2. DEFINISI
• Himpunan ≈ Set
• Himpunan terdiri dari berbagai objek yang
berbeda
• Struktur Himpunan
Himpunan Objek
Elemen
Unsur
Anggota
3. PENYAJIAN HIMPUNAN
Cara penyajian himpunan dilakukan dengan
beberapa cara :
Enumerasi
Simbol-simbol
baku
Notasi
Pembentukan
Himpunan
Diagram
Venn
4. 1. ENUMERASI
• Merupakan cara penyajian anggota himpunan
secara rinci
• Kondisi anggota yang masih mampu ditulis secara
rinci atau berisi tidak terlalu banyak
Contoh :
a. Himpunan lima bilangan bulat pertama : B = {0,1,2,3,4,5}
b. M = {rina, 90, rani, 50, mira 60}
c. K = { {} }
d. Himpunan 50 bilangan bulat pertama : B = {0,1,2,...,49}
5. 2. SIMBOL-SIMBOL BAKU
• Penyajian himpunan ini sudah mempunyai simbol
baku
• Contoh
• P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
• N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
• Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
• Q = himpunan bilangan rasional
• R = himpunan bilangan riil
• C = himpunan bilangan kompleks
• U = himpunan universal (semesta)
Contoh : U = {7,8,9,5}, A = {8,9}
6. 3. NOTASI PEMBENTUKAN HIMPUNAN
• Penyajian himpunan dengan kondisi tertentu
• Contoh :
• B = {x | x bilangan bulat yang lebih besar dari 2 dan kurang dari 7}
• B = {x | x ∈ 𝑍, x>2 dan x<7}
• B = {3,4,5,6}
• A = {x | x pegawai yang sering rajin lembur}
• A = {Joko, Afandi, Mira, Susi}
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
7. 4. DIAGRAM VENN
• Adalah suatu diagram yang berisi semesta. Dimana
semesta merupakan suatu ruang menunjukan
hubungan keanggotaan antar himpunan.
• Contoh
U = {4,9,2,5,11,12}, A = {4,11,5}, dan B={5,12,9,2,}.
U
A B
5
4
11
2
9
12
8. KARDINALITAS
• Adalah jumlah elemen suatu himpunan
• Notasi
• Contoh :
A = { 4, Ayu, Dinda, 7, 9, 1.5) maka n(A) = 6
B = { 100, 44, 80, 97,51,0,66,1,9 } maka |B| = 9
C = { x | x merupakan bilangan ganjil lebih kecil
dari 10 dan lebih besar dari 1 }
C = {9,7,5,4,3} maka |C| = 5
n(A) atau |A|
9. HIMPUNAN KOSONG
• Himpunan kosong disebut juga null set
• Jumlah elemen himpunan kosong adalah 0 (nol)
• Notasi
• Contoh :
• A = { x | x < x } maka n(E) = 0
• B = { Manusia yang tidak membutuhkan makan dan
minum} maka n(B)= 0
• C = { Bilangan genap yang tidak habis dibagi dengan dua}
maka |C| = 0
atau {}
{} bukan himpunan kosong, ada satu elemen “”
di dalamnya
10. HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET)
• Himpunan A dikatakan subset himpunan B jika
semua anggta himpunan A adalah anggota
himpunan B
• A adalah subset B, dan B adalah superset A
• Notasi A B
A
B
U
11. JENIS SUBSET
• Terdapat dua jenis subset yaitu :
• Improper Subset
Merupakan himpunan bagian tak sebenernya dari suatu
himpunan.
Contoh : A = {a,b,c} maka {a,b,c} dan adalah improper
subset dari A atau A A dan A
• Proper Subset
Merupakan himpunan bagian sebenarnya dari suatu
himpunan
Contoh : A = {c} B = {a,b,c} maka A adalah proper subset B
atau A B tetapi A B
A = {a,b,c} B = {a,b,c} maka A adalah subset dari B
A B dan A = B
12. HIMPUNAN SAMA
• Himpunan dikatakan sama jika anggota suatu
himpunan merupakan anggota himpunan lain,
begitu juga sebaliknya
• Jika A=B maka B=A
• Notasi
• Contoh :
A = {a,a,a,b,c,d} dan B = {a,b,c,d}
maka A = B
A = B A B dan B A
13. HIMPUNAN EKIVALEN
• Himpunan ekivalen adalah himpunan yang
mempunyai kardinal sama, meskipun berbeda
elemennya.
