
2 7
= -7-6 = -13
karena determinan tidak sama dengan nol, maka matriks tersebut ada inversnya.

2.6
7
b 11 = - -
13
2
b 21 = -
13
3
b 12= -
13
Contoh 2.2:
Tentukan invers matriks A =
0 1
A = = - 1
1 5
karena A * 0, maka A-1
ada.
b11 = -5
b 21 = 1
b12 = 1
b 22 = 0
Jadi:
- 1
0 1 - 5 1--
1 5 1 0
0 1
1 5

Contoh 2.3:
Tentukan invers matriks:
Bl=
2 3
4 6
Karena IBI= 0, maka bij tidak dapat ditentukan dan B-1
tidak ada.
Pada dasamya, invers dari matriks nonsingular dengan dimensi lebih dari
dua, dapat dicari dengan cara tersebut di atas. Akan tetapi dapat juga dilihat
bahwa untuk mendapatkan invers dari suatu matriks yang berdimensi 3x3 atau
lebih kita akan berhadapan dengan pekerjaan yang membosankan. Kita tidak
perlu khawatir karena ada cara lain yang dapat digunakan untuk menghitung
invers dari suatu matriks. Metode ini lebih enak untuk digunakan karena matriks
dengan dimensi yang besar dapat dicari invers matriksnya dengan
hitungan-hitungan yang lebih sederhana dibandingkan kalau invers tersebut
dicari dengan carayang baru saja kita diskusikan. Invers dari suatu matriks yang
hendak dicari bisa didapat dengan menggunakan rumus:
1
A-1
= adj A
A
Rumus di atas digunakan untuk menghitung invers dari matriks A dengan
melibatkan penghitungan determinan Adan adjoin matriks A. Sudah barang
tentu invers hanya dapat dihitungjika matriks A nonsingular yaitujika A * 0.
Matriks singular atau matriks yang nilai determinannya sama dengan nol tidak
dapat dihitung atau dicari invers matriksnya.
Mencari nilai determinan suatu matriks dan mencapai adjoin matriks sudah
kita bicarakan dalam modul-modul sebelumnya, sehingga semisal ada suatu
matriks A dengan dua dimensi:

2.8
Contoh 2.4:
1 2
A =
3 4
, maka
Mencari determinan A:
A = 4 - 6 = -2
mendapatkan adjoin A
C·· = (-1)1
+j M··IIJ IJ •
C 11 = 4
C 12 = -3
C 21 = -2
C 22 = 1
4 - 2
AdjA = Cij1
-
- 3 1
1 4 -2
A-1 = - -
2 - 3 1
-2 1
312 - 1/ 2
Contoh 2.5:

e ESPA4222/ MODUL 2
1 2 3
A = - 1 0 4
0 2 2
Al= 0 + 0 - 6 - 0 + 4 - 8 = -10
Determinan A dapat juga dicari dengan menguraikan kolom pertama:
0 4 2 3
Al= (-1)1+1 - (-1)2+i + 0
2 2 2 2
= (0 - 8) + (4 - 6) = -10
mendapatkan adjoin:
0
C11 = (-1)1+1
2
- 1 4
C12= (-1)1+2 = -(-2 + 0) = 2
0 2
- 1 0
C13 = (-1)1+3
= -2 + 0 = -2
0 2
2 3
C21 = (-1)2+1
2 2
= -(4-6) = 2
C22 = (-1)2+2
C23 = (-1)2+3
C 31 = (-1)3
+
1
1 3
0 2
1 2
0 2
2 3
0 4
= 2+0 = 2
= -(2 + 0) = -2
= 8 + 0 = 8
2.9

2. 1Q MATEMATIKA EKDNDMI DAN BISNIS e
1 3
C32 = (-1)3
+
2
4
= -(4 + 3) = -7
-1
21
C 33 = (-1)3
+
3
-1 0
- 8 2 - 2
cij = 2 2 -2
8 -7 2
=0 + 2=2
-8 2 8
Adj = (Cij)1
= 2 2 -7
- 2 - 2 2
A-1 = l adj A
A
- 8 2 8
1-- -- 2 2 -7
10
- 2 - 2
0,8 -0 2
'
- - 0 2 - 0 2
' '
0,2 0,2
Contoh 2.6:
1 4 -3
A = 1 - 3 5
2 1 2
2
-0 8
'
0,7
-0 2
'
Al= -6 + 40 - 3 - 18 - 8 - 5 = 0
Karena A matriks singular, maka invers matriks A tidak dapat dicari.
B. KAIDAH-KAIDAH INVERS

e ESPA4222/ MODUL 2 2. 11
Untu1c melakukan evaluasi terhadap matriks, kaidah-kaidah invers berikut
ini sering sekali digunakan.
1. lovers dari invers suatu matriks adalah matriks aslinya, atau
Contoh 2.7:
1 - 3 2
A = -3 3 -1
2 - 1 0
Determinan matriks A:
Al= 0 + 6 + 6 - 12 + 0 - 1
= -1
C 11 = -1
C 12 = -2
C 13 = -3
C 21 = -2
C 22 = -4
C 23 = -5
C 31 = -3
C32 = -5
C 33 = -6
Matriks Cij
- 1
c ij = - 2
- 3
- 2
- 4
- 5
Adj A = (Cij)1
=
- 3
- 5
- 6
- 1 -2 -3
- 2 - 4 - 5
-3 -5 -6

2.12
-1 -2
A-1= 1
adj A = _! - 2 - 4
A 1
- 3 - 5
Sekarang kita hitung [A-1
] -
1
Determinan A-1
:
-3
- 5
- 6
A-1
1= 24 + 30 + 30 - 36 - 24 - 25 = -1
C1 1 = -1
C12 = 3
C13 = -2
C 21 = 3
C 22 = -3
C 23 = 1
C 31 = -2
C 32 = 1
C 33 = 0
Matriks Cij =
-1 3 -2
cij = 3 - 3 1
-2 1 0
-1 3
Adj A-1
= (Cij)1
= 3 - 3
-2 1
Invers A-1:
- 1 3
[ A-1J-1 1
3 - 3-- - -
1
- 2 1
I - 3 2
- - 3 3 - 1
2 - 1 0
-2
1
0
- 2
1
0
1 2 3
2 4 5--
3 5 6

2. Determinan dari suatu invers matriks sama dengan kebalikan
determinan matriks tersebut, atau
Contoh 2.8:
-0,4 0,2 0,4
A = 0,2 0,4 - 0 2
'
0,6 -0,8 0,4
Al= -0,064 - 0,024 - 0,064 - 0,096 - 0,016 + 0,064 = -0,2
C11 = 0
C12 = -0,2
C1 3 = -0,4
C 21 = -0,4
C22 = -0,4
C23 = -0,2
C 31 = -0,2
C 32 = 0
C 33 = -0,2
0
cij = - 0 4
'
- 0 2
'
adj A = C~. =IJ
- 0 2
'
- 0 4
'
0
0
- 0 2
'
-0 4
'
- 0 4
'
- 0 2
'
- 0 2
'
- 0 4
'
- 0 2
'
- 0 4
'
0
- 0 2
'
- 0 2
'

2.14
0 -0 4 -0 2
' '1A-1= - - 0 2 - 0 4 0
' '0,2
- 0 4 - 0 2 - 0 2
' ' '
0 2 1
A-1
= 1 2 0
2 1 1
A-1
1 = 0 + 0 + 1 - 4 - 2 + 0 = -5
1
padahal IAI= -0,2 = -
5
3. Invers dari transpose suatu matriks sama dengan transpose dari invers
matriks tersebut atau
Contoh 2.9:
Misalkan:
1 1 1
A = 3 3 4
3 4 3
1 3 3
A1
= 1 3 4
1 4 3
A1
= 9 + 12 + 12 + -9 - 9 - 16 = -1
C1 I = -7

e ESPA4222/ MODUL 2
C12 = 1
C13 = 1
C 21 = 3
C22 = 0
C 23 = -1
C 31 = 3
C32 = -1
C 33 = 0
- 7 1 1
Cij = 3 0 - 1
3 - 1 0
- 7 3 3
Adj (A') = 1 0 - 1
1 - 1 0
7 -3 -3
[A']-1
= - 1 0 1
-1 1 0
Sekarang kita mencari [A-1
]
1
1 1 1
A = 3 3 4
3 4 3
Al= 9 + 12 + 12 - 9 - 9 - 16 = -1
C11 = -7
C12 = 3
C13 = 3
C21 = 1
C 22 = 0
2.15

2.16
C 23 = -1
C 31 = 1
C 32 = -1
C 33 = 0
-7 3 3
Cij = 1 0 - 1
1 - 1 0
- 7
Adj A = 3
3
1 1
0 - 1
- 1 0
7
A-1
= - 3
-3
-1 -1
0 1
1 0
7 - 3 - 3
[ A-1
] ' = - 1 0 1
-1 1 0
Bandingkan dengan [ A']-
1
4. Invers dari perkalian dua matriks hasilnya sama dengan perkalian
invers dari matriks-matriks tersebut, atau
[AB]-' = B-1 A-1
Contoh 2.10:
-1 0 2 2 1 0
Misalkan A = 0 1 1 B = 1 - 1 0
-2 0 2 0 2 1

e ESPA4222/ MODUL 2
- 2 3 2
AB = 1 1 1
- 4 2 2
IABI = -4 - 12 + 4 + 8 - 6 + 4 = -6
0 - 2 1
Adj (AB] = -6 4 4
6 -8 - 5
0 - 2 1
[AB]-' = __!_ - 6 4 4
6
6 - 8 -5
2 1 0
B = 1 - 1 0
0 2 1
IBI= -2 + 0 + 0 + 0 - 1 + 0 = -3
-1 - 1 0
Adj B = - 1 2 0
2 - 4 - 3
-1 - 1
B-1= __!_ -1 2
3
2 - 4
- 1 0 2
A= 0 1 1
- 2 0 2
0
0
- 3
IAI = -2 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 2
2.17

2. 18 MATEMATIKA EKDNOMI DAN BISNIS e
2 0 - 2
Adj A = - 2 2 1
2 0 - 1
1
2
2 0 -2
1- 2 2
2 0 - 1
-1 -1
1
- -- - 1 2
0
0
3
1-- --
6
2 -4 -3
0
- 6
6
- 2 1
4 4
- 8 5
•
2 0 - 2
1
- 2 2 1
2
2 0 - 1
--- LATI HAN~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Tentukan invers dari matriks berikut:
1) A=
2) B =
2 1
5 3
4 9
8 18

e ESPA4222/MODUL 2
3) Berapakah adjoin A bila diketahui
1 0 1
A = 0 2 1
3 1 2
4) Dapatkan invers matriks:
1 2 4
A= 4 0 1
3 1 2
5) Hitung invers matriks:
1 2 -2
B = 4 1 - 8
2 1 -4
2 1
1) A =
5 3
A = 6 - 5 = 1
3 - 5
C··=
lJ - 1 2
Adj A =
3 -1
- 5 2
1 3 -1
A-1 = -
1 -5 2
3 - 1
-5 2
2.19

2) B =
8 18
4 9
B = 72-72 = 0
B merupakan matriks singular dan inversnya tidak dapat ditentukan.
1 0 1
3) A = 0 2 1
3 1 2
A = 4 + 0 + 0 - 6 + 0 - 1 = -3
2 1
C11= =4 - 1=3
1 2
0 1
C12 = - = 0 + 3 = 3
3 2
0 2
C13 = = 0 - 6 = -6
3 1
0
C21 = -
1
1 1
C22 = = 2 - 3 = -1
3 2
1 0
C23 = - = -1 + 0 = -1
3 1
0 1
C31 = = 0 - 2 = -2
2 1

e ESPA4222/ MODUL 2
1 1
C 32 = - = -1 + 0 = -1
0 1
3 3 -6
cij = 1 - 1 - 1
- 2 - 1 2
Adjoin A = c..IJ
1 2 4
4) A = 4 0 1
3 1 2
I
-
-
-1 0
- 5 - 10
4 5
2
15
-8
A = 0 + 6 + 16-0-16-1 = 5
C11 = -1
C12 = -5
C 13 = 4
C21= 0
C22 = -10
C23 = 5
C31 = 2
C 32 = 15
C33 = -8
- 1
cij = o
2
- 5 4
- 10 5
15 - 8
2.21