• Notasi
• Contoh :
A = {a,b,d} dan B = {7,8,9}
maka A ~ B karena n(A) = 3 dan n(B) = 3
A ~ B A = B
14. HIMPUNAN SALING LEPAS
• Himpunan saling lepas (disjoint) jika dua buah
himpunan tidak memiliki anggota/elemen yang
sama
• Notasi
• Contoh : A = {Mira, Nia, Cia} B = {70,90,80}
A // B
A
B
U
15. HIMPUNAN KUASA
• Himpunan kuasa (power set) adalah suatu
himpunan yang elemennya adalah semua bagian
dari suatu himpunan termasuk himpunan kosong
dan elemen himpunan itu sendiri.
• Notasi
• Jika A = m, maka P(A) = 2m
• Contoh :
A= {a,b,c}
maka
P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},{a,b,c}}
| P(A)| = 23 =8
P(A) atau 2A
16. OPERASI HIMPUNAN
• Operasi himpunan dilakukan untuk menghasilkan himpunan
lain sesuai dengan kebutuhan
• Operasi terhadap himpunan yang sering dilakukan terdiri dari
5 jenis sebagai berikut :
Irisan (Intersection)
Gabungan (Union)
Komplemen (Complement)
Selisih (Difference)
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Perkalian Kartesian (Cartesian Product)
17. IRISAN (INTERSECTION)
• Irisan himpunan adalah kondisi dimana setiap
elemen merupakan elemen suatu himpunan dan
himpunan lain
• Notasi
• Contoh :
A={4,5,1,2,3} dan B={1,2,3,11,15} maka AB = {1,2,3}
A B = { x x A dan x B }
18. GABUNGAN (UNION)
• Gabungan himpunan adalah kondisi dimana setiap
elemen merupakan elemen suatu himpunan atau
himpunan lain
• Notasi
• Contoh :
A={4,5,1,2,3} dan B={1,2,3,11,15}
maka A B = {1,2,3,4,5,11,15}
A B = { x x A atau x B }
19. KOMPLEMEN (COMPLEMENT)
• Komplemen suatu himpunan merupakan himpunan
selain himpunan tersebut tetapi masih dalam ruang
ligkup semesta
• Notasi
• Contoh :
U={4,5,1,2,3} dan A={1,2,3}
maka ҧ
𝐴 = {4,5}
ഥ
𝐀 = { x x U, x A }, ഥ
𝐀 = AC = A’
20. SELISIH (DIFFERENCE)
• Selisih dua himpunan mempunyai elemen dari suatu
himpunan tapi bukan elemen himpunan lain. Misalkan
selisih A dan B artinya komplemen himpunan B relatif
terhadap himpunan A.
• Notasi
• Contoh :
A={4,5,1,2,3} dan B={1,2,3,7} maka A – B = {4,5}
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
A – B = { x x A dan x B } = A B
21. BEDA SETANGKUP (SYMMETRIC DIFFERENCE)
• Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah kondisi
dimana suatu himpunan yang elemenya ada pada
himpunan A atau B tapi tidak pada keduanya
• Notasi
• Contoh :
A={4,5,1,2,3} dan B={1,2,3,7} maka A B = {4,5,7}
A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
22. PERKALIAN KARTESIAN (CARTESIAN PRODUCT)
• Perkalian dua himpunan menghasilkan elemen
yang berpasangan secara berurutan (ordered
pairs) yang terbentuk dari kedua himpunan
tersebut
• Notasi
• Contoh :
A={1,2} dan B={a,b} maka A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
Pada soal yang sama maka BxA= {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
A B = {(a, b) a A dan b B }
23. PERAMPATAN OPERASI HIMPUNAN
• Perampatan (generalization) operasi himpunan
dilakukan pada lebih dari satu himpunan
• Notasi
n
i
i
n
A
A
A
A
1
2
1
...
=
=
n
i
i
n
A
A
A
A
1
2
1
...