2.22
-1 0 2
I
AdJ. A = C.. = -5 -10 15IJ
- 1
A-1 = _!_ = - 5
5
4
1
0--
5
A-1 = -1 -2
4
1
5
1 2 - 2
5) B = 4 1 -8
2 1 -4
4 5 - 8
0 2
- 10 15
5 - 8
2
5
3
8
--
5
B = -4 - 32 - 8 + 4 + 32 + 8 = 0
MATEMATIKA EKDNOMI DAN B I SN I S e
Karena B = 0, matriks B adalah matriks singular dan invers matriks B
tidak dapat dihitung.
RA N G KU M A
Bila ada dua matriks yakni Adan B yang memenuhi hubungan Anxn
Bnxn = In = Bnxn Anxn, maka B dikatakan sebagai kebalikan atau invers
matriks A, dan dapat ditulis
Suatu matriks mempunyai invers bila nilai determinannya tidak sama
dengan nol dan matriksnya disebut nonsingular. Bila nilai determinannya
sama dengan nol, maka inversnya tidak dapat ditentukan dan matriksnya
disebut matrik.s singular.
Invers suatu matriks A yang nonsingular dapat dicari dengan
menggunakan rumus:

e ESPA 4 222/M DDUL 2
1
A-1
= adj A
A
Kaidah-kaidah invers:
1. [A-1
J-1
= A
2. A-1 = 1
A
3. [A']-1
= [A-1
] '
4. [AB]-
1
= B-1
A-1
I
- I TES FDRMATIF 1
Bila diketahui:
-3
1
X=
4
5
Maka:
B.
2 -5 0
- 3 - 1 2
0 3 1
1 0 1
0 0 0 4
0 0 1 0
-5 1 2 -1
0 1 0 0
3 -2 0
- 1 3 1
Y=
- 4 1 - 1
1 0 0
2.23
1
2 1 1 1 2
Z=
-2 3 -2 0 0
- 1

C.
0 0 -5 1
0 1 2 4
0 0 0 -1
6 1 0 0
3) X - 2Y

-9 6 - 5 -2
3 - 9 - 3 -2
A.
12 -2 5 5
3 1 0 3
9 6 - 5 -2
3 9 - 3 -2
B.
12 -2 5 5
3 1 0 3
-9 6 - 5 -2
3 - 9 - 3 -2
C.
2 - 12 5 5
3 1 0 3
-9 6 - 5 -2
3 - 9 - 3 -2
D.
12 -2 0 3
3 1 5 5
4) X'
3 - 1 4 - 5
2 - 3 0 1
A.
- 5 - 1 3 0
0 2 1 1
- 3 1 4 5
2 - 3 0 1
B.
- 5 - 1 3 0
0 2 1 1

2.26
C.
D.
5) Y' =
A.
B.
C.
D.
6) Z' =
- 3 1 --4 5
2 3 0 1
5 - 5 3 0
0 2 5 1
-3 1 --4 0
2 -3 0 1
- 5 - 1 3 0
0 2 1 1
3 - 1 --4 1
-2 3 1 0
0 1 - 1 0
1 2 -2 - 1
3 - 1 --4 1
-2 3 - 1 0
0 1 1 0
1 2 2 - 1
3 - 1 --4 1
-2 3 0 1
0 1 0 - 1
1 2 -2 - 1
3 - 1 --4 1
-2 - 3 1 0
0 1 - 1 0
1 2 2 - 1

e ESPA4222/MODUL 2
D.
7) ZX=
A.
C.
D.
1 3
1 -2
0 1
2 2
12 1 -3 5
-1 12 -13 -4
12 1 -3 5
-11 12 -13 -4
12 1 -3 5
- 11 12 - 13 - 4
2.27

8) ZY=
0 2 0 - 1
A.
11 -12 -2 -1
1 0 0 -1
B.
11 - 12 - 2 - 1
C.
0 0 0 -1
11 - 12 - 2 - 1
11 0 0 -1
D.
0 - 12 - 2 - 1
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
dikuasai.

..
KEGIATAN BELAJAR 2
Input - Out put
nalisis input-output adalah suatu model atau cara yang untuk pertama
kalinya ditemukan oleh Leontief. Analisis input-output bertujuan untuk
melacak arus produksi dari berbagai sektor produksi, sejak dari bahan mentah,
barang setengah jadi sampai menjadi barang akhir. Dengan mengetahui arus
produksi, maka dapat dipelajari pengaruh perubahan salah satu faktor produksi
kepada barang akhir yang berhubungan.
Perlu pula diketahui bahwa melacak arus produksi tidaklah sesederhana
yang kita bayangkan. Karena pada kenyataannya satu barang input (faktor
produksi) sering tidak hanya dipakai untuk memproduksi suatu barang, tetapi
mempunyai sifat multiguna. Demikian pula halnya dengan barang produksi
(output) suatu sektor, kadang-kadang bagi sektor produksi lainberperan sebagai
faktor produksi.
Contoh:
Produksi padi memerlukan input berupa tenaga kerja. Akan tetapi tidaklah
produksi padi saja yang memerlukan tenaga kerja sebagai faktor produksi. Di
lain pihak, pada sektorpertanian, padi mungkin adalah merupakan output. Akan
tetapi bagi sektor industri makanan bisa jadi padi merupakan faktor produksi
(input).
Arus produksi sejak berupa input sampai berupa output, dapat dilacak
dengan menggunakan analisis input-output ini. Pada analisis input-output akan
digunakan alat, berupa tabel yang disebut tabel transaksi input-output. Tabel
transaksi input-output di samping dapat menggambarkan arus produksi dari
input sampai output, juga dapatmenggambarkan hubungan produksi satu sektor
dengan sektor yang lain. Sehingga dengan tabel ini nanti dapat diketahui/dilacak
pengaruh suatu perubahan permintaan barang akhir tertentu pada salah satu
sektor terhadap produksi barang di sektor-sektor lainnya dan selanjutnya dapat
diketahui pengaruhnya pada perekonomian secara keseluruhan atau pada GDP.
Dalam beberapa hal, pendekatan melalui analisis input-output lebih sempuma
dari pada pendekatan GDP secara berdiri sendiri. Karena pada GDP tidak