=
=
i
n
i
n
A
A
A
A 1
2
1
... =
=
i
n
i
n
A
A
A
A 1
2
1
... =
=
25. HUKUM-HUKUM ALJABAR HIMPUNAN
• Hukum-hukum aljabar himpunan ini mengatur
operasi dua himpunan atau lebih
1. Hukum identitas:
− A = A
− A U = A
2. Hukum null/dominasi:
− A =
− A U = U
3. Hukum komplemen:
− A A = U
− A A =
4. Hukum idempoten:
− A A = A
− A A = A
26. HUKUM-HUKUM ALJABAR HIMPUNAN
5. Hukum involusi:
− )
(A = A
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
− A (A B) = A
− A (A B) = A
7. Hukum komutatif:
− A B = B A
− A B = B A
8. Hukum asosiatif:
− A (B C) = (A B)
C
− A (B C) = (A B)
C
9. Hukum distributif:
− A (B C) = (A
B) (A C)
− A (B C) = (A
B) (A C)
10. Hukum De Morgan:
− B
A = B
A
− B
A = B
A
11. Hukum 0/1
− = U
− U =
27. PRINSIP DUALITAS
• Adalah dua bua prinsip yang berbeda tetapi
dapat ditukarkan dengan jawaban yang tetap
benar
• Prinsip dualitas
• Contoh:
• 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ ത
𝐵 = 𝐴 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ ത
𝐵 = 𝐴
28. DUALITAS HUKUM-HUKUM ALJABAR HIMPUNAN
• Berikut ini adalah pembuktian hukum-hukum
aljabar merupakan dualitas
1. Hukum identitas:
A = A
Dualnya:
A U = A
2. Hukum null/dominasi:
A =
Dualnya:
A U = U
3. Hukum komplemen:
A A = U
Dualnya:
A A =
4. Hukum idempoten:
A A = A
Dualnya:
A A = A
29. DUALITAS HUKUM-HUKUM ALJABAR HIMPUNAN
5. Hukum penyerapan:
A (A B) = A
Dualnya:
A (A B) = A
6. Hukum komutatif:
A B = B A
Dualnya:
A B = B A
7. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
9. Hukum De Morgan:
B
A = A B
Dualnya:
B
A = A B
10. Hukum 0/1
= U
Dualnya:
U =
30. PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI
• Prinsip Inklusi-eksklusi digunakan pada
penggabungan himpunan yang tak saling lepas.
Tak saling lepas artinya dua himpunan mungkin saja
memiliki elemen yang sama atau A ∩ 𝐵
• Teorema
A B = A + B – A B
A B = A +B – 2A B
31. PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang
habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK –
Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
Yang ditanyakan adalah A B.
A = 100/3 = 33,
B = 100/5 = 20,
A B = 100/15 = 6
A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
32. PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSI
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
A B C = A + B + C – A B –
A C – B C + A B C
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
A1 A2 … Ar =
i
Ai –
r
j
i
1
Ai Aj +
r
k
j
i
1
Ai Aj Ak + … +
(-1)r-1
A1 A2 … Ar
33. PARTISI
• Partisi adalah pembagian elemen suatu himpunan
menjadi beberapa bagian dimana setiap partisi
tidak lebih banyak dari kardinal nya.
• Aturan partisi himpunan sebagai berikut :
• Contoh:
A = {0,1,2,...,12}
maka partisi A adalah {{0},{1,2},{3,4,5,6},{7},{8,9},{10},{11,12}}
(a) A1 A2 … = A, dan
(b) Ai Aj = untuk i j
34. PEMBUKTIAN PROPOSISI HIMPUNAN
• Pembuktian proposisi himpunan dilakukan dengan
empat cara:
Diagram Venn
Tabel Keanggotaan
Aljabar Himpunan
Definisi
38. PEMBUKTIAN PROPOSISI HIMPUNAN
DENGAN DEFINISI
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan
A (B C) maka A C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika
setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B
C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C).
Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x
B atau x C.
(ii) Karena x A dan A B = , maka x B
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga
berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C .
39. HIMPUNAN GANDA
• Himpunan ganda (multiset) adalah himpunan yang
elemenya boleh berisi elemen yang sama berulang
kali
• Contoh
{0,0,0,0,1,1,1,1}, {9,8,9,8,9,8}
• Multiplisitas jumlah kemunculan elemen yang sama
pada himpunan ganda
• Contoh
Pada contoh di atas berapakah multiplisitas
elemen 9? Jawabanya adalah 3
40. SOAL
1. Jika A adalah himpunan. Periksalah apakah setiap
pernyataan di bawah ini benar atau salah?
a. 𝐴 ∩ 𝑃 𝐴 = 𝐴
b. 𝐴 − 𝑃 𝐴 = 𝐴
c. 𝐴 ∈ 𝑃 𝐴
d. 𝐴 ⊆ 𝑃(𝐴)
2. Jika A,B, dan C adalah himpunan. Pada kondisi
manakah pernyataan di bawah ini benar?