tercermin hubungan sektoral secara eksplisit. Sehinggauntuk keperluan analisis
perekonomian secara sektoral, analisis input-output ini lebih sering dipakai.
Tabel Transaksi
Tabel transaksi adalah salah satu cara untuk mengorganisir data produksi
secara sektoral. Tabel ini menunjukkan hubungan transaksi antara satu sektor
dengan sektor yang lain secara menyeluruh dan konsisten. Hubungan transaksi
antarsektor menunjukkan suatu kenyataan bahwa satu sektor biasanya
memerlukan input (faktor produksi) yang berupabahan mentah yang merupakan
produk (output) sektor lain. Tabel transaksi biasanya dinyatakan dalam satuan
uang. Tabel transaksi juga menunjukkan berapa output suatu sektor, berapa
bagian dari output ini dijual kepada sektor-sektor produksi lain sebagai bahan
mentah bagi sektor-sektor ini dan berapa yang habis "dikonsumsikan" oleh
sektor-sektor non produksi (seperti sektor rumah tangga).
Berikut ini adalah contoh suatu tabel transaksi untuk suatu perekonomian
dengan 3 sektor, yaitu sektor pertanian, sektor industri dan sektor jasa.
Tabel 2. 1.
Tabel Input OJtput Negara X, 2005 (Dalam milyar fiJ)
Sektor-sektor Pertanian Industri
Pertanian
Industri
Jasa
Nilai tambah
Output total
20
5
4
43
72
19
81
37
95
232
Jasa
3
35
39
105
182
Cara membaca tabel itu adalah sebagai berikut.
1. Dibaca mendatar
Permintaan
akhir
30
111
102
243
Output Total
72
232
182
486
Baris pertama menyatakan bahwa output total sektor pertanian adalah
sebesar 72. Dari jumlah 72 itu, 20 di pergunakan sendiri oleh sektor
tersebut sebagai inputnya (misal: untuk bibit, percobaan, dan sebagainya);

19 dibeli oleh sektor industri untuk bahan mentahnya (misalnya: untuk
dibuat roti atau obat); 3 dibeli oleh sektor jasa untuk bahan mentahnya
(misalnya untuk keperluan hidangan pasien di rumah-rumah sakit); dan
sisanya sebanyak 30 dikonsumsikan langsung oleh sektor-sektor lain yang
dianggap non produktif (misal sektor rumah tangga). Tentu saja hal ini
adalah penyederhanaan dari tabel yang sebenamya. Karena pada tabel di
atas kita menganggap bahwa selain sektor-sektor pertanian, industri dan
jasa adalah sektor yang tidak produktif; padahal kita ketahui bersama
bahwa masih ada sektor-sektor produktifyang lain.
Baris kedua dibaca sebagai berikut:
Produksi total sektor industri sebanyak 232; sebanyak 5 dibeli oleh sektor
pertanian; 81 dipakai oleh sektor lndustri sendiri sebagai bahan mentah; 35
digunakan oleh sektor jasa dan sisanya sebesar 111 dikonsumsikan oleh
sektor-sektor non produksi.
Baris ketiga dibaca sejalan dengan baris di atasnya.
Baris keempat menunjukkan besamya nilai tambah_yang dihasilkan oleh
masing-masing sektor, yaitu: 43 dihasilkan oleh sektor pertanian, 95 oleh
sektor industri dan 105 oleh sektor jasa.
Baris terakhir menunjukkan nilai output total masing-masing sektor
tersebut.
2. Apabila di baca menurun atau mengikuti masing-masing kolom maka kita
akan dapatkan nilai output total masing-masing sektor yang dipecah
menurut macam/dan banyaknya faktor produksi (input) yang dipergunakan
untuk itu.
Kolom pertama dapat dibaca sebagai berikut:
Nilai output total sektor pertanian sebanyak 72; Nilai sebanyak itu
diproduksi dengan menggunakan faktor produksi (input) sebanyak 20 dari
sektor pertanian sendiri; sebanyak 5 berasal dari sektor industri; sebanyak 4
berasal dari sektor Jasa dan sisanya sebanyak 43 adalah "nilai tambah"
yang dihasilkan oleh sektor tersebut.
Kolam kedua dibaca sebagai berikut:
Hasil produksi total sektor industri adalah senilai 232; dari jumlah itu 19
berupa input dari sektor pertanian; 81 berupa input dari sektor sendiri yaitu
sektor industri 37 berupa input dari sektor jasa dan sisanya sebanyak 95
adalah ''nilai tambah" yang dihasilkan dari proses produksi di sektor
industri tersebut.

Perhatikan bahwa apabila kita menjumlahkan kolom. Permintaan Akhir
untuk semua sektor akan kita peroleh angka yang sama dengan penjumlahan
''nilai tambah" untuk semua sektor. Ini sudah seharusnya demikian, karenanilai
GDP bisa diperoleh dengan dua cara sebagai berikut.
1. GDP = I nilai tambah semua sektor
2. GDP = I permintaan akhir setiap sektor = C + I+ G + X - M
Tabel di atas dapat dituliskan sebagai berikut.
Tabel 2. 2.
Sektor-sektor Pertanian lndustri Jasa
Permintaan
Output Total
Akhir
Pertanian X11 X12 X13 d1 X1
Industri X21 X22 X23 d2 X2
Jasa X31 X32 X33 d3 X3
Nilai tambah v -
Output total x
Atau apabila dianggap bahwa perekonomian terdiri atas industri (sektor)
dan masing-masing industri (sektor) hanya memproduksi satu jenis output,
maka tabel di transaksi ditulis sebagai berikut.
Sektor-
I 2 3 4 ... n
Permintaan Output
sektor Akhir Total
1 X11 X12 X13 X14....X1n di X1
2 X21 X22 X23 X24....X2n d2 X2
3 X31 X32 X33 X34....X3n d3 X3
4 X41 X42 X43 X44....X4n d4 X4
• • • • • • •
• • • • • • •
n Xn1 xn2 Xn3 Xn4 ··.Xnn dn Xn
Nilai tambah V1 V2 V3 V4 ....Vn GDP
Output total X1 X2 X3 X4 ..... Xn
xij = jumlah output sektor (i) yang diperlukan oleh sektor (j)

di = permintaan akhir atas output sektor (i)
LATI HAN
kerjakanlah latiban berikut!
1) Apabila diketal1ui tabel transaksi sebagai berikut :
Tabel lnput-Q.Jtput Negara A: 2007
(dalam j uta rupiah)
Sektor-sektor Pertanian Industri Jasa
Permintaan
Akhir
Pertanian 11 19 1 10
Industri 5 89 40 106
Jasa 5 89 37 106
Nilai tambah 20 95 107 222
Output total 41 240 185
Ditanyakan :
Output
Total
41
240
185
466
a) Berapakah nilai output sektor pertanian yang dipakai sebagai input
sektor itu sendiri?
b) Berapakah nilai output total sektor jasa?
c) Berapakah nilai dari sektor jasa yang dialokasikan untuk pembelian
input dari sektor Industri?
d) Berapakah nilai tambah yang berasal dari sektor Industri?
e) Berapakah nilai output sektor pertanian yang dipakai oleh konsumen
terakhir (dipakai oleh sektor non produktif)?
f) Berapakab nilai pendapatan Domestik Bruto negara A?
2) Pilihlahjawaban yang benar, perhatikan kembali tabel di atas. Apabila dari
produksi sektor industri sebesar 240 itu ada sebanyak 56 digunakan oleh
sektor transportasi, maka angka itu akan:
a) Tidak termasuk di dalam tabel transaksi.

b) Termasuk di dalam "permintaan akhir" akan barang-barang industri
tetapi tidak terlihat secara eksplisit.
3) Pilihlah (B) jika betul dan pilihlah (S) jika salah.
a) B - S Sumbangan sektor pertanian kepada GDP adalah sektor nilai
tambah sektor pertanian (=20).
b) B - S Permintaan akhir adalah pemakaian barang-barang produksi
oleh sektor-selctor non produktif.
1)
2)
3)
a) 11
b) 185
c) 89
d) 95
e) 10
t) 222
b
a) B
b) B
RANG KU MA
Analisis input-output adalah metode untuk melacak arus produksi
barang sejak dari awal berupa faktor produksi, sampai berupa barang akhir
(produksi barang akhir). Dasar pengoperasian input-output dimulai dari
tabel transaksi antarsektor.
, TES FORMATIF 2
1) Tabel transaksi adalah tabel yang menunjukk:an ....
A. transaksi antar sektor, secara menyeluruh dan konsisten
B. transaksi semua sektor, seca1·a menyeluruh dan konsisten
C. transaksi sebagian sektor, dan tidak menyeluruh serta konsisten
D. hubungan antar output secara menyeluruh dan konsisten.

2) Koefisien input (~j) adalah ....
A. jumlah output sektor (i) yang diperlukan sebagai bahan mentah untuk
menghasilkan satu unit output di sektor (j)
B. rasio antara "jumlah output sektor (i) yang dibeli oleh sektor (j)" dibagi
"output total sektor (i)"
C. jumlah output total sektor (i) yang dihasilkan oleh bahan mentah di
sektor (j)
D. "jumlah output sektor (i) yang dibeli oleh sektor (j)"
3) Pada tabel input-output, Xij adalah jumlah ....
A. input sektor (i) yang diperlukan oleh sektor (j)
B. input sektor (j) yang diperlukan oleh sektor (i)
C. output sektor (i) yang diperlukan oleh sektor (j)
D. sektor (j) yang diperlukan oleh sektor (i)
4) Permintaan akhir berarti permintaan dari ....
A. produsen terakhir yang tidak produktif
B. konsumen terakhir yang tidak produktif
C. konsumen terakhir yang produktif
D. produsen terakhir yang produktif
5) Nilai tambah adalah ....
A. = [I Xij - Xj ]. i, j = 1, 2, 3
B. = [Xj -I~Xij]. i, j = 1,2, 3
c. = [ ~xj +I x ij]. i, j = 1, 2, 3
n. = [ x j - I xij]. i, j = 1, 2, 3
Cocokkanlahjawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian,
Tingkat penguasaan = - - - - - - - - - - x 100%
Jumlah Soal

80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
dikuasai.

KEGIATAN BELAJAR 3
Leontief Matriks
eperti telah dikemukakan sebelumnya analisis input-output dapat
menentukan besamya produksi tiap-tiap industri apabila terdapat pembahan
permintaan akhir, dengan menganggap tidak ada pembahan stmktur ekonomi.
Untuk itu akan menjadi lebih mudah apabila angka-angka dalam tabel transaksi
disusun kembali ke dalam persamaan berikut ini.
X 11 + X12 + X 13 + ..... + X 1n + d 1 = X1
X 21 + X 22 + X 23 +..... + X 2n + d1 = X 2
X 31 + X 32 + X 33 + ..... + X3n + d 1 = X 3
• • • • •
• • • • •
• • • • •
X nl + Xn2 +Xn3 + ····· + Xnn + dn = X n
Apabila kemudian didefinisikan bahwa :
x.. •
1, 2,1 --
IJ • • • • • •
a.. -- •
1, 2,IJ
J
-
x . - • • • • • • • •
J
Maka:
(1)
n
n
aij adalah jumlah output sektor (i) yang diperlukan sebagai bahan mentah
untuk menghasilkan satu unit output di sektor (j). Bilangan aij itu disebut
"koefisien input".
Selanjutnya kelompok persamaan (1) tersebut di atas dapat ditulis kembali
sebagai berikut.