a. 𝐴 − 𝐵 ∩ 𝐴 – 𝐶 = ∅
b. 𝐴 − 𝐵 ⊕ 𝐴 – 𝐶 = ∅
3. Sucessor dari himpunan A didefinisikan sebagai 𝐴 ∪ 𝐴 .
Tentukan sucessor dari himpunan
a. 1,2,3 b. ∅ c. ∅ d. {∅, ∅ }
41. SOAL
4. Buktikan dengan hukum identitas
𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 dan 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴
5. Terdapat asumsi-asumsi sebagai berikut :
S1 = Semua kamus adalah berguna
S2 = Mary memiliki hanya novel-novel roman
S3 = Tidak ada novel roman yang berguna
Gunakanlah diagram venn untuk menentukan
keabsahan setiap kesimpulan berikut :
a. Novel-novel roman bukanlah kamus
b. Mary tidak memiliki kamus
c. Semua buku-buku berguna adalah kamus
42. SOAL
6. Terdapat himpunan universal U = {1,2,3,...,8,9} dan
himpunan A = {1,2,5,6}, B = {2,5,7}, C = {1,3,5,7,9}
Tentukanlah
a. 𝐴 ∩ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐶
b. ഥ
𝐴, ത
𝐵𝑑𝑎𝑛 ҧ
𝐶
c. A ⊕ 𝐵
7. Buktikan hukum distributif
𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) menggunakan
Diagram Venn
43. SOAL
8.Jika A merupakan himpunan mahasiswa tahun
pertama, B himpunan mahasiswa tahun kedua, C
himpunan mahasiswa Jurusan Matematika, D himpunan
mahasiswa Jurusan Teknik Informatika, E himpunan
mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit, F
himpunan mahasiswa yang mentonton pertunjukan
pantomim pada senin malam, G himpunan mahasiswa
yang begadang sampai lewat tengah malam pada hari
Senin malam. Nyatakan pernyataan berikut dalam
notasi teori himpunan :
a. Semua mahasiswa tahun kedua jurusan Teknik
Informatika mengambil kuliah Matematika Diskrit
44. SOAL
b. Hanya mereka yang mengambil kuliah Matematika
Diskrit atau yang pergi ke pertunjukan pantomim yang
begadang sampai lewat tengah malam pada hari
Senin malam
c. Mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit
tidak ada yang pergi nonton pertunjukkan pantomim
pada Senin malam. (Penyebabnya adalah tugas
pekerjaan rumah yang sangat banyak dalam kuliah
Matematika Diskrit)
d. Pertunjukan pantomim itu hanya mahasiswa tahun
pertama dan mahasiswa tahun kedua
e. Semua mahasiswa tahun kedua yang bukan dari
Jurusan Matematika atau pun Jurusan Teknik
Informatika pergi nonton pertunjukan pantomim
45. SOAL
9.Diantara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari
matematika, 20 orang mempelajari fisika, 45 orang
mempelajari biologi, 15 orang mempelajari
matematika dan biologi, 7 mempelajari
matematika dan fisika, 10 memplajari fisika dan
biologi, dan 30 tidak mempelajari satu pun diantara
ketiga bidang tersebut.
• Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya
satu diantara ketiga bidang tersebut!
• Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya
satu diantara ketiga bidang tersebut!
46. SOAL
10.Enam puluh ribu supporter sepakbola yang
mendukung pertandingan di kandang sendiri membeli
habis semua cindera mata untuk mobil mereka. Secara
keseluruhan laku terjual 20000 stiker, 36000 bendera
kecil, 12000 gantungan kunci. Ternyata 52000 suporter
membeli sedikitnya satu cindera mata dan tidak
seorang pun membeli suatu cindera mata lebih dari
satu. Selain itu 6000 suporter membeli bendera kecil dan
gantungan kunci, 9000 membeli bendera kecil dan
stiker, dan 5000 membeli gantungan kunci dan stiker.
• Berapa banyak supporter yang membeli ketiga macam
cindera mata di atas?
• Berapa banyak supporter yang membeli tepat satu cindera
mata?
47. SUMBER
• Munir, Rinaldi, “Matematika Diskrit Ed. Revisi Ke-5”,
Informatika Bandung, 2012
• Lipschutz, Seymour. Lipson, Marc, “Matematika
Diskret Edisi Ketiga”, Erlangga, 2008
• Yan Watequlis S., ST, “Diktat Kuliah Matematika
Diskrit”, Program Studi Manajemen Informatika,
Politeknik Negeri Malang.