a11X1+ ai2X2+ a13X3+ ............+ ainXn + d1= X1
a21X1 + a22X2 + a23X3 + ..... ..... ..+ a2nXn + d2= X2
• • • • •
• • • • • (2)
• • • • •
Kelompok persamaan ini bisa di ubah menjadi:
(l-a1i) X1 - a12X2 - a13X3 - .··.·.·.. ··. - ai nXn
-a21X1 (1- a22) X2- a23X3 • • • • • • • • • • • •
• • • • •
• • • • • (3)
• • • • •
- ......... + (1- ~n) xi) = dn
Atau secara matriks dapat ditulis:
(1 - a,1 ) - a12 - a,3 ••••••• - a,n x 1 dl
- a21 (1- a22) -a23 •••••••• -a2n X2 d2
• • • • •
•
-
-
•
(4)
• • • • • •
• • • • • •
• ••••••
(I - A) (X) = (d)
Matriks ( I - A ) disebut matriks Leontief
Karena ( I - A ) (X) = (d)
Maka (X) = ( I - A )-1 (d)
Matriks (I - A )-1
adalah matriks terpenting di dalam analisis input - output,
dan disebut matriks '' Leontief - Inverse ''.

Misalkan:
(I - A)-1
= B = [Bij]
i, j = l , 2, 3, ..... ... n
Maka : [X] - [BJ [d]
Xl B ll B l2 · · B ln d l
X2 B 21 B 22 · · B 2n d 2
• • • • • • •
-- •
• • • • • • •
• • • • • • •
• • • •
• • • •
• • • •
Misalnya ''permintaan akhir'' atas barang X1 ( = d1) meningkat dengan satu unit,
menjadi (d1 + 1) sedang hal - hal lain tetap, maka output (X) akan berubah
jumlahnya menjadi (X*) ; sehingga:
• • • •
• • • •
• • • •
Sehingga besamya tambahan output sebagai akibat bertambahnya atau
berkurangnya permintaan akhir X1 (= d1) sebesar 1 unit adalah:

*X 1
- X 1 = B 11
x; -X2= B21
• •
• •
• •
x* -X = B 1n n n
Yang tidak lain adalah kolom ke 1 dari matriks : [ B ] = (I - A) -I sehingga
disimpulkan bahwa : ~d1 berakibat atas nilai Xsecara keseluruhan yaitu sebesar
•
•
•
•
•
Dan ~d2 akan mengakibatkan perubahan total output sebesar
•
•
•
Demikian pula halnya ~ dn akan mengakibatkan perubahan output total X
sebesar:

e ESPA4222/MODUL 2
~X1 = Bin ~dn
~X2 = B2n ~dn
•
•
•
2.41
Koefisien Bij ( i, j, = 1, 2, 3, ... n) menunjukkan pengaruh total, baik langsung
maupun pengaruh tidak langsung, dari setiap unit perubahan [d] terhadap X 1,X2,
dan X3.
Contoh:
Misal pada suatu negara terdapat tiga industri A, B, dan C. Transaksi antara
industri di dalam negeri dapat dilihat pada tabel di bawah ini :
Sektor-sektor A B c Permintaan Total
akhir Output
A 100 25 250 105 480
B 75 110 210 105 500
c 300 175 450 75 1.000
Nilai Tambah 5 190 90 285 -
Total
480 500 1.000 1.980-
Output
Ditanyakan bentuk matriks koefisien inputnya?
Jawab:
x..
a.. = •J untuk i = 1, 2, 3 dan J. = 1, 2, 3.
IJ x .
J

X11 100 X12 25 a = x l3 = 250aii = - ai2 = -- -
480 ' 500 ' 13
x 1000x 1 X2 3
X21 75 X21 110 X23 210a - - a?2 = - a?3 = -- -21 - x - 480 ' 500 ' 1000- x - xx 1 3
X31 300 X32 175 X33 450
a31= - a32 = - a33 = X -- - -
480 ' 500 ' 1000XI x 2 3
Sehingga: matriks koefisien input adalah
100 25 250 10 5 1
480 500 1000 48 100 4
A =
75 110 210 5 11 21--
480 500 1000 32 50 100
300 175 450 10 7 45
480 500 1000 16 20 100
Bagaimana LEONTIEF MATRIKS-nya?
Jawab:
10 5 1-
1 0 0 48 100 4
(I-A) = 0 1 0
5 11 21
-
32 50 100
0 0 1
10 7 45
16 20 100
38 5 1--
48 100 4
5 39 21-- -
32 50 100
10 7 55
16 20 100

Contoh:
Pada suatu perekonomian hipotesis terdapat duajenis industri Adan B yang
terlihat pada tabel berikut ini.
Sektor-sektor A B Permintaan Akhir
A
B
Nilai Tambah
Total
Output
Pertanyaan:
500
320
180
1000
350
360
90
800
1) Tentukan matriks koefisien input A?
2) Tentukan MATRIKS LEONTIEF
150
120
270
3) Tentukan MATRIKS LEONTIEF INVERSE
Total Output
1000
800
1800
4) Tentukan vektor output pada seluruh perekonomian apabila "permintaan
akhir" berubah menjadi 200 untuk Adan 100 untuk B.
Jawab:
x..
1) Koefisien input adalah ~j = •J (i,j = 1, 2, .... .... .n)
x .J
_ X11
500 1 _ x12
350 7
a11- = = - a12 - = = -
x1
1000 2 ' x2
800 16
a21 = x 21 - 320 - 8 a22 = x 22 = 360 = 9
X 1
1000 25 ' X 2
800 20
1 7
Jadi A=
2 16
8 9
25 20

2.44
2) Matriks Leontief adalah
1 7
1 0 2 16
(I - A)=
0 1 8 9
25 20
1 7
-
2 16--
8 11
25 20
3) Matriks Leontief invers adalah:
(I-A)-1
= l adj(I-A)
I - A
11 7
Adj (I-A) =
20 16
8 1
25 2
1 11 7 8 27
I -A= - . - --•
2 20 16 25 200
Jadi (I - A)-1 =
2
00
27
11 7
20 16
8 1
25 2
Dari sini, dapat ditentukan juga:
[X] =(I -A)-1[d] = 200
27
11 7
20 16
8 1
25 2
150
120
-
1000
800
4) Vektor output pada seluruh perekonomian apabila "permintaan akhir"
200
berubah menjadi 200 untuk Adan 100 untuk B, maka berarti [d1] =
100

e ESPA4222/ MODUL 2
Catatan:
Diketahui "permintaan akhir" mula- mula
[do] =
150
120
200
[~d] = [d1]-[do] = lOO -
150 50--
120 - 20
2.45
Besamya vektor output total apabila permintaan akhir sebesar [d], adalah:
[X] = (I - A)-1
[ d]
200
[X] =
7
11 7
20 16
8 1
25 2
200
100
1138~
9
844
4
9
Jadi temyata secara keseluruhan "output total" naik menjadi 1138
8
- untuk
9
industri A dan 844 ~ untuk industri B. Perubahan di atas diakibatkan oleh
9
adanya ~ d1 = 50 dan ~d2 = -20 secara bersama-sama.
Contoh:
Diketahui suatu perekonomian hipotetis yang terdiri atas tiga industri A, B, C
seperti terlihat pada tabel di bawah ini:
Sektor-sektor A B c Permintaan Total
akhir Output
A 90 150 225 75 540
B 135 150 300 15 600
c 270 200 300 130 900
Nilai Tambah 45 100 75 220 -
Total
540 600 900 2040-
Output

Pertanyaan:
Tentukan output vektor apabila permintaan akhir berubah menjadi:
1) 50 untuk A, 10 untuk B, dan 100 untuk C
2) 100 untuk A, 20 untuk B, dan 60 untuk C
3) 80 untuk A, 100 untuk B, dan 120 untuk C.
Jawab:
Koefisien input adalah sebagai berikut:
90 1 150 1 225 1
a - - -
11 - 540 - 6
a - - -
12 - 600 - 4
a - - -
13 - 900 - 4
135 I 150 1 300 1
a - - -
21 - 540 - 4
a - - -
22 - 600 - 4
a - - -
23 - 900 - 3
270 1 200 1 300 1
a - - -
31 - 540 - 2
a - - -
32 - 600 - 3
a - - -
33 - 900 - 3
1 1 1
-
6 4 4
Jadi A =
1 1 1
- -
4 4 3
1 1 1
- -
2 3 3
5 1 1
- - - - -
6 4 4
Matriks Leontief: [ I - A ] =
I 3 1
- - - -
4 4 3
1 1 2
- - - -
2 3 3
7 4 13
-
8 4 48
Inverse dari Leontief: [ I - A ]-1
=
864 1 31 49
-
109 3 72 144
11 29 6
24 72 16

Catatan ..
532 111 111 131 115 211
I - A = {(-.-.-) - (-.-.-) - (-.-.-)} - {(-.-.-) +(-.-.-) +(-.- .-)}
643 432 434 442 336 344
109
864
75
Jadi, untuk [d0] = 15 , maka
130
[X] = [I - A ]-1[do] = 864
109
50
1) Apabila [d1] = 10 , maka
100
[X] = [I-A]-1[d1] = 864
109
Jadi output total industri:
A = 388,62
B = 435,96 dan
c = 659,45
7
-
8
1
-
3
11
24
7
-
8
1
3
11
24
4 13
4 48 75 540
31 49
15 600--
72 144
29 6
130 900
72 16
4 13
4 48 50 388,62
31 49
10 435, 96--
72 144
100 659,45
29 6
72 16
Artinya, nilai output total industri A harus 388,62; industri B harus 435,96
dan industri C harus 659,45.

2.48
100
60
[X] = [ I - A ]-1 [d1] = 864
109
A = 476,70
B = 494,31 dan
c = 694,68
7
-
8
1
-
3
11
24
4 13
4 48 100 476, 70
31 49
20 494, 31--
72 144
29 6
60 694, 68
72 16
80
120
[X] = [I - A ]-1 [d1] = 864
109
A = 702,39
B = 876,33 dan
c = 1144,95
7
-
8
1
3
11
24
4 13
-
4 48 80 702,39
31 49
100 876, 33--
72 144
29 6
120 1144,95
72 16

LATI HAN
kerja.kanlah latihan berikut!
1) Pada suatu perekonomian diketahui terdapat tiga sektor, yang dapat dilihat
pada tabel berikut ini ( dinyatakan dalam juta Rp)
Sektor-
Pertanian Industri Jasa
Permintaan Total
sektor akhir Output
Pertanian 80 100 100 40 320
Industri 80 200 60 60 400
Jasa 80 100 100 20 300
Nilai
80 0 40 120 -
Tambah
Total
320 400 300 1020
Output
Pertanyaan:
a) Tentukan vektor output untuk seluruh perekonomian apabila
permintaan akhir akan output sektor pertanian berubah menjadi 120;
sektor industri menjadi 40 dan untuk sektor Jasa menjadi 10.
b) Tentukan juga vektor output seluruh perekonomian apabila
"permintaan akhir" berubah menjadi: 60 untuk sektor pertanian, 60
untul( sektor industri dan 60 untuk sektor Jasa.
2) Diketahui tabel transaksi antarindustri pada suatu perekonomian sebagai
berikut:
Sektor-sektor
A
B
Nilai Tambah
Total Output
A
14
7
7
28
(dalam ribu rupiah)
B
6
18
12
36
Permintaan
Akhir
8
1I
19
-
Total
Output
28
36
64

Pertanyaan:
Tentukan output masing-masing industri, apabila permintaan akhir berubah
menjadi
a) 16 untuk A, dan 3 untuk B
b) 2 untuk A, dan 4 untuk B
3) Diketahui tabel transaksi antar industri pada suatu perekonomian
Sektor-sektor
A
B
Nilai Tambah
Total Output
Pertanyaan:
A
150
200
250
600
(data di nyatakan dalam j uta $)
B
240
120
120
480
Permintaan
Akhir
210
160
370
-
Total
Output
600
480
-
1080
Tentukan output masing-masing industri apabila permintaan akhir berubah
menjadi sebagai berikut:
a) 100 untuk A dan 200 untuk B
b) 50 untuk A dan 60 untuk B
1) a)
*Apabila d
Maka
120
- 40
10
*X = [I - A]-1
d = 10,44
0, 28 0,25 0,22
0,22 0,42 0,23
0,19 0,25 0,31
120
40
10

e ESPA4222/MODUL 2
481, 74 A
- 469,57 - B
371, 74 c
Artinya:
output total sektor pertanian harus = 481,74
output total sektor industri harus = 469,57
ourput total sektor jasa harus = 371,74
60
b) Apabila d* = 60
60
maka
0,28 0,25 0,22 60
x = [I-A]-1
d * = 10,44 0,22 0,42 0,23 60
0,19 0,25 0,31 60
469,57 A
- 542,61 - B- -
469,57 c
Artinya:
2) a)
b.
output total sektor pertanian harus = 469,57
output total sektor industri harus = 542,61
ourput total sektor jasa harus = 469,57
A 40,8
--
B 26,1
A 8
B 12
2.51

2.52 MATEMATIKA EKDNOMI DAN B I SN I S e
A 170,53
c.
B 155,79
R A NG KU MA
Matriks Leontief adalah matriks yang menggambarkan keterkaitan
antara input - output sektoral dengan output secara keseluruhan. Matriks
Leontifinverse dihitung dari tabel transaksi antarsektor.
TE S FO RMAT IF 3
Apabila diketahui pada suatu Negara, transaksi antarsektor ditunjukkan
dalam tabel transaksi sebagai berikut.
Sektor-
Pertanian Industri
sektor
Pertanian
Industri
Jasa
Nilai
Tambah
Output
Total
Maka:
11 19
5 89
5 37
20 95
41 240
1) Matriks koefisien input (A) ....
0,268 0,079 0,005
A. 0,122 0,371 0,216
0,122 0,154 0,2
Jasa
Permintaan Output
Akhir Total
1 10 41
40 106 240
37 106 185
107 222
187 466

0,154 0,079 0,005
B. 0,122 0,371 0,216
0,122 0,154 0,200
0,268 0,079 0,125
C. 0,122 0,371 0,216
0,105 0,154 0,2
0,268 0,079 0,005
D. 0,122 0,216 0,216
0,122 0,134 0,2
2) Leontief matriks
0, 732 -0,005 -0,005
A. (I-A)-1
-0,122 -0,216 -0,216
-0,122 -0 8
'
0,8
0, 732 - 0,079 - 0,005
B. (I-A)-1
-0,122 0,629 -0,216
-0,122 -0,154 0,8
0,832 -0,079 -0,005
C. (I-A)-1
-0,122 0,629 -0,154
- 0,122 - 0,154 0,8
0, 732 - 0,079 - 0,005
D. (l-A)-1
-0,122 0,629 -0,216
0,122 - 0,154 0,8
3) Leontief Inverse matriks ....
0, 732 - 0,079 - 0,005
A. (I - A)-1
- 0,122 0,629 - 0,216
0,122 - 0,154 0,8
0,832 -0,079 -0,005
B. (I-A)-1
-0,122 0,629 -0,154
-0,122 -0,154 0,8

0, 732 -0,079 -0,005
C. (I-A)-1
-0,122 0,629 -0,216
- 0,122 - 0,154 0,8
0, 732 - 0,005 - 0,005
D. (l - A)-1
- 0,122 - 0,216 - 0,216
- 0,122 - 0 8
'
0,8
4) Perubahan output sektorpertanian (L1 XI ), perubahan output sektor industri
(L1 X2), dan perubahan output sektor jasa (L1 X3), apabila "permintaan
akhir" sektor jasa berubah sebesar 10 atau (l1 X3 = 10), maka ....
A. X1 = 0,416; X2 = 4,824; X3 - 13,702
B. X1 = 0,146; X2 = 4,824; X3 - 13,702
C. X1 = 0,164; X2 = 4,824; X3 - 13,702
D. X1 = 0,614; X2 = 4,824; X3 - 13,702
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglahjawaban yang benar. Kemudian,
Tingkat penguasaan = x 100%
Jumlah Soal
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 7Oo/o = kurang
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda
harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum
dikuasai.

Kunci Jawaban Tes Format if
Tes Formatif 1
1) D
2) c
3) A
4) B
5) A
6) B
7) B
8) c
Tes Formatif2
1) A
2) A
3) c
4) B
5) D
Tes Formatif3
1) A
2) B
3) c
4) D

Daftar Pustaka
Chiang. Fundamental Methods of Mathematical Economics. 2 nd edition.
Kompas. Mc Gram-Hill: Kobakusha.
Weber, Jean E. Mathematical Analysis. 3 rd edition. New York: Harper & Row.

MDDUL 3
Programasi Linear I
PENDAHULUAN- - - - - - - - - - - - - - - -
aksimisasi dan minimisasi suatu fungsi dalam matematika untuk ekonomi
merupakan bagian yang penting. Banyak cara yang dapat digunakan
untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Dalam modul
ini satu cara lagi akan diperkenalkan pada Anda yaitu programasi linier.
Dengan menggunakan metode ini Anda dimungkinkan untuk dapat
membuat model programasi linier dari masalah-masalah yang dihadapi yaitu
memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Pemahaman materi
dalam modul ini tentu saja akan memberi manfaat yang besar karena
memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya biasanyamerupakan
salah satu tujuan dari suatu perusahaan atau organisasi umumnya.
Materi dalam modul ini merupakan dasar untuk modul berikutnya yang
juga n1asih membahas 1nengenai menyelesaikan masalah programasi linier
dengan metode yang lain. Dalam modul ini hanya dibahas metode grafik untuk
menyelesaikan proses programasi linier.
Dengan mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat memahami masalah-
masalah ekonomi yang dapat diselesaikan dengan menggunakan model
programasi linier.
Setelah selesai mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu untuk:
1. memformulasikan masaIah maksimisasi atau minimisasi ke dalam bentuk
programasi linier dan
2. menggunakan metode grafik untuk menyelesaikan permasalahan dalam
programasi linier.

BMP ESPA4222

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to BMP ESPA4222

Similar to BMP ESPA4222 (20)

More from Mang Engkus

More from Mang Engkus (9)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

BMP ESPA4222